van-dung-dinh-li-viete-giai-cac-dang-toan-lien-quan-den-phuong-trinh-bac-hai.pdf

éef

1. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
VŠN DÖNG ÀNH L VI‘TE V€O VI›C GIƒI CC D„NG TON TH×ÍNG GP
C LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH BŠC HAI
I. KI˜N THÙC C†N NHÎ
ành l½ Vi±te
N¸u ph÷ìng tr¼nhax
2
ÅbxÅcÆ0(a6Æ0) câ hai nghi»mx1,x2th¼x1Åx2Æ ¡
b
a
,x1x2Æ
c
a
.
Ng÷ñc l¤i, n¸u hai sèu,vcâ tênguÅvÆSv  t½chuvÆPcâS
2
Ê4Pth¼uv vl  c¡c nghi»m
cõa ph÷ìng tr¼nhX
2
¡SXÅPÆ0.
Þ ngh¾a cõa ành l½ Vi±te
+ Cho ph²p nh©m nghi»m trong nhúng tr÷íng hñp ìn gi£n.
+ Cho ph²p t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc èi xùng cõa c¡c nghi»m v  x²t d§u cõa c¡c nghi»m
khæng c¦n gi£i ph÷ìng tr¼nh.
II. MËT SÈ D„NG TON LI–N QUAN
D¤ng 1. Vªn döng ành l½ Vi±te v o mët sè b i to¡n t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
B i 1.Chox1,x2l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
Å2017xÅ1Æ0v x3,x4l  c¡c nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nhx
2
Å2018xÅ1Æ0.
T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcMÆ(x1Åx3)(x2Åx3)(x1¡x4)(x2¡x4).
Líi gi£i.D¹ th§y c¡c ph÷ìng tr¼nh ¢ cho luæn câ hai nghi»m, n¶n theo ành l½ Vi±te ta câ
x1Åx2Æ ¡2017;x3Åx4Æ ¡2018;x1x2Æx3x4Æ1.
Do vªy
MÆ
£
x1x2Å(x1Åx2)x3Åx
2
3
¤
¢
£
x1x2¡(x1Åx2)x4Åx
2
4
¤
Æ
¡
1¡2017x3Åx
2
3
¢
¢
¡
1Å2017x4Åx
2
4
¢
Æ
¡
x
2
3
Å2018x3Å1¡4035x3
¢
¢
¡
x
2
4
Å2018x4Å1¡x4
¢
Æ(¡4035x3)(¡x4)Æ4035x3x4Æ4035.
Nhªn x²t.Qua v½ dö vøa n¶u tr¶n, n¸u ta gi£i trüc ti¸p hai ph÷ìng tr¼nh bªc hai ¢ cho º
t¼m nghi»mx1,x2,x3,x4sau â thay gi¡ trà c¡c nghi»m vøa t¼m v o biºu thùcMth¼ vi»c t½nh
gi¡ tràMs³ trð n¶n phùc t¤p. N¸u kh²o l²o vªn döng ành l½ Vi±te th¼ líi gi£i b i to¡n trð n¶n
ng­n gån, d¹ hiºu.
B i 2.Gi£ sû ph÷ìng tr¼nhax
2
ÅbxÅcÆ0(a6Æ0) câ hai nghi»mx1,x2v  thäa m¢nax1Åbx2ÅcÆ
0. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcMÆa
2
cÅac
2
Åb
3
¡3abc.
(· thi TS v o lîp 10 THPT chuy¶n Nguy¹n Tr¢i, H£i D÷ìng n«m håc 2005 - 2006).
Líi gi£i.Tøax1Åbx2ÅcÆ0)x1Å
b
a
x2Å
c
a
Æ0 (*)
Theo ành l½ Vi±te ta câ:x1Åx2Æ ¡
b
a
;x1x2Æ
c
a
.
Tø (*) câ:x1¡x2(x1Åx2)Åx1x2Æ0,x1¡x
2
2
Æ0)x1Æx
2
2
. Do â:
MÆa
3
·
c
a
Å
³
c
a
´
2
Å
µ
b
a
¶
3
¡3¢
b
a
¢
c
a
¸
Æa
3
h
x
3
2
Åx
6
2
¡
¡
x
2
2
Åx2
¢
3
Å3
¡
x
2
2
Åx2
¢
¢x
3
2
i
Æa
3
¢0Æ0.
D¤ng 2. Vªn döng ành l½ Vi±te v o b i to¡n t¼m tham sè º c¡c nghi»m cõa ph÷ìng
tr¼nh ¢ cho thäa m¢n mët h» thùc
B i 3.T¼mmº ph÷ìng tr¼nh:
¡
x
2
¡1
¢
(xÅ4)(xÅ6)Æmcâ bèn nghi»m ph¥n bi»tx1,x2,x3,x4
thäa m¢n
1
x1
Å
1
x2
Å
1
x3
Å
1
x4
Æ ¡
2
5
.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi
(xÅ1)(xÅ4)(x¡1)(xÅ6)Æm,
¡
x
2
Å5xÅ4
¢¡
x
2
Å5x¡6
¢
Æm (1)
Trang 1

2. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
°ttÆx
2
Å5xÅ
25
4
Æ
µ
xÅ
5
2
¶
2
Ê0, khi â (1) câ d¤ng
(4t¡9)(4t¡49)Æ16m,16t
2
¡232tÅ441¡16mÆ0 (2)
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ bèn nghi»m ph¥n bi»t khi v  ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (2) câ hai nghi»m
d÷ìng ph¥n bi»tt1,t2khi v  ch¿ khi
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
¢
0
Æ256mÅ6400È0
SÆ
29
2
È0
PÆ
441¡16m
16
È0
, ¡25ÇmÇ
441
16
(3)
Gåix1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:4x
2
Å20xÅ25¡4t1Æ0 (4)
Gåix3,x4l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:4x
2
Å20xÅ25¡4t2Æ0 (5)
p döng ành l½ Vi±te cho (4), (5) v  (2) ta câ
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x1Åx2Æx3Åx4Æ ¡5
x1x2Æ
25¡4t1
4
;x3x4Æ
25¡4t2
4
t1Åt2Æ
29
2
;t1¢t2Æ
441¡16m
16
Khi â
¡
2
5
Æ
1
x1
Å
1
x2
Å
1
x3
Å
1
x4
Æ
x1Åx2
x1x2
Å
x3Åx4
x3x4
Æ ¡
20
25¡4t1
¡
20
25¡4t2
Æ ¡20
·
50¡4(t1Åt2)
625¡100(t1Åt2)Å16t1t2
¸
Æ
10
¡24¡m
.
