ts-le-xuan-dai-he-phuong-trinh-vi-phan-tuyen-tinh_compress.pdf

nam334801 0 views 41 slides Oct 02, 2025
Slide 1
Slide 1 of 41
Slide 1
1
Slide 2
2
Slide 3
3
Slide 4
4
Slide 5
5
Slide 6
6
Slide 7
7
Slide 8
8
Slide 9
9
Slide 10
10
Slide 11
11
Slide 12
12
Slide 13
13
Slide 14
14
Slide 15
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
18
Slide 19
19
Slide 20
20
Slide 21
21
Slide 22
22
Slide 23
23
Slide 24
24
Slide 25
25
Slide 26
26
Slide 27
27
Slide 28
28
Slide 29
29
Slide 30
30
Slide 31
31
Slide 32
32
Slide 33
33
Slide 34
34
Slide 35
35
Slide 36
36
Slide 37
37
Slide 38
38
Slide 39
39
Slide 40
40
Slide 41
41

About This Presentation

hdfhdhdssss


Slide Content

H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH
B i gi£ng i»n tû
TS. L¶ Xu¥n ¤i
Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa TP HCM
Khoa Khoa håc ùng döng, bë mæn To¡n ùng döng
Email: [email protected]
TP. HCM 2013.
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 1 / 41

B i to¡n thüc t¸Sü ph¥n r¢ cõa ch§t
Sü ph¥n r¢ cõa ch§t
V½ dö
Mët sè ch§tAs³ ph¥n r¢ th nh 2 ch§tPv Q:
Tèc ë h¼nh th nh cõa méi ch§tPv Qt¿ l» vîi
khèi l÷ñng ch§t khæng bà ph¥n r¢. Chox;yl¦n
l÷ñt l  khèi l÷ñng ch§tPv Q÷ñc h¼nh th nh
t¤i thíi iºmt:H¢y x¡c ành quy luªt ph¥n r¢
ch§tAbi¸t r¬ng t¤i thíi iºm ban ¦ut= 0th¼
x= 0;y= 0;v  sau1minth¼x=
3
8
c;y=
1
8
c;
vîicl  khèi l÷ñng ban ¦u cõa ch§tA
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 2 / 41

B i to¡n thüc t¸Sü ph¥n r¢ cõa ch§t
T¤i thíi iºmttèc ë h¼nh th nh ch§tPv Qs³
l  8
>
<
>
:
dx
dt
=k1(cxy)
dy
dt
=k2(cxy)
Nghi»m cõa h» n y l 
8
<
:
x=C1+C2e
(k1+k2)t
y=c+
k2
k1
C2e
(k1+k2)t
C1
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 3 / 41

B i to¡n thüc t¸Sü ph¥n r¢ cõa ch§t
T¼mC1;C2düa v o i·u ki»n ¦u khit= 0th¼
x= 0;y= 0
8
<
:
C1+C2= 0
C1
k2
k1
C2=c
)
8
>
<
>
:
C1=
k1c
k1+k2
C2=
k1c
k1+k2
T¼mk1;k2düa v o i·u ki»n khit= 1th¼
x=
3
8
c;y=
1
8
cta ֖ck1=
ln2
4
;k2=
3ln2
4
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 4 / 41

B i to¡n thüc t¸Sü ph¥n r¢ cõa ch§t
Vªy quy luªt ph¥n r¢ ch§tAth nh 2 ch§tP;Q
vîi sè l÷ñngx;y÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
8
>
>
<
>
>
:
x=
3c
4

1
1
2
t

y=
c
4

1
1
2
t

TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 5 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
H» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng-Ph÷ìng ph¡p Euler
X²t h»
dX
dt
=AX (1)
vîi nhúng ph¦n tûaijcõa ma trªnAl  nhúng h¬ng sè.
Nëi dung
T¼m nghi»m cõa
(1) ð d¤ngX(t) =e
t
P;vîiPl  v²c-tì h¬ng. Th¸X(t)
v o (1) ta ÷ñce
t
P=APe
t
,AP=P:
Vªy h m
v²c-tìX(t) =e
t
Pl  nghi»m cõa h» (1) khi v  ch¿ khi
l  trà ri¶ng v Pl  v²c-tì ri¶ng cõa ma trªnA:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 6 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
T¼m a thùc °c tr÷ng
ành lþ
ChoA=
0
@
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
1
A2M3(K);khi â
A() =jAIj=
3
+tr(A)
2

