Trg123

pps

1. §H- 1 -
Tr­êng ®¹i häc kiÕn tróc hµ néi
Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu
Ts ph¹m v¨n trung


Bµi gi¶ng phÇn I
æn ®Þnh c«ng tr×nh
Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN



Hà nôi, 2014

2. §H- 2 -
1. Më ®Çu

1.1 ý nghÜa cña viÖc nghiªn cøu æn ®Þnh c«ng tr×nh
Trong phÇn I vµ II cña c¬ häc kÕt cÊu chóng ta ®· nghiªn cøu c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh to¸n ®é
bÒn vµ ®é cóng cña hÖ kÕt cÊu c«ng tr×nh. Khi thiÕt kÕ kÕt cÊu c«ng tr×nh, nÕu chØ kiÓm tra ®iÒu
kiÖn bÒn vµ ®iÒu kiÖn cøng kh«ng th«i th× ch­a ®ñ ®Ó ph¸n ®o¸n kh¶ n¨ng lµm viÖc cña c«ng
tr×nh. Trong nhiÒu tr­êng hîp, ®Æc biÖt lµ c¸c kÕt cÊu chÞu nÐn hoÆc nÐn cïng víi uèn, tuy t¶i
träng ch­a ®¹t ®Õn gi¸ trÞ ph¸ ho¹i vµ cã khi cßn nhá h¬n gi¸ trÞ cho phÐp vÒ ®iÒu kiÖn bÒn vµ
®iÒu kiÖn cøng nh­ng kÕt cÊu vÉn cã thÓ mÊt kh¶ n¨ng b¶o toµn h×nh d¹ng ban ®Çu ë tr¹ng th¸i
biÕn d¹ng mµ chuyÓn sang d¹ng c©n b»ng kh¸c. Néi lùc trong d¹ng c©n b»ng míi ®ã sÏ ph¸t
triÓn rÊt nhanh vµ lµm cho c«ng tr×nh bÞ ph¸ ho¹i. §ã lµ hiÖn t­îng kÕt cÊu bÞ mÊt æn ®Þnh.
Bµi to¸n æn ®Þnh ®· ®­îc quan t©m tõ ®Çu thÕ kû XVIII, khëi ®Çu tõ c«ng tr×nh nghiªn cøu
b»ng thùc nghiÖm do Piter van Musschenbroek c«ng bè n¨m 1729, ®· ®i ®Õn kÕt luËn ®óng: "lùc

3. §H- 3 -
tíi h¹n tû lÖ nghÞch víi b×nh ph­¬ng chiÒu dµi thanh". Ng­êi ®Æt nÒn mãng cho viÖc nghiªn cøu
lý thuyÕt bµi to¸n æn ®Þnh lµ L. euler qua c«ng tr×nh c«ng bè ®Çu tiªn vµo n¨m 1744. Tuy nhiªn,
cho m·i ®Õn cuèi thÕ kû XIX vÊn ®Ò æn ®Þnh c«ng tr×nh míi ®­îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ qua
nh÷ng cèng hiÕn cña c¸c nhµ khoa häc nh­: Gi¸o s­ F. S. iaxinski, ViÖn sü a. N. §innik, ViÖn
sü V. G. Galerkin... Cho ®Õn nay, ®· cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ lÜnh vùc nµy vµ ®·
gi¶i quyÕt tèt nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n cña thùc tÕ. Trong ph¹m vi bµi gi¶ng nµy ta sÏ nghiªn cøu
c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh cña nh÷ng hÖ thanh lµm viÖc trong giíi h¹n ®µn håi chÞu t¶i träng
t¸c dông tÜnh lµ chñ yÕu.
Trong gi¸o tr×nh søc bÒn vËt liÖu ®· ®Ò cËp tíi æn ®Þnh cña nh÷ng thanh ®¬n gi¶n chÞu nÐn
®óng t©m cßn ë ®©y chóng ta sÏ nghiªn cøu æn ®Þnh cña hÖ thanh lµm viÖc trong miÒn ®µn håi
chÞu t¶I träng t¸c dông tØnh.

4. §H- 4 -
1.2 Kh¸i ni£m vÒ æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh c«ng tr×nh
a. §Þnh nghÜa
§Þnh nghÜa to¸n häc cña a. M. Liapunov vÒ æn ®Þnh chuyÓn ®éng ®­îc xem lµ tæng qu¸t vµ
bao trïm cho mäi lÜnh vùc.
Trong lÜnh vùc c«ng tr×nh, æn ®Þnh lµ tÝnh chÊt cña c«ng tr×nh cã kh¶ n¨ng gi÷ ®­îc vÞ trÝ ban
®Çu hoÆc gi÷ ®­îc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng t­¬ng øng víi c¸c t¶i träng
t¸c dông.
TÝnh chÊt æn ®Þnh cña c«ng tr×nh th­êng kh«ng ph¶i lµ v« h¹n khi t¨ng gi¸ trÞ cña c¸c t¶i
träng t¸c dông trªn c«ng tr×nh. Khi tÝnh chÊt ®ã mÊt ®i th× c«ng tr×nh kh«ng cßn kh¶ n¨ng chÞu
t¶i träng, lóc nµy c«ng tr×nh ®­îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh. Nh­ vËy, vÞ trÝ cña c«ng tr×nh hoÆc d¹ng
c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh cã kh¶ n¨ng æn ®Þnh hoÆc kh«ng æn
®Þnh.
VÞ trÝ cña c«ng tr×nh hay d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh
®­îc gäi lµ æn ®Þnh d­íi t¸c dông cña t¶i träng nÕu nh­ sau khi g©y cho c«ng tr×nh mét ®é lÖch
rÊt nhá khái vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n bÊt kú nµo ®ã

5. §H- 5 -
ngoµi t¶i träng ®· cã (cßn ®­îc gäi lµ nhiÔu) råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× c«ng tr×nh sÏ cã
khuynh h­íng quay trë vÒ tr¹ng th¸i ban ®Çu.
VÞ trÝ cña c«ng tr×nh hay d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh
®­îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh d­íi t¸c dông cña t¶i träng nÕu nh­ sau khi g©y cho c«ng tr×nh mét
®é lÖch rÊt nhá khái vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n bÊt kú
nµo ®ã ngoµi t¶i träng ®· cã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× c«ng tr×nh sÏ kh«ng quay trë vÒ tr¹ng
th¸i ban ®Çu. Lóc nµy, ®é lÖch cña c«ng tr×nh kh«ng cã khuynh h­íng gi¶m dÇn mµ cã thÓ tiÕp
tôc ph¸t triÓn cho ®Õn khi c«ng tr×nh cã vÞ trÝ míi hoÆc d¹ng c©n b»ng míi.
B­íc qu¸ ®é cña c«ng tr×nh tõ tr¹ng th¸i æn ®Þnh sang tr¹ng th¸i kh«ng æn ®Þnh gäi lµ mÊt æn
®Þnh. Giíi h¹n ®Çu cña b­íc qu¸ ®é ®ã gäi lµ tr¹ng th¸i tíi h¹n cña c«ng tr×nh. T¶i träng t­¬ng
øng víi tr¹ng th¸i tíi h¹n gäi lµ t¶i träng tíi h¹n.
Tõ kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh ta còng cÇn ph©n biÖt hai tr­êng hîp: mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ vµ mÊt
æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng.
b. C¸c lo¹i mÊt æn ®Þnh
MÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ

6. §H- 6 -
HiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ x¶y ra khi toµn bé c«ng tr×nh ®­îc xem lµ tuyÖt ®èi cøng,
kh«ng gi÷ nguyªn ®­îc vÞ trÝ ban ®Çu mµ buéc ph¶i chuyÓn sang vÞ trÝ kh¸c. §ã lµ tr­êng hîp
mÊt æn ®Þnh lËt hoÆc tr­ît cña c¸c c«ng tr×nh t­êng ch¾n, mè cÇu, trô cÇu, th¸p n­íc... Trong
nh÷ng tr­êng hîp nµy, c¸c ngo¹i lùc t¸c dông trªn c«ng tr×nh kh«ng thÓ c©n b»ng ë vÞ trÝ ban
®Çu cña c«ng tr×nh mµ chØ cã thÓ c©n b»ng ë vÞ trÝ míi kh¸c vÞ trÝ ban ®Çu. VÞ trÝ cña c¸c vËt thÓ
tuyÖt ®èi cøng cã thÓ lµ æn ®Þnh, kh«ng æn ®Þnh hoÆc phiÕm ®Þnh.
Mét vÝ dô ®¬n gi¶n vÒ hiÖn t­îng æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ lµ tr­êng hîp viªn bi ë c¸c
vÞ trÝ kh¸c nhau nh­ trªn h×nh 1.
MÆc dï viªn bi ®Òu c©n b»ng ë c¶ ba vÞ trÝ, song cã sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a ba tr­êng hîp
nµy khi cã mét nguyªn nh©n nµo ®ã ®­a viªn bi lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng ban ®Çu víi mét l­îng
v« cïng bÐ råi th¶ ra, ta thÊy:
 Tr­êng hîp thø nhÊt, viªn bi ®Æt trªn mÆt cÇu lâm: viªn bi dao ®éng quanh vÞ trÝ ban ®Çu
råi cuèi cïng trë vÒ vÞ trÝ cò. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh. Khi lÖch khái vÞ trÝ c©n
b»ng æn ®Þnh, thÕ n¨ng cña viªn bi t¨ng lªn. Do ®ã, vÞ trÝ cña viªn bi ë d­íi ®¸y mÆt cÇu lâm
hay vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh t­¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi lµ cùc tiÓu.

7. §H- 7 -
 Tr­êng hîp thø hai, viªn bi ®Æt trªn mÆt cÇu låi : viªn bi kh«ng trë vÒ vÞ trÝ ban ®Çu mµ tiÕp
tôc l¨n xuèng phÝa d­íi. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh. Khi lÖch khái vÞ trÝ c©n
b»ng kh«ng æn ®Þnh, thÕ n¨ng cña viªn bi gi¶m. Do ®ã, vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh t­¬ng øng
víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi lµ cùc ®¹i.

H×nh 1.1 HiÖn t­îng æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ
 Tr­êng hîp thø ba, viªn bi ®Æt trªn mÆt ph¼ng : viªn bi kh«ng quay vÒ vÞ trÝ ban ®Çu vµ
còng kh«ng chuyÓn ®éng tiÕp tôc. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng phiÕm ®Þnh. VÞ trÝ c©n b»ng
phiÕm ®Þnh t­¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi kh«ng ®æi.
Trong c¬ häc vËt thÓ tuyÖt ®èi cøng, cã thÓ æn ®Þnh, mÊt æn ®Þnh hoÆc phiÕm ®Þnh.
MÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng
HiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng x¶y ra khi d¹ng biÕn d¹ng
ban ®Çu cña vËt thÓ biÕn d¹ng t­¬ng øng víi t¶i träng cßn nhá, buéc ph¶i chuyÓn sang d¹ng biÕn

8. §H- 8 -
d¹ng míi kh¸c tr­íc vÒ tÝnh chÊt nÕu t¶i träng ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nµo ®ã hoÆc x¶y ra khi biÕn
d¹ng cña vËt thÓ ph¸t triÓn nhanh mµ kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng biÕn d¹ng míi kh¸c tr­íc vÒ tÝnh
chÊt nÕu t¶i träng ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nµo ®ã. Trong nh÷ng tr­êng hîp nµy, sù c©n b»ng gi÷a c¸c
ngo¹i lùc vµ néi lùc kh«ng thÓ thùc hiÖn ®­îc t­¬ng øng víi d¹ng biÕn d¹ng ban ®Çu mµ chØ cã
thÓ thùc hiÖn ®­îc t­¬ng øng víi d¹ng biÕn d¹ng míi kh¸c d¹ng ban ®Çu vÒ tÝnh chÊt hoÆc chØ
cã thÓ thùc hiÖn ®­îc khi gi¶m t¶i träng. HiÖn t­îng nµy kh¸c víi hiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ
trÝ ë c¸c ®iÓm sau: ®èi t­îng nghiªn cøu lµ vËt thÓ biÕn d¹ng, kh«ng ph¶i tuyÖt ®èi cøng; sù c©n
b»ng cÇn ®­îc xÐt víi c¶ ngo¹i lùc vµ néi lùc.
Bµi to¸n æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ th­êng ®¬n gi¶n, trªn c¬ së vËn dông c¸c ®iÒu kiÖn c©n b»ng ®·
biÕt trong C¬ häc c¬ së còng ®ñ ®Ó gi¶i bµi to¸n. Trong bµi gi¶ng nµy chØ xÐt bµi to¸n æn ®Þnh vÒ
d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng.
c. Ph©n lo¹i
XuÊt ph¸t tõ hai quan niÖm kh¸c nhau vÒ tr¹ng th¸i tíi h¹n cña euler vµ cña PoincarrÐ, cã thÓ
chia thµnh hai lo¹i mÊt æn ®Þnh víi c¸c ®Æc tr­ng nh­ sau:
 MÊt æn ®Þnh lo¹i mét

9. §H- 9 -
C¸c ®Æc tr­ng cña hiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét hay mÊt æn ®Þnh euler:
 D¹ng c©n b»ng cã kh¶ n¨ng ph©n nh¸nh.
 Ph¸t sinh d¹ng c©n b»ng míi kh¸c d¹ng c©n b»ng ban ®Çu vÒ tÝnh chÊt.
 Tr­íc tr¹ng th¸i tíi h¹n d¹ng c©n b»ng ban ®Çu lµ duy nhÊt vµ æn ®Þnh; sau tr¹ng th¸i tíi h¹n
d¹ng c©n b»ng ban ®Çu lµ kh«ng æn ®Þnh.
§Ó minh häa ta xÐt mét vÝ dô ®¬n gi¶n lµ tr­êng hîp thanh th¼ng chÞu nÐn ®óng t©m nh­ trªn
h×nh 2.
l
p
Pth
d
a
c
b
0 
ppth p>pth


H×nh 1.2 HiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh lo¹i 1

10. §H- 10 -
 Khi lùc P cßn nhá, thanh vÉn th¼ng, tr¹ng th¸i chÞu nÐn cña thanh lµ tr¹ng th¸i ban ®Çu vµ duy
nhÊt. NÕu ®­a hÖ ra khái d¹ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n nµo ®ã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i
th× hÖ sÏ dao ®éng råi trë vÒ d¹ng ban ®Çu nh­ cò. Do ®ã, d¹ng c©n b»ng nµy lµ æn ®Þnh.
Tr¹ng th¸i c©n b»ng æn ®Þnh nµy ®­îc m« t¶ bëi ®o¹n oa trªn ®å thÞ liªn hÖ gi÷a chuyÓn vÞ  vµ
t¶i träng P.
 Khi t¨ng lùc P ®Õn mét gi¸ trÞ gäi lµ lùc tíi h¹n Pth, thanh ë tr¹ng th¸i tíi h¹n. Lóc nµy, ngoµi
tr¹ng th¸i c©n b»ng chÞu nÐn cßn cã kh¶ n¨ng ph¸t sinh ®ång thêi tr¹ng th¸i c©n b»ng uèn däc,
nghÜa lµ thanh ë tr¹ng th¸i c©n b»ng phiÕm ®Þnh. Nh­ vËy, d¹ng c©n b»ng bÞ ph©n nh¸nh thµnh
hai d¹ng biÕn d¹ng. Tr¹ng th¸i nµy t­¬ng øng víi ®iÓm ph©n nh¸nh a trªn ®å thÞ.
 Khi P > Pth, tr¹ng th¸i c©n b»ng chÞu nÐn vÉn cã kh¶ n¨ng tiÕp tôc tån t¹i song kh«ng æn ®Þnh
v× nÕu ®­a hÖ ra khái d¹ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n nµo ®ã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th×
hÖ sÏ kh«ng cã kh¶ n¨ng trë vÒ d¹ng th¼ng ban ®Çu. D¹ng c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh nµy t­¬ng
øng víi nh¸nh aB trªn ®å thÞ. Trong hÖ còng ph¸t sinh ®ång thêi tr¹ng th¸i c©n b»ng uèn däc

11. §H- 11 -
khi biÕn d¹ng cña thanh lµ h÷u h¹n. D¹ng c©n b»ng nµy lµ æn ®Þnh vµ ®­îc m« t¶ bëi nh¸nh aC
hoÆc aD trªn ®å th .
NÕu tiÕp tôc t¨ng lùc P th× vÒ mÆt lý thuyÕt trong thanh sÏ ph¸t sinh nh÷ng d¹ng c©n b»ng
míi d­íi d¹ng uèn däc t­¬ng øng víi nh÷ng lùc tíi h¹n bËc cao. Tuy nhiªn, ngoµi d¹ng c©n
b»ng thø nhÊt t­¬ng øng víi lùc tíi h¹n nhá nhÊt, nh÷ng d¹ng c©n b»ng t­¬ng øng víi lùc tíi
h¹n bËc cao ®Òu lµ kh«ng æn ®Þnh, hiÕm khi x¶y ra vµ kh«ng cã ý nghÜa thùc tÕ. Bëi vËy trong
thùc tÕ ta chØ cÇn t×m lùc tíi h¹n nhá nhÊt.
HiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét cã thÓ x¶y ra t­¬ng øng víi c¸c d¹ng sau:
 MÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m. Ngoµi vÝ dô võa xÐt, trªn h×nh 3 giíi thiÖu mét sè vÝ dô
kh¸c vÒ mÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m nh­: vµnh trßn kÝn (h×nh 3a) chÞu ¸p lùc ph©n bè ®Òu
h­íng t©m (¸p lùc thñy tÜnh); vßm parabol chÞu t¶i träng ph©n bè ®Òu theo ph­¬ng ngang (hinh
3b). §ã lµ nh÷ng hÖ chØ chÞu nÐn ®óng t©m nÕu bá qua ¶nh h­ëng cña biÕn d¹ng nÐn ®µn håi khi
hÖ cßn æn ®Þnh. NÕu t¶i träng q v­ît qu¸ gi¸ trÞ qth th× trong hÖ sÏ ph¸t sinh d¹ng c©n b»ng míi
theo ®­êng ®øt nÐt. Trong tr­êng hîp khung chÞu t¶i träng nh­ trªn h×nh 3c: khi P < Pth, khung

12. §H- 12 -
cã d¹ng c©n b»ng chÞu nÐn; khi P > Pth, d¹ng c©n b»ng chÞu nÐn kh«ng æn ®Þnh vµ khung cã
d¹ng c©n b»ng míi chÞu nÐn cïng víi uèn theo ®­êng ®øt nÐt trªn h×nh vÏ.
ppth ppth
q
q
a) b) c)

H×nh 1.3 MÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m
 MÊt æn ®Þnh d¹ng biÕn d¹ng ®èi xøng. VÝ dô, ta xÐt khung ®èi xøng chÞu t¶i träng t¸c
dông ®èi xøng nh­ trªn h×nh 4.