Tø â suy ramÆ1(thäa m¢n (3)).
Nhªn x²t.Vîi d¤ng to¡n n y ta th÷íng khæng gi£i ph÷ìng tr¼nh º i t¼m nghi»m m  bi¸n
èi biºu thùc ¢ cho theo têng v  t½ch c¡c nghi»m, sau â vªn döng ành l½ Vi±te. Biºu thùc
th÷íng bi¸n êi trong d¤ng to¡n n y l 
(x1¡x2)
2
Æ(x1Åx2)
2
¡4x1x2;
x
2
1
Åx
2
2
Æ(x1Åx2)
2
¡2x1x2;
x
3
1
Åx
3
2
Æ(x1Åx2)
3
¡3x1x2(x1Åx2);
x
4
1
Åx
4
2
Æ
£
(x1Åx2)
2
¡2x1x2
¤2
¡2x
2
1
x
2
2
;...
B i 4.Cho ph÷ìng tr¼nh:8x
2
¡8xÅm
2
Å1Æ0 (*)
T¼mmº ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»mx1,x2thäa m¢nx
4
1
¡x
4
2
Æx
3
1
¡x
3
2
.
Nhªn x²t.Ta th§y h» thùc · b i ÷a ra câ v´ phùc t¤p v  g¥y khâ kh«n khi ÷a v·x1Åx2v 
x1x2nh÷ng ta câ thº bi¸n êix1,x2thæng qua ph÷ìng tr¼nh (*) º sû döng h» thùc Vi±te.
Líi gi£i.Ta câ¢
0
Æ8¡8m
2
. º ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»m th¼¢
0
Ê0, ¡1ÉmÉ1. Khi â
theo h» thùc Vi±te câ:x1Åx2Æ1;x1x2Æ
¡
m
2
Å1
¢
:8.
V¼x1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (*) n¶n
8
<
:
8x
2
1
¡8x1Æ ¡
¡
m
2
Å1
¢
8x
2
2
¡8x2Æ ¡
¡
m
2
Å1
¢ (I)
Ta câx
4
1
¡x
4
2
Æx
3
1
¡x
3
2
,x
2
1
¡
8x
2
1
¡8x1
¢
¡x
2
2
¡
8x
2
2
¡8x2
¢
Æ0 (1)
Thay (I) v  (1) ta ÷ñc:
¡
x
2
1
¡x
2
2
¢¡
¡m
2
¡1
¢
Æ0,(x1¡x2)(x1Åx2)
¡
¡m
2
¡1
¢
Æ0,x1¡x2Æ0(v¼
x1Åx2Æ1v ¡m
2
¡16Æ0).
Trang 2

3. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
Do âx1Æx2Æ
1
2
m x1x2Æ
m
2
Å1
8
, suy ramÆ §1(thäa m¢n b i to¡n).
B i 5.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
¡2mxÅm
2
¡mÅ1Æ0 (1)
T¼mmº ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2thäa m¢nx
2
1
Å2mx2Æ9.
Líi gi£i.¢
0
È0,m¡1È0,mÈ1th¼ ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2v  theo h»
thùc Vi±te câ:x1Åx2Æ2m;x1x2Æm
2
¡mÅ1.
V¼x1l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) n¶n:x
2
1
¡2mx1Åm
2
¡mÅ1Æ0,x
2
1
Æ2mx1¡m
2
Åm¡1.
K¸t hñp vîi · b i ta câ:
x
2
1
Å2mx2Æ9,2mx1¡m
2
Åm¡1Å2mx2Æ9,2m(x1Åx2)¡m
2
Åm¡10Æ0
,3m
2
Åm¡10Æ0,
2
6
4
mÆ ¡2(lo¤i)
mÆ
5
3
(thäa m¢n).
B i 6.Cho ph÷ìng tr¼nh:x
2
¡2(mÅ1)xÅm
2
Å4Æ0(ml  tham sè). T¼mmº ph÷ìng tr¼nh câ
hai nghi»mx1,x2thäa m¢nx
2
1
Å2(mÅ1)x2É3m
2
Å16.
Líi gi£i.¢
0
Ê0,mÊ
3
2
(*) th¼ ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»mx1,x2khi â:x1Åx2Æ2(mÅ1);
x1x2Æm
2
Å4v x
2
1
Æ2(mÅ1)x1¡m
2
¡4. Theo · b i
x
2
1
Å2(mÅ1)x2É3m
2
Å16,2(mÅ1)(x1Åx2)¡4m
2
¡20É0
,[2(mÅ1)]
2
¡4m
2
¡20É0,8m¡16É0,mÉ2(dox1Åx2Æ2(mÅ1)).
K¸t hñp vîi (*) ta câ:
3
2
ÉmÉ2.
B i 7.Cho ph÷ìng tr¼nh:x
2
¡2(m¡1)xÅ2m¡5Æ0 (1)
T¼mmº ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2thäa m¢n
¡
x
2
1
¡2mx1Å2m¡1
¢¡
x
2
2
¡2mx2Å2m¡1
¢
Ç0 (2)
Líi gi£i.¢
0
Æ(m¡2)
2
Å2È0luæn óng vîi måim, vªy ph÷ìng tr¼nh (1) luæn câ hai nghi»m
ph¥n bi»tx1,x2vîi måim. Khi â:x1Åx2Æ2(m¡1);x1x2Æ2m¡5.
