TRANSFORMADA ZETA

TRANSFORMADA ZETA

1. TRANSFORMADAZETA
Señales y Sistemas

2. AGENDA
DEFINICION
PROPIEDADES
TRANSFORMADA INVERSA
ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y SISTEMAS
DISCRETOS
FUNCION DE TRANSFERENCIA
ANALISIS DE SISTEMAS

3. TRANSFORMADA ZETA
La transformada Z es una herramienta básica
para el análisis y síntesis de sistemas
discretos.
Utilizaremos la transformada Z para la
caracterización y análisis de sistemas
discretos.

4. Definición de la Transformada Z
Utilización: análoga a la de la transformada
de Laplace en tiempo continuo

5. Definición de la Transformada Z
Se define la Transformada Z, X(z) de una secuencia
x[n]
La cantidad compleja z generaliza el concepto de
frecuencia al dominio complejo como
Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3}, la
Transformada Z es X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El
valor z-1 es el operador de retraso unidad.
å
¥
-¥=
-
==
n
n
znxzXnxZ )()(]}[{
)2exp(
s
ftjrz p=

6. Definición de la Transformada Z
Ya que X(z) es una series de potencias, podría no
converger para todo z.
Los valores de z para los cuales X(z) converge
definen la región de convergencia (ROC).
Toda X(z) lleva asociada una ROC, ya que podría
ocurrir que dos secuencias distintas produzcan una
X(z) idéntica con diferentes ROCs.

7. La ROC y la relación entre Tz y la
TF en tiempo discreto
wj
rez= { } { }
nnj
n
nj
rnxFernxreX
--
¥
-¥=
-
==å )()()(
ww
þ
ý
ü
î
í
ì
¥<== å
¥
¥=
-
-n
)( cual elen
nj
rnxrezROC
w
• Solo depende de r = | z|, al igual que la ROC en el plano de s
depende solo de Re(s).
• Circulo unitario (r=1) en la ROC  existe la TF X(e
jw
) en tiempo
discreto

8. ROC
Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z,
excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z) tiene términos z
-k
y/
o z
k
).
Transformadas Z de algunas secuencias:
Impulso Unidad
x[n] = d[n] X(z) = 1, ROC -∞<z<∞
Pulso Rectangular
x[n] = u[n]-u[N-n] 
Escalón Unitario
x[n] = u[n] 
0z ,
1
1
)(
1
¹
-
-
=
-
-
ROC
z
z
zX
N
1z ,
1
)( >
-
= ROC
z
z
zX

9. Ejemplo 1
derecho lado del ,][][ nuanx
n
=
az
z
az
azzazX
n
n
n
nn
-
=
-
===
-
¥
=
-
¥
=
-
åå 1
0
1
0 1
1
)()(
Si | az
-1
| <1, es decir |z |> |a |
Es decir, ROC |z |> |a | fuera
del circulo

10. Ejemplo 2
]1[][ ---= nuanx
n
az
z
za
zazazazX
n
n
n
n
n
nn
-
=
-
-=-==-=
-
¥
=
-
¥
=
-
-
-¥=
-
ååå 1
1
1
1
1
1
1
1
1)(1)()(
Si | a
-1
z| <1, es decir |z |< |a |
Es decir, ROC |z |< |a | dentro
del circulo

11. Observación
En estos dos últimos ejemplos se observa
que la Transformada Z es idéntica para las
dos secuencias. Sin embargo la ROC es
distinta.
Para la secuencia causal, la ROC es |z|>|a|,
mientras que para la anticausal |z|<|a|.
La ROC dependerá de si la señal es causal
(definida en el eje positivo), anticausal (eje
negativo) o no causal (dos ejes).

12. Propiedades
Superposición

ax[n]+by[n]  aX[z] + bY[z]
Desplazamiento
x[n-1]  z
-1
X[z]+x(-1)
x[n-N]  z
-N
X[z]+z
-(N-1)
x(-1)+…. x(-N)
x[n+N]  z
N
X[z]-z
N
x(-1)-…. zx(N-1)

13. Propiedades
Escalado

a
n
x[n] X[z/a]
Multiplicado por
n
nx[n] -zdX[z]/dz
n
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
--Þ
dz
zdX
z
dz
d
znxn
)(
][
2

14. Propiedades
Multiplicado por
cos
sin
{ } { }[ ]
)()(
2
1
][)cos(
TjTj
o
oo
zeXzeXnxTn
ww
w
-
+Þ
{ } { }[ ]
)()(
2
1
][)sin(
TjTj
o
oo
zeXzeXjnxTn
ww
w
-
-Þ

