tRABAJO GRUPAL TEOREMA DE CHEBYSHEV.pptx

DESARROLLO Y APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CHEBYSHEV

1. Teorema de Chebyshev Cátedra: Teoría de Probabilidades Grupo 1 1 : Kevin Chamorro Daniela Salazar Allan Rosado Marco Gavilanes

2. Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1-1/ de datos de una muestra, y estos deben caer dentro de k, que es el valor de las desviaciones estándar de la media. En cualquier ejercicio o prueba, el k es un número real positivo mayor que uno.  

3. Cuando sucede una distribución normal, se sabe que al menos un 68% de las observaciones estará a más y menos una desviación estándar de la media, mientras que por otro lado, el 95.44% de tales observaciones se encontrará a más y menos dos desviaciones estándares de esta, y el 99.7% aproximadamente se hallarán a más y menos tres desviaciones con respecto a la media. Esto se conoce por la regla empírica.

4. Características importantes La desigualdad también se puede emplear con la frase “datos de una muestra” cuando se encuentra en una distribución de probabilidad, lo anterior ocurre porque la desigualdad de Chebyshev es el resultado de la probabilidad, que luego se aplica en la estadística. Se hace importante aclarar que esta desigualdad o Teorema de Chebyshev es un resultado que se ha aclarado y demostrado matemáticamente, por lo que cada una de sus aplicaciones es completamente fidedignas, así como los resultados. No es como la relación empírica entre la media y el modo, o la regla general que conecta el rango y la desviación estándar.

5. EJERCICIOS

7. Teorema de Chebyshev

8. Demostración

9. Teorema de Chebyshev EJEMPLOS Y APLICACIONES

10. EJEMPLO 1 Se toma una muestra de tamaño n=50 personas, las cuales tienen un sueldo promedio X =28 dólares por hora y desviación estándar s=3 dólares. Sin saber nada más sobre la muestra : ¿ Q ué se puede decir sobre el número de personas que tienen sueldo por hora en el intervalo ($22,$34)? ¿Qué se puede decir sobre el número de personas que se encuentran fuera de ese intervalo de sueldo por hora?

11. SOLUCION El intervalo de personas que tienen un sueldo por hora entre ( $ 22 y $ 34) dólares es el que se forma sumando y restando dos desviaciones estándar de la media. Por el Teorema de Chebyshev, al menos 3/4 de los datos están dentro de este intervalo.

12. SOLUCION El intervalo de sueldos por hora que están entre (22 y 34) dólares es el que se forma sumando y restando dos desviaciones estándar de la media. Por el Teorema de Chebyshev, al menos 3/4 de los datos están dentro de este intervalo. Dado que 3/4 de 50 es 37,5, esto significa que hay al menos 37,5 observaciones que estan en el intervalo es decir 38 sueldos.

13. SOLUCION Si al menos 3/4 de los sueldos por hora están en el intervalo, como máximo 1/4 de ellos están fuera de él. Dado que 1/4 de 50 es 12,5, como máximo 12,5 sueldos por hora están fuera del intervalo. Es decir 1 2 sueldos se encuentran fuera del intervalo entre $22 y $34.

14. Ejercicio 2 Actualmente el precio promedio de un carro es de $36.000, con una desviación estándar de $4.100,00. ¿Cuál es el mínimo porcentaje de carros que se debería vender entre los $22.000 y $50.000.

15. Solución 36000+k(4100)=50000 k(4100)= 50000-36000 k(4100) =14000 K=3,41 = = = 1-0,09= 0,91=91%  

16. EJERCICIO 3 : Una variable aleatoria X tiene una media y una varianza . Utilice el teorema de Chebyshev para calcular. P(|X − 10| ≥ 3); P(|X − 10| < 3); P(5 < X < 15); El valor de la constante c tal que P(|X − 10| ≥ c) ≤ 0.04.  

17. SOLUCIÓN: a) P(|X −10| ≥3)  1- P(|X − 10| < 3) b) P(|X −10| < 3)  P(-3< x-10 < 3)  P(10-3< x-10+10 < 3+10)  P(10-3< x < 10+3) 3= P(|X −10| < 3) P(7 < x < 13)   P(7 < x < 13) P(7 < x < 13)

18. SOLUCIÓN c) P(5 < X < 15)   =84% d) P(|X −10| ≥c) ≤ 0.04   P(|X −10| <c) ≥ 0.96  

19. SOLUCIÓN Una moneda no balanceada es lanzada 100 veces. Mostrar que la probabilidad del número de caras esté entre 30 y 70 es mayor que 0,93 Solución: Sea X el número de caras. n = 100  

20. EJERCICIO 4 :