13. §H- 13 -
pth pth
p
pth

H×nh 1.4 MÊt æn ®Þnh d¹ng biÕn d¹ng
®èi xøng
H×nh 1.5 MÊt æn ®Þnh d¹ng uèn
ph¼ng
Khi P < Pth, khung cã d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh lµ d¹ng ®èi xøng (®­êng liÒn nÐt); khi P >
Pth, d¹ng c©n b»ng ®èi xøng kh«ng æn ®Þnh vµ khung cã d¹ng c©n b»ng míi kh«ng ®èi xøng
(®­êng ®øt nÐt).
 3. MÊt æn ®Þnh d¹ng uèn ph¼ng. VÝ dô, ta xÐt dÇm ch÷ i chÞu uèn ph¼ng do t¶i träng P
(h×nh 5). Khi P < Pth, dÇm cã d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh lµ d¹ng uèn ph¼ng; khi P > Pth, d¹ng uèn
ph¼ng kh«ng æn ®Þnh vµ dÇm cã d¹ng c©n b»ng míi lµ d¹ng uèn cïng víi xo¾n (®­êng ®øt nÐt).

14. §H- 14 -
 MÊt æn ®Þnh lo¹i 2
BiÕn d¹ng vµ d¹ng c©n b»ng kh«ng kh¸c tr­íc vÒ tÝnh chÊt.
Kh«ng ph©n nh¸nh.
VÝ dô: vßm 3 khíp chÞu lùc P. NhiÖm vô chÝnh x¸c lµ x¸c ®Þnh Pth.
p
k
pth
p
a
c
b
n
n
n
n
f
h
P
th
h
f
th

H×nh 1.6 HiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh lo¹i 2

15. §H- 15 -
§Ó minh häa ta xÐt mét vÝ dô ®¬n gi¶n: tr­êng hîp dµn Mises cã ba khíp a, B, C chÞu lùc P
®Æt t¹i khíp C nh­ trªn h×nh 6a. §å thÞ liªn hÖ gi÷a lùc P vµ chuyÓn vÞ th¼ng ®øng f t¹i C nh­
trªn h×nh 6b.
§Ó dùng ®å thÞ nµy ta cÇn t×m täa ®é cña c¸c ®iÓm trªn ®­êng cong P = P(f), øng víi mçi
®iÓm ta thùc hiÖn nh­ sau: t­¬ng øng víi mçi gi¸ trÞ chuyÓn vÞ f1 ta dÔ dµng t×m ®­îc biÕn
d¹ng däc trôc cña c¸c thanh aC, BC; tiÕp ®ã tõ biÕn d¹ng ®· biÕt t×m ®­îc gi¸ trÞ lùc däc N1
trong c¸c thanh vµ suy ra gi¸ trÞ P1 t­¬ng øng theo tæng h×nh häc cña c¸c lùc N1. Ta nhËn thÊy
ë giai ®o¹n ®Çu lùc P t¨ng lªn cïng víi ®é vâng f nh­ng khi f = h tøc lµ khi ba khíp a, B, C n»m
trªn cïng ®­êng th¼ng th× P = 0. Sù liªn hÖ gi÷a lùc P vµ chuyÓn vÞ f lµ liªn tôc nªn ®­êng cong
P = P(f) ph¶i cã d¹ng nh­ trªn h×nh 6b.
Gi¸ trÞ cña lùc P t­¬ng øng víi khi ®é vâng t¨ng mµ kh«ng cÇn t¨ng t¶i träng gäi lµ lùc tíi
h¹n. Khi P = Pth, sù c©n b»ng gi÷a néi lùc vµ ngo¹i lùc ®¹t ®Õn tr¹ng th¸i giíi h¹n. Khi P > Pth,
sù c©n b»ng chØ cã thÓ x¶y ra khi gi¶m t¶i träng P. Tr¹ng th¸i giíi h¹n ®­îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu
kiÖn: dP/df = 0.

16. §H- 16 -
§ã lµ hiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh lo¹i hai hay hiÖn t­îng mÊt kh¶ n¨ng chÞu lùc theo tr¹ng th¸i
giíi h¹n thø nhÊt. Trong tr­êng hîp nµy ta thÊy biÕn d¹ng cña hÖ ph¸t triÓn nh­ng kh«ng thay
®æi vÒ tÝnh chÊt, kh«ng ph©n nh¸nh.
Trong thùc tÕ, c¸c cÊu kiÖn cña c«ng tr×nh th­êng kh«ng ®¬n thuÇn chÞu nÐn mµ chÞu uèn
cïng víi nÐn nªn c¸c cÊu kiÖn nµy th­êng bÞ mÊt æn ®Þnh lo¹i hai víi t¶i träng nhá h¬n t¶i träng
tíi h¹n lo¹i mét. Tuy vËy, khi x¸c ®Þnh kh¶ n¨ng chÞu lùc cña c¸c cÊu kiÖn chÞu uèn cïng víi
nÐn ta vÉn cÇn biÕt gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc däc trong c¸c cÊu kiÖn ®ã t­¬ng øng víi sù mÊt æn
®Þnh lo¹i mét (xem môc 3.1, ch­¬ng 3). Do ®ã, sù nghiªn cøu hiÖn t­îng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét
kh«ng nh÷ng chØ cã ý nghÜa lý thuyÕt mµ cßn cã ý nghÜa thùc tÕ.
c. NhiÖm vô cña m«n häc
Trong ph¹m vi tµi liÖu nµy ta chØ nghiªn cøu bµi to¸n æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng trong tr¹ng
th¸i biÕn d¹ng cña c¸c lo¹i thanh vµ hÖ thanh lµm viÖc trong giíi h¹n ®µn håi chÞu t¶i träng t¸c
dông tÜnh. Cßn bµi to¸n án ®Þnh vÒ vÞ trÝ cña c«ng tr×nh ®· ®­îc nghiªn cøu trong gi¸o tr×nh c¬
häc c¬ së. NhiÖm vô chÝnh lµ nghiªn cøu c¸c ph­¬ng ph¸p x¸c ®Þnh t¶i träng tíi h¹n ®Ó ®¸nh gi¸
kh¶ n¨ng chÞu lùc cña c«ng tr×nh.

17. §H- 17 -
p3p1 p2 p4

H×nh 1.7 HÖ chÞu nhiÒu lùc t¸c dông ®ång thêi
Trong tr­êng hîp hÖ chÞu nhiÒu lùc t¸c dông ®ång thêi nh­ trªn h×nh 7, thay thÕ cho t¶i träng
tíi h¹n ta dïng kh¸i niÖm vÒ th«ng sè tíi h¹n ®Ó ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng æn ®Þnh. Th«ng sè tíi h¹n
lµ ®é an toµn vÒ mÆt æn ®Þnh cña c«ng tr×nh ®èi víi mét nhãm lùc nhÊt ®Þnh.
Ch¼ng h¹n, cÇn x¸c ®Þnh ®é an toµn cña khung trªn h×nh 7 ®èi víi ba lùc P
1, P
2 vµ P
4 trong sè
bèn lùc t¸c dông trªn hÖ. Muèn vËy ta nh©n ba lùc nµy víi th«ng sè  vµ t×m gi¸ trÞ tíi h¹n th
cña th«ng sè ®Ó sao cho khi hÖ chÞu t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc 
thP
1, 
thP
2 , P3 vµ 
thP
4
(nghÜa lµ t¨ng c¸c lùc P
1, P
2 vµ P
4 lªn 
th lÇn cßn lùc P
3 kh«ng t¨ng) th× khung sÏ ®¹t tíi tr¹ng
th¸i tíi h¹n.

18. §H- 18 -
1.3 Kh¸i niÖm vÒ bËc tù
BËc tù do cña hÖ lµ sè th«ng sè h×nh häc ®éc lËp ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña
hÖ khi hÖ mÊt æn ®Þnh.
VÝ dô, hÖ gåm hai thanh tuyÖt ®èi cøng ®­îc liªn kÕt nh­ trªn h×nh 8 cã bËc tù do b»ng mét
v× toµn bé d¹ng mÊt æn ®Þnh (®­êng ®øt nÐt) cña hÖ ®­îc x¸c ®Þnh theo mét th«ng sè (chuyÓn vÞ
y1 cña khíp gi÷a hay gãc xoay 1 cña mét thanh nµo ®ã).
HÖ gåm bèn thanh tuyªt ®èi cøng ®­îc liªn kÕt nh­ trªn h×nh 9 cã bËc tù do b»ng hai. ThËt
vËy, sau khi x¸c ®Þnh vÞ trÝ míi 1', 2' cña khíp 1 vµ 2 b»ng hai th«ng sè 1 vµ 2 ta dÔ dµng t×m
®­îc vÞ trÝ míi 3' cña khíp 3 lµ giao ®iÓm cña ®­êng trßn cã t©m 2' b¸n kÝnh l víi ®­êng trßn cã
t©m b b¸n kÝnh h.

19. §H- 19 -
y
1


p1,th p2,th p3,th
l
0,5l0,5l
0,333l0,333l0,333l

H×nh 1.8 H×nh 1.9 H×nh 1.10
Víi hÖ cã bËc tù do b»ng n ta cã n gi¸ trÞ lùc tíi h¹n. Ngoµi lùc tíi h¹n nhá nhÊt t­¬ng øng
víi d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh cßn c¸c lùc tíi h¹n kh¸c t­¬ng øng víi d¹ng c©n b»ng kh«ng æn
®Þnh.
C¸c hÖ biÕn d¹ng ®µn håi cã bËc tù do b»ng v« cïng nªn cã v« sè gi¸ trÞ lùc tíi h¹n song chØ
cã lùc tíi h¹n nhá nhÊt lµ cã ý nghÜa thùc tÕ. VÝ dô víi thanh cã hai ®Çu khíp trªn h×nh 10a, tõ
Søc bÒn vËt liÖu ta ®· biÕt lùc tíi h¹n d­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:

20. §H- 20 -
P
n,th = (n )
2

2
l
EI
,
víi n - sè nguyªn.
LÇn l­ît cho n = 1, 2, 3, ta sÏ ®­îc v« sè gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n: H×nh 10
P
1,th = 
2

2
l
EI
; P
2,th = 4
2

2
l
EI
; P
3,th = 9
2

2
l
EI
,…
Trªn h×nh 10 lµ c¸c d¹ng biÕn d¹ng t­¬ng øng víi gi¸ trÞ thø nhÊt, thø hai vµ thø ba cña lùc
tíi h¹n. ChØ cã lùc tíi h¹n thø nhÊt t­¬ng øng víi gi¸ trÞ nhá nhÊt míi cã ý nghÜa thùc tÕ. C¸c
lùc tíi h¹n thø hai, thø ba... chØ cã ý nghÜa lý luËn vµ c¸c d¹ng biÕn d¹ng t­¬ng øng kh«ng æn
®Þnh.
1.4. c¸c biÓu hiÖn vÒ sù c©n b»ng æn ®Þnh
a.BiÓu hiÖn tÜnh häc
Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch, x¸c ®Þnh t¶i träng t­¬ng øng
NÕu: Pl > P – hÖ æn ®Þnh.
Pl < P – hÖ kh«ng æn ®Þnh.

21. §H- 21 -
Pl = P – hÖ phiÕm ®Þnh.
VÝ dô 1.1 : Cho hÖ nh­ h×nh vÏ, EJ =  ngµm ®µn håi víi ®Êt ®é cøng lµ k.
p
l




H×nh 1.11

22. §H- 22 -
Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch. m
= 0 P* - k = 0. P*lsin - k = 0. Cho sin = .
P* =
l
k
, vËy NÕu P <
l
k
th× hÖ æn ®Þnh .
b.BiÓu hiÖn n¨ng l­îng. Dïng nguyªn lý Dirichle: NÕu æn ®Þnh thÕ n¨ng cùc ®¹i. HÖ phiÕm
®Þnh thÕ n¨ng kh«ng ®æi. ThÕ n¨ng toµn phÇn gåm thÕ n¨ng biÕn d¹ng vµ thÕ n¨ng ngo¹i lùc
(tr¸i dÊu víi céng ngo¹i lùc). Khi ë tr¹ng th¸i lÖch sè gia thÕ n¨ng toµn phÇn :
 U = V - T
Theo Dirichle : V > T – æn ®Þnh .
V < T – kh«ng æn ®Þnh .
V = T – phiÕm ®Þnh.
VÝ dô 1.2 : nh­ vÝ dô 1.1

23. §H- 23 -
p
l




H×nh 1.12
Sè gia c«ng ngo¹i lùc : T = .

24. §H- 24 -
T = Pl (1 - cos) = 2Pl sin
2
2

=
2
2
 Pl

V =
2
1
M , M lµ m« men ë ngµm ®µn håi: M = k
V =
2
1
M2 , hÖ æn ®Þnh : V > T
2
2
Pl
<
2
1
M2  P <
l
k
.

1.3. c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh
a. Ph­¬ng ph¸p tÜnh häc
Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch. X¸c ®inh gi¸ trÞ lùc tíi h¹n cã kh¶ n¨ng gi÷ hÖ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng
míi tõ c¸c ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng hay cßn gäi lµ ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh .
Ph­¬ng ph¸p nµy cho phÐp x¸c ®Þnh c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n.
b. Ph­¬ng ph¸p n¨ng l­îng
Gi¶ thiÕt ®­êng ®µn håi hay d¹ng biÕn d¹ng ë tr¹ng th¸i lÖch, tÝnh thÕ n¨ng vµ c«ng ngo¹i
lùc. Sau ®ã ding biÓu hiÖn ë §1.2. Sau ®©y lÇn l­ît tr×nh bµy mét sè ph­¬ng ph¸p th­êng gÆp.

25. §H- 25 -

1.4. ph­¬ng ph¸p lËp vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n
Thø tù nh­ sau:
- Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch lËp ph­¬ng tr×nh vi ph©n.
- T×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n.
- ThiÕt lËp c¸c pt x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n vµ ph¶n lùc ch­a biÕt.
- Khi hÖ mÊt æn ®Þnh c¸c h»ng sè tÝch ph©n kh¸c kh«ng vµ D () = 0.
- Gi¶i ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh , t×m ®­îc lùc tíi h¹n.
* VÝ dô 1.3 : X¸c ®Þnh lùc tíi h¹n nhá nhÊt cho EI = const.

26. §H- 26 -
y
pz
z
l

y

H×nh 1.13
Cho tr¹ng th¸i lÖch nh­ h×nh vÏ 1.13:

27. §H- 27 -
Dïng mÆt c¾t c¾t qua toa ®é z, xÐt c©n b»ng m« mem ph©n trªn toa ®é z ta cã:
M
z = - P( - y);
MÆt kh¸c do ®é lÖch nhá, ¸p dông liªn hÖ vi ph©n gi÷a m«men vµ chuyÓn vÞ nh­ Søc bÒn
vËt liÖu.
EIy
,,
= - M ;
Ta cã :
EIy
,,
= P( - y) ;
Chia hai vÕ cho EI, ®Æt  =
EI
P
vµ chuyÓn vÕ ta ®­îc ph­¬ng tr×nh vi ph©n:
y
,,
+ 
2
y =
2
;
§©y lµ ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 kh«ng thuÇn nhÊt. NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n
cÊp hai kh«ng thuÇn nhÊt b»ng nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 thuÇn nhÊt y
,,
+

2
y =0; lµ y = Acosz + Bsinz céng víi mét nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2
kh«ng thuÇn nhÊt: y
,,
+ 
2
y =
2
; lµ y= .

28. §H- 28 -
Ta cã nghiÖm: y = Acos z + Bsin z +  ;
Víi A, B lµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n ®­îc x¸c ®Þnh theo c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
§iÒu kiÖn biªn:
T¹i z = 0: y = 0;
y
,
= 0;
T¹i z= l: y =  ;
Ta suy ra








0.0.sin.cos
0.0..0
0.1.0.1



BlAl
BA
BA

Tõ ®iÒu kiÖn tån t¹i tr¹ng th¸i lÖch th× c¸c gi¸ trÞ cña A, B,  ph¶I kh¸c kh«ng, mÆt kh¸c
hÖ ph­¬ng tr×nh x¸c ®Þnh A, B, C l¹i lµ hÖ ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt chØ cã nghiÖm kh¸c kh«ng
khi ®Þnh thøc c¸c hÖ sè b»ng kh«ng. Tõ ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh lµ ®Þnh thøc c¸c hÖ sè
b»ng kh«ng:

29. §H- 29 -
D() =
0sincos
00
101
ll
 =0;
 cosl = 0.  l = (2k – 1)
2

víi k = 1. 2. 3. … Khi k = 1.
Tõ  =
EI
P
 P = EI
2
 P
th =
2
2
4l
EJ
= 2,467
2
l
EJ

KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ tinh theo c«ng thøc ¥le.

1.5. thiÕt lËp vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh ®¹i sè
Thø tù tÝnh to¸n :
- Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch.
- LËp ph­¬ng tr×nh ®¹i sè liªn hÖ c¸c chuyÓn vÞ t¹i c¸c ®iÓm kh¶o s¸
- Khi hÖ mÊt æn ®Þnh c¸c nghiÖm y  0 ®­îc ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh .
- Gi¶i vµ t×m ra lùc tíi h¹n.

30. §H- 30 -
* VÝ dô 1.4 : Cho hÖ nh­ vÝ dô 1.3.

l
z
p
p=1
l
p
p

H×nh 1.14
 Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch nh­ h×nh vÏ 1.14a. §é lÖch t¹i ®Çu cét lµ .

