TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
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Dec 10, 2013
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25
26
27
28
About This Presentation
MUY BUENO
Slide Content
FÍSICA MODERNA
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
1. Transformación de Galileo y principio clásico de la relatividad
1.1. Transformación de Galileo
En la figura se muestran dos observadores
de referencia inerciales
a lo largo del eje OX
velocidad V. P es un punto material que se mueve, a lo largo de
velocidades UNINU
V
ENINRNE
V
quedan determinadas por sus respectivas coordenadas
Queremos comparar
los dos observadores. De la figura se desprende que:
Pero si realizamos el experimento de modo que
mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y
ponemos el reloj a cero
a E, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
Transformación de Galileo y principio clásico de la relatividad
Transformación de Galileo
En la figura se muestran dos observadores ENINE
V
situados en dos sistemas
inerciales diferentes, de modo que E
V
se mueve respecto a
OX común con un movimiento rectilíneo uniforme de
es un punto material que se mueve, a lo largo de
respecto a ENINRNE
V
. Las posiciones de P respecto a
quedan determinadas por sus respectivas coordenadas
Queremos comparar la descripción del movimiento del punto P que hacen
los dos observadores. De la figura se desprende que:
S D EE
V
S
V
Pero si realizamos el experimento de modo que ENINE
V
coincidan en el
mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y
ponemos el reloj a cero
g td, puesto que la velocidad o
, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 1
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
Transformación de Galileo y principio clásico de la relatividad
situados en dos sistemas
se mueve respecto a O
común con un movimiento rectilíneo uniforme de
es un punto material que se mueve, a lo largo de OX, con
. Las posiciones de P respecto a
quedan determinadas por sus respectivas coordenadas SNINS
V
.
la descripción del movimiento del punto P que hacen
coincidan en el
mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y
nbvna
V
respecto
, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que:
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
1. Transformación de Galileo y principio clásico de la relatividad
1.1. Transformación de Galileo
En la figura se muestran dos observadores
de referencia inerciales
a lo largo del eje OX
velocidad V. P es un punto material que se mueve, a lo largo de
velocidades UNINU
V
ENINRNE
V
quedan determinadas por sus respectivas coordenadas
Queremos comparar
los dos observadores. De la figura se desprende que:
Pero si realizamos el experimento de modo que
mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y
ponemos el reloj a cero
a E, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
Transformación de Galileo y principio clásico de la relatividad
Transformación de Galileo
En la figura se muestran dos observadores ENINE
V
situados en dos sistemas
inerciales diferentes, de modo que E
V
se mueve respecto a
OX común con un movimiento rectilíneo uniforme de
es un punto material que se mueve, a lo largo de
respecto a ENINRNE
V
. Las posiciones de P respecto a
quedan determinadas por sus respectivas coordenadas
Queremos comparar la descripción del movimiento del punto P que hacen
los dos observadores. De la figura se desprende que:
S D EE
V
S
V
Pero si realizamos el experimento de modo que ENINE
V
coincidan en el
mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y
ponemos el reloj a cero
g td, puesto que la velocidad o
, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 1
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
Transformación de Galileo y principio clásico de la relatividad
situados en dos sistemas
se mueve respecto a O
común con un movimiento rectilíneo uniforme de
es un punto material que se mueve, a lo largo de OX, con
. Las posiciones de P respecto a
quedan determinadas por sus respectivas coordenadas SNINS
V
.
la descripción del movimiento del punto P que hacen
coincidan en el
mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y
nbvna
V
respecto
, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que:
FÍSICA MODERNA
EE
V g oen
En el caso general de que
los ejes (ver la figura), la ecuación (1.1) habría que escribirla
vectorialmente:
Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos
considerando que E
E
V
c
V
j
V
.
V
no lleva movimiento de rotación alguno respecto a
En el caso particular, pero importante, de que
eje OX, obtenemos que:
y, al expresar la ecuación (1.2) en sus componentes
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
p ni g i
V
r oen pni
V
g i q oennnnnnnnnnnnnnnnnN
En el caso general de que ,n na
V
no se muevan en la dirección de uno de
los ejes (ver la figura), la ecuación (1.1) habría que escribirla
QD
V
g QD q o:DONNNNNNNNNNNPzxd
Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos
E
V
se mueve con velocidad constante respecto a
no lleva movimiento de rotación alguno respecto a
En el caso particular, pero importante, de que la velocidad o:D
eje OX, obtenemos que:
o
yg oú o
!g tú o
"D F y, al expresar la ecuación (1.2) en sus componentes tendríamos
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 2
NNPzPd
no se muevan en la dirección de uno de
los ejes (ver la figura), la ecuación (1.1) habría que escribirla
Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos
se mueve con velocidad constante respecto a E y que
no lleva movimiento de rotación alguno respecto a acj.z
oD sea paralela al
tendríamos:
EE
V g oen
En el caso general de que
los ejes (ver la figura), la ecuación (1.1) habría que escribirla
vectorialmente:
Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos
considerando que E
E
V
c
V
j
V
.
V
no lleva movimiento de rotación alguno respecto a
En el caso particular, pero importante, de que
eje OX, obtenemos que:
y, al expresar la ecuación (1.2) en sus componentes
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
p ni g i
V
r oen pni
V
g i q oennnnnnnnnnnnnnnnnN
En el caso general de que ,n na
V
no se muevan en la dirección de uno de
los ejes (ver la figura), la ecuación (1.1) habría que escribirla
QD
V
g QD q o:DONNNNNNNNNNNPzxd
Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos
E
V
se mueve con velocidad constante respecto a
no lleva movimiento de rotación alguno respecto a
En el caso particular, pero importante, de que la velocidad o:D
eje OX, obtenemos que:
o
yg oú o
!g tú o
"D F y, al expresar la ecuación (1.2) en sus componentes tendríamos
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 2
NNPzPd
no se muevan en la dirección de uno de
los ejes (ver la figura), la ecuación (1.1) habría que escribirla
Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos
se mueve con velocidad constante respecto a E y que
no lleva movimiento de rotación alguno respecto a acj.z
oD sea paralela al
tendríamos:
FÍSICA MODERNA
S
V
D
El conjunto de ecuaciones (1.3) se denominan
transformación Galileana o, simplemente, transformación de Galileo.
Hemos añadido
V
tiempo transcurre igual para ambos observadores; es
medidas del tiempo son independientes
observador. Esto es algo
pero que es sólo una suposición
experimental.
Consideremos nuevamente el movimiento de
OX común, como se ve en la figura
La velocidad de P respecto a O se define como
respecto a E
V
como
tiempo, notando que V es constante, tenemos:
bi
V
be
D
b
be
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Di q oeú
V
D I #
V
D # O
V
D ONNNNNNNNNNNNPzhd
El conjunto de ecuaciones (1.3) se denominan ecuaciones de la
transformación Galileana o, simplemente, transformación de Galileo.
V
D O para enfatizar que estamos suponiendo que el
tiempo transcurre igual para ambos observadores; es
tiempo son independientes del movimiento de cada
observador. Esto es algo que está muy de acuerdo con el sentido común,
pero que es sólo una suposición que puede ser desechada de forma
Consideremos nuevamente el movimiento de E
V
y de , a lo largo del eje
OX común, como se ve en la figura.
La velocidad de P respecto a O se define como U Dbi
como
V
g bi
V
be%. Derivando la ecuación (1.3) respecto al
tiempo, notando que V es constante, tenemos:
i q oedD
bi
be
q o
be
be
N&NU
V
g E q onnnnnnnnnnnN
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 3
d
ecuaciones de la
transformación Galileana o, simplemente, transformación de Galileo.
para enfatizar que estamos suponiendo que el
tiempo transcurre igual para ambos observadores; es decir, que las
del movimiento de cada
que está muy de acuerdo con el sentido común,
que puede ser desechada de forma
a lo largo del eje
bibe% y la de P
. Derivando la ecuación (1.3) respecto al
NnsPz1d
S
V
D
El conjunto de ecuaciones (1.3) se denominan
transformación Galileana o, simplemente, transformación de Galileo.
Hemos añadido
V
tiempo transcurre igual para ambos observadores; es
medidas del tiempo son independientes
observador. Esto es algo
pero que es sólo una suposición
experimental.
Consideremos nuevamente el movimiento de
OX común, como se ve en la figura
La velocidad de P respecto a O se define como
respecto a E
V
como
tiempo, notando que V es constante, tenemos:
bi
V
be
D
b
be
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Di q oeú
V
D I #
V
D # O
V
D ONNNNNNNNNNNNPzhd
El conjunto de ecuaciones (1.3) se denominan ecuaciones de la
transformación Galileana o, simplemente, transformación de Galileo.
V
D O para enfatizar que estamos suponiendo que el
tiempo transcurre igual para ambos observadores; es
tiempo son independientes del movimiento de cada
observador. Esto es algo que está muy de acuerdo con el sentido común,
pero que es sólo una suposición que puede ser desechada de forma
Consideremos nuevamente el movimiento de E
V
y de , a lo largo del eje
OX común, como se ve en la figura.
La velocidad de P respecto a O se define como U Dbi
como
V
g bi
V
be%. Derivando la ecuación (1.3) respecto al
tiempo, notando que V es constante, tenemos:
i q oedD
bi
be
q o
be
be
N&NU
V
g E q onnnnnnnnnnnN
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Página 3
d
ecuaciones de la
transformación Galileana o, simplemente, transformación de Galileo.
para enfatizar que estamos suponiendo que el
tiempo transcurre igual para ambos observadores; es decir, que las
del movimiento de cada
que está muy de acuerdo con el sentido común,
que puede ser desechada de forma
a lo largo del eje
bibe% y la de P
. Derivando la ecuación (1.3) respecto al
NnsPz1d
FÍSICA MODERNA
que relación las velocidades de los dos observadores. En el caso general
de que ,n na
V
se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuación (1.4) habría
que escribirla en su forma vectorial, es decir:
1.2. Principio clásico de la Relatividad
Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la
Mecánica son válidas para un observador inercial, también lo son para
todos los demás
confirmarlo únicamente
lineal y para la definición de
se derivan de esas dos.
Consideremos dos partículas de masas
del eje OX de un sistema de coordenadas, y sean
medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El
momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad,
esto es:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
que relación las velocidades de los dos observadores. En el caso general
se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuación (1.4) habría
que escribirla en su forma vectorial, es decir:
ED
V
g ED q o
:DnnnnnnnnnnsPzOd
Principio clásico de la Relatividad
Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la
lidas para un observador inercial, también lo son para
observadores inerciales. En realidad es necesario
confirmarlo únicamente para el principio de conservación del momento
definición de fuerza, ya que las demás leyes de l
se derivan de esas dos.
