Trigonometria

trigonometria

1. Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência
cPublicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit
Introdução à Trigonometria
1
Doherty Andrade
Universidade Estadual de Maringá-DMA
87020-900 Maringá-PR, Brazil
Sumário1 Introdução: definições e fatos básicos 3
2 Números trigonométricos de um número real t 3
3 Fórmulas Básicas 4
4 Valores relacionados 5
4.1 Valores suplementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Valores complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 Valores opostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Valores anti-suplementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 O triângulo retângulo 6
6 Área de um triângulo 7
7 Regra do Seno 8
8 Expressões homogêneas em a, bec 8
9 Regra do cosseno 8
10 Funções trigonométricas 9
10.1 A função seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10.2 A função cosseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10.3 A função tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 A função cotangente 10
1
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2. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 2
12 Funções trigonométricas inversas 11
12.1 A função arco seno:arcsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12.2 A função arco cosseno:arccos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12.3 A função arco tangente:arctan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12.4 A função arco cotangente: accot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13 Fórmulas de soma 12
13.1cos(u+v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13.2cos(u−v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13.3sin(u−v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13.4sin(u+v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
13.5tan(u+v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
13.6tan(u−v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
13.7sin(2u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
13.8cos(2u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
13.9tan(2u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
14 Fórmulas de Carnot 15
15t-fórmulas 15
16 Equações trigonométricas 15
16.1 Equações básicascos(u) = cos(v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
16.2sin(u) = sin(v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
16.3tan(u) = tan(v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
16.4 cot(u) =cot(v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 Reduzindo a equações básicas 16
17.1 Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17.2 Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17.3 Usando uma variável adicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17.4 Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18 Usando fatoração 17
18.1 Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18.2 Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18.3 Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 3
1 Introdução: definições e fatos básicos
Círculo trigonométrico e ângulos:tomemos um sistema de eixos ortogonaisXOY,
ondeOé a origem. Um círculo de centro O e raior= 1é chamado um círculo
trigonométrico ou um círculo unitário.
Percorrer o círculo no sentido anti-horário é a orientação positiva na trigonometria.
Ângulos são medidos iniciando no eixo dosx. As duas unidades de medidas de ângulos
mais usadas são o grau (em inglês degree) e o radiano.
Um ângulo reto mede 90 graus que equivale a
π
2
radianos. Aqui usaremos mais fre-
quentemente a medida de ângulos em radianos.
A cada número realtcorresponde a exatamente um ângulo, e a um ponto sobre o
círculo, quando iniciamos a medida a partir do eixo dosx. Chamamos este ponto de a
imagem det. Veja a figura1.
Figura 1: Círculo trigonométrico
Exemplos:
(a) a
π
6
corresponde o ângulote o pontoPsobre o círculo.
(b) a
−π
2
corresponde o ânguloue o pontoQsobre o círculo.
2 Números trigonométricos de um número realt
Atradianos corresponde exatamente um pontoPsobre o círculo unitário
•À coordenadaxdePé chamada de cosseno det. Escrevemoscos(t).
•À coordenadaydePé chamada de seno det. Escrevemossin(t).
•Ao número
sin(t)
cos(t)
chamamos a tangente det. Escrevemostan(t).
•Ao número
cos(t)
sin(t)
chamamos a cotangente det. Escrevemoscot(t).
•Ao número
1
cos(t)
chamamos a secante det. Escrevemossec(t).
•Ao número
1
sin(t)
chamamos a cossecante det. Escrevemoscsc(t).

4. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 4
A reta dada pela equaçãosin(t).x−cos(t).y= 0passa pela origemOe pelo ponto
P= (cos(t),sin(t)). Então a reta é a retaOP. Nesta reta tomamos o ponto de interseção
S= (1, a)com a reta verticalx= 1. É fácil resolver o sistema e obter quea= tan(t).
Assim,tan(t)é ay-coordenada do pontoS. Veja a figura2.
Figura 2: A tangente
Analogamente, a interseção da reta horizontaly= 1com a retaOPé o pontoS
′
=
(b,1). Resolvendo, vemos quebé ax-coordenada do ponto. Assim,cot(t)é ax-coordenada
do pontoS
′
.
3 Fórmulas Básicas
Atradianos corresponde exatamente um pontoP= (cos(t),sin(t))sobre o círculo
unitário. O quadrado da distância[OP]é igual a 1. Calculando esta distância, usando as
coordenadas deP, temos para cadata seguinte igualdade
cos
2
(t) + sin
2
(t) = 1.
Dividindo a igualdade acima porcos
2
(t), obtemos
1 + tan
2
(t) =
1
cos
2
(t)
= sec
2
(t).
Analogamente,
1 + cot
2
(t) =
1
sin
2
(t)
= csc
2
(t).
Resumindo, já obtivemos as seguintes relações:
cos
2
(t) + sin
2
(t) = 1 (1)
1 + tan
2
(t) = sec
2
(t) (2)
1 + cot
2
(t) = csc
2
(t). (3)

5. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 5
4 Valores relacionados
4.1 Valores suplementares
Dizemos quetet
′
são valores suplementares se, e somente se,t+t
′
=π.
Com ajuda do círculo unitário vemos que os pontos imagens correspondentes são
simétricos com relação ao eixo dosY. Portanto, temos:
Setet
′
são valores suplementares, então:
sin(t) = sin(t
′
) (4)
cos(t) =−cos(t
′
) (5)
tan(t) =−tan(t
′
) (6)
cot(t) =−cot(t
′
). (7)
4.2 Valores complementares
Dizemos quetet
′
são complementares se, e somente se,t+t
′
=
π
2
.
Os pontos imagens correspondentes sobre o círculo unitáriosão simétricos com relação
a retay=x.
Portanto, setet
′
são complementares, então:
sin(t) = cos(t
′
) (8)
cos(t) = sin(t
′
) (9)
tan(t) = cot(t
′
) (10)
cot(t) = tan(t
′
). (11)
4.3 Valores opostos
Dizemos quetet
′
são valores opostos se, e somente se,t+t
′
= 0.
Neste caso, os pontos imagens correspondentes são simétricos com relação ao eixo dos
X.
Portanto, setet
′
são valores opostos, então:
sin(t) =−sin(t
′
) (12)
cos(t) = cos(t
′
) (13)
tan(t) =−tan(t
′
) (14)
cot(t) =−cot(t
′
). (15)
4.4 Valores anti-suplementares
Dizemos quetet
′
são anti-suplementares se, e somente se,t−t
′
=π.
Os pontos imagens correspondentes são simétricos com relação a origemO.
Portanto, setet
′
são anti-suplementares, então:

6. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 6
sin(t) =−sin(t
′
) (16)
cos(t) =−cos(t
′
) (17)
tan(t) = tan(t
′
) (18)
cot(t) = cot(t
′
). (19)
5 O triângulo retângulo
Um triângulo é dito retângulo se ele tem um ângulo reto. É fácil ver que um triângulo só
pode ter um ângulo reto.
Consideremos o triânguloABCcom ângulo reto emA. Tomemos o pontoBcomo
centro do círculo trigonométrico. Veja a figura
3.
Figura 3: Triângulo retângulo
Os ladosABeACsão chamados catetos eBCé chamado a hipotenusa. As distâncias
|AC|e|AB|são usualmente denotadas porbec, respectivamente. Poradenotamos a
medida da hipotenusaBC.
Da figura vemos quesin(
ˆ
B),cos(
ˆ
B)e1são diretamente proporcionais ab, cea, re-
spectivamente . Assim, temos:
sin(
ˆ
B)
b
=
cos(
ˆ
B)
c
=
1
a
, (20)
o que implica que
sin(
ˆ
B) =
b
a
(21)
cos(
ˆ
B) =
c
a
(22)
tan(
ˆ
B) =
b
c
. (23)

7. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 7
Como os ângulosBeCsão complementares, temos:
cos(
ˆ
C) =
b
a
(24)
sin(
ˆ
C) =
c
a
(25)
tan(
ˆ
C) =
c
b
. (26)
Em todo triângulo retânguloABC, com ângulo reto emA, temos:
sin(
ˆ
B) =
b
a
,cateto oposto sobre hipotenusa (27)
cos(
ˆ
B) =
c
a
,cateto adjacente sobre hipotenusa (28)
tan(
ˆ
B) =
b
c
,cateto oposto sobre cateto adjacente (29)
cos(
ˆ
C) =
b
a
,cateto adjacente sobre hipotenusa (30)
sin(
ˆ
C) =
c
a
,cateto oposto sobre hipotenusa (31)
tan(
ˆ
C) =
c
b
,cateto oposto sobre cateto adjacente.. (32)
6 Área de um triângulo
A área do triângulo é dada pelo semi produto das medidas da base pela sua altura, isto
é,
A=
ah
2
.
Veja a figura4.
Figura 4: Área de um triângulo
No triângulo retânguloBAH, temossin(
ˆ
B) =
h
c
. E assim a sua altura éh=c.sin(
ˆ
B).
A altura do triânguloBAHeBACé a mesma. Portanto, a área do triânguloBACé
a.c.sin(
ˆ
B)
2
.

8. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 8
Do mesmo modo, temos que área do triângulo também é dada por
b.c.sin(A)
2
=
a.b.sin(
ˆ
C)
2
.
A área do triânguloABCé dada por
a.c.sin(
ˆ
B)
2
ou por
b.c.sin(
ˆ
A)
2
ou por
a.b.sin(
ˆ
C)
2
.
7 Regra do Seno
No triânguloABCtemos que a área é
a.c.sin(
ˆ
B)
2
=
b.c.sin(
ˆ
A)
2
=
a.b.sin(
ˆ
C)
2
.
Simplificando temos,
a.c.sin(
ˆ
B) =b.c.sin(
ˆ
A) =a.b.sin(
ˆ
C),
dividindo pora.b.c, obtemos que em qualquer triânguloABCtemos:
a
sin(
ˆ
A)
=
b
sin(
ˆ
B)
=
c
sin(
ˆ
C)
. (33)
Esta fórmula é chamada de regra do seno (ou lei dos senos) no triânguloABC. Seja
Ro raio do círculo de centroOque passa pelos pontosA, BeC. SejaB
′
o segundo
ponto de interseção deBOe o círculo. O ânguloB
′
no triânguloBB
′
Cé igual aA. No
triângulo retânguloBB
′
Cvemos quea= 2Rsin(
ˆ
B
′
) = 2Rsin(
ˆ
A).Assim, as frações na
lei dos senos são iguais a2R.
8 Expressões homogêneas ema,bec
Se uma expressão entre os lados de um triângulo é homogênea ema, bectemos uma
expressão equivalente substituindoa, becporsin(
ˆ
A),sin(
ˆ
B),sin(
ˆ
C).
Exemplo:Num triângulo
b.sin(
ˆ
A−
ˆ
C) = 3.c.cos(
ˆ
A+
ˆ
C)
é equivalente a
sin(
ˆ
B).sin(
ˆ
A−
ˆ
C) = 3.sin(
ˆ
C).cos(
ˆ
A+
ˆ
C).
9 Regra do cosseno
Em todo triânguloABCtemos
a
2
=b
2
+c
2
−2bccos(
ˆ
A) (34)
b
2
=c
2
+a
2
−2cacos(
ˆ
B) (35)
c
2
=a
2
+b
2
−2abcos(
ˆ
C). (36)

9. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 9
10 Funções trigonométricas
10.1 A função seno
A função definida por:
sin :R→R
x7→sin(x)
é chamada a função seno.
A imagem desta função é o intervalo fechado[−1,1]e o seu período é2π. Veja o seu
gráfico na figura5, desenhado apenas no intervalo[0,2π].
Figura 5: Função seno
10.2 A função cosseno
A função cosseno é definida por:
cos :R→R
x7→cos(x)
A imagem da função cosseno é o intervalo[−1,1]e seu período2π. Veja o seu gráfico na
figura6, desenhado apenas no intervalo[0,2π].
Figura 6: Função cosseno

10. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 10
10.3 A função tangente
A função tangente é definida por:
tan :R−S→R
x 7→tan(x)
ondeS={x;x=
π
2
+kπ, k∈Z}.
Agora, o seu período éπ. Note que a função tangente não está definida emx=
π
2
+kπ,
ondeké um inteiro.
A sua imagem éR. Veja o seu gráfico na figura7, desenhado apenas no intervalo[0, π].
Figura 7: Função tangente Figura 8: Função cotangente
11 A função cotangente
É a função definida por:
cot :R−S→R
x 7→cot(x)
ondeS={x;x=kπ, k∈Z}.
O seu período éπ. Note quecot(x)não está definida emx=kπ, ondeké um inteiro.
A imagem da funçãocotéR. Veja o seu gráfico na figura8, desenhado apenas no
intervalo[0, π].

11. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 11
12 Funções trigonométricas inversas
12.1 A função arco seno:arcsin
Restringimos o domínio da função seno ao intervalo[
−π
2
,
π
2
]. Agora esta restrição é uma
função invertível, pois cada valorxna imagem[−1,1]tem exatamente um pontotem
[
−π
2
,
π
2
]tal quesin(t) =x.
A função inversa desta restrição é chamada de função arco seno. Escrevemosarcsin(x).
O gráfico dey= arcsin(x)é a reflexão em torno da retay=xdo gráfico da função
seno restrita ao intervalo[
−π
2
,
π
2
].
O seu domínio é[−1,1]e a sua imagem é[
−π
2
,
π
2
].
Veja o seu gráfico na figura9, desenhado apenas nos intervalos apropriados.
Figura 9: seno e arcosseno Figura 10:arcsin(x)
12.2 A função arco cosseno:arccos
Restringimos o domínio da função cosseno ao intervalo[0, π]. Esta restrição é invertível,
pois para cada valorxda imagem[−1,1]existe exatamente umtno intervalo[0, π]tal
quecos(t) =x.
A função inversa da restrição da função cosseno é chamada de função arccosseno.
Escrevemosarccos.
O gráfico dey= arccos(x)é a reflexão do gráfico da restrição do cosseno com relação
a retay=x.
O domínio é[−1,1]e sua imagem é[0, π].
12.3 A função arco tangente:arctan
Restringimos o domínio da função tangente ao intervalo aberto(
−π
2
,
π
2
). Retiramos os
extremos do intervalo para o denominador não se anular. Agora esta restrição é invertível

12. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 12
porque para cada valorxda imagem, existe um únicotem(
−π
2
,
π
2
)tal quetan(t) =x. A
função inversa da restrição da tangente é chamada de função arco tangente. Escrevemos
arctan(x).
O gráfico dey= arctan(x)é dado pela reflexão do gráfico da restrição da tangente
com relação a retay=x. O domínio éRe sua imagem é(
−π
2
,
π
2
).
Veja o seu gráfico na figura11, desenhado apenas no intervalo[0, π].
Figura 11: Função arcotangente
12.4 A função arco cotangente: accot
Restringimos o domínio da função cotangente ao intervalo(0, π). Agora esta restrição é
invertível, pois cada valor da imagem corresponde a exatamente um ponto do domínio. A
função inversa desta restrição da cotangente é chamada função arco cotangente. Escreve-
mos arccot(x).
O gráfico dey=arccot(x)é dado pela reflexão do gráfico da restrição da cotangente
com relação a retay=x. O domínio deRe a imagem é(0, π).
13 Fórmulas de soma
13.1cos(u+v)
cos(u+v) = cos(u).cos(v)−sin(u).sin(v).
Vamos dar uma prova elementar dessa fórmula da soma.
Consideremos dois ângulosaeb. Tomemos os pontosPeB, sobre o círculo trigonométrico,
como indicados na figura
12. Vamos calcular a distância entrePeB. Tomemos o sistema
de coordenadas usuais, assimP= (1,0)eB= (cos(a+b),sin(a+b)). Sedé a distância
entrePeB, então
d
2
= sin
2
(a+b) + (cos(a+b)−1)
2
=−2 cos(a+b) + 2.
Agora mudamos o nosso sistema de coordenadas: fazemos o eixodosXcoincidirem
com a retaOA. Assim, as coordenadas de
P= (cos(−a),sin(−a)) = (cos(a),−sin(a)).

13. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 13
Figura 12: fórmula da soma
As coordenadas deBsão simplesB= (cos(b),sin(b)). Agora,
d
2
= (sin(b) + sin(a))
2
+ (cos(b)−cos(a))
2
= 2 + 2 sin(a) sin(b)−2 cos(a) cos(b).
Como a distânciadé igual, comparamos e obtemos
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b).
13.2cos(u−v)
Observemos que
cos(u−v) = cos(u+(−v)) = cos(u) cos(−v)−sin(u) sin(−v) = cos(u) cos(v)+sin(u) sin(v).
Logo,
cos(u−v) = cos(u).cos(v) + sin(u).sin(v).
13.3sin(u−v)
Observemos que
sin(u−v) = cos(
π
2
−(u−v)) = cos((
π
2
−u) +v) = cos(
π
2
−u).cos(v)−sin(
π
2
−u).sin(v).
Logo,
sin(u−v) = sin(u).cos(v)−cos(u).sin(v).
13.4sin(u+v)
Observemos que
sin(u+v) = cos(
π
2
−(u+v)) = cos((
π
2
−u)−v)
= = cos(
π
2
−u).cos(v) + sin(
π
2
−u).sin(v)
= sin(u).cos(v) + cos(u).sin(v).sin(u).cos(v) + cos(u).sin(v).

14. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 14
Logo,
sin(u+v) = sin(u).cos(v) + cos(u).sin(v).
13.5tan(u+v)
Observamos que
tan(u+v) =
sin(u+v)
cos(u+v)
=
sin(u).cos(v) + cos(u).sin(v)
cos(u).cos(v)−sin(u).sin(v)
.
Dividindo o denominador e o numerador porcos(u).cos(v)obtemos:
tan(u+v) =
tan(u) + tan(v)
1−tan(u).tan(v)
.
13.6tan(u−v)
Do mesmo modo obtemos
tan(u−v) =
tan(u)−tan(v)
1 + tan(u).tan(v)
.
13.7sin(2u)
Observamos que
sin(2u) = sin(u+u) = sin(u).cos(u)+cos(u).sin(u) = 2 sin(u).cos(u) sin(2u) = 2 sin(u).cos(u).
Logo,
sin(2u) = 2 sin(u).cos(u).
13.8cos(2u)
Do mesmo modo,
cos(2u) = cos(u+u) = cos(u).cos(u)−sin(u).sin(u) = cos
2
(u)−sin
2
(u).
13.9tan(2u)
Observemos que
tan(2u) =
tan(u) + tan(u)
1−tan(u).tan(u)
=
2 tan(u)
1−tan
2
(u)
.
Logo,
tan(2u) =
2 tan(u)
1−tan
2
(u)
.

15. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 15
14 Fórmulas de Carnot
1 + cos(2u) = 1 + cos
2
(u)−sin
2
(u) = 2 cos
2
(u)
1−cos(2u) = 1−cos
2
(u) + sin
2
(u) = 2 sin
2
(u).
1 + cos(2u) = 2 cos
2
(u)e1−cos(2u) = 2 sin
2
(u).
15t-fórmulas
Das fórmulas de Carnot, obtemos
cos(2u) = 2 cos
2
(u)−1
=
2
1 + tan
2
(u)
−1
=
1−tan
2
(u)
1 + tan
2
(u)
Como
tan(2u) =
2 tan(u)
1−tan
2
(u)
,
então
sin(2u) =
2 tan(u)
1 + tan
2
(u)
Fazendot= tan(u), então
cos(2u) =
1−t
2
1 +t
2
sin(2u) =
2t
1 +t
2
tan(2u) =
2t
1−t
2
.
Estas 3 fórmulas são chamadast-fórmulas.
16 Equações trigonométricas
16.1 Equações básicascos(u) = cos(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
cos(u) = cos(v)⇔u=±v+k.2π,
ondek∈Z.

16. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 16
16.2sin(u) = sin(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
sin(u) = sin(v)⇔u=v+ 2.k.πouu=π−v+ 2.k.π.
16.3tan(u) = tan(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
tan(u) = tan(v)⇔u=v+k.π.
16.4 cot(u) =cot(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
cot(u) = cot(v)<=>⇔u=v+k.π.
17 Reduzindo a equações básicas
17.1 Exemplo 1
Resolvercos(2x) = cos(π−3x).
cos(2x) = cos(π−3x)
⇔2x= (π−3x) + 2.k.πou2x=−(π−3x) + 2.k
′
.π
⇔5x=π+ 2.k.πou−x=−π+ 2.k
′
.π
⇔x=
π
5
+
2.k.π
5
oux=π−2.k
′
.π.
17.2 Exemplo 2
Resolvertan(x−
π
2
) = tan(2x)
tan(x−
π
2
) = tan(2x)
⇔x−
π
2
= 2x+k.π
⇔x=−
π
2
−kπ.

17. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 17
17.3 Usando uma variável adicional
17.4 Exemplo 3
Resolver2 sin
2
(2x) + sin(2x)−1 = 0.
Fazendot= sin(2x), obtemos a equação
2t
2
+t−1 = 0.
Resolvendo, obtemost= 0.5out=−1.
Assim,sin(2x) = 0.5ousin(2x) =−1.Segue quesin(2x) = sin(
π
6
)ousin(2x) =
sin(−
π
2
).
Donde obtemos:
2x=
π
6
+ 2kπou2x=π−
π
6
+ 2kπ
2x=−
π
2
+ 2kπou2x=π+
π
2
= 2kπ
x=
π
12
+kπoux=
5π
12
+kπ
oux=−
π
4
+kπoux=
3π
4
+kπ.
18 Usando fatoração
18.1 Exemplo 1
Resolver3 sin(2x)−2 sin(x) = 0.
3 sin(2x)−2 sin(x) = 0
⇔6 sin(x) cos(x)−2.sin(x) = 0
⇔2 sin(x) (3 cos(x)−1) = 0
⇔sin(x) = 0oucos(x) =
1
3
⇔x=kπoux= 1.23095 + 2kπoux=−1.23095 + 2k
′
π
18.2 Exemplo 2
Resolver a equaçãoasin(u) +bcos(u) =c. Vamos transformarasin(u) +bcos(u)em
Asin(u−u0)ouAcos(u−u0).
Consideremosasin(u)+bcos(u) =a(sin(u)+
b
a
cos(u).). Tomeu0tal quetan(u0) =−
b
a
.
Logo,
asin(u) +bcos(u) =a(sin(u) +
b
a
cos(u))
=a(sin(u)−tan(u0) cos(u))
=
a
cos(u0)
[sin(u) cos(u0)−sin(u0) cos(u)].

18. cKIT - Cálculo Diferencial e Integral 18
SejaA=
A
cos(u0)
.Então,
asin(u) +bcos(u) =
a
cos(u0)
[sin(u) cos(u0)−sin(u0) cos(u)]
=Asin(u−u0)
=Acos(
π
2
−u+u0)
= cos(u−u
′
0).
Com esta redução podemos resolver a equaçãoasin(u) +bcos(u) =c.
18.3 Exemplo 3
Resolver3 sin(2x) + 4 cos(2x) = 2.Ou equivalentemente,sin(2x) +
4
3
cos(2x) =
2
3
.Seja
tan(t) =
4
3
. Então,
sin(2x) +
4
3
cos(2x) =
2
3
sin(2x) + tan(t) cos(2x) =
2
3
sin(2x) cos(t) + cos(2x) sin(t) =
2
3
cos(t)
sin(2x+t) =
2
3
cos(t).
Como
2
3
cos(t) = 0.4, segue quesin(2x+ 0.927) = sin(0.39), se e somente se,
2x+ 0.927 = 0.39 + 2kπou2x+ 0.927 =π−0.39 + 2k
′
π.
Ou equivalentemente,
x=
(−0.927 + 0.39 + 2kπ)
2
oux=
(−0.927 +π−0.39 + 2.k
′
π)
2
.
Sugestões:envie para [email protected]
Referências
[1] www.dma.uem.br/kit.