V¼x1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) n¶n
8
<
:
x
2
1
¡2(m¡1)x1Å2m¡5Æ0
x
2
2
¡2(m¡1)x2Å2m¡5Æ0
,
8
<
:
x
2
1
¡2mx1Å2m¡1Æ4¡2x1
x
2
2
¡2mx2Å2m¡1Æ4¡2x2
Tø (2) suy ra:
(4¡2x1)(4¡2x2)Ç0,4x1x2¡8(x1Åx2)Å16Ç0
,4(2m¡5)¡8¢2(m¡1)Å16Ç0,mÈ
3
2
D¤ng 3. Vªn döng ành l½ Vi±te v o b i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc, t¼m GTLN
v  GTNN
B i 8.Cho ba sè thüca,b,cthäa m¢n i·u ki»naÈ0,bcÆ3a
2
,aÅbÅcÆabc. Chùng minh
r¬ngaÊ
Ê
1Å2
p
3
3
.
Líi gi£i.Ta câbcÆ3a
2
,bÅcÆabc¡aÆ3a
3
¡a.
Trang 3

4. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
Theo ành l½ Vi±te £o th¼b,cl  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:x
2
¡
¡
3a
3
¡a
¢
xÅ3a
2
Æ0 (*)
Ph÷ìng tr¼nh (*) câ nghi»m khi¢Æa
2
¡
9a
4
¡6a
2
¡11
¢
Ê0)a
2
Ê
1Å2
p
3
2
, k¸t hñp vîiaÈ0÷ñc
aÊ
Ê
1Å2
p
3
2
.
B i 9.Choa,b,cl  ba sè thüc thäa m¢na6Æ0v 4aÅ9bÅ24cÆ0. T½nh kho£ng c¡ch (GTT)
nhä nh§t cõa hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh2ax
2
Å3bxÅ4cÆ0.
Líi gi£i.Tø4aÅ9bÅ24cÆ0)cÆ ¡
4aÅ9b
24
.
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ¢
0
Æ9b
2
¡32acÆ9b
2
Å32a
µ
4aÅ9b
24
¶
Æ9
µ
bÅ
2a
3
¶
Å
4a
2
3
È0(doa6Æ0) n¶n
ph÷ìng tr¼nh ¢ cho luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2.
Theo ành l½ Vi±te, ta câ:x1Åx2Æ ¡
3b
2a
;x1x2Æ
2c
a
Æ ¡
4aÅ9b
12a
.
Do â kho£ng c¡ch giúa hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :
jx1¡x2jÆ
È
(x1Åx2)
2
¡4x1x2Æ
Ê
µ
3b
2a
¶
2
Å4
µ
4aÅ9b
12a
¶
Æ
Ê
µ
3bÅ2a
2a
¶
2
Å
1
3
.
Suy rajx1¡x2jÊ
p
3
3
. Vªy kho£ng c¡ch giúa hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l 
p
3
3
khi v 
ch¿ khi2aÆ ¡3bÆ ¡24c. Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh6ax
2
¡6ax¡aÆ0,xÆ
3§
p
15
6
.
B i 10.Cho ph÷ìng tr¼nhax
2
ÅbxÅcÆ0(a6Æ0) câ hai nghi»mm,nthäa m¢n0ÉmÉnÉ1.
T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùcPÆ
5a
2
¡6abÅb
2
2a
2
¡2abÅac
.
Líi gi£i.Tø gi£ thi¸t0ÉmÉnÉ1)m
2
Émnv n
2
É1)(mÅn)
2
¡2mnÉmnÅ1)(mÅn)
2
É
3mnÅ1.
Theo ành l½ Vi±te câ:mÅnÆ ¡
b
a
;mnÆ
c
a
. Do â
PÆ
5¡
6b
a
Å
µ
b
a
¶
2
2¡
2b
a
Å
c
a
Æ
5Å6(mÅn)Å(mÅn)
2
2Å2(mÅn)Åmn
É
5Å6(mÅn)Å3mnÅ1
2Å2(mÅn)Åmn
Æ3.
¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi
2
6
6
6
4
mÆnÆ1
8
<
:
mÆ0
nÆ1
hay
2
6
6
6
4
2cÆ ¡bÆ2a
8
<
:
bÆ ¡a
cÆ0
VªymaxPÆ3,
2
6
6
6
4
2cÆ ¡bÆ2a
8
<
:
bÆ ¡a
cÆ0
B i 11.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
Å(m¡1)x¡6Æ0 (1)
T¼mmº ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2m BÆ
¡
x
2
1
¡9
¢¡
x
2
1
¡4
¢
¤t GTLN.
Líi gi£i.Ta th§y (1) luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2vîi måimv¼ câacÆ ¡6Ç0. Theo h»
thùc Vi±te:x1¢x2Æ ¡6,x2Æ
¡6
x1
v x1Åx2Æ1¡m.
BÆ
¡
x
2
1
¡9
¢¡
x
2
2
¡4
¢
Æx
2
1
¢x
2
2
¡
¡
4x
2
1
Å9x
2
2
¢
Å36Æ36¡
Ã
4x
2
1
Å
324
x
2
1
!
Å36
Trang 4

5. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
BÉ36¡2
Ê
4x
2
1
¢
324
x
2
1
Å36Æ0.
¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi4x
2
1
Æ
324
x
2
1
,x
4
1
Æ81,x1Æ §3.
* Khix1Æ3th¼x2Æ ¡2suy ramÆ0.
* Khix1Æ ¡3th¼x2Æ2suy ramÆ2.
VªyminBÆ0khimÆ0ho°cmÆ2.
Nhªn x²t.Vîi d¤ng to¡n n y chóng ta k¸t hñp BT cê iºn hay dòng (BT Cauchy, BT
Bunhiacovski, BT tam gi¡c, . . . ) ho°c c¡c t½nh ch§t cõa BT còng vîi vi»c vªn döng ành l½
Vi±te nhu¦n nhuy¹n s³ gióp ta t¼m ra ÷ñc líi gi£i b i to¡n ng­n gån, ëc ¡o.