Consideremos dos partículas de masas )
*NIN)
+ que se mueven a lo largo
del eje OX de un sistema de coordenadas, y sean
*NINU
+ sus velocidades
medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El
momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad,
, D )U
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 4
que relación las velocidades de los dos observadores. En el caso general
se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuación (1.4) habría
Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la
lidas para un observador inercial, también lo son para
observadores inerciales. En realidad es necesario
principio de conservación del momento
, ya que las demás leyes de la Mecánica
que se mueven a lo largo
sus velocidades
medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El
momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad,
que relación las velocidades de los dos observadores. En el caso general
de que ,n na
V
se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuación (1.4) habría
que escribirla en su forma vectorial, es decir:
1.2. Principio clásico de la Relatividad
Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la
Mecánica son válidas para un observador inercial, también lo son para
todos los demás
confirmarlo únicamente
lineal y para la definición de
se derivan de esas dos.
Consideremos dos partículas de masas
del eje OX de un sistema de coordenadas, y sean
medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El
momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad,
esto es:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
que relación las velocidades de los dos observadores. En el caso general
se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuación (1.4) habría
que escribirla en su forma vectorial, es decir:
ED
V
g ED q o
:DnnnnnnnnnnsPzOd
Principio clásico de la Relatividad
Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la
lidas para un observador inercial, también lo son para
observadores inerciales. En realidad es necesario
confirmarlo únicamente para el principio de conservación del momento
definición de fuerza, ya que las demás leyes de l
se derivan de esas dos.
Consideremos dos partículas de masas )
*NIN)
+ que se mueven a lo largo
del eje OX de un sistema de coordenadas, y sean
*NINU
+ sus velocidades
medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El
momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad,
, D )U
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Página 4
que relación las velocidades de los dos observadores. En el caso general
se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuación (1.4) habría
Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la
lidas para un observador inercial, también lo son para
observadores inerciales. En realidad es necesario
principio de conservación del momento
, ya que las demás leyes de la Mecánica
que se mueven a lo largo
sus velocidades
medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El
momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad,
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 5
Si las fuerzas externas que actúan sobre las partículas se anulan, la ley de
conservación del momento lineal requiere que:
,
* ,
+D )
*
* )
+
+g Hevnnnnnnnnnn1.6d
Para otro observador inercial E
V
que se mueve relativamente a O a lo largo
del eje OX común con velocidad constante V (ver la figura), las velocidades
de )
*NIN)
+, de acuerdo con la ecuación (1,4), son:
*
VD U
*q on p E
*D U
*
Vr onnn nnnE
+
VD U
+q on p E
+D U
+
Vr o
Al sustituir estos valores en la ecuación (1.6) tenemos:
)
*
*
Vr od+ )
+
+
Vr odg Hevn )nX
*
*
V+ )
+
+
Vg Hev q)
*+ )
+do
y como, al igual que las masas, V es constante, llegamos a:
)
*
*
V+ )
+
+
Vg Hev
V
que es una ecuación matemáticamente idéntica a la (1.6) y, por
consiguiente, ambos observadores constatan la conservación del
momento lineal.
Veamos ahora la fuerza medida por los dos observadores. Supongamos
que ENINE
V
, que se mueve respecto a O a lo largo del eje OX común con
velocidad constante V, observan una particula P de masa m que se mueve
en el eje OX con aceleración. Si UNINU
V
son las velocidades de la particula
medidas por ENINE
V
en el instante t, aplicando la ecuación (1.4) tenemos:
FÍSICA MODERNA Página 5
Si las fuerzas externas que actúan sobre las partículas se anulan, la ley de
conservación del momento lineal requiere que:
,
* ,
+D )
*
* )
+
+g Hevnnnnnnnnnn1.6d
Para otro observador inercial E
V
que se mueve relativamente a O a lo largo
del eje OX común con velocidad constante V (ver la figura), las velocidades
de )
*NIN)
+, de acuerdo con la ecuación (1,4), son:
*
VD U
*q on p E
*D U
*
Vr onnn nnnE
+
VD U
+q on p E
+D U
+
Vr o
Al sustituir estos valores en la ecuación (1.6) tenemos:
)
*
*
Vr od+ )
+
+
Vr odg Hevn )nX
*
*
V+ )
+
+
Vg Hev q)
*+ )
+do
y como, al igual que las masas, V es constante, llegamos a:
)
*
*
V+ )
+
+
Vg Hev
V
que es una ecuación matemáticamente idéntica a la (1.6) y, por
consiguiente, ambos observadores constatan la conservación del
momento lineal.
Veamos ahora la fuerza medida por los dos observadores. Supongamos
que ENINE
V
, que se mueve respecto a O a lo largo del eje OX común con
velocidad constante V, observan una particula P de masa m que se mueve
en el eje OX con aceleración. Si UNINU
V
son las velocidades de la particula
medidas por ENINE
V
en el instante t, aplicando la ecuación (1.4) tenemos:
FÍSICA MODERNA
Ahora bien, la aceleración de P
la de P respecto a
respecto al tiempo, notando
bE
be
D
Es decir, ENINE
V
miden la misma aceleración. Puesto que la fuerza se define
como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que:
En vista de que R
observadores inerciales miden la misma fuerza sobre la partícula.
La fuerza y la aceleración tienen el mismo valor en todos
inerciales. Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre
de invariantes de Galileo.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
V
g E q on ) E g E
V
r o
Ahora bien, la aceleración de P respecto a O se define como
la de P respecto a E
V
como R
V
g b E
V
be%. Derivando la ecuación anterior
respecto al tiempo, notando que V es constante, tenemos:
D
b
be
V
r odD
bE
V
be
bo
be
D
bE
V
beN& R D R
V
miden la misma aceleración. Puesto que la fuerza se define
como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que:
/ D
bG
be
D
b
be
) dD )
bE
be
D )R
/
V
D
bG
V
be
D
b
be
)
V
dD )
bE
V
beD )R
V
RD R
V
, concluimos que / D /
V
. Por lo tanto, ambos
inerciales miden la misma fuerza sobre la partícula.
La fuerza y la aceleración tienen el mismo valor en todos
Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre
invariantes de Galileo.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 6
respecto a O se define como f g bE be% y
. Derivando la ecuación anterior
miden la misma aceleración. Puesto que la fuerza se define
como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que:
Por lo tanto, ambos
inerciales miden la misma fuerza sobre la partícula.
La fuerza y la aceleración tienen el mismo valor en todos los sistemas
Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre
Ahora bien, la aceleración de P
la de P respecto a
respecto al tiempo, notando
bE
be
D
Es decir, ENINE
V
miden la misma aceleración. Puesto que la fuerza se define
como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que:
En vista de que R
observadores inerciales miden la misma fuerza sobre la partícula.
La fuerza y la aceleración tienen el mismo valor en todos
inerciales. Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre
de invariantes de Galileo.
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V
g E q on ) E g E
V
r o
Ahora bien, la aceleración de P respecto a O se define como
la de P respecto a E
V
como R
V
g b E
V
be%. Derivando la ecuación anterior
respecto al tiempo, notando que V es constante, tenemos:
D
b
be
V
r odD
bE
V
be
bo
be
D
bE
V
beN& R D R
V
miden la misma aceleración. Puesto que la fuerza se define
como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que:
/ D
bG
be
D
b
be
) dD )
bE
be
D )R
/
V
D
bG
V
be
D
b
be
)
V
dD )
bE
V
beD )R
V
RD R
V
, concluimos que / D /
V
. Por lo tanto, ambos
inerciales miden la misma fuerza sobre la partícula.
La fuerza y la aceleración tienen el mismo valor en todos
Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre
invariantes de Galileo.
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respecto a O se define como f g bE be% y
. Derivando la ecuación anterior
miden la misma aceleración. Puesto que la fuerza se define
como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que:
Por lo tanto, ambos
inerciales miden la misma fuerza sobre la partícula.
La fuerza y la aceleración tienen el mismo valor en todos los sistemas
Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre
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FÍSICA MODERNA Página 7
El hecho de que todas las leyes de la Mecánica deben ser las mismas para
todos los observadores inerciales constituye el Principio Clásico de la
Relatividad.
2.
Postulados de la relatividad especial y transformación de Lorentz
2.1.
Postulados de la Relatividad Especial
En el siglo XIX los científicos creían en la existencia de un medio
denominad éter que se definió como una sustancia inmaterial y fija que se
extiende por todo el Universo y que puede fluir a través de todos los
materiales que se mueven en su seno. Se pensaba que un sistema de
referencia fijo respecto al éter sería el sistema de referencia en reposo
absoluto. Se creía también que el éter era el soporte de propagación de las
ondas luminosas.
Al interpretar a las ondas luminosas como oscilaciones en el éter, se
concluyó que, al igual que ocurre con las ondas mecánicas, la velocidad de
las mismas es constante respecto al éter y, por lo tanto, independiente de
la fuente emisora. La constancia de la velocidad de la luz respecto al éter
debería proporcionar un método para medir movimientos absolutos. En
efecto, la luz es una vibración en el éter, que está en reposo absoluto, y su
velocidad es constante respecto a éste; por lo tanto, la medida de la
velocidad de la luz que haga un observador en movimiento respecto al
éter dependerá sólo de su propio movimiento.
FÍSICA MODERNA Página 7
El hecho de que todas las leyes de la Mecánica deben ser las mismas para
todos los observadores inerciales constituye el Principio Clásico de la
Relatividad.
2.
Postulados de la relatividad especial y transformación de Lorentz
2.1.
Postulados de la Relatividad Especial
En el siglo XIX los científicos creían en la existencia de un medio
denominad éter que se definió como una sustancia inmaterial y fija que se
extiende por todo el Universo y que puede fluir a través de todos los
materiales que se mueven en su seno. Se pensaba que un sistema de
referencia fijo respecto al éter sería el sistema de referencia en reposo
absoluto. Se creía también que el éter era el soporte de propagación de las
ondas luminosas.
