Valor absoluto.pdf
BelnArzola
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Jan 15, 2024
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About This Presentation
Valor Absoluto -Apuntes de Ingeniería
Slide Content
Matemática General
VALOR ABSOLUTO de un número real
Sabemosquecualquiernúmerorealtienesurepresentaciónenlarectanumérica,porlotanto
esválidalapregunta:
¿Cuál es la distancia de un número real al cero?
Por ejemplo: ¿Cuál es la distancia del 6 al 0?
Es 6
¿Cuál es la distancia del -6 al cero?
También es 6
Si observamos esto en la recta real tenemos:
VALOR ABSOLUTO de un número real
Sabemosquecualquiernúmerorealtienesurepresentaciónenlarectanumérica,porlotanto
esválidalapregunta:
¿Cuál es la distancia de un número real al cero?
Por ejemplo: ¿Cuál es la distancia del 6 al 0?
Es 6
¿Cuál es la distancia del -6 al cero?
También es 6
Si observamos esto en la recta real tenemos:
➢Una manera de expresar la distancia de un número al cero que
usamos en matemática es por medio del “valor absoluto”.
“El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número a cero”
yestadistanciasesimbolizaponiendoelnúmeroentredosbarras
verticales,esdecir:
??????simboliza la distancia del número ??????al cero.
Por ejemplo: | 6| = 6 , |−6| = 6 , | -18| = 18 , |3,7| = 3,7 , | 0| = 0 .
Hay algo particular cuando calculamos el valor absoluto de un número y
tiene que ver con lo que ocurre según el signo que tiene ese número, es
decir:
“Si un número es positivo o cero, su valor absoluto coincide con dicho
número, y si un número es negativo, su valor absoluto es el opuesto de
ese número”
usamos en matemática es por medio del “valor absoluto”.
“El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número a cero”
yestadistanciasesimbolizaponiendoelnúmeroentredosbarras
verticales,esdecir:
??????simboliza la distancia del número ??????al cero.
Por ejemplo: | 6| = 6 , |−6| = 6 , | -18| = 18 , |3,7| = 3,7 , | 0| = 0 .
Hay algo particular cuando calculamos el valor absoluto de un número y
tiene que ver con lo que ocurre según el signo que tiene ese número, es
decir:
“Si un número es positivo o cero, su valor absoluto coincide con dicho
número, y si un número es negativo, su valor absoluto es el opuesto de
ese número”
Entonces:
�=ቊ
�????????????�≥0
−�????????????�<0
Observación: La misma definición de valor absoluto nos asegura que el valor
absoluto de un número siempre será mayor o igual que cero, nunca será negativo.
El valor absoluto de un número real “a” es el mismo número “a” cuando es positivo
o cero, y es el opuesto de a, es decir “-a”, si a es negativo. (En éste último caso, “-a”
se convierte en un número positivo).
Esto se expresa en forma simbólica de la siguiente manera:
�=ቊ
�????????????�≥0
−�????????????�<0
Observación: La misma definición de valor absoluto nos asegura que el valor
absoluto de un número siempre será mayor o igual que cero, nunca será negativo.
El valor absoluto de un número real “a” es el mismo número “a” cuando es positivo
o cero, y es el opuesto de a, es decir “-a”, si a es negativo. (En éste último caso, “-a”
se convierte en un número positivo).
Esto se expresa en forma simbólica de la siguiente manera:
Veamos si quedó clara la idea de lo que significa el valor absoluto de un
número:
➢¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es 100?
➢¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es -1?
➢Si �=2entonces �=_____¿porqué?
➢Si �=−7entonces �=_____¿porqué?
➢Si �>0entonces ¿�=�o �=−�? ¿porqué?
➢Si �<0entonces ¿�=�o �=−�? ¿porqué?
número:
➢¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es 100?
➢¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es -1?
➢Si �=2entonces �=_____¿porqué?
➢Si �=−7entonces �=_____¿porqué?
➢Si �>0entonces ¿�=�o �=−�? ¿porqué?
➢Si �<0entonces ¿�=�o �=−�? ¿porqué?
