Trigonometria - Lei dos senos e cossenos

Questões de matemática dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
LEIS - SENOS E COSSENOS

2. LEIS – SENOS E COSSENOS
1


01. (Famerp 2020) A figura indica o retângulo FAME e o losango MERP desenhados, respectivamente, em uma
parede e no chão a ela perpendicular. O ângulo
ˆ
MER mede 120 ,° ME 2 m= e a área do retângulo FAME é igual a
2
12 m .



Na situação descrita, a medida de RA é

a) 3 3m
b) 4 3m
c) 5 2m
d) 3 2m
e) 4 2m

02. (Espm 2019) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e M é ponto médio do lado AD. O valor de tgα é:



a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

3. LEIS – SENOS E COSSENOS
2



03. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de
1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual
a



a) 3 cm.
b) 2 cm.
c) 5 cm.
d) 6 cm.

04. (Insper 2018) A fabricação de uma peça triangular de vértices A, B e C, a partir da qual será construída uma
pirâmide aberta (sem a face APC), exige as seguintes especificações:

I. AP e CQ são cevianas, perpendiculares em R, do triângulo ABC, com AP CQ 4 cm;= =
II. AQ CP.=




Se AQ 10 cm= e AC 2,> então AC, em centímetros, é igual a

a) 52
b) 32
c) 42
d) 33
e) 23

4. LEIS – SENOS E COSSENOS
3



05. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados
AB 4, BC 2= = e BF 2.=



O seno do ângulo ????????????????????????̂???????????? é igual a
a)
1
25

b)
1
5

c)
2
10

d)
2
5

e)
3
10


06. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm,= BC 1cm= e
CD 5 cm.=



Então, o ângulo θ é igual a

a) 15 .°
b) 30 .°
c) 45 .°
d) 60 .°

5. LEIS – SENOS E COSSENOS
4



07. (Fac. Albert Einstein - 2017) No pentágono ABCDE da figura, o lado AB mede 3 cm; o lado AE mede 8 cm; o
lado CD mede 4 cm e os ângulos
ˆˆ
BEC, A e
ˆ
D medem 30 , 60°° e 90° respectivamente.



Sendo a área do triângulo BCE igual a
2
10,5 cm , a medida, em cm, do lado DE é

a) 18
b) 20
c) 22
d) 24

08. (Mackenzie 2016) Na figura, ABC e AED são triângulos retângulos.



Se m(AC) ,=
ˆ
m(BAC) ,α=
ˆ
m(ADE)β= e
ˆˆ
m(ABC) m(DAE) 90 ,= = ° então m(BD) é

a) cosα⋅
b)
2
senα⋅
c) cos senαβ⋅⋅
d)
2
cos
sen
α
β
⋅
e)
2
sen
cos
α
β
⋅

6. LEIS – SENOS E COSSENOS
5



09. (Insper 2016) Partindo de um ponto A, um avião deslocava-se, em linha reta, com velocidade v km / h. Após duas
horas, quando se encontrava no ponto B, o avião desviou α graus de sua rota original, conforme indica a figura,
devido às condições climáticas. Mantendo uma trajetória reta, o avião voou mais uma hora com a mesma velocidade
v km / h, até atingir o ponto C.


A distância entre os pontos
A e C, em quilômetros, é igual a

a) 2v
b) v5
c) v6
d) v7
e) 2v 2

10. (Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.



A medida do ângulo θ é igual a
a)
105 .°
b) 120 .°
c) 135 .°
d) 150 .°

11. (Fgv 2013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.



O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a

a) 42+ b) 43+ c) 6 d) 45+ e) 2(2 2)+

7. LEIS – SENOS E COSSENOS
6



12. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,
respectivamente, e o ângulo
ˆ
CAB 30 .= °



Portanto, o comprimento do segmento CE é

a)
5
a
3

b)
8
a
3

c)
7
a
3

d) a2

13. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava
que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e
entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km.
Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São
Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha
reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo
retângulo, conforme mostra o mapa.


Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as
cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 2 5 3⋅ +⋅
b) 80 5 2 3⋅ +⋅
c) 80 6⋅
d) 80 5 3 2⋅ +⋅
e) 8073⋅⋅

8. LEIS – SENOS E COSSENOS
7



14. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a
nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.



Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934α≅ , onde αé o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que
82
2 3 93,4 215 100⋅⋅ ≅ , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai
foi de
a) 10
b) 50
c) 100
d) 250
e) 600

15. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto
A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do
rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em
linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia
que os ângulos
ˆ
BAC e
ˆ
BCD valem 30 ,° e o
ˆ
ACB vale 105 ,° como mostra a figura:


A altura
h do mastro da bandeira, em metros, é
a)
12,5.
b) 12,5 2.
c) 25,0.
d) 25,0 2.
e) 35,0.

9. LEIS – SENOS E COSSENOS
8



16. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o
ponto médio de BC e 14
MN
4
= .



Então, DM é igual a

a)
2
4

b)
2
2

c) 2
d)
32
2

e)
52
2


17. (Insper 2009) Na figura a seguir, a circunferência tem raio igual a 3 cm e α mede 30°.



É correto concluir da comparação da medida do arco AB com as medidas dos segmentos CD e EF que

a)
3
32 3
22
− <<
π

b)
3
32 3
22
< −<
π

c)
3
32 3
22
< −<
π

d)
3
3(2 3)
22
<− <
π

e)
3
3(2 3)
22
<< −
π

10. LEIS – SENOS E COSSENOS
9



18. (Unifesp 2007) Em um triângulo com lados de comprimentos a, b, c, tem-se (a + b + c)(a + b - c) = 3ab. A medida
do ângulo oposto ao lado de comprimento c é

a) 30
°

b) 45
°

c) 60
°

d) 90
°

e) 120
°














GABARITO

1 - B 2 - C 3 - C 4 - B 5 - E
6 - C 7 - B 8 - D 9 - E 10 - B
11 - B 12 - C 13 - B 14 - E 15 - B
16 - B 17 - C 18 - C