Trigonometria 10

1. Trigonometría

Página 1
SEMANA 10
ARCO COMPUESTO

1. Simplifique:    
   
sen º cos cos º sen
P
cos cos º sen sen º
      

     
15 15
15 15

A) 23 B) 23 C) 23
D) 3
2 E) 3
6

RESOLUCIÓN
  
 
sen º
P
cos º
   


   

15
15
 sen º
P tg º
cos º

15
15
15 
P23
RPTA.: B

2. Siendo:
   tg x y tg x y    3 2 4 2 3 5
Halle: “  tg x y ”

A) 1
21 B) -1 C) 1
10
D) 
1
21 E) 
1
10

RESOLUCIÓN
Datos:

* tg( x y) tg    3 2 4 4

“”

* tg( x y) tg    2 3 5 5

“  ”
Piden:
*    tg x y ? tg      = ?
“   ” 
 
tg tg
tg
tg tg
   
    
   
45
1 1 4 5 
 tg    
1
21
RPTA.: D

3. Resolver: tg º tg º
E
tg º


89 1
88

A) 0,5 B) 2 C) -1
D) 1 E) 0

RESOLUCIÓN tg º tg º
E
tg º


89 1
88
 
tg º tg º
E
tg º º



89 1
89 1
tg º tg º
E
tg º tg º
tg º tg º




89 1
89 1
1 89 1
E tg º tg º1 89 1
E tg ºctg º1 89 89


“1”
 E2
RPTA.: B

4. Si:
sen a+b
4
5  senacosb
3
5
Halle: sen (a – b)

A) 1
5 B) 2
5 C) 3
5
D)4
5 E) 1
6

RESOLUCIÓN
Como: senacosb cosasenb
4
5
cosasenb
34
55

2. Trigonometría

Página 2 cosasenb
1
5

Se pide: sen(a b) senacosb cosasenb  

 sen(a b)   
3 1 2
5 5 5
RPTA.: B

5. A qué es igual:
E cos º sen ºsen º13 2 18 5

A) sen 7º B) cos 22º
C) 2 sen 22º D) cos 23º
E) 2 cos 23º

RESOLUCIÓN  E cos º º sen º sen º  18 5 2 18 5 E cos º cos º sen º sen º18 5 18 5

 E cos º 23
RPTA.: D

6. Si a y b son ángulos
complementarios y además:
sena senb37
. Halle: tg (a-b)

A) 17
21 B) 19
21 C) 20
21
D) 22
21 E) 23
21

RESOLUCIÓN
Si: a + b =90º senb= cosa  sena cosa37
tga ctgb
7
3


Se pide:  
tga tgb
tg a b
tgatgb


  
    

   
   
73
37
731
1
37

  tg a b
20
21
RPTA.: C

7. Calcule: E tg º sen º21 8 75 16
(asumir: tg 37º = 0,75)

A) 23 B) 24 C) 25
D) 26 E) 27

RESOLUCIÓN
Si:
i)  tg º tg º º8 45 37 

tg º









3
1
41
8
37
11
4

ii) sen 16º = sen ( 53º - 37º)
sen 16º =   
4 4 3 3 7
5 5 5 5 25

Se pide:
 EE
   
   
   
   
17
21 75 24
7 25
RPTA.: B

8. Si: xyº16
Halle:  tgx tgy tg tgy  24 7


A) 
7
24 B) 7
24 C) 1
3
D) 
1
3 E) 7

RESOLUCIÓN  tgx tgy tgxtg y24 7

tgx tgy tgx tgy




7
24
24

Propiedad

3. Trigonometría

Página 3

tga tgb k tgatgb k  
 tg a b k
 tg x y x y º    
7
16
24 (dato) 

7
24 7
24
RPTA.: E

9. Si:  
 
sec
sec
  

  
4
Calcule: tg tg

A) 3
5 B) 
3
5 C) 2
5
D) 
2
5 E) 5
2


RESOLUCIÓN  
 
sec
sec
  

  
4
 
 
cos
cos
  

  
4
   
   
cos cos
cos cos
      

      
5
3
cos cos
sen sen


  
25
23
tg tg   
3
5

RPTA.: B

10. Reduce: M sen x cos x cos x
   
   
   
   
2
36

A) 
1
2 B) 7
4 C) 
7
4
D) 1
4 E) 
1
4

RESOLUCIÓN    M sen º x cos º x cos x   
2
60 30
   M sen º x sen º x cos x   
2
60 60
M sen² º sen x cos x  
22
60
M sen x cos x

