Transformada de Laplace ejercicios resueltos

estos documentos, son creados para que sean de divulgación pública

1. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Recopilado y publicado por: Pedro González
EJERCICIOS RESUELTOS
1.Transformadas de Laplace por definición
2.Transformadas de Laplace utilizando teoremas
3.Transformadas inversas
4.Derivada de transformada
5.Teorema de convolución
6.Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada)
7.Ecuaciones integrales
8.Ecuaciones integrodiferenciales
9.Circuitos
10.Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:
1) ()1=Tf
L{} ()
SS
e
S
e
S
e
dTe
ST
ST 1
11
0
0
0
=+
-
=
-
==
¥-
¥
¥
-
-
ò
2) ()TTf=
L{} ()
2
0
0
2
0
1
SS
e
S
Te
dT
S
e
S
Te
dTTeT
STSTSTST
ST
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
-
-
-
==
¥
¥
----
¥
-
òò

2. S
e
vdTedv
dTduTu
ST
ST
-
- -
=Þ=
=Þ=
3) ()
aT
eTf=
L{ } ( )
( )
( )
aSaS
e
dTedTedTeee
aST
aSTaTSTaTSTaT
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
====
¥
--
¥
--
¥
+-
¥
-
òòò
1
0
000
TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:
1) () TTsenTf 2cos2+=
L{ }=+ TTsen 2cos2 L{ }Tsen2+ L{ }T2cos=
44
2
22
+
+
+S
S
S
2) () 36
2
-+= TTTf
L{ }=-+ 36
2
TT L{}
2
T+ 6 L{}T- 3 L {}1=
SSS
362
23
-+
3) ()( ) 1331
233
+++=+= TTTTTf
L{ }133
23
+++ TTT = L{}
3
T+ 3 L{}
2
T+ 3 L{}T+ L{}1=
SSSS
1366
234
+++
4) ()( )
TTT
eeeTf
42
2
2
211 ++=+=
L{ }
TT
ee
42
21 ++ = L{}1+ 2 L{ }
T
e
2
+ L{ }
T
e
4
=
4
1
2
21
-
+
-
+
SSS
5) ()( )
TTTTTTTT
eeeeeeeeTf
5335
5
510105
----
-+-+-=-=
L{ }=-+-+-
--- TTTTTT
eeeeee
5335
510105 L{ }
T
e
5
- 5 L{ }
T
e
3
+ 10 L{}
T
e- 10 L{ }
T
e
-
+ 5{ }
T
e
3-
- L
{ }
T
e
5-
=
5
1
3
5
1
10
1
10
3
5
5
1
+
-
+
+
+
-
-
+
-
-
- SSSSSS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1) () TeTf
T
2cos
2
=

3. L{ }=Te
T
2cos
2
L{ }
( ) 84
2
42
2
4
2cos
22
2
22
+-
-
=
+-
-
=
+
=
-®
-®
SS
S
S
S
S
S
T
SS
SS
2) () TseneTf
T
3=
L{ }=Tsene
T
3 L{ }
( ) 102
3
91
3
9
3
3
22
1
21
+-
=
+-
=
+
=
-®
-®
SSSS
Tsen
SS
SS
TRANSFORMADAS INVERSAS:
1)L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
3
1
S

!2
1
L
-1
÷
ø
ö
ç
è
æ
3
!2
S
=
2
2
1
T
2) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
4
1
S

!3
1
L
-1
÷
ø
ö
ç
è
æ
4
!3
S
=
3
6
1
T
3) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
52
481
SS
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
2
1
S
+ L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
5
48
S
=
4
2TT+
4) L
-1
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
3
12
SS
= L
-1

þ
ý
ü
î
í
ì
+-
642
144
SSS
=
!1
4
L
-1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
2
!1
S

!3
4
L
-1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
4
!3
S

!5
1
L
-1

þ
ý
ü
î
í
ì
6
!5
S
=
53
120
1
3
2
4 TTT +-
5) L
-1
( )
þ
ý
ü
î
í
ì+
4
3
1
S
S
= L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì +++
4
23
133
S
SSS
= L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+++
432
1331
SSSS
=
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
S
1
+ 3 L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
2
1
S
+
!2
3
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
3
!2
S
+
!3
1
L
-1

