Trigonometria_Razões_Trigonométricas.pdf

apresentação sobre relações trigonométricas, leis do seno cosseno e tangente.

1. Trigonometria: Razões Trigonométricas
Seno, Cosseno e Tangente no Triângulo Retângulo∆ ∡

2. Introdução
O que são razões trigonométricas?
Relações entre os lados de um triângulo retângulo
em função de seus ângulos
Permitem calcular distâncias e alturas inacessíveis
com apenas um ângulo e uma medida conhecida
Aplicações em Engenharia, Arquitetura,
Navegação, Física e muitas outras áreas
Fundamentais para resolver problemas do mundo
real envolvendo ângulos e distâncias

3. As Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Triângulo Retângulo: Triângulo que possui um ângulo
reto (90°)
Elementos do Triângulo Retângulo
Hipotenusa: Lado oposto ao ângulo reto (maior lado)
Cateto Oposto: Lado oposto ao ângulo considerado

Cateto Adjacente: Lado adjacente ao ângulo
considerado
Semelhança de Triângulos: A razão entre lados
correspondentes de triângulos semelhantes é constante

4. Seno, Cosseno e Tangente
As Três Razões Trigonométricas
Fundamentais
Seno: Cateto Oposto / Hipotenusa sen α
Cosseno:Cateto Adjacente / Hipotenusacos α
Tangente:
Cateto Oposto / Cateto
Adjacente
tg α
Estas razões dependem apenas do ângulo, não do tamanho do
triângulo.
Relação fundamental: tg α = sen α / cos α

5. Ângulos Notáveis - Introdução
Ângulos Notáveis: São ângulos que aparecem com
frequência em problemas trigonométricos e possuem
valores exatos para suas razões trigonométricas.
Os Três Ângulos Notáveis
30°
Metade de 60° (ângulo interno do triângulo equilátero)
45°
Metade de 90° (ângulo do triângulo retângulo
isósceles)
60°
Ângulo interno do triângulo equilátero
Facilitam cálculos sem calculadora
Valores exatos (não aproximados)

6. Ângulo de 45°
Dedução a partir do Triângulo Retângulo
Isósceles
Triângulo Retângulo Isósceles: Possui dois catetos iguais
Se os catetos medem d, então os ângulos agudos medem 45°
Passo 1: Teorema de Pitágoras
h² = d² + d² = 2d² → h = d√2
Passo 2: Cálculo das Razões
sen(45°) = d / (d√2) = 1/√2 = √2/2
cos(45°) = d / (d√2) = 1/√2 = √2/2
tg(45°) = d / d = 1
sen(45°) = cos(45°) = √2/2 ≈ 0,7071     tg(45°) = 1

7. Ângulos de 30° e 60°
Dedução a partir do Triângulo Equilátero
Triângulo Equilátero: Possui três lados iguais e três ângulos de 60°

Ao traçar a altura, dividimos em dois triângulos retângulos com ângulos
de 30° e 60°
Passo 1: Propriedades do Triângulo
Se o lado do triângulo equilátero mede L:
Base do triângulo retângulo = L/2
Altura (h) = (L√3)/2
Passo 2: Cálculo das Razões
Para 30°: sen = (L/2)/L = 1/2 | cos = (L√3/2)/L = √3/2 | tg =
(1/2)/(√3/2) = 1/√3
Para 60°: sen = (L√3/2)/L = √3/2 | cos = (L/2)/L = 1/2 | tg =
(√3/2)/(1/2) = √3

8. Tabela de Ângulos Notáveis
Valores Exatos das Razões Trigonométricas
Razão 30° 45° 60°
Seno 1/2 = 0,5
√2/2 ≈
0,7071
√3/2 ≈
0,866
Cosseno
√3/2 ≈
0,866
√2/2 ≈
0,7071
1/2 = 0,5
Tangente
1/√3 ≈
0,577
1 √3 ≈ 1,732
Observe que: sen(30°) = cos(60°) e sen(60°) = cos(30°)
Dica para memorizar:
Os valores de seno aumentam de 30° para 60° (1/2 → √2/2 → √3/2)
Os valores de cosseno diminuem de 30° para 60° (√3/2 → √2/2 → 1/2)

9. Resolução de Problemas - Introdução
Aplicando Razões Trigonométricas em
Problemas Práticos
Como resolver problemas com trigonometria?
As razões trigonométricas permitem calcular medidas
desconhecidas em triângulos retângulos quando conhecemos
um ângulo e pelo menos uma medida.
1Identificar o triângulo retângulo na situação-problema
2Reconhecer os elementos conhecidos (ângulos e lados)
3Escolher a razão trigonométrica adequada (seno, cosseno ou
tangente)
4Substituir os valores e resolver a equação
 Cálculo de alturas de
edifícios
 Medição de distâncias
inacessíveis

10. Exemplo Prático 1: Altura da Árvore
Problema:
Um observador deseja determinar a altura de uma árvore. Para
isso, posiciona-se a 10 metros da base da árvore e mede o
ângulo de elevação até o topo, obtendo 60°. Qual é a altura da
árvore?
1Identificar o triângulo retângulo: formado pela árvore (altura),
distância do observador até a base (10m) e linha de visão
2Identificar os elementos:
Cateto adjacente ao ângulo de 60°: 10 metros
Cateto oposto ao ângulo de 60°: altura da árvore (h)
Ângulo: 60°
3Escolher a razão trigonométrica adequada: como relacionamos
cateto oposto e cateto adjacente, usamos a tangente
4Resolver a equação:
tg(60°) = h / 10

11. Exemplo Prático 2: Altura da Rampa
Problema:
Uma rampa possui 5 metros de comprimento e está inclinada de
modo que forma um ângulo de 30° com o solo. Qual é a altura
da rampa?
1Identificar o triângulo retângulo: formado pela rampa
(hipotenusa), altura e base
2Identificar os elementos:
Hipotenusa: comprimento da rampa = 5 metros
Cateto oposto ao ângulo de 30°: altura da rampa (h)
Ângulo: 30°
3Escolher a razão trigonométrica adequada: como relacionamos
cateto oposto e hipotenusa, usamos o seno
4Resolver a equação:
sen(30°) = h / 5
1/2 = h / 5

12. Conclusão
Recapitulação dos Principais Conceitos
As razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) são
relações entre os lados de um triângulo retângulo em função de
seus ângulos, permitindo calcular medidas desconhecidas.
As razões trigonométricas dependem apenas do ângulo, não
do tamanho do triângulo
Os ângulos notáveis (30°, 45° e 60°) possuem valores exatos
para suas razões trigonométricas
Para resolver problemas, é essencial identificar corretamente
os elementos do triângulo retângulo e escolher a razão
adequada
A Importância da Trigonometria no Mundo
Real