D¤ng 4. Vªn döng ành l½ Vi±te v o mët sè b i to¡n sè håc
B i 12.Cho ph÷ìng tr¼nh2x
2
ÅmxÅ2nÅ8Æ0(xl  ©n sè;m,nl  c¡c sè nguy¶n). Gi£ sû ph÷ìng
tr¼nh câ c¡c nghi»m ·u l  sè nguy¶n. Chùng minh r¬ngm
2
Ån
2
l  hñp sè.
(· thi TS v o lîp 10 THPT chuy¶n TP. Hç Ch½ Minh, n«m håc 2010 - 2011).
Líi gi£i.Gåix1,x22Zl  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
p döng ành l½ Vi±te v o ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, ta ÷ñcx1Åx2Æ ¡
m
2
;x1x2ÆnÅ4. Khi â
m
2
Ån
2
Æ(2x1Å2x2)
2
Å(x1x2¡4)
2
Æ4x
2
1
Å4x
2
2
Åx
2
1
x
2
2
Å16Æ
¡
x
2
1
Å4
¢¡
x
2
2
Å4
¢
,
l  hñp sè v¼x
2
1
Å4v x
2
2
Å4l  c¡c sè nguy¶n lîn hìn1.
B i 13.Gåix1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
¡2(m¡1)xÅ2m¡6Æ0. T¼mmnguy¶n
d÷ìng ºAÆ
µ
x1
x2
¶
2
Å
µ
x2
x1
¶
2
câ gi¡ trà nguy¶n.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ¢
0
Æ(m¡1)
2
¡(2m¡6)Æ(m¡2)
2
Å3È0,8m. Ta câ
AÆ
x
4
1
Åx
4
2
(x1x2)
2
Æ
£
(x1Åx2)
2
¡2x1x2
¤
2
¡2(x1x2)
2
(x1x2)
2
.
p döng ành l½ Vi±te v o ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, ta ÷ñc:x1Åx2Æ2(m¡1);x1x2Æ2m¡6 (*)
Thay (*) v oA, sau â khai triºn v  rót gån l¤i ta ÷ñc
AÆ
¡
4m
2
¡12mÅ16
¢
2
(2m¡6)
2
¡2Æ
µ
2mÅ
16
2m¡6
¶
2
¡2.
ºAnguy¶n v m2Z
Å
th¼
8
<
:
16
.
.
.(2m¡6)
m2Z
Å
,
8
<
:
2m¡62{§1;§2;§4;§8;§16}
m2Z
Å
Suy ram2{1; 2; 4; 5; 7; 11}.
D¤ng 5. Vªn döng ành l½ Vi±te v o mët sè b i to¡n li¶n quan h m sè yÆax
2
(a6Æ0)
B i 14.Cho parabol(P):yÆx
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ2mx¡mÅ1(m6Æ0). T¼mmsao cho
÷íng th¯ng(d)c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,Bcâ ho nh ëx1,x2thäa m¢n
jx1¡x2jÆ2.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(P)v (d)l 
x
2
Æ2mx¡mÅ1,x
2
¡2mxÅm¡1Æ0. (*)
Câ¢
0
Æ
µ
m¡
1
2
¶
2
Å
3
4
È0,8m.
Vªy ph÷ìng tr¼nh (*) luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2hay(d)luæn c­t(P)t¤i hai iºm
Trang 5

6. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
ph¥n bi»tA,B.
Theo h» thùc Vi±te, ta câ
8
<
:
x1Åx2Æ2m
x1x2Æm¡1.
Do âjx1¡x2jÆ2,(x1Åx2)
2
¡4x1x2Æ4,4m
2
¡4(m¡1)Æ4,mÆ1(dom6Æ0).
B i 15.Cho parabol(P):yÆax
2
(aÈ0)v  ÷íng th¯ng(d):2x¡y¡a
2
Æ0.
a) T¼maº ÷íng th¯ng(d)c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,B.
b) GåixA,xBl  ho nh ë cõa hai iºmA,B. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc
TÆ
4
xAÅxB
Å
1
xA¢xB
.
Líi gi£i.a) Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(P)v (d)l 
ax
2
Æ2x¡a
2
,ax
2
¡2xÅa
2
Æ0 (1)
i·u ki»n c¦n v  õ º(d)v (P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,Bl  ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m
ph¥n bi»txA,xB,¢
0
Æ1¡a
3
È0,0ÇaÇ1(doaÈ0).
b) p döng h» thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ
8
<
:
xAÅxBÆ
2
a
xA¢xBÆa.
Thay v oTthu ÷ñcTÆ
4
xAÅxB
Å
1
xA¢xB
Æ2aÅ
1
a
.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy cho hai sè d÷ìng2av 
1
a
, ta câTÊ2
É
2a¢
1
a
Æ2
p
2.
¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi2aÆ
1
a
,aÆ
1
p
2
.
Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõaTb¬ng2
p
2¤t ÷ñc khiaÆ
1
p
2
.
B i 16.Vi¸t ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng th¯ng i qua iºmI(0; 1)v  c­t parabol(P):yÆx
2
t¤i
hai iºm ph¥n bi»tM,Nsao cho ë d i o¤n th¯ngMNÆ2
p
10.
Líi gi£i.V¼ ÷íng th¯ngxÆ0i qua iºmI(0; 1)ti¸p xóc vîi parabol(P)t¤i iºmI(0; 0)n¶n
ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng th¯ng thäa m¢n · b i l (d):yÆaxÅ1.
Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(d)v (P)l 
x
2
ÆaxÅ1,x
2
¡ax¡1Æ0 (*)
÷íng th¯ng(d)c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»t khi v  ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»m
ph¥n bi»tx1,x2,¢Æa
2
Å4È0(luæn óng).