31. §H- 31 -
Ta quan niÖm ®é lÖch nµy nh­ mét chuyÓn vÞ ngang t¹i ®Çu cét do t¶i träng P g©y ra vµ
¸p dông c¸ch tÝnh chuyÓn vÞ nµy nh­ trong c¬ häc kÕt cÊu.
Coi hÖ ®· cho lµ tr¹ng tr¹ng “m” vÏ biÓu ®å m« men Mmnh­ h×nh 1.14b.
T¹o tr¹ng th¸i “k” vµ vÏ biÓu ®å kMnh­ h×nh vÏ 1.14c.
TÝnh chuyÓn vÞ: ))((MmkM
 NÕu coi biÓu ®å Mmdo lùc P g©y ra cã d¹ng tam gi¸c
 =
2
1lP
EI

l
2
3
;  (1 -
EI
Pl
3
2
) = 0.
P
th =
2
3
l
EI
, sai sè 20%
 NÕu coi biÓu ®å Mmdo lùc P g©y ra cã d¹ng Parabol :
 = lP
EI

3
21

8
5l
;  (1 -
EI
Pl
12
5
2
) = 0
P
th = 2,4
2
l
EI

Sai sè 2,8% ta cã thÓ chia thµnh nhiÒu ®iÓm.

32. §H- 32 -

1.6. Ph­¬ng ph¸p n¨ng l­îng ¸p dông trùc tiÕp nguyªn lý dirichle
Khi hÖ ë tr¹ng th¸i phiÕm ®Þnh ta cã : TV 
V lµ thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña hÖ d­íi t¸c dông cña néi lùc.

 ds
EJ
M
V
2
2
1
 ;
L­u ý r»ng yEIM 
Thay vµo biÓu thøc trªn ta cã:

 dsyEJV
2
)(
2
1
 ;
T lµ c«ng cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ
Khi hÖ chØ chÞu c¸c lùc tËp trung:

33. §H- 33 -

pkkPT ; 

kl
pkpk
0

;
  cos1cos.  dsdsds
pk
dsytgdsdsdsds
pk
222
2
2
2
1
.
2
1
.
2
1
2
.2.
2
sin2 




















 



dsyPT
lk
k

0
2
2
1


Tr×nh tù tÝnh to¸n.
- Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch.
- Chän hµm sè y biÓu diÔn ®­êng ®µn håi cña hÖ ë tr¹ng th¸I lÖch, Hµm sè nµy ph¶i thâa m·m
c¸c ®iÒu kiÖn biªn
- TÝnh Vvµ T

34. §H- 34 -
- Cho TV ta t×m ®­îc lùc tíi h¹n.
* VÝ dô 1.6 : TiÕn hµnh cho vÝ dô 1.3.
y
pz
z
l

y

Chän hµm sè y =  (1 - cos
l
z
2

) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn :

35. §H- 35 -
y
,
=
l2

sin
l
z
2

; y
,,
=
2
2
4l

cos
l
z

V =
2
1










l
l
EJ
dz
l
z
l
EJ
0
3
42
2
2
2
642
cos
4
.


T =
2
1
P









l
l
Pdz
l
z
l
0
2
2
2
162
sin
2




Cho V = T
3
4222
6416 l
EJ
l
P 
 .
P
th =
2
2
4l
EJ
. KÕt qu¶ chÝnh x¸c v× ®­êng ®µn håi ®óng nh­ ®· chän.

1.7. Ph­¬ng ph¸p ritz
Dùa trªn c¬ së nghiªn cøu thÕ n¨ng toµn phÇn :
U = U
0 + V - T

36. §H- 36 -
V =
2
1

dsyEJ
2,,
)( ; T =
2
1

k
l
k
dsyP
0
2,
)( .
Gi¶ thiÕt hµm d­íi d¹ng chuçi y =  ii
f . (2)
ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn c¸c th«ng sè ®Ó thÕ n¨ng cùc tiÓu :

1f
U


= 0,
2f
U


= 0 …
nf
U


= 0.
LËp ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng vµ t×m P
th.
* VÝ dô 1.9 : Chän hÖ nh­ vÝ dô 1.3.
Gi¶ thiÕt ®­êng biÕn d¹ng
y = f
1z
2
+ f
2z
4
;
y
,
= 2f
1z + 4 f
2z
3
;
y
,,
= 2f
1 + 12 f
2z
2

V = 
dzy
EJ
2,,
2
= 
l
EJ
0
2
(2f
1 + 12 f
2z
2
)
2
dz. = 2Ejl (f
2
1 + 4 f
1f
2l
2
+
5
36
f
2
2
l
4
).

37. §H- 37 -
T = 
l
dzy
P
0
2,
2
= 
l
P
0
2
(2f
1z + 4 f
2z
3
)
2
dz. = 2Pl
3
(
2
1
f
2
1 +
5
4
f
1f
2l
2
+
7
4
f
2
2
l
4
)
VËy U = U
0 + V - T ; cho
1f
U


= 0,
2f
U


= 0.
Ta cã :








0)
7
2
5
18
()
5
(
0)
5
2
2()
3
(
2
42
1
2
2
22
1
2
fl
P
EJlf
l
PEJ
fl
P
EJlfl
P
EJ

Khi mÊt æn ®Þnh f
1, f
2 kh¸c kh«ng, D = 0. §Æt P
*
=
EJ
Pl
2

Khai triÓn ®Þnh thøc : P
*2
– 45P
*
+ 105 = 0  P
*
= 2,5
P
th = 2,5
2
l
EJ
. So s¸nh, sai sè b»ng 1,2%.

38. §H- 38 -
2. æn ®Þnh c¸c thanh th¼ng

2.1. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t ®­êng ®µn håi trong thanh chÞu uèn däc
XÐt thanh nh­ h×nh vÏ :
z
p
m0y0
q0
y
y
z
p
m
q
p
m+dm
q
dy
dz

Trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng :
y
,
0

39. §H- 39 -
M
z = M
0 + Q
0z + P(y – y
0) ; y
,,
= -
EJ
M

y
,,
= -
EJ
yyPzQM )(
000

, gäi 
2
=
EJ
P
.
y
,,
+ 
2
y = -
EJ
PyzQM
000


NghiÖm tæng qu¸t :
y =Asinz + Bcosz -
EJ
PyzQM
2
000



y
,
= Acosz - Bsinz -
EJ
Q
2
0


§iÒu kiªn biªn z = 0 ;
y
0 = B -
EJ
PyM
2
00


; y
,
0 = A -
EJ
Q
2
0

.
A =

,
0
y
+
EJ
Q
3
0

; B =
EJ
M
2
0

.

40. §H- 40 -
Ta cã : y = y0 + 
,
0
y
sinz - EJ
M
2
0
 (1 - cosz) - EJ
Q
3
0
 (z - sinz)
Ph­¬ng tr×nh gãc xoay vµ ®é vâng nh­ sau:
y
,
= y
0
,
cosz -
EJ
M

0
sinz -
EJ
Q
2
0

(z - cosz).
M = -EJy
,,
= EJ y
0
,
sinz + M
0 cosz +

0
Q
sinz
Q
z =
dz
dM
- P
dz
dy
= Q
0
§èi víi ®o¹n m +1 :
y
m+1=y
m+y+


y
,
sin(z–a)-
EJ
M
2


(1–cos(z- a)) -
EJ
Q
3


((z–a)-sin(z–a))
y
,
m+1 = y
,
m + y
,
cos(z- a) -
EJ
M


sin(z- a) -
EJ
Q
2


(1- cos(z – a))
M
m+1 = M
m + EJy
,
sin(z- a) + M cos(z- a) +

Q
sin(z- a)
Q
m+1 = Q
m + Q

41. §H- 41 -

2.2. æn ®Þnh thanh th¼ng cã liªn kÕt cøng ë hai ®Çu vµ liªn kÕt ®µn håi
a. Liªn kÕt cøng
Theo SBVL : P
th =
2
2
)(l
EJ


.
HÖ sè  phô thuéc liªn kÕt ®Çu thanh : 2 ®Çu khíp  = 1; Mét ®Çu khíp 1 ®Çu tù do :  = 2 ;Mét
®Çu khíp 1 ®Çu ngµm :  = 0,7 ;Hai ®Çu ngµm :  = 0,5.

b. Liªn kÕt ®µn håi
1. Mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm ®µn håi :

42. §H- 42 -

p
y
y0
z
0
l

M
0 = 0 ;
Q
0 = 0
y = y
0 +

,
0
y
sinz.

43. §H- 43 -
y
,
= y
,
0cosz
Z = l  y
l = 0, y
,
l = 
Gäi  : lµ hÖ sè ®µn håi, tøc lµ gãc xoay ngµm ®µn håi khi chÞu m«men b»ng ®¬n vÞ th×
 = - Py
0.  HoÆc : y
0 + y
,
0

 lsin
= 0 y
,
0 cosl = - Py
0. 
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh : D =
lP
l



cos
sin
1
= 0
HoÆc : ltgl =
EJ
l

Gäi l = V ;
EJ
l
=
tg
1

Ta cã : ctgV = Vtg
Dïng ®å thÞ t×m ®­îc V
th  
th vµ cã P
th.
Tõ h×nh vÏ ta thÊy V
th<
2

nªn P
th nhá h¬n khi mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm.

44. §H- 44 -
VÝ dô 2.1 : T×m lôc tíi h¹n cho hÖ nh­ h×nh vÏ:
a
b
p
c
l
2l


vtg
 
ctgv
v
vth
a
b

p
c
l
2l

EJ = const

45. §H- 45 -
Xem thanh AC nh­ ngµm ®µn håi ë A.
HÖ sè ®µn håi  ®­îc t×m khi xÐt dÇm AB chÞu m«men t¹i A b»ng ®¬n vÞ :
 =
EJ
l
3
2
; tg =
l
EJ
=
l
EJ
3
2
EJ
l
=
3
2
.
HoÆc ctgV =
3
2V
Suy ra : V
th = 1,01 ; P
th = 1,02
2
l
EJ
.
2. Mét ®Çu ngµm cøng mét ®Çu thanh ®µn håi:
Th«ng sè ban ®Çu M
0 = 0 ; Q
0 = R =
y
y
0

y : chuyÓn vÞ cña liªn kÕt ®µn håi do P = 1 g©y ra
Ph­¬ng tr×nh ®­êng ®µn håi cã d¹ng :
y = y
0 +

,
0
y
sinz -
EJy
y
3
0

(z - sinz)

46. §H- 46 -
y
p
z
r=
y
0
v
 

0
tgv
v
th

Z = l ; y
1 = 0 ; y
,
0 = 0.
Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :

47. §H- 47 -
D =
l
EJy
l
l
EJy
ll







cos
cos1
sinsin
1
2
3




= 0.
§Æt v = l Khai triÓn tgV = V – V
3
y.
3
l
EJ

Gi¶i b»ng ®å thÞ : y = 0 tøc gèi cøng ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh tgV = V ;
V = 4,493. P
th =
2
2
)7,0(l
EJ
t­¬ng tù mét ®Çu ngµm mét ®Çu khíp.
* VÝ dô 2.2 : Cho khung nh­ h×nh vÏ, t×m P
th.

48. §H- 48 -
p
b c
da
ej=
jj
l
r
p

HÖ sè ®µn håi y chÝnh lµ chuyÓn vÞ ®Çu C cña thanh CD. Khi chÞu lùc P = 1, ta thếy
y =
EJ
l
3
3
. Thay vµo : tgV = V – V
3
y = V -
3
3
V
.
Gi¶i b»ng ®å thÞ : V = 2,16 ; P
th =
2
66,4
l
EJ

2.3. æn ®Þnh thanh cã lùc ®Æt däc theo chiÒu dµi thanh
1.Thanh 2 ®Çu tùa khíp

49. §H- 49 -
a
b
qb
p
c
yc
p
qa
y
z
b
a
l

§o¹n AC, gèi ë A, 0 < z
1 < a.
y
1 =
1
,
0

y
sinz -
EJ
Q
A
3
1
(
1z
1 - sin
1z
1)

50. §H- 50 -
y
,
1 = y
0
,
cos
1z
1 -
EJ
Q
A
2

(1 - cos
1z
1) ; 
2
1
=
EJ
P
.
§o¹n BC, gèi ë B. ; 0 < z
2 < b. V× kh«ng cã lùc nÐn nªn 
2 = 0.
y
2 = y
B
,
z
2 -
EJ
Q
B
6
z
3
2 ; y
,
2 = y
,
B -

EJ
Q
B
2
z
2
2 .
Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng :
Q
A = Q
B =
l
Py
c
= 
2
1
l
EJ
y
c V× y
c = y
2(b) = y
,
B.b -
EJ
bQ
B
6
3
=
EJ
lQ
B
2
1

.
Nªn Q
A = Q
B = y
,
B
l
b
6
1
32
1
2
1
b
l
EJ




§iÒu kiÖn chuyÓn tiÕp : y
1a = y
2b ; y
1a
,
= - y
2b
,
.
Khi mÊt æn ®Þnh y
,
A vµ y
,
B kh¸c kh«ng ®­îc ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
a
b
b
l
a
aba
1
22
1
1
111
cos
3
1(cos
)sin(sin






= 0

51. §H- 51 -
HoÆc : tg
1a =
b
lb
b
1
3
22
1
1



Khi a = b =
2
l
®Æt V = 2l ; tg
2
V
=
36
6
2
V
V
; V = 4,32 vµ P
th = 18,66
2
l
EJ

2. Thanh mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm
l
p1
p2
z
y
l
1
l
2

52. §H- 52 -
Chia thµnh 2 ®o¹n.
- §o¹n thø nhÊt : 0 < Z < l
1
y
1 = y
0 + y
,
0
1
1
sin

 z
; y
,
1 = y
,
0 cos
1z.; M
1 = 
1EJ y
,
0 sin
1z; Q
,
= M
,
1 – P
1y
,
1 = 0 ; 
2
1

=
EJ
P
1
.
- §o¹n thø 2 : gèi t¹i ®iÓm ®Æt lùc P
2 0 < Z < l
2; 
2
2
=
EJ
PP
21

.

y
2(0) = y
1l
1 = y
0 + y
,
0
1
11
sin

 l
; y
,
2(0) = y
,
1 (l
1) = y
,
0 cos
1l
1
M
2(0) = M
1 (l
1) = P
1
1
,
0

y
sin
1l
1 ; Q
2(0) = Q(l
1) = 0
Vµ y
2 = [y
0+ y
,
0
1
11sin

l
]+y
,
0
2
11cos

l
sin
2z-
21
1
PP
P

.
1
,
0

y
sin
1l
1(1 - cos
2z).
y
,
2 = y
,
0 cos
1l
1 cos
2z -
21
1
PP
P


2
1
,
0

y
sin
1l
1 sin
2z .

53. §H- 53 -
§iÒu kiÖn biªn ë ngµm : z = l
2 ; y
2(l
2) = 0 ; y
,
2(l
2) = 
Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh , ®Ó tån t¹i y
0 ; y
,
0 ta cã ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
cos
1l
1 cos
2l
2 [1 -
21
1
PP
P

.
1
2


tg
1l
1tg
2l
2 ] = 0
3 tr­êng hîp x¶y ra : cos
1l
1 = 0
cos
2l
2 = 0
tg
1l
1tg
2l
2 =
21
1
PP
P

.
2
1


=
1
2


.
VÝ dô 2.3 : Cho hÖ nh­ h×nh vÏ.

54. §H- 54 -
l/2
l/2
3p
p

§Æt 
1=
EJ
P
= ; 
2=
EJ
PP3
= 2
EJ
P
= 2.
Ta cã : tg
2
V
tgV = 2 víi V = l ; V = 1,23. P
th = 1,23
2
l
EJ
=
2
513,1
l
EJ

55. §H- 55 -
NÕu theo cosl = 0 th× P
th =
2
2
4l
EJ
= 2,46
2
l
EJ

NÕu theo cos
2
1
= 0 ; l =  th× P
th = 
2
2
l
EJ
Ta cã
min
th
P = 1,513
2
l
EJ
.
2.4. æn ®Þnh thanh chÞu träng l­îng b¶n th©n
z
q
dz

XuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh vi ph©n

56. §H- 56 -
EJy
,,,
= - Q
z
Q
z = qz.sin  qz tg = qzy
,

Vµ EJy
,,,
+ qzy
,
= 0
§Æt a
2
=
EJ
ql
3
;
l
z
= t; u = y
,

Tõ z = lt  dz = ldt ; dz
2
= l
2
dt
2
, thay vµo
2
2
dt
ud
+ a
2
tu = 0
NghiÖm biÓu diÔn d­íi hµm sè Betxen hoÆc chuçi v« h¹n :
U = c
0 + c
1t + c
2t
2
+ …c
it
i

Thay vµo. §ång nhÊt thøc C
2 = 8.
2.3C
3 = -a
2
C
0 ; 3.4C
4 = -a
2
C
1 ; 4.5C
5 – a
2
C
2 = 0 ; 5.6C
6 = -a
2
C
3 = a
4

3.2
0
C

Ta thÊy c¸c h»ng sè C mang chØ sè 2, 5, 8, 11, … ®Òu b»ng 0 tøc :
C
2+3i = 0 víi i = 0, 1, 2.

