Trabajo circunferencia

circunferencia

1. UNIVERSIDAD CATOLICA
DE LA SANTISIMA CONCEPCION
SEDE LOS ÁNGELES








Trabajo de Cálculo
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA







Profesor: José Goldsack Z.
Integrantes: Rodrigo Bastidas F.

2. LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia puede definirse como el lugar geométrico que contiene todos los puntos
del plano cartesiano que equidistan de un mismo punto, llamado centro de la
circunferencia, mientras que este punto centro no pertenece a la circunferencia.

A partir de lo anterior podemos establecer que una circunferencia queda completamente
determinada conociéndose su centro y su radio.



DEDUCCION DE LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

El objeto de obtener estas ecuaciones es el de satisfacer los problemas fundamentales de
la geometría analítica, que son:

a. Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.
b. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su
ecuación matemática.

Para esto se describen los siguientes conceptos, que serán de utilidad:

GEOMETRÍA ANALÍTICA, estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del
análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las
matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para
la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

LUGAR GEOMÉTRICO O GRAFICA de una ecuación de dos variables es una línea, recta o
curva, que contiene todos los puntos, y solo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la
ecuación dada.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia d entre los puntos dados P1(x1,y1) y P2(x2,y2) se muestra en la siguiente gráfica:

Así entonces, y usando el Teorema de Pitágoras, obtenernos la distancia:

3. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN CUALQUIER PUNTO

Dada la circunferencia con centro en el punto C(h,k) cualquiera, y el punto P(x,y)
perteneciente a la circunferencia de la siguiente forma:

Definiremos la distancia d entre el punto C y el punto P como:
CP = √





Pero como CP = r => r = √





Así obtenemos:
r
2
= (x – h)
2
+ (y – k)
2
: Ecuación Canónica de la circunferencia.

Dónde:
- Centro C : (h,k)
- Radio : r

Al desarrollar y ordenar esta ecuación se obtiene:
x
2
+ y
2
+ x(–2h) + y(–2k) + (h
2
+ k
2
– r
2
) = 0

Si asignamos los siguientes valores a las constantes:
A = –2h ; B = –2k ; C = h
2
+ k
2
– r
2


Al reemplazar obtenemos:
x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 : Ecuación General de la circunferencia.


Para convertir la ecuación general en la canónica sumamos y restamos los términos
indicados para obtener los cuadrados:

( x
2
+ Ax +



) –



+ (y
2
+ By +



) –



+ C = 0

4. Ordenando:
( x
2
+


)
2
+ ( y
2
+


)
2
=



+



–




De esto obtenemos:
- Centro C : (-


, -


)
- Radio r :


√










ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

Dada la circunferencia con centro en el punto O(0,0) u origen de coordenadas, y el punto
P(x,y) perteneciente a la circunferencia de la siguiente forma:



La distancia d entre el origen de coordenadas y el punto P es:
OP = √





Pero como OP = r => r = √





Asi:
x
2
+ y
2
= r
2
: Ecuación Canónica de la circunferencia con centro en el origen.

Donde h = 0 y k = 0.

Para convertir la ecuación general en la canónica reordenamos:

x
2
+ y
2
– r
2
= 0 : Ecuación General de la circunferencia con centro en el origen.

Donde A = 0 ; B = 0 y C = – r
2

5. De esto obtenemos:
- Centro C : (-


, -


) = (0,0)
- Radio r :


√





= √






CONSIDERACIONES GENERALES

Circunferencia de acuerdo al tipo de ecuación y su centro.
Como hemos visto, la circunferencia puede definirse en función del tipo de ecuación
utilizada y ubicación de su centro. Esto se resume en la siguiente tabla.

Ecuación Canónica Ecuación General
Centro en el origen
(0,0)
x
2
+ y
2
= r
2


Centro C : (0,0)
Radio : r

x
2
+ y
2
+ C = 0

Centro C : (0,0)
Radio : √



Centro en cualquier
punto
(h,k)
(x – h)
2
+ (y – k)
2
= r
2

- Centro C : (h,k)
- Radio : r
x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0

Centro C : (-


, -


)
Radio r :


√









Circunferencia de acuerdo a su radio
Adicionalmente se pueden establecer tipos de circunferencia de acuerdo a su radio:
1.- Circunferencia Real => r 0 (positivo)
3.- Punto => r 0 (cero)
2.- Circunferencia Imaginaria => r 0 (negativo)

Así se pueden establecer las siguientes relaciones:

Tipo de Circunferencia Ecuación
Canónica
Ecuación General
Circunferencia Real r 0



0
Punto r 0



0
Circunferencia
Imaginaria
r 0



0

6. Ejemplos

Circunferencia real

Centro C(-3,2) = (h,k)
Radio r= 6 => r > 0 (circunferencia real)

Reemplazamos en ecuación canónica
(x – h)
2
+ (y – k)
2
= r
2
=> (x +3)
2
+ (y – 2)
2
= 6
2
Para obtener la ecuación general desarrollamos los binomios y ordenamos:
x
2
+ y
2
+ 6x – 4y – 23 = 0

Gráfico con ayuda del software Geogebra


Punto
Centro C(-3,2) = (h,k)
Radio r= 0 => (punto)

Reemplazamos en ecuación canónica
(x – h)
2
+ (y – k)
2
= r
2
=> (x +3)
2
+ (y – 2)
2
= 0
2
Para obtener la ecuación general desarrollamos los binomios y ordenamos:
x
2
+ y
2
+ 6x – 4y + 13 = 0

Gráfico con ayuda del software Geogebra

7. Circunferencia imaginaria

Centro C(-3,2) = (h,k)
Radio r= - 6 => r < 0 (circunferencia imaginaria)

Reemplazamos en ecuación canónica
(x – h)
2
+ (y – k)
2
= r
2
=> ¿ (x +3)
2
+ (y – 2)
2
= (-6)
2
?
Por este método llegaríamos a un error, ya que como el radio es una distancia, nunca
puede tomar valores menores que cero.


Una circunferencia imaginaria puede ser representado a través de la ecuación general de
la circunferencia, por ejemplo, los valores que se trataron anteriormente:

Centro C(-3,2) = (h,k)
Radio r= - 6 => r < 0 (circunferencia imaginaria)

Donde,
- A = –2h => A = 6
- B = –2k => B = -4
- C = h
2
+ k
2
– r
2
=> C = -23

Así entonces, la ecuación queda:

x
2
+ y
2
+ 6x – 4y – 23 = 0 (Circunferencia Imaginaria)



Gráfico con ayuda del software Geogebra

8. Circunferencia a partir de tres puntos

Otra forma de obtener la ecuación de la circunferencia es a partir de tres puntos que la
satisfacen.

Sean tres puntos: (1,5), (-2,3), (2,-1).

Utilizando la forma general de la circunferencia y reemplazando los valores de x e y
respectivamente se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0

(1,5)  1+25+A+5B+C = 0
(-2,3)  4+9-2A+3B+C = 0
(2,-1)  4+1+2A-B+C = 0




Resolviendo el sistema tenemos,
A=


, B=


, C=




Así la ecuación es:

x
2
+ y
2



x


y


= 0 (circunferencia imaginaria)