  


2
223
2
M

 


3
1
4

M
1
4
RPTA.: E

11. Halle “ tg  ” de la figura.










A) -18 B) 
1
18 C) 18
D) 1
18 E) 1

RESOLUCIÓN







53º 53º
3k
2k2k
4k
3k
4k
37º

4. Trigonometría

Página 4
Se observa:
i) k
tg tg
k
    
33
22
ii)   º tg tg º        37 37
 tg tg º
tg tg
tg tg º


    


33
37
24
331 37
1
24 
tg 18
RPTA.: A

12. De la figura mostrada, calcular:
tg 












A) 
5
3 B) 
55
3 C) 5
3
D) 55
3 E) 4
3

RESOLUCIÓN











tg
4
5
tg
7
5

 tg tg    
tg tg
tg
tg tg
  

  1
tg



47
55
47
1
55
tg

11
5
3
25
tg  
55
3

RPTA.: B

13. En la figura, halle : tg 

A) 5
14
B) 3
7
C) 1
7
D) 3
14
E) 1
2

RESOLUCIÓN











 3
4
5  3
4
5 
4

5 b5 b
2 b
b  

5 b5 b
2 b
b

5. Trigonometría

Página 5
Si: tg  
3
5
tg
1
5


Se pide:  tg tg    
tg tg
tg
tg tg
  

  1
tg
5
14

RPTA.: A

14. Reducir:
tg tg tg tg tg tg        3 5 8 3 5 8


A) tg23 B) tg25
C) tg28 D) tg43
E) tg45

RESOLUCIÓN

E tg tg tg tg tg tg         5 3 5 8 8
E tg tg tg     8 8 2 8

RPTA.: C

15. Dado:  sen x y seny22
Halle: tg(x y) ctgx

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN    sen x y x sen x y x       
   
2    cos x y senx sen x y cosx  3  tg x y ctgx 3

RPTA.: C

16. Reduce:   sen x cos x sen x cos x cosx  3 3 2 2

A) sen x2 B) sen x3 C) sen x4
D) sen x5 E) sen x6

RESOLUCIÓN
E sen x sen x sen x cos x3 2 3 2

cos x sen x cos x cos x cosx  3 2 3 2

E cosx sen x cosx   5
E sen x 5

RPTA.: D

17. En un triángulo ABC, reduce:    cos B C cos C Acos(A B)
W
senA senB senB senC senC senA

  


A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN
Obs:  cos x y cosx cosy senx seny
senx seny senx seny
 



ctgx ctgy 1


Dato: ABC A B C º     180
Piden:    cos A B cos B C
W
senA senB senB senC


 cos C A
?
senC senA



 W ctgA ctgB ctgB ctgC      
   
11 ctgC ctgA

1

W ctgA ctgB ctgB ctgC ctgC ctgA   3

“1” 
W4

6. Trigonometría

Página 6
RPTA.: B
18. Simplifique:
sen º cos º
E
sen º cos º



3 7 3 7
88

A)6 B) 6 C) 36
4
D)46
3 E) 56

RESOLUCIÓN sen º cos º
E
sen º cos º



3 7 3 7
88
 sen º cos º
E
sen º cos º






3 3 7 7
11
2 8 8
22
 
sen º cos º
E
sen ºcos º cos ºsen º






31
2 3 7 7
22
2 45 8 45 8
 sen ºcos º cos ºsen º
E
sen( º º)



7 30 7 3023
45 82  sen º º
E
sen º

   
30 7
66
37

RPTA.: B

19. Si: ctgx tgy2

Halle:  
   
cos x y
E
sen x y sen x y


  
2


A) 1 B) 2 C) -2
D) 1
2 E) 
1
2

RESOLUCIÓN
De: ctgx tgy2
ctgx tgy  2
cosxcosy senxseny senxcosy   2  cos x y senxcosy  2