Resolvamos ahora algunas ecuaciones simples con valor absoluto
•Hallar los valores de �que verifiquen las siguientes igualdades:
a) �=125 b) �=−
2
5
c) �+4=15
Respuestas:
a) Los valores posibles son: �=125ó�=−125. (�=−125,125)
Podemos pensar esta igualdad de la siguiente manera: ¿Cuáles son los números cuya
su distancia al cero es 125?
b) No existe ningún valor posible para �de manera tal que su valor absoluto sea un
número negativo ya que el valor absoluto de un número es positivo o cero. (�=∅)
c) Para resolver esta igualdad vamos a usar la definición de valor absoluto
•Hallar los valores de �que verifiquen las siguientes igualdades:
a) �=125 b) �=−
2
5
c) �+4=15
Respuestas:
a) Los valores posibles son: �=125ó�=−125. (�=−125,125)
Podemos pensar esta igualdad de la siguiente manera: ¿Cuáles son los números cuya
su distancia al cero es 125?
b) No existe ningún valor posible para �de manera tal que su valor absoluto sea un
número negativo ya que el valor absoluto de un número es positivo o cero. (�=∅)
c) Para resolver esta igualdad vamos a usar la definición de valor absoluto
�+4=15⟺൜
�+4=15????????????�+4≥0
−�+4=15????????????�+4<0
⟺ቊ
�=11????????????�≥−4
�+4=−15????????????�<−4
⟺
⇔ቊ
�=11????????????�≥−4
�=−19????????????�<−4
⟺�=11ó�=−19.
➢Si verificamos estos números en la ecuación observamos que efectivamente ambos son soluciones.
Teniendo en cuenta que :
Si consideramos �=�+4obtenemos que: �+4=ቊ
�+4????????????�+4≥0
−�+4????????????�+4<0
y volviendo a la ecuación �+4=15, podemos escribir esto como:
�=ቊ
�????????????�≥0
−�????????????�<0
�+4=15????????????�+4≥0
−�+4=15????????????�+4<0
⟺ቊ
�=11????????????�≥−4
�+4=−15????????????�<−4
⟺
⇔ቊ
�=11????????????�≥−4
�=−19????????????�<−4
⟺�=11ó�=−19.
➢Si verificamos estos números en la ecuación observamos que efectivamente ambos son soluciones.
Teniendo en cuenta que :
Si consideramos �=�+4obtenemos que: �+4=ቊ
�+4????????????�+4≥0
−�+4????????????�+4<0
y volviendo a la ecuación �+4=15, podemos escribir esto como:
�=ቊ
�????????????�≥0
−�????????????�<0
Algunas propiedades del Valor Absoluto
1)�≥0∀�∈�.
2)�=0⟺�=0.
3)�=�,�>0⟺�=�ó�=−�.
4)�=−�
5)�=�⇔�=�ó�=−�.
6)�∙�=�∙�
7)
�
�
=
�
�
,�≠0
8)�
2
=�
2
,∀�∈ℝ
9)�
2
=�
1)�≥0∀�∈�.
2)�=0⟺�=0.
3)�=�,�>0⟺�=�ó�=−�.
4)�=−�
5)�=�⇔�=�ó�=−�.
6)�∙�=�∙�
7)
�
�
=
�
�
,�≠0
8)�
2
=�
2
,∀�∈ℝ
9)�
2
=�
➢Usando propiedades (en particular la propiedad 3 anterior) podemos resolver la
ecuación �+4=15de una manera más simple, sin tener que usar la
definición de valor absoluto:
�+4=15⇔�+4=15ó�+4=−15⇔�=11ó�=−19
➢¿Cómopodríamosresolverlaecuación3�−1=�+1Usandopropiedades?
Lapropiedad5nospermiteresolverladelasiguientemanera:
3�−1=�+1⇔3�−1=�+1ó3�−1=−�+1
⇔3�−1=�+1ó3�−1=−�−1⇔2�=2ó4�=0
⇔�=1ó�=0.�=0,1.(verificarqueambosvaloressatisfacenlaigualdad)
ecuación �+4=15de una manera más simple, sin tener que usar la
definición de valor absoluto:
�+4=15⇔�+4=15ó�+4=−15⇔�=11ó�=−19
➢¿Cómopodríamosresolverlaecuación3�−1=�+1Usandopropiedades?