57. §H- 57 -
C
i+2 =
21
2


ii
a
C
i – 1
§iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; t = 0 ; M = -EJy
,,
= 0 
dt
du
= 0
Z = l. Tøc t = 1. y
,
= 0 suy ra u = 0.
LÊy ®¹o hµm u theo t, tõ ®iÒu kiÖn biªn thø nhÊt C
1 = 0 ®Ó
dt
du
= C
0(-
2
2
a
t
2
+
5.3.2
4
a
t
5
- …) = 0 víi C
0 tån t¹i.
1 -
3.2
2
a
+
6.5.3.2
4
a
-
9.8.6.5.3.2
6
a
- … + = 0
a = 2,799. Ql
th = a
2

2
l
EJ
= 7,84
2
l
EJ

Chó ý ph­¬ng tr×nh cña u lµ :
u = C
0 (1 -
3.2
2
a
t
3
+
6.5.3.2
4
a
t
6
- … ) + C
1 + (1 -
4.3
2
a
t
3
+
6.5.3.2
4
a
t
6
- … )

58. §H- 58 -
2.5. thanh tiÕt diÖn thay ®æi
a. Thay ®æi h×nh bËc thang
p
j1
j2
l1
l2
p

l

Ph­¬ng tr×nh vi ph©n cho tõng ®o¹n.
EJ
1y
,,
1 + Py
1 = P EJ
2y
,,
2 + Py
2 = P
NghiÖm cã d¹ng: y
1 = A
1sin
1z + B
1 cos
1z + 

59. §H- 59 -
y
2 = A
2sin
2z + B
2 cos
2z +  
1 =
1EJ
P
; 
2 =
2EJ
P

§iÒu kiÖn biªn: z = 0 ; y
,
2 = 0 ; z = l ; y
1 = 
z = l
2 ; y
,
1 = y
,
2 y
,,
1 =
1
2
EJ
EJ
; y
,,
2 =
2
2
2
1


y
,,
2
Ta cã : A
2 = 0
A
1sin
1l + B
1cos
1l = 0
A
1
1cos
1l
2 – B
1
1sin
1l
2 + B
2
2sin
2l
2 = 0
A
1sin
1l
2 + B
1cos
1l
2 – B
2cos
2l
2 = 0

Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
222121
22
1
2
2121
11
coscossin
sinsincos
0cossin
lll
lll
ll







 = 0

60. §H- 60 -
Khai triÓn : tg
1l
1tg
2l
2 =
2
1



Tr­êng hîp thanh chÞu t¶i träng tËp trung : lùc P
1 ë ®Ønh, lùc P
2 ë chç tiÕp gi¸p 2 ®o¹n. Ta
®­îc ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
tg1l1tg
2l
2 =
2
1


1
21
P
PP

Trong ®ã : 
1=
1
1
EJ
P
; 
2=
2
21
EJ
PP

VÝ dô 2.5 : Cho EJ
2 =
2
3
EJ
1 , t×m lùc tíi h¹n.

61. §H- 61 -
l/3
2l/3
j2
j1
p
5p

Tr­êng hîp nµy 
1=
1
EJ
P
= ; 
2=
2
5
EJ
PP
=
1
3
2.6
EJ
P
= 2

1l
1 =
3
2l
 = V; 
2l
2 = 2.
3
1
= V
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :

62. §H- 62 -
tg
2
V =


2P
P6
= 3; tgV = 3 ; V =
3

;
3
2l
1EJ
P
=
3

 P
tb =
2
1
2
4l
EJ

Ng­êi ta còng ®· lËp cho c¸c tr­êng hîp kh¸c thµnh b¶ng s½n víi P
th = K
2EJ
2/l
2

b. Thay ®æi theo quy luËt luü thõa
z
0
a
z p
a

ViÖn sÜ A.N Dinnhich lµ ng­êi ®Çu tiªn nghiªn cøu lo¹i thanh nµy. J
(z) = J
1
n
a
z







Tr­êng hîp thanh cã tiÕt diÖn ®Æc, h kh«ng ®æi b thay ®æi bËc nhÊt, th× n = 1.

63. §H- 63 -
Tr­êng hîp thanh tiÕt diÖn rçng, mçi c¹nh thay ®æi theo quy luËt bËc nhÊt n = 2.
Tr­êng hîp thanh ®Æc, thay ®æi theo d¹ng nãn côt,
Ta cã n = 4. Víi bµi to¸n nµy, chän trôc to¹ ®é nh­ h×nh vÏ.
Ph­¬ng tr×nh vi ph©n : EJ
i
n
a
z






2
2
dz
yd
= -Py
Ta cã thÓ viÕt nghiÖm d­íi d¹ng chuçi v« h¹n.
Ng­êi ta ®· lËp thµnh b¶ng víi P
th = k
42
2
l
EJ

64. §H- 64 -

Bµi tËp
II.1. Cho hÖ chÞu lùc nÐn nh­ trªn h×nh II.1. T×m s¬ ®å tÝnh vµ lËp ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh.
II.2. Cho hÖ chÞu c¸c lùc nÐn nh­ trªn h×nh II.2. T×m lùc tíi h¹n.
Cho biÕt: l2 = 2l1/3; I2 = I1.

H×nh II.1 H×nh II.2 H×nh II.3
II.3. Cho hÖ chÞu lùc nÐn P nh­ trªn h×nh II.3. T×m lùc tíi h¹n.

65. §H- 65 -
II.4 - II.6. Cho hÖ chÞu lùc nÐn P nh­ trªn c¸c h×nh t­¬ng øng. VËn dông c¸c ph­¬ng tr×nh cña
ph­¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : a = l/
2 ; EI = const.
II.7. VËn dông ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng cña K«r«b«v lËp c«ng thøc tÝnh æn ®Þnh cho thanh cã
khíp tùa ë hai ®Çu chÞu lùc nÐn P ®Æt ë trong nhÞp (h×nh 2.5 trong phÇn lý thuyÕt). T×m gi¸ trÞ
cña lùc tíi h¹n khi : a = b = l/ 2 .

66. §H- 66 -
H×nh II.4 H×nh II.5 H×nh II.6 H×nh II.8
II.8. VËn dông ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng, t×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n cho thanh chÞu lùc ph©n bè
nh­ trªn c¸c h×nh II.9a, b.
II.9. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh­ trªn h×nh II.9. VËn dông c¸c ph­¬ng
tr×nh cña ph­¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n
khi :
a) a = 0,2 l ; I2 = I ; I1 = 0,4 I .
b) a = l : 6 ; I2 = I; I1 = 0,25 I.
II.10. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu c¸c lùc nÐn nh­ trªn h×nh II.10. VËn dông c¸c
ph­¬ng tr×nh cña ph­¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc
tíi h¹n khi: a = b = 0,5 l; I1 = I ; I2 = 2 I .

67. §H- 67 -

H×nh II.9 H×nh II.10 H×nh II.11 H×nh II.12 H×nh II.13
II.11. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh­ trªn h×nh II.11. T×m gi¸ trÞ cña lùc
tíi h¹n khi : h1 = h ; h2 = 2h ; h3 = 3h ; I1 = I ; I2 = 4I ; I3 = 9I .
II.12. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh­ trªn h×nh II.12. T×m lùc tíi h¹n. Cho
biÕt: I(z) = Io  4z(l -z) / l2, víi Io - m«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn ë gi÷a nhÞp.

68. §H- 68 -
ChØ dÉn: Sau khi lËp ph­¬ng tr×nh vi ph©n cña ®­êng ®µn håi sÏ ®­îc ph­¬ng tr×nh vi ph©n cã
hÖ sè thay ®æi. Ph­¬ng tr×nh nµy sÏ ®­îc tháa m·n nÕu ®Æt nghiÖm nh­ sau: y(z) = 4 f z(l -z) /
l2, víi f - chuyÓn vÞ t¹i tiÕt diÖn ë gi÷a nhÞp.
II.13. Cho thanh cã khíp tùa ë hai ®Çu, tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nh­ trªn h×nh II.13. T×m
gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi :
a) M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thay ®æi theo luËt bËc bèn víi I1/I2 = 0,6.
b) M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thay ®æi theo luËt bËc hai víi I1/I2 = 0,6.

69. §H- 69 -
3. æn ®Þnh khung ph¼ng

3.1 C¸c gi¶ thiÕt
1- VËt liÖu ®µn håi ;
2- C¸c nót khung tuyÖt ®èi cøng, kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nót tr­íc vµ sau khi biÕn d¹ng theo
ph­¬ng ban ®Çu kh«ng ®æi ;
3- ChØ kÓ tíi M, N xuÊt hiÖn tr­íc biÕn d¹ng g©y ra ;
4- T¶i träng chØ ®Æt t¹i c¸c nót vµ chØ g©y ra kÐo hoÆc nÐn.
Tr­íc tiªn cÇn x¸c ®Þnh lùc däc c¸c thanh víi t¶i träng ®· cho b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p ë c¬
häc vµ kÕt cÊu. TiÕp ®ã, x¸c ®Þnh P
th hoÆc c¸c th«ng sè tíi h¹n. Trong bµi to¸n æn ®Þnh cña
khung cã thÓ ¸p dông nguyªn lý céng t¸c dông ®èi víi c¸c t¶i träng ngang, v× c¸c lùc ngang chØ
xuÊt hiÖn sau khi mÊt æn ®Þnh víi nh÷ng gi¸ trÞ rÊt nhá. MÆt kh¸c quy ­íc, xem lùc nÐn nh­ lµ

70. §H- 70 -
mét trong nh÷ng tÝnh chÊt cho biÕt cña hÖ. Cã nhiÒu ph­¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh nh­ng c¬ b¶n lµ
hai ph­¬ng ph¸p lùc vµ chuyÓn vÞ.

3.2. x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ trong nh÷ng thanh uèn cïng nÐn
XÐt hÖ ë 2 tr¹ng th¸i ,

km =  
k
M
EJ
dsM
m

pk
kmp

a. Thanh ®Æt tù do trªn 2 gèi tùa khíp
BiÓu thøc:
M
m= EJy
,
0sinz+M
0cosz+

0Q
sinz =  EJy
,
0sinz + c. cosz +
l
cd


sinz

71. §H- 71 -
Khi z = l ; yl = 0.
y
,
0 =
EJ
c










tgVV
11
+
EJ
d








VV
1
sin
1

p c d
d
c
mm
mk
a
b

Trong ®ã : V = l.
Thay gi¸ trÞ y
,
0 ta cã : M
m = c.cosz +









tgV
c
V
d
sin
sinz

72. §H- 72 -
Cßn
k
M = a +
l
ab
.z
EJ
km=c
l
0
(a+
l
ab
.z)coszdz+









tgV
c
V
d
sin

l
0
(a+
l
ab
.z) sinzdz
LÊy tÝch ph©n vµ biÕn ®æi ta cã :
EJ
km =
r
bdlacl
 






33
+
r
bcladl
 






66
;

(V) =
2
3
r









tgV
V
1 ;

(V) =
2
6
v






1
sinV
V
Tra b¶ng

b. Thanh mét ®Çu ngµm mét ®Çu tù do
M
B = c + el + Py
A = d + Py
A
e=
l
cd
v× el = d – c

73. §H- 73 -
M
m = c.cosz + [
 
vv
dvvc
cos
1sin 
]sinz
b
a
mk
mm
c d
b
c
p
q = e
pyo
ya

Thay vµo c«ng thøc chuyÓn vÞ, tÝch ph©n vµ biÕn ®æi, ta cã :
EJ
km =
3
bdl

1(V) +
3
acl

2(V) + 






66
bcladl

3(V)

1 =
2
3
v






1
v
tgv
;

74. §H- 74 -

2 =
2
3
v







v
tgv
v
vtgv
cos
2
1 ;

3 =
2
6
v







v
tgv
vcos
1


3.3. tÝnh æn ®Þnh theo ph­¬ng ph¸p lùc
Cho khung siªu tÜnh nh­ h×nh (3.4), muèn t×m P
th ta tiÕn hµnh nh­ sau :
a d
c
b
p x1
x2
x3
p

a. Chän hÖ c¬ b¶n :

75. §H- 75 -
Nh­ trong c¬ häc kÕt cÊu. Song, cÇn chó ý: víi thanh cã lùc nªn P ph¶i lµ phÇn tö 2 ®Çu khíp
hoÆc mét ®Çu ngµm mét ®Çu tù do v× ®· thiÕt lËp
chuyÓn vÞ theo 3.2.

b. Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
V× biÓu ®å M
0
p kh«ng tån t¹i nªn c¸c sè h¹ng tù do ®Òu b»ng kh«ng. Ph­¬ng tr×nh thø k sÏ
lµ:

k1 X
1 + 
k2 X
2 + 
km X
m + 
kn X
n = 0
§Ó x¸c ®Þnh hÖ sè víi thanh kh«ng cã lùc nÐn, ta nh©n b×nh th­êng víi thanh cã lùc nÐn vµ
dïng kÕt qu¶ ë 3.2.
VÉn ¸p dông ®­îc tÝnh t­¬ng hç 
km = 
mk . Chó ý víi thanh CD ta chØ kÓ tíi lùc nÐn P ë nót
mµ kh«ng kÓ tíi ¶nh h­ëng X
1 v× nã chØ xuÊt hiÖn sau khi bÞ mÊt æn ®Þnh.
c. Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
Tõ ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm x
k ta cã ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh D = 
km = 0

76. §H- 76 -
* VÝ dô 3.1 : Cho khung nh­ h×nh vÏ (3.5), t×m lùc tíi h¹n.
p
ej=
l
l
x1
x2
x2
x1
x2=1
m1
p
x1=1
l l
l
m2
x1=1
x2=1
p

Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :

77. §H- 77 -
D =
2221
1211


= 0 ; V = l
EJ
P

EJ
11 =
3
3
l

1(V) +
3
3
l
=
3
3
l
(1 + 
1)
EJ
22 =
3
4
3
l
;
EJ
12 = EJ
21 =
2
3
l

D =
EJ
1

2
4
2
2
1
3
33
3
1
3
ll
ll

= 
Khai triÓn 4(1 + 
1) – 2,25 = 0; 
1 = -0,4375,
tra b¶ng V = 2,79; P
th =
2
2
l
EJV
= 7,78
2
l
EJ

78. §H- 78 -
3.4. néi lùc trong thanh chÞu nÐn vµ chuyÓn vÞ c­ìng bøc
Ta thiÕt lËp c¸c phÇn tö mÉu nµy ®Ó dïng cho ph­¬ng ph¸p chuyÓn vÞ.
zp
p
y
a
qb
mb
qa
ma
y
b

l

Dïng y = 0; m
b = 0
Qa = Qb = -
l
PMM
ba


C¸c th«ng sè ban ®Çu :

79. §H- 79 -
y
0 = 0 ; y
,
o = 
a; M
0 = M
a ; Q
0 = Q
a .
Thay vµo ph­¬ng tr×nh ®· lËp ë §2.1 :
y =


a
sinz -
EJ
M
a
2

(1 - cosz) +
EJ
l
EJ
l
MM
ba
3
2





(z - sinz)
y
,
= 
acosz -
EJ
M

0
sinz + (
EJl
MM
ba
2


+
l

)(1 - cosz)
M
z = EJ. 
a sinz + Mcosz - (
l
MM
ba


+ EJ
l

)sinz
ë ®©y M
a , M
b lµ c¸c ®¹i l­îng ch­a biÕt vµ cã thÓ x¸c ®Þnh theo 2 ®iÒu kiÖn biªn ®Çu B. z =l
; y
l =  ; y
,
l = 
b vµ
 =


a
sinl -
EJ
M
2
0

(1 - cosl) + (
lEJ
MM
ba
3


+
l 

)(l - sinl)

b = 
a cosl -
EJ
M

0
sinl + (
EJl
MM
ba
2


+
l

)(1 - cosl)

80. §H- 80 -
Gi¶i ra ta cã : M
a = 2i[
1
a + 
2
b - (
1 + 
2)
l

];
M
b = 2i[
2
a + 
1
b - (
1 + 
2)
l

];
Q
a = Q
b = -
l
i2
[(
1 + 
2)( 
a + 
b) - 
3
l

]

1 =
tgv
v
2 vtgv
vtgv


2
;

2 =
v
v
sin2
v
v
tg
vv


2
2
sin
;

1 + 
2 =
2
1
v
v
tg
v
tgv

2
2
2
2
;

3 =
2
1
v
v
tg
v

2
2
3

81. §H- 81 -
Ta dïng nã ®Ó lËp c¸c mÉu :
D¹ng s¬ ®å M
a M
b Q
a = Q
b
1
p= 1 b
l

3i
1 0 -
l
i3

1
2 p
1

-
l
i3

1 0
2
3
l
i

1
3
= 1 p

4i
2 2i
2 -
l
i6

3
4
p

-
l
i6

4 -
l
i6

4
2
12
l
i

2
5
p
a

i
tgv
v
-i
v
v
sin
0

82. §H- 82 -
6
= 1 p
b
a

i
tgv
v
-i
v
v
sin
0
7
a
z= 1

+ivtgv 0 0
8
p
= 1

- ivtgv 0 0
9
l

0 0 -
2
l
i
v
2

i =
l
EJ
; 
1 =
 vtgv
tgvv
3
2
; 
2 =
 








22
8
vv
tgtgv
vtgvv
; 
3 =
 








22
sin4
sin
vv
tgv
vvv


1 =
 vtgv
v
3
3
; 
2 = 
1 





2
v
= 
4 -
12
2
v
; 
3 = 
1 





2
v
= 
4 ;

83. §H- 83 -
3.5. tÝnh æn ®Þnh b»ng ph­¬ng ph¸p chuyÓn vÞ
a. Chän hÖ c¬ b¶n :
T­¬ng tù khi tÝnh vÒ ®é bÒn, cã nghÜa lµ ®Æt thªm c¸c liªn kÕt ng¨n c¶n chuyÓn vÞ th¼ng vµ
xoay cña c¸c nót.
b. Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c :
V× t¶i träng chØ cã lùc nÐn nªn kh«ng xuÊt hiÖn m« men uèn ; R
kp = 0
Ph­¬ng tr×nh thø k cã d¹ng :
r
k1z
1 + r
k2z
2 + … r
kmz
m + … r
knz
n = 0
C¸c hÖ sè r
km = r
mk – x¸c ®Þnh tõ c¸c biÓu ®å kM. §iÌu kh¸c biÖt víi khi tÝnh ®é bÒn lµ c¸c
hÖ sè r
km trong ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh phô thuéc vµo lùc nÐn P. Trong khi ®ã k
km khi tÝnh bÒn chØ
phô thuéc z
k = 1.
c. Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh.

84. §H- 84 -
HÖ ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã hai kh¶ n¨ng. Víi nghiÖm tÇm th­êng z
k = 0 – hÖ æn ®Þnh.
Khi tån t¹i z
k  0 th× xuÊt hiÖn d¹ng c©n b»ng míi kh¸c tr­íc vÒ tÝnh chÊt – hÖ kh«ng æn ®Þnh.
Ta cã ph­¬ng tr×nh D = r
ik = 0.
Tõ ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh t×m ®­îc P
th , song ta ch­a t×m ®­îc ®­êng biÕn d¹ng bëi hÖ Z
k  0
nh­ng v« ®Þnh. Cã thÓ cho Z
k mét gi¸ trÞ nµo ®ã (vÝ dô z
k = 1) råi t×m c¸c z
k cßn l¹i theo hÖ
ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c.
* VÝ dô 3.2 : Cho khung nh­ h×nh vÏ (3 – 7) , t×m P
th ?
Gäi i =
l
EJ
. C¸c biÓu ®å ®¬n vÞ nh­ h×nh vÏ. Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh:
D =
2221
1211
rr
rr
= r
11r
22 – r
2
12 = 0
r
11 = 7,5i ; r
12 = r
21 = 1,5
l
i
; r
22 =
2
l
i
(1,5 – v
2
)
7,5V
2
– 9 = 0  V
2
= 1,2 ; P
th = 1,2
2
l
EJ

85. §H- 85 -

m2
z1=1p
m1
l
l
p
2j
j j/2
p z1
z
2
6i
1,5i
z
2=1
z1p
1,5i/l


* VÝ dô 3.3: Cho hÖ nh­ h×nh vÏ (3.8), t×m P
th ?

