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TRABAJO DE ESTADÍSTICA

PRUEBA DE HIPÓTESIS

INTEGRANTES:
OSWALDO DE LA PUENTE PABUENA
CARLOS OLARTE DIAZ
JORGE POSADA COHEN
BAYRON VELASCO JULIO

DOCENTE:
SANDRA GUTIERREZ

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL III SEMESTRE
CARTAGENA DE INDIAS D.T. Y C. 4 DE JUNIO DE 2012

1. TRABAJO DE ESTADISTICA



PRUEBA DE HIPOTESIS
INTEGRANTES:
OSWALDO DE LA PUENTE PABUENA
CARLOS OLARTE DIAZ
JORGE POSADA COHEN
BAYRON VELASCO JULIO



DOCENTE:
SANDRA GUTIERREZ


UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL III SEMESTRE
CARTAGENA DE INDIAS D.T. Y C. 4 DE JUNIO DE 2012

2. INTRODUCCIÓN


En muchas ocasiones un analista o un hombre de ciencia se ve abocado no solo a
estimar un parámetro a través de un intervalo de confianza como ya vimos en el
capítulo siete, sino que también se ve enfrentado a la necesidad de plantear un
proceso mediante el cual deba sacar alguna conclusión válida para el problema
que está estudiando y tomar las decisiones pertinentes. Es el caso de una casa
veterinaria, que desea comprobar si cierta droga que se viene suministrando al
ganado vacuno está o no incidiendo en el retardo de su crecimiento. Podría ser
también el caso de un especialista de mercado que desea comprobar si un
producto de aseo es aceptado o no por el 30% de una población objetivo. También
podría ser el caso de una oficina de asesoría de cierto candidato a la alcaldía de
una ciudad, que requiere saber si más del 40% de los electores favorecerán o no
con su voto a dicho candidato.

Cualquiera que sea el estudio, el analista lo que realmente plantea es una
conjetura o hipótesis que somete a aprobación o rechazo. Para tomar la decisión
de aprobación o rechazo y resolver en éstas condiciones su situación de
incertidumbre, el analista debe realizar algunos experimentos previos que le
suministren alguna solidez a su decisión.

La estadística moderna facilita las herramientas para que las diferentes
alternativas sean analizadas con cierto rigor científico. Este conjunto de técnicas
que usa la estadística para estos menesteres, se conoce con el nombre de
HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS. Las hipótesis estadísticas que estudiaremos en el
presente capítulo, constituyen la segunda técnica que conjuntamente con los
intervalos de confianza vistos en el capítulo anterior, conforman esa parte
fundamental de la estadística que llamamos INFERENCIA ESTADÍSTICA o
ESTADÍSTICA INFERENCIAL.
1









1
HUGO GÓMEZ, Giraldo. ESTADISTICA. Colombia: Mayo 2009, Pág. 214

3. OBJETIVOS

✓ OBJETIVO GENERAL

✓ Adquirir los conocimientos que se necesitan para tomar decisiones de
aprobación rechazo y resolver en éstas condiciones su situación de
incertidumbre

✓ OBJETIVOS ESPECIFICOS


✓ Identificar que situaciones requieren de la aplicación de pruebas de
hipótesis.
✓ Reconocer el tipo de prueba de hipótesis con la que se va a tratar cada
situación
✓ Aplicar las formulas correspondientes

4. TERMINOLOGÍA DE PRUEBA DE HIPOTESIS .

• Procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teoría de
probabilidad que se emplea para determinar si la hipótesis es un enunciado
razonable y no debe rechazarse o si es irracionable y debe ser rechazada.

• Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los
parámetros de una o más poblaciones.
• Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman
hipótesis estadísticas. Son, en general, enunciados acerca de las
distribuciones de probabilidad de las poblaciones.
• Determinar si existe contradicción entre los resultados obtenidos a partir de
una o varias muestras representativas de una población y un posible
parámetro aplicable a dicha población
Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en
parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara
la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se
compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza
el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si
el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.
El propósito de la prueba de hipótesis es determinar si el valor supuesto
(hipotético de un parámetro poblacional, como la medida de la población, debe
aceptarse como verosímil con base en evidencia muéstrales. Recuerda que sobre
la distribución de muestreo, se dijo que, en general, una media muestral diferirá en
valor de la media poblacional. Si el valor observado de una estadística muestral,
como la media muestral, el valor de la media poblacional.

TERMINOLOGIA DE HIPÓTESIS NULA (H0):

• Una afirmación o enunciado tentativo que se realiza acerca del valor de un
parámetro poblacional. Por lo común en una afirmación de que el parámetro
de población tiene valor especifico.

5. • Representa la hipótesis que mantendremos cierta a no ser que los datos
indiquen su falsedad. Esta hipótesis nunca se considera aceptada, en
realidad lo que se quiere decir es que no hay suficiente evidencia
estadística para rechazarla por lo que aceptar H0 no garantiza que H0 sea
cierta.

• La hipótesis nula es aquella que nos dice que no existen diferencias
significativas entre los grupos.

• Es la negación de la hipótesis alternativa o de interés, el cual representa un
STATU QUO (nada cambia) y normalmente se representa como:
HO: La media no ha cambiado; la proporción no ha cambiado o no hay relación
estadística entre sus variables.

• El nombre de nula proviene de que H0 representa la hipótesis que
mantendremos a no ser que los datos indiquen su falsedad. “Nula” debe
entenderse en el sentido de “neutra “. La hipótesis H0 nunca se considera
probada, aunque puede ser rechazada por los datos. Por ejemplo, la
hipótesis de que todos los elementos de una población tienen el mismo
valor de una variable puede ser rechazada encontrando un elemento que
no lo contenga, pero no puede ser “demostrada” más que estudiando todos
los elementos de la población, tarea que puede ser imposible.

TERMINOLOGIA DE HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H1)

• Hipótesis que se acepta cuando los datos no respaldan la hipótesis nula.
Una afirmación o enunciado que se aceptara si los datos muéstrales proporcionan
amplia evidencia de que la hipótesis nula es falsa
• Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa.
Por ejemplo: Si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis alternativa podrían ser p
= 0,7, p " 0,5 ó p > 0,5.
• Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1.
• Se expresa como el complemento de la (desigualdad) de la hipótesis nula
en el caso de las dos colas, o como subconjunto del complemento (mayor
que o menor que) en el caso de la prueba de una sola cola.
• Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan
evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también
como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis

6. alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor
especificado del parámetro.

PASOS PARA ESTABLECER UNA PRUEBA DE HIPOTESIS
• Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1.
• Especificar el nivel de significancia
• Determinar el tamaño de la muestra
• Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo de
las de no rechazo.
• Determinar la prueba estadística.
• Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba
estadística apropiada.
• Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una de
no rechazo.
• Determinar la decisión estadística.
• Expresar la decisión estadística en términos del problema.

PASO 1: PLANTEAR LA HIPÓTESIS NULA HO Y LA HIPÓTESIS
ALTERNATIVA H1
Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o
afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian.
Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la
población aplicada.
Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.
Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las
poblaciones.

HIPÓTESIS NULA.
En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de
rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada,
formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea p = 0,5, donde p es la
probabilidad de cara).

7. Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro,
formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. que cualquier
diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la
misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por
Ho.
Para todo tipo de investigación en la que tenemos dos o más grupos, se
establecerá una hipótesis nula.
La hipótesis nula es aquella que nos dice que no existen diferencias significativas
entre los grupos.
Una hipótesis nula es importante por varias razones:
• es una hipótesis que se acepta o se rechaza según el resultado de la
investigación.
• el hecho de contar con una hipótesis nula ayuda a determinar si existe una
diferencia entre los grupos, si esta diferencia es significativa, y si no se
debió al azar.
HIPÓTESIS ALTERNATIVA.
Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por
ejemplo: Si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis alternativa podrían ser p = 0,7, p "
0,5 ó p > 0,5.
Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1.
• Al responder a un problema, es muy conveniente proponer otras hipótesis en
que aparezcan variables independientes distintas de las primeras que
formulamos. Por tanto, para no perder tiempo en búsquedas inútiles, es
necesario hallar diferentes hipótesis alternativas como respuesta a un mismo
problema y elegir entre ellas cuáles y en qué orden vamos a tratar su
comprobación.
Errores de tipo I y de tipo II.
Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha
cometido un error de tipo I.
Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada, diremos
que se cometió un error de tipo II.
En ambos casos, se ha producido un juicio erróneo.

8. PASO 2: NIVELES DE SIGNIFICACIÓN.
Al contrastar una cierta hipótesis, la máxima probabilidad con la que estamos
dispuesto a correr el riesgo de cometerán error de tipo I, se llama nivel de
significación.
Esta probabilidad, denota a menudo por se, suele especificar antes de tomar la
muestra, de manera que los resultados obtenidos no influyan en nuestra elección.
En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 0,01, si bien se une
otros valores. Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%) al
diseñar una regla de decisión, entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre
100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos
un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso
decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual
quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de
significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área
de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la
hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.


La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones,
una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo
(aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación, no
se puede rechazar la hipótesis nula.
Tipos de errores
Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de
aceptación del Ho o de la Ha, puede incurrirse en error:
Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es
verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se
denomina con la letra alfa α

9. Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es
aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.
En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión
equivocada.

PASÓ 2: SELECCIONAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA.
Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como
nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de
rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel esta bajo
el control de la persona que realiza la prueba.
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de
significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área
de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la
hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.

La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones,
una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo
(aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación, no
se puede rechazar la hipótesis nula.
La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la
estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipótesis nula
es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de presentarse
si la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de
rechazo.
Tipos de errores
Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de
aceptación del Ho o de la Ha, puede incurrirse en error:

10. Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es
verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se
denomina con la letra alfa α
Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es
aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.

En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión
equivocada.
En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador
y las consecuencias posibles.

La probabilidad de cometer un error de tipo II denotada con la letra griega beta β,
depende de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de la
población. Como es más fácil encontrar diferencias grandes, si la diferencia entre
la estadística de muestra y el correspondiente parámetro de población es grande,
la probabilidad de cometer un error de tipo II, probablemente sea pequeña.
Existe una relación inversa entre la magnitud de los errores α y β: conforme a
aumenta, β disminuye. Esto obliga a establecer con cuidado el valor de a para las
pruebas estadísticas. La de las pruebas estadísticas es rechazar la hipótesis
planteada.
PASO 3: CÁLCULO DEL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBA
Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para
determinar si se rechaza la hipótesis nula., existen muchos estadísticos de prueba
para nuestro caso utilizaremos los estadísticos z y t. La elección de uno de estos
depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras son de la
prueba son iguales a 30 o más se utiliza el estadístico z, en caso contrario se
utiliza el estadístico t.
TIPOS DE PRUEBA
a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la
igualdad
Ejemplo
H0: µ = 200
H1: µ ≠ 200

11. b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con ≥ o
≤
H0: µ ≥ 200 H0: µ ≤ 200
H1: µ < 200 H1: µ > 200


En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce la desviación
estándar (σ) poblacional, o cuando el valor de la muestra es grande (30 o más), el
valor estadístico de prueba es z y se determina a partir de:

El valor estadístico z, para muestra grande y desviación estándar poblacional
desconocida se determina por la ecuación:

En la prueba para una media poblacional con muestra pequeña y desviación
estándar poblacional desconocida se utiliza el valor estadístico t.

PASO 4: FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓN

12. SE establece las condiciones específicas en la que se rechaza la hipótesis nula y
las condiciones en que no se rechaza la hipótesis nula. La región de rechazo
define la ubicación de todos los valores que son tan grandes o tan pequeños, que
la probabilidad de que se presenten bajo la suposición de que la hipótesis nula es
verdadera, es muy remota

Distribución muestral del valor estadístico z, con prueba de una cola a la derecha
Valor critico: Es el punto de división entre la región en la que se rechaza la
hipótesis nula y la región en la que no se rechaza la hipótesis nula.
PASO 5: TOMAR UNA DECISIÓN.
En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de prueba,
se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis
nula. Tenga presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de
dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que
siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería
haberse rechazado (error tipo I). También existe la posibilidad de que la hipótesis
nula se acepte cuando debería haberse rechazado (error de tipo II).

13. Prueba de Hipótesis Unilateral
La prueba de hipótesis unilateral, es aquella en la cual la zona de rechazo o zona
critica está completamente comprendida en uno de los extremos de la distribución
H0: μ < a, región critica ubicada al lado izquierdo. H0: μ >a, región critica ubicada
al lado derecho. H0: μ # a, región critica ubicada al lado izquierdo y derecho de la
distribución.


Contraste unilateral
Caso 1
La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k).
La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ < k (o bien H1: p < k).
Valores críticos
1 − α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33

El nivel de significación α se concentra en una parte o cola. La región de
aceptación en este caso será:

14. O bien:

Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de
abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al
azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales
estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se
puede admitir el pronóstico.
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0: μ ≥ 0.40 La abstención será como mínimo del 40%.
H1: μ < 0.40 La abstención será como máximo del 40%;
2. Zona de aceptación
Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: zα = 2.33.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3. Verificación.

4. Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significación
del 1%, que la abstención será como mínimo del 40%.
Caso 2
La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).
La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ > k (o bien H1: p > k).

15. El nivel de significación α se concentra en la otra parte o cola.
La región de aceptación en este caso será:

O bien:

Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid
es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una
muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es
de 128 €.
¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de
partida?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0: μ ≤ 120
H1: μ > 120
2. Zona de aceptación
Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: zα = 1.28.
Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verificación.

16. Valor obtenido de la media de la muestra: 128 €.
4. Decisión
No aceptamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación del 10%.

Prueba de Hipótesis Bilateral
Se llama prueba de dos colas o bilateral, pues la región crítica se divide en dos
partes que a menudo tienen probabilidades iguales que se colocan en cada cola
de la distribución de la estadística de prueba. La hipótesis alternativa H1: µ ≠ µ0
Establece que: µ> µ0 o µ< µ0
Una prueba de cualquier hipótesis, tal como:
H0: µ = µ0 Hipótesis Nula
H1: µ ≠ µ0 Hipótesis Alternativa
Recibe el nombre de prueba bilateral.


PRUEBAS BILATERALES PARA LA MEDIA

Muestra grande
• La diferencia de esta prueba con respecto a las unilaterales está en que la
región de rechazo está ubicada simultáneamente en ambas colas

17. • En las pruebas bilaterales de hipótesis siempre se determina la región de
rechazo colocando un área de probabilidad igual a a/2 en cada cola de
distribución
• Para este caso el valor de z para un nivel de significancia de 0.05
corresponderá a 1.96






✓ Pruebas de hipótesis para muestras grandes

En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce la desviación
estándar (σ) poblacional, o cuando el valor de la muestra es
Grande (30 o más), el valor estadístico de prueba es z y se determina a partir de:

18. El valor estadístico z, para muestra grande y desviación estándar poblacional
desconocida se determina por la ecuación:



