Trigonometria básica

1. TRIGONOMETRIA
A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações
trigonométricas num triângulo retângulo.
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B
ˆ
e por C
ˆ as medidas dos ângulos
internos, respectivamente nos vértices B e C.
TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
222
cba
Definições:
1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a
b
hipotenusa
B
ˆ
ânguloaoopostocateto
B
ˆ
sen

a
c
hipotenusa
C
ˆ
ânguloaoopostocateto
C
ˆ
sen

2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a
c
hipotenusa
B
ˆ
ânguloaoadjacentecateto
B
ˆ
cos

a
b
hipotenusa
C
ˆ
ânguloaoadjacentecateto
C
ˆ
cos


2. 3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos
catetos oposto e adjacente a esse ângulo.
c
b
B
ˆ
ânguloaoadjacentecateto
B
ˆ
ânguloaoopostocateto
B
ˆ
tg

b
c
C
ˆ
ânguloaoadjacentecateto
C
ˆ
ânguloaoopostocateto
C
ˆ
tg

Observação:
Note que
B
ˆ
cos
B
ˆ
sen
a
c
a
b
c
b
B
ˆ
tg
 .
Em geral, utilizaremos
xcos
xsen
xtg
 , para o ângulo x.
VALORES NOTÁVEIS
1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.
2
1
a
2
a
)30(sen



2
3
a
2
3a
)30cos(


3
3
3
1
2
3a
2
a
)30(tg


2
3
a
2
3a
)60(sen



2
1
a
2
a
)60cos(


3
2
a
2
3a
)60(tg


3. 2) Considere o quadrado de medida de lado a.
2
2
2
1
2a
a
)45(sen



2
2
2
1
2a
a
)45cos(


1
a
a
)45(tg

Resumindo:
30
o
45
o
60
o
Seno
2
1
2
2
2
3
Cosseno
2
3
2
2
2
1
Tangente
3
3
1
3
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,
denominadas arcos, que indicaremos porou .
As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.

4. MEDIDA DE ARCOS
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:
GRAU: é o arco unitário correspondente a
360
1
da circunferência que contém o arco a ser
medido.
RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o
arco a ser medido. (
o
radiano571 )
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,
possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três
simples, em que
 é a medida em graus e em radianos.
medida em graus medida em radianos
 
180 




180
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se
deslocando sobre a circunferência.
Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto
que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto
corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2.

5. A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.
Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo
correspondente, de onde calculamos:
p
p
x
1
x
cos ;
p
p
y
y
sen
1
; 1
22

ppyx obtendo-se 1
22
sencos
A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,
definindo o chamado ciclo trigonométrico.

6. Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:
sen0 = yA = 0 cos0 =x
A = 1
sen
2

= yB= 1 cos
2

=xB = 0
sen = yC= 0 cos =xC = -1
sen
2
3

= yD = 1 cos
2
3

=xD = 0
sen2 = yA = 0 cos2 =xA = 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos
trigonométricos.
Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.
O que é periodicidade?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da
semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.
Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.
Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),
fDomx . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.

7. Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se
repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a
um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.
Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:
1) Seno
sen(x) = sen(x + 2) = sen(x + 4) =..... = sen(x + k2), k  Z.
Seno é função periódica de período 2
2) Cosseno
cos(x) = cos(x + 2) = cos(x + 4) =..... = cos(x + k2), k  Z.
Cosseno é função periódica de período 2
3) Tangente
tg(x) = tg(x + ) = tg(x+ 2) =..... = tg(x + k), k  Z.
Tangente é função periódica de período 
Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p =
k
2

Generalizando: y = a tg(kx) p =
k

Exemplos:
1) Determine o período de cada função:
a). y = 3 sen(x) p = 2
b) y = 3 sen(2x) p = 

2
2
c). y = 2 sen(x/2) p =

4
2/1
2
d) y = 3 cos(2x) p =


2
2
e) y = cos(3x/5) p =
3
10
5/3
2



2) Determine o período de cada função:
a). y = tg(2x) p =
2

b). y = 2 tg(x) p = 
a). y = tg(x/2) p = 
2
2/1

8. GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
y = sen x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2

d) sen (-x) = - sen (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y = cos x Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2

d) cos (-x) = cos (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
y = tg x Propriedades
a) Dom = }kx/x{2
b) Img = 
c) Período = 
d)tg (-x) = -tg (x)
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
tg x =
xcos
senx
, para


k
2
x com Zk
sen
2
x + cos
2
x = 1, para Rx
cotg x =
senx
xcos
, para
kx com Zk sec
2
x = 1 + tg
2
x, para 

k
2
x com Zk
sec x =
xcos
1
, para 

k
2
x com Zk
cossec
2
x = 1 + cotg
2
x, para kx com Zk
cossec x =
senx
1
, para kx com Zk

9. FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Sendo “a” e “b” dois números reais.
sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tg(a + b) =
tgb.tga
tgbtga 
1
tg(a - b) =
tgb.tga
tgbtga 
1
Exemplos
1) Calcule
a)
)15cos(

Solução:
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2
)30(sen)45(sen)30cos()45cos()3045cos()15cos( 



b) )15(sen

Solução:
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2
)30cos()45(sen)30cos()45(sen)3045(sen)15(sen 



b) )15(tg

Solução:


 
32
6
326
6
3612
39
3369
33
33323
33
33
33
33
33
33
3
33
3
33
3
3
11
3
3
1
)30(tg)45(tg1
)30(tg)45(tg
)3045(tg)15(tg
2
2
2
2


































10. FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de
multiplicação:
cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos
2
a – sen
2
a =
=cos
2
a –(1- cos
2
a ) = 2 cos
2
a -1
sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a
tg(2a) = tg (a+a) =
atg1
tga2
tga.tga1
tgatga
2


 
Ou seja,
cos 2a =
asenacos
22

sen 2a = 2 sen a . cos acos 2a = 2 cos
2
a – 1
tg 2a =
.atg1
tga2
2

cos 2a= 1 – 2 sen
2
a
Exemplos
1) Sabendo que
3
1
)x(tg
, calcule tg(2x).
Solução
tg(2x) =
4
3
8
9
3
2
9
8
3
2
9
1
1
3
1
2
.xtg1
xtg22





2) Resolva a equação 1)x(sen3)x2cos(
 .
Solução
02)x(sen3)x(sen2
1)x(sen3)x(sen)x(sen1
1)x(sen3)x(sen)x(cos
1)x(sen3)x2cos(
2
22
22




Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:
25169)2(243
2


11. xexistenão2
4
53
ou
k2
6
5
xouk2
6
x
2
1
4
53
4
53
)x(sen










Conjunto solução:











Zk,k2
6
5
xouk2
6
xRxS
FÓRMULAS DE BISSECÇÃO
As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:
2
)b2cos(1
bsen)b2cos(1bsen2bsen21)b2cos(
222

 e, se considerarmos b=
2
a
,
obtemos
2
1
2
2 acosa
sen

 .
Seguindo essa idéia, temos
2
1
2
2 acosa
sen


2
1
2
2 acosa
cos


acos
acosa
tg


1
1
2
2
RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE
Fazendo




 qba
pba
, ou seja,











2
qp
b
2
qp
a
e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,
obtemos as relações de prostaférese dadas por
sen p + sen q =
2
qp
cos
2
qp
sen2




sen p - sen q =
2
qp
cos
2
qp
sen2





12. cos p + cos q =
2
qp
cos
2
qp
cos2




cos p - cos q =
2
qp
sen
2
qp
sen2




tg p + tg q =
)qcos().pcos(
)qp(sen

tg p - tg q =
)qcos().pcos(
)qp(sen

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,
lembrando que
1x1 .
Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o
valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição
2
y
2



.
Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas .
1) Função arco-seno (arcsen)
A cada x [–1,1] associa-se um único y







2
,
2
tais que sen y = x.
Assim, definimos a função
arcsen : [–1,1]







2
,
2
x )x(arcseny


13. Exemplos
1) Calcule
a) y = arcsen(1/2)
Solução
y = arcsen(1/2)sen y = 1/2 . Lembrando que y







2
,
2
, temos y =
/6, ou seja,
62
1
arcsen







.
b) y = arcsen(0)
Solução
y = arcsen(0)
sen y = 0 . Lembrando que y







2
,
2
, temos y = 0, ou seja,
00arcsen.
c) y = arcsen(-1/2)
Solução
y = arcsen(-1/2) sen y = -1/2 . Lembrando que y







2
,
2
, temos y =
/6, ou seja,
62
1
arcsen








.
d) y = arcsen(1)
Solução
y = arcsen(1) sen y = 1 . Lembrando que y







2
,
2
, temos y =
/2, ou seja, 
2
1arcsen


.