Al interpretar a las ondas luminosas como oscilaciones en el éter, se
concluyó que, al igual que ocurre con las ondas mecánicas, la velocidad de
las mismas es constante respecto al éter y, por lo tanto, independiente de
la fuente emisora. La constancia de la velocidad de la luz respecto al éter
debería proporcionar un método para medir movimientos absolutos. En
efecto, la luz es una vibración en el éter, que está en reposo absoluto, y su
velocidad es constante respecto a éste; por lo tanto, la medida de la
velocidad de la luz que haga un observador en movimiento respecto al
éter dependerá sólo de su propio movimiento.
FÍSICA MODERNA
En el año 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la
hipótesis de la cons
realizaron un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra;
es decir, la velocidad de la Tierra respecto al éter (lo que se dio en llamar
viento de éter). El experimento consistía básicamente
de haces de luz moviéndose en la misma dirección pero en sentidos
opuestos.
De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la
Tierra dependería de la dirección y sentido del viento de éter con respecto
al haz.
La figura y la transformación de velocidades de Galileo nos ayudan a
determinar la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo
en la Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados,
respectivamente, a la Tierra y al éter
velocidades de Galileo, tenemos que:
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En el año 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la
hipótesis de la constancia de la velocidad de la luz respecto al éter,
un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra;
la velocidad de la Tierra respecto al éter (lo que se dio en llamar
). El experimento consistía básicamente en medir la velocidad
haces de luz moviéndose en la misma dirección pero en sentidos
De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la
dependería de la dirección y sentido del viento de éter con respecto
figura y la transformación de velocidades de Galileo nos ayudan a
la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo
Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados,
a la Tierra y al éter; de acuerdo con la transformación de
de Galileo, tenemos que:
U D U
V
r o
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Página 8
En el año 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la
tancia de la velocidad de la luz respecto al éter,
un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra;
la velocidad de la Tierra respecto al éter (lo que se dio en llamar
en medir la velocidad
haces de luz moviéndose en la misma dirección pero en sentidos
De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la
dependería de la dirección y sentido del viento de éter con respecto
figura y la transformación de velocidades de Galileo nos ayudan a
la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo
Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados,
; de acuerdo con la transformación de
En el año 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la
hipótesis de la cons
realizaron un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra;
es decir, la velocidad de la Tierra respecto al éter (lo que se dio en llamar
viento de éter). El experimento consistía básicamente
de haces de luz moviéndose en la misma dirección pero en sentidos
opuestos.
De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la
Tierra dependería de la dirección y sentido del viento de éter con respecto
al haz.
La figura y la transformación de velocidades de Galileo nos ayudan a
determinar la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo
en la Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados,
respectivamente, a la Tierra y al éter
velocidades de Galileo, tenemos que:
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En el año 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la
hipótesis de la constancia de la velocidad de la luz respecto al éter,
un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra;
la velocidad de la Tierra respecto al éter (lo que se dio en llamar
). El experimento consistía básicamente en medir la velocidad
haces de luz moviéndose en la misma dirección pero en sentidos
De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la
dependería de la dirección y sentido del viento de éter con respecto
figura y la transformación de velocidades de Galileo nos ayudan a
la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo
Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados,
a la Tierra y al éter; de acuerdo con la transformación de
de Galileo, tenemos que:
U D U
V
r o
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En el año 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la
tancia de la velocidad de la luz respecto al éter,
un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra;
la velocidad de la Tierra respecto al éter (lo que se dio en llamar
en medir la velocidad
haces de luz moviéndose en la misma dirección pero en sentidos
De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la
dependería de la dirección y sentido del viento de éter con respecto
figura y la transformación de velocidades de Galileo nos ayudan a
la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo
Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados,
; de acuerdo con la transformación de
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FÍSICA MODERNA Página 9
donde v representa la velocidad de la luz respecto al observador en Tierra,
V la velocidad del éter respecto a la Tierra y
V
la velocidad de luz respecto
al éter. Puesto que la velocidad de la luz respecto al éter es constante e
igual a c para el haz (1) y -c para el (2) y la velocidad del éter respecto a la
Tierra es
0, deducimos que:
1R#N1dN&NU
*D - U
0NN2NN3
*3D - U
0
1R#N2dN&NU
+g qH r E
0= −H q E
0dN&N3
+3g H q E
0
es decir, que la velocidad de los haces de luz medidas por el observador
deberían ser diferentes, lo que demostraría la existencia del viento de éter y
permitiría hallar la velocidad de la Tierra respecto a éste.
El resultado del experimento mostró que la velocidad de los dos haces era
exactamente la misma; o sea, que no apreciaron absolutamente ningún
efecto del viento del éter.
En el año 1865 el científico escocés James Clerk Maxwell publicó su teoría
del Electromagnetismo, que ha sido verificada experimentalmente en
multitud de ocasiones, obteniéndose siempre resultados acordes con la
experiencia.
El físico alemán de origen judío, Albert Einstein, que creía firmemente que
la teoría del Electromagnetismo era correcta, sabía que sus ecuaciones no
mantienen su forma (es decir, no son invariantes) ante una transformación
FÍSICA MODERNA Página 9
donde v representa la velocidad de la luz respecto al observador en Tierra,
V la velocidad del éter respecto a la Tierra y
V
la velocidad de luz respecto
al éter. Puesto que la velocidad de la luz respecto al éter es constante e
igual a c para el haz (1) y -c para el (2) y la velocidad del éter respecto a la
Tierra es
0, deducimos que:
1R#N1dN&NU
*D - U
0NN2NN3
*3D - U
0
1R#N2dN&NU
+g qH r E
0= −H q E
0dN&N3
+3g H q E
0
es decir, que la velocidad de los haces de luz medidas por el observador
deberían ser diferentes, lo que demostraría la existencia del viento de éter y
permitiría hallar la velocidad de la Tierra respecto a éste.
El resultado del experimento mostró que la velocidad de los dos haces era
exactamente la misma; o sea, que no apreciaron absolutamente ningún
efecto del viento del éter.
En el año 1865 el científico escocés James Clerk Maxwell publicó su teoría
del Electromagnetismo, que ha sido verificada experimentalmente en
multitud de ocasiones, obteniéndose siempre resultados acordes con la
experiencia.
El físico alemán de origen judío, Albert Einstein, que creía firmemente que
la teoría del Electromagnetismo era correcta, sabía que sus ecuaciones no
mantienen su forma (es decir, no son invariantes) ante una transformación
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FÍSICA MODERNA Página 10
de Galileo; esto es, no son consistentes con la Mecánica Clásica. Este
problema (y algunas contradicciones que aparecieron en ciertos
experimentos electromagnéticos) lo resolvió Einstein en el año 1905,
cuando publicó la teoría de la Relatividad Especial o Restringida, basada en
los dos postulados fundamentales siguientes:
Todas las leyes físicas son las mismas (o sea, permanecen invariantes)
para todos los observadores inerciales (esto es, con movimiento relativo
de traslación uniforme).
Este postulado extiende el principio de la Relatividad de Galileo de la
Mecánica a todas las leyes de la Física. Esto implica que no es posible,
mediante ningún experimento realizado, distinguir un sistema inercial
de otro; o bien que, es imposible conocer el movimiento rectilíneo y
uniforme de un sistema por cualquier clase de experimentos realizados
en su interior.
La velocidad de la luz en el vacío es constante e igual para todos los
sistemas de referencia inerciales.
El postulado explica el resultado negativo del experimento de
Michelson y Morley, puesto que la velocidad de la luz es la misma en
todas las direcciones, sea cual sea el movimiento de la Tierra.
FÍSICA MODERNA Página 10
de Galileo; esto es, no son consistentes con la Mecánica Clásica. Este
problema (y algunas contradicciones que aparecieron en ciertos
experimentos electromagnéticos) lo resolvió Einstein en el año 1905,
cuando publicó la teoría de la Relatividad Especial o Restringida, basada en
los dos postulados fundamentales siguientes:
Todas las leyes físicas son las mismas (o sea, permanecen invariantes)
para todos los observadores inerciales (esto es, con movimiento relativo
de traslación uniforme).
Este postulado extiende el principio de la Relatividad de Galileo de la
Mecánica a todas las leyes de la Física. Esto implica que no es posible,
mediante ningún experimento realizado, distinguir un sistema inercial
de otro; o bien que, es imposible conocer el movimiento rectilíneo y
uniforme de un sistema por cualquier clase de experimentos realizados
en su interior.
La velocidad de la luz en el vacío es constante e igual para todos los
sistemas de referencia inerciales.
El postulado explica el resultado negativo del experimento de
Michelson y Morley, puesto que la velocidad de la luz es la misma en
todas las direcciones, sea cual sea el movimiento de la Tierra.
FÍSICA MODERNA
Hay que hacer constar que Einstein esta
experiencias de Michelson y Morley sobre el
embargo, su teoría no precisa de la existencia del
Einstein no negó su existencia pero sí su utilidad como referencia
absoluta de movimientos
Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la
adicion de velocidades que se deduce de la transformación de Galileo
(ec. 1.4). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales
ENINNE
V
de modo que
acercándose a O con una velocidad
dado, O envía un haz de luz laser a lo largo del eje OX positivo, que se
desplaza a una velocidad
ecuación (1.4), la velocidad del haz de luz respecto a
V
g H qo
Pero la velocidad
transformación de Galileo. Einstein atribuyó estas contradicciones a la
interpretación clásica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto,
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Hay que hacer constar que Einstein estaba poco relacionado con las
de Michelson y Morley sobre el viento del éter
su teoría no precisa de la existencia del éter
negó su existencia pero sí su utilidad como referencia
absoluta de movimientos uniformes.
Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la
adicion de velocidades que se deduce de la transformación de Galileo
). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales
de modo que E
V
se mueve a lo largo del eje OX común
acercándose a O con una velocidad o g qOtztttn MX é%. En un instante
dado, O envía un haz de luz laser a lo largo del eje OX positivo, que se
desplaza a una velocidad H g htttztttn MX é%. De acuerdo con la
, la velocidad del haz de luz respecto a E
V
deberia ser:
og htttzttt q sqOtztttd g hOtztttn4)
Pero la velocidad que mide E
V
es de httztttn MX é%, lo que invalida la
transformación de Galileo. Einstein atribuyó estas contradicciones a la
interpretación clásica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto,
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 11
ba poco relacionado con las
viento del éter. Sin
éter. En realidad,
negó su existencia pero sí su utilidad como referencia
Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la
adicion de velocidades que se deduce de la transformación de Galileo
). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales
se mueve a lo largo del eje OX común
. En un instante
dado, O envía un haz de luz laser a lo largo del eje OX positivo, que se
. De acuerdo con la
deberia ser:
4)5%
lo que invalida la
transformación de Galileo. Einstein atribuyó estas contradicciones a la
interpretación clásica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto,
Hay que hacer constar que Einstein esta
experiencias de Michelson y Morley sobre el
embargo, su teoría no precisa de la existencia del
Einstein no negó su existencia pero sí su utilidad como referencia
absoluta de movimientos
Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la
adicion de velocidades que se deduce de la transformación de Galileo
(ec. 1.4). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales
ENINNE
V
de modo que
acercándose a O con una velocidad
dado, O envía un haz de luz laser a lo largo del eje OX positivo, que se
desplaza a una velocidad
ecuación (1.4), la velocidad del haz de luz respecto a
V
g H qo
Pero la velocidad
transformación de Galileo. Einstein atribuyó estas contradicciones a la
interpretación clásica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto,
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Hay que hacer constar que Einstein estaba poco relacionado con las
de Michelson y Morley sobre el viento del éter
su teoría no precisa de la existencia del éter
negó su existencia pero sí su utilidad como referencia
absoluta de movimientos uniformes.
Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la
adicion de velocidades que se deduce de la transformación de Galileo
). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales
de modo que E
V
se mueve a lo largo del eje OX común
acercándose a O con una velocidad o g qOtztttn MX é%. En un instante
dado, O envía un haz de luz laser a lo largo del eje OX positivo, que se
desplaza a una velocidad H g htttztttn MX é%. De acuerdo con la
, la velocidad del haz de luz respecto a E
V
deberia ser:
og htttzttt q sqOtztttd g hOtztttn4)
Pero la velocidad que mide E
V
es de httztttn MX é%, lo que invalida la
transformación de Galileo. Einstein atribuyó estas contradicciones a la
interpretación clásica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto,
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
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ba poco relacionado con las
viento del éter. Sin
éter. En realidad,
negó su existencia pero sí su utilidad como referencia
Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la
adicion de velocidades que se deduce de la transformación de Galileo
). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales
se mueve a lo largo del eje OX común
. En un instante
dado, O envía un haz de luz laser a lo largo del eje OX positivo, que se
. De acuerdo con la
deberia ser:
4)5%
lo que invalida la
transformación de Galileo. Einstein atribuyó estas contradicciones a la
interpretación clásica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto,
FÍSICA MODERNA
se hacía necesario buscar otras
sistemas inerciales,
velocidad de la luz fuera invariante
2.2. Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecánica Clásica
La figura muestra una
reposo cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de
intensidad I. El sistema es observado desde el
el alambre y q están en reposo. En el interior del alambre hay electrones
que se mueven con una velocidad de arrastre
positivos en reposo;
número de electrones
cero. Puesto que la
es igual a la de los
eléctricos creados por
iguales en magnitud pero
eléctrica ejercida sobre
/
0
:::
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hacía necesario buscar otras ecuaciones de transformación entre
inerciales, distintas de las de Galileo, bajo las cuales la
de la luz fuera invariante.
Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecánica Clásica
La figura muestra una partícula portadora de una carga positiva q en
cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de
intensidad I. El sistema es observado desde el sistema inercial
están en reposo. En el interior del alambre hay electrones
mueven con una velocidad de arrastre
6 y núcleos de iones
positivos en reposo; de modo que en cualquier longitud de alambre, el
electrones es igual al de núcleos positivos, y la carga neta es
carga negativa de los electrones a lo largo del alambre
es igual a la de los núcleos positivos pero de signo contrario, los campos
eléctricos creados por ambos portadores de carga en cualquier lugar son
iguales en magnitud pero de sentidos opuestos. Así pues, la fuerza
eléctrica ejercida sobre q es nula:
/
0
:DD 789
:
::::D 9
;
::::D7 g tnnGwvénnR
:
::::D 9
;
::::DD F
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Página 12
ecuaciones de transformación entre
distintas de las de Galileo, bajo las cuales la
Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecánica Clásica
una carga positiva q en
cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de
sistema inercial O en el que
están en reposo. En el interior del alambre hay electrones
y núcleos de iones
de modo que en cualquier longitud de alambre, el
es igual al de núcleos positivos, y la carga neta es
carga negativa de los electrones a lo largo del alambre
núcleos positivos pero de signo contrario, los campos
e carga en cualquier lugar son
de sentidos opuestos. Así pues, la fuerza
se hacía necesario buscar otras
sistemas inerciales,
velocidad de la luz fuera invariante
2.2. Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecánica Clásica
La figura muestra una
reposo cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de
intensidad I. El sistema es observado desde el
el alambre y q están en reposo. En el interior del alambre hay electrones
que se mueven con una velocidad de arrastre
positivos en reposo;
número de electrones
cero. Puesto que la
es igual a la de los
eléctricos creados por
iguales en magnitud pero
eléctrica ejercida sobre
/
0
:::
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hacía necesario buscar otras ecuaciones de transformación entre
inerciales, distintas de las de Galileo, bajo las cuales la
de la luz fuera invariante.
Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecánica Clásica
La figura muestra una partícula portadora de una carga positiva q en
cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de
intensidad I. El sistema es observado desde el sistema inercial
están en reposo. En el interior del alambre hay electrones
mueven con una velocidad de arrastre
6 y núcleos de iones
positivos en reposo; de modo que en cualquier longitud de alambre, el
electrones es igual al de núcleos positivos, y la carga neta es
carga negativa de los electrones a lo largo del alambre
es igual a la de los núcleos positivos pero de signo contrario, los campos
eléctricos creados por ambos portadores de carga en cualquier lugar son
iguales en magnitud pero de sentidos opuestos. Así pues, la fuerza
eléctrica ejercida sobre q es nula:
/
0
:DD 789
:
::::D 9
;
::::D7 g tnnGwvénnR
:
::::D 9
;
::::DD F
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ecuaciones de transformación entre
distintas de las de Galileo, bajo las cuales la
Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecánica Clásica
una carga positiva q en
cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de
sistema inercial O en el que
están en reposo. En el interior del alambre hay electrones
y núcleos de iones
de modo que en cualquier longitud de alambre, el
es igual al de núcleos positivos, y la carga neta es
carga negativa de los electrones a lo largo del alambre
núcleos positivos pero de signo contrario, los campos
e carga en cualquier lugar son
de sentidos opuestos. Así pues, la fuerza
FÍSICA MODERNA
Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magnético que afecta a
q, la fuerza magnética es nula porque
alambre:
Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la
aceleración que mide O es cero.
Consideremos ahora la situación desde un sistem
mueve paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los
electrones,
6, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones
están en reposo y los núcleos positivos y la carga
derecha con velocidad
campo magnético
sometida a una fuerza
De acuerdo con la transformación de Galileo, los observadore
y E
V
deben estar de acuerdo en que, si
O, tampoco existirá aceleración en
experimentar fuerza neta alguna en el sistema
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Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magnético que afecta a
la fuerza magnética es nula porque q está en reposo respecto al
/
>
::::Dg AED x ?:Dg tnnGwvénnE g t
Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la
aceleración que mide O es cero.
Consideremos ahora la situación desde un sistema inercial
paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los
, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones
reposo y los núcleos positivos y la carga q se mueven hacia la
velocidad
6. En este caso q, por estar en movimiento en el
creado por la corriente de núcleos positivos, está
sometida a una fuerza magnética /
>
::::D, como muestra la figura.
De acuerdo con la transformación de Galileo, los observadore
deben estar de acuerdo en que, si q no lleva aceleración en el sistema
, tampoco existirá aceleración en E
V
. Por lo tanto,
fuerza neta alguna en el sistema E
V
; así que, además de la
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Página 13
Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magnético que afecta a
á en reposo respecto al
Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la
a inercial E
V
que se
paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los
, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones
se mueven hacia la
, por estar en movimiento en el
creado por la corriente de núcleos positivos, está
como muestra la figura.
De acuerdo con la transformación de Galileo, los observadores inerciales O
no lleva aceleración en el sistema
. Por lo tanto, q no puede
; así que, además de la
Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magnético que afecta a
q, la fuerza magnética es nula porque
alambre:
Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la
aceleración que mide O es cero.
Consideremos ahora la situación desde un sistem
mueve paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los
electrones,
6, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones
están en reposo y los núcleos positivos y la carga
derecha con velocidad
campo magnético
sometida a una fuerza
De acuerdo con la transformación de Galileo, los observadore
y E
V
deben estar de acuerdo en que, si
O, tampoco existirá aceleración en
experimentar fuerza neta alguna en el sistema
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Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magnético que afecta a
la fuerza magnética es nula porque q está en reposo respecto al
/
>
::::Dg AED x ?:Dg tnnGwvénnE g t
Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la
aceleración que mide O es cero.
Consideremos ahora la situación desde un sistema inercial
paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los
, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones
reposo y los núcleos positivos y la carga q se mueven hacia la
velocidad
6. En este caso q, por estar en movimiento en el
creado por la corriente de núcleos positivos, está
sometida a una fuerza magnética /
>
::::D, como muestra la figura.
De acuerdo con la transformación de Galileo, los observadore
deben estar de acuerdo en que, si q no lleva aceleración en el sistema
, tampoco existirá aceleración en E
V
. Por lo tanto,
fuerza neta alguna en el sistema E
V
; así que, además de la
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Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magnético que afecta a
á en reposo respecto al
Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la
a inercial E
V
que se
paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los
, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones
se mueven hacia la
, por estar en movimiento en el
creado por la corriente de núcleos positivos, está
como muestra la figura.
De acuerdo con la transformación de Galileo, los observadores inerciales O
no lleva aceleración en el sistema
. Por lo tanto, q no puede
; así que, además de la
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FÍSICA MODERNA Página 14
fuerza magnética, debe existir otra igual y opuesta que la anule (ver
figura). Esta fuerza adicional que actúa en el sistema O tiene que ser
necesariamente de origen eléctrico, pero no puede justificarse en el marco
de la Mecánica Clásica basada en la transformación de Galileo. Sin
embargo, como veremos en su momento, queda completamente
explicada al aplicar la teoría de la Relatividad Especial basada en la
transformación de Lorentz.
2.3.
Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante u na
transformación de Galileo (Opcional)
La teoría del Electromagnetismo de Maxwell está sintetizada en cuatro
ecuaciones fundamentales (ecuaciones de Maxwell), que, además,
conducen a fenómenos completamente nuevos. El logro quizá más
importante de la teoría fue la predicción de la existencia de ondas
electromagnéticas y dar cuenta de que la luz podía comprenderse como un
tipo de onda electromagnética.
