Trigonometria analitica

PRECALCULO

1. TRIGONOMETRIA ANALITICA
Integrantes: - Cango Andrea
- Riascos Humberto
5.1. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Identidades: El símbolo “=” tiene varios significados en matemáticas.
1. 1+1=2 significa igualdad de números reales
2. 2(x-3)=2x-6 significa expresiones equivalentes.
3. X
2
+3=7 es una proposición abierta
4. (x
2
-1 )/(x+1)=x-1 es una identidad
Identidades trigonométricas básicas: consisten en las identidades recíprocas y en las identidad concientes

Identidades recíprocas:
Csc θ= sec θ= cot θ=
senθ= cosθ= tan θ=
Identidades cocientes:
tanθ= cot θ=
Identidades pitagóricas:
se mostrarán las identidades pitagóricas mediante la notación abreviada para potencia de funciones
trigonométricas.
Cos
2
θ+ sen
2
θ=1
1+ tan
2
θ= sec
2

Cot
2
θ+ 1= csc
2
θ
Identidades de cofunciones:



Aunque nuestro argumento se baso en ángulos de triángulos, estas ecuaciones en realidad son identidades,
validas para todos los números reales para los cuales ambos lados de la ecuación estén definidos.
Identidades impar-par
Hemos visto que toda función trigonométrica básica es impar o par:
Sen (-x)= -sen x cos(-x)= cos x tan(-x)= -tan x
Csc (-x)= -csc x sec (-x)= secx cot (-x)= -cot x

Simplificación de expresiones trigonométricas
Algunas de estas expresiones lucen muy complicadas al principio, pero en ocasiones es posible utilizar
identidades junto a técnicas algebraicas para simplificar las expresiones antes de tratarlas

Resoluciones de ecuaciones trigonométricas
Para comprender trigonometría, en ocasiones nos detendremos, en nuestro desarrollo de identidades, para
resolver con lápiz y papel algunas ecuaciones trigonométricas, para obtener un poco de práctica en el uso de
identidades.

2. 5.3 identidades de suma y diferencia:
Coseno de una diferencia:
Ley de aditividad: f(u+v)=f(u)+f(v)
Fórmula de la distancia para determinar la longitud: AB=CD

Coseno de una suma o diferencia:
Cos (u ±v)=cos u cos v ± sen u sen v (observe que, en cada caso, el signo se intercambia.

Seno de suma o diferencia:
Sen (u ± v) = sen u cos v ± cos u sen v (observe que el signo no cambia en ninguno de los casos.
Si uno de los ángulos de una suma o diferencia es un ángulo de un cuadrante, entonces las identidades para
la suma-diferencia producen expresiones con un solo término. Como el efecto es reducir la complejidad la
identidad resultante se denomina fórmula de reducción.
Tangente de una diferencia o suma:
Deducción a partir de las fórmulas correspondientes de seno y coseno:
Tan (u±v)
Deducciones a partir de términos de función tangente:
Tan (u ± v)

5.5. LEY DE LOS SENOS
Deducción de la ley de los senos
Recuerde que un triangulo tiene 6; 3 lados y 3 ángulos. Estos tres elementos se determinan congruencia de
triángulos se conocen por sus acrónimos: AAL, ALA, LAL, LLL.
La ley de los senos establece que la razón del seno de un ángulo a la longitud de su lado opuesto es la misma
para los tres ángulos de cualquier triangulo.
Ley de los senos:

Resolución de triángulos (AAL, ALA).
Dos ángulos de un lado de un triangulo, en cualquier orden, determinan por completo el tamaño y forma de
un triangulo. Resolvemos para las dos partes restantes mediante la ley de los senos.
El caso ambiguo (LLA)
Depende de cual ángulo se trate, entonces el triangulo determina de forma única la congruencia. Si el ángulo
es opuesto a uno de los lados, entonces podría determinarse 1,2 o ningún triangulo.

3. Aplicaciones.
Muchos problemas que incluyen ángulos y distancias pueden resolverse mediante la superposición de
triángulos en la situación y resolviendo el triangulo.
5.6 LEY DE LOS COSENOS:
Deducción de la ley de los cosenos:
Ley de los cosenos:
a
2
= b
2
+c
2
-2bc cos A
b
2
= a
2
+c
2
-2ac cos B
c
2
= a
2
+b
2
-2ab cos C
Resolución de triángulos (LAL, LLL)
Mientras que la ley de los senos es la herramienta que utilizamos para resolver triángulos en los casos AAL,
ALA, la ley de los cosenos es necesaria para LAS y LLL.
Área de un triángulo y la fórmula de Herón
Área de un triángulo

Teorema: fórmula de Herón:
Sean a, b y c los lados del ABC, sea s el semi-perímetro
(a+b+c)/2
Entonces el área del ABC esta dada mediante área =
Ejercicio:
Halle los valores de que satisfagan la ecuación sen
2
-cos
2
+sen=0
Solución:
Utilice la identidad pitagórica
sen
2
+cos
2
=1 o cos
2
=1-sen
2

Para reescribir la ecuación sin ningún término de coseno así:
sen
2
-(1- sen
2
) +sen=0
2sen
2
+sen+1= 0
O factorizando, se obtiene: (2sen-1)(sen+1)= 0
Las únicas soluciones de:2sen-1=0 o sen=
En el intervalo 0 ≤θ≤2π son:Θ= y Θ=
Y la única solución de: Sen θ+1=0 o sen θ=-1
En el intervalo es: θ=
Por tanto, las soluciones de la ecuación original en el intervalo específico son: Θ= , Θ= y θ=