86. §H- 86 -
4i0
l
z1 z2
z2=1z1=1
p
3i0
0,8p
4i0
8j0
2i0
4i0
3
2(v2)
m1
m2
32i0
2(v1)4i0
8i0
p
b
c
d
a
0,8p
j
j j
j
e
l l

Gäi i
0 =
l
EJ
;
- Thanh biÕn d¹ng  v
2 = l
EJ
P8,0
= v
0

87. §H- 87 -
- Thanh CE  v
1 = l
EJ
P
= V
0
 = 8,0 = 0,894
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh : D =
2221
1211
rr
rr
= 0
r
11 = 11i
0 + 4i
0 
2 (v
0) ;
r
22 = 8i
0 + 4i
0 
2 (v
0) ;
r
12 = r
21 4i
0
HoÆc :
4i
0
2
[4
2 (v
0) + 11] [
2 (v
0) + 2] = 16i
0
2

T×m nghiÖm b»ng c¸ch thö dÇn :
v
,
< v
0 < v
,,

T×m v
,
tõ cho v
1 = v
2 = v
0 , suy ra v
,
= 5,46
T×m v
,,
tõ cho v
1 = v
2 = v
0 , ta cã v
0 – 5,46

88. §H- 88 -
Vµ v
,,
=

46,5
= 6,1 nªn 5,46 < v
0 < 6,1.
Khai triÓn ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :

2 (v
0) .
2 (v
0) + 2
2 (v
0) + 2,75
2 (v
0) + 4,5 = 0
gäi vÕ tr¸i lµ  , nÕu v
0 = 5,46 th×  > 0
v
0 = 6,1 th×  < 0
Chän v
0 = 5,8 ; 
1 = -2,54 ta l¹i chän 5,46 < v
0 < 5,8
Uèi cïng ta cã : V
0 = 5,56
P
th = 30,9
2
l
EJ

89. §H- 89 -


Bµi tËp
III.1. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.1.
III.2. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.2. Cho biÕt: EI = const








H×nh III.1 h×nh III.2.

90. §H- 90 -
III.3. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.3. Cho biÕt: EI = const
III.4. Cho hÖ chÞu lùc P nh­ trªn H×nh III.1








H×nh III.3 H×nh III.4
T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P t­¬ng øng víi hai tr­êng hîp:
a) khi k = 1;
b) khi k = .

91. §H- 91 -
III.5. Cho hÖ chÞu c¸c lùc P nh­ trªn h×nh III.5. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P.




H×nh III.5
III.6. Cho hÖ chÞu lùc nh­ trªn h×nh III.6, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt: EI = const.
III.7. Cho hÖ chÞu lùc nh­ trªn h×nh III.7, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P.





H×nh III.6 H×nh III.7

92. §H- 92 -
III.8. Cho hÖ chÞu lùc nh­ trªn h×nh III.8, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh ngang
cã ®é cøng EA = .
III.9. Cho hÖ chÞu lùc nh­ trªn h×nh III.9, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh xiªn
AB vµ CD cã ®é cøng E1A1 =
2
2
40
h
EI
.






H×nh III.8
III.10. Cho hÖ chÞu lùc t¸c dông ®èi xøng nh­ trªn h×nh III.10. LËp ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh vµ t×m
gi¸ trÞ tíi h¹n cña P khi k = 2 ; l = 2h.

93. §H- 93 -

H×nh III.9 H×nh III.10
III.11. Cho c¸c dÇm liªn tôc chÞu lùc nh­ trªn c¸c h×nh III.11a, b, c, d. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P.
Cho biÕt c¸c nhÞp dÇm cã chiÒu dµi nh­ nhau vµ b»ng l ; EI = const .

H×nh III.11

94. §H- 94 -
III.12. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ chÞu lùc P nh­ trªn h×nh III.12. Cho biÕt: EI = const ; thanh ngang
CD cã ®é cøng EA = .

95. §H- 95 -
4. æn ®Þnh dÇm vµ dµn

4.1. æn ®Þnh dÇm liªn tôc
a. Dïng ph­¬ng tr×nh 3 m« men
Dïng ph­¬ng ph¸p lùc ®· tr×nh bµy trong ch­¬ng 3.
pki-1
li+ 1li
ki p pki+1
i-1m mi i+ 1m
p
p

Ph­¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi i :

i(i-1)M
i-1 + 
iiM
i + 
i(i+1)M
i+1 = 0

96. §H- 96 -
XÐt ®o¹n dÇm :
li li+1
p
i-1m=1
i(i-1 )
mi
p
p
i+1m
=1 p
i i+ 1
i(i+ 1 )
=1
ii=i+ 1i
mi+1immi-1


i(i-1) =
i
vii
EJ
l
6
)(

; 
i(i+1) =
1
1
6


i
i
EJ
l

(vi+1) 
ii =
i
i
EJ
l
3

(vi) +
1
1
3


i
i
EJ
l

(vi+1)
v
i = l
i
i
i
EJ
Pk
;
i = l
i
iJ
J
0

97. §H- 97 -
Ta cã : 
(vi)M
i-1 + 2[
i
(vi) + 
i+1
(vi+1)]M
i + 
i+1
(vi+1)M
i+1 = 0
ViÕt ph­¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi tùa trung gian vµ suy ra ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh tõ M
i  0.
* VÝ dô 4.1: T×m P
th cho dÇm sau :
e j =c o n s t0
l
p3
2
l l
1

Lóc nµy  = l ; v = l
EJ
P
. ViÕt ph­¬ng tr×nh 3 m« men cho hai gèi 1 vµ 2. Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh
: D =
)()(
)()(
4
4
vv
vv


= 0.
Khai triÓn 4
(v) + 
(v) = 0  mÊt æn ®Þnh ®èi xøng.
V = 5,14 ; P
th = 26,42
2
l
EJ

Khi 4
(v) - 
(v) = 0  mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph©n xøng.

98. §H- 98 -
V = 3,88 ; P
th = 15,05
2
l
EJ

VÒ vËt lý dÇm còng cã thÓ mÊt æn ®Þnh nh­ h×nh vÏ :
M
1 = M
2 = 0. T­¬ng tô thanh 2 ®Çu tùa khíp :
V =  ; P
th = 
2
2
l
EJ
: ®©y lµ P
th nhá nhÊt.
b. Dïng ph­¬ng ph¸p chuyÓn vÞ.
T­¬ng tù nh­ trong phÇn khung
k+ 1k1
p
0
p
z1 zk zk + 1
n

Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c thø K :
r
k1x
1 + … r
kmx
m + … r
knx
n = 0.

99. §H- 99 -
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh D = r
km= 0.
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh cã ®­îc tõ ®iÒu kiÖn z
k  0.
Víi dÇm liªn tôc cßn x¶y ra tr­êng hîp mÊt æn ®Þnh khi z
k = 0.
* VÝ dô 4.2 : T×m P
th cho dÇm sau :
Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c :
r
11z
1 = 0
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh : r
11 = 0 r
11 =
1
13
l
EJ
(v
1) +
2
23
l
EJ

1(v
2)
6
2p p
j 1,5j1
9
p
2p z1=1

100. §H- 100 -
v
1 = l
1
1
2
EJ
P
; v
2 = l
2
1
5,1.
3
JE
P
= 1,5l
1
1
2
EJ
P
= 1,5v
1
Vµ ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh 
1(v
1) + 
1(1,5v
1) = 0.
B»ng thö dÇn : v
1 = 2,355 P
th =
2
55,5
2
2
6
EJ
(v× P
1 = 2P)
4.2. æn ®Þnh c¸c thanh chÞu nÐn trong dµn
Víi c¸c thanh dµn kh«ng c¾t qua thanh nµo, ta tÝnh æn ®Þnh nh­ thanh 2 ®Çu tùa khíp; víi
thanh dµn c¾t cÇu qua 1 thanh hoÆc 2 thanh, ta tÝnh nh­ thanh ®Æt trªn gèi tùa ®µn håi; NÕu c¾t
sè thanh lín h¬n, ta coi nh­ c¸c thanh n»m trªn nÒn ®µn håi vµ sÏ nghiªn cøu sau ®©y.
l/3l/3l/3
j p
p
l/2 l/2
j j
j j

101. §H- 101 -

a. DÇm 2 nhÞp cã gèi tùa trung gian ®µn håi
Dïng ph­¬ng ph¸p chuyÓn vÞ. Ph©n tÝch thµnh 2 tr­êng hîp ®èi xøng vµ ph¶n xøng.
l
1l
1=l/2
p

* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng : z
1  0 cßn z
2 = 0.

102. §H- 102 -
p
z2
1(v)3i/li
3i1(v)
z2=1
1(v)3i
m1
m2

Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh r
11 = 0; Lùc c¾t ®Çu thanh :
2
1
3
l
i

1(v)
§é cøng liªn kÕt ®µn håi lµ C th× : r
11 = 2.
2
1
3
l
i

1(v) + C = 0.
Víi v = l
1
EJ
P
=
2
l
EJ
P
; 
1(v) = -
EJ
cl
48
3
.

103. §H- 103 -
Chó ý : i =
1l
EJ
= 2.
l
EJ
. Cã C ta sÏ t×m ®­îc v vµ suy ra P
th.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng.
Lóc nµy z
1 = 0 ; z
2  0. Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh : r
22 = 0. hoÆc 2.3i
1(v) = 0.
Ta cã 
1(v) = 0 vµ V = ; P
th = 
2
2
1l
EJ
= 4
2
2
l
EJ
.
BiÓu ®å quan hÖ gi÷a ®é cøng gäi ®µn håi C vµ tØ sè lùc tíi h¹n vµ lùc ¥le nh­ h×nh vÏ
Khi C <16
2
2
l
EJ
; P
th = 4P
¬le thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng kh«ng phô thuéc C.
Khi C > 16
2
2
l
EJ
thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng.
Gäi EJ lµ ®é cøng thanh chÞu nÐn, EJ
1 lµ ®é cøng thanh c¾t ngang. HÖ sè C chÝnh lµ lùc
cÇn t¸c dông t¹i gi÷a nhÞp thanh c¾t sao cho t¹i ®ã cã chuyÓn vÞ b»ng 1.
HoÆc  =
1
3
48EJ
cl
= 1. Suy ra C =
3
1
48
l
EJ

104. §H- 104 -
Thay vµo 
1(v) = -
J
J
1
cã tØ sè
J
J
1
suy ra v vµ P
th = 
2
2
)(l
EJ

.
HÖ sè  theo b¶ng.
J
J
1
0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 2 3 
2
/3
 0,95 0,912 0,845 0,818 0,793 0,75 0,71 0,58 0,516 0,50
Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng :
P
th = 4
2
2
l
EJ
tøc  = 0,5 hay
J
J
1
=
3
2

.
Tøc
J
J
1
<
3
2

thanh mÊt æn ®Þnh ®èi xøng ;
Cßn
J
J
1
>
3
2

thanh mÊt æn ®Þnh ph¶n xøng.
 = 0,5 kh«ng ®æi dï ta t¨ng ®é cøng thanh c¾
b. Thanh liªn tôc 3 nhÞp 2 gèi ®µn håi

105. §H- 105 -
Dïng khi thanh dµn c¾t qua hai thanh.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng hÖ c¬ b¶n nh­ h×nh 4 – 10.
l
0
l
p
1
= 1
1
p
z2=1
p
p
l
0 l
0 l
0
z2
l
0/2

106. §H- 106 -
Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
2221
1211
rr
rr
= 0; v = l
0
EJ
P
=
3
l
EJ
P
.
§Æt f = 5Cl
0
3
/6EJ =
EJ
cl
162
5
3

r
11 =
3
0
3
l
EJ

1(v) + C =
3
0
3
l
EJ
[
1(v) +
5
2
f]
r
22 =
0
3
l
EJ

1(v) +
0
2
l
EJ
2
2
v
tg
v
=
0
3
l
EJ
[
1(v) +
3
2
2
2
v
tg
v
]
r
12 = r
21 =
2
0
3
l
EJ

1(v) thay vµo D vµ khai triÓn

107. §H- 107 -
f =
2
5
2
3
1
]
2
3
1
[
)(1
)(1)(1
2
)(1
v
tg
v
v
tg
v
v
vvv





Khi cã C, tøc cã f, sÏ suy ra v ; P
th = 9v
2
2
l
EJ
= 
2
2
)(l
EJ

;  =
v3

.
Chó ý : l
0 =
3
l
.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. Ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
2221
1211
rr
rr
= 0

108. §H- 108 -
z2=1
p
1
= 1
1
p
l
0 l
0/2
z2
p
m2
m1

r
22 =
0
3
l
EJ
[
1(v) + 2
1(
2
v
) ] r
12 = r
21 =
2
0
3
l
EJ
[
1(v) - 4
1(
2
v
) ]
r
11 =
3
0
3
l
EJ

1(v) +
3
0
24
l
EJ

1(
2
v
) + C =
3
0
3
l
EJ
[
1(v) + 8
1(
2
v
) +
5
2
f] thay vµo D khai triÓn :
f =
2
5
)
2
(2
)]
2
(2)].[
2
(8[)]
2
(4[
1)(1
1)(11)(1
2
1)(1
v
vvv
v
vvv





109. §H- 109 -
Cã C suy ra f vµ t×m v vµ lùc P
th.
Gi¶ sö thanh c¾t qua cã chiÒu dµi l
1 vµ ®é cøng EJ
1 c¾t qua 2 ®iÓm. §é cøng C t×m tõ C =

1
trong ®ã  lµ chuyÓn vÞ ®¬n vÞ.
EJ
1
*
= EJ
12 =
81
5
3
1
l
;  =
1
3
1
162
5
EJ
l
; C =
3
1
1
5
162
l
EJ
;f =
162
5
1
3
EJ
cl
=
J
J
1
3
1
3
l
l
.
l
1
l
1/3l
1/3l
1/3
p=1 p=1
m1

110. §H- 110 -
Tuú theo f ta cã  theo biÓu ®å quan hÖ nh­ h×nh vÏ 4.13.  =
v3

.
§­êng cong I – khi thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng ; ®­êng II – t­¬ng øng khi
thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng.
§Æc biÖt khi J
1 = J ; l
1 = l ; f = 1 vµ  = 0,7.P
th = 
2
2
)7,0(l
EJ
.

111. §H- 111 -
5. æn ®Þnh dÇm chÞu uèn ph¼ng

5.1. DÇm tiÕt diÖn ch÷ nhËt hÑp uèn thuÇn tuý
m m
z
n
n
l
x
z1

m2
m
mz1

 z
nz1
my1
mx1
z1
y
x
x1
y1
t
nz1
my1
a
v

112. §H- 112 -
2
2
dz
vd
= -
x
EJ
Mx
1
;
2
2
dz
ud
= -
y
EJ
My
1
;
dz
d
=
z
GJ
Mz
1
; J
z =
3
3
hb
(1 – 0,03
h
b
)
Tõ h×nh vÏ M
x1 = Mcos  M
M
y1 = Msin  M ; M
z1 = Msin  M
dz
d
.
Thay vµ
dz
d
=
zGJ
Mz
1
.
dz
du
;
2
2
dz
ud
= -
yEJ
M

Cuèi cïng
2
2
dz
d
+ k
2
 = 0 k = M
zy
GJEJ
1

NghiÖm :  = Asinkz + Bcoskz. Thay biªn
z = 0 ;  = 0 ; z = l ;  = 0.
Ta ®­îc : M
th =
l

zy
GJEJ

113. §H- 113 -
Chó ý : ®é vâng v trong mÆt ph¼ng uèn nhá bá qua nªn chØ ®óng víi tiÕt diÖn ch÷ nhËt bÑp.
Víi dÇm ng¨n 2 ®Çu : M
th =
l
 2
zy
GJEJ .
5.2. thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu nÐn lÖch t©m
M
x1 = P(e + v)  Pe = M; M
y1 = M + Pu
M
z1 = M
dz
du
. Khi mÊt æn ®Þnh, chó ý tíi hai ph­¬ng tr×nh :
l
z
pp
e

EJ
y
2
2
dz
ud
= - M - Pu ; GJ
z
dz
d 
= M
dz
du
.

114. §H- 114 -
Vµ GJ
z.  = Mu + C
Tõ ®iÒu kiÖn biªn : u = 0,  = 0. Khi z = 0.
 =
zGJ
M
.u
’
ta ®­îc ph­¬ng tr×nh vi ph©n : u
’’
+ k
2
u = 0.
k
2
=
zy
z
GJEJ
PGJM
2
.
NghiÖm u = Asinkz + Bcoskz Vµ M
th
2
+ P
th.GJ
z = 
2
2
l
EJ
y
GJ
z.
NhËn xÐt : NÕu e = 0 ; M
th = 0  P
th = 
2
2
l
EJ
y
.
P
th = 0 ; M
th =
l

zy
GJEJ .
NÕu e  0  P
th
2
l
2
+ P
th.GJ
z =
2
2
l

EJ
y.GJ
z.

115. §H- 115 -
5.3. thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu uèn ngang ph¼ng
a. DÇm trªn hai gèi tùa
Ph¶n lùc ®øng
2
P
; ph¶n lùc m« men xo¾n
2
P
z.
M
x1 =
2
P
z ; M
y1 = M
x =
2
P
z.;
M
z1 = M
x
dz
du
+
2
P
( - u) =
2
P
z.
dz
du
+
2
P
( - u)
EJ
y.
2
2
dz
ud
= -
2
P
z.
GJ
z.
dz
d
=
2
P
z.
dz
du
+
2
P
( - u)
BiÕn ®æi ta ®­îc :
2
2
dz
d
+ k
2
z
2
 = 0. k
2
=
yz
th
EJGJ
P
4
2
nghiÖm dïng chuçi v« h¹n.