þ
ý
ü
î
í
ì
4
!3
S
=
32
6
1
2
3
31 TTT +++
6) L
-1
T
eT
SSS
2
2
1
2
111
+-=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
+-
7) L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+14
1
S
= L
-1
4
1
4
1
4
1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+
4
1
1
S
=
T
e
4
1
4
1
-
8) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-25
1
S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
-
5
2
5
1
S
=
5
1
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
5
2
1
S

T
e
5
2
5
1

4. 9) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+49
5
2
S

7
5
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+49
7
2
S
Tsen7
7
5
10) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+16
10
2
S
S
10 L
-1
T
S
S
4cos10
16
2
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
11) L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
9
62
2
S
S
= 2 L
-1
3
6
9
2
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+S
S
L
-1
TsenT
S
323cos2
9
3
2
-=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
12) L
-1
( )( )( )þ
ý
ü
î
í
ì
--- 632
5
SSS
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
561218
0589
0
565128189
5326263
632
5
632
222
=++
=---
=++
=+-++-++-
=--+--+--
---
=
-
+
-
+
-
CBA
CBA
CBA
SSCSSBSSA
SSCSSBSSA
SSSS
C
S
B
S
A
2
1
=A , 1-=B y 2
1
=C
L
-1
( )( )( )þ
ý
ü
î
í
ì
--- 632
5
SSS
=
2
1
L
-1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
-2
1
S
L
-1
2
1
3
1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
-S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
-6
1
S
=
TTT
eee
6
2
132
2
1
+-
13) L
-1
( )þ
ý
ü
î
í
ì
+4
1
2
SS
( )
( )( )
4
1
4
1
22
2
22
14
0
0
14
14
4
1
4
-=-=Þ=Þ=
=
=+
=+++
=+++
+
=
+
+
+
ABAA
C
BA
CSBSAAS
SCBSSA
SSS
CBS
S
A
L
-1
( )þ
ý
ü
î
í
ì
+4
1
2
SS
=
4
1
L
-1
4
11
-
þ
ý
ü
î
í
ì
S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+4
2
S
S
= T2cos
4
1
4
1
-

5. 14) L
-1
( )( )þ
ý
ü
î
í
ì
++ 41
1
22
SS
( )( )
( )( )( )( )
14
04
0
0
144
114
41
1
41
2323
22
2222
=+
=+
=+
=+
=+++++++
=+++++
++
=
+
+
+
+
+
DB
CA
DB
CA
DDSCSCSBBSASAS
SDCSSBAS
SSS
DCS
S
BAS
0=A , 3
1
=B , 0=C y 3
1
-=D
L
-1
( )( )þ
ý
ü
î
í
ì
++ 41
1
22
SS
=
3
1
L
-1
2*3
1
1
1
2
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+S
L
-1
TsensenT
S
2
6
1
3
1
4
2
2
-=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1)L
-1

( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
3
2
1
S

!2
1
L
-1
T
SSSS
eTT
S
22
2
2
2
3
2
1
2
1!2
-
+®+®
==
þ
ý
ü
î
í
ì
2) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+- 106
1
2
SS
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+-+- 11106
1
2
SS
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++- 196
1
2
SS
L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+- 13
1
2
S
L
-1
3
2
1
1
-®þ
ý
ü
î
í
ì
+
SS
S
= senTe
T3
3) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++ 52
1
2
SS
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+++ 412
1
2
SS
L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++ 41
1
2
S 2
1
L
-1

1
2
4
2
+®þ
ý
ü
î
í
ì
+
SS
S
Tsene
T
2
2
1
-
=
4) L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++
+
346
52
2
SS
S
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+-++
+
2525346
52
2
SS
S
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+++
+
2596
52
2
SS
S
L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++
-++
253
1152
2
S
S
L
-1
( )
-
þ
ý
ü
î
í
ì
++
+
253
62
2
S
S
L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++ 253
1
2
S
2 L
-1
( ) þ
ý
ü
î
í
ì
++
+
253
3
2
S
S

6. 5
1
- L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++ 253
5
2
S
2 L
-1
5
1
25
3
2
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+
+®SS
S
S
L
-1 =
þ
ý
ü
î
í
ì
+
+®3
2
25
5
SS
S
TseneTe
TT
5
5
1
5cos2
33 --
-
5) L
-1
( )þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
32
1
12
SS
S
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
53223
033
023
50
1223333
121111
1
12
111
22323423234
222233
32322
=-=Þ=+
=++++
=+++
-=Þ-=Þ=+
-=+++++++++++++
-=++++++++
+
-
=
+
+
+
+
+
++
BABA
EDCBA
DCBA
CACCA
SESDSDSCSCSCSBBSBSBSASASASAS
SESSDSSCSSBSAS
SS
S
S
E
S
D
S
C
S
B
S
A
1-=B , 4-=D y 3-=E
L
-1
( )þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
32
1
12
SS
S
= L
-1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
S
5
L
-1
+
þ
ý
ü
î
í
ì-
2
1
S
L
-1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
1
5
S
L
-1
( ) !2
3
1
4
2
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
S
L
-1

( )þ
ý
ü
î
í
ì
+
3
1
!2
S
=
TTT
eTTeeT
---
----
2
2
3
455
DERIVADA DE TRANSFORMADA:
1)L{ }TT2cos= ()
dS
d
1- L{ }TT2cos=() ()
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
--
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
2
2
22
2
4
24
1
4
1
S
SS
S
S
dS
d
()
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
1
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
-
S
S
S
s
2) L{ }()
dS
d
TTsenh 13 -= L{ }() ()
()
( ) ( )
2
2
2
2
2
9
6
9
23
1
9
3
13
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-=
S
S
S
S
SdS
d
Tsenh
3) L{ }()
2
2
22
1
dS
d
senhTT -= L{ }()
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-=
2
2
22
2
2
1
2
1
1
1
S
S
dS
d
SdS
d
senhT

7. ( )( ) ( )
( )
=
-
---+-
2
2
22
1
18212
S
SSSS

( ) ( )
( ) ( )
3
2
2
4
2
22
2
2
1
26
1
1812
-
+
=
-
-+--
S
S
S
SSS
4) L{ }()
dS
d
TsenTe
T
16
2
-= L{ }() =÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-=
-®2
2
2
36
6
16
SS
T
SdS
d
Tsene
()
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
-
362
6
1
2
SdS
d
() ()
( )
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
--
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
-
2
2
2
404
426
1
404
6
1
SS
S
SSdS
d
( )
2
2
404
2412
+-
-
SS
S
5) L{ }()
dS
d
TTe
T
13cos
3
-=
-
L { }() =÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-=
+®
-
3
2
3
9
13cos
SS
T
S
S
dS
d
Te
()
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
-
93
3
1
2
S
S
dS
d
() ()
( )( )
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
++-++
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
++
+
-
2
2
2
2
186
623186
1
186
3
1
SS
SSSS
SS
S
dS
d
()
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
---++
-
2
2
22
186
18122186
1
SS
SSSS

( )
2
2
2
186
6
++
+
SS
SS
6) L{ }()
3
3
33
1
dS
d
senhTeT
T
-=
-
L { }() =÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-=
+®
-
1
23
3
1
1
1
SS
T
SdS
d
senhTe
()
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
-
11
1
1
23
3
SdS
d
() ()
( )
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+-
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
2
2
2
2
23
3
2
221
1
2
1
1
SS
S
dS
d
SSdS
d
()
( )( )( )( )( )
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
++----+
-
4
2
2
2
2
2
22222222
1
SS
SSSSSS
dS
d