Comparación entre dos medias Poblacionales usando muestras
independientes

Supongamos que se tiene dos poblaciones distribuidas normalmente con
medias desconocidas μ
1
y μ
2,
respectivamente. Se puede aplicar una prueba t de
Student para comparar las medias de dichas poblaciones basándonos en dos
muestras independientes tomadas de ellas. La primera muestra es de tamaño m,
con media y varianza y la segunda muestra es de tamaño n, tiene media
varianza. Si las varianzas de las poblaciones son iguales
entonces se puede mostrar que:






Se distribuye como una t con m+n-2 grados de libertad. En este caso la varianza
poblacional es estimada por una varianza combinada de las varianzas de las
dos muestras tomadas, dada por la siguiente fórmula:

19. Las fórmulas para las pruebas de hipótesis son las siguientes:






Comparando dos proporciones

Algunas veces se desea comparar la proporción con que ocurre un mismo evento
en dos poblaciones distintas. Esto conlleva a hacer inferencias acerca de la
diferencia p
1
- p
2.
Supongamos que de una de las poblaciones sacamos una
muestra de tamaño m, y que en ella ocurre el evento X
1
veces, y de la segunda
población sacamos una muestra de tamaño n y que en ella ocurre el evento X
2
veces. Se puede mostrar que el siguiente estadístico:

21. EJEMPLOS


✓ Un número de 1993 de Datamation decía que la gente tardaba 34 horas de
promedio en aprender un nuevo programa informático. ¿Está respaldada esta
información al nivel de 10% si 35 personas emplearan una media de 40,58 horas;
con una desviación típica de 19,7 horas?

DATOS.



• Cuando un proceso de producción funciona correctamente produce frascos de
champú con un peso promedio de 200 gr. Una muestra aleatoria de una remesa
presentó los siguientes pesos: 214; 197; 197; 206; 208; 201; 197; 203; 209.
Asumiendo que la distribución de los datos es normal, pruebe con un nivel de
confianza del 95% si el proceso está funcionando correctamente.

Datos

22. ✓ Una compañía asegura que el mercado para su producto X tiene una aceptación
de iguales proporciones en la ciudad A que en la ciudad B. Un especialista en
mercado pone en duda dicha afirmación y para tal fin tomó una muestra aleatoria
de 500 amas de casa en la ciudad A y encontró que el 59.6% de las mismas
prefería el artículo X. Por otra parte tomó una muestra aleatoria de 300 amas de

23. casa en la ciudad B y encontró que el 50% de las mismas preferían el artículo X.
¿Existe una diferencia real entre las dos ciudades? Nivel de significación 5%

Solución

No se sabe si las poblaciones están normalmente distribuidas, pero n
1
=500>30 y
n
2
=300>30, por lo cual según el teorema central del límite, las diferencias de las
proporciones muéstrales se distribuirán aproximadamente como una distribución
normal.
1) Hipótesis nula e hipótesis alternativa: . La
prueba es bilateral, puesto que el especialista en mercado no está
afirmando que ciudad tiene más proporción que la otra.

2) Nivel de significación:


3) Criterio de decisión: Como las diferencias de las proporciones muéstrales
se distribuyen normalmente y la prueba es bilateral, entonces, según la
tabla el valor de z es:. Por lo tanto, el criterio de decisión será el
siguiente: “Si el valor de Z calculado es mayor que +1.96 ó menor que –
1.96, se rechaza la hipótesis nula de que la proporción es idéntica en
ambas ciudades.


4) Cálculo del estadístico sobre el cual se basará la decisión: n
1
=500, p
1
=0.596,
n2=300, p2 =0.50. Según la fórmula 6.14 de la página 174 en la distribución en el
muestreo de la diferencia de proporciones, el correspondiente valor de z será:

5) Tomar la decisión: Como el valor de Z calculado (+2.65) se encuentra en la
zona de rechazo, entonces, con un nivel de significación del 5%, debemos
rechazar la hipótesis nula de que las proporciones en ambas ciudades son
iguales.