116. §H- 116 -
 = C
0 + C
1z + C
2z
2
+ . . . + C
nz
n
n

z
l/2 l/2
u
x
 z

Thay vµo ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ s¾p xÕp sè h¹ng, ta cã :
 = C
0[1-
4.3
2
k
z
4
+
8.7.4.3
4
k
z
8
-
12.11.8.7.4.3
6
k
z
12
+. . .]+C
1z[1-
5.4
2
k
z
4
+
9.8.5.4
4
k
z
8
– -
13.12.9.8.5.4
6
k
z
12
+ . . .]
§iÒu kiÖn biªn : z = 0 ;  = 0 suy ra C
0 = 0.
z = l/2 ; u =  ;
dz
du
= 0 ;
dz
d 
= 0.

117. §H- 117 -
Cho C
1  0 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh æn ®Þnh :
(1 – a +
10
2
a
-
270
3
a
+ . . .) = 0 ; a =
64
42
lk
=
zy
th
GJEJ
lP
256
42

NghiÖm nhá nhÊt : a = 1,126 ; P
th =
2
94,16
l
zy
GJEJ .
Gi¸ trÞ lùc tíi h¹n cßn phô thuéc vÞ trÝ lùc P theo chiÒu cao h cña dÇm. D cµng cao P
th
cµng gi¶m.
Khi P kh«ng ®Æt gi÷a dÇm ta còng lËp thµnh b¼ng :
P
th =
2
l
K
zy
GJEJ .
b. §Çu ngµm ®Çu tù do
M
x1 = M
x = - Pz M
y1 = M
x = - Pz.

118. §H- 118 -
M
z1 = M
x
dz
du
- P( - u) = - Pz - P( - u)
HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n :
z
u

y1
x1
x
y


EJ
y.
2
2
dz
ud
= Pz

119. §H- 119 -
GJ
z.
dz
d
= - Pz.
dz
du
- P( - u), hoÆc
2
2
dz
d
+ k
2
z
2
 = 0 ; k
2
=
yz
th
EJGJ
P
2
.
Ta còng cã nghiÖm  nh­ tr­íc víi ®iÒu kiÖn biªn
z = 0 ; u =  nªn
dz
d
= 0.
Cã C
1 = 0 ; khi z = l ;  = 0. §Ó C
0  0
Ta cã : 1 – a +
14
3
a
2
-
154
3
a
3
+ … = 0.
a =
12
42
lk
=
zy
th
GJEJ
lP
12
42
. NghiÖm nhá nhÊt : a = 1,342 ;
P
th =
2
013,4
l
zy
GJEJ .
Khi dÇm chÞu t¶i ph©n bè ®Òu, ta còng tiÕn hµnh t­¬ng tù:

120. §H- 120 -
(ql)
th=
2
85,12
l
zy
GJEJ .
Cho dÇm 1 ®Çu ngµm 1 ®Çu tù do víi dÇm 2 ®Çu khíp chÞu t¶i ph©n bè ®Òu :
(ql)
th=
2
3,28
l
zy
GJEJ .
DÇm 2 ®Çu ngµm chÞu lùc tËp trung ë gi÷a nhÞp : P
th =
2
6,26
l
zy
GJEJ .
5.4. DÇm tiÕt diÖn ch÷ i
Víi tiÕt diÖn dÇm ch÷ I ta cÇn ph©n biÖt xo¾n tù do khi kh«ng cã liªn kÕt vµ xo¾n kiÒm
chÕ khi cã liªn kÕt ng¨n c¶n. Khi xo¾n kiÒm chÕ :
M
z1 = M
1 + M
2

121. §H- 121 -
z
mz
q
l
x
y
y1
x1
x
q
q

- M
1 do øng suÊt tiÕp M
1 = GJ
2
dz
d
;
M
z1 = M
1 + M
2; J
2 =
3
2
bt
3
+
3
1
ht
1
3

- M
2 do lùc c¾t trong b¶n ®Õ 
1 = 
2
b
.
- Gäi J
y
*
lµ m« men qu¸n tÝnh 1 b¶n ®Õ ®èi víi trôc y :

122. §H- 122 -
J
y
*

2
y
J
; Q = - EJ
y
*
.
3
1
3
dz
d
= - EJ
y
*
.
2
h
3
3
dz
d

a. DÇm uèn thuÇn tuý
Sau khi khö 

4
4
dz
d
-
2
1
a
2
2
dz
d
-
4
1
d
 = 0
a
2
=
z
y
GJ
EJh
2
*2
d
4
=
2
2*
2
th
yy
M
hEJEJ

NghiÖm  = C
1sinmz + C
2cosmz + C
3e
nz
+ C
4e
-nz

b. Uèn ngang ph¼ng.
M
th =
l

2
GJEJ
y 2
2
2
1
l
a

1 – Khi ®Æt trªn 2 gèi tùa, P ë gi÷a nhÞp :

123. §H- 123 -
M
x1 =
2
P
z ; M
y1 =
2
P
z..
M
z1 =
2
P
z.
dz
du
+
2
P
( - u)
Ta cã hÖ: EJ
y.
2
2
dz
ud
= -
2
P
z.; GJ
z.
dz
d
- EJ
y
*
.
2
h
3
3
dz
d
=
2
P
z.
dz
du
+
2
P
( - u)
Khö u ; t×m nghiÖm d­íi d¹ng chuçi v« h¹n, vµ
P
th =
2
l
K
zy
GJEJ ; K phô thuéc
a
1
tra b¶ng
2 – Thanh ®Çu ngµm ®Çu tù do : P ®Æt ë träng t©m tiÕt diÖn ®Çu tù do.
Còng lý luËn t­¬ng tù ta cã :
P
th =
2
l
K
zy
GJEJ ;
K phô thuéc
2
2
a
l
. Chó ý lµ a
2
=
z
y
GJ
EJh
2
*2

124. §H- 124 -
Tr­êng ®¹i häc kiÕn tróc hµ néi
Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu
Ts ph¹m v¨n trung


Bµi gi¶ng phÇn II
®éng häc c«ng tr×nh

Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN


Hà nôi, 2014

125. §H- 125 -
1. Më ®Çu

1.1. Khái niệm.
Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực cơ học kết cấu xuất hiện từ nữa thế kỹ
XIX. Tuy vậy sau thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên
cứu hơn so với các bài toán động. Cho đến nhũng năm 30 của thế kỷ XX môn Động lực học
công trình mới được coi như một phần riêng biệt của Cơ học kết cấu. Hiện nay, với tốc độ phát
triển mạnh của ngành xây dựng và công cụ tính toán hiện đại, đã thúc đẩy rất mạnh việc nghiên
cứu dao động của các công trình cũng như cơ học kết cấu nói chung. Trong khuôn khổ của tài
liệu này, tác giả chỉ đề cập đến những vấn đề rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình: Dao
động của hệ có hữu hạn bậc tự do, dao động của hệ có vô số bậc tự do, sau đó vận dụng để tính
toán một số loại kết cấu thường gặp như: dầm, khung, dàn, vom,... Toàn bộ cuốn sách này trình
bày hạn chế trong phạm vi của lý thuyết dao động tuyến tính: Vật liệu làm việc trong miền đàn
hồi và tuân theo định luật Húc và tính toán theo sơ đồ không biến dạng.

126. §H- 126 -
1.2. Tác dụng tỉnh và tác dụng động.
Trong thực tế, hầu hết các tác động tác dụng lên công trình điều mang đặc tính động: ví dụ
như: gió, sóng, động đất, người, máy móc, phương tiện, công cụ …
Dưới tác dụng của các nguyên nhân này công trình sẽ bị chuyển động. Mặc dù các chuyển vị
phát sinh trong hệ kết cấu là không lớn, nhưng vận tốc và chủ yếu là gia tốc chuyển động có thể
đạt đến giá trị đáng kể, gây nên lực quán tính tác động lên công trình. Đây cũng chính là sự
khác nhau giữa tác dụng tỉnh và tác dụng động.
Tác dụng tỉnh là tác dụng không kèm theo lực quán tính.
Tác dụng động là tác dụng có kèm theo lực quán tính.
1.3. Dao động và cộng hưởng.
Tác dụng động vào công trình, làm có công trình dao động. Nếu tác dụng động lặp có tính
chất chu kỳ thì trong những điều kiện xác định dẫn đến việc bổ sung nặng lượng cho hệ kết cấu,
Biên độ dao động sẽ tăng dần cùng với việc tăng cường độ của lực quán tính gây phá hoại công
trình. Đó là hiện tượng cộng hưởng.

127. §H- 127 -
Với mỗi hệ kết cấu công trình hiện tượng cộng hưởng phụ thược vào chu kỳ dao động T của
lực tác động chứ không phải tải trọng tác dụng trung bình Ptb.của tác động P(t).
t
P
P
tb
Hình 1.1
1.4. Dao động và các ứng dụng.
Khắc phục hiện tượng cộng hưởng, giảm rung, giảm chất cho công trình.
Ứng dụng hiện tượng rung do lệch tâm để chế tạo các thiết bị, công cụ phục vụ lao động sản
xuất và cuộc sống: đầm rung, sàng tuyển vật liệu rời, khoan búa, dụng cụ thẻ thao, chữa bệnh
Động lực học công trình là một phần của môn cơ học kết cấu nghiên cứu về các loại tải
trọng động tác dụng lên công trình và các phản ứng của công trình dưới tác dụng của tải trọng
đó.

128. §H- 128 -
1.5. Dạng tải trọng.
Như trong giáo trình cơ học lú thuyết và sức bền vật liệu ta đã biết: Tải trọng động là tải
trọng khi tác dụng kèm theo lực quán tính. Trong thực tế ta thường gặp một số dạng tải trọng
động sau:
1.5.1. Tải trọng có vị trí không đổi và trị số thay đổi theo thời gian.
 Tải điều hòa: khi mô tơ đặt trên dầm khi hoạt động sẽ tác dụng lên dầm một lực
 
0
sin rt
t
P P P  .
pt

Hình 1.2

129. §H- 129 -
 Tải va chạm:

0
0
:
0 :
t
P khi t t
P
khi t t





 Tải không đổi đặt tức thời:

0
0
0 :
:
t
khi t t
P
P khi t t





1.5.2. Tải trọng thay đổi theo thời gian và một biến không gian.
 Tải trọng di động có trị số không đổi:
,z t
P P.
 Tải trọng di động có trị số thay đổi:
 
,
sin rt
z t z
P P P  .
1.5.3. Tải trọng do gió động (Khí động)
Áp lực của dòng khí quyển chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình:
 Áp lực tỉnh:
 Áp lực động:
1.5.4. Tải trọng do dòng chảy( thủy động).
Áp lực của dòng nước chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình:
 Áp lực tỉnh:do áp lực của chiều cao cột nước

130. §H- 130 -
 Áp lực động: do tác dụng của sóng
1.5.5. Tải trọng động đất.
Tải trọng do bề mặt quả đất chuyển động dưới tác dụng của sóng địa chấn.
1.6. Dạng dao động, phân loại dao động.
1.6.1. Phân loại dao động theo dạng dao động.
 Dao động hình sin.
 Dao động phức tạp có chu kỳ.
 Dao động có cản (giảm dần)
 Dao động tăng dần.
 Dao động nhiễu loạn.

131. §H- 131 -
t
y
AA



t
y T

Hình 1.3 Hình 1.4
t
y
t
y

Hình 1.5 Hình 1.6
1.6.2. Phân loại theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động
 Dao động tự do.
 Dao động cưỡng bức.

132. §H- 132 -
 Tự dao động.
 Dao động ngẫu nhiên.
1.6.3. Phân theo sự tồn tại hay không tồn tại lực cản.
 Dao động không cản.
 Dao động có cản
1.6.4. Phân theo bậc tự do của hệ.
 Dao động của hệ có một bậc tự do.
 Dao động của hệ có một số bậc tự do.
 Dao động của hệ có vô hạn bậc tự do.
1.6.5. Phân theo biến dạng khi dao động.
 Dao động ngang.
 Dao động dọc.
1.6.6. Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả dao động.
 Dao động tuyến tính.

133. §H- 133 -
 Dao động phi tuyến.
1.6.7. Phân theo khả năng thay đổi các thông số của hệ.
 Dao động không có thông số.
 Dao động có thông số.
1.7. Các phương pháp tính toán
1.7.1. Phương pháp chính xác.
Phương pháp này dựa trên cở sở những nguyên tắc cân bằng của lực tỉnh học có bổ sung
thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D’alămpe. Như vậy các phương trình cân bằng tỉnh học
trở thành các phương trình cân bằng động học. Đối với hệ phẳng các phương trình cân bằng
động học có dạng:
  
2 2 2
2 2 2
0; 0; 0;
u
U
d X t d Y t d t
X m Y m M m
dt dt dt

     

     

134. §H- 134 -
1.7.2. Phương pháp gần dúng. Bao gồm các phương pháp:
 Phương pháp năng lượng. Phương pháp này được xây dựng trên cơ sở định luật bảo
toàn năng lượng của hệ đó. Tổng thế năng và động năng của hệtrong quá trình dao động là
không đổi:
constK U 
 Các phương pháp số.
 Phương pháp hạ số bặc tự do.
 Phương pháp chuyển về hệ một bậc tự do.
1.7.3. Phương pháp đúng dần.
1.8. Nhiệm vụ nghiên cứu của môn học.
 Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng của các công trình chịu tải trọng động, tránh các khả
năng xãy ra hiện tượng cộng hưởng làm hư hỏng công trình.

135. §H- 135 -
 Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực động do tải trọng động gây ra để căn cứ vào đó kiểm
tra độ bền của hệ kết cấu. đảm bảo ứng suất lớn nhất xuất hiện trong hệ kết cấu công
trình không lớn hơn giá trị cho phép.
 Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để từ đó kiểm tra độ cứng của hệ kết cấu
công trình đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn hơn chuyển vị cho phép, mặt khác
còn tìm các biện pháp xử lý đối với công trình bị rung động. nghiên cứu cách giảm rung
hiệu quả nhất.
 Lập mô hình nghiên cứu dao động.
 Xử lý phản ứng.
1.9. Bậc tự do của hệ đàn hồi.
Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định được vị trí của tất cả
các khối lượng trên hệ đó: Hệ một bậc tự do ( Hình 1.6), Hệ hữu hạn bậc tự do (Hình 1.7), Hệ
vô số bậc tự do (hình 1.8)

136. §H- 136 -
m
m
m

Hình 1.6
m
mm
m

Hình 1.7
m
m

Hình 1.8

137. §H- 137 -
2. Dao ®éng cña h Ö mét bËc tù do

2.1 Xây dựng phương trình vi phân dao động tổng quát hệ một bậc tự do.
2.2.1. Các lực tác động và các tham số cơ bản của hệ động học.
Xét một mô hình đơn giản cho trên hình 1.1. Hệ gồm một khối lượng M chịu tác dụng của
tải trọng động thay đổi theo thời gian P(t). Hệ được gắn với vật bất động bằng một lò xo đàn
hồi không trọng lượng với độ cứng k và một bộ giảm chấn (Cản nhớt) c biểu thị sự tiêu hao
năng lượng trong quá trình dao động. Khối lượng M được đặt trên các con lăn để đảm chỉ
chuyển động theo phương ngang.
Các tham số vật lý cơ bản của hệ động học cho ở hình trên cũng như mọi hệ kết cấu bất kỳ
dao động tuyến tính bao gồm: khối lượng của hệ, các tính chất đàn hồi của hệ như: độ cứng, độ
mềm, có đặc trung tiêu hao năng lượng trong quá trình dao động và các nguồn kích động cũng
như các tác động từ bên ngoài.

138. §H- 138 -
2.2.2. Dao động riêng.
Xét hệ một bậc tự do dạng một khối lượng tập trung m như hình vẽ.
Lực tập trung
t
P tác dụng theo phương thẳng đứng.
Lực quán tính là my;
Lực cản của môi trường là cy;
psinrt
y
(t)
m
EI

Hình 2.1
Phương trình cân bằng động:

0;
t
cy my P   
(2.1)

139. §H- 139 -
Khi xét dao động riêng ta chưa kể đến tải trọng ngoài
t
P ta có:
0;cy my  (2.2)
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất dạng:

 1 2
sin cos ;
t
y C t C t   (2.3)
Trong đó: ;
c
m
 
11 11
1
;
t
g g
P y

 
  

là tần số dao động góc.
p=1
EI
11
M1

Hình 2.2
1 2
;C C là các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện ban đầu:

140. §H- 140 -
Chuyển cị ban đầu:
 00
;
t
y y

 Vận tốc ban đầu:
 00
;
t
y y

 
Chu kỳ dao động là khoảng thời gian thực hiện 1 dao động:
2
;T



Tần số dao động là số dao động thực hiện trong 1 đơn vị thời gian:
1
;f
T

Nghiệm của 2 có thể viết dưới dạng:
  sin ;
t
y A t   (2.4)
Trong đó:
2 2
1 2
;A C C  là biên độ dao động.

