Triângulo retângulo

1. 1
Triângulo retângulo
Chamamos de triângulo retângulo àquele que possui ângulo reto, isto é, medindo 90°. Como
a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, no triângulo retângulo os ângulos agudos são
complementares, pois somam 90°.
No triângulo retângulo, os lados recebem nomes específicos: catetos e hipotenusa. A
hipotenusa é o maior seguimento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto, e os catetos são
os lados opostos aos ângulos agudos.
Os vértices são identificados com letras maiúsculas e os lados por letras minúsculas.
Considerando o ângulo no vértice B. Dizemos que AC é o cateto oposto a B e AB é cateto
adjacente a B
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a
b
c
B
A
C
Temos o triângulo retângulo ABC, onde:
Hipotenusa: a
Catetos: b e c
Cateto oposto a B
B
A
C
Considerando o ângulo no vértice B.
Dizemos que AC é o cateto oposto a B e
AB é cateto adjacente a B
Cateto adjacente a B
Cateto adjacente a C
B
A
C
Fixando o ângulo no vértice C. Dizemos
que AB é o cateto oposto a B e AC é
cateto adjacente a C
Cateto oposto a C

2. 2
Relações trigonométricas
Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigonométricas para os dois
ângulos agudos do triângulo. Sabendo identificar os catetos as razões são seno (sen), cosseno (cos)
e tangente (tg).
·Razão seno: O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão
existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
seno de um ângulo = cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
·Razão cosseno: O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a
razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
cosseno de um ângulo = cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
·Razão tangente: A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a
razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo.
tangente de um ângulo = cateto oposto ao ângulo .
cateto adjacente ao ângulo
Por exemplo, no triângulo retângulo da figura, temos:
sen B = AC sen C = AB
BC BC
cos B = AB cos C = AC
BC BC
tg B = AC tg C = AB
AB AC
A primeira constatação importante relaciona-se ao ângulo complementares:
Se dois ângulos são complementares então o seno de um deles é igual ao cosseno do
complementar. As tangentes de ângulos complementares são iversas.
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B
A
C
sen B = cos C
cos B = sem C
tg B = 1 .
tg C
.: B + C = 90°

3. 3
Observação:
As razões trigonométricas mais empregadas nos problemas práticos de Física ou
Matemática são para os ângulos 30°, 45° e 60°, conforme a tabela a seguir:
30° 45° 60°
sen
1
2
√ 2
2
√ 3
2
cos
√ 3
2
√ 2
2
1
2
tg
√ 3
3
1 √3
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele
descreve uma relação existente no triângulo retângulo.
Representação gráfica do Teorema de Pitágoras.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Exercícios de fixação
1. Determine as razões trigonométricas nos triângulos.
a) b) c)
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4
5
3
A B
C
12
15
9
A
B
C
√5
10
5
A
B
C

4. 4
2. Calcule x nas figuras:
a) c)
b) d)
3. Um observador de 1,70 m vê um pássaro no alto de um prédio sob um ângulo de 60°. Sabendo
que o observador está a 30 m do prédio, determine a altura do prédio.(Use √3 = 1,73)
4. Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m b) 12 m c) 13,6 m d) 9√3 m e) 18 m
5. Determine a medida x em da triângulo.
a) f)
b) g)
c) h)
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x
30°
5 cm
45°
x
18 cm
x
10 cm
60°
45°
x
√3 cm
x
3 cm
7 cm x
8 cm
9 cm
x
10 cm 18 cm
x
16 cm 20 cm
12 cm
5 cm
x
x
16 cm
25 cm
20 cm

5. 5
d) i)
e) j)
6. Um triângulo retângulo isósceles é tal que a hipotenusa mede 5 cm. Calcule a medida de um de
seus catetos.
7. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 cm e a soma dos catetos é 35 cm. Determine a
medida de cada cateto.
8. Os catetos de um triângulo retângulo têm a mesma medida. Se a hipotenusa mede 5√2 cm,
determine a medida dos catetos.
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3 cm
x
3√2 cm
x
12 cm
4 cm
13 cm
x
5 cm19 cm
11 cm
x
8 cm
8 cm