15. Propiedades
Convolucion
Diferencia
][][][*][ zYzXnynx Þ
][)1(]1[][
1
zXznxnx
-
-Þ--

16. Propiedades
Teorema del Valor Inicial
Teorema del Valor Final
][]0[lim
zXx
z¥®
=
][
1
][limlim
1
zX
z
z
nx
zn
÷
ø
ö
ç
è
æ-
=
®¥®

17. Algunas Transformadas Z
Secuencia Transformada Z ROC
d(n) 1 Todo z
d(n-m),m>0 z
-m
|z |>0
d(n+m),m>0 z
m
|z |<∞
m(n) z/(z-1) |z |>1
-m(-n-1) z/(z-1) |z |<1

18. Secuencia Transformada Z ROC
a
n
m(n) z/(z-a) |z |>a
-a
n
m(-n-1) z/(z-a) |z |<a
na
n
m(n) az/(z-a)
2
|z |>a
Cos(w
o
nT)m(n) |z |>1
Sin(w
o
nT)m(n) |z |>1
r
n
Cos(w
o
nT)m(n) |z |>r
r
n
Sin(w
o
nT)m(n) |z |>r
[ ]
1)(2
)(
2
+-
-
zTCosz
TCoszz
o
o
w
w
1)(2
)(
2
+- zTCosz
TzSin
o
o
w
w
[ ]
22
)(2
)(
rzTrCosz
TrCoszz
o
o
+-
-
w
w
22
)(2
)(
rzTrCosz
TzrSin
o
o
+- w
w

19. Transformada Inversa
La transformada Z es una secuencia de muestras que esta
escrita por definición:
X(z)=x(0)+x(T)z
-1
+x(2T)z
-2
+……
Si podemos manipular X(z) en esta forma, los valores de la
muestras, x(nT), pueden ser determinados por inspección.
Esto se logra por una división donde X(z) es expresada como
una relación polinomial en z.
Antes de dividir es conveniente arreglar tanto el numerador
como el denominador en potencias ascendentes de z
-1
.

20. Ejemplo
)2.0)(1(
)(
2
--
=
zz
z
zX

21. Propiedades de la ROC
La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado
aproximadamente en el origen (equivalente a una tira vertical
en el plano s)
La ROC no contiene ningún polo

22. Propiedades de la ROC
Si x[n] tiene duración finita, la ROC constituye todo el plano z,
excepto posiblemente en z = 0 y/o z = ∞.
Si x[n] es una secuencia del lado derecho, y si |z| = r
o
se encuentra
en la ROC, todos los valores finitos de z para los cuales |z| > r
o
se
encuentran (converge más rápido que) también en la ROC.

23. Propiedades de la ROC
Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, y si |z| = r
o
se
encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los que
0 < |z| < r
o
se encuentran también en la ROC.
Si x[n] es bilateral, y si |z| = r
o
se encuentra en la ROC, la ROC
consiste en un anillo en el plano z que incluye el círculo |z| = r
o
.
A que tipo de señales corresponden las siguientes ROC?

24. Ejemplo
0b ,)( >=
n
bnx

25. Sistemas Discretos en Tiempo
Con la transformadas Z, tenemos la herramienta necesaria para
explorar los sistemas discretos en el tiempo.
Propiedades de los Sistemas:
Sistemas Invariante en el Tiempo
Sistemas Causales y no Causales: Un sistema discreto en
tiempo es causal si y solo si:
implica
)]([)( nTxΗnTy =
)]([)( TnnTxΗTnnTy
oo
-=-
021 ),()( nnnTxnTx £=
021
)],([)]([ nnnTxHnTxH £=

26. Sistemas Discretos en Tiempo
En otras palabras, si la diferencia entre dos entradas a un
sistema es cero para n<n
o
, la diferencia entre las salidas
respectivas debe ser cero.
Sistemas Lineales: Un sistema discreto es lineal si y solo si:
Donde
Sistemas Estables: Un sistema lineal discreto es estable
BIBO si:
)()()]()([
22112211 nTynTynTxnTxH aaaa +=+
1,2i para )],([)( == nTxHnTy
ii
¥<)(nTy
åå
¥
-¥=
¥
-¥=
-£-=
kk
kTnThkTxkTnThkTxnTy )()()()()(

27. Sistemas Discretos
Pero se sabe que la entrada es limitada, es decir:
De esto, se puede observar que
Entonces la estabilidad del sistema se reduce a comprobar que
¥££MnTx)(
å
¥
-¥=
£
k
nThMnTy )()(
¥£å
¥
-¥=k
nTh)(