Khi â tåa ë c¡c giao iºm l M
¡
x1;x
2
1
¢
,N
¡
x2;x
2
2
¢
. Ta câ
MNÆ2
p
10,
q
(x2¡x1)
2
Å
¡
x
2
2
¡x
2
1
¢
2
Æ2
p
10
,
£
(x1Åx2)
2
¡4x1x2
¤£
1Å(x1Åx2)
2
¤
Æ40 (1)
p döng h» thùc Vi±te cho ph÷ìng t¼nh (*), ta ÷ñc
8
<
:
x1Åx2Æa
x1x2Æ ¡1.
Thay v o (1) thu ÷ñc
¡
a
2
Å4
¢¡
1Åa
2
¢
Æ40,a
4
Å5a
2
¡36Æ0,aÆ §2.
Vªy ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng th¯ng c¦n lªp l yÆ2xÅ1v yÆ ¡2xÅ1.
B i 17.Tr¶n m°t ph¯ng tåa ëOxycho parabol(P):yÆ ¡
1
2
x
2
, iºmI(0;¡2)v  iºmM(m; 0)
Trang 6

7. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
(vîiml  tham sè,m6Æ0). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng(d)i qua hai iºmM,I. Chùng
minh r¬ng ÷íng th¯ng(d)luæn c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»t(P)t¤i hai iºm ph¥n
bi»tA,Bvîi ë d i o¤n th¯ngABlîn hìn4.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng(d)i qua hai iºmI(0;¡2)v M(m; 0)l yÆ
2
m
x¡2.
Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(d)v (P)l 
¡
1
2
x
2
Æ
2
m
x¡2,mx
2
Å4x¡4mÆ0 (*)
Câ¢
0
Æ4Å4m
2
È0,8m. Vªy ph÷ìng tr¼nh (*) luæn câ hai nghi»mx1,x2ph¥n bi»t, chùng tä(d)
luæn c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,B.
Khi â, tåa ë c¡c giao iºmA,Bl A
Ã
x1;¡
x
2
1
2
!
;B
Ã
x2;¡
x
2
2
2
!
. Tø â
AB
2
Æ(x2¡x1)
2
Å
(x1¡x2)
2
(x1Åx2)
2
4
Æ
£
(x1Åx2)
2
¡4x1x2
¤
·
1Å
(x1Åx2)
2
4
¸
. (1)
p döng h» thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh (*), ta câ
8
<
:
x1Åx2Æ ¡
4
m
x1¢x2Æ ¡4.
Thay v o (1) thu ÷ñc
AB
2
Æ
·µ
¡
4
m
¶
2
¡4¢(¡4)
¸µ
1Å
16
m
2
¶
Æ
µ
16
m
2
Å16
¶µ
1Å
4
m
2
¶
È16,8m.
Suy raABÈ4(pcm).
B i 18.Trong m°t ph¯ng tåa ëOxycho parabol(P):yÆ ¡
1
2
x
2
. Gåi(d)l  ÷íng th¯ng i qua
iºmI(0;¡2)v  câ h» sè gâck.
a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng(d). Chùng minh ÷íng th¯ng(d)luæn c­t parabol(P)t¤i
hai iºm ph¥n bi»tA,Bkhikthay êi.
b) GåiH,Ktheo thù tü l  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõaAv Bl¶n tröc ho nh. Chùng minh r¬ng
tam gi¡cIHKvuæng gâc t¤iI.
Líi gi£i.a) Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng(d)câ h» sè gâckv  i qua iºmI(0;¡2)v yÆkx¡2.
Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(d)v (P)l 
¡
1
2
x
2
Ækx¡2,x
2
Å2kx¡4Æ0 (*)
Câ¢
0
Æk
2
Å4È0,8k. Vªy ph÷ìng tr¼nh (*) luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2. Chùng tä(d)
luæn c­t(P)t¤i hai i ph¥n bi»tA,B.
b) Theo h» thùc Vi±te, ta câx1x2Æ ¡4. Gi£ sû tåa ë c¡c iºmA,Bl A(x1;y1),B(x2;y2).
V¼H,Ktheo thù tü l  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõaA,Bl¶n tröc ho nh n¶n tåa ë c¡c iºmH,K
l H(x1; 0),K(x2; 0).
Do âIH
2
Æx
2
1
Å4;IK
2
Æx
2
2
Å4;HK
2
Æ(x1¡x2)
2
. Suy ra
IH
2
ÅIK
2
Æx
2
1
Åx
2
2
Å8Æx
2
1
Åx
2
2
¡2x1x2Æ(x1¡x2)
2
ÆHK
2
.
Chùng tä tam gi¡cHIKvuæng t¤iI(theo ành l½ Pythagore £o).
B i 19.Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy, cho parabol(P):yÆ ¡x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆmx¡m¡2
Trang 7

8. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
(ml  tham sè).
a) Chùng minh r¬ng khimthay êi(d)luæn c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»t câ ho nh ëx1,x2.
b) T¼mmºjx1¡x2jÆ
p
20.
Líi gi£i.a) X²t ph÷ìng tr¼nh
¡x
2
Æmx¡m¡2,x
2
Åmx¡m¡2Æ0 (1)
¢Æm
2
Å4mÅ8Æ(mÅ2)
2
Å4È0vîi måim
Vªy ph÷ìng tr¼nh (1) luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»t. V¼ vªy, khimthay êi,(d)luæn c­t(P)t¤i
hai iºm ph¥n bi»t câ ho nh ëx1,x2l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1).
b) Theo h» thùc Vi±te, ta câ
8
<
:
x1Åx2Æ ¡m
x1x2Æ ¡m¡2.
Do âjx1¡x2jÆ
p
20,(x1Åx2)
2
¡4x1x2Æ20,m
2
Å4m¡12Æ0,
2
6
4
m1Æ ¡6
m2Æ2
(tm).