2
1
;
C
artg
C

 
  
 
Pha ban đầu của dao động.
2 0,2 ;t n      pha của dao động.
Thật vậy:
  sin sin cos sin cos ;
t
y A t A t A t        

141. §H- 141 -

2 2 2
1 2 1 2
1
cos ; sin ; ;
C
A C A C A C C artg
C
  
 
       
 

Dùng điều kiện ban đầu ta tìm được:
0
1 2 0
; ;
y
C C y

 

nên:

2
2
0
0
;
y
A y

 
 
 
 

và 
0
0
sin cos ;
t
y
y t y t 

 

(a)
Lấy đạo hàm và chia hai vế cho  ta được:
 0
0
cos sin ;
t
y
y
t y t 
 
 


(b)
Lấy bình phương hai vế của (a) và (b) và cộng theo vế và rút gọn ta có

 
2
2
2
2
0
0
const;
t
t
y y
y y 
 
   
        
  
 

142. §H- 142 -

yy
o
y
o

y

t
y
AA


T

Hình 2.3
2.2 Dao động cưỡng bức
2.2.1. Xét trường hợp tải trọng điều hòa:
 0
sin ;
t
P P t 

Phương trình vi phân chuyển động có dạng:
0
sin ;my cy P t  
(2.5)

143. §H- 143 -
Đây là phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất nên nghiệm tổng quát của phương
trình (5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất cộng với một nghiệm riêng của
phương trình không thuần nhất.
Tìm nghiệm riêng của (5) dưới dạng:

2
sin sin ;
t
y Y t y Y t     
(2.6)
Thay (2.6) vào (5) và giản lược sint ta có:

2 2
0 0
sin sin sin ;mY t cY t P t mY cY P           (2.7)
Ta có :
 
0 0
2 2 2
;
P P
Y
m c m  
 
  
(2.8)
Thay (8) vào (6) ta được:

 
0
2 2
sin sin ;
t
P
y t A t
m
 
 
 

(2.9)
Khi ;y    Đây là hiện tượng cộng hưởng

144. §H- 144 -
Miền cộng hưởng là khu vực từ
2

đến
3
2

như hình vẽ:
y
 





Hình 2.4
2.2.2. Hiện tượng cộng hưởng.
Xét phương trình (5) trong trường hợp  có dạng:
0
sin ;my cy P t   (2.9)
Tìm nghiệm riêng của (2.9) dưới dạng:

145. §H- 145 -

sin ;
t
y kt t
(2.10)
Thay (2.10) vào (2.9) ta có:
 
2
0
sin 2 sin sin sin ;mk t t t ckt t P t        
Với:
2
0
2 sin sin ;c m mk t P t     
Ta có:
0 0
;
2 2
P P
k
m mc
 

Do đó: 
0
sin sin ;
2
t
P
y t t at t
mc
  
(2.11)

146. §H- 146 -
t
y

Hình 2.5
Đồ thị có dạng tăng theo thời gian không giới hạn.
Nghiệm tổng quát của (5) có dạng:

 
0
1 22 2
sin sin cos ;
t
P
y t C t C t
m
  
 
  

(2.12)
Dùng điều kiện ban đầu khối lượng m ở vị trí cân bằng không có độ lệch:

147. §H- 147 -
0 0 0
0; 0; 0;t y y   
Ta tìm được hai hằng số tích phân :

 
0
1 2 2 2
; 0;
P
C C
m

  

 


Nghiệm (2.12) có dạng:

 
 
0
2 2
sin sin ;
t
P
y t t
m
   
 
 


Biến đổi biểu thức trong ngoặc đơn:
   sin sin 2 cos sin sin ;
2 2
t t t t t
   
       
    
   
   
   

148. §H- 148 -
Khi   ta bỏ qua số hạng  sint    và xem
2
 


 hàm sin
2
t
  
 
 
biến
đổi chậm so với cos cos
2
t t
 

 

 
 

Ví dụ: 7; 8;    Biên độ dao động thay đổi theo chu kỳ, Hiện tượng phách điều hòa của dao
động.
t
y
14sin(0,5t)
14sin(0,5t)
14cos(7,5t)sin(0,5t)

Hình 2.6

149. §H- 149 -
2.2.3. Dao động dưới tác dụng của xung tức thời.
 Xung đặt tức thời vào khối lượng có cường độ I (va chạm)
Giả thiết rằng khoảng thời gian tác dụng của lực nhỏ đến mức hệ kết cấu công trình không
kịp phản ứng, nghĩa là xem
0
.I m y
Nếu tại thời gian 0t khối lượng mở trạng thái tỉnh thì điều kiện ban đầu sẽ là:
 0 0; 0 ;
I
y y
m
  

Sử dụng nghiệm của trường hợp dao động riêng:
 1 2
sin cos ;
t
y C t C t  
Với điều kiện ban đầu trên ta có: 2 1
0; ;
I I
C C
m mc
  
Phương trình dao động có dạng   sin sin ;
I
y t t A t
mc
   (2.13)

150. §H- 150 -
t
y

Hình 2.7
 Lực không đổi đặt tức thời có cường độ P
Xét trường hợp lực không đổi có cường độconst;P đặt tức thời;
Ta tìm nghiệm dưới dạng:  1 2
sin cos ;
t
P
y C t C t
c
    (2.14)
Từ điều kiện ban đầu: 0 0; 0 0;y y  

151. §H- 151 -
Ta có:
2 1
0; ;
P
C C
c
  
Do đó   1 cos ;
P
y t t
c
  (2.15)
t
y
P/c P/c

Hình 2.8
Chuyển vị lớn nhất bằng
2
P
c
gấp hai lần trường hợp tác dụng tỉnh tuyến tính. Trong bài
toán tuyến tính ứng suất và biến dạng gấp hai lần so với tác dụng tỉnh.

152. §H- 152 -
2.2.4. Dao động dưới tác dụng của lực thay đổi theo quy luật bất kỳ.
Trong trường hợp tổng quát dó tải trong t
P tác dụng, nghiệm riêng của phương trình
chọn dưới dạng:
 
*
0
1
y sin ;
t
P t d
m
   

  (2.16)
Có thể tìm nghiệm theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrang, ở đây ta đặt (2.16) vào
phương trình tổng quát:
t
my cy P 
(a)

 
 
*
0
*
0
1
cos ;
1
sin ;
t
t
y P t d
m
y P t d
m m
   

   
 
   




(b)
Thay (b) vào (a) thõa mãn sự cân bằng:

153. §H- 153 -
   
0 0
1
sin ( ) cos ( )
t t
c
m P t d m P t P t d P t
m m m

       

      
nghiệm riêng
*
ycó tính chất sau 
* *
y 0 y 0
Nghiệm toàn phần phương trình dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do chịu tải trọng có
quy luật bất kỳ có dạng:
  
0
1
cos sin cos
t
o
o
y
y t y t t P t d
m
     

    

(2.17)

154. §H- 154 -
3. hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do
3.1 . Hệ phương trình dao động.
Xét hệ có n bậc tự do có n khối lượng tập trung
i
m; i=1, 2, 3, …,n. tương ứng với nó là n
chuyển vị độc lập cần xác định
i t
y. Chịu n lực tập trung vào khối lượng
i t
Ptác dụng theo
phương của chuyển vị. Và n lực quán tính
i i
m y tương ứng với chuyển vị
i t
ynhư hình vẽ. Nếu
thêm số chuyển vị là góc xoay quanh một điểm thì tương ứng với nó ta thay khối lượng bằng
mômen quán tính khối lượng đối với điểm đó.
p sinrt
m
EI
p sinrt
m
1 2
1 2 p sinrt
mi
i p sinrt
mn
n
y
1
y
2 y
i
y
n

Hình 3.1

155. §H- 155 -
Do đó ngoại lực tại điểm i là :


;
i i ii t
R P m y   i=1, 2, 3, …,n. (3.1)
Biểu diễn dưới dạng véc tơ ta có:
;R P my 
  
 (3.2)
Trong đó:
 
 
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
...
...
...
...
n
n
n
n
R R R R R
P P P P P
m m m m m
y y y y y








    
(3.3)
Phương trình cân bằng giữa nội lực và ngoại lực theo có học có dạng:
0;AN R 
 
(3.4)
Trong đó: ,
;
i j
A a là ma trận hệ số; i=1, 2, 3, …,n.
J=1, 2, 3,…, m. m số lượng nội lực trong các phần tử.
 
1 2 3
...
n
N N N N N

véc tơ nội lực (3.5)
Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng

156. §H- 156 -
0; ;
T T
A U A U      
  
(3.6)
Trong đó:  
1 2 3
...
n
U y y y y

véc tơ chuyển vị.
 
1 2 3
...
n
     

véc tơ biến dạng.

T
A ma trận chuyển vị của A
Quan hệ giữa nội lực và biến dạng:
;N C 

với C là ma trận độ cứng. (3.7)
Thay (3.7) vào (3.6) rồi vào (3.4) ta được:
;
T
ACA U R
 
(3.8)
Chú ý thêm đến lực quán tính ta có:
;
T
ACA U my R 
  
 (3.9)
Gọi: ,
;
T
i j
ACA   

i,j=1, 2, 3, …, n.
Khai triển (3.9) ta có:

157. §H- 157 -
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
... ...
... ...
... ...
...
... ...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i i
n n n
y y y y y m y P
y y y y y m y P
y y y y y m y P
y y y y y m y P
y y
    
    
    
    
  
     
     
     
     
 




3 3
... ...
nj j nn n n n n
y y y m y P 










   


(3.10)
Mặt khác ta có thể thiết lập (3.10) theo trình tự như phương pháp chuyển vị.
 Coi mỗi khối lượng tập trung như một nút có chuyển vị thẳng theo phương của lực tác
dụng và đặt một liên kết thanh cản trở chuyển động này ta có hệ cơ bản của phương pháp
chuyển vị. Nếu kể đến chuyển vị xoay thì ta tăng thêm ẩn số là chuyển vị xoay của nút.
 Hệ phương trình chính tắc với ẩn số là các chuyển vị
i t
y có dạng

158. §H- 158 -
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
... ...
... ...
... ...
...
... ...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i i
n n n
y y y y y P m y
y y y y y P m y
y y y y y P m y
y y y y y P m y
y y
    
    
    
    
  
     
     
     
     
 




3 3
... ...
nj j nn n n n n
y y y P m y 










   



 Cho

1
i t
yvà vẽ các biểu đồ
i
M ta xác định
,i j
như các hệ số
,i j
r
3.2 Giải hệ phương trình.
Nghiệm tổng quát của (3.10) là tổng của hai nghiệm: nghiệm tổng quát của hệ phương
trình thuần nhất (vế phải bằng 0: 0
i
P) và nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất
(vế phải khác không: 0
i
P).
Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng:

159. §H- 159 -

  
  
2
sin ; sin ;
i i i i it i t
y A t y A t          (3.11)
Thay (3.11) vào (3.10) với 0
i
P, và  sin 0
i
t    ta có:

2
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
... ... 0
... ... 0
... ... 0
...
... ... 0
...
.
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i
n n n
A A A A A m A
A A A A A m A
A A A A A m A
A A A A A m A
A A A
     
     
     
     
  
     
     
     
     
 
2
.. ... 0
nj j nn n n n
A A m A  










   

(3.12)

160. §H- 160 -
 
 
 
 
2
11 1 1 12 2 13 3 1 1
2
21 1 22 2 2 23 3 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
... ... 0
... ... 0
... ... 0
...
... ... 0
...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij i j in n
n n n nj j
m A A A A A
A m A A A A
A A m A A A
A A A m A A
A A A A
     
     
     
     
   
     
     
     
     
    
2
... 0
nn n n
m A 












  


Điều kiện để tồn tại dao động là:
 
 
 
 
 
2
11 1 12 13 1 1
2
21 22 2 23 2 2
2
31 32 33 3 3 3
2
1 2 3
2
1 2 3
j n
j n
j n
i i i ij i in
n n n nj nn n
m
m
m
D
m
m
     
     
     
     
     






(3.13)

161. §H- 161 -
Do ý nghĩa vật lý của bài toán, phương trình tần số (3.13) có n nghiệm thực.
1 2 3
... ...
i n
    
Tần số nhỏ nhất gọi là tần só dao động cơ bản của hệ.
Mọi tổ hợp tần số dao động riêng của hệ được gọi là phổ các tần số của hệ.
3.3 Dao động riêng chính.
Dạng dao động riêng có tính chất trực giao. Tại thời điểm t bất kỳ dạng (chuyển vị) của
kết cấu được xác định theo vị trí của các khối lượng
i
m.
Nếu hệ có n bậc tự do, khi dao động chuyển vị của các khối lượng
i
m phụ thuộc vào phổ
tần số.
Dao động quy ước của hệ ứng với tần số dao động riêng
k
 nào đó gọi là dạng chính thứ k
của dao động.
Xét hai dạng chính thứ k và l ứng với
k
và
l

Phương trình (3.12) ương với
k
 có dạng:

162. §H- 162 -

2
11 1 12 2 13 3 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
...
...
...
k k k k k
n n
k k k k k
n n
k k k k k
n n
k k k k k
i i i in n i i
k k k k k
n n n nn n n n
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
    
    
    
    
    
    

   

   

   
   







(3.14)
Phương trình (3.12) ương với
l
 có dạng:

163. §H- 163 -

2
11 1 12 2 13 3 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
...
...
...
l l l l l
n n
l l l l l
n n
l l l l l
n n
l l l l l
i i i in n i i
l l l l l
n n n nn n n n
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A mA
A A A A m A
    
    
    
    
    
    

   

   

   
   







(3.15)
Trong hệ phương trình (3.14) ta nhân phương trình 1 với
1
l
A, phương trình 2 với
2
l
A,…
Trong hệ phương trình (3.15) ta nhân phương trình 1 với
1
k
A, phương trình 2 với
2
k
A,…
Chú ý đến
ik k i
 ta thấy tổng vế tái của (3.14) và (3.15) sau khi đã nhân với các số trên là
bằng nhau. Vì vậy tổng các vế phải củng bằng nhau:

164. §H- 164 -

2 2
1 1
n n
k l l k
k i i i l i i i
i i
m A A m A A 
 
  (3.16)
Hay:  
2 2
1
0
n
k l
k l i i i
i
m A A 

 
Vì
k l
   nên ta có:
1
0
n
k l
i i i
i
m A A


Ta nói các dạng dao động riêng chính có tính chất trực giao.
3.4 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng.
Giả sử tải trọng cưỡng bức có dạng điều hòa:


sin ;
ii t
P P t (3.17)
Thay (3.17) vào (3.10) và tìm nghiệm dạng


sin ;
ii t
y B t  (3.18)

165. §H- 165 -
Thay (3.17) và (3.18) vào (3.10) và giản ước hai vế cho sint ta có hệ phương trình xác
định
i
B
2
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
... ...
... ...
... ...
...
... ...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i i
n n n
B B B B B m B P
B B B B B m B P
B B B B B m B P
B B B B B mB P
B B
     
     
     
     
  
     
     
     
     
 
2
3 3
... ...
nj j nn n n n n
B B B m B P  










   


Giải hệ phương trình này ta tìm được
i
B
Ta nhận thấy khi
i
 là nghiệm của (3.12) thì 0D và biên độ tăng vô hạn xuất hiện hiện
tượng cộng hưởng

166. §H- 166 -
Ví dụ 1: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng
hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.
p sinrt
m
EI
l/3 l/3 l/3
p sinrt
m
1 2
1 2

4
1 22
2,1.10 ; 6 ; 6 ; 12
1
1 2 1,02 ; 50
KN
E l m P KN P KN
cm
KN
m m m r
m s
   
   

167. §H- 167 -
p sinrt
m
EI
l/3 l/3 l/3
p sinrt
m
1 2
1 2
y y
1 2
1 2
l/3 l/3 l/3
y =1
1
3EI
l
2
6EI
l
2
6EI
l
2

y =12
6EI
l
2
3EI
l
2
6EI
l
2

168. §H- 168 -
3EI
l
3
-12EI
l
3
-12EI
l
3

11

21
12EI
l
3
-3EI
l
3
-12EI
l
3

22
12
1 2
1 2




8 8
11 3 3 3 3
8 8
12 21 3 3
8 8
22 3 3 3 3
3 12 15 15.2,1.10 .8880.10
34965
2
12 12.2,1.10 .8880.10
27972
2
3 12 15 15.2,1.10 .8880.10
34965
2
EI EI EI
l l l
EI
l
EI EI EI
l l l

 




    
      
    

169. §H- 169 -
2
11 1 12
2
21 22 2
0;
m
D
m
  
  

 


 
2
2 2
2 2
34965 1,02 27972 0
(6993 1,02 )(62937 1,02 ) 0

 
  
  

1
2
6993
82,8
1,02
62937
248,4
1,02


 
 

Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng:
Tần số lực kích thích r=50;
Biên độ miền cộng hưỡng:

170. §H- 170 -
 Lân cân
1
1
55,282,7
82,8
110,41 3n

  

 

 Lân cân
1
2
220,882,7
248,4
276,01 3n

  

 

y
   
r=50

 Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ:
 
 
2
11 1 1 12 2
2
21 1 22 2 2
0
0
m A A
A m A
  
  
  


  


171. §H- 171 -
 Cho A1=1 ta tính được A2
2
11 1
2
12
m
A
 




Dạng 1;
2
1 2
34965 82,8 1,02
82,8 1
27972
A

   

m
EI
m
1 2
1
1

Dạng 2;
2
1 2
34965 248.4 1,02
248.4 1
27972
A

    

m
EI
m
1 2
1
-1

172. §H- 172 -
Vẽ biểu đồ mômen động
11
12 12
22
2 2
34965
27972
34965
1,02*50 2550mr

 


  

 

Hệ phương trình xác định biên độ dao động
 
 
1 2
1 2
34965 2550 * 27972* 6
27972* 34965 2550 * 12
B B
B B
  

   

Giải phương trình ta có:
3 3
1 1
3 3
2 2
1,976*10 1,976*10 *sin
2,075*10 2,075*10 *sin
B y t
B y t
 
 
  
 
 
 

Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:

173. §H- 173 -
3 2
1
3 2
2
1 1 1
2 2 2
1,976*10 * *sin 4,94*sin
2,075*10 * *sin 5,19*sin
* 6 1,02*4,94*1 11,039
* 12 1,02*5,19*1 17,294
y r rt rt
y r rt rt
R P m y KN
R P m y KN


  

  

    

    






Vẽ biểu đồ mômen động
26,248 30,418
26,248 30,418

174. §H- 174 -


Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng
hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.
p sinrt
m
EI
l l l
p sinrt
m
1 2
1 2

4 4
1 22
2 2
1 2
2,1.10 ; 8880 ; 2 ; 6 ; 12
1
1,02 ; 2,04 ; 50 ;
KN
E I cm l m P KN P KN
cm
KNs KNs
m m r
m m s
    
  

175. §H- 175 -
l l l
y y
1 2
1 2

y =1
1
6EI
l
2
6EI
l
2
6EI
l
2
l
2
6EI

y =12
6EI
l
2
3EI
l
2
6EI
l
2

176. §H- 176 -
6EI
l
3
-12EI
l
3
-12EI
l
3

11

21
3EI
l
3
-12EI
l
3
-12EI
l
3

22
12
1 2 1 2


8 8
11 3 3 3 3
3 12 24 24.2,1.10 .8880.10
55944
2
EI EI EI
l l l


    

8 8
12 12 3 3
12 12.2,1.10 .8880.10
27972
2
EI
l
 

      

