Transformada de fourier y transformada inversa de fourier

fourier

1. Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier
La Transformada deFourieres una aplicación lineal esta definida y goza de una serie de
propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones
mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.de una función se define
mediante una integral,a esta integral se le llamaintegral de contorno. El hecho es que las
transformadas integrales aparecen enpares de transformadas. si se transforma en
mediante unatransformada integral , entonces se puede
recuperar la funciónmediante otra transformada integral, ,
llamadatransformada inversa. A las funciones y se les llama núcleos de sus
transformadas respectivas. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el
nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el
exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos.
se F(x) una función definida en -∞ a ∞ entonces su transformada de Fourier no es mas que el
coeficiente cw de la integral de Fourier en forma compeleja para F(x)
Definición formal
Seafuna función Lebesgue integrable:



La transformada de Fourier defes la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple
demuestra que la transformada de FourierF(f)es una función acotada. Además por medio del
teorema de convergencia dominada puede demostrarse queF(f)es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrablefestá definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier
inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier
formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta
transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de

2. complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la
aplicación de la Varianza para cada función.
Transformada de Fourier



Transformada Inversa de Fourier



Transformada de Fourier de funciones simples



TEOREMAS
Teorema1

Teorema2

Teorema3

Teorema 4

Teorema 5

Teorema 6

Teorema 7

3. Teorema 8


Teorema 9


Teorema 10

Teorema 11

Teorema 12

5. Ejemplo
Encontrar la trasformada de Fourier de la función impulso

6. Definición de impulso:

y

Ejemplo 1
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:


SOLUCIÓN:
Por propiedades del valor absoluto se sabe que:


Entonces:






entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe que al
evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es cero por lo tanto:

7. Ejemplo 2
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?


SOLUCIÓN:











Ejemplo 3
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?

, donde k y a son constantes

SOLUCIÓN:

8. Por propiedad de la forma exponencial compleja del Seno se sabe que:

por lo tanto al aplicar la identidad anterior al resultado se obtiene:


}
Ejemplo4
a.) Demostrar que la transformada de fourier del escalón unitario esF[ ] =

Solución:







b.) Demostrar que la transformad de Fourier deF[ ] =

9. Ejemplo 5
Encuentre la Transformada de Fourier dedefinida por :


Donde
Solución :
De Acuerdo con :

Se tiene que







Ejemplo6

10. Esto lo Podemos re-escribir como

entonces

Ejemplo7
Encuentre su transformada de Fourier
Observamos que hay un corrimiento
entonces la transformada nos queda

Ejemplo8
Encuentre la transformada

Ejemplo9
encuentre la transformada de Fourier.


Ejemplo10
Encontrar la transformada inversa

Ejemplo11

12. Ejemplo12
Demostrar que :

Partiendo de la definicion







Por lo tanto demostramos que:
Ejemplo13