B i 20.Trong m°t ph¯ng tåa ëOxy, cho ÷íng th¯ng(d):yÆmxÅ1v  parabol(P):yÆx
2
.
a) V³ parabol(P)v  ÷íng th¯ng(d)khimÆ1.
b) Chùng minh r¬ng vîi måi gi¡ trà cõa tham sèm, ÷íng th¯ng(d)luæn i qua mët iºm cè
ành v  luæn c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tAv B.
c) T¼m gi¡ trà cõa tham sèmº di»n t½ch tam gi¡cOABb¬ng2(ìn và di»n t½ch).
Líi gi£i.a) Tü l m.
b) ÷íng th¯ngyÆmxÅ1c­t tröc tung t¤i iºm câ tung ë b¬ng1n¶n luæn i qua iºm cè
ànhC(0; 1)vîi måim.
Ho nh ë giao iºm cõa ÷íng th¯ngyÆmxÅ1v  parabolyÆx
2
l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
x
2
ÆmxÅ1,x
2
¡mx¡1Æ0 (1)
Ta câ¢Æm
2
Å4È0n¶n ph÷ìng tr¼nh (1) luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»t, tùc l  ÷íng th¯ng
luæn c­t parabol t¤i hai iºm ph¥n bi»tAv B.
y
xO
1
C
A
B
H
K
x1 x2
c) Gåi ho nh ë cõaAv Btheo thù tü l x1v x2, gi£ sûx1Çx2th¼x1Ç0Çx2(v¼x1¢x2Æ ¡1).
Dox1v x2l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) n¶nx1Æ
m¡
p
m
2
Å4
2
;x2Æ
mÅ
p
m
2
Å4
2
.
K´AHv BKvuæng gâc vîiOy, ta câAHÆ jx1j Æ ¡x1,BKÆx2.
SAOBÆSBOCÅSAOCÆ
1
2
(OC¢BKÅOC¢AH)
Trang 8

9. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
Æ
1
2
OC¢(BKÅAH)Æ
1
2
¢1¢(x2¡x1)
Æ
1
2
¢
mÅ
p
m
2
Å4¡mÅ
p
m
2
Å4
2
Æ
1
2
¢
p
m
2
Å4.
Ta câSAOBÆ2,
p
m
2
Å4
2
Æ2,
p
m
2
Å4Æ4,m
2
Å4Æ16,mÆ §2
p
3.
C¡ch kh¡c
c) DoacÇ0n¶n ph÷ìng tr¼nh (1) luæn câ hai nghi»m tr¡i d§ux1Ç0Çx2.
Gi£ sûA(x1;y1),B(x2;y2). DoA,Bthuëc(P)n¶ny1Æx
2
1
;y2Æx
2
2
.
Ta câOAÆ
È
x
2
1
Åy
2
1
Æ
È
x
2
1
¡
1Åx
2
1
¢
;OBÆ
È
x
2
2
Åy
2
2
Æ
È
x
2
2
¡
1Åx
2
2
¢
.
C¡c ÷íng th¯ngOA,OBl¦n l÷ñt câ h» sè gâc l :k1Æ
y1
x1
Æx1,k2Æ
y2
x2
Æx2.
Dok1¢k2Æx1¢x2Æ ¡1n¶nOAvuæng gâc vîiOB. Suy ra
SO ABÆ
1
2
¢OA¢OBÆ
1
2
È
x
2
1
x
2
2
¡
1Åx
2
1
¢¡
1Åx
2
2
¢
Æ
1
2
È
2Åx
2
1
Åx
2
2
Æ
1
2
p
m
2
Å4.
Do âSO ABÆ2,mÆ §2
p
3.
B i 21.Cho parabol(P):yÆ2x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ2axÅ1(a6Æ0). T¼ma2Nº(d)c­t(P)
t¤i hai iºm ph¥n bi»tM,Nv  ë d i o¤n th¯ngMNÆ
p
15.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(P)v (d)l :
2x
2
Æ2axÅ1,2x
2
¡2ax¡1Æ0 (*)
Ta th§y¢
0
Æa
2
Å2È0,8an¶n ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2hay(d)luæn c­t
(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tM,N.
GåiM
¡
x1; 2x
2
1
¢
,N
¡
x2; 2x
2
2
¢
, ta câ
MNÆ
p
15,MN
2
Æ15,(x2¡x1)
2
Å4
¡
x
2
2
¡x
2
1
¢
Æ15,(x2¡x1)
2
£
1Å4(x2Åx1)
2
¤
Æ15
,
£
(x2Åx1)
2
¡4x1x2
¤£
1Å4(x2Åx1)
2
¤
Æ15 (**)
p döng ành l½ Vi±te v o ph÷ìng tr¼nh (*) ta câ:x1Åx2Æa;x1x2Æ ¡
1
2
.
Thay v o (**), sau khi khai triºn v  rót gån l¤i ta thu ÷ñc4a
4
Å9a
2
¡13Æ0,a
2
Æ1ho°c
a
2
Æ ¡
13
4
Ç0(lo¤i),aÆ §1.
V¼a2Nn¶naÆ1l  gi¡ trà c¦n t¼m.
B i 22.Cho parabol(P):yÆ2ax
2
(a6Æ0) v  ÷íng th¯ng(d):4x¡y¡2a
2
Æ0. T¼maº(d)c­t
(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tM,Ncâ ho nh ëxM,xNv 
8
xMÅxN
Å
1
2xMxN
câ gi¡ trà nhä nh§t.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(P)v (d)l :
2ax
2
Æ4x¡2a
2
,ax
2
¡2xÅa
2
Æ0 (*)
(d)c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tM,N,ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»m ph¥n bi»txM,xN,
¢Æ1¡a
3
È0,0ÇaÇ1(doaÈ1).
p döng ành l½ Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh (*) ta câ:xMÅxNÆ
2
a
;xM¢xNÆa (**)
Thay (**) v oTÆ
8
xMÅxN
Å
1
2xMxN
thu ÷ñcTÆ4aÅ
1
2a
.
Trang 9

10. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
p döng BT Cauchy cho hai sè4av 
1
2a
ta câTÊ2
É
4a¢
1
2a
Æ2
p
2.
