Transformaciones lineales

1. Álgebra Lineal Transformaciones Lineales Francisco Niño Rojas

2. Transformaciones Lineales Definición: Sean y espacios vectoriales. Una transformación lineal T de en es una función que asigna a cada vector de un único vector en .       Francisco Niño R. UNISALLE

3. Transformaciones Lineales Tal que: , para todo par de vectores en , para todo en y todo   Francisco Niño R. UNISALLE

4. Nota Las dos condiciones las podemos resumir en: Si , la transformación lineal: se denomina operador lineal   Francisco Niño R. UNISALLE

5. Ejemplos : Consideremos T: definida por Por ejemplo, =   Francisco Niño R. UNISALLE

6. Estamos transformando el vector en el vector bajo la transformación de . Decimos que el vector esta en la imagen de . ( ).  

7. Ejercicio: Transforme los vectores (1, -2) y teniendo en cuenta la transformación anterior. Encuentre otros elementos de la Suponga que esta dada por Represente geométricamente la  

8. En general para y se puede verificar q ue es una . Así: ya que son componentes reales conmutamos y Asociamos . Entonces tenemos :  

9. Por lo tanto + . Se cumple la primera propiedad. Similarmente, También cumple la segunda propiedad y en consecuencia es una transformación lineal.  

10. Ejemplos especiales La transformación cero. Consideremos y espacios vectoriales y la transformación definida por para todo de Entonces Nota: Recordemos que es el vector cero o elemento neutro del espacio vectorial .  

11. Consulta: Consulte sobre la transformación Identidad, la transformación de reflexión, y transformación de proyección ortogonal . Puedes ayudarte del texto guía. (Algebra lineal S. Grossman)

12. Otro ejemplo especial : Sea representada por una matriz de . Entonces definimos Donde es una matriz de y es un vector en . Es fácil ver que es una  

13. Por lo tanto, toda matriz de da origen a una transformación lineal de en Ejercicio : Si es una transformación lineal de tal que: Halle: y . TAREA: Consulte sobre la transformación de rotación.  

14. Ejemplo: Sea una transformación definida Donde donde es una matriz fija de . Para la primera propiedad consideremos dos matrices y en . Entonces  

15. Para la segunda propiedad consideremos una matriz y valor real. Entonces: Consideramos propiedades con operaciones usuales entre matrices como el producto de matrices y el producto de un escalar por una matriz. Luego es un  

16. Ejercicios Determinar cuales de las siguientes transformaciones son lineales: 1. , definida por 2. T: definida por   Francisco Niño R. UNISALLE

17. Propiedades Si es una transformación lineal, entonces:   Francisco Niño R. UNISALLE

18. Ejercicios: Usando el mismo razonamiento hecho en clase, resolver: Sea lineal tal que: Encontrar :   Francisco Niño R. UNISALLE

19. Gracias y Ánimo con las tareas