( )() ( )( )
( )
( )( ) ( )[ ]
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+-++
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
++-+
4
2
222
4
2
222
2
2
222222
2
222222
SS
SSSSS
dS
d
SS
SSSSS
dS
d
( )
( )( )( )( )( )
( )
=
+
++------+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
---
6
2
2
22
3
2
3
2
2
2
2223812612122
2
8126
SS
SSSSSSSS
SS
SS
dS
d

8. ( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )
6
2
23
6
2
2
2
2
2
3610810836
2
228126312122
SS
SSS
SS
SSSSSS
+
+++
=
+
+------+
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1)L( ){ }
aS
eaTu
-
=- L{}
S
e
aS-
=1
2) L ( ){ }
S
eTu
2
23
-
=- L{}
S
e
S2
3
3
-
=
3) L ( ){ }=-aTTu L( )( ){ }=-+- aTuaaT L( )( ){ }+-- aTuaT L ( ){ }=-aTau
aS
e
-
L{}+T
aS
ae
-
L{}=1
S
ae
S
e
aSaS --
+
2
4) L( )( ){ }
S
eTuT
-
=-- 11 L{}
2
S
e
T
S-
=
5) L ( ){ }=-
-
2
2
Tue
T
L
( )
( ){ }
ST
eTue
22
2
---
=- L{ }
1
2
+
=
-
-
S
e
e
S
T
6) L( )( ){ }=-+ 313 TuT L( )( ){ }=-+-+ 3101013 TuT L( )( ){ }=-+- 31093 TuT
3 L( )( ){ }1033 +--TuT L( ){ }=-3Tu
S
e
3
3
-
L{}
S
eT
3
10
-
+ L{}
S
e
S
e
SS 3
2
3
103
1
--
+=
7) L ( ){ }=-
-
5
5
TuTe
T
L( ) ( ){ }=-+-
-
555
5
TueT
T
L( ) ( ){ }+--
-
55
5
TueT
T

L ( ){ }=-
-
55
5
Tue
T

S
e
5-
L{ }
ST
eTe
5
5
-
+ L{}
( ) 1
5
1
5
2
5
-
+
-
=
--
S
e
S
e
e
SS
T
8) L( ) ( ){ }
ST
eTueT
--
=-- 11
13
L{ }
( )
4
3
1
6
-
=
-
S
e
eT
S
T
TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1)L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
3
2
S
e
S
L
-1
!2
11
2
3
=
þ
ý
ü
î
í
ì -S
e
S
L
-1
( )=-==
þ
ý
ü
î
í
ì --
2
2
1
2
1!2
2222
3
TuTeTe
S
SS

9. ( )( )22
2
1 2
-- TuT
2) L
-1( )
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
+
+
-
2
1
2
2
S
e
S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+
++
--
2
21
42
S
ee
SS
= L
-1
2
2
1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
+S
L
-1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-S
e
S
2
2
1
L
-1
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-S
e
S
4
2
1
( ) ( )=-+-+
---
422
222
TueTuee
TTT
( )
( )
( )
( )422
42222
-+-+
-----
TueTuee
TTT
3) L
-1
( )
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
1SS
e
S
= L
-1
( )
S
e
SS
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
1
( )
( )
11
11
1
1
1
-=Þ=
=++
+
=
+
+
BA
BSSA
SSS
B
S
A
L
-1
( )
S
e
SS
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
1
= L
-1
-
þ
ý
ü
î
í
ì -S
e
S
1
L
-1 ( )
( )
( )11
1
1
1
---=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
---
TueTue
S
TS
4) L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
-
1
2
2
SS
e
S
L
-1
( )
S
e
SS
2
2
1
1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
-
( )
( ) ( )
111
0
0
1
111
1
1
1
22
2
22
=Þ-=Þ-=
=+-
=+
=+-+-
=+-+-
-
=
-
++
CAB
BA
CA
CSBBSASAS
CSSBSAS
SSS
C
S
B
S
A
L
-1
( )
S
e
SS
2
2
1
1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
-
= L
-1 ( )( )=-+--=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
+-
-
-
21
1
111
2
2
TueTe
SSS
TS
( )( )( ) ( )2222
2
-+-----
-
TueTuTTu
T
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:

