Trigonometria - Soma de arcos

Questões de matemática dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
SOMA DE ARCOS

2. SOMA DE ARCOS
1


01. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que AB AM MC.= = Então, tgθ é igual a



a) 1 2.
b) 1 3.
c) 1 4.
d) 1 5.

02. (Mackenzie 2018) Se tgx cotgx 1,−= então o valor de tg 2x é

a) 2
b) 1
c) 0
d) 1−
e) 2−

03. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada
cos17 0 sen17
M 111
sen28 0 cos28
°°

=

 °°
 o valor do determinante de
10
M é
a)
1
16
b)
1
32
c)
1
64
d)
1
128
e)
1
256


04. (Fgv 2017) Uma esfera de raio r está apoiada sobre o chão plano em um dia iluminado pelo sol. Em determinado
horário, a sombra projetada à direita do ponto onde a esfera toca o chão tinha comprimento de 10 m, como indica a
figura.



Nesse mesmo horário, a sombra projetada por uma vareta reta de 1 m, fincada perpendicularmente ao chão, tinha
2m de comprimento. Assumindo o paralelismo dos raios solares, o raio da esfera, em metros, é igual a

a) 5 5 10.−
b) 10 5 20.−
c) 5 5 5.−
d) 5 5 2.−
e) 10 5 10.−

3. SOMA DE ARCOS
2



05. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos
ˆ
ABC e
ˆ
ADC são retos, AB AD 1,= = BC CD 2= = e BD
é uma diagonal. O cosseno do ângulo
ˆ
BCD vale

a)
3
5

b)
2
5

c)
3
5

d)
23
5

e)
4
5


06. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede
6cm.



Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo ????????????????????????̂???????????? é igual a

a)
2
7

b)
3
7

c)
2
7

d)
22
7

e)
23
7


07. (Fgv 2015) Se
234
1 cos cos cos cos ... 5,αααα+++++= com 0,
2
π
α<< então, sen2α é igual a

a) 0,84.
b) 0,90.
c) 0,92.
d) 0,94.
e) 0,96.

4. SOMA DE ARCOS
3



08. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na figura, em que AB 4cm, AD 3cm= = e
ˆ
A 90 .= °



Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo
ˆ
ABC e BD BC,= então a medida do lado CD, em centímetros,
vale

a) 2 2.
b) 10.
c) 1 1.
d) 2 3.
e) 15.

09. (Insper 2013) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento , é possível determinar diferentes
triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.



Se a área do triângulo T
1 é o triplo da área do triângulo T2, então o valor de
cosθ é igual a

a)
1
.
6

b)
1
.
3

c)
3
.
3

d)
1
.
2

e)
6
.
6

5. SOMA DE ARCOS
4



10. (Mackenzie 2013) A expressão
22 2 22 2
cos(a 2b ) cos(b ) sen(a 2b ) sen(b )−⋅ − −⋅ é igual a

a)
22
cos(a b )+
b)
2
sen(b )
c)
2
cos(a )
d) sen[(a b) (a b)]+⋅−
e) cos[(a b) (a b)]+⋅−

11. (Fgv 2013) Se sen x sen y
15
3
+= e cos x cos y 1,+= então, ( )sec x – y é igual a

a)
1
3

b)
1
2

c) 2
d) 3
e) 4

12. (Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura
inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,
Dados:
3 1, 7 3 ;≅
2 1 cos
sen .
22
θθ−
=



a) 7 m
b) 26 m
c) 40 m
d) 52 m
e) 67 m

13. (Fgv 2012) O valor de y no sistema de equações
1
sen10 x cos10 y
sen50
1
sen50 x cos50 y
sen10

°− °=−

 °


°+ °=
 °
é
a)
43
3

b) 3
c) 33
d)
3
3

e)
3
4

6. SOMA DE ARCOS
5



14. (Mackenzie 2012) O maior valor inteiro de k, para que a equação 3 sen x cos x k – 2+= apresente soluções reais
é

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

15. (Fuvest 2012) O número real x , com 0x< <π, satisfaz a equação
33
log (1 cos x) log (1 cos x) 2−++ =− . Então,
cos2x sen x+ vale

a)
1
3

b)
2
3

c)
7
9

d)
8
9

e)
10
9


16. (Insper 2012) Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas, os vértices de um tetraedro OABCsão tais
que O (0,0,0)= e A, B e C pertencem, respectivamente, aos eixos x, y e z. Seja α a medida do ângulo
^
OBA com
0
2
π
<α<. Se AB 1= e OC cos 2= α , então o volume do tetraedro OABCé igual a

a)
cos2
12
α

b)
sen 4
12
α

c)
22
sen cos
18
αα

d)
cos2
24
α

e)
sen 4
24
α


17. (Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que xy
2
π
+= . Sabendo-se que ( )
1
sen y x
3
−= , o valor
de
22
tg y tg x− é igual a

a)
3
2

b)
5
4

c)
1
2

d)
1
4

e)
1
8

7. SOMA DE ARCOS
6


18. (Ifsp 2011) Sabendo que
6
cos sen ,
3
θ− θ= então o valor de ()sen 2θé

a) -1
b)
5
9
−
c)
1
6

d)
1
3

e)
5
6


19. (Fuvest 2010) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede
5
,
4
o ponto
E está em CD e AF é bissetriz do ângulo ???????????? ????????????̂????????????.



Nessas condições, o segmento DE mede

a)
35
40
b)
75
40
c)
95
40
d)
11 5
40
e)
13 5
40



20. (Mackenzie 2009) Na figura, tgβ é igual a



a)
16
81

b)
8
27

c)
19
63

d)
2
3

e)
1
4

8. SOMA DE ARCOS
7



21. (Unifesp 2006) A expressão sen (x - y) cos y + cos (x - y) sen y é equivalente a

a) sen (2x + y)
b) cos (2x)
c) sen x
d) sen (2x)
e) cos (2x + 2y)

22. (Unifesp 2006) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a

a)
5
5

b)
3
5

c)
15
5
+

d)
4
5

e)
3
2


23. (Unesp 2003) Se cos (x) = a, para x ∈ (0, π/2) e assumindo que a ≠ 0 e a ≠ 1, o valor de tg (2x) é,

a)
2
2
2a 1
2a 1 a
−
−

b)
2
1a
a
−

c)
2
2a 1 a−
d)
2
2
2a 1 a
2a 1
−
−

e) 2a
2
- 1

24. (Mackenzie 1997) A soma dos valores inteiros de k para que a equação
3sen x + cos x = k - 3 apresente soluções
reais é

a) 7
b) 10
c) 13
d) 15
e) 20

9. SOMA DE ARCOS
8



25. (Mackenzie 1996) Se
4
sen x
5
= e tg x 0,< então tg2x vale

a)
24
.
7

b)
24
.
7
−
c)
8
.
3
−
d)
8
.
3

e)
4
.
3
−


















GABARITO

1 - B 2 - E 3 - B 4 - B 5 - C
6 - B 7 - E 8 - B 9 - A 10 - E
11 - D 12 - B 13 - A 14 - B 15 - E
16 - E 17 - A 18 - D 19 - D 20 - A
21 - C 22 - B 23 - D 24 - D 25 - A