UNIDAD I PARTE 1 rectas, planos y superficies

vectores

1. CÁLCULO VECTORIAL UNIDAD I. RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES VECTORES PRODUCTOS COORDENADAS

2. OBJETIVO Explicar las propiedades del plano y el espacio a través de sus formas vectoriales, tipos de coordenadas y ecuaciones paramétricas, para su aplicación en problemas de fenómenos físicos.

3. CONTENIDO

4. RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES

5. La recta numérica real, se distingue porque en ella se ha tomado un punto llamado origen al cual se le asocia el número real ; un punto P1 que define la unidad en esta recta al que se le asocia el número real 1 . La recta caracterizada es la representación geométrica del conjunto de números reales (llamada “Recta Numérica” )

6. Plano Real : Tómese un plano y trácese sobre él, un par de rectas numéricas reales perpendiculares entre sí llamadas ejes coordenados (eje “ x “ la horizontal y eje “ y “ la vertical). Cada punto P del plano se puede representar entonces con una pareja ordenada de números reales ( t1 , t2 ) donde t1 llamada “ abscisa “ se encuentra sobre el eje horizontal a una distancia de t1 unidades del origen y t2 llamada “ ordenada “ se ubica sobre el eje vertical a una distancia de t2 unidades del origen.

7. I = { ( x, y ) R 2 / x > 0 , y > 0 } Primer Cuadrante   II = { ( x, y ) R 2 / x < 0 , y > 0 } Segundo Cuadrante   III = { ( x, y ) R 2 / x < 0 , y < 0 } Tercer Cuadrante   IV = { ( x, y ) R 2 / x > 0 , y < 0 } Cuarto Cuadrante  

8. Ecuación lineal

9. Una ecuación lineal es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos y desconocidos (denominados variables), y que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Por ejemplo, 2x – 3 = 3x + 2  es una ecuación lineal o de primer grado. Donde: El Primer término es 2x – 3 y el segundo 3x + 2. Los coeficientes 2 y 3, y los números 3 y 2, son contantes conocidas. x es la incógnita y constituye el valor que se desea hallar para que la igualdad sea cierta. Por ejemplo, si x = – 5, entonces en la ecuación anterior tenemos: 2( – 5) – 3 = 3( – 5) + 2 –  13 = – 13

10. Ejemplos de ecuaciones lineales Las siguientes son ecuaciones lineales   x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 6 x 1 - 3x 2 = 6x 3 - 8 6 x 1 - 7x 3 + x 4 = x 5 - x 6 Observe que todas las variables de la ecuación lineal tienen exponente igual a la unidad, no hay productos entre variables, no hay raíces de las variables y así mismo las variables no son argumentos de funciones logarítmicas o exponenciales o trigonométricas.

11. Ecuaciones que no son lineales Las ecuaciones que se dan a continuación no son ecuaciones lineales. 3x 1 + 6x 2 - x 2 3 = 5 4x 1 + 2x 1 x 2 + 3x 4 = 8 4 + e x1 = x 1 sen x1 + 4x2 = 2 x 1 + log x 2 - 3 = 0 6 + √ x 1 = x 2 + x 3 Estas ecuaciones no se consideran lineales ya que se tienen valores con potencias o elementos que no cumplen con el significado de una ecuación lineal.

12. Resolución de ecuaciones lineales con una variable En caso de que estén presentes, quitar paréntesis y denominadores. Agrupar los términos de la variable en un miembro y los términos independientes en el otro. Reducir los términos semejantes. Despejar la variable. Ejemplo : Resolver: 2x – 3 = 3x + 2   2x – 3x = 2 + 3          →         x = – 5 -x = 5 El término 3x positivo pasa al lugar del -3 con signo (-) y el -3 para al lugar de 3x con signo (+).

13. En la ecuación 2x1 + 3x2 = 8, el par (1, 2) es solución de la ecuación, puesto que 2 ( 1 ) + 3 ( 2 ) = 8 ó 8 = 8 es una proposición verdadera, mientras que el par ( 2, 1 ) no es solución de la ecuación, ya que la proposición 2 ( 2 ) + 3 ( 1 ) = 8 ó 7 = 8 no es verdadera. Para determinar el conjunto solución de la ecuación anterior, es suficiente analizar sus coeficientes. Se tendrán los siguientes casos:

14. Tipos de ecuaciones – una variable Ecuación Trivial: Todos los coeficientes y el término independiente de la ecuación son nulos. 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 x n = 0 Ecuación Imposible. Todos los coeficientes de la ecuación son nulos, pero el término independiente es diferente de cero. 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 x n = b ≠ 0

15. Tipos de ecuaciones – una variable Uno de los coeficientes es diferente de cero en la ecuación (1), sea éste ai ≠ 0, entonces es posible despejar la variable xi xi = ( b - a1 x1 - a2 x2 - ... - ai-1 xi-1 - ai+1 xi+1 - ... - an xn ) / ai En esta situación, se pueden asignar valores arbitrarios a las variables x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn y calcular el valor de la variable xi en la relación a la fórmula anterior, y consiguiendo de esta forma una solución completa de la ecuación; cualquier otra solución puede hallarse mediante este procedimiento.

16. Ejemplo Una solución de la ecuación 2x1 + 3x2 = 8 utilizando el procedimiento descrito, se obtiene despejando ya sea la variable x1 o x2. Despejando la variable x1 se tiene x1 = (8 - 3x2) / 2. Si x2 = 4 entonces x1 = -2, luego el par (-2, 4) es solución de la ecuación dada. Si x2 = t, donde t es un número real cualquiera llamado parámetro , entonces x1 = ( 8 - 3t ) /2, por consiguiente, el conjunto solución de la ecuación 2x1 + 3x2 = 8 es el conjunto s que depende del parámetro “ t “ s = { ( x1 x2 ) R2 / x1 = ( 8 - 3t ) / 2, x2 = t }  

17. Todos los números de x1 y x2 que estén sobre la pendiente serán solución de esta ecuación.

18. Considérese los sistemas :   a) x1 - x2 = -2 b) x1 + x2 = 4 c) x1 - x2 = 1 x1 + x2 = 4 x1 + x2 = 2 -x1 + x2 = -1 Las dos rectas del sistema (a) se intersectan en el punto (1, 3) en consecuencia { (1, 3) } es el conjunto solución del sistema (a). En el sistema (b) las dos rectas son paralelas por tanto su conjunto solución es el conjunto vacío, es decir el sistema (b) no tiene soluciones.   En el sistema ( c ) las dos rectas coinciden por consiguiente cualquier par ordenado que esté sobre la recta, será solución del sistema.

19. Los resultados mostrados por los sistemas del ejemplo anterior sugieren que el conjunto solución del sistema estará ubicado en uno de los siguientes casos: es un conjunto unitario (hay una única solución del sistema); es el conjunto vacío (no hay solución del sistema); es un conjunto con un número infinito de elementos (hay un número infinito de soluciones).

20. EJEMPLOS   ( i ) 3x 1 - x 2 = 3 2x 1 - x 2 = 1 -x 1 + x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 8 ( ii ) 2x 1 + x 2 = 1 ( iii ) 5x 1 - x 2 = 4 -x 1 + 3x 2 = 4 x 1 - 1/5x 2 = 4/5 3x 1 - x 2 = -2 -5x 1 + x 2 = -4

21. Si se consideran sistemas en tres variables, un tipo de sistema es la que corresponde a sistemas de 2 x 3 ( sistemas de dos ecuaciones en tres variables). a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

22. Cuando un sistema m x n no tiene solución, se dice que el sistema es un Sistema Inconsistente , pero cuando el sistema m x n tiene solución, entonces el sistema se llama Sistema Consistente ó Compatible , en este caso es posible clasificar en Sistema Consistente Independiente , si tiene una única solución y en Sistema Consistente Dependiente , si tiene más de una solución; en la siguiente tabla se resume las tres posibilidades mencionadas para sistemas m x n . TIPOS DE SISTEMAS NÚMERO DE SOLUCIONES INCONSISTENTE CONSISTENTE O INDEPENDIENTE 1 CONSISTENTE Y DEPENDIENTE ∞

23. MÉTODOS DE SOLUCIÓN Existen cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones: Igualación Suma y resta (eliminación) Sustitución Determinantes Gráfico

24. VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

25. INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS EN VECTORES Magnitudes escalares Son todas aquellas magnitudes físicas fundamentales o derivadas que quedan completamente definidas con números, como ejemplo , unidades de : longitud ; masa ; tiempo ; superficie ; volumen ; densidad ; temperatura ; presión ; trabajo mecánico ; potencia, etc. Magnitudes vectoriales Son todas aquellas magnitudes físicas fundamentales o derivadas que para quedar completamente definidas necesitan de una dirección y sentido como por ejemplo , unidades de : desplazamiento ; velocidad ; aceleración ; fuerza ; momento , etc. Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente por vectores (flechas) y se simbolizan mediante letras con una flecha en su parte superior por ejemplo: , etc. En todo vector se debe distinguir las siguientes características:  

26. Origen : es el punto donde nace el vector (punto 0 de la figura) Magnitud o módulo : corresponde al tamaño del vector , se simboliza como valor absoluto (ver figura) Dirección : corresponde a la línea recta en la cual el vector está contenido, también se llama línea de acción o recta soporte. Generalmente la dirección de un vector se entrega por medio de un ángulo que el vector forma con la horizontal u otra recta dada Sentido : es el indicado por la punta de flecha (por ejemplo derecha o izquierda, arriba o abajo)   Vector libre. Se llama vector libre a aquel que no pasa por un punto determinado del espacio. Vector fijo. Es aquel vector que debe pasar por un punto determinado del espacio.

27. Suma de Vectores libres Método del polígono Consiste en lo siguiente: se dibuja el primer vector a sumar, luego en el extremo de éste se dibuja el origen del segundo vector a sumar y así sucesivamente hasta dibujar el ultimo vector a sumar, la resultante se obtiene trazando un vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo (ver figura) , durante este proceso se debe conservar magnitud dirección y sentido de cada uno de los vectores a sumar.

29. Método del paralelogramo Es un método para sumar dos vectores y consiste en lo siguiente: Se dibujan ambos vectores con un origen común, enseguida en cada uno de los extremos se dibujan las paralelas a dichos vectores, la resultante o vector suma se obtiene trazando un vector que va desde el origen común hasta el punto donde se intersectan las paralelas (diagonal del paralelogramo formado).

30. VECTORES EN EL PLANO Todo punto ( x, y) del plano cartesiano representa un vector que tiene por origen, el origen del sistema cartesiano y por extremo, el punto de coordenadas (x, y)

31. Componentes cartesianos o rectangulares de un vector en el plano

32. Todo vector del plano puede ser descompuesto en dos componentes y llamadas componentes cartesianas o rectangulares, de tal manera que el vector queda expresado como una suma de sus componentes, es decir: La magnitud del vector queda determinada por: La dirección α del vector queda determinada por: Se cumple que: (Componente de sobre el eje x) (Componente de sobre el eje y)  

34. SISTEMA DE VECTORES EN EL PLANO. Si son vectores del plano, entonces la resultante del sistema de vectores es: La magnitud de la resultante es: La dirección de la resultante es: Donde:  

35. Todo vector del plano tiene asociado un vector unitario (magnitud unidad que puede ser simbolizado con las letras El vector unitario de queda definido por: Los ejes coordenados “ x”, “y” también tienen sus respectivos vectores unitarios, estos son: se lee i tongo y representa al vector unitario para el eje x se lee i tongo y representa al vector unitario para el eje y Utilizando los vectores unitarios de los ejes coordenados, el vector puede ser representado como sigue:  

36. Notación polar de un vector del plano Cuando se conoce la magnitud y dirección de un vector del plano, se dice que se conocen sus coordenadas polares y en este caso el vector queda representado por: Siendo la magnitud de y su dirección  

37. Teoremas trigonométricos utilizados en el estudio de vectores Teorema del seno Teorema del coseno        

38. EJEMPLOS

39. Ejemplo 1. Determinar magnitud y dirección de un vector del plano cuyas componentes rectangulares son:     el vector se encuentra en el segundo cuadrante, y por lo tanto la dirección queda determinada por

40. Ejempl o 2. Encontrar las componentes cartesianas de un vector cuya magnitud vale 80 y su dirección es de 230º   (Componente de sobre el eje x) (Componente de sobre el eje y)    

41. Ejemplo 3. Dado los vectores encontrar magnitud , dirección y vector unitario de la resultante   La dirección de la resultante es:            

42. Ejemplo 4. Sobre el anclaje indicado en la figura, actúan tres fuerzas tal como se indica, determinar magnitud y dirección de la resultante     Se cumple que: (Componente de sobre el eje x) (Componente de sobre el eje y)  

44. VECTORES EN EL ESPACIO Todo punto del espacio(x, y, z) representa un vector que tiene por origen, el origen del sistema y por extremo, el punto de coordenadas (x, y, z)

45. Todo vector del espacio puede ser descompuesto en dos componentes llamadas componentes cartesianas o rectangulares, de tal manera que el vector queda expresado como una suma de sus componentes, es decir: Componente de sobre el eje x Componente de sobre el eje y) Componente de sobre el eje z)     La magnitud del vector queda determinada por: La dirección α del vector queda determinada por: