Trabajo de matemáticas Conjunto e Intervalos

Matemáticas

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO - ESTADO - LARA

NOMBRE: Anderson González
C.I: 27.617.041
U.C: MATEMATICA
PNF. Entrenamiento Deportivo
Barquisimeto, febrero del 2023

2. Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están
caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto
este bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario
esta o no en el.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos
los elementos de los que consta entre llaves, A= .{1,2,3,4,5.} , o
implícita dando una o varias características que determinan si un
elemento dado esta o no en el conjunto.
A= [números naturales del 1 al 5].
Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan
especificados como una lista, por tanto A=.{3,1,2,5,4.} . En una
definición explicita no se pueden repetir elementos, así que .{
1,1,2,3,4,5,} seria una manera incorrecta de expresar el conjunto A.
Dado conjunto A, decimos que el elemento a pertenece a A, y lo
denotamos a ∈ A, si a es un elemento del conjunto A.
Muchos símbolos matemáticos son reversibles, por ejemplo, A ∈ a
significa lo mismo que a ∈ A. También muchos son negables, así a ∉
A significa que a no pertenece a A. Por ejemplo si A=-{1, 2, 3, 4,5.}
entonces 1 ∈ A pero 6 ∉ A. Otra manera implícita de expresar este
conjunto A es la siguiente: se lee del siguiente modo :¨A es el
DEFINICION DE CONJUNTOS

3. conjunto formado por los elementos n tales que N es mayor o igual
que 1 y N es menor o igual que 5 .
Dos conjuntos A y B son iguales A = B cuando poseen los mismos
elementos, es decir, cuando x ∈ A= x ∈ B .
Deducimos que dos conjuntos A Y B son distintos A ≠ B si bien
existe x ∈ A tal que x ∉ B o bien existe x ∈ B tal que x ∉ A. En notación
matemática: A≠B.

EL CONJUNTO VACIO
Es el que carece de elementos es decir Ø =.{ }, o bien x∉ Ø .
un conjunto unitario si contiene un único elemento, como por ejemplo
{0},{1},{a}, {N},….
¡OJO! X ∈ {X}, pero x≠ {x}, de hecho como demuestra la paradoja de
Rusell, es imposible que un conjunto pertenezca a si mismo.
Dados dos conjuntos A y B, decimos que A esta contenido o incluido
en B o que A es un subconjunto de B, si todo elemento de A
pertenece a B , es decir x ∈ A=x∈B.

4. En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos definir a
un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción
y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los
objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan
una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les
llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a
sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los
elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves
corchetes o paréntesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por
ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de
la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas
combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o
baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a
baloncesto. Entre otros.
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las
operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la
intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es
el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de
la intersección y del producto cartesiano. El conjunto universal es el
OPERACIONES CON CONJUNTOS

5. elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la
unión.
Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y
complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de
Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.
4

Por lo tanto vamos a ver las distintas operaciones que hay en los
conjuntos:

UNION
Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A ∪ B
El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa.
Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos
o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una
nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este
correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un
elemento es repetido, forma parte de una vez solamente; esto difiere
del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la
suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces
como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el
conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes
al conjunto A o al conjunto B.
Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo
si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B.

6. Ejemplos
En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha
se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré
también algunos ejemplos prácticos:
1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el
conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3}∪{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de
personas que juegan al baloncesto serían las personas que
juegan a fútbol o baloncesto.

INTERSECCION
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa.
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el
conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están
en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y
sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B a la vez,
por lo tanto .

DIFERENCIA
El símbolo de esta operación es:

7. La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B,
también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto,
la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos
los elementos que están en A, pero no en B.
También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario
de B con respecto a A.

COMPLEMENTO
El símbolo de esta operación es: A
∁
, o también se suele representar
con el símbolo A
Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran
todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con
respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A.

DIFERENCIA SIMETRICA
El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual
posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se
encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no
tiene
1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que
juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a
baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y
sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.

8. Los números reales son todos números que están representados
como puntos en la recta real.
Este conjunto está formado por la unión de los conjuntos de números
racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
CARACTERISTICAS DE NUMEROS REALES
INFINITUD
El conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita de
elementos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del
negativo.
ORDEN
En la recta real el orden de los números se conoce por su posición
en la recta, mientras más a la derecha está un número, es más
grande, en contraste, mientras más la izquierda es menor. Si tomamos
dos números reales distintos cualesquiera que llamamos A y B,
entonces sucede una de dos posibilidades: A < B, en otras
palabras, B esta a la derecha de A y por lo tanto es mayor, o B está a
la izquierda de A, de forma que es menor, o sea B En consecuencia,
podemos ordenar a los números reales.
NUMEROS REALES

9. INTEGRAL
La característica de integridad de los números reales quiere decir
que no hay espacios vacíos en este conjunto de números.
Matemáticamente, esto se formula como que cada conjunto tiene un
límite superior, y tiene un límite más pequeño.