8 8
22 3 3 3 3
3 12 15 15.2,1.10 .8880.10
34965
2
EI EI EI
l l l


    
2
11 1 12
2
21 22 2
0;
m
D
m
  
  

 


  
  
 
2 2
11 1 22 2 21 12
2 2 2
2
2 2
0
55944 34965 2 27972 0
2 146853 1173649176=0
m m
m m
m m
     
 
 
   
   
 

177. §H- 177 -
1
2
9126.33
94,59
1,02
64300
251,08
1,02


 
 

Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng:
Tần số lực kích thích r=50; Biên độ miền cộng hưỡng:
 Lân cân
1
1
55,282,7
82,8
110,41 3n

  

 

 Lân cân
1
2
220,882,7
248,4
276,01 3n

  

 

178. §H- 178 -
y
   
r=50

Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ:
 
 
2
11 1 1 12 2
2
21 1 22 2 2
0
0
m A A
A m A
  
  
  


  


Cho A1=1 ta tính được A2
2
11 1
2
12
m
A
 




179. §H- 179 -
Dạng 1;
2
1 2
55944 94,59 1,02
94,59 1,67
27972
A

   

m
EI
m
1 2
1
1,67

Dạng 2;
2
1 2
55944 251,08 1,02
251,08 0,30
27972
A

    

m
EI
m
1 2
1
-0,30

Vẽ biểu đồ mômen động

180. §H- 180 -
11
12 12
22
2 2
55944
27972
34965
1,02*50 2550mr

 


 

 

Hệ phương trình xác định biên độ dao động
 
 
1 2
1 2
55944 2550 * 27972* 6
27972* 34965 2*2550 * 12
B B
B B
  

   

Giải phương trình ta có:
3 3
1 1
3 3
2 2
0,634*10 0,634*10 *sin
0,996*10 0,996*10 *sin
B y t
B y t
 
 
  
 
 
 

Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:

181. §H- 181 -
3 2
1
3 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
0,634*10 * *sin 1,585*sin
0,996*10 * *sin 2,490*sin
* 6 1,02*1,585*1 7,617
* 12 2,04*2,490*1 17,080
y r rt rt
y r rt rt
R P m y KN
R P m y KN


  

  

    

    






Vẽ biểu đồ mômen động

182. §H- 182 -
8,463
4,514
2,257
15,182
1,265
17,713
R
1
R
2
19,970
5,779
23,645

183. §H- 183 -

3.5 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t x©y dùng trªn c¬ s¬ ph­¬ng ph¸p lùc.
XÐt hÖ cã n bËc tù do nh­ h×nh vÏ.
p sinrt
m
EI
p sinrt
m
1 2
1 2 p sinrt
mi
i p sinrt
mn
n
y
1
y
2 y
i
y
n

T­¬ng tù hÖ mét bËc tù do viÕt cho khèi l­îng thø k
     
1 1 1 2 2 2
...
kt k k kn n n kP
y Z R Z R Z R         
Thay Z
k = -m
ky’’
k lµ lùc qu¸n tÝnh.
     
1 1 1 1 2 2 2 2
... 0
kt k k kn n n n kP
y m y R m y R m y R            

184. §H- 184 -
3.5.1 Dao ®éng riªng khi kh«ng lùc c¶n.
Ph­¬ng tr×nh vi ph©n lóc nµy sÏ lµ :
1 1 1 2 2 2
... 0
kt k k kn n n kP
y m y m y m y          
NghiÖm riªng :
 
 
2
sin ;
sin ;
kt k
kt k
y y t
y y t
 
  
 
 

Thay vµo ®¬n gi¶n cho  sint 
 
 
 
2 2 2
1 11 1 2 12 2 1
2 2 2
1 21 1 2 22 2 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 ... 0
1 ... 0
.....
... 1 0
n n n
n n n
n n n nn n
m y m y m y
m y m y m y
m y m y m y
     
     
     
     

     



    


185. §H- 185 -
Chia hai vÕ cho
2
 vµ ®Æt 2
1
u


ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n

 
 
 
1 11 1 2 12 2 1
1 21 1 2 22 2 2
1 1 1 2 2 2
... 0
... 0
.....
... 0
n n n
n n n
n n n nn n
m u y m y m y
m y m u y m y
m y m y m u y
  
  
  
    

    



    


Khi hÖ dao ®éng 0
k
y nªn 0D gäi lµ ph­¬ng tr×nh tÇn sè hoÆc ph­¬ng tr×nh thÕ
kû.
Gi¶i ra ta cã 1 2 3
; ; ; ... ;
n
   
1
: gäi lµ tÇn sè c¬ b¶n. øng víi tÇn sè
1
:  ta cã mét d¹ng chÝnh cña dao ®éng. T­¬ng
tù trong c¬ häc kÕt cÊu ta cã thÓ ph©n tÝch thµnh d¹ng ®èi xøng hoÆc ph¶n xøng khi dao ®éng.

186. §H- 186 -
VÝ dô 3 :Cho dÇm nh­ h×nh vÏ víi m
1= m
2 = m. T×m c¸c tÇn sè dao ®éng riªng?
l l l
m1 m2

Ph­¬ng tr×nh tÇn sè cho bµi to¸n 2 khèi l­îng lµ:
1 11 2 12
1 21 2 22
0
m u m
D
m m u
 
 

 


Khai triÓn ta ®­îc:
   
2
11 1 22 2 1 2 11 22 12 21
0u u m m m m         

187. §H- 187 -
2l/3
l/3
z1=1
z2=1
2l/3
l/3

Nh©n biÓu ®å ®¬n vÞ ta cã
3 3
11 22 12 21
8 7
; ;
18 18
l l
EI EI
      

188. §H- 188 -
3 2 6
2
2
8 5
0
9 324
ml m l
u u
EI EI
  

NghiÖm:
3 3
1 2
5 5
; ;
6 18
ml ml
u u
EI EI
 

1 1 3 3
6 18
; ;
5
EI EI
ml ml
   

Hai d¹ng dao ®éng nh­ h×nh vÏ.
m1 m2
m1 m2

189. §H- 189 -
3.5.2 D¹ng chÝnh cña dao ®éng riªng
XuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t
  sin
k k itt t
y y  
ChuyÓn vÞ tõng khèi l­îng phô thuéc vµo tõng i
 kh¸c nhau nªn


k t
i t
y
y
thay ®æi theo
t. Ta cã thÓ biÓu thÞ k t
y chØ theo i
 .
D¹ng dao ®éng t­¬ng øng víi mét tÇn sè i
 nµo ®ã gäi lµ d¹ng chÝnh thø i lóc ®ã :
  sin
k k itt t
y y    (kh«ng cã dÊu tæng)
z1i
y
1i
zki
y
ki

190. §H- 190 -
Vµ :


onst
k t
kt
iti t
y y
c
 
 

Ta x¸c ®Þnh d¹ng chÝnh theo ®­êng ®µn håi cña biªn ®é lùc qu¸n tÝnh.

2
K K Ki
Z m y 
i
 t­¬ng øng lµ :
2
1 1 1 2 2 2
...
K t
i
K i K i n Kn ni
y
m y m y m y

  

  

§©y lµ c«ng thøc t×m i
 t­¬ng øng mét d¹ng chÝnh ®· biÕt. C¸c d¹ng chÝnh cã mét tÝnh
chÊt quan träng lµ tÝnh chÊt trùc giao : C«ng ngo¹i lùc hay néi lùc ë d¹ng chÝnh nµy trªn chuyÓn
vÞ hoÆc biÕn d¹ng ë d¹ng chÝnh kh¸c b»ng kh«ng

191. §H- 191 -
3.5.3 Dao ®éng c­ìng bøc 
sin
t
P P rt

§a sè tr­êng hîp hay gÆp trong kü thuËt, ng­êi ta ®­a t¶i träng t
P
vÒ d¹ng gÇn ®óng
lµ hµm ®iÒu hoµ. Do vËy, viÖc nghiªn cøu dao ®éng víi lùc kÝch thÝch sinP rt lµ mét bµi to¸n
c¬ b¶n. ë ®©y ta xÐt tr­êng hîp c¸c lùc kÝch thÝch ®Òu thay ®æi theo mét chu kú.
  
sin ; sin ; sin
t t t
P P rt M M rt q q rt  
vµ néi lùc, øng suÊt còng lµ hµm cña thêi gian :
   
; ; ;
t t t t
M M N N Q Q     

Víi hÖ sè nhiÒu bËc tù do khi tÇn sè r b»ng mét trong nh÷ng gi¸ trÞ  nµo ®ã cña tÇn sè
dao ®éng riªng ®Òu ph¸t sinh hiÖn t­îng céng h­ëng, khi r <  ta chØ quan t©m tÇn sè c¬ b¶n
1
. .

192. §H- 192 -
Khi hÖ sè æn ®Þnh do c¸c lùc c¶n nªn dao ®éng tù do mÊt vµ chØ cßn dao ®éng kÝch thÝch
.
Lùc t¸c dông trªn hÖ gåm : Lùc kÝch thÝch ;
Lùc qu¸n tÝnh K t
Z
.
Theo §alambe
   1 21 2
...
k k k kn t t n t kP t
S S Z S Z S Z S    

Lóc æn ®Þnh c¸c yÕu tè ®Òu thay ®æi theo chu kú
S
k(t) = S
ksinrt.
Lóc t¶i träng cùc ®¹i néi lùc còng ®¹t cùc trÞ
S
k = S
kP +
k1Z
1 +
k2Z
2 +…+
knZ
n.
S
kn néi lùc t¹i K do z
n = 1 t¸c dông tÜnh g©y ra. Do kh«ng cã lùc c¶n ph­¬ng tr×nh
thø k ®Ó x¸c ®Þnh lùc qu¸n tÝnh sÏ lµ :

193. §H- 193 -

1 1 2 2 2
1
... ... 0
k k kk k kn n kP
k
Z Z Z Z
m r
   
 
        
 

Khi hÖ æn ®Þnh
 
 
2
sin .
sin .
.
kk t
kk t
k k k
y y rt
Z Z rt
Z m y r




Theo Crame .
k
k
D
Z
D
 khi r =  ®Þnh thøc D. ChÝnh lµ ph­¬ng tr×nh tÇn sè D= 0 nªn z
k=
, ta cã hiÖn t­îng céng h­ëng.
VÝ dô 3: Cho P = 5 KN, n = 450 V/F, G = 10 KN, J = 8880 cm
4
, l = 6 m, g = 981cm/s
2
. Yªu
cÇu vÏ biÓu ®å m« men uèn ®éng.
2
50
60
n
l
r
s

 

194. §H- 194 -
pt=Psin rt
2 2 2m
m1 m2

Theo thÝ dô 2.1.
8 8
1 3 3
8 8
2 3 3
6 6 2,1 10 8880 10
52,37
5 5 1,02 2
18 18 2,1 10 8880 10
202,82
1,02 2
EI
ml
EI
ml




   
  
 
   
  


2
2
10
9,8 ; 1,02
9,8
m kNs
g m
ms
  

HÖ ph­¬ng tr×nh t×m biªn ®é lùc qu¸n tÝnh

195. §H- 195 -

*
11 1 12 2 1
*
21 1 22 2 2
0
0
P
P
Z Z
Z Z
 
 
   

  


3 3
4
11 22 8 8
3 3
4
12 21 8 8
8 8 2
1,907 10 ;
18 18 2,1 10 8880 10
7 7 2
1,668 10 ;
18 18 2,1 10 8880 10
l
EI
l
EI
 
 





    
   

    
   

* * 4 4
11 22 11 2 2
4 4
1 11
4 4
2 21
1 1
1,907 10 2,015 10 ;
1,02 50
5 1,907 10 9,535 10 ;
5 1,668 10 8,340 10 ;
P
P
mr
P
P
  


 
 
 
        

       
       

Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã : z
1 = 25.92 KN

196. §H- 196 -
z
2 = 25.59 KN
54,233
58,287
p+z1=30,92
z2=25,59
41,227
20,113
34,120
17,060

197. §H- 197 -
BiÓu ®å m« men ®éng
M
®
=
1Z
1 +
2Z
2+
Cã d¹ng nh­ h×nh vÏ
Khi kiÓm tra bÒn víi lµ biÓu ®å m« men do träng l­îng cña khèi
l­îng g©y ra.

3.6. Bài tập: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng
cộng hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.
4
1 22
1 2
2,1.10 ; 2,4 ; 6 ; 12
1
1,02 ; 1,53 ; 50
KN
E l m P P KN P KN
cm
KN KN
m m m r
m m s
    
   

198. §H- 198 -
a.
p sinrt
m
EI
l l l
p sinrt
m
1 2
1 2

b.
p sinrt
m
l l
p sinrt
m
1 2
1 2

c.
p sinrt
m
EI
l l l
p sinrt
m
1 2
1 2 p sinrt
m
3
3

199. §H- 199 -
d.
l
l
p sinrt
m

200. §H- 200 -
4 Dao ®éng cña hÖ v« h¹n btd

4.1 Dang động ngang của dầm đàn hồi.
Xét nột dầm đàn hồi chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng phân bố theo thời gian như hình
vẽ:
EI
y
(z,t)
z
y
m

Hình 4.1
Phương trình vi phân của dầm chịu uốn có dạng:
. ;
IV
EI y q (4.1)
Khi dầm chịu tải trọng động ta bổ sung thêm lực quán tính my:
. ;
IV
EI y my q t  (4.2)

201. §H- 201 -
Khi nghiên cứu dao động riêng (không có tải trọng) ta cho q bằng không:
. 0;
IV
EI y my  (4.3)
Sử dụng phương pháp tách biến ta tìm nghiệm (4.3) dưới dạng:
.y Y T (4.4)
Trong đó:  ;Y Y z T T t 
Thay (4.4) vào (4.3) ta được:
. . . 0; . . .
IV IV
EI Y T mY T EI Y T mY T    
 
(4.5)
Chia hai vế cho . .mY Tta nhận thấy hai hàm số theo hai biến khác nhau là không gian và
thời gian nhưng luôn bằng nhau vậy bằng hằng số C:
;
IV
EI Y T
C const
m Y T
   

(4.6)
Do đó ta có:

( ). 0
( )0
IV
aEI Y mCY
bT CT
  

 

(4.7)

202. §H- 202 -
Nghiệm của pt (b) tìm được  sin ;T A t   với C  (4.8)
Phương trình (a) có dạng:

2
. 0;
IV
EI Y m Y   (4.9)
Trong trường hợp ; ;EI const m const  Nghiệm của (3.8) có dạng

4
1
iz
i
i
Y C e


 (4.10)
Trong đó
i
 là nghiệm của phương trình đặc tính:

2
. 0;
IV
EI m  
nhận các giá trị:
1,2 3,4
; ;k k     trong đó:
2
4
m
k
EI


Ví vậy có thể đưa nghiệm của (4.10) về dạng
   . . .sin .cos ;y A sh kz B ch kz C kz D kz    (4.11)
Các hằng số A,B,C,D được xác định bốn điều kiện biên ở hai đầu dầm.

203. §H- 203 -
Để thuận tiện tính toán ta ký hiệu:

1 3 1 3 3 4 2 4
; ; ; ;
2 2 2 2
C C C C C C C C
A B C D
   
    (4.12)
Và đặt:

   
   
cos sin
; ;
2 2
cos sin
; ;
2 2
kz kz
kz kz
ch kz kz sh kz kz
A B
ch kz kz sh kz kz
C D
 
 
 
 
(4.13)
Khi đó (4.11) có dạng:

1 2 3 4kz kz kz kz
y C A C B C C C D    (4.14)
Thay vì phải xác định A, B, C, D trong (4.11) tác xác định C1, C2, C3, C4 trong(4.14) theo
điều kiện biên, các hàm , , ,
kz kz kz kz
A B C D được lập thành bảng.
Các điều kiện biên để xác định Ci, i=1-4.
   
0 0
0; ; ' ; ;
o o
M Q
z y z y y z y y z y z
EI EI
      

204. §H- 204 -
Chú ý đến tính chất đặc biệt của các hàm , , ,
kz kz kz kz
A B C D

   
       
0 00 0
0; 0; 0; , 0;
' , ' , ' , ' ,
kz kz kz kz kz kz kz kz
A B C D
A kD B kA C kB D kC
   
   

Tìm được
 
0
1 0 2 2 3
'
; ; ;
o o
y M Q
C y C y z y z
k k EI k EI
     
Thay Ci, i=1-4. vào (4.14) và lấy đạo hàm ta có:



 
 
2
0
0 2 3
0 0 2
2
0 0
3
0 0
'
' '
'' '
''' '
o o
kz kz kz kz
o o
kz kz kz kz
o
kz kz o kz kz
kz kz o kz o kz
y M Q
y z y A B C D
k k EI k EI
M Q
y z y kD y A B C
k EI k EI
Q
EIy z M z EIy k C EYky D M A B
k
EIy z Q z EIy k B EYk y C M kD Q A
   
   
     
     
(4.15)

205. §H- 205 -
Căn cứ vào điều kiện biên về chuyển vị và lực của các dầm cụ thể, ta lây được các phương
trình đại số tuyến tính thuần nhất chứa hai trong bốn thông số ban đầu
0 0
; ' ; ;
o o
y y M Q . Từ
điều kiện tồn tại dao động ta có định thức của hệ phương trình tuyến tính bằng không tìm được
thông số dao động k ta tính ra được tần số dao động riêng:

2
;
EI
k
m
  (4.16)
Do phương trình xác định thông số dao động k có dạng siêu việt và có vô số nghiệm nên
có vô số dạng dao động riêng.
0 0
0; 0; ' 0;
; 0; ' 0;
l l
z y y
z l y y
  
  

2 3
2
0
0
o o
kl kl
o o
kl kl
M Q
C D
k EI k EI
M Q
B C
k EI k EI

  




  


206. §H- 206 -
2 3
2
0;
kl kl
kl kl
C D
k EI k EI
D
B C
k EI k EI
 
 
 


2
. 0
kl kl kl
C B D 
    
2
cos sin sin
0
2 2 2
ch kl kl sh kl kl sh kl kl   
   
 

cos 1ch kl kl
1 2 3
4,730 7,853 10,496
; ; ;k k k
l l l
  
1 2 32 2 2
22,4 61,6 121,0
; ; ;
EI EI EI
l m l m l m
     

207. §H- 207 -
m
m
m


……………………………………………………………………