24. ✓ Se sabe que el contenido en gramos de un producto fabricado por una compañía,
no reúne las especificaciones si la varianza de un lote de producción se aleja
demasiado hacia arriba o hacia abajo de 6.5. Comprobar si un gran lote de
producción reúne las especificaciones, si una muestra aleatoria de 20 unidades
extraída aleatoriamente de dicho lote arrojó una varianza de 7.3. Utilizar un nivel
de significación del 5%. Se sabe que el contenido del producto se distribuye
normalmente.

Solución

1) Hipótesis nula e hipótesis alternativa: La
prueba es bilateral, puesto que el problema es claro en el sentido de que un
valor diferente a 6.5 no reúne las especificaciones.

2) Nivel de significación:

3) Criterio de decisión: Como la población se distribuye normalmente y la
prueba es bilateral, entonces, según las tabla para 19 grados de libertad el
valor de y el valor de . Por lo tanto, el
criterio de decisión será el siguiente: “Si el valor de calculado es menor
que o mayor que 32.8523, se rechaza la hipótesis nula de que la varianza
sigue siendo de 6.5, con un nivel de significación del 5%”.


4) Cálculo del estadístico sobre el cual se basará la decisión: n=20, S
2
=7.3.
Según la fórmula 6.15 de la página 175 tenemos:

5) Tomar la decisión: Como el valor de calculado(21.34) se encuentra en la
zona de aceptación, entonces, con un nivel de significación del 5% se acepta la

25. hipótesis nula de que la variabilidad en el contenido sigue siendo la misma, es
decir

Prueba de Hipótesis para la Media
El promedio aritmético poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto,
frecuentemente se desea probar si dicho promedio ha permanecido igual, ha
aumentado o ha disminuido. A través de la prueba de hipótesis se determina si la
media poblacional es significativamente mayor o menor que algún valor supuesto.
Existen tres (3) casos para realizar este tipo de hipótesis:
Caso I = Población Normal con ??????
2
conocida
Caso II = Pruebas con muestras grandes (n>30)
Caso III = Distribución poblacional Normal (n<30)

Caso I
El estadístico a utilizar es el siguiente:
??????=
??????−??????
0
??????√&#3627408475;⁄

La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: ??????=??????
0
Valor del estadístico de prueba: ??????=
&#3627408459;−??????0
??????√??????⁄

Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: ??????>??????
0 ??????≥??????
??????
??????
??????: ??????<??????
0 ??????≤−??????
??????
??????
??????: ??????≠??????
0 Ya sea ??????≥??????
??????/2 o ??????≤−??????
??????/2

26. Caso II
El estadístico a utilizar es el siguiente:
??????=
??????−??????
0
&#3627408454;√&#3627408475;⁄

El diseño de la prueba de hipótesis es el mismo del caso anterior

Caso III
El estadístico a utilizar es el siguiente:
&#3627408455;=
??????−??????
0
&#3627408454;√&#3627408475;⁄

La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: ??????=??????
0
Valor del estadístico de prueba: &#3627408481;=
&#3627408459;−??????0
??????√??????⁄

Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: ??????>??????
0 &#3627408481;≥&#3627408481;
??????,??????−1
??????
??????: ??????<??????
0 &#3627408481;≤−&#3627408481;
??????,??????−1
??????
??????: ??????≠??????
0 Ya sea &#3627408481;≥&#3627408481;
??????/2,??????−1 o &#3627408481;≤−&#3627408481;
??????/2,??????−1


Prueba de Hipótesis para la Diferencia de Medias
Se tienen dos poblaciones y se toman muestras aleatorias independientes de
tamaños n 1 y n 2, se puede comparar el comportamiento de dichas poblaciones a
través de los promedios.
Existes cuatro (4) casos para realizar este tipo de hipótesis:
Caso I = Poblaciones normales con ??????
2
conocidas
Caso II = Pruebas con muestras grandes (&#3627408475;
1 y &#3627408475;
2 > 30) y ??????
2
desconocidas
Caso III = Poblaciones normales con ??????
2
iguales pero desconocidas y (&#3627408475;
1 y &#3627408475;
2 < 30)
Caso IV = Poblaciones normales con ??????
2
diferentes y desconocidas y (&#3627408475;
1 y &#3627408475;
2 < 30)