Ta th§yminTÆ2
p
2,4aÆ
1
2a
v 0ÇaÇ1,aÆ
1
2
p
2
.
Vªy gi¡ trà c¦n t¼maÆ
1
2
p
2
.
B i 23.Cho parabol(P):yÆ
1
2
x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ2x¡mÅ1. T¼mmº(d)c­t(P)t¤i
hai iºm ph¥n bi»t câ tåa ë(x1;y1)v (x2;y2)sao chox1¢x2(y1Åy2)Æ ¡48.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(d)v (P)l :
1
2
x
2
¡2xÅm¡1Æ0 (1)
º(d)c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»t th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t,¢
0
È0,
mÇ3. Khi âx1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1), ta câ:
8
<
:
x1Åx2Æ4
x1¢x2Æ2(m¡1)
v 
8
<
:
y1Æ2x1¡mÅ1
y2Æ2x2¡mÅ1
Ta câ
x1x2(y1Åy2)Æ ¡48,x1x2(2x1¡mÅ1Å2x2¡mÅ1)Æ ¡48
,x1x2[2(x1Åx2)¡2mÅ2]Æ ¡48,2(m¡1)[8¡2mÅ2]Æ ¡48
,m
2
¡6m¡7Æ0,
2
6
4
mÆ ¡1(thäa m¢n)
mÆ7(lo¤i)
B i 24.Cho parabol(P):yÆ ¡x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ(3¡m)xÅ2¡2m. T¼mmº(d)c­t(P)
t¤i hai iºm ph¥n bi»tA(xA;yA)v B(xB;yB)sao chojyA¡yBjÆ2.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(d)v (P)l :x
2
Å(3¡m)xÅ2¡2mÆ0 (1)
Ph÷ìng tr¼nh (1) câ¢
0
È0,m6Æ ¡1. Ta th§yxA,xBl  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1), l¤i câ
8
<
:
xAÅxBÆm¡3
xA¢xBÆ2¡2m
v 
8
<
:
yAÆ(3¡m)xAÅ2¡2m
yBÆ(3¡m)xBÅ2¡2m
Do â
jyA¡yBjÆ2,j(3¡m)(xA¡xB)jÆ2,(3¡m)
2
£
(xAÅxB)
2
¡4xA¢xB
¤
Æ4
,(m¡3)
2
(mÅ1)
2
Æ4.
T¼m ÷ñcmÆ1§
p
6;mÆ1§
p
2.
B i 25.Cho parabol(P):yÆx
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ(k¡1)xÅ4. T¼mkº(d)c­t(P)t¤i hai
iºm ph¥n bi»t. Gåi tåa ë giao iºm l (x1;y1)v (x2;y2). T¼mkºy1Åy2Æy1¢y2.
Líi gi£i.Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa(d)v (P)l :x
2
¡(k¡1)x¡4Æ0(kl  h¬ng sè).
Ph÷ìng tr¼nh n y câa¢cÆ ¡4Ç0n¶n luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2.
Khi â
8
<
:
x1Åx2Æk¡1
x1¢x2Æ ¡4
v 
8
<
:
y1Æx
2
1
y2Æx
2
2
Do â
y1Åy2Æy1¢y2,x
2
1
Åx
2
2
Æx
2
1
¢x
2
2
,(x1Åx2)
2
¡2x1x2Æx
2
1
¢x
2
2
Trang 10

11. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
,(k¡1)
2
Å8Æ16,kÆ1§2
p
2
D¤ng 6. Vªn döng ành l½ Vi±te v o b i to¡n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh hai ©n
B i 26.Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
54x
2
¡78xyÅ24y
2
Æ0
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ3
Líi gi£i.K:3x¡y6Æ0, h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi
8
>
<
>
:
(3xÅy)
2
¡9(3xÅy)(3x¡y)Å14(3x¡y)
2
Æ0
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ3
,
8
>
>
<
>
>
:
µ
3xÅy
3x¡y
¶
2
¡9
µ
3xÅy
3x¡y
¶
Å14Æ0
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ0
,
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
8
>
>
<
>
>
:
3xÅy
3x¡y
Æ7
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ3
8
>
>
<
>
>
:
3xÅy
3x¡y
Æ2
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ3
,
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
8
>
>
<
>
>
:
(3xÅy)¢
1
3x¡y
Æ7
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ3
(1)
8
>
>
<
>
>
:
(3xÅy)¢
1
3x¡y
Æ2
3xÅyÅ
1
3x¡y
Æ3
(2)
H» ph÷ìng tr¼nh (1) væ nghi»m v¼
µ
3xÅyÅ
1
3x¡y
¶
2
¡4(3xÅy)¢
1
3x¡y
Æ9¡28Ç0.
Tø h» ph÷ìng tr¼nh (2) v  theo ành l½ Vi±te £o suy ra3xÅyv 
1
3x¡y
l  c¡c nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh
X
2
¡3XÅ2Æ0,XÆ1ho°cXÆ2.Tø â
(2),
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
8
>
<
>
:
3xÅyÆ1
1
3x¡y
Æ2
8
>
<
>
:
3xÅyÆ2
1
3x¡y
Æ1
,
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
8
>
<
>
:
xÆ
1
4
yÆ
1
48
>
<
>
:
xÆ
1
2
yÆ
1
2
(thäa m¢n K).
Vªy h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m(x;y)l 
µ
1
4
;
1
4
¶
,
µ
1
2
;
1
2
¶
.
III. B€I TŠP TÜ LUY›N
B i 1.Khæng gi£i ph÷ìng tr¼nh, gåix1,x2(x1Èx2) l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
¡
p
83
4
xÅ
19
16
Æ0. T½nhx
3
1
¡x
3
2
.
B i 2.Gåix1,x2,x3,x4l  bèn nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh(xÅ2)(xÅ4)(xÅ6)(xÅ8)Æ1. T½nh gi¡
trà cõa biºu thùcx1x2x3x4.