 
   
cos x y
E
sen x y sen x y


  
2
 senx cosy
senx cosy cosxseny senx cosy cosx seny

  
22
senx cosy
E
senx cosy


4
2
E2


RPTA.: C
20. Si: a + b = c
Simplifique: cos a cos b cosacosbcosc
22
2


A) sen (a-b) B) cos c
C) cos (a-b) D) sen c
2
E) cos c
2

RESOLUCIÓN  cos a cos b cosacosbcos a b  
22
2
 cos a cos b cosacosb cosacosb senasenb   
22
2
cos a cos b cos acos b cosacosbsena senb   
2 2 2 2
22 cos a cos b cos acos b   
2 2 2 2
cos a cos b senacosbcosasenb
22
2

   cos a cos b cos b cos a    
2 2 2 2
11 senacosbcosasenb2

cos asen b cos bsen a  
2 2 2 2
senacosbcosasenb2

  senacosb cosasenb  
22
  senacosb cosasenb2
 senacosb cosasenb
2
 sen a b sen c
22

RPTA.: E

7. Trigonometría

Página 7

21. Reducir la siguiente expresión:  sen(A B) sen A B sec A sec B
22

A) tg A tg B
22
B) tg A tg B
22
C) tg B
2
1
D) tg A
2
1
E) ctgB1

RESOLUCIÓN   E sen A B sen A B sec A sec B  
22   E senA cosB senBcosA senAcosB senBcosA   cos A cos B

22
11
 E sen A cos B sen Bcos A
cos A cos B

2 2 2 2
22
11
E tg A tg B
22
RPTA.: B

22. Reducir:  
 
 
 
tg º sec ºsen( º )
Q
cos( º ) ctg º csc º
 
  
  
270 90180
90 360 180


A) 0 B) -3 C)-1
D) 3 E) 1

RESOLUCIÓN
 sen ctg csc
Q
sen ctg csc
    
  
    
Q       1 1 1 1
RPTA.: C

23. Calcule el valor aproximado:
23
M 5 sen127º sec 240º 2tg 315º  


A)-2 B) 2 C) 6
D) -6 E) 0

RESOLUCIÓN
   M sen º sec º tg º  
23
5 127 240 2 315
*  sen º sen º º sen º    
4
127 180 53 53
5
*  sec º sec º º sec º     240 180 60 60 2
*  tg º tg º º tg º     315 360 45 45 1 
M

    


234
5 2 2 1
5 
M = -2
RPTA.: A

24. Calcule:
 cos º ctg º
M
tg( º)



5520 100027
2400

A) 1 B) 
33
8
C) 33
8 D) 
3
8
E) 3
8

RESOLUCIÓN
*     cos º cos º cos º º    5520 5520 360 15 120
cos º cos º   
1
120 60
2

*ctg º ctg( º º)  100027 360 277 307 3
ctg307º ctg53º
4
    


* tg( º) tg( º) tg º º      2400 2400 360 6 240 tg º tg º     240 60 3


M
   

   
   


13
24
3 
M
3
8
RPTA.: D

8. Trigonometría

Página 8
25. Simplifique:    
 
tg x cos x sec x
R
ctg x sen x csc x

    



   
   
   
   
3
2
2
3
2
22


A) -1 B) -2 C) -3
D)+1 E) 2

RESOLUCIÓN  tg x tgx  
cos x senx

  


3
2
ctg x tgx

  


3
2
 sen x senx   2
 sec x secx  2
csc x sec x



2


Reemplazando.   
   
tgx senx sec x
R
tgx senx sec x

  

1

RPTA.: E

26. Calcule el valor de :
sen tg csc
R
cos ctg sec
  

  
5 2 7
4 3 6
5 5 11
3 4 6

A) 32 B) 2 C) 22
D) 52 E) 72

RESOLUCIÓN sen sen


5
44
cos cos


5
33
tg tg


2
33
csc csc


7
66
ctg ctg


5
44
sec sec


11
66


reemplazando tenemos: sen tg csc
R
cos ctg sec
       
  
     
     

       
     
     
4 3 6
3 4 6






  

 
 
2
32
2
32
12
1
2 3

RPTA.: A

27. Si 
  
3
Calcule:   sen cos
P
sec csc
      

   
   
   
   
15 92
927 1683
22

A) 
3
16 B) 
1
16 C) 1
16
D) 3
16 E) 5
16
RESOLUCIÓN     sen 15 sen 15 sen sen             
 cos cos    92 csc sec

    


1683
2
927
sec csc
2







9. Trigonometría

Página 9
Reemplazando:   
  
sen cos sen cos
P
1csc sen
sen cos
 




sen cos  
22


reemplazando: 
  
3
P sen cos
   
    
   
   
22
33
 
     