Lapropiedad5nospermiteresolverladelasiguientemanera:
3�−1=�+1⇔3�−1=�+1ó3�−1=−�+1
⇔3�−1=�+1ó3�−1=−�−1⇔2�=2ó4�=0
⇔�=1ó�=0.�=0,1.(verificarqueambosvaloressatisfacenlaigualdad)
➢La propiedad 9) nos permite resolver algunas ecuaciones en las que interviene
un factor cuadrático, por ejemplo:
�+5
2
+1=10⇔�+5
2
=9⇔�+5
2
=9⇔�+5=3
⇔�+5=3ó�+5=−3⇔�=−2ó�=−8
Aquí también hemos usado la propiedad 3: �=�⟺�=�ó�=−�
un factor cuadrático, por ejemplo:
�+5
2
+1=10⇔�+5
2
=9⇔�+5
2
=9⇔�+5=3
⇔�+5=3ó�+5=−3⇔�=−2ó�=−8
Aquí también hemos usado la propiedad 3: �=�⟺�=�ó�=−�
Pensemos ahora en lo siguiente: ¿Cuáles son todos los números reales que verifican
que su valor absoluto es menor a 2?
Lo que realizamos anteriormente lo podemos expresar en símbolos mediante una
inecuación:
�<�⇔�∈−�,�.
Siinterpretamosestoconlaideadedistancia,estamosbuscandoaquellos
“númeroscuyadistanciaalceroesmenora2”.
Sigraficamosestasituaciónenlarectanuméricaobtenemoselintervalo(−2,2):
➢Vamos a resolver esta inecuación a partir de la definición de valor absoluto:
�<2⇔ቊ
�<2????????????�≥0
−�<2????????????�<0
⇔ቊ
�<2????????????�≥0
�>−2????????????�<0
⇔
⇔�∈0,2ó�∈(−2,0)⇔�∈0,2∪(−2,0)⇔�∈(−2,2)..
que su valor absoluto es menor a 2?
Lo que realizamos anteriormente lo podemos expresar en símbolos mediante una
inecuación:
�<�⇔�∈−�,�.
Siinterpretamosestoconlaideadedistancia,estamosbuscandoaquellos
“númeroscuyadistanciaalceroesmenora2”.
Sigraficamosestasituaciónenlarectanuméricaobtenemoselintervalo(−2,2):
➢Vamos a resolver esta inecuación a partir de la definición de valor absoluto:
�<2⇔ቊ
�<2????????????�≥0
−�<2????????????�<0
⇔ቊ
�<2????????????�≥0
�>−2????????????�<0
⇔
⇔�∈0,2ó�∈(−2,0)⇔�∈0,2∪(−2,0)⇔�∈(−2,2)..
➢Intentemos ahora hallar los valores de �cuya distancia al cero es
mayor o igual a 3.
Es decir, tenemos que resolver la inecuación �≥�
Si lo representamos en la recta numérica , podemos marcar primero los valores
de �cuya distancia al cero es exactamente 3, es decir, 3 y -3, y luego pensamos
en aquellos valores cuya distancia al cero es mayor a 3:
Entonces la solución es:
�=−∞,−3∪[3,+∞)
mayor o igual a 3.
Es decir, tenemos que resolver la inecuación �≥�
Si lo representamos en la recta numérica , podemos marcar primero los valores
de �cuya distancia al cero es exactamente 3, es decir, 3 y -3, y luego pensamos
en aquellos valores cuya distancia al cero es mayor a 3:
Entonces la solución es:
�=−∞,−3∪[3,+∞)
Más propiedades de valor absoluto
10)∀�>0,�≤�⟺−�≤�≤�⇔�∈−�,�.
11)�≥�⟺�≥�∨�≤−�⇔�∈−∞,−�∪[�,+∞).
12)Desigualdad triangular: �+�≤�+�.
13)�−�=�−�.
Estas propiedades nos permiten resolver las inecuaciones con valor absoluto de
una manera mas simple.
Por ejemplo, para resolver�−3≤5usamos la propiedad 10: (cuidado que aquí
tenemos que reemplazar �por �−3)
�−3≤5⟺−5≤�−3≤5⟺−2≤�≤8⟺�∈−2,8.
10)∀�>0,�≤�⟺−�≤�≤�⇔�∈−�,�.
11)�≥�⟺�≥�∨�≤−�⇔�∈−∞,−�∪[�,+∞).
12)Desigualdad triangular: �+�≤�+�.
13)�−�=�−�.
Estas propiedades nos permiten resolver las inecuaciones con valor absoluto de
una manera mas simple.
Por ejemplo, para resolver�−3≤5usamos la propiedad 10: (cuidado que aquí
tenemos que reemplazar �por �−3)
�−3≤5⟺−5≤�−3≤5⟺−2≤�≤8⟺�∈−2,8.
