Valores extremos de una función

Valores extremos de una función

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´sica y Estad´stica
Universidad de La Sabana

3. AP L I C AC I O N E S D E L A D E R I VA DA
En esta secci´on se aprender´a c´omo la derivada ayuda a localizar e identicar
los valores m´aximos y m´nimos de una funci´on. A menudo, muchos
problemas en la pr´actica exigen el mejor resultado posible para una situaci´on,
la derivada proporciona este resultado.

4. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
EXTREMOS ABSOLUTOS
Seafuna funci´on con dominioD. Decimos queftiene un valorm´aximo
absolutoenDen un puntocsi
f(x)f(c)8x2D
y un valorm´nimo absolutoenDen un puntocsi
f(x)f(c)8x2D
EJEMPLO

5. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
M´AXIMO/M´INIMO LOCAL Una funci´onf, denida en un conjuntoStienem´aximo relativoen un punto
c2Ssi existe un cierto intervalo abiertoIque contiene actal que
f(x)f(c);para todoxsituado enI\S
El concepto dem´nimo relativose dene del mismo modo con la
desigualdad invertida.
EJEMPLO

6. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
TEOREMA DELVALOREXTREMO Sifes continua sobre un intervalo cerrado[a; b], entoncesfalcanza un valor
m´aximo absolutof(c)y un valor m´nimo absolutof(d)en algunos n´umeros
c; d2[a; b]

7. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
TEOREMA DEFERMAT Siftiene un m´aximo o un m´nimo local enc, y sif
0
(c)existe, por lo tanto
f
0
(c) = 0

8. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
NOTA
La siguiente muestra un puntox= 0
dondef
0
(0) = 0pero no
necesariamente hay un m´aximo o un
m´nimo.
Adem´as, podr´a existir extremos
relativos a´un cuandof
0
(c)no exista.
Ver gura
El teorema de Fermat sugiere que, se
debe empezar a buscar los valores
extremos defen los n´umerosc
dondef
0
(c) = 0o dondef
0
(c)no
exista.

9. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
PUNTOCR´ITICO Unn´umero cr´ticode una funci´onfes un n´umerocen el dominio deftal
quef
0
(c) = 0of
0
(c)no existe.
TEOREMA Siftiene un m´aximo o m´nimo local enc, entoncesces unn´umero cr´tico
def.
DETERMINACI´ON DE EXTREMOS EN UN INTERVALO CERRADO
Para hallar los valores m´aximos y m´nimos absolutos de una funci´on continua
fsobre el intervalo cerrado[a; b]:
1. ´ticos defen(a; b).
2. fen los n´umeros cr´ticos defen(a; b).
3. fen los extremos del intervalo[a; b].
4. ´as peque˜no de estos valores es el m´nimo. El m´as grande es el
m´aximo.

10. VA L O R E S E X T R E M O S D E U NA F U N C I´O N
EJEMPLO
Calcule los valores m´aximo y m´nimo absolutos de la funci´on
f(x) =x
3
3x
2
+ 1;
1
2
x4
1.
cr´ticos defen el intervalo
[
1
2
;4]
f
0
(x) = 3x
2
6x
= 3x(x2)
f
0
(x) = 0six= 0; x= 2
2. f(0) = 1
f(2) =3
3. f


1
2

=
1
8
f(4) = 17
4.
se puede decir que el valor
m´aximo absoluto defes 17,
y se alcanza en el extremo
derecho del intervalo, en
x= 4. El valor m´nimo
absoluto es -3 y se alcanza en
el punto interiorx= 2.