Transformaciones trigonometricas.docx

Explicación de transformaciones Trigonométricas (seno y Coseno)

1. Colegio Franciscano de Pio XII
TRASFORMACIONES TRIGONOMETRICAS ÁREA: MATEMÁTICAS



Material diseñado por la docente: Stefani L. Dorado S. – 2020. Modificado por Germán Alonso Varela. Para los
grados 10-2 y 10-3


Una transformación es el cambio que puede sufrir la gráfica de una función trigonométrica en el plano
cartesiano, es decir, puede subir, bajar, tener mayor o menor amplitud, mayor o menor periodo, puede correrse
a la derecha o a la izquierda, o ¡Una mezcla de todo !.

Partiendo de las gráficas básicas de las funciones trigonométricas (construidas en clase), la idea es ir
identificando todas y cada una de las transformaciones que se le pueden hacer a las funciones y cómo es la
variación correspondiente en la función y en la gráfica.

https://www.geogebra.org/m/xahRd9Fm , allí puedes interactuar con las funciones
trigonométricas.

1. Traslación Vertical
Obtenemos una traslación vertical al sumarle un término independiente (un número) a la función seno o coseno.
Así se genera una traslación (movimiento) vertical de la gráfica. No se cambia la amplitud, la gráfica solamente
se desplaza hacia arriba o hacia abajo en el plano.









Ejemplo: gráfica en un mismo plano las siguientes funciones para compararlas:
f (x) = sin x y g (x) = sin x + 2 La única diferencia es que se le sumó un 2.



Según lo que vemos en la gráfica de g (x), el periodo (cada cuanto se repite la curva) no cambia (La amplitud
tampoco cambia, es 1 en ambas gráficas.

* Si no te queda claro lo de la amplitud de g (x) la puedes calcular como el máximo menos el mínimo dividido
en 2. Igual te la pongo en azul en la gráfica.
El movimiento de la
gráfica será …
Si…
Hacia arriba Sumo una constante positiva
Hacia abajo Sumo una constante negativa

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El rango para g (x) es [1, 3]. Recuerda que el rango son los valores entre los que oscila la función al ser evaluada
(y se encuentran en el eje “y”).

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son iguales en ambas gráficas, por ejemplo, en el intervalo de
[0,90°] ambas funciones son crecientes.

Los valores máximos y mínimos varían, ahora son 3 y 1 respectivamente.

El corte con el eje “y” también varía, puedes ver el corte en y= 2. No hay cortes con el eje “x”.



2. Traslación Horizontal

Obtenemos una traslación horizontal al sumarle un término independiente (un número) al argumento de la
función seno o coseno, o la función trigonométrica que se esté trabajando.

—> El argumento de la función trigonométrica es el ángulo sobre el cual se está definiendo la función.

Sen (θ + 90°)
Función Argumento


El movimiento de la
gráfica será …
Si… Por ejemplo
Hacia la izquierda Sumo una constante positiva
al argumento
f (θ ) = cos(θ + 90°)
Hacia la derecha Sumo una constante
negativa
f (θ ) = cos(θ −90° )
Ejemplo: graficar en un mismo plano las siguientes funciones:
y g (x) = cos (x - π/2)

: https://www.youtube.com/watch?v=XUg-Z9_kWL0

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Podemos notar que la primera cresta de la función coseno se corrió a la derecha al sumar - π/2 en el
argumento. Analizando este ejercicio podemos ver que:
• Periodo no cambia: π para ambas funciones
• La amplitud no cambia: 1 para ambas funciones.
• El rango no cambia: [-1, 1] para ambas funciones.
• Los intervalos de crecimiento y decrecimiento sí cambian, por ejemplo, en el intervalo de [0, π/2 ] la función f
(x) es decreciente, mientras que la función g (x) es creciente.
• Los valores máximos y mínimos son iguales en ambas, máximo = 1, mínimo= -1.
• El corte con el eje “y” varía, puedes ver el corte en y= 1 para f (x) y En y= 0 para g (x).
• Los cortes con el eje “x” son los diferentes, pero esto puede cambiar en cada caso:
Cortes de f (x) con eje “x” π/2; 3π/2; 5 π/2 … Cortes de g (x) con eje “x”: 0,π,2π,3π, …

: https:// www.youtube.com/watch?v=k5bSs5YlQ0A

3. Dilataciones y contracciones verticales (o estiramiento o recogimiento)
En este tipo de dilataciones solo hay cambios en la amplitud de la función, es como volver la función más alta
o más bajita:
• Obtenemos una dilatación vertical cuando multiplicamos la función por cualquier número positivo mayor que
uno.
• Obtenemos una contracción vertical cuando multiplicamos la función por cualquier número positivo entre
cero y uno. Ejemplos:

Ejemplos:

Dilatación vertical Contracción vertical
( f (x) = sin x , g (x) = 4 sin x ) ( f (x) = sin x, g (x) = 0.6 sin x )

—> Mira que el coeficiente que multiplica la función corresponde a la amplitud de la función, en cada caso.

Ejemplo: En el plano se muestran dos gráficas. En azul está la gráfica de f (x) = sin x ¿Cuál sería la función g (x)
que corresponde a la gráfica que se muestra en color magenta?

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La respuesta sería la opción d

Amplia expuesto aquí: https://www.youtube.com/watch?v=tksrQE8N19E&t=11s

4. Dilataciones y contracciones horizontales (estiramiento o recogimiento horizontal)
En este tipo de dilataciones solo hay cambios en el ancho de cada tramo de la función, es como volver la
función más gordita o más delgadita:
• Obtenemos una contracción horizontal cuando multiplicamos el argumento de la función por cualquier
número positivo o negativo que no esté entre -1 y 1. Puedes ver que en la contracción los máximos de la función
están más seguidos.
• Obtenemos una dilatación horizontal cuando multiplicamos el argumento de la función por cualquier número
en el intervalo (-1,1). Puedes ver que en la contracción los máximos de la función están más separados. Ejemplo
contracción horizontal:
La gráfica muestra la función f (x) = cos x y una contracción horizontal ( g (x) = cos(2x)
Ejemplo dilatación horizontal:
La gráfica muestra la función f (x) = cos x y y una dilatación horizontal ( p (x) = cos((1/2)x)
¿Necesitas aclarar algo? Mira el video : https://www.youtube.com/watch?v=nhhDIeqzoqU

Reto: En el plano se muestran tres gráficas. En morado está la gráfica de f (x) = cos x ¿Cuál sería la función

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g (x) que corresponde a la gráfica que se muestra en color gris? Y ¿Cuál sería la función h (x) que corresponde
a la gráfica que se muestra en color amarillo?
(la funcion roja es un zoom de la amarilla)