UNIDAD I PARTE 3 ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

ecuaciones paramétricas, ejemplos

1. CÁLCULO VECTORIAL UNIDAD I. ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES

2. OBJETIVO Explicar las propiedades del plano y el espacio a través de sus formas vectoriales, tipos de coordenadas y ecuaciones paramétricas, para su aplicación en problemas de fenómenos físicos.

3. CONTENIDO

4. ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

5. INTRODUCCIÓN En esta unidad estudiaremos nuevas formas para definir curvas en el plano. En vez de visualizar una curva como la gráfica de una función o de una ecuación, consideraremos un modo más general para representar una curva: como si se tratara de la trayectoria de una partícula en movimiento, cuya posición cambia con el tiempo. Así, cada una de las coordenadas x y y de la posición de la partícula se convierte en una función de una tercera variable t . También podemos cambiar la forma en que se describen los puntos en el plano usando coordenadas polares , en vez del sistema rectangular o cartesiano. Además, revisaremos las definiciones geométricas y las ecuaciones estándar de parábolas, elipses e hipérbolas. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónicas o, simplemente, cónicas y describen las trayectorias que siguen los proyectiles, los planetas o cualquier otro objeto que se mueva bajo la sola influencia de una fuerza gravitacional o electromagnética.

6. Curvas planas y ecuaciones paramétricas Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso particular de curva.

7. CURVA Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano.

8. TIPOS Y CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4° orden. La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

9. La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos. La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.

10. Ecuaciones paramétricas La figura muestra la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano xy . Observe que la trayectoria no pasa la prueba de la recta vertical, de manera que no se puede describir como la gráfica de una función de la variable x . Sin embargo, algunas veces la trayectoria se describe con un par de ecuaciones, x = f ( t ) y y = g ( t ), donde f y g son funciones continuas. Para estudiar el movimiento, t generalmente representa el tiempo. Ecuaciones como éstas describen curvas más generales que las descritas por una sola función y, además de la gráfica de la trayectoria recorrida, indican la posición ( x , y ) = ( f ( t ), g ( t )) de la partícula en cualquier tiempo t .

11. DEFINICIÓN Si “ x” y “ y” están expresadas como funciones x = f ( t ), y = g ( t ) en un intervalo I de valores t , entonces, el conjunto de puntos ( x , y ) = ( f ( t ), g ( t )) definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica . Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva.

12. Intervalos La variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el intervalo del parámetro . Si I es un intervalo cerrado, a … t … b , el punto ( f ( a ), g ( a )) es el punto inicial de la curva, y ( f ( b ), g ( b )) es el punto final . Cuando tenemos ecuaciones paramétricas y un intervalo para el parámetro de la curva, se dice que hemos parametrizado la curva. Las ecuaciones y el intervalo, en conjunto, constituyen la parametrización de la curva. Una curva determinada puede representarse mediante conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas.

13. EJEMPLOS

14. Ejemplo 1 Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = t 2 , y = t + 1,  

15. Solución. Ejemplo 1 t x y -3 9 -2 -2 4 -1 -1 1 1 1 1 2 2 4 3 3 9 4 x = t 2 , y = t + 1,   Si t = -3 x = (-3) 2 = 9 y = (-3) + 1 = -2 Si t = -2 x = (-2) 2 = 4 y = (-2) + 1 = -1

16. Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama inferior de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de alcanzar el eje y en (0, 1) desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores para t está compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva. t x y -3 9 -2 -2 4 -1 -1 1 1 1 1 2 2 4 3 3 9 4

17. Ejemplo 2 Identifique geométricamente la curva del ejemplo 1 eliminando el parámetro t y obteniendo una ecuación algebraica en “ x” y “ y” . Solución. y = t + 1 despejand o t → t = y – 1 sustituyendo en x = t 2 = (y – 1) 2 x = t 2 = (y – 1) 2 (y – 1) 2 = y 2 – 2y + 1 x = y 2 – 2y + 1 x = t 2 , y = t + 1,  

18. x = y 2 – 2y + 1 y x -3 16 -2 9 -1 4 1 1 2 1 3 4

19. Ejemplo 3 Graficar la siguiente curva paramétrica x = cos t, y = sen t Nota. Cuando se trabaja con (sen) o (cos) podemos afirmar que se trabaja con una circunferencia.  