En este punto vamos a probar de una manera sencilla que las ecuaciones
de Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo,
utilizando para ello la ecuación de la onda electromagnética que se
obtiene al combinar convenientemente las ecuaciones de Maxwell.
Una onda electromagnética consiste en campos eléctricos y magnéticos,
mutuamente perpendiculares, variables en el tiempo. Esta variación genera
FÍSICA MODERNA Página 14
fuerza magnética, debe existir otra igual y opuesta que la anule (ver
figura). Esta fuerza adicional que actúa en el sistema O tiene que ser
necesariamente de origen eléctrico, pero no puede justificarse en el marco
de la Mecánica Clásica basada en la transformación de Galileo. Sin
embargo, como veremos en su momento, queda completamente
explicada al aplicar la teoría de la Relatividad Especial basada en la
transformación de Lorentz.
2.3.
Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante u na
transformación de Galileo (Opcional)
La teoría del Electromagnetismo de Maxwell está sintetizada en cuatro
ecuaciones fundamentales (ecuaciones de Maxwell), que, además,
conducen a fenómenos completamente nuevos. El logro quizá más
importante de la teoría fue la predicción de la existencia de ondas
electromagnéticas y dar cuenta de que la luz podía comprenderse como un
tipo de onda electromagnética.
En este punto vamos a probar de una manera sencilla que las ecuaciones
de Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo,
utilizando para ello la ecuación de la onda electromagnética que se
obtiene al combinar convenientemente las ecuaciones de Maxwell.
Una onda electromagnética consiste en campos eléctricos y magnéticos,
mutuamente perpendiculares, variables en el tiempo. Esta variación genera
FÍSICA MODERNA
una perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda
electromagnética.
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada
será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en
la figura es senoidal y se propaga a lo largo del eje
coordenadas elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en
los planos XZ y XY), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración)
y unidimensional (se propaga sólo en la dirección del
Este enlace visualiza la variación
propagación de la perturbación.
Las ecuaciones de los campos eléctricos
electromagnética monocromática que se propaga en la
OX son:
9
?
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perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada
será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en
idal y se propaga a lo largo del eje OX del sistema de
elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en
), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración)
(se propaga sólo en la dirección del eje OX
Este enlace visualiza la variación de los campos eléctricos y magnéticos
perturbación.
de los campos eléctricos, E, y magnético, B, de la onda
electromagnética monocromática que se propaga en la dirección del eje
9S OdD 9
5@A4He q idNNNNNNNNPzJd
?S OdD ?
5@A4He q idNNNNNNNNPzkd
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Página 15
perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada
será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en
del sistema de
elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en
), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración)
OX).
de los campos eléctricos y magnéticos y la
, B, de la onda
dirección del eje
una perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda
electromagnética.
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada
será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en
la figura es senoidal y se propaga a lo largo del eje
coordenadas elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en
los planos XZ y XY), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración)
y unidimensional (se propaga sólo en la dirección del
Este enlace visualiza la variación
propagación de la perturbación.
Las ecuaciones de los campos eléctricos
electromagnética monocromática que se propaga en la
OX son:
9
?
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perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada
será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en
idal y se propaga a lo largo del eje OX del sistema de
elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en
), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración)
(se propaga sólo en la dirección del eje OX
Este enlace visualiza la variación de los campos eléctricos y magnéticos
perturbación.
de los campos eléctricos, E, y magnético, B, de la onda
electromagnética monocromática que se propaga en la dirección del eje
9S OdD 9
5@A4He q idNNNNNNNNPzJd
?S OdD ?
5@A4He q idNNNNNNNNPzkd
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perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada
será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en
del sistema de
elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en
), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración)
OX).
de los campos eléctricos y magnéticos y la
, B, de la onda
dirección del eje
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FÍSICA MODERNA Página 16
donde 9
NIN?
son, respectivamente, los valores máximos, de los campos
eléctrico y magnético; 4 D2D E% el numero de ondas (siendo E la longitud
de onda) y c la velocidad de la luz.
Cojamos una de las componentes de la onda, por ejemplo la eléctrica, y
derivemos respecto al tiempo:
F9
F
=
F
F
G9
sinHe q idY= -9
cosHe q id
ya que 9
g Hev y x=cte, pues estamos considerando un punto particular
del eje OX. Derivemos de nuevo respeto a t (o sea, hacemos la 2
6N
derivada).
F
+
9
F
+
=
F
F
G9
sinHe q idY= −-
+
9
sinHe q idNNNNNNNNNNNNN1.9d
Derivemos de nuevo la ecuación (1.7) dos veces, pero esta vez respecto a x
en un instante particular; esto es, haciendo t=cte.
F9
FS
=
F
FS
G9
sinHe q idY= −9
cosHe q id
F
+
9
FS
+
=
F
FS
G−9
cosHe q idY= −9
sinHe q idNNNNNNNNNNN1.10d
Al comparar las ecuaciones (1.9) y (1.10) obtenemos que:
F
+
9
FS
+
=
1
-
+
F
+
9
F
+
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsPzPPd
FÍSICA MODERNA Página 16
donde 9
NIN?
son, respectivamente, los valores máximos, de los campos
eléctrico y magnético; 4 D2D E% el numero de ondas (siendo E la longitud
de onda) y c la velocidad de la luz.
Cojamos una de las componentes de la onda, por ejemplo la eléctrica, y
derivemos respecto al tiempo:
F9
F
=
F
F
G9
sinHe q idY= -9
cosHe q id
ya que 9
g Hev y x=cte, pues estamos considerando un punto particular
del eje OX. Derivemos de nuevo respeto a t (o sea, hacemos la 2
6N
derivada).
F
+
9
F
+
=
F
F
G9
sinHe q idY= −-
+
9
sinHe q idNNNNNNNNNNNNN1.9d
Derivemos de nuevo la ecuación (1.7) dos veces, pero esta vez respecto a x
en un instante particular; esto es, haciendo t=cte.
F9
FS
=
F
FS
G9
sinHe q idY= −9
cosHe q id
F
+
9
FS
+
=
F
FS
G−9
cosHe q idY= −9
sinHe q idNNNNNNNNNNN1.10d
Al comparar las ecuaciones (1.9) y (1.10) obtenemos que:
F
+
9
FS
+
=
1
-
+
F
+
9
F
+
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsPzPPd
FÍSICA MODERNA
que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la
onda electromagnética.
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación
de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
espaciales y el tiempo medidos por los dos observadores inerciales
de la figura (E
V
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del
eje OX común a ambos sistemas de coordenadas), son:
S
V
g i q oen p iD
De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que:
FS
V
FS
D
F
FS
i q oedg PN
FS
F
D
F
F
S
V
r oedg onnN
Puesto que O D O
V
, es evidente que:
be g be
V
N&N
El observador del sistema de referencia
ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una
Galileo, el observador del sistema de referencia
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la
onda electromagnética.
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación
de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
el tiempo medidos por los dos observadores inerciales
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del
eje OX común a ambos sistemas de coordenadas), son:
DS
V
r oeúnnn
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
D ONNNNNNNNNNPzhd
De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que:
NNNNNPzPxdNNévnbvQ-Efnv5nw5nenGfQe-HwPfQQ R
NNNPzPhfdNNévnbvQ-Efnv5nw5ninGfQe-HwPfQQR
, es evidente que:
N
FS
F
D
FS
F
V
g on )n
F
FS
D
F
V
FSD
P
o
NNNNNNNNNNPzPh
El observador del sistema de referencia O aplica la ecuación (1.11). Si las
ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una transformación de
el observador del sistema de referencia E
V
, que se mueve con
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 17
que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación
de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
el tiempo medidos por los dos observadores inerciales ENINE
V
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del
d
névfne g Hevd
Rnévfni g Hevd
PhSd
aplica la ecuación (1.11). Si las
transformación de
, que se mueve con
que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la
onda electromagnética.
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación
de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
espaciales y el tiempo medidos por los dos observadores inerciales
de la figura (E
V
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del
eje OX común a ambos sistemas de coordenadas), son:
S
V
g i q oen p iD
De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que:
FS
V
FS
D
F
FS
i q oedg PN
FS
F
D
F
F
S
V
r oedg onnN
Puesto que O D O
V
, es evidente que:
be g be
V
N&N
El observador del sistema de referencia
ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una
Galileo, el observador del sistema de referencia
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la
onda electromagnética.
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación
de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
el tiempo medidos por los dos observadores inerciales
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del
eje OX común a ambos sistemas de coordenadas), son:
DS
V
r oeúnnn
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
D ONNNNNNNNNNPzhd
De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que:
NNNNNPzPxdNNévnbvQ-Efnv5nw5nenGfQe-HwPfQQ R
NNNPzPhfdNNévnbvQ-Efnv5nw5ninGfQe-HwPfQQR
, es evidente que:
N
FS
F
D
FS
F
V
g on )n
F
FS
D
F
V
FSD
P
o
NNNNNNNNNNPzPh
El observador del sistema de referencia O aplica la ecuación (1.11). Si las
ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una transformación de
el observador del sistema de referencia E
V
, que se mueve con
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 17
que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación
de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
el tiempo medidos por los dos observadores inerciales ENINE
V
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del
d
névfne g Hevd
Rnévfni g Hevd
PhSd
aplica la ecuación (1.11). Si las
transformación de
, que se mueve con
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 18
velocidad constante respecto a O, debería aplicar la ecuación en la misma
forma, o sea:
F
+
9
FS
V+
D
1
-
+
F
+
9
F
V+
Veamos si esto se cumple o no. Derivando la componente eléctrica de la
onda electromagnética 9CS
V
O
V
d respecto a x, aplicando la regla de la
cadena y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.12) y (1.13), tenemos:
F9
FS
=
F9
FS
V
FS
V
FS
+
F9
F
V
F
V
FS
=
F9
FS
V
ninP r
F9
F
V
NSN
1
o
N&N
F9
FS
=
F9
FS
V
+
1
o
F9
F
V
y volviendo a derivar de nuevo la última ecuación respecto a x.