EXPANSION DECIMAL
Cada número real se puede ser expresado como un decimal cuya
expansión decimal puede ser finita o infinita. Los números irracionales
tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el
número pi π es aproximadamente 3,14159265358979..., mientras que
los racionales tienen expansiones finitas (osea que se terminan) como
por ejemplo 0,25 o bien, infinitas pero periódicas (es decir que se
repiten) como 3,333..

10. La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una
proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por
desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada
una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con
diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto
con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de
la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos
expresan valores diferentes.


SIGNOS DE DESIGUALDAD
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las
desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
DESIGUALDADES

11. Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De
modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa
que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como
a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a
es mayor o igual a b.

Es también importante conocer que la expresión de desigualdad
matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de
modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo
tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las
expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las
desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
EJEMPLO:
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se
encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que
“cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”.
Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La

12. resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad
se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
PROPIEDADES
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus
propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo
valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) >
 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor,
no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el
mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2
-3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la
desigualdad sí que cambia de sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor
negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3 (4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor
negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

13. Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas,
conectadas a través de los signos: mayor que >, menor que <, menor
o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, en la que figuran uno o
varios valores desconocidos llamadas incógnitas, además de ciertos
datos conocidos.
La desigualdad existente entre las dos expresiones algebraicas sólo
se verifica, o más bien, solo es verdadera para determinados valores
de la incógnita.
La solución de una inecuación formulada, significa determinar
mediante ciertos procedimientos, el valor que la satisfaga.
CLASIFICACION DE INECUACIONES
Existen diferentes tipos de inecuaciones. Estas, se pueden clasificar
de acuerdo al número de incógnitas y de acuerdo al grado de ellas.
Para saber el grado de una inecuación, basta con identificar el mayor
ellos. Así, tenemos los tipos siguientes:
 De una incógnita.
 De dos incógnitas.
 De tres incógnitas.
 De n incógnitas.
INECUACIONES

14.  De primer grado.
 De segundo grado.
 De tercer grado.
 De cuarto grado.
 Inecuaciones de grado N.
EJEMPLO
Para ver a fondo el proceso de resolución de una inecuación, vamos
a plantear la siguiente:
15x + 18 < 12x -24
Para resolver esta inecuación debemos despejar la incógnita. Para
ello, en primer lugar, se procede a agrupar los términos semejantes.
Básicamente, esta parte consiste en pasar todas las incógnitas al lado
izquierdo y todas las constantes al lado derecho. Así tenemos.
15x – 12x < -24 – 18
Sumando y restando estos términos semejantes. Tenemos.
3x < – 42
Finalmente, se procede ahora a despegar la incógnita y determinar su
valor.
x < – 42/3
x < – 14

15. De esta forma todos los valores menores que -14 satisfacen
correctamente la inecuación formulada.


La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de
las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá
de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se
conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar
si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto
de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en
definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo:
en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre
dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.






DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO

16. La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos
a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a |
< b , entonces a < b Y a > - b





DESIGUALDAD CON VALOR ABSOLUTO

17. Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una
expresión racional.
Cuando resolvamos una desigualdad racional, utilizaremos muchas
de las técnicas que empleamos para resolver desigualdades lineales.
Especialmente debemos recordar que cuando multiplicamos o
dividimos por un número negativo, el signo de desigualdad debe
revertir.
Otra diferencia es que debemos considerar cuidadosamente qué
valor podría hacer indefinida la expresión racional y por lo tanto debe
ser excluida.
Cuando resolvemos una ecuación y el resultado es x=3, sabemos
que hay una solución, que es 3.
Cuando resolvemos una desigualdad y el resultado es x>3, sabemos
que hay muchas soluciones. Graficamos el resultado para ayudar
mejor a mostrar todas las soluciones, y comenzamos con 3. Tres se
convierten en un punto crítico y luego decidimos si sombrear a la
izquierda o a la derecha del mismo. Los números a la derecha de 3
son mayores que 3, por lo que sombreamos a la derecha.
DESIGUALDADES RACIONALES