10. 1)L ( ){ }ò
-
T
o
dTsene tt
t
senTTg
eTf
T
=
=
)(
)(
L ( ){ }=-ò
T
o
dTsene tt
t
L{}
T
e L{ } ÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
1
1
1
1
2
SS
senT
2) L
-1
( )( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+- 41
1
SS
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
-1
1
S
L
-1 ()( )
( )
===
þ
ý
ü
î
í
ì
+
---
ò
t
tt
deeee
S
T
T
TT 4
0
4
4
1
=
-
ò
t
tt
deee
T
T
44
0

=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
---
ò
5
1
55
5
4
0
5
4
0
54
T
T
T
T
T
T e
e
e
edee
t
t
t
55
4TT
ee
-
-
3) L
-1
( )( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-+ 21
1
SS
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
1
S
L
-1
( )( )
( )
===
þ
ý
ü
î
í
ì
-
---
ò
t
tt
deeee
S
T
T
TT 2
0
2
2
1
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
==
--
--
òò
3
1
33
3
2
0
3
2
0
3222
0
T
T
T
T
T
TT
T e
e
e
edeedeee
t
ttt
tt
33
2TT
ee
+
-
-
4) L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
2
1
1
S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
1
S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
1
S
= ( )( )
( )
==
-----
ò
t
tt
deeee
T
T
TT
0
()
T
T
T
T
TT
T
Teededeee
-----
===òò 0
00
ttt
tt
5) L
-1
( )
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
+
2
2
4S
S
L
-1
þ
ý
ü
î
í
ì
+4
2
S
S
L
-1
( ) =÷
ø
ö
ç
è
æ
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
TsenT
S
2
2
1
2cos
4
1
2
( ) ( )=-ò
ttt dTsen
T
0
22
2
1
2cos ( )=-ò
tttt dTsenTsen
T
22cos2cos22cos
2
1
0
òò
=-
TT
dTsendTsen
00
2
2cos22cos
2
1
2cos2
2
1
ttttt -÷
ø
ö
ç
è
æ+
ò
t
t
dTsen
T
0 2
4cos1
2
2
1
ò
=÷
ø
ö
ç
è
æ
T
dsenT
0
4
2
1
2cos
2
1
tt ò ò ò
=-+
T T T
dsenTdTsendTsen
0 0 0
42cos
4
1
4cos2
4
1
2
4
1
ttttt

11. () =÷
ø
ö
ç
è
æ-
-÷
ø
ö
ç
è
æ
+
T
o
T
T
TsenTsenTsen ttt 4cos
4
1
2cos
4
1
4
4
1
2
4
1
2
4
1
0
0

( )( )
TTsen
TTTTTsenTTTTTsensenTTsen
2
4
1
2cos24cos22cos4cos2cos422
16
1
4
1
16
1
16
1
16
1
4
1
=--+=-++
ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):
1) 1=-¢yy ()00=y
() =--
ss
yySy 0 L{}1
( )
( )1
11
1
-
=Þ=-
SS
y
S
Sy
ss
( )
( )
11
11
1
1
1
=Þ-=
=+-
-
=
-
+
BA
BSSA
SSS
B
S
A
()-=Ty L
-1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
S
1
L
-1

T
e
S
+-=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
1
1
1
2) Tyy =+¢2 ()10-=y
() =+-
ss
yySy 20 L{}T
( )
( )
( )
( ) ( )
4
3
4
1
2
1
222
22
2
2
2
2
2
2
2
12
02
1
122
122
2
1
2
2
1
1
1
2
1
21
-=Þ-=Þ=Þ=
=+
-=+
-=++++
-=++++
+
-
=
+
++
+
-
=Þ-=+
=++
CABB
BA
CA
SCSBBSASAS
SCSSBSAS
SS
s
S
C
S
B
S
A
SS
s
y
S
Sy
S
ySy
ss
ss