20. En donde sen + cos = 1/2     x = cos t, y = sen t    

21. Conforme t aumenta de 0 a 2pi, el punto ( x , y ) = (cos t , sen t ) inicia su recorrido en (1, 0) y traza la circunferencia completa una sola vez en sentido opuesto al de las manecillas del reloj

22. Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r , y sea M el punto fijo que describe la curva. En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A , cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. CICLOIDE

23. Ejemplo 4 Una rueda de radio a se mueve a lo largo de una recta horizontal. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la trayectoria que recorre un punto P localizado en la circunferencia de la rueda. La trayectoria se llama cicloide . Tomamos el eje x como la recta horizontal, marcamos un punto P en la rueda, empezamos a mover esta última con P en el origen y la hacemos girar hacia la derecha. Como parámetro, utilizamos el ángulo t que gira la rueda, medido en radianes. La figura muestra la rueda un poco después, cuando su base se encuentra a at unidades del origen.

24. Solución. Ejemplo 4 El centro de la rueda C se encuentra en ( at , a ) y las coordenadas de P son x = at + a cos , y = a + a sen .  

25. Para expresar en términos de t , observamos en la figura que t + = , de manera que  

26. Para expresar en términos de t , observamos en la figura que t + = , de manera que       ARCO DE COS ARCO DE SEN   y     y  

27.   y   t  

28. CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS Comenzamos preguntando cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ), y = y ( t ). Suponga que existen las derivadas x ′( t ), y ′( t ), y suponga que x ′( t ) ≠ 0. Entonces la derivada dy / dx viene dada por TEOREMA https://calculo21.com/calculo-de-curvas-parametricas/

29. Ejemplo 5 Calcule la derivada dy / dx para la siguiente curva plana definidas paramétricamente y ubique los puntos críticos en sus respectivos gráficos. Aplicando el teorema anterior:

30. PRIMERO. Obtener la derivada de x, y con respecto a t SEGUNDO. Sustituir estos valores en la fórmula     y   y     t x y -3 6 -7 -2 1 -5 -1 -2 -3 -3 -1 1 -2 1 2 1 3 3 6 5 4 13 7

31. PRIMERO. Obtener la derivada de x, y con respecto a t SEGUNDO. Sustituir estos valores en la fórmula     y   y     t x y -3 -5 -8 -2 -3 5 -1 -1 6 1 4 1 3 2 2 5 6

32. Para aplicar la ecuación dada por el Teorema 8.2.1, primero calcule x ′( t )  e  y ′( t ):              A continuación sustituya estas derivadas en la ecuación:   t x y 5 π/2 5 π -5 3π/2 -5 2π 5

33. Ejemplo 6. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones Solución : Primero encuentre la pendiente de la recta tangente usando la ecuación dada en el Teorema 8.2.1, lo que requiere calcular x ′( t )  y  y ′( t ):         

34. A continuación sustituya estas derivadas en la ecuación:      Cuando t = 2, dy / dx = 1/2, entonces esta es la pendiente de la recta tangente. Calculando x (2)  e  y (2)  se obtiene

35. que corresponde al punto (1, 3) del gráfico. Ahora usa la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta para encontrar la ecuación de la recta tangente:             

36. COORDENADAS POLARES, ÁREAS Y LONGITUD DE ARCO https://calculo21.com/coordenadas-polares/

37. DEFINICIÓN DE COORDENADAS POLARES Para encontrar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere figura siguiente. El punto P tiene coordenadas cartesianas ( x , y ). El segmento de recta que conecta el origen con el punto P mide la distancia desde el origen hasta P y tiene una longitud r .

38. El ángulo entre el eje x positivo y el segmento de recta mide θ. Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas ( x , y ) y los valores r y θ. Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Tenga en cuenta que cada punto en el plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto también tiene dos valores asociados: r y θ.

39. Usando trigonometría de triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son verdaderas para el punto P : cosθ = x / r   entonces   x = r cosθ senθ = y / r   entonces  y = r senθ. Además, r ² = x ² + y ²  y  tanθ = y / x .