14. 2) Função arco-cosseno (arccos)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y,0 tais que cos y = x.
Assim, definimos a função
arccos : [–1,1] ,0
x )xarccos(y 
Exemplos
1) Calcule
a) y = arccos(1/2)
Solução
y = arccos(1/2) cos y = 1/2 . Lembrando que y,0, temos y = /3, ou seja,
32
1
arccos







.
b) y = arccos(0)
Solução
y = arccos(0)
cos y = 0 . Lembrando que y,0, temos y = /2, ou seja, 
2
0arccos


.
c) y = arccos(-1/2)
Solução
y = arccos(-1/2) cos y = -1/2. Lembrando que y ,0 temos y = 2/3, ou seja,
3
2
2
1
arccos








.
d) y = arccos(1)
Solução
y = arccos(1) cos y = 1 . Lembrando que y,0 temos y = , ou seja, 1arccos.

15. 3) Função arco-tangente (arctg)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y 




 

2
,
2
tais que tg y = x.
Assim, definimos a função
arcsen : [–1,1] 




 

2
,
2
x)x(arctgy 
Exemplos
1) Calcule
a) y = arctg(1)
Solução
y = arctg(1) tg y = 1 . Lembrando que y 




 

2
,
2
, temos y = /4, ou seja, 
4
1arctg


.
b) y = arcsen( 3)
Solução
y = arctg(3) tg y = 3 . Lembrando que y 




 

2
,
2
, temos y = /3, ou seja,

3
3arctg


.
c) y = arctg(-1)
Solução
y = arctg(-1) tg y = -1 . Lembrando que y 




 

2
,
2
, temos y = /4, ou seja, 
4
1arctg


.

16. EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA
1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:
2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no
sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na
direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no
rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível
traçar um triângulo retângulo.
(norte) A
5 milhas
(leste)
(sul) B
3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28
dias.
a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à
lua de 385.000km).
4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,
cosseno e tangente.
a)1470º b) –1020º c)
4
25

d)
2
5



5) Determine o valor de
(a) sen 1620º (b) sen (-990º)
6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:
a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b)
Se o barco percorreu 5 milhas na direção
leste, quanto ele teve que andar para
retornar á rota original?

17. 7) Resolva a expressão matemática
a) x = sen (
/6)- cos (2/3)-3*sen()
b) y = tg(
/4)+2*sen(5/6) – [sen (/3)-cos(/6)]
8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:
a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0
9) Simplifique as expressões:
a)
)x5(sen)x9(sen
 b) sen (x-900º) + cos (x-540º)
10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4
11) Calcule :
a) sen (9
/4) e cos (9/4)
b) sen (-2
/3) e sen (-2/3)
c) sen 8
 e cos8
12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2
) que satisfaça as equações:
a) sen
=1; cos=-1; tg=1; sec=1;
b) sen =0; cos=0; tg=0; sec=0;
c) sen = -1/2; cos= 1/2; tg= -1; sec=2.
13. Determine o período das funções:
a) y = sen (8
) b) z= 4 sen (8 )
c) x = cos (4
/7) d) p=3 cos( /4+/2)
14. Simplifique a expressão








cos
2
sen)sen()sen(.
15. Sabendo-se que sen
 = -1/3, calcule:
a) sen (
-) b) sen (  + ) c) cos ( /2 -)
16. Usando as fórmulas de adição, calcule:
a) sen (
+/2) b) cos75º c) cos (5 /6), (sugestão 5/6 = /2+/3)
17. Mostre que
 cossen22sen .
18. Mostre que
2
2cos
2
1
cos
2 

.

18. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA
1) a)
2
1
tg ,
5
52
cos ,
5
5
sen
 b)
4
3
tg ,
5
4
cos ,
5
3
sen

2) 5
2
3) a) /14 rad b) 770.000  km
4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3/2 e tg 30º = 3/3
b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3/2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3
c) 25/4 equivale a /4 portando sen /4 = 2/2 , cos /4 = 2/2 e tg /4 = 1
d) -5
/2 equivale a 3/2 portando sen 3/2 = -1 , cos 3/2 = 0 e tg 3/2 = indefinida
5) a) zero b) 1
6) a) 1 b)
3/2 c)indefinido
7) a) -1 b) 2
8) e
9) a) 2 sen x b) -sen x - cos x
10) a) Dom = , Im = [-4, 4], p=2 b) ) Dom = , Im = [0, 1], p=2


c) Dom = , Im = [-2, 2], p=8
11) a) 2/2 e 2/2 b) -3/2 e -1/2 c) 0 e 1
12) a)
/2, , /4 e 5/4, 0
b) 0 e
, /2 e 3/2, 0 e , /2 e 3/2
c) 7
/6 e 11/6, /3 e 5/3, 3/4 e 7/4, /3 e 5/3
13) a)
/4 b) /4 c) 7 /2 d) 8 
14) –2sen
15) a) – 1/3 b) 1/3 c) -1/2
16) a) -
3/2 b)  4/26 c) - 3/2