12. ()
4
1
-=Ty L
-1
2
1
1
+
þ
ý
ü
î
í
ì
S
L
-1
4
3
2
1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
S
L
-1

T
eT
S
2
4
3
2
1
4
1
2
1
-
-+
-
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
3)
T
eTyyy
23
44 =+¢-¢¢ ()00=y , ()00=¢y
() () () =+--¢--
sss
yySyySyyS 404400
2
L{ }
T
eT
23
( )
( )( ) ( )( ) ( )
64242
4
2
2
6
22
6
244
6
2
6
44
-
=
--
=
-+-
=
-
=+-
SSSSSS
y
S
ySyyS
s
sss
()
!5
6
=Ty L
-1

T
SS
eT
S
25
2
6
20
1!5
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-®
4) ()Tfyy =+¢ ()00=y , () ( )15-=TuTf
() =+-
ss
yySy 0 L ( ){ }15-Tu
( )
( ) ( )
( )
5,5
1
5
1
1
5
1
5
5
1
-==Þ
+
=
+
+
+
=
+
=
=+
-
-
-
BA
SSS
B
S
A
e
SSSS
e
y
S
e
Sy
S
S
s
S
s
()5=Ty L
-1
5
1
-
þ
ý
ü
î
í
ì -S
e
S
L
-1
( ) ( )=---=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
--
1515
1
1
TueTue
S
TS
( )
( )
( )1515
1
---
--
TueTu
T
5) ()Tfyy =+¢¢4 ()00=y , ()10-=¢y , () ( )11 --= TuT
() () =+¢--
ss
yySyyS 400
2
L ( ){ }11 --Tu

13. ( )
( ) ( )
( )4
1
4
1
44
1
1
1
4
1
41
22
22
2
2
+
=
+
+
+
-
+
-
+
=
--=+
-=++
-
-
-
SSS
CBS
S
A
SS
e
SS
y
S
e
S
Sy
S
e
S
yyS
S
S
S
S
S
ss
4
1
=A , 4
1-
=B y 0=C
()
4
1
=Ty L
-1
4
11
-
þ
ý
ü
î
í
ì
S
L
-1
4
1
4
2
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+S
S
L
-1
4
11
-
þ
ý
ü
î
í
ì -S
e
S
L
-1
2
1
4
2
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-S
e
S
S
L
-1

þ
ý
ü
î
í
ì
+4
2
2
S

( ) ( )( ) TsenTuTTuT 2
2
1
112cos
4
1
1
4
1
2cos
4
1
4
1
---+---=
6)
()
0
4
=-yy ()10=y , ()00=¢y , ()10-=¢¢y , ()00=¢¢¢y
() () () ()
( )
( )
( )
( )
( )( ) 111
1
1
1
1
0
00000
222
2
4
2
34
34
234
+
=
-+
-
=
-
-
=
-=-
=-+-
=-¢¢¢-¢¢-¢--
S
S
SS
SS
S
SS
y
SSSy
ySSyS
yyySySySyS
S
S
ss
Ss
()=Ty L
-1
T
S
S
cos
1
2
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
ECUACIONES INTEGRALES:
1) () ( )() TdfTTf
T
=-+ò
ttt
0
L (){ }Tf + L ( )(){ }=-ò
tttdfT
T
0
L{}T
()
()
()
22
22
11
1
1
SS
SF
SS
SF
SF
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=+
()
( ) 1
1
1
222
2
+
=
+
=
SSS
S
SF ()=ÞTy L
-1
senT
S
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
1
2