6. 6
Gabarito
1.
a)sen A = 4 sen C = 3
5 5
cos A = 3 cos C = 4
5 5
tg A = 4 tg C = 3
3 4
b)sen B = 12 sen C = 9
15 15
cos B = 9 cos C = 12
15 15
tg B = 12 tg C = 9
9 12
c)sen B = 10 sen C = 5
√5 √5
cos B = 5 cos C = 10
√5 √5
tg B = 10 tg C = 5
5 10
2.
a)
sen 30° = x ® 1 = x
5 2 5
2x = 5 ® x = 5/2 = 2,5 cm
c)cos 45° = x ® √ 2 = x .
18 2 18
2x = 18√2 ® x = 18 √ 2 = 9√2 cm
2
b)sen 60° = x ® √ 3 = x .
10 2 10
2x = 10√3 ® x = 10 √ 3 = 5√3 cm
2
d)cos 45° = x ® √ 2 = x .
√3 2 √3
2x = √2 . √3 ® x = √ 6 cm
2
3. De acordo com os dados do problema podemos verificar que a altura do prédio (h) é a soma da
altura do observador com o cateto oposto ao ângulo de 60°, que chamaremos de x.
Assim h = x + 1,7.
Aplicamos a definição de tangente para encontrarmos o valor de x:
tg 60° = x ® √3 = x . ® x = 30√3 m
30 30
Então: h = 30√3 + 1,7 = 30 . 1,73 + 1,7 = 51,9 + 1,7 @ 53,6 m
4. OPÇÃO E.
sen 30° = x ® 1 = x .
36 2 36
2x = 36 ® x = 36/2 = 18 m
5.
a)a
2
= b
2
+ c
2
x
2
= 3
2
+ 7
2
x
2
= 9 + 49
x
2
= 58
x = √58 cm
f)a
2
= b
2
+ c
2
9
2
= 8
2
+ x
2
81 = 64 + x
2
x
2
= 81 - 64
x = √17 cm
b)
a
2
= b
2
+ c
2
18
2
= 10
2
+ x
2
324 = 100 + x
2
x
2
= 324 - 100
x = √224 cm
g)a
2
= b
2
+ c
2
20
2
= 16
2
+ x
2
400 = 256 + x
2
x
2
= 400 - 256
x = √144
x = 12 cm
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7. 7
c)
a
2
= b
2
+ c
2
x
2
= 5
2
+ 12
2
x
2
= 25 + 144
x
2
= 169
x = √169
x = 13 cm
h)
a
2
= b
2
+ c
2
20
2
= 16
2
+ y
2
400 = 256 + y
2
y
2
= 400 – 256
y = √144
y = 12 cm
a
2
= b
2
+ c
2
x
2
= 16
2
+ (25 + y)
2
x
2
= 256 + (25 + 12)
2
x
2
= 256 + 37
2
x
2
= 256 + 1369
x
2
= 1625
x = √1625 cm
d)
a
2
= b
2
+ c
2
(3√2)
2
= 3
2
+ x
2
18 = 9 + x
2
x
2
= 18 - 9
x = √9
x = 3 cm
i)
a
2
= b
2
+ c
2
13
2
= 12
2
+ y
2
169 = 144 + y
2
y
2
= 169 – 144
y = √25
y = 5 cm
a
2
= b
2
+ c
2
x
2
= 12
2
+ (4 + y)
2
x
2
= 12
2
+ (4 + 5)
2
x
2
= 12
2
+ 9
2
x
2
= 144 + 81
x
2
= 225
x = √225
x =15 cm
e)a
2
= b
2
+ c
2
19
2
= 5
2
+ x
2
361 = 25 + x
2
x
2
= 361 - 25
x = √336 cm
j)a
2
= b
2
+ c
2
y
2
= 8
2
+ 8
2
y
2
= 2 . 8
2
y = √(2. 8
2
)
y = 8√2 cm
a
2
= b
2
+ c
2
(8√2)
2
= 11
2
+ x
2
128 = 121 + x
2
x
2
= 128 - 121
x = √8 cm
6. Devemos lembrar que um triângulo isósceles possui dois lados iguais, assim teremos:
Hipotenusa = 5 cm
Catetos = x
Aplicando o Teorema de Pitágoras
a
2
= b
2
+ c
2
5
2
= x
2
+ x
2
25 = 2x
2
x
2
= 25/2
x = √(25/2)
x = 5 . √ 2
√2 √2
x = 5 √ 2 cm
2
7. x e y catetos Substituindo (1) em (2). y = - b ± √ D
2a
x + y = 35 (35 – y)
2
+ y
2
= 625 y = - (- 35) ± √ 25
x = 35 – y (1) 35
2
– 2 . 35 . y + y
2
+ y
2
= 625 2 . 1
1225 – 70y + 2y
2
– 625 = 0 y = 35 ± 5
a
2
= b
2
+ c
2
2y
2
+ 70y + 600 = 0 2
25
2
= x
2
+ y
2
y
2
– 35y + 300 = 0 y’ = 35 – 5 ® y’ = 15
625 = x
2
+ y
2
2
x
2
+ y
2
= 625 (2) D = b
2
– 4 . a . c y’’ = 35 + 5 ® y’’ = 20
D = (- 35)
2
– 4 . 1 . 300 2
D = 1225 – 1220
D = 25
Para y’ = 15 temos: x’ = 35 - 15 ® x’ = 20
Para y’’ = 20 temos: x’’ = 35 - 20 ® x’’= 15
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8. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a
2
= b
2
+ c
2
(5√2)
2
= x
2
+ x
2
50 = 2x
2
x
2
= 50/2
x = √25
x = 5 cm
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9. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a
2
= b
2
+ c
2
(5√2)
2
= x
2
+ x
2
50 = 2x
2
x
2
= 50/2
x = √25
x = 5 cm
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10. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a
2
= b
2
+ c
2
(5√2)
2
= x
2
+ x
2
50 = 2x
2
x
2
= 50/2
x = √25
x = 5 cm
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11. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a
2
= b
2
+ c
2
(5√2)
2
= x
2
+ x
2
50 = 2x
2
x
2
= 50/2
x = √25
x = 5 cm
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