(a11a22a12a21+a22a33a23a32+a11a33a13a31)
+det(A)
ð ¥ytr(A) =a11+a22+a33v¸t cõa ma trªnA:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 7 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
ành lþ
N¸u ma trªnAcânv²c-tì ri¶ng ëc lªp tuy¸n
t½nhP1;P2;:::;Pnùng vîi c¡c trà ri¶ng
1;2;:::;nth¼ c¡c nghi»m
e
1t
P1;e
2t
P2;:::;e
nt
Pnt¤o th nh
b£n. Khi â nghi»m têng qu¡t cõa (1) câ d¤ng
X(t) =C1e
1t
P1+C2e
2t
P2+:::+Cne
nt
Pn
Chó þ.ành lþ khæng ái häi c¡c trà ri¶ng ph£i
ph¥n bi»t, nh÷ng c¡c v²c-tì ri¶ng ph£i ëc lªp
tuy¸n t½nh.
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 8 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
Tr÷íng hñp: c¡c trà ri¶ng ph¥n bi»t
N¸uAcântrà ri¶ng ph¥n bi»t th¼nv²c-tì ri¶ng
t÷ìng ùng s³
qu£ sau:
H» qu£
N¸u ma trªnAcântrà ri¶ng ph¥n bi»t
1;2;:::;nvîi c¡c v²c-tì ri¶ng t÷ìng ùng
P1;P2;:::;Pnth¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1) câ
d¤ng
X(t) =C1e
1t
P1+C2e
2t
P2+:::+Cne
nt
Pn:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 9 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
Tr÷íng hñp: trà ri¶ng thüc bëi m
Ùng vîi0l  trà ri¶ng thüc bëimth¼ c¡c nghi»m
cì b£n t÷ìng ùng cõa h» (1) l x1=
P1(t)e
0t
;x2=P2(t)e
0t
;:::;xm=Pm(t)e
0t

¥yP1(t);P2(t);Pm(t)l  c¡c a thùc câ bªc
khæng lîn hìnm1.
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 10 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
Tr÷íng hñp: trà ri¶ng phùc
N¸u=+il  trà ri¶ng cõa ma trªn thücAv 
P=U+iV=
0
B
B
B
@
u1+iv1
u2+iv2
:::
un+ivn
1
C
C
C
A
l  v²c-tì ri¶ng
t÷ìng ùng vîi:
Nghi»m cì b£n câ d¤nge
t
:P=e
(+i)t
:(U+iV)
=e
t
(cost+isint):(U+iV) =
e
t
[UcostVsint]+i:e
t
[Usint+Vcost]
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 11 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tH» thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
Khi â ph÷ìng tr¼nh (1) câ 2 nghi»m thüc ëc lªp
tuy¸n t½nh
e
t
[UcostVsint];e
t
[Usint+Vcost]:
v  l  h» nghi»m cì b£n cõa h» thu¦n nh§t. Vªy
X(t) =C1:e
t
[UcostVsint]+
+C2:e
t
[Usint+Vcost]:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 12 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
dx
dt
= 7x+ 3y
dy
dt
= 6x+ 4y
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa h»




73
6 4




= 0,
2
11+ 10 = 0
,1= 1;2= 10:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 13 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi1= 1ta x²t h»

6p1+ 3p2= 0
6p1+ 3p2= 0
)P1=

1
2

Ùng vîi2= 10ta x²t h»