14. 2)
() ( )ò
--=
T
dtfsenTTf
0
42 ttt
() ()
()
() () ()
( )
( )
( ) ( )( )
2255
2255
5
22
5
5
222
1
5
1
41
2
1
4
1
1
1
4
2
22323
2222
22
2
22
22
2
22
2
2
2
22
22
+=+++++
+=+++++
+
+
=
+
+
++
+
+
=Þ=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
++
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-=
SDSCSBBSASAS
SSDCSSBSAS
SS
S
S
DCS
S
B
S
A
SS
S
SF
SS
S
SF
S
S
SF
SS
SF
SF
SS
SF
5
8
5
2
25
0005
2
0
=Þ=Þ=
=Þ=Þ=
=+
=+
DBB
CAA
DB
BA
()
5
2
=Ty L
-1
55
81
2
+
þ
ý
ü
î
í
ì
S
L
-1
TsenT
S
5
55
8
5
2
5
5
2
+=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
3)
() () ( ) senTedTscdfTf
T
T
+=-+
-
ò
402
0
tttt
() ()
() ()
( )
()
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
23
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
1
1
1
44
11
1
11
14
1
1
1
4
1
1
1
1
1
4
1
12
1
1
1
4
1
2
+
+
+
+
=
++
+
+
++
+
=
+
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
Þ
+
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
++
+
+
+
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
SS
S
SS
S
SS
S
SF
SSS
S
SF
SSS
SS
SF
SSS
S
SFSF

15. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
8,8,4
4411
1
44
111
22
3
2
32
=-==
+=++++
+
+
=
+
+
+
+
+
CBA
SCSBSA
S
S
S
C
S
B
S
A
()=Tf L
-1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+1
4
'
S
L
-1
( )
+
þ
ý
ü
î
í
ì
+
2
1
8
S
L
-1
( )
+
þ
ý
ü
î
í
ì
+
3
1
8
S
L
-1
( )
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
2
1
1
S
L
1
TTTT
TeeTTee
----
+-
2
484
ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES:
1) () () 196
0
=++ ò
T
dyTy
dT
dy
tt ()00=y
()
( )( )
22
3
1
96
19
6
1
960
+
=
++
=Þ=÷
ø
ö
ç
è
æ
++
=++-
SSSS
S
y
SS
Sy
SS
y
yySy
ss
s
ss
()=Ty L
-1

( )
T
Te
S
3
2
3
1
-
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
2) ()ttò
--=¢
T
dysenTy
0
1 ()00=y
()
( )
2
2
22
2
11
1
1
111
1
11
0
+
-
+
=Þ
+
-=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
-=-
S
S
S
y
SSS
Sy
S
y
SS
ySy
ss
s
s
() TsenTsenTTy
2
1
-=
CIRCUITOS:
1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1W y C = 0.02
faradios.

16. () ( )[ ]11100 --= TuTE ()00=I

() ( )[ ]
() ( )[ ]
()( )
( )
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
Þ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ ++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=++-
--=++
--=++
--
-
-
ò
ò
S
e
S
S
I
S
e
SS
SS
I
S
e
SS
I
ISI
S
e
SS
I
IISI
TudII
dT
dI
TudI
C
RI
dT
dI
L
S
s
S
s
S
s
ss
S
s
ss
T
o
T
o
1
20000
1001
20000
10000200
1
20000
10000
200
1
100
50
005.0
11100
02.0
1
05.0
11100
1
22
tt
tt
( ) ( ) ( )
() ( )
( )
( )1120000200002000020000
100
20000
100
200001
100
20000
1100100100100
222
---=-=
+
-
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ-
+
=
------
--
TueTTeeTeTeTI
S
e
SS
e
S
S
I
TTSTT
SS
s
2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC)
cuando ()00=q , R = 2.5W, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3).
()
( ) ()( )
( )
( )
( )
5
2
5
2
33
3
25
5
2
5
5
25
55.2
5
5.1205.2355.125.2
1
-
--
-
=Þ=Þ=++
+
=
+
+
+
=Þ=+
=+-Þ-=+¢
=+
BABSAAS
SSS
B
S
A
SS
e
q
S
e
Sq
S
e
qqSqTuqq
TEq
cdT
dq
R
S
s
S
s
S
ss
()
5
2
=Tq L
-1
5
21
3
-
þ
ý
ü
î
í
ì -S
e
S
L
-1
S
e
S
3
5
1
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+
= ( )
( )
( )3
5
2
3
5
2
35
---
--
TueTu
T
3)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en
serie cuando ()00=q , R = 50W, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).

