Trigonometria Plan-el mejor.pptxssssssss

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1. TRIGONOMETRIA PLANA Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD

2. Introducción En esta presentación nos adentraremos en el mundo de la t rigonometría plana , donde exploraremos diversas temáticas fundamentales. Desde las funciones trigonométricas , que nos permiten entender y modelar fenómenos periódicos, hasta el teorema del seno y coseno , herramientas fundamentales en la resolución de triángulos. Además, analizaremos las identidades trigonométricas , que revelan relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas, y las ecuaciones trigonométricas, que nos desafían a resolver problemas matemáticos complejos.

3. Contenido: 01. Funciones trigonométricas 02. Teorema del seno y coseno 03. Identidades trigonométricas 04. Ecuaciones trigonométricas

4. Funciones Trigonométricas 01.

5. En la definición básica de las funciones trigonométricas, relacionan los lados de un triángulo rectángulos solo para ángulos agudos , empleando el teorema de Pitágoras. El ángulo del triángulo de referencia es el argumento o variable independiente a partir del cual se define el cociente de los lados asociados. Las funciones trigonométricas refieren la relación entre los ángulos interiores y los lados de un triángulo.

6. Permitiendo extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo. Esto se conoce como la  circunferencia trigonométrica o círculo unitario , para hallar las relaciones trigonométricas para cualquier tipo de ángulo, no limitarlo sólo a ángulos agudos. Las definiciones modernas expresan las funciones trigonométricas en la circunferencia  como una extensión de las razones trigonométricas del triángulo rectángulo.

7. Para definir los tipos de funciones o razones trigonométricas se hará tomando como referencia el triángulo rectángulo. El ángulo referente será  θ , el cateto opuesto  (a),  cateto adyacente  (b)  y la hipotenusa es denotada como  (c). Tipos de funciones trigonométricas

8. relaciona el cateto opuesto sobre la hipotenusa y se denota como (sen) o (sin) . Su simbología es la siguiente: Seno  La función relaciona el cateto opuesto sobre el cateto adyacente. A diferencia de las dos funciones anteriores no relaciona la hipotenusa. Se indica como (tan) y su fórmula es: Tangente esta función relaciona el cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo. Se abrevia como (cos) y su fórmula es la siguiente: Coseno

9. es el recíproco del seno , lo que significa que en lugar de que su razón sea el lado opuesto sobre la hipotenusa, sería la hipotenusa sobre el cateto opuesto. Cosecante es el recíproco de la tangente , es decir; que la cotangente del ángulo q es igual al cateto adyacente dividido por el cateto opuesto. Cotangente Secante es la función inversa del coseno , por lo que la secante del ángulo q sería la hipotenusa dividida por el cateto adyacente.

10. Las funciones trigonométricas tienen un dominio q, que está en grados o radianes y del círculo unitario se pueden derivar los principales valores de las diferentes funciones trigonométricas dependiendo de q. Como se mencionó anteriormente, las funciones trigonométricas no se limitan a un ángulo agudo. Valores de las funciones trigonométricas

11. A continuación , se muestra la tabla trigonométrica.

12. Ejemplo: Hallar las medidas de los ángulos y lados faltantes del triángulo de la figura. Se puede hallar la hipotenusa (c) usando la razón trigonométrica seno La hipotenusa es igual a 11,70 cm. Para encontrar el valor del cateto adyacente se puede usar el coseno El cateto adyacente es igual a 10,99 cm. Por propiedad de los ángulos internos del triángulo se conoce que  α + β + q = 180°, despejando: β = 180° - (θ + α)  = 180° - (20° + 90°)  = 180° - 110° β = 70°

13. Teorema del seno y coseno 02.

14. En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. Teorema del Seno Teorema del Coseno

15. Identidades Trigonométricas 03.

16. Las identidades trigonométricas fundamentales son Identidades Reciprocas Identidades Pitagoricas Identidades por Cociente Además de estas tres, podemos establecer otras según las funciones y ángulos empleados. Las identidades trigonométricas son ecuaciones que relacionan funciones trigonométricas, y que son válidas para todos los valores del ángulo. Para que se den estas identidades, solo debe existir una variable: el ángulo.