3p1+ 3p2= 0
6p16p2= 0
)P2=

1
1

:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 14 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Vªy
X(t) =

x
y

=C1e
1t
P1+C2e
2t
P2
=C1e
t

1
2

+C2e
10t

1
1

=
=

C1e
t
+C2e
10t
2C1e
t
+C2e
10t

)

x=C1e
t
+C2e
10t
y=2C1e
t
+C2e
10t
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 15 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
dx
dt
= 6x12yz
dy
dt
=x3yz
dz
dt
=4x+ 12y+ 3z
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa h»






6121
131
4 12 3






= 0,
3
+6
2
11+6 = 0
,1= 1;2= 2;3= 3:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 16 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi1= 1ta x²t h»
8
<
:
5p112p2p3= 0
p14p2p3= 0
4p1+ 12p2+ 2p3= 0
)P1=
0
@
2
1
2
1
A
Ùng vîi2= 2ta x²t h»
8
<
:
4p112p2p3= 0
p15p2p3= 0
4p1+ 12p2+p3= 0
)P2=
0
@
7
3
8
1
A
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 17 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi3= 3ta x²t h»
8
<
:
3p112p2p3= 0
p16p2p3= 0
4p1+ 12p2= 0
)P3=
0
@
3
1
3
1
A
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 18 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Vªy
X(t) =
0
@
x
y
z
1
A=C1e
1t
P1+C2e
2t
P2+C3e
3t
P3
=C1e
t
0
@
2
1
2
1
A+C2e
2t
0
@
7
3
8
1
A+C3e
3t
0
@
3
1
3
1
A=
=
0
@
2C1e
t
+ 7C2e
2t
+ 3C3e
3t
C1e
t
+ 3C2e
2t
+C3e
3t
2C1e
t
8C2e
2t
3C3e
3t
1
A
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 19 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
dx
dt
= 5xy
dy
dt
=x+ 3y
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa h»




51
1 3




= 0,
2
8+ 16 = 0
,1=2== 4:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 20 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi= 4ta câ nghi»m cì b£n l x=e
4t
(a1t+a2)
v y=e
4t
(b1t+b2))x
0
(t) =a1e
4t
+ 4(a1t+a2)e
4t
;
y
0
(t) =b1e
4t
+ 4(b1t+b2)e
4t
:Thayx;y;x
0
;y
0
v o h» ta
֖c

e
4t
[a1+ 4(a1t+a2)] =e
4t
[5(a1t+a2)(b1t+b2)]
e
4t
[b1+ 4(b1t+b2)] =e
4t
[a1t+a2+ 3(b1t+b2)]
)
8
>
>
<
>
>
:
4a1= 5a1b1
4b1=a1+ 3b1
a1+ 4a2= 5a2b2
b1+ 4b2=a2+ 3b2
)

a1=b1
b2=a2b1
Choa1=C1;a2=C2;C1;C2l  nhúng sè tòy þ. Khi â
b1=C1;b2=C2C1:Vªy

x=e
4t
(C1t+C2)
y=e
4t
(C1t+C2C1)
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 21 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
dx
dt
= 4x3y
dy
dt
= 3x+ 4y
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa h»




43
3 4




= 0,(4)
2
=9
,= 43i:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 22 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi= 4 + 3ita x²t h»

3ip13p2= 0
3p13ip2= 0
)P=

1
i

=

1
0

+i

0
1

=U+iV:
Nghi»m cì b£n

x
y

=

1
i

e
(4+3i)t
=

1
i

e
4t
(cos3t+isin3t) =
=

e
4t
(cos3t+isin3t)
e
4t
(icos3t+ sin3t)

=
=

e
4t
cos3t
e
4t
sin3t

+i

e
4t
sin3t
e
4t
cos3t

TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 23 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
VªyX(t) =

x
y

=
=C1

e
4t
cos3t
e
4t
sin3t

+C2

e
4t
sin3t
e
4t
cos3t

=
=e
4t

C1cos3t+C2sin3t
C1sin3tC2cos3t

)

x=e
4t
(C1cos3t+C2sin3t)
y=e
4t
(C1sin3tC2cos3t)
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 24 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
dx
dt
=xz
dy
dt
=x
dz
dt
=xy
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa h»






