U2- T1 ED.pptx ecuaciones diferenciales

ecuaciones diferenciales

1. Cálculo Diferencial PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES - SEMIPRESENCIAL Unidad 2 La Derivada Tema 1 Definición de la derivada MSc. Kleber Mora G. DOCENTE

2. Subtema 1: Interpretación Geométrica. Subtema 2 : Derivadas. Subtema 1: La derivada como una función. Subtema 2: Derivada de una constante . Subtemas

3. ACTIVIDAD DE INICIO Lluvia de ideas Escribir en la pizarra la palabra “Derivada” . Los estudiantes deben mencionar palabras o ideas relacionadas (ejemplo: pendiente, tangente, velocidad, cambio, límite). Anotar todas las respuestas en la pizarra, sin corregir en ese momento. Indicar que esas ideas serán contrastadas con lo que verán en la clase.

4. Objetivo Interpretar la definición de la derivada de una función de variable real, tanto como función y de forma geométrica.

5. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA RECTA TANGENTE A UNA CURVA Vamos a imaginar que tenemos una curva definida por la ecuación 𝒚 = 𝒇(𝒙), y se quiere encontrar la recta tangente en el punto 𝑷(𝒂, 𝒇(𝒂)); para lograr esto, vamos a utilizar otro punto 𝑸(𝒙, 𝒇(𝒙)), teniendo en cuenta que 𝒙 ≠ 𝒂.

6. Ahora procederemos a calcular la pendiente 𝑷𝑸: Con esto se ha calculado la pendiente de la recta 𝑷𝑸. Pero, para encontrar la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto 𝑷, se debe acercar 𝑸 a 𝑷 a lo largo de la curva haciendo que 𝒙 tienda a 𝒂, como se muestra en la siguiente figura: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

7. Entonces, se puede decir que la pendiente de la recta tangente en P es: También se puede utilizar la siguiente expresión si se realizan ciertos cambios. La pendiente de una recta tangente a una curva es precisamente la derivada de 𝒇 evaluada en 𝒂. Esta es la derivada de una función. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

8. Sirve para encontrar la recta tangente en una función o la velocidad de un objeto (razón o tasa de cambio). DERIVADAS

9. EJEMPLO Encuentre la derivada de la función f (x) = x 2 - 8x + 9 en el número x = a. DERIVADAS

10. DERIVADAS

11. Ahora cambiaremos el punto de vista y haremos que el número x = a varíe. Si en la ecuación se reemplaza “a” con una variable “x”, obtenemos: LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN

12. Discusión y debate Dentro de dos grupos. Grupo A: Defiende que la derivada es un concepto geométrico (pendiente de la tangente). Grupo B: Defiende que la derivada es un concepto algebraico/funcional (reglas de derivación). Preparar en 5 minutos ejemplos sencillos (pueden usar o ). Escribir en la pizarra las conclusiones de cada grupo. Guiar el debate destacando que ambas visiones se complementan. Clase magistral Explicar en la pizarra con ejemplos: Interpretación geométrica: Dibujar la gráfica de y mostrar la pendiente de la tangente en un punto. Derivada como función: Resolver la derivada de y explicar que el resultado es otra función. Derivada de una constante: Escribir ejemplos como . Hacer énfasis en la diferencia entre: Evaluar la derivada en un punto. Obtener la derivada como una función general.   ACTIVIDAD DE DESARROLLO

13. EJEMPLO Si f (x) = x 3 - x, encuentre una fórmula para f ’(x). Ilústrela comparando las gráficas de f y f ’. Cuando se usa la ecuación para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante durante el cálculo del límite: LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN

14. Note que f ’(x) = 0 cuando f tiene tangentes horizontales y que f ’(x) es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN

15. EJEMPLO Encuentre f ’(x) si LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN

16. LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN

17. La derivada de una función se la puede denotar de las siguientes maneras: 1. 𝑑𝑓/𝑑𝑥 se lo puede leer como: “derivada de 𝑓(𝑥) respecto a 𝑥”. 2. 𝑑𝑦/𝑑𝑥 se lo puede leer como: “derivada de 𝑦 respecto a 𝑥”. 3. 𝑦′ se lo puede leer como: “𝑦 prima”. 4. 𝑓′(𝑥) se lo puede leer como: “𝑓 prima de 𝑥”. LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN

18. La derivada de una función constante es cero. Dicho de otro modo, si 𝑓(𝑥) = 𝑐, tomando 𝑐 como una constante, entonces 𝑓′(𝑥) = 0. Por ejemplo: DERIVADA DE UNA CONSTANTE

19. ¿Qué parte del tema aún no está clara? Escribir en su cuaderno un ejemplo de derivada resuelta (conclusión personal). ACTIVIDAD DE CIERRE

20. CUEVAS. (2013). LA ENSENANZA DEL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. : PEARSON STEWART, JAMES. (2010). CÁLCULO DE UNA VARIABLE. MEXICO: CENGAGE LEARNING PURCELL EDWIN J. (2007). CÁLCULO. BARCELONA: PEARSON BIBLIOGRAFÍA