F
+
9
FS
+
=
F
FS
T
F9
FS
V
+
1
o
F9
F
V
U = V
F
+
9
FS
V+
FS
V
FS
+
F
+
9
F
V
FS
V
F
V
FS
W +
1
o
V
F
+
9
FS
V
F
V
FS
V
FS
+
F
+
9
F
V+
F
V
FS
W
= V
F
+
9
FS
V+
ninP r
F
+
9
F
V
FS
V
1
o
W +
1
o
V
F
+
9
FS
V
F
V
ninP r
F
+
9
F
V+
1
o
W =
=
F
+
9
FS
V+
+
1
o
F
+
9
F
V
FS
V
+
1
o
F
+
9
FS
V
F
V
+
1
o
+
F
+
9
F
V+
=
F
+
9
FS
V+
+
1
o
+
F
+
9
F
V+
+
2
o
F
+
9
F
V
FS
V
NNNNNNNNNN1.14d
Puesto que O D O
V
, resulta que:
F9
F
=
F9
F
V
NNNNINNNN
F
+
I
F
+
=
F9
F
V+
NNNNNNNNNN1.15d
Combinado las ecuaciones (1.11), (1.14) y (1.15) obtenemos que:
F
+
9
FS
V+
+
1
o
+
F
+
9
F
V+
+
2
o
F
+
9
F
V
FS
V
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
FÍSICA MODERNA Página 18
velocidad constante respecto a O, debería aplicar la ecuación en la misma
forma, o sea:
F
+
9
FS
V+
D
1
-
+
F
+
9
F
V+
Veamos si esto se cumple o no. Derivando la componente eléctrica de la
onda electromagnética 9CS
V
O
V
d respecto a x, aplicando la regla de la
cadena y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.12) y (1.13), tenemos:
F9
FS
=
F9
FS
V
FS
V
FS
+
F9
F
V
F
V
FS
=
F9
FS
V
ninP r
F9
F
V
NSN
1
o
N&N
F9
FS
=
F9
FS
V
+
1
o
F9
F
V
y volviendo a derivar de nuevo la última ecuación respecto a x.
F
+
9
FS
+
=
F
FS
T
F9
FS
V
+
1
o
F9
F
V
U = V
F
+
9
FS
V+
FS
V
FS
+
F
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9
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V
FS
V
F
V
FS
W +
1
o
V
F
+
9
FS
V
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V
FS
V
FS
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F
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9
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FS
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F
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9
FS
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F
+
9
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1
o
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1
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F
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1
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F
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9
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V+
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V
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1
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F
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V
F
V
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1
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F
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9
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V+
=
F
+
9
FS
V+
+
1
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+
F
+
9
F
V+
+
2
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F
+
9
F
V
FS
V
NNNNNNNNNN1.14d
Puesto que O D O
V
, resulta que:
F9
F
=
F9
F
V
NNNNINNNN
F
+
I
F
+
=
F9
F
V+
NNNNNNNNNN1.15d
Combinado las ecuaciones (1.11), (1.14) y (1.15) obtenemos que:
F
+
9
FS
V+
+
1
o
+
F
+
9
F
V+
+
2
o
F
+
9
F
V
FS
V
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 19
que no mantiene la misma forma que (1.11); esto es, las ecuaciones de
Maxwell no son invariantes frente a una transformación de Galileo.
2.4.
Transformación de Lorentz
Según los postulados de Einstein todas las leyes físicas tienen que
permanecer invariantes para todos los observadores con velocidad relativa
constante y la velocidad de la luz es una invariante física con el mismo
valor para todos los observadores inerciales.
Bajo estas suposiciones, la transformación de Galileo no es válida, en
particular la ecuación O D O
V
no puede ser correcta. Si la velocidad de la luz
es la misma para dos observadores con movimiento relativo uniforme, no
es posible, como se verá después, que los dos midan el mismo tiempo. En
otras palabras, el intervalo de tiempo entre dos eventos no tiene por qué
ser el mismo para observadores en movimiento relativo. En definitiva
debemos reemplazar la transformación Galileana por otra, de modo que la
velocidad de la luz sea invariante.
Como en el caso de la transformación de Galileo, supondremos dos
observadores inerciales ENINE
V
de modo que E
V
se mueve respecto a O con
velocidad constante V en la dirección del eje OX común de sus respectivos
sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. Exigimos que los dos
observadores ajusten sus relojes de modo que O D O
V
DFNcuando sus
posiciones coinciden.
FÍSICA MODERNA Página 19
que no mantiene la misma forma que (1.11); esto es, las ecuaciones de
Maxwell no son invariantes frente a una transformación de Galileo.
2.4.
Transformación de Lorentz
Según los postulados de Einstein todas las leyes físicas tienen que
permanecer invariantes para todos los observadores con velocidad relativa
constante y la velocidad de la luz es una invariante física con el mismo
valor para todos los observadores inerciales.
Bajo estas suposiciones, la transformación de Galileo no es válida, en
particular la ecuación O D O
V
no puede ser correcta. Si la velocidad de la luz
es la misma para dos observadores con movimiento relativo uniforme, no
es posible, como se verá después, que los dos midan el mismo tiempo. En
otras palabras, el intervalo de tiempo entre dos eventos no tiene por qué
ser el mismo para observadores en movimiento relativo. En definitiva
debemos reemplazar la transformación Galileana por otra, de modo que la
velocidad de la luz sea invariante.
Como en el caso de la transformación de Galileo, supondremos dos
observadores inerciales ENINE
V
de modo que E
V
se mueve respecto a O con
velocidad constante V en la dirección del eje OX común de sus respectivos
sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. Exigimos que los dos
observadores ajusten sus relojes de modo que O D O
V
DFNcuando sus
posiciones coinciden.
FÍSICA MODERNA
Supongamos (ver figura) que para
en la posición común (o sea, cuando
tiempo t el observador
escribirá r = ct, siendo
desde O hasta A. De la
por lo tanto, también se cumple que:
Del mismo modo, el observador
A. Ahora bien, como la distancia cubierta por la luz desde
y, como se ve en la figura,
Puesto que en un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad
multiplicada por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo
medido por E
V
para el evento sea distinto del que mide
O X O
V
.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Supongamos (ver figura) que para O D O
V
D FNNse emite un destello de luz
posición común (o sea, cuando ENINE
V
coinciden). Después de un
observador O notará que la luz ha llegado al punto
, siendo c la velocidad de la luz y r la distancia que recorre
De la figura se desprende que:
S
+
I
+
#
+
g Q
+
por lo tanto, también se cumple que:
S
+
I
+
#
+
D -
+
+
NNNNNNNNNNPzPñd Del mismo modo, el observador E
V
notará que la luz llega al mismo punto
. Ahora bien, como la distancia cubierta por la luz desde E
como se ve en la figura, Q
V
Y Q, no es posible que se cumpla que
un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad
por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo
para el evento sea distinto del que mide O
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 20
e un destello de luz
coinciden). Después de un
notará que la luz ha llegado al punto A y
la distancia que recorre
notará que la luz llega al mismo punto
E
V
hasta A es Q
V
, no es posible que se cumpla que Q
V
D -O.
un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad
por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo
O; es decir que,
Supongamos (ver figura) que para
en la posición común (o sea, cuando
tiempo t el observador
escribirá r = ct, siendo
desde O hasta A. De la
por lo tanto, también se cumple que:
Del mismo modo, el observador
A. Ahora bien, como la distancia cubierta por la luz desde
y, como se ve en la figura,
Puesto que en un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad
multiplicada por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo
medido por E
V
para el evento sea distinto del que mide
O X O
V
.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Supongamos (ver figura) que para O D O
V
D FNNse emite un destello de luz
posición común (o sea, cuando ENINE
V
coinciden). Después de un
observador O notará que la luz ha llegado al punto
, siendo c la velocidad de la luz y r la distancia que recorre
De la figura se desprende que:
S
+
I
+
#
+
g Q
+
por lo tanto, también se cumple que:
S
+
I
+
#
+
D -
+
+
NNNNNNNNNNPzPñd Del mismo modo, el observador E
V
notará que la luz llega al mismo punto
. Ahora bien, como la distancia cubierta por la luz desde E
como se ve en la figura, Q
V
Y Q, no es posible que se cumpla que
un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad
por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo
para el evento sea distinto del que mide O
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 20
e un destello de luz
coinciden). Después de un
notará que la luz ha llegado al punto A y
la distancia que recorre
notará que la luz llega al mismo punto
E
V
hasta A es Q
V
, no es posible que se cumpla que Q
V
D -O.
un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad
por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo
O; es decir que,
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FÍSICA MODERNA Página 21
Entonces el observador O escribirá Q
V
D -O
V
. Como la figura muestra que:
S
V+
I
V+
#
V+
g Q
V+
se cumple, para E
V
, que:
S
V+
I
V+
#
V+
D -
+
V+
NNNNNNNNNN1.17d
Nuestro objetivo es obtener una transformación que relacione las
ecuaciones (1.16) y (1.17). Esto significa encontrar un conjunto de
ecuaciones que relacionen S
V
I
V
, #
V
O
V
dnHR5nsiú ú óú ed tales que, al expresar
S
V
I
V
, #
V
O
V
dN en función de (x, y, z, t) en la ecuación (1.17), obtengamos la
(1.16).
Puesto que la Mecánica Clásica, basada en la transformación de Galileo, da
resultados satisfactorios cuando se aplica a cuerpos que se mueven a
velocidades muy inferiores a la de la luz; por lo tanto, la nueva
transformación se ha de reducir a la de Galileo a velocidades muy
inferiores a la de la luz.
Las ecuaciones (1.16) y (1.17) nos hacen sospechar que, en nuestro caso
(movimiento uniforme de E
V
respecto a O a lo largo del eje X común y ejes
Y y Z con la misma orientación), la nueva transformación ha de ser trivial
para y y z; es decir, I
V
D INNINN#
V
= #.
A las ecuaciones de transformación tenemos que exigirles que sean
lineales (no cuadráticas, por ejemplo); la razón es que a un acontecimiento
FÍSICA MODERNA Página 21
Entonces el observador O escribirá Q
V
D -O
V
. Como la figura muestra que:
S
V+
I
V+
#
V+
g Q
V+
se cumple, para E
V
, que:
S
V+
I
V+
#
V+
D -
+
V+
NNNNNNNNNN1.17d
Nuestro objetivo es obtener una transformación que relacione las
ecuaciones (1.16) y (1.17). Esto significa encontrar un conjunto de
ecuaciones que relacionen S
V
I
V
, #
V
O
V
dnHR5nsiú ú óú ed tales que, al expresar
S
V
I
V
, #
V
O
V
dN en función de (x, y, z, t) en la ecuación (1.17), obtengamos la
(1.16).