101
10
11






= 0,(1)(1 +
2
) = 0
,1= 1;2=i:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 25 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi= 1ta x²t h»
8
<
:
p3= 0
p1p2= 0
p1p2p3= 0
)P1=
0
@
1
1
0
1
A
Ùng vîi2=ita x²t h»
8
<
:
(1i)p1p3= 0
p1ip2= 0
p1p2ip3= 0
)P2=
0
@
1
i
1i
1
A=
0
@
1
0
1
1
A+i
0
@
0
1
1
1
A=U+iV:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 26 / 41

H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§tV½ dö
X(t) =
0
@
x
y
z
1
A=C1e
1t
P1+C2e
t
[UcostVsint]+
+C3e
t
[Usint+Vcost] =
=C1e
t
0
@
1
1
0
1
A+C2e
0t
2
4
0
@
1
0
1
1
Acost
0
@
0
1
1
1
Asint
3
5+
+C3e
0t
2
4
0
@
1
0
1
1
Asint+
0
@
0
1
1
1
Acost
3
5
=
0
@
C1e
t
+C2cost+C3sint
C1e
t
+C2sintC3cost
C2(cost+ sint) +C3(sintcost)
1
A
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 27 / 41

H» khæng thu¦n nh§tành ngh¾a
ành ngh¾a

dX
dt
=AX+F(t) (2)
vîi nhúng ph¦n tûaijcõa ma trªnAl  nhúng
h¬ng sè,F(t) =
0
B
B
B
@
f1(t)
f2(t)
...
fn(t)
1
C
C
C
A
÷ñc gåi l 
tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 28 / 41

H» khæng thu¦n nh§tPh÷ìng ph¡p khû
Ph÷ìng ph¡p khû
Tø nhúng ph÷ìng tr¼nh cõa h» khæng thu¦n nh§t
ta dòng ph÷ìng ph¡p khû º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh
vi ph¥n c§p cao.
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 29 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
dx
dt
= 4x3y+e
t
(1)
dy
dt
= 2xy(2)
Tø (2) ta câx=
y
0
+y
2
)x
0
=
y
00
+y
0
2
:Thay
x;x
0
v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc
y
00
+y
0
2
= 4:
y
0
+y
2
3y+e
t
)y
00
3y
0
+ 2y= 2e
t
(3)
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 30 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng
k
2
3k+ 2 = 0)k1= 1;k2= 2:Nghi»m thu¦n
nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh (3) l ytn=C1e
t
+C2e
2t
:
T¼m nghi»m ri¶ng cõa (3).yr=A:e
t
)(yr)
0
=A:e
t
;(yr)
00
=Ae
t
)A=
1
3
:
Vªyyr=
1
3
e
t
:
Nghi»m têng qu¡ty=C1e
t
+C2e
2t
+
1
3
e
t
)
x=
y
0
+y
2
=C1e
t
+
3
2
C2e
2t
:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 31 / 41

H» khæng thu¦n nh§tPh÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè
Ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè
Gi£ sûX1(t);X2(t);:::;Xn(t)l  h» nghi»m cì
b£n cõa h» thu¦n nh§t (1) v  ta kþ hi»u
(t) =

X1(t)X2(t):::Xn(t)

th¼ nghi»m
têng qu¡t cõa (1) vi¸t d÷îi d¤ngX0=(t)Cvîi
C=
0
B
B
B
@
C1
C2
...
Cn
1
C
C
C
A
:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 32 / 41

H» khæng thu¦n nh§tPh÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè
H» khæng thu¦n nh§t (2) câ nghi»m l 
Xtq=(t)C(t);trong âC(t) =
0
B
B
B
@
C1(t)
C2(t)
...
Cn(t)
1
C
C
C
A
:
Dòng ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè ta t¼m ÷ñc
C1(t);C2(t);:::;Cn(t):
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 33 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
V½ dö
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
dx
dt
= 4x3y+e
t
(1)
dy
dt
= 2xy (2)
H» thu¦n nh§t t÷ìng ùng l 
8
>
<
>
:
dx
dt
= 4x3y
dy
dt
= 2xy
Ph֓ng
tr¼nh °c tr÷ng cõa h» thu¦n nh§t




43
21




= 0,
2
3+ 2 = 0
,1= 1;2= 2:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 34 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
Ùng vîi1= 1ta x²t h»

3p13p2= 0
2p12p2= 0
)P1=

1
1

Ùng vîi2= 2ta x²t h»

2p13p2= 0
2p13p2= 0
)P2=

3
2

:
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 35 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
Nghi»m cì b£n cõa h» thu¦n nh§t l 
X1(t) =e
1t
P1=e
t

1
1

;
X2(t) =e
2t
P2=e
2t

3
2

:
Vªy nghi»m têng qu¡t cõa h» thu¦n nh§t
X0(t) =

x
y

=C1e
1t
P1+C2e
2t
P2
=C1e
t

1
1

+C2e
2t

3
2

=

C1e
t
+ 3C2e
2t
C1e
t
+ 2C2e
2t

TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 36 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
Nghi»m cõa h» khæng thu¦n nh§t câ d¤ng

x=C1(t)e
t
+ 3C2(t)e
2t
y=C1(t)e
t
+ 2C2(t)e
2t
)

x
0
=C
0
1
(t)e
t
+C1(t)e
t
+ 3C
0
2
(t)e
2t
+ 6C2(t)e
2t
y
0
=C
0
1
(t)e
t
+C1(t)e
t
+ 2C
0
2
(t)e
2t
+ 4C2(t)e
2t
Thay v o h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho ta ÷ñc
(1))C
0
1
(t)e
t
+C1(t)e
t
+ 3C
0
2
(t)e
2t
+ 6C2(t)e
2t
=
4(C1(t)e
t
+ 3C2(t)e
2t
)3(C1(t)e
t
+ 2C2(t)e
2t
) +e
t
)C
0
1
(t)e
t
+ 3C
0
2
(t)e
2t
=e
t
(3)
(2))C
0
1
(t)e
t
+C1(t)e
t
+ 2C
0
2
(t)e
2t
+ 4C2(t)e
2t
=
2(C1(t)e
t
+ 3C2(t)e
2t
)(C1(t)e
t
+ 2C2(t)e
2t
)
)C
0
1
(t)e
t
+ 2C
0
2
(t)e
2t
= 0
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 37 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
Gi£i (3) v  (4) ta ÷ñc

C
0
1
(t) =2e
2t
C
0
2
(t) =e
3t
)
8
<
:
C1(t) =e
2t
+C1
C2(t) =
1
3
e
3t
+C2
Vªy
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
x=C1(t)e
t
+ 3C2(t)e
2t
=
= (e
2t
+C1)e
t
+ 3


1
3
e
3t
+C2

e
2t
y=C1(t)e
t
+ 2C2(t)e
2t
=
= (e
2t
+C1)e
t
+ 2


1
3
e
3t
+C2

e
2t
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 38 / 41

H» khæng thu¦n nh§tV½ dö
Nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l 
8
<
:
x(t) =C1e
t
+ 3C2e
2t
y(t) =C1e
t
+ 2C2e
2t
+
1
3
e
t
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 39 / 41

B i tªpH» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t
T¼m nghi»m têng qu¡t cõa h» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t
1

x
0
(t) = 2x+ 3y
y
0
(t) = 2x+y
2

x
0
(t) =x+ 3y
y
0
(t) =3x+ 5y
3

x
0
(t) = 6xy
y
0
(t) = 5x+ 2y
4
8
<
:
x
0
(t) = 2x+y+z
y
0
(t) =x+ 2y+z
z
0
(t) =2x2yz
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 40 / 41

B i tªpH» ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t
T¼m nghi»m têng qu¡t cõa h» ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n
nh§t
1

x
0
(t) =3x+y+ 3t
y
0
(t) = 2x4y+e
t
2

x
0
(t) =x+ 2y+e
t
y
0
(t) =x+ 3y
TS. L¶ Xu¥n ¤i (BK TPHCM) H› PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TUY˜N TNH TP. HCM 2013. 41 / 41