28. ECUACIONES DE DIFERENCIAS
La ecuación diferencial modela un sistema de tiempo continuo,
la ecuación de diferencia modela un sistema de tiempo discreto.
Veamos el siguiente ejemplo de ecuación diferencial
La salida del sistema puede ser expresada de la forma:
Lo que nos dice que el valor presente de la salida del sistema,
y(t) depende de valores previos de la entrada del sistema y es
también una función de valores pasados de la salida del
sistema
)()(
)(
tbxtay
dt
tdy
=+
aaaa òò
¥-¥-
-=
tt
dyadxbty )()()(

29. Un sistema discreto opera de la misma manera, ya
que la salida presente del sistema depende de la
entrada presente x(nT), entradas pasadas x(nT-kT) y
salidas pasadas del sistema y(nT-kT) .
La estructura de tal procesador sigue la ecuación de
diferencias general
ECUACIONES DE DIFERENCIAS
..)2()(.....)2()()()(
21210
-----+-+-+= TnTyKTnTyKTnTxLTnTxLnTxLnTy

30. x(nT)
x(nT-T)
x(nT-2T)
x(nT-rT)
L
0
L
1
L
2
L
r
Z
y(nT)
y(nT-T)
y(nT-2T)
y(nT-mT)
-K
1
-K
2
-k
m

PROCESADORLINEALDEDIGITAL

31. FUNCION DE TRANSFERENCIA
DISCRETA
Aplicando la transformada Z a ambos lados de la ecuación de
diferencia usando la propiedad de retardo.
La relación entre Y(z) y X(z) definen la función de transferencia
del sistema H(z).
Por definición, se sabe que si la entrada al sistema discreto es
la función pulso unitario, la salida del sistema es H(z). Con la
transformada inversa de zeta obtendremos que
y(nT) = h(nT)
m
m
r
r
zKzK
zLzLL
zH
zX
zY
--
--
+++
+++
==
.....1
.....
)(
)(
)(
1
1
1
10

32. FUNCION DE TRANSFERENCIA
DISCRETA
Podemos expresar la función de transferencia
factorizada
Se denominan polos del sistema a los valores
p
1
,p
2
,...,p
m
. Determinan la forma de la respuesta del
sistema (modos naturales del sistema). Los ceros del
sistema (z
1
,z
2
,...,z
r
) determinan las frecuencias
bloqueadas por el sistema.
))........()((
)).....()((
.....1
.....
)(
21
21
1
1
1
10
m
r
m
m
r
r
pzpzpz
zzzzzz
K
zKzK
zLzLL
zH
---
---
=
+++
+++
=
--
--

33. El plano z y Estabilidad del Sistema
La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la
respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable
(integrable en continuo).
Esto quiere decir que h[n]=0 en n=∞. Para ello es necesario que
los polos de la función de transferencia H(z) estén todos dentro
del círculo unidad en el plano z (|p
i
|<1). Esto evita que la
respuesta tenga exponenciales crecientes.
La estabilidad de una función de Transferencia puede
determinarse simplemente inspeccionando los coeficientes del
denominador de la función de Transferencia. Para ello, debe
estar en forma de términos de 2º Orden,
int
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
0
2
1N
L ,
1
1
)(
)(
)(
ú
û
ù
ê
ë
é+
=
++
++
== Õ
-
=
--
--L
i ii
ii
zz
zz
a
zD
zN
zH
aa
bb

34. Para cada uno de los términos de 2º Orden podemos calcular
las raíces (l
1i
y l
2i
) del denominador de la siguiente forma:
Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple
La raíces deben estar dentro del círculo unidad, por lo que |l
1i
|
<1 y |l
2i| <1. Esto implica que el coeficiente |a
2i|<1.
)1)(1(1)(
1
2
1
1
2
2
1
1
----
--=++= zzzzzD
iiii llaa
).(
)(
2121
211
iii
iii
lla
lla
=
+-=

35. RAICES DEL POLINOMIO
2
4
,
2
4
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
aaa
l
aaa
l
--
-=
-+
-=
ii
i
i
i
i
12
1
22
1
2
1
241
2
4
aaa
aaa
-<-Þ<
-+
ii
i
ii
i
21
1
2
12
1
2
144 aaaaaa +<Þ+-<-
a
1i
a
2i
1
-1
1 2
-1-2

36. Transformada Inversa por Inversión de
la Integral

37. Ejemplo de un Sistema Discreto
)()()( TnTynTkxnTy -+= a
)()()( nTkxTnTynTy =--a
)()()(
1
zkXzYzzY =-
-
a
1
1)(
)(
)(
-
-
==
z
k
zX
zY
zH
a
Tj
Tj
e
k
eH
w
w
a
-
-
=
1
)(

38. Ejemplo de un Procesador Digital
k
x(nT)
S
z
-1
a
y(nT)
+
+