TRIANGULOS

1. Prof: Toribio Córdova C.

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA





TRIÁNGULOS
Se llama triángulo a la figura geométrica plana
formada por tres segmentos de recta que tienen dos
a dos un punto común que se denomina vértice.









Notación: Triángulo ABC: ∆ABC.
Elementos

:
 Vértice : A, B, C
 Lados : AB , BC , AC
 Ángulos internos : αº, βº, θº
 Ángulos externos: xº, yº, zº
 Perímetro : 2p = a + b + c
CLASIFICACIÓN
A. Según sus Ángulos:

1. Triángulo Oblicuángulo


 Triángulo Acutángulo






 Triángulo Obtusángulo





2. Triángulo Rectángulo




B. Según sus lados:

1. Triángulo Escaleno





2. Triángulo Isósceles






3. Triángulo Equilátero





LINEAS NOTABLES
1. Altura: es el segmento perpendicular que se
traza por uno de los vértices hacia el lado
opuesto.



2. Mediana: es el segmento que une el punto medio
de uno de los lados con el vértice opuesto.




3. Mediatriz: se llama mediatriz a la recta
perpendicular a uno de los lados que pasa por
punto medio del lado.




α° ω°
θ°
A C
B
0° < α°, θ°, ω° < 90°


90° < α° < 180°


B C
A
α

a
B
A
c
C
b
a ≠ b ≠ c
A C
B
L L
Base
α° α°
A C
B
L L
L
60° 60°
60°
y°
x°
c
α° θ°
β°
z°
C A
B
Región
Triangular
b
a
α° + θ° = 90°

A C
B
α

θ

B
M
C A
N
MN: Mediatriz
BM: Mediana
B
M
C A
A
B
C
H
BH: Altura

2. Prof: Toribio Córdova C.

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA





4. Bisectriz interior: es la bisectriz de uno de los
ángulos interiores que llega del lado opuesto.




5. Bisectriz exterior: es la bisectriz de uno de los
ángulos exteriores que llega a la prolongación del
lado opuesto.




6. Ceviana interior: se llama así a cualquier
segmento que trazado de los vértices llega al
lado opuesto.




7. Ceviana exterior: se llama así a cualquier
segmento que trazado por uno de los vértices
llega a la prolongación del lado opuesto.



PROPIEDADES BASICAS
8. Suma de Ángulos Internos






9. Suma de Ángulos Externos






10. Cálculo de un ángulo externo






11. Desigualdad Triangular




Sea: a < b < c


1. b – a < c < b + a
2. c – a < b < c + a
3. c – b < a < c + b
1. Propiedad Cuadrilátero Cóncavo.
PROPIEDADES ADICIONALES
(La del Boumerang)






2. Propiedad Mariposa






3. Propiedad Pescadito








ω° α°
C A
B
θ°
α° + θ° + ω° = 180°


e1 + e2 + e3 = 360°


e2
e1
e3
α° ω°
θ°
y°
x°
x° = α° + θ°


y° = α° + ω°


a b
c
x + y = α° + θ°


α
θ
y
x
x + y = α + θ


x
y
θ

α

x = α° + θ° + β°


α°
β°
θ°
x
D
B
C A
α α BD: Bisectriz interior
E
B
C A
θ

θ
BE: Bisectriz exterior
BP: Ceviana interior
B
P
C A
BQ: Ceviana exterior
B
Q C A

3. Prof: Toribio Córdova C.

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA





4.






5.





EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Calcular “x”.
a) 30º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
e) 70º


2. Calcular “x”.
a) 100º
b) 80º
c) 120º
d) 140º
e) 180º


3. Calcular “x”.
a) 50º
b) 100º
c) 180º
d) 90º
e) 120º


4. Calcular “x”.
a) 50º
b) 40º
c) 30º
d) 20º
e) 10º




5. Calcular “x”, si: α + θ = 60º
a) 150º
b) 120º
c) 100º
d) 20º
e) 10º

6. Calcular “x”; si es entero:
a) 180º
b) 94º
c) 86º
d) 96º
e) 84º


7. Hallar los valores pares de “x”.
a) 4 y 6
b) 4 y 8
c) 2 y 4
d) 6, 7 y 8
e) 6 y 8

8. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior
AE, sobre la cual se toma un punto D, luego se
traza EF perpendicular al lado AC. Hallar
m∢AEF, si m∢BAE = 15° y m∢ACB = 20°,
AD = DB = BE
a) 40º b) 60º c) 80º
d) 20º e) 10º


9. Calcular “x”.
a) 120º
b) 100º
c) 90º
d) 75º
e) 60º



10. Calcular el mayor ángulo de un triángulo,
sabiendo que uno de ellos es 40º y los otros son
iguales.
a) 30º b) 40º c) 80º
d) 70º e) 50º


20°
x°
30°
80°
120°
x°
θ+3α
θ - α
x°
y°
m°
n° x°
x° + y° = m° + n°
x°
α° θ°
180° + x° = α° + θ°
x° 2x°
3x°
x°
40°
150°
140°
x°
136°
60°
x°
α°
α° α°
α°
7 2
x

4. Prof: Toribio Córdova C.

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA






11. Del gráfico: calcule “x + y”.
a) 100º
b) 90º
c) 110º
d) 120º
e) 130º

12. Del gráfico: calcule “x”.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º

13. Hallar “x”
a) 40º
b) 50º
c) 60º
d) 70º
e) 80º


14. En un triángulo escaleno de lados enteros, 2
lados miden 2 y 3 respectivamente. Hallar el
tercer lado.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6


15. Del gráfico: calcule ∅.
a) 18º
b) 36º
c) 40º
d) 50º
e) 45º


16. Del gráfico:
21L//L calcule la medida de “x”.
a) 100º
b) 120º
c) 130º
d) 140º
e) 150º


17. Hallar el mayor valor entero del perímetro del ∆
equilátero ABC.
a) 32
b) 30
c) 31
d) 29
e) 28


18. Del gráfico, calcule “x”.
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 45º
e) 50º


19. Del gráfico, calcular “x + y”.

a) 170
º
b) 160
º
c) 180
º
d) 190
º
e) 200
º

20. Determine: “xº + yº + zº”.

a) 100
º
b) 120
º
c) 150
º
d) 180
º
e) 360
º



x
y
60°
40°
50° 30°
x
x
∅
∅ ∅
∅ ∅
α
α
β
β
x 60º
L2
L1
130°
θ
θ
x
60°
x
100°
D A
C
B

6
5
45º
x
y
αº
αº
αº
xº
y
º
z
º
θº θº θº