Valores y vectores característicos

1. Aguirre Nájera Adán Enrique 26 de Mayo de 2010
Ing. Mecatrónica
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Sea T: V --> W una transformación lineal. En diversas aplicaciones, resulta útil encontrar un vector
v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y una escalar tal que
Tv = v (1)
Si v 0 y satisface a (1), entonces se denomina un valor característico de T y v un vector
característico de T correspondiente al valor característico . El propósito de este trabajo es
investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene
dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz A. Por esta razón se estudiaran
los valores y los vectores característicos de las matrices de n x n.
DEFINICION DE VALOR CARACTERÍSTICO Y VECTOR CARACTERÍSTICO
Sea A una matriz de n x n con componentes reales. El número(real o complejo) se denomina
valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en C
n
tal que
Av = v (2)
El vector v 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico.
Nota: Los valores y vectores característicos también se denominan valores y vectores impropios o
eigenvalores y eigenvectores; la palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”.
Ejemplo:
Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 x 2.
Sea A = . Entonces A = = . Así, 1 = 1 es un valor característico de
A con el correspondiente vector característico v1 = .
De manera similar, A = = = -2 de modo que 2 = -2 es un valor
característico de A con el correspondiente vector característico v2 = .
Teorema 1
Sea a una matriz de n x n. Entonces es un valor característico de A si y solo si
p( = det (A – ) = 0 (4)
ECUACION Y POLINOMIOS CARACTERISTICOS
La ecuación (4) se denomina la ecuación característica de A; p( se denomina el polinomio
característico de A.

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Como será evidente en los ejemplos, p( es un polinomio de grado n en . Por ejemplo, si
A = , entonces A – = - = y p( = det (A – ) =
(a – )(d - ) – bc =
2
– (a + d) + (ad – bc).
Deacuardo con el teorema fundamental del algebra, cualquier polinomio de grado n con
coeficientes reales o complejos tienen exactamente n raíces. Esto significa, por ejemplo, que el
polinomio ( – 1)
5
tiene cinco raíces, todas iguales al numero 1. Como cualquier valor
característico de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que
Contando multiplicidades, toda matriz de n x n
Tiene exactamente n valores característicos.

CALCULO DE VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS
Ejemplo
Sea A = . Entonces det (A – ) = = (a – )(3 – ) – 6 =
2
- 7 + 6 =
( – 1)( – 6). Entonces los valores característicos de A son 1 = 1 y 2 = 6.
Para 1 = 1 se resuelve (A – I)v = 0 o = . Es claro que cualquier vector característico
correspondiente a 1 = 1 satisface 3x1 + 2x2 = 0. Un vector característico de este tipo es v1 = .
Así E1 = gen.
De manera similar, la ecuación (A – 6 I)v =0 significa que = o x1 = x2.
Entonces v2 = es un vector característico correspondiente a 2 = 6 y E6 = gen .
Observe que v1 y v2 son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro.
MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACION
Definición de matrices semejantes
Se dice que dos matrices A y B de n x n son semejantes si existe una matriz invertible C de n x n tal
que
B = C
-1
AC (1)
La función definida pro (1) que lleva la matriz A en la matriz B se denomina transformación de
semejanza. Se puede escribir esta transformación lineal como

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T(A) = C
-1
AC
Definición alternativa de semejanza
A y B son semejantes si y solo si existe una matriz invertible c tal que
CB = AC
Ejemplo
Sean A = , B = y C = .
Entonces CB = = y AC = =
Así. CB =AC. Como det C = 1 0, C es invertible. Esto muestra, por la ecuación (2), que A y son
semejantes.
Definición de matriz diagonalizable
Una matriz A de n x n es diagonalizable si existe una matriz diagonal d tal que a es semejante a D.
Ejemplo
Diagonalizacion de una matriz de 2 x 2
Sea A = . Se encuentran dos vectores característicos linealmente independientes v1 = y
v2 = . Después, haciendo C = se encontró que
C
-1
AC = = =
Que es la matriz cuyas componentes en la diagonal son los valores característicos de A.
MATRIZ DIAGONALIZABLE ORTOGONALMENTE
Se dice que una matriz A de n x n es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal
Q tal que
Q’AQ = D (9)
Donde D = diag( y son valores caracteristicos de A.
Recuerde que Q es ortogonal si Q’ =Q
-1
; por lo tanto (9) se puede escribir como Q
-1
AQ = D.
Diagonalizacion de una matriz simétrica de 2 x 2 usando una matriz ortogonal
Sea A = . Entonces la ecuación característica de A es det (A - ) = =