27. Caso I
La estadística de trabajo es la expresión:
??????
??????1−??????2
=
(??????
1−??????
2)−(??????
1−??????
2)
√
??????
1
2
&#3627408475;
1
+
??????
2
2
&#3627408475;
2


La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: ??????
1−??????
2= ∆
0
Valor del estadístico de prueba: ??????=
&#3627408459;− &#3627408460;− ∆0
√
??????
1
2
??????1
+
??????
2
2
??????2

Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: ∶ ??????
1−??????
2> ∆
0 ??????≥??????
??????
??????
??????: ∶ ??????
1−??????
2< ∆
0 ??????≤−??????
??????
??????
??????: ∶ ??????
1−??????
2≠ ∆
0 Ya sea ??????≥??????
??????/2 o ??????≤−??????
??????/2
Caso II
La estadística de trabajo es igual al caso anterior, solo que se reemplaza la
varianza poblacional por la muestral:
??????
??????1−??????2
=
(??????
1−??????
2)−(??????
1−??????
2)
√
&#3627408454;
1
2
&#3627408475;
1
+
&#3627408454;
2
2
&#3627408475;
2


El diseño de la prueba de hipótesis es el mismo del caso anterior

28. Caso III
La estadística de trabajo es la expresión:
&#3627408455;
??????1−??????2=
[(&#3627408459;1−&#3627408459;2
)−(??????1−??????2)]√??????1+ ??????2−2
√(1??????1⁄+1??????2⁄)(??????1??????
1
2
+??????2??????
2
2
)


La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: ??????
1−??????
2= ∆
0
Valor del estadístico de prueba: &#3627408481;=
[(&#3627408459;1−&#3627408459;2
)−(??????1−??????2)] √??????1+??????2−2
√(
1
??????1
+
1
??????2
)(??????1??????
1
2
+??????2??????
2
2
)

Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: ∶ ??????
1−??????
2> ∆
0 &#3627408481;≥&#3627408481;
??????,??????
??????
??????: ∶ ??????
1−??????
2< ∆
0 &#3627408481;≤−&#3627408481;
??????,??????
??????
??????: ∶ ??????
1−??????
2≠ ∆
0 Ya sea &#3627408481;≥&#3627408481;??????
2
,??????
o &#3627408481;≤−&#3627408481;??????
2
,??????


Caso IV
La estadística de trabajo es la expresión:
&#3627408455;
??????1−??????2=
[(??????
1−??????
2)−(??????
1−??????
2)]
√
&#3627408454;
1
2
&#3627408475;
1−1
+
&#3627408454;
2
2
&#3627408475;
2−1

El diseño de la prueba de hipótesis es el mismo del caso anterior
Prueba de Hipótesis para la Proporción
Cuando se analiza información cualitativa y se está interesado en verificar un
supuesto acerca de la proporción poblacional de elementos que tienen
determinada característica, es útil trabajar con la prueba de hipótesis para la
proporción.

29. El estadístico a utilizar es el siguiente:
??????=
??????−&#3627408477;
0
√&#3627408477;&#3627408478;&#3627408475;⁄

La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: &#3627408477;=&#3627408477;
0
Valor del estadístico de prueba: ??????=
??????−&#3627408477;0
√&#3627408477;0&#3627408478;0??????⁄

Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: &#3627408477;>&#3627408477;
0 ??????≥??????
??????
??????
??????: &#3627408477;<&#3627408477;
0 ??????≤−??????
??????
??????
??????: &#3627408477;≠&#3627408477;
0 Ya sea ??????≥??????
??????/2 o ??????≤−??????
??????/2
Esto es válido si y solo si &#3627408475;&#3627408477;
0≥10 y &#3627408475;&#3627408478;
0≥10
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de Proporciones
Cuando se tienen dos poblaciones y se han tomado muestras aleatorias de
tamaños n 1 y n 2, para observar una característica o cualidad, se puede
comparar el comportamiento de dicha característica en las poblaciones a través de
la diferencia de proporciones.
El estadístico a utilizar es el siguiente:
??????=
&#3627408477;
1−&#3627408477;
2
√&#3627408477;&#3627408478;(
1
&#3627408474;
+
1
&#3627408475;
)

La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: &#3627408477;
1−&#3627408477;
2=0
Valor del estadístico de prueba:
??????=
&#3627408477;
1−&#3627408477;
2
√&#3627408477;&#3627408478;(
1
&#3627408474;
+
1
&#3627408475;
)

30. Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: &#3627408477;
1−&#3627408477;
2>0 ??????≥??????
??????
??????
??????: &#3627408477;
1−&#3627408477;
2<0 ??????≤−??????
??????
??????
??????: &#3627408477;
1−&#3627408477;
2≠0 Ya sea ??????≥??????
??????/2 o ??????≤−??????
??????/2

Prueba de Hipótesis para la Varianza
Es frecuente que se desee comprobar si la variación o dispersión de una variable
ha tenido alguna modificación, lo cual se hace con la prueba de hipótesis para la
varianza.
El estadístico a utilizar el siguiente:
??????
??????−1
2
=
(&#3627408475;−1)&#3627408454;
2
??????
2

La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: ??????
??????−1
2
=0
Valor del estadístico de prueba:
??????
??????−1
2
=
(&#3627408475;−1)&#3627408454;
2
??????
2



Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????: ??????
2
>0 ??????
2
≥??????
2

??????
??????: ??????
2
<0 ??????
2
≤??????
2

??????
??????: ??????
2
≠0 Ya sea ??????
2
≥??????
??????/2 o ??????
2
≤??????
1−??????/2

31. Prueba de Hipótesis para el Cociente de Varianza
Si de dos poblaciones con distribución normal se seleccionan dos muestras
aleatorias independientes de tamaños n 1 y n2, se puede comparar la
homogeneidad o variabilidad de dichas poblaciones a través de una prueba de
hipótesis para el cociente de varianzas.
La estadística de trabajo es la expresión:
??????
(??????1−1;??????2−1)=
&#3627408475;
1(&#3627408475;
2−1)&#3627408480;
1
2
??????
2
2
&#3627408475;
2(&#3627408475;
1−1)&#3627408480;
2
2
??????
1
2

La prueba de hipótesis seria:
Hipótesis nula: ??????
0: ??????
(??????1−1;??????2−1)=0
Valor del estadístico de prueba:
??????
(??????1−1;??????2−1)=
&#3627408475;
1(&#3627408475;
2−1)&#3627408480;
1
2
??????
2
2
&#3627408475;
2(&#3627408475;
1−1)&#3627408480;
2
2
??????
1
2


Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba
??????
??????:
??????
1
2
??????
2
2⁄>0 ??????
2
≥??????
2

??????
??????:
??????
1
2
??????
2
2⁄<0 ??????
2
≤??????
2

??????
??????:
??????
1
2
??????
2
2⁄≠0 Ya sea ??????
2
≥??????
??????/2 o ??????
2
≤??????
1−??????/2




BIBLIOGRAFIA

32. WALPOLE, Ronald E. Probabilidad y estadística para ingenieros. México:
Interamericana s.a. 1987. 783 p
HUGO GÓMEZ, Giraldo. Estadística. Colombia: Mayo 2009, Pág. 214

CANAVOS, C George. Probabilidad y estadística para ingenieros. México: Mc
Graw Hill. 1.992. 651 p.
LAKATOS CONTRERAS, Eduardo. Universidad Católica Andrés Bello, prueba de
hipótesis. Venezuela.