18. Para resolver una desigualdad racional, primero debemos escribir la
desigualdad con un solo cociente a la izquierda y 0 a la derecha.
A continuación determinamos los puntos críticos a utilizar para dividir
la línea numérica en intervalos. Un punto crítico es un número que
hace que la expresión racional sea cero o indefinida.
A continuación evaluaremos los factores del numerador y
denominador, y encontraremos el cociente en cada intervalo. Esto
identificará el intervalo, o intervalos, que contiene todas las soluciones
de la desigualdad racional.
Escribimos la solución en notación de intervalos teniendo cuidado de
determinar si los puntos finales están incluidos.
EJEMPLO
Resolver y escribir la solución en notación de intervalos: \dfrac{x-
1}{x+3} \geq 0
SOLUCION
Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero
a la derecha.
Nuestra desigualdad está en esta forma. \dfrac{x-1}{x+3} \geq 0
\nonumber
Paso 2. Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión
racional será cero o indefinida.

19. La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero.
Desde x-1=0 cuándo x=1, entonces 1 es un punto crítico.
La expresión racional quedará indefinida cuando el denominador sea
cero. Desde x+3=0 cuándo x=-3, entonces -3 es un punto crítico.
Los puntos críticos son 1 y -3.
Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en
intervalos.
La línea numérica se divide en tres intervalos:
(-\infty,-3) \quad (-3,1) \quad (1,\infty) \nonumber
Paso 4. Pruebe un valor en cada intervalo. Encima de la línea
numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional
en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del
cociente.
Para encontrar el signo de cada factor en un intervalo, elegimos
cualquier punto de ese intervalo y lo usamos como punto de prueba.
Cualquier punto en el intervalo dará a la expresión el mismo signo, por
lo que podemos elegir cualquier punto en el intervalo.
\text { Interval }(-\infty,-3) \nonumber
El número -4 está en el intervalo (-\infty,-3). Prueba x=-4 en la
expresión en el numerador y el denominador.
El numerador:

20. \begin{array}{l} {x-1} \\ {-4-1} \\ {-5} \\ {\text {Negative}} \end{array}
\nonumber
El denominador:
\begin{array}{l} {x+3} \\ {-4+3} \\ {-1} \\ {\text {Negative}} \end{array}
\nonumber
Por encima de la línea numérica, marque el factor x-1 negativo y
marque el factor x+3 negativo.
Dado que un negativo dividido por un negativo es positivo, marque el
cociente positivo en el intervalo (-\infty,-3).
\text {Interval } (-3,1) \nonumber
El número 0 está en el intervalo (-3,1). Prueba x=0.
El numerador:
\begin{array}{l} {x-1} \\ {0-1} \\ {-1} \\ {\text {Negative}} \end{array}
\nonumber
El denominador:
\begin{array}{l} {x+3} \\ {0+3} \\ {3} \\ {\text {Positive}} \end{array}
\nonumber
Por encima de la línea numérica, marque el factor x-1 negativo y
marque x+3 positivo.

21. Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente
se marca negativo en el intervalo (-3,1).
\text {Interval }(1, \infty) \nonumber
El número 2 está en el intervalo (1, \infty). Prueba x=2.
El numerador:
\begin{array}{l} {x-1} \\ {2-1} \\ {1} \\ {\text {Positive}} \end{array}
\nonumber


El denominador:
\begin{array}{l} {x+3} \\ {2+3} \\ {5} \\ {\text {Positive}} \end{array}
\nonumber
Por encima de la línea numérica, marque el factor x-1 positivo y
marque x+3 positivo.
Dado que un positivo dividido por un positivo es positivo, marque el
cociente positivo en el intervalo (1, \infty).
Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta.
Escribe la solución en notación de intervalos.
Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los
números en los intervalos (-\infty,-3) y (1, \infty) son soluciones.

22. Pero ¿qué pasa con los puntos críticos?
El punto crítico x=-3 hace que el denominador sea 0, por lo que debe
excluirse de la solución y lo marcamos con un paréntesis.
El punto crítico x=1 hace que toda la expresión racional sea 0. La
desigualdad requiere que la expresión racional sea mayor o igual a.
Entonces, 1 es parte de la solución y lo marcaremos con un soporte.

23. OPERACIONES DE CONJUNTOS

EJERCICIOS

26. NUMEROS REALES

29. DESIGUALDADES

30. INECUACIONES

32. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

33. DESIGUALDADES RACIONALES

35. BIBLIOGRAFIA
https://asignatura.us.es/algbas/groups/
https://es.m.wikipedia.org/wiki/%c3%81lgebra-de-conjuntos.
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html.
https://definicion.de/valor-absoluto/.
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/ab
solute-value-inequalities.