•Otro Ejemplo: Resolver usando propiedades la inecuación:
3�−1≥2
Usamos la propiedad 11: �≥�⟺�≥�∨�≤−�
3�−1≥2⟺3�−1≥2ó3�−1≤−2
⟺3�≥3ó3�≤−1⟺�≥1ó�≤−
1
3
⟺�∈−∞,−
1
3
∪[1,+∞).
�=−∞,−
1
3
∪[1,+∞)
3�−1≥2
Usamos la propiedad 11: �≥�⟺�≥�∨�≤−�
3�−1≥2⟺3�−1≥2ó3�−1≤−2
⟺3�≥3ó3�≤−1⟺�≥1ó�≤−
1
3
⟺�∈−∞,−
1
3
∪[1,+∞).
�=−∞,−
1
3
∪[1,+∞)
El valor absoluto como distancia
¿Cómo podemos calcular la distancia que hay entre dos números de la recta
numérica? Por ejemplo, ¿Cuál es la distancia entre 3 y 8?
Si observamos en la recta vemos que la distancia es 5.
¿Cuál es la distancia entre -4 y 4?
La distancia es 8.
¿Cómo podemos calcular la distancia entre dos números reales?
Si hacemos la diferencia entre ambos números podríamos obtener un valor negativo,
sin embargo el valor absoluto de la diferencia nos daría un número positivo, es por
ello que se define “la distancia entre dos números reales �e �"como:
??????(�,�)=�−�=�−�
¿Cómo podemos calcular la distancia que hay entre dos números de la recta
numérica? Por ejemplo, ¿Cuál es la distancia entre 3 y 8?
Si observamos en la recta vemos que la distancia es 5.
¿Cuál es la distancia entre -4 y 4?
La distancia es 8.
¿Cómo podemos calcular la distancia entre dos números reales?
Si hacemos la diferencia entre ambos números podríamos obtener un valor negativo,
sin embargo el valor absoluto de la diferencia nos daría un número positivo, es por
ello que se define “la distancia entre dos números reales �e �"como:
??????(�,�)=�−�=�−�
✓También nos permite interpretar la expresión �−3como la distancia entre�y 3.
Por lo tanto la inecuación �−3≤5se puede interpretar como:
“ todos los puntos de la recta real cuya distancia a??????�es menor o igual a 5”.
✓La definición de distancia permite expresar que la distancia de un
número�al cero es :
??????(�,??????)=�−??????=�
como lo habíamos interpretado inicialmente.
Unamaneraderesolverestainecuación“enformageométrica”esubicando
al3comonuestro“centro”ymoviéndonoscincounidadesaladerechay
cincounidadesalaizquierdadel3,deestamaneraobtenemoslospuntos
queestánaunadistanciadecincounidadesdel3(estosson-2y8).Apartir
deallíyvolviendoainterpretarlainecuaciónpodemosmarcarlosvalores
cuyadistanciaal3esmenoroiguala5,yobtenemosquelasoluciónesel
intervalo−2,8
Por lo tanto la inecuación �−3≤5se puede interpretar como:
“ todos los puntos de la recta real cuya distancia a??????�es menor o igual a 5”.
✓La definición de distancia permite expresar que la distancia de un
número�al cero es :
??????(�,??????)=�−??????=�
como lo habíamos interpretado inicialmente.
Unamaneraderesolverestainecuación“enformageométrica”esubicando
al3comonuestro“centro”ymoviéndonoscincounidadesaladerechay
cincounidadesalaizquierdadel3,deestamaneraobtenemoslospuntos
queestánaunadistanciadecincounidadesdel3(estosson-2y8).Apartir
deallíyvolviendoainterpretarlainecuaciónpodemosmarcarlosvalores
cuyadistanciaal3esmenoroiguala5,yobtenemosquelasoluciónesel
intervalo−2,8
➢La expresión �+9se puede interpretar como la distancia entre�y −9
Por lo tanto la inecuación �+9>10, que es equivalente a:
�−(−9)>10
Se interpreta geométricamente como todos los puntos de la recta real cuya
distancia al −??????es mayor a 10.
Pararesolverlainecuaciónpormediodeestainterpretación
geométrica,ubicamosal−9comonuestro“centro”y
moviéndonos10unidadesaladerechay10unidadesala
izquierdadel−9obtenemoslospuntosqueestánauna
distanciade10unidadesdel−9(estosson-19y1).Apartirde
allíyvolviendoainterpretarlainecuaciónpodemosmarcarlos
valorescuyadistanciaal−9esmayoroiguala10,yobtenemos
quelasolucióneselintervalo(−∞,−19)∪(1,+∞).