Puesto que la Mecánica Clásica, basada en la transformación de Galileo, da
resultados satisfactorios cuando se aplica a cuerpos que se mueven a
velocidades muy inferiores a la de la luz; por lo tanto, la nueva
transformación se ha de reducir a la de Galileo a velocidades muy
inferiores a la de la luz.
Las ecuaciones (1.16) y (1.17) nos hacen sospechar que, en nuestro caso
(movimiento uniforme de E
V
respecto a O a lo largo del eje X común y ejes
Y y Z con la misma orientación), la nueva transformación ha de ser trivial
para y y z; es decir, I
V
D INNINN#
V
= #.
A las ecuaciones de transformación tenemos que exigirles que sean
lineales (no cuadráticas, por ejemplo); la razón es que a un acontecimiento
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 22
en E
V
le tiene que corresponder un solo acontecimiento en O (si, por
ejemplo, fueran cuadráticas, a un instante particular en un sistema le
corresponderían dos en el otro). Además, sabemos con seguridad que la
ecuación
V
D ONNtiene que ser modificada.
Dado que la ecuación S
V
g i r oennes lineal para x y para t, la dejamos
como está. Y puesto que la simetría en las ecuaciones es algo frecuente en
Física, proponemos para t una ecuación lineal “simétrica” a la de S
V
.
Intentemos pues una transformación de la forma:
S
V
g i q oe NNNI
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
D O 4SNNNNNNNNNN1.18d
donde k es una constante a determinar.
Si nuestra transformación es correcta, al expresar x’, y’, z’, y t’ en función de
x, y, z y t en la ecuación (1.17) tenemos que encontrar la (1.16). Entonces:
i q oed
+
I
+
+ #
+
= -
+
O 4Sd
+
np
S
+
q xioe r o
+
+
I
+
+ #
+
= -
+
+
+ -
+
24 + -
+
4
+
S
+
Observemos que los términos que contienen xt se anulan si hacemos:
M g q o H
+
%N& O
V
g e qo H
+
( dSNNNNNNNNNN1.19d
Y la ecuación se puede escribir como:
S
+
r o
+
+
I
+
+ #
+
= -
+
+
+
o
+
-
+
S
+
& S
+
V1 −
o
+
-
+
W I
+
+ #
+
= -
+
+
V1 −
o
+
-
+
W
FÍSICA MODERNA Página 22
en E
V
le tiene que corresponder un solo acontecimiento en O (si, por
ejemplo, fueran cuadráticas, a un instante particular en un sistema le
corresponderían dos en el otro). Además, sabemos con seguridad que la
ecuación
V
D ONNtiene que ser modificada.
Dado que la ecuación S
V
g i r oennes lineal para x y para t, la dejamos
como está. Y puesto que la simetría en las ecuaciones es algo frecuente en
Física, proponemos para t una ecuación lineal “simétrica” a la de S
V
.
Intentemos pues una transformación de la forma:
S
V
g i q oe NNNI
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
D O 4SNNNNNNNNNN1.18d
donde k es una constante a determinar.
Si nuestra transformación es correcta, al expresar x’, y’, z’, y t’ en función de
x, y, z y t en la ecuación (1.17) tenemos que encontrar la (1.16). Entonces:
i q oed
+
I
+
+ #
+
= -
+
O 4Sd
+
np
S
+
q xioe r o
+
+
I
+
+ #
+
= -
+
+
+ -
+
24 + -
+
4
+
S
+
Observemos que los términos que contienen xt se anulan si hacemos:
M g q o H
+
%N& O
V
g e qo H
+
( dSNNNNNNNNNN1.19d
Y la ecuación se puede escribir como:
S
+
r o
+
+
I
+
+ #
+
= -
+
+
+
o
+
-
+
S
+
& S
+
V1 −
o
+
-
+
W I
+
+ #
+
= -
+
+
V1 −
o
+
-
+
W
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 23
Que coincidiría con (1.16) si no fuera por el factor constante P sP q o
+
-
+
%d%
que multiplica a S
+
y a
+
. Pocemos eliminar este factor haciendo que la
transformación sea:
S
V
=
i q oe
ZP q o
+
-
+
%
NNNI
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
=
e q so H
+
di%
ZP q o
+
-
+
%
nnnnnnnnnnnsPzxtd
que reciben el nombre de transformación de Lorentz.
Observemos que la transformación de Lorentz es lineal en x y t y se reduce
a la de Galileo para o H%→ 0, ya que entonces, sP q o
+
-
+
d%
* +%
n\ P. En la
figura, que muestra la representación grafica de sP q o
+
-
+
d%
* +%
frente a
o H%, se ve que incluso para valores de o H%≈ 0,5 (que significa una
velocidad o \ H x%), el valor de aquel sigue estando próximo a 1. Esta es la
razón por la que la transformación galileana es totalmente adecuada para
los objetos que se mueven con velocidades ordinarias, incluidos planetas y
satélites.
A veces conviene introducir una notación más adecuada para que las
ecuaciones tengan una apariencia más sencilla y sean más prácticas.
Haciendo:
] =
o
-
1.21dNINN^ D
1
ZP q o
+
-
+
%
=
1
Z1 − ]
+
NNNNNNNNNNN1.21d
Las ecuaciones de la transformación del Lorentz quedan como:
FÍSICA MODERNA Página 23
Que coincidiría con (1.16) si no fuera por el factor constante P sP q o
+
-
+
%d%
que multiplica a S
+
y a
+
. Pocemos eliminar este factor haciendo que la
transformación sea:
S
V
=
i q oe
ZP q o
+
-
+
%
NNNI
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
=
e q so H
+
di%
ZP q o
+
-
+
%
nnnnnnnnnnnsPzxtd
que reciben el nombre de transformación de Lorentz.
Observemos que la transformación de Lorentz es lineal en x y t y se reduce
a la de Galileo para o H%→ 0, ya que entonces, sP q o
+
-
+
d%
* +%
n\ P. En la
figura, que muestra la representación grafica de sP q o
+
-
+
d%
* +%
frente a
o H%, se ve que incluso para valores de o H%≈ 0,5 (que significa una
velocidad o \ H x%), el valor de aquel sigue estando próximo a 1. Esta es la
razón por la que la transformación galileana es totalmente adecuada para
los objetos que se mueven con velocidades ordinarias, incluidos planetas y
satélites.
A veces conviene introducir una notación más adecuada para que las
ecuaciones tengan una apariencia más sencilla y sean más prácticas.
Haciendo:
] =
o
-
1.21dNINN^ D
1
ZP q o
+
-
+
%
=
1
Z1 − ]
+
NNNNNNNNNNN1.21d
Las ecuaciones de la transformación del Lorentz quedan como:
FÍSICA MODERNA
S
V
D ^i q oedD ^i q]-
NN
Finalmente comprobemos que la transformación de Lorentz mantiene
invariante la ecuación:
Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x’, y’, z’ y t’ en función de
x, y, z y t. Entonces tenemos que:
^
+
S
^
+
S
+
q x]iHe
Y multiplicando -
+
por los términos del paréntesis del segundo miembro:
^
+
S
+
q x]S-O
se ve que los términos en
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
]-d NNNI
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
D
e q o H
+
so H
+
d
S%%
ZP q o
+
-
+
%
comprobemos que la transformación de Lorentz mantiene
invariante la ecuación:
S_
+
I_
+
#_
+
D -O_
+
Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x’, y’, z’ y t’ en función de
x, y, z y t. Entonces tenemos que:
Sq ]Hed
+
I
+
#
+
D -
+
^
+
e q ]i H( d
+
&
]
+
-
+
+
d I
+
#
+
D -
+
^
+
+
q x ]ie H
+
%
por los términos del paréntesis del segundo miembro:
]S-O ]
+
-
+
+
d I
+
#
+
D ^
+
-
+
+
q x]S-O
se ve que los términos en]S-O se cancelan, y queda que:
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 24
S
g ^ Te q
]
-
SUNNNNNPzxxd
comprobemos que la transformación de Lorentz mantiene
Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x’, y’, z’ y t’ en función de
]
+
S
+
-
+
( d
por los términos del paréntesis del segundo miembro:
]S-O ]
+
S
+
d
S
V
D ^i q oedD ^i q]-
NN
Finalmente comprobemos que la transformación de Lorentz mantiene
invariante la ecuación:
Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x’, y’, z’ y t’ en función de
x, y, z y t. Entonces tenemos que:
^
+
S
^
+
S
+
q x]iHe
Y multiplicando -
+
por los términos del paréntesis del segundo miembro:
^
+
S
+
q x]S-O
se ve que los términos en
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
]-d NNNI
V
D I NNN#
V
D # NNNO
V
D
e q o H
+
so H
+
d
S%%
ZP q o
+
-
+
%
comprobemos que la transformación de Lorentz mantiene
invariante la ecuación:
S_
+
I_
+
#_
+
D -O_
+
Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x’, y’, z’ y t’ en función de
x, y, z y t. Entonces tenemos que:
Sq ]Hed
+
I
+
#
+
D -
+
^
+
e q ]i H( d
+
&
]
+
-
+
+
d I
+
#
+
D -
+
^
+
+
q x ]ie H
+
%
por los términos del paréntesis del segundo miembro:
]S-O ]
+
-
+
+
d I
+
#
+
D ^
+
-
+
+
q x]S-O
se ve que los términos en]S-O se cancelan, y queda que:
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Página 24
S
g ^ Te q
]
-
SUNNNNNPzxxd
comprobemos que la transformación de Lorentz mantiene
Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x’, y’, z’ y t’ en función de
]
+
S
+
-
+
( d
por los términos del paréntesis del segundo miembro:
]S-O ]
+
S
+
d
FÍSICA MODERNA
^
+
S
Ahora coloquemos los términos en
términos en
+
en el segundo:
^
+
pero de (1.22) se encuentra que:
que combinándola con la ecuación anterior conduce a:
que es la expresión que queríamos encontrar.
2.5. Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformación
de Lorentz (Opcional)
Al igual que hicimos en el punto 3.3, partimos
la diferencial segunda de la componente eléctrica de una onda
electromagnética unidimensional que se propaga a lo largo del eje
sistemas de coordenadas fijado.
Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales
modo que O’ se mueve respecto a
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
S
+
]
+
-
+
+
d I
+
#
+
D ^
+
-
+
+
]
+
S
+
d
Ahora coloquemos los términos en S
+
en el primer miembro y los
en el segundo:
+
S
+
P q ]
+
d I
+
#
+
D ^
+
-
+
+
P q ]
+d
pero de (1.22) se encuentra que:
^
+
g PP q ]
+
dp ^
+
zP q ]
+
dg P% que combinándola con la ecuación anterior conduce a:
S
+
I
+
#
+
D -
+
+
que es la expresión que queríamos encontrar.
Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformación
de Lorentz (Opcional)
Al igual que hicimos en el punto 3.3, partimos de la ecuación (1.11), que es
la diferencial segunda de la componente eléctrica de una onda
unidimensional que se propaga a lo largo del eje
de coordenadas fijado.
Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 25
d
en el primer miembro y los
d
Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformación
de la ecuación (1.11), que es
la diferencial segunda de la componente eléctrica de una onda
unidimensional que se propaga a lo largo del eje OX del
Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales ENINE_, de
a lo largo del eje
^
+
S
Ahora coloquemos los términos en
términos en
+
en el segundo:
^
+
pero de (1.22) se encuentra que:
que combinándola con la ecuación anterior conduce a:
que es la expresión que queríamos encontrar.
2.5. Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformación
de Lorentz (Opcional)
Al igual que hicimos en el punto 3.3, partimos
la diferencial segunda de la componente eléctrica de una onda
electromagnética unidimensional que se propaga a lo largo del eje
sistemas de coordenadas fijado.
Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales
modo que O’ se mueve respecto a
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
S
+
]
+
-
+
+
d I
+
#
+
D ^
+
-
+
+
]
+
S
+
d
Ahora coloquemos los términos en S
+
en el primer miembro y los
en el segundo:
+
S
+
P q ]
+
d I
+
#
+
D ^
+
-
+
+
P q ]
+d
pero de (1.22) se encuentra que:
^
+
g PP q ]
+
dp ^
+
zP q ]
+
dg P% que combinándola con la ecuación anterior conduce a:
S
+
I
+
#
+
D -
+
+
que es la expresión que queríamos encontrar.
Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformación
de Lorentz (Opcional)
Al igual que hicimos en el punto 3.3, partimos de la ecuación (1.11), que es
la diferencial segunda de la componente eléctrica de una onda
unidimensional que se propaga a lo largo del eje
de coordenadas fijado.
Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales
se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
Página 25
d
en el primer miembro y los
d
Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformación
de la ecuación (1.11), que es
la diferencial segunda de la componente eléctrica de una onda
unidimensional que se propaga a lo largo del eje OX del
Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales ENINE_, de
a lo largo del eje
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 26
OX común a ambos sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. La
ecuación (1.11) en el sistema de referencia de O es:
F
+
9
FS
+
D
1
-
+
F
+
9
F
+
NNNNNNNNNNN1.11d
Si la ecuación es invariante ante la transformación de Lorentz, al aplicar las
ecuaciones (1.20) ó (1.22) debemos obtener una expresión análoga, en la
que, en lugar de x y t, tienen que aparecer x’ y t’. Como en el punto (3.3),
vamos a derivar E dos veces respecto a x y respecto a t usando las
ecuaciones (1.22) y la regla de la cadena para funciones de dos variables.
De las ecuaciones de Lorentz obtenemos que:
FS
V
FS
= ^
F
FS
i q ]HedD ^NNNNN1.23dNNNNévnbvQ-Efnv5nw5nenGfQe-HwPfQQ e g Hevd
FS
V
F
= ^
F
F
i q ]Hedg q^]Hnnnnn1.24dNNNNévnbvQ-Efnv5nw5ninGfQe-HwPfQQ i g Hevd
F
V
FS
= ^
F
FS
T −
]
-
iU g q^
]
-
NNNNN1.25dNNNNINNNNN
F
V
F= ^
F
F
T −
]
-
SU D ^NNNNN1.26d
Así que, derivando 9CS
V
O
V
d dos veces respecto a x:
F9
FS
=
F9
FS
V
FS
V
FS
+
F9
F
V
F
V
FS
= ^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
F
+
9
FS
+
=
F
FS
T
F9
FS
U =
F
FS
T^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
U =
=
F
FS
V
T^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
U
FS
V
FS+
F
F
V
T^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
U
F
V
FS=
FÍSICA MODERNA Página 26
OX común a ambos sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. La
ecuación (1.11) en el sistema de referencia de O es:
F
+
9
FS
+
D
1
-
+
F
+
9
F
+
NNNNNNNNNNN1.11d
Si la ecuación es invariante ante la transformación de Lorentz, al aplicar las
ecuaciones (1.20) ó (1.22) debemos obtener una expresión análoga, en la
que, en lugar de x y t, tienen que aparecer x’ y t’. Como en el punto (3.3),
vamos a derivar E dos veces respecto a x y respecto a t usando las
ecuaciones (1.22) y la regla de la cadena para funciones de dos variables.
De las ecuaciones de Lorentz obtenemos que:
FS
V
FS
= ^
F
FS
i q ]HedD ^NNNNN1.23dNNNNévnbvQ-Efnv5nw5nenGfQe-HwPfQQ e g Hevd
FS
V
F
= ^
F
F
i q ]Hedg q^]Hnnnnn1.24dNNNNévnbvQ-Efnv5nw5ninGfQe-HwPfQQ i g Hevd
F
V
FS
= ^
F
FS
T −
]
-
iU g q^
]
-
NNNNN1.25dNNNNINNNNN
F
V
F= ^
F
F
T −
]
-
SU D ^NNNNN1.26d
Así que, derivando 9CS
V
O
V
d dos veces respecto a x:
F9
FS
=
F9
FS
V
FS
V
FS
+
F9
F
V
F
V
FS
= ^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
F
+
9
FS
+
=
F
FS
T
F9
FS
U =
F
FS
T^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
U =
=
F
FS
V
T^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
U
FS
V
FS+
F
F
V
T^
F9
FS
V
− ^
]
-
F9
F
V
U
F
V
FS=
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 27
D V^
F
+
9
FS
V+
q ^
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
W ^ V^
F
+
9
F
V
FS
V
q ^
]
-
F
+
9
F
V+
W Tq^
]
-
U⇒
F
+
9
FS
+
= ^
+
V
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
WNNNN1.27d
Y derivando 9CS
V
O
V
d dos veces respecto a t:
F9
F
=
F9
FS
V
FS
V
F
+
F9
F
V
F
V
F
= −^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
F
+
9
F
+
=
F
F
T
F9
F
U =
F
F
T−^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
U =
=
F
FS
V
T−^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
U
FS
V
F+
F
F
V
T−^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
U
F
V
F=
= V−^]-
F
+
9
FS
V+
+ ^
F
+
9
FS
V
F
V
W−^]-d+ V−^]-
F
+
9
F
V
FS
V
+ ^
F
+
9
F
V+
W ^ ⇒
F
+
9
F
+
= ^
+
V
F
+
9
F
V+
+ ]
+
-
+
F
+
9
FS
V+
− 2]-
F
+
9
FS
V
F
V
WNNNN1.28d
Combinando las ecuaciones (1.11), (1.27) y (1.28), llegamos a:
^
+
V
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
W =
^
+
-
+
V
F
+
9
F
V+
+ ]
+
-
+
F
+
9
FS
V+
− 2]-
F
+
9
FS
V
F
V
W
Donde, si cancelamos el término común ^
+
, y operamos:
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
+ ]
+
F
+
9
FS
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
Vemos que se cancelan los términos en 2] -%, por lo tanto:
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
+ ]
+
F
+
9
FS
V+
FÍSICA MODERNA Página 27
D V^
F
+
9
FS
V+
q ^
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
W ^ V^
F
+
9
F
V
FS
V
q ^
]
-
F
+
9
F
V+
W Tq^
]
-
U⇒
F
+
9
FS
+
= ^
+
V
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
WNNNN1.27d
Y derivando 9CS
V
O
V
d dos veces respecto a t:
F9
F
=
F9
FS
V
FS
V
F
+
F9
F
V
F
V
F
= −^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
F
+
9
F
+
=
F
F
T
F9
F
U =
F
F
T−^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
U =
=
F
FS
V
T−^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
U
FS
V
F+
F
F
V
T−^]-
F9
FS
V
+ ^
F9
F
V
U
F
V
F=
= V−^]-
F
+
9
FS
V+
+ ^
F
+
9
FS
V
F
V
W−^]-d+ V−^]-
F
+
9
F
V
FS
V
+ ^
F
+
9
F
V+
W ^ ⇒
F
+
9
F
+
= ^
+
V
F
+
9
F
V+
+ ]
+
-
+
F
+
9
FS
V+
− 2]-
F
+
9
FS
V
F
V
WNNNN1.28d
Combinando las ecuaciones (1.11), (1.27) y (1.28), llegamos a:
^
+
V
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
W =
^
+
-
+
V
F
+
9
F
V+
+ ]
+
-
+
F
+
9
FS
V+
− 2]-
F
+
9
FS
V
F
V
W
Donde, si cancelamos el término común ^
+
, y operamos:
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
+ ]
+
F
+
9
FS
V+
− 2
]
-
F
+
9
FS
V
F
V
Vemos que se cancelan los términos en 2] -%, por lo tanto:
F
+
9
FS
V+
+
]
+
-
+
F
+
9
F
V+
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
+ ]
+
F
+
9
FS
V+
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FÍSICA MODERNA Página 28
Y agrupando los términos en x’ y en t’ en el primer y en el segundo
miembro respectivamente y sacando factor común:
F
+
9
FS
V+
1 − ]
+
d=
1
-
+
F
+
9
F
V+
1 − ]
+
dnpn
F
+
9
FS
V+
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
Que es la ecuación (1.11) en el sistema de referencia del observador O’. Lo
que demuestra que las ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo son
invariantes ante una transformación del Lorentz.
FÍSICA MODERNA Página 28
Y agrupando los términos en x’ y en t’ en el primer y en el segundo
miembro respectivamente y sacando factor común:
F
+
9
FS
V+
1 − ]
+
d=
1
-
+
F
+
9
F
V+
1 − ]
+
dnpn
F
+
9
FS
V+
=
1
-
+
F
+
9
F
V+
Que es la ecuación (1.11) en el sistema de referencia del observador O’. Lo
que demuestra que las ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo son
invariantes ante una transformación del Lorentz.
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