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2
- 4 – 1 = 0, que tiene dos raíces = (4 )/2 = (4 )/2 = 2 . Para 1 = 2 - se
obtiene (A - )v = = . Un vector característico es v1 =
Y v1 = = . Por lo tanto
U1 =
Después para 2 = 2 + se calcula (A - )v = = y v2 =
Observe que v1 * v2 = 0. Entonces = de manera que u2 =
Por ultimo,
Q =
Y
Q’ AQ = Q =
=
=
FORMAS CUADRATICAS
Definición de ecuación cuadrática y forma cuadrática
1) Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es una ecuación de la
forma
Ax
2
+ bxy + cy
2
=d (1)
Donde|a| +|b| + |c| 0. Esto es, al menos uno de los números a, b y c es diferente de cero.
2) Una forma cuadrática de dos variables es una expresión de la forma
F(x,y) = ax
2
+ bxy +cy
2
(2)
Donde |a| +|b| + |c| 0

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Es evidente que las ecuaciones y las formas cuadráticas tienen una fuerte relación. Se comenzara
el análisis de las formas cuadráticas con un ejemplo sencillo.
Considere la forma cuadrática F(x, y) = x
2
-4xy + 3y
2
. Sean v = y A = .
Entonces
Av*v = * =
=(x
2
-2xy) +(-2xy +3y
2
) = x
2
-4xy + 3y
2
= F(x,y)
De forma inversa, si A es una matriz simétrica, entonces la ecuación (3) define una forma
cuadrática F(x,y) = Av*v.
Se puede representar F(x,y) por muchas matrices pero solo por una matriz simétrica. Para ver esto,
sea A = , donde a + b = -4. Entonces Av*v = F(x,y). Si, por ejemplo, A = , entonces
Av = y Av*v = x
2
-4xy + 3y
2
. Sin embargo, si insistimos en que A sea simétrica,
entonces debe tenerse a + b = -4 y a = b. Este par de ecuaciones tiene una solución única a = b -2.
Si F(x,y) =ax
2
+ bxy + cy
2
es una forma cuadrática, sea
A = (4)
Entonces
Av*v = * = * = ax
2
+ bxy +cy
2
=F(x,y)
Se regresa ahora a la ecuación cuadrática (1). Usando (3), se puede escribir (1) como
Av*v = d (5)
Donde A es simétrica.
TEOREMA DE CAYLEY –HAMILTON
Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p () = 0 es la
ecuación característica de A, entonces P(A) = 0.
Se tiene

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P () = det(A-) =

Es claro que cualquier cofactor de (A - ) es un polinomio en . Así, la adjunta de A - es una
matriz de n x n en la que cada componente es un polinomio en . Es decir

adj(A - ) =

Esto significa que se puede pensar en adj (A - ) como en un polinomio, Q (, en cuyos
coeficientes son matrices de n x n. Para entender esto, se ve lo siguiente:
= + +
det (A - )I = [adj (A -)][A - ] = Q ((A - ) (5)
pero det (A -)I = p(. Si
p( =
n
+ an-1
n-1
+ … + a1 + a0
Entonces se define
p( = p( =
n
I + an-1
n-1
I + … + a1 + a0I
Por lo tanto, de (5) se tiene p( = Q()(A - ). Por ultimo, P(A) = 0.
Esto completa la prueba.
Aplicación del teorema para calcular A
-1
Sea A = . Entonces p() =
3
- 2
2
+5 + 6. Aquí n = 3, a2 = -2, a1 = -5, a0 = 6 y
A
-1
= (-A
2
+ 2A + 5I)
= =
Observe que se calculo A
-1
haciendo solo una división y calculando solo un determinante (al
encontrar p( = det(A - )). Este método en ocasiones es muy eficiente al implementarlo en una
computadora.
a11 - a12 … a1n
a21 a22 - … a2n
: : :
an1 an2 … anm -
p11( p12( … p1n(
p21( p22 ( … p2n(
: : :
pn1( pn2( … pnm (