17. ( ) ( )
()( )
( ) ( )
( )
2
1
2
1
3
3
12
2
1
2
22
5050
100050
350150
01.0
1
50
-
--
--
=Þ=Þ=++
+
=
+
+
+
-
+
=
-=+-
---=+
BABSAAS
SSS
B
S
A
SS
e
SS
e
q
S
e
S
e
qqSq
TuTuq
dT
dq
SS
s
SS
ss
()
() ( )
( )
( ) ( )
( )
( )3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
11
2
1
2
1
2
11
2
1
3212
33
-+-----=
þ
ý
ü
î
í
ì
+
+
þ
ý
ü
î
í
ì
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
þ
ý
ü
î
í
ì
=
----
----
TueTuTueTuTq
e
S
e
S
e
S
e
S
Tq
TT
SSSS
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA):
1)
x
dT
dy
yx
dT
dx
2=
+-=

()
()10
00
=
=
y
x
Þ
þ
ý
ü
=¢
+-=¢
xy
yxx
2
()
() 020
00
=--
=-+-
ss
sss
xySy
yxxSx
( )
( )
( ) ( )
4
9
2
2
1
4
9
4
922
2
2
1
2
1
2
1
12
21021021
0
-+
=
-+-+
=
-+
=Þ=-+
--+==--+Þ=--
+=Þ=-+
SSSSS
xSSx
xSxxSxxSxSxSy
xSxyyxSx
ss
ssssssss
ssssss
() Tsenhe
S
Tx
T
SS
2
3
3
2
3
2
2
1
2
14
9
2
2
3
-
+®
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
=

18. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
() TsenheTsenheTeTy
SSS
S
SS
S
y
SS
SxSxy
TTT
s
sxs
2
3
3
2
2
3
4
3
2
3
cosh
11
11
2
1
2
1
2
1
4
9
2
2
1
4
9
2
2
1
2
1
4
9
2
2
1
2
1
4
9
2
2
1
4
9
2
2
1
2
1
2
1
4
9
2
2
1
4
9
2
2
1
---
+-=
-+-+
-
-+
+
=
-+
+
-+
-+
=
-+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
=+=
R/() TsenheTx
T
2
3
3
2
2
1
-
= y
() TsenheTsenheTeTy
TTT
2
3
3
2
2
3
4
3
2
3
cosh
2
1
2
1
2
1
---
+-=
2)
yx
dT
dy
yx
dT
dx
-=
-=
5
2

()
()20
10
=
-=
y
x
Þ
þ
ý
ü
-=¢
-=¢
yxy
yxx
5
2 ()
()
Þ
þ
ý
ü
-=-
-=-
sss
sss
yxySy
yxxSx
50
20
Þ
þ
ý
ü
-=-
-=+
sss
sss
yxSy
yxSx
52
21
25
12
=-+
-=+-
sss
sss
xySy
yxSx
( )[ ]()
( )[ ]( )
Þ
þ
ý
ü
-=++-
-=+-
1215
5121
SSyx
ySx
ss
ss
( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( )
() TsenTTy
SS
S
y
SSy
SSy
SSSyy
SSSySx
ySx
s
s
s
ss
ss
ss
3
3
7
3cos2
9
7
9
2
729
72110
2251110
121115
51015
22
2
2
-=Þ
+
-
+
=
-=+
-=-+
-+-=-++
-=-++--
-=+-
( )[ ]( )
( )[ ]( )
Þ
þ
ý
ü
-=++-
+-=+-
2215
1121
Syx
SySx
ss
ss
( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
() TsenTTx
SS
S
x
SSx
SxSSx
SSySSx
Syx
s
s
ss
ss
ss
3
3
5
3cos
9
5
9
5101
4111011
111211
41210
22
2
--=Þ
+
-
+
-
=
--=+-
-+-=++-
+-=+++-
-=+-

19. R/() TsenTTy 3
3
7
3cos2 -=
() TsenTTx 3
3
5
3cos--=