2
2
3 1 3
2 2 16

RPTA.: A

28. Reduce:
    cos x cos x cos x
W
sen x
      





24 53
47
2


A) -1 B) 1 C) -3
D) 3 E) 0

RESOLUCIÓN
* cos x cosx
*    cos x cos x cosx     24 2 12
*    cos x cos x      53 52
 cos x cosx    
* sen x sen x
   
    
   
   
47 47
22
sen x

   


3
22
2
 cosx cosx cosx
W
cosx
       
     
 
W = 1
RPTA.: B

29. Siendo “ ” y “ ” las medidas de
dos ángulos complementarios:
 
 
 
 



32
23
64cos
42cos






ctg
tg
Q

A) -1 B) 1 C) 0
D) -2 E) 2

RESOLUCIÓN
* 90
*    cos cos         2 4 2 2 2
 cos cos     180 2 2
*    cos cos         4 6 4 4 2
 cos 360º 2 cos2
*     tg 3 2 tg 2 2 tg 180º tg            
*    ctg ctg         2 3 2 2
 ctg ctg    180 
 
cos tg cos
QQ
cos ctg cos
    
    
    
22
2 180 2
 tg
ctg
  

90 
2
2cos
2cos








ctg
ctg
Q
RPTA.: D

30. Reducir: A sen tg
   

   
   
917 239
46

10. Trigonometría

Página 10
A) 6
6 B) 3 C) 2
6
D) 2 E) 62

RESOLUCIÓN 












6
239
4
917

tgsenA



5 11
A sen tg
46


23
A sen255º tg330º A
23
  
     
  
  
6
6
A

RPTA.: A

31. Reducir: 2 2 2
A csc 675º ctg 855º tg 960º  

A) 2
1 B) 2
3 C) 2
1

D) 2 E) 4

RESOLUCIÓN 2 2 2
A csc 675 ctg 855 tg 960      2 2 2
A csc 315º ctg 135º tg 240º  
2 2 2
A csc45º ctg45º tg60º          
     
2 2 2
A csc 45 ctg 45 tg 60     
A 2 1 3  
A4

RPTA.: E
32. Reducir: 3 4 6
7 7 7 7
H cos cos cos cos
   
   


A) 0 B) 1 C) 2
D) 1
2 E) 3

RESOLUCIÓN3 4 6
7 7 7 7
H cos cos cos cos
   
   
33
H cos cos cos cos
7 7 7 7
       
      
   
   
H cos
7


3
cos
7


3
cos
7

 cos
7



H = 0
RPTA.: A

33. Calcule el valor de:  sen 150 cos 225º
P
tg60 ctg( 30 )


  

A) 12
12 B) 12
2
C) 12
12 D) 12
2

E) 1

RESOLUCIÓN
+ -  sen150 cos 225
P
tg60 ctg( 30 )
   
   
   

- 


3060
45cos30
ctgtg
sen
P

917
4 8
4
114
11
37
5
4 239
6 12
6
19
12
117
11
6
108

11. Trigonometría

Página 11 1 2 2
2 2 4
P
333



2
P
12


RPTA.: D

34. Reducir: 37 41
P sen cos
11 22



A) 1 B) -1 C) 0
D) -2 E) 2

RESOLUCIÓN 37 41
sen cos
11 22


33 4 44 3
sen cos
11 11 22 22
      
   
   
   
43
sen 3 cos 2
11 22
   
    
   
    43
sen cos
11 22



como: 43
11 22 2
  

44
sen sen 0
11 11

  
RPTA.: C

35. Si: ctg20 a
Calcule: csc200ºsen110º
E
cos290ºcsc 430º


A) a B) -a C) 2
a
D) 2
a E) 1

RESOLUCIÓN
( ) ( )
()
csc200 sen110
E ( )
cos290 csc 430



   
   csc20 sen70
E
sen20 csc70


 csc20 cos20
E
sen20 sec20



2
2
cos 20º
E
sen 20º

2
cos20
E
sen20
 



2
E ctg 20º
2
Ea

RPTA.: D

36. Simplifique:    
   
sen ctg sen 2
2
E
tg 450º ctg 180º csc 270º

        



  

A) tg B) tg C) ctg
D) ctg E) 1

RESOLUCIÓN
+ + -   
   
















270csc180450
2
2
ctgtg
senctgsen
E

- - - cos ctg sen
E
ctg ctg sec
   


  
cos
sen
sen sensen
E tg
cos coscos
sencossen
 
  

 
      
 

2
2
22
1
1

RPTA.: B