Por lo tanto la inecuación �+9>10, que es equivalente a:
�−(−9)>10
Se interpreta geométricamente como todos los puntos de la recta real cuya
distancia al −??????es mayor a 10.
Pararesolverlainecuaciónpormediodeestainterpretación
geométrica,ubicamosal−9comonuestro“centro”y
moviéndonos10unidadesaladerechay10unidadesala
izquierdadel−9obtenemoslospuntosqueestánauna
distanciade10unidadesdel−9(estosson-19y1).Apartirde
allíyvolviendoainterpretarlainecuaciónpodemosmarcarlos
valorescuyadistanciaal−9esmayoroiguala10,yobtenemos
quelasolucióneselintervalo(−∞,−19)∪(1,+∞).
•En general:
�−??????≤??????se puede interpretar geométricamente como los valores de �cuya
distancia al centro ??????es menor o igual que el radio ??????(o semiamplitudd), por lo que
se obtiene �∈−�+�,�+�. Gráficamente:
Observación 1: si tenemos �+�≤�, el centro es el opuesto de �, es decir, −�.
Observación 2: Para interpretar en forma geométrica una inecuación como4�−2≤8, es
necesario que tengamos a �sin ningún factor multiplicando, por lo tanto podemos sacar factor
común 4 y modificar nuestra inecuación de la siguiente manera:
4�−2≤8⇔4�−
1
2
≤8⇔4.�−
1
2
≤8⇔�−
1
2
≤
8
4
⇔�−
1
2
≤2
Entonces la inecuación se puede interpretar geométricamente como” son todos los números cuya
distancia al
1
2
es menor o igual que 2, �=−
3
2
,
5
2
(centro
1
2
y radio 2)
�−??????≤??????se puede interpretar geométricamente como los valores de �cuya
distancia al centro ??????es menor o igual que el radio ??????(o semiamplitudd), por lo que
se obtiene �∈−�+�,�+�. Gráficamente:
Observación 1: si tenemos �+�≤�, el centro es el opuesto de �, es decir, −�.
Observación 2: Para interpretar en forma geométrica una inecuación como4�−2≤8, es
necesario que tengamos a �sin ningún factor multiplicando, por lo tanto podemos sacar factor
común 4 y modificar nuestra inecuación de la siguiente manera:
4�−2≤8⇔4�−
1
2
≤8⇔4.�−
1
2
≤8⇔�−
1
2
≤
8
4
⇔�−
1
2
≤2
Entonces la inecuación se puede interpretar geométricamente como” son todos los números cuya
distancia al
1
2
es menor o igual que 2, �=−
3
2
,
5
2
(centro
1
2
y radio 2)
•�−�≥�⟺�≤−�+�∨�≥�+�⟺�∈൫−∞, ሿ−�+�∪[�+�,)∞
•�−�>�⟺�<−�+�∨�>�+�⟺�∈(−∞, )−�+�∪�+�,∞
•�−�<�⟺−�<�−�<�⟺−�+�<�<�+2⟺�∈−�+�,�+�
•�−�>�⟺�<−�+�∨�>�+�⟺�∈(−∞, )−�+�∪�+�,∞
•�−�<�⟺−�<�−�<�⟺−�+�<�<�+2⟺�∈−�+�,�+�
Ejercicio 1: Resolver la inecuación: �+3
2
+1≤5
�+3
2
+1≤5⇔�+3
2
≤4⇔�+3
2
≤4⇔
⇔�+3≤2⇔�∈−3−2,−3+2⇔�∈−5,−1.
Ejercicio 2: Encontrar el conjunto solución de la inecuación 4�−2>1por medio de:
a)Definición de Valor Absoluto
b) Propiedades de Valor Absoluto.
c) Interpretación geométrica del Valor Absoluto.
2
+1≤5
�+3
2
+1≤5⇔�+3
2
≤4⇔�+3
2
≤4⇔
⇔�+3≤2⇔�∈−3−2,−3+2⇔�∈−5,−1.
Ejercicio 2: Encontrar el conjunto solución de la inecuación 4�−2>1por medio de:
a)Definición de Valor Absoluto
b) Propiedades de Valor Absoluto.
c) Interpretación geométrica del Valor Absoluto.
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