B i 3.Cho ph÷ìng tr¼nh(x¡1)(x¡2)(x¡4)(x¡8)Æmx
2
, gi£ sûmnhªn c¡c gi¡ trà sao cho
ph÷ìng tr¼nh câ bèn nghi»mx1,x2,x3,x4·u kh¡c0. Chùng minh r¬ngTÆ
1
x1
Å
1
x2
Å
1
x3
Å
1
x4
khæng phö thuëcm.
B i 4.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
¡2(m¡1)xÅ2mÅ1Æ0. T¼mmº ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»mx1,
x2thäa m¢n2x2¡x1Æ8.
B i 5.Cho ph÷ìng tr¼nh2x
2
¡(3m¡2)x¡2Æ0. T¼mmº ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n
bi»tx1,x2v 
3
2
(x1¡x2)
2
Å2
µ
x1¡x2
2
Å
1
x1
¡
1
x2
¶
2
câ gi¡ trà nhä nh§t.
Trang 11

12. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
B i 6.Cho hai ph÷ìng tr¼nhx
2
Å2axÅ1Æ0v x
2
Å2bxÅ31Æ0câ nghi»m chungjajÅjbjnhä
nh§t. T¼mav b.
B i 7.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
¡4mx¡2mÆ0(ml  tham sè) câ hai nghi»mx1,x2. T¼m GTNN
cõa biºu thùcPÆ
m
2
x
2
2
Å4mx1Å6m
Å
x
2
1
Å4mx2Å6m
m
2
.
B i 8.Gi£ sûa,b,cl  c¡c sè thüc thäa m¢nja(b¡c)jÈ
¯
¯
b
2
¡ac
¯
¯
Å
¯
¯
c
2
¡ab
¯
¯
v  ph÷ìng tr¼nh
ax
2
ÅbxÅcÆ0câ nghi»m thüc. Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ nghi»m thüc nhä hìn
p
3¡1.
B i 9.Gi£ sûx1,x2l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
Å2kxÅ6Æ0. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa
ksao cho câ b§t ¯ng thùc
µ
x1
x2
¶
2
Å
µ
x2
x1
¶
2
Ê5.
B i 10.Cho c¡c sè thücx,y,zthäa m¢n i·u ki»nxÅyÅzÆ5v xyÅyzÅzxÆ8. Chùng minh
r¬ng1ÉxÉ
7
3
,1ÉyÉ
7
3
,1ÉzÉ
7
3
.
B i 11.T¼m t§t c£a2Nº ph÷ìng tr¼nhx
2
¡a
2
xÅaÅ1Æ0câ nghi»m nguy¶n.
B i 12.T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà thüc cõaaº ph÷ìng tr¼nh2x
2
¡
µ
4aÅ
11
2
¶
xÅ4a
2
Å7Æ0câ nghi»m
nguy¶n.
B i 13.T¼m sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡
¡
4Å
p
17
¢7
.
B i 14.Cho parabol(P):yÆ3x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ2x¡mÅ1(m6Æ0). T¼m c¡c gi¡ trà cõa
msao cho ÷íng th¯ng(d)c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,Bcâ ho nh ëx1,x2thäa
m¢njx1¡x2jÆ5.
B i 15.Cho parabol(P):yÆx
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆmxÅ4(ml  tham sè).
a) Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng(d)luæn c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,Bvîi måi gi¡ trà
cõam.
b) T¼m c¡c gi¡ trà cõamº o¤n th¯ngABcâ ë d i ng­n nh§t.
B i 16.Vi¸t ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng th¯ng i qua iºmI(0;¡4)v  c­t parabol(P):yÆ
1
4
x
2
t¤i hai iºm ph¥n bi»tM,Nsao cho ë d i o¤n th¯ngMNÆ3
p
5.
B i 17.Cho parabol(P):yÆx
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ2xÅm(ml  tham sè).
a) T¼m c¡c gi¡ trà cõamº ÷íng th¯ng(d)c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,B.
b) T¼m tåa ë trung iºmIcõa o¤n th¯ngABtheo tham sèm.
B i 18.Trong m°t ph¯ng tåa ëOxycho parabol(P):yÆx
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆbxÅbÅ2.
a) T¼mbº ÷íng th¯ng(d)i qua iºmB(3; 0).
b) T¼mbº ÷íng th¯ng c­t parabol(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tE(x1;y1),F(x2;y2)thäa m¢n
h» thùc:x1y2Åx2y1Å15Æ0.
B i 19.Cho parabol(P):yÆ
1
4
x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆmxÅ1.
a) Chùng minh r¬ng vîi måi gi¡ trà cõamth¼(d)c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»t.
b) GåiA,Bl  giao iºm cõa(d)v (P). T½nh di»n t½ch cõa tam gi¡cOABtheom(Ol  gèc tåa
ë).
B i 20.Cho parabol(P):yÆx
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ ¡mxÅmÅ2(m6Æ0). T¼mmsao cho(d)
c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,Bcâ ho nh ëxA,xBthäa m¢njxA¡xBjÆ
p
29.
B i 21.Cho parabol(P):yÆ
1
2
x
2
v  ÷íng th¯ng(d):yÆ ¡
3
m
xÅ3(m6Æ0). Chùng minh r¬ng
(d)c­t(P)t¤i hai iºm ph¥n bi»tA,Bcâ ë d i o¤n th¯ngABlîn hìn2
p
6.
Trang 12

13. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
B i 22.Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
<
:
¡
x
2
¡2x
¢
(3xÅ4y)Æ6
x
2
ÅxÅ4yÆ5
B i 23.Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
<
:
x¡4y¡4Æ0
x
2
Åy
2
¡3x¡3y¡22ÅmÆ0
Trong tr÷íng hñp h» câ nghi»m(x1;y1)v (x2;y2)h¢y t¼mmº
p
(x1¡x2)
2
Å(y1¡y2)
2
Æ7.
B i 24.Cho ph÷ìng tr¼nh2x
2
Å