17. El seno como función inversa de la cosecante, y viceversa. El coseno como función inversa de la secante , y viceversa. La tangente como función inversa de la cotangente, y viceversa. Identidades Reciprocas Las identidades recíprocas relacionan las funciones trigonométricas entre sí. En concreto, existen tres:

18. Siendo A y B los catetos del triángulo, y H su hipotenusa. Al trazar triángulos rectángulos en el círculo trigonométrico, de ahí podemos sacar las siguientes identidades pitagóricas: Identidades Pitagóricas Las identidades pitagóricas se llaman así al ser relaciones entre funciones trigonométricas similares al teorema de Pitágoras. Este teorema determina la relación entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo como:

19. Aquí también podemos ver cómo la tangente es la función inversa de la cotangente. Identidades por Cociente Las identidades por cociente son otro tipo de identidades que relacionan las funciones trigonométricas entre sí . En este caso, las identidades parten de las definiciones de tangente y cotangente, calculadas a partir del cociente entre el seno y el coseno. Las identidades por cociente son:

20. Identidades Cofuncion Las identidades de cofunción son pares de funciones que relacionan la función trigonométrica de un ángulo con la del complemento de dicho ángulo . Además, estos pares de funciones poseen una evolución similar cuando se describen en el plano cartesiano unitario. Las identidades de cofunción son:

21. Identidades de ángulos opuestos La identidad de los ángulos opuestos tiene que ver con la paridad de la función trigonométrica , que no es más que la presencia o ausencia de simetría de la función en el plano cartesiano. Las  identidades impares , aquellas funciones que no presentan simetría, son: Las  identidades pares , aquellas funciones que presentan simetría respecto al origen de coordenadas, son:

22. Identidades de suma y resta de ángulos Si conocemos el valor del seno, coseno o tangente para ángulos concretos, nos podemos servir de las identidades de suma y resta. Por ejemplo, si no conocemos el seno y coseno de 150º, pero sí los de 240º y 90º, podemos reescribir el ángulo como 240º - 90º y realizar los cálculos. Las identidades de suma de ángulos para el seno, coseno y tangente son: Mientras que las identidades de resta de ángulos son:

23. Identidades de ángulo doble Las identidades de ángulo doble surgen a partir de las relaciones de suma y diferencia de ángulos, pero los dos ángulos iguales. Por ejemplo, si no conocemos el valor de una función trigonométrica para un ángulo de 120º, pero sí para 60º, conviene emplear este tipo de identidad. Las identidades de ángulo doble para el seno, coseno y tangente son: Además, también podemos determinar identidades de ángulo doble para la cosecante, secante y cotangente , que son:

24. Ecuaciones Trigonométricas 04.

25. Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que intervienen funciones trigonométricas , como el seno, el coseno y la tangente . Estas ecuaciones se pueden utilizar para resolver una gran variedad de problemas, desde encontrar la altura de un edificio hasta calcular la velocidad de un objeto que se mueve en una trayectoria circular. ¿Que son las Ecuaciones Trigonométricas?

26. ¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas? Las ecuaciones trigonométricas se resuelven siguiendo las mismas estrategias que se utilizan en otros tipos de ecuaciones , con el objetivo de aislar la incógnita y determinar los valores que toma. El objetivo es usar identidades trigonométricas y aplicar operaciones en ambos lados de la ecuación hasta obtener la versión más simple posible .

27. Ejemplo: Un ejemplo de una ecuación trigonométrica simple es  cos⁡(θ)=1/2 . En este caso, el ángulo que satisfaría esta ecuación es 60°. Sin embargo, dado que la función coseno es periódica, sabemos que existen otras soluciones para esta ecuación. Trazando la gráfica de y=cos⁡(θ), y=1/2 , tenemos: Esto nos muestra que en el rango  −360∘≤θ≤360∘  hay cuatro soluciones para la ecuación  cos⁡(θ)=1/2 :  θ=±60∘, ±300∘. Si es que ningún rango para θ es especificado, hay un número infinito de soluciones. Por esta razón, las ecuaciones trigonométricas van acompañadas de un rango para θ.

28. ¡Gracias!

29. Referencias Bibliográficas (De, 2024) De, E. (2024, febrero 26). Identidades Trigonométricas: Qué son y Tipos (con Fórmulas). Enciclopedia Significados. https://www.significados.com/identidades-trigonometricas/ ( Guzman , 2022) Guzman , J. H. (2022, diciembre 28). Ecuaciones trigonométricas - Ejercicios resueltos. Neurochispas . https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-ecuaciones-trigonometricas/ (Medina, 2022) Medina, H. (2022, noviembre 2). Funciones trigonométricas. Enciclopedia de Matemática. https://enciclopediadematematica.com/funciones-trigonometricas/ (s/f) (S/f). Superprof.es. Recuperado el 8 de abril de 2024, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/trigonometria/teoremas-del-seno-y-coseno.html#:~:text=En%20un%20tri%C3%A1ngulo%20el%20cuadrado%20de%20cada%20lado,ambos%20por%20el%20coseno%20del%20%C3%A1ngulo%20que%20forman.