40. Por tanto, cada punto ( x , y ) del sistema de coordenadas cartesiano se puede representar como un par ordenado ( r , θ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular . Cada punto del plano se puede representar de esta forma. Tenga en cuenta que la ecuación tanθ = y/x tiene un número infinito de soluciones para cualquier par ordenado ( x , y ). Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre 0 y 2π, podemos asignar una solución única al cuadrante en el que se encuentra el punto original ( x , y ). Entonces el valor correspondiente de r es positivo, entonces r ² = x ² + y ².

41. FUNCIÓN SENO

42. FUNCIÓN COSENO

43. EJEMPLOS Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas polares. (1, 1) b. (−3, 4) c. (0, 3) d. (5√3, −5) cosθ = x / r   entonces   x = r cosθ senθ = y / r   entonces  y = r senθ. Además, r ² = x ² + y ²  y  tanθ = y / x ( r , θ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular .

44. (1, 1) Solución : Utilice x = 1  y  y = 1 en las ecuaciones  r ² = x ² + y ²   y  tanθ = y / x : r ² = 1² + 1²  y  ta nθ = 1/1 = 1;   r = √2  y  θ = π/4 = 45 ° Por lo tanto, este punto se puede representar como (√2, π/4 o 45 ° ) en coordenadas polares.

45. b. Utilice x = −3  y  y = 4 en las ecuaciones r ² = x ² + y ²   y  tanθ = y / x : r ² = (−3)² + 4²  y  ta nθ = 4/(−3) = −4/3;   r = 5  y  θ = arctan(-4/3) ≈ -53.13 ° Por lo tanto, este punto se puede representar como (5, - 53.13 ° ) en coordenadas polares. b. (−3, 4)

46. c. Utilice x = 0  y  y = 3 en las ecuaciones r ² = x ² + y ²   y  tanθ = y / x : r ² = 0² + 3²  y  ta nθ = 3/0;   r = 3  c. (0, 3) La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división por cero. Graficar el punto (0, 3) en el sistema de coordenadas rectangulares revela que el punto está ubicado en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es π/2. Por lo tanto, este punto se puede representar como (3, π/2) en coordenadas polares.

47. d. Utilice x = 5√3  y  y = −5 en las ecuaciones r ² = x ² + y ²   y  tanθ = y / x : r ² = (5√3)² + ( −5 )²  y  ta nθ = −5/5√3 = −√3/3, r ² = 75 + 25  y  θ = arctan(−√3/3);   r = 10  y  θ = −π/6. Por lo tanto, este punto se puede representar como (10, −π/6 o -30 ° ) en coordenadas polares. d. (5√3, −5)

48. EJEMPLOS Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas rectangulares. 1 . (3, π/3) 2 . (2, 3π/2) 3 . (6, −5π/6) cosθ = x / r   entonces   x = r cosθ senθ = y / r   entonces  y = r senθ. Además, r ² = x ² + y ²  y  tanθ = y / x ( r , θ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular .

49. 1. (3, π/3) Utilice r = 3  y  θ = π/3 en las ecuaciones x = r cosθ  y   y = r senθ : x = 3cos(π/3)  y  y = 3sen(π/3), x = 3(1/2) = 3/2  y  y = 3( √3/2 ) = 3 √3/2 Por lo tanto, este punto se puede representar como (3/2, 3√3/2) en coordenadas rectangulares.

50. Utilice r = 2  y  θ = 3π/2 en las ecuaciones x = r cosθ  y   y = r senθ : x = 2cos(3π/2)  y  y = 2sen(3π/2), x = 2(0) = 0  y  y = 2(− 1 ) = −2 Por lo tanto, este punto se puede representar como (0, −2) en coordenadas rectangulares. 2 . (2, 3π/2)

51. Función seno Función coseno

52. Utilice r = 6  y  θ = −5π/6 en las ecuaciones x = r cosθ  y   y = r senθ : x = 6cos(−5π/6)  y  y = 6sen(−5π/6), x = 6(−√3/2) = −3√3  y  y = 6(− 1/2 ) = −3 Por lo tanto, este punto se puede representar como (−3√3, −3) en coordenadas rectangulares. 3 . (6, −5π/6)

53. TAREA Convierta (−8, −8) en coordenadas polares y (4, 2π/3) en coordenadas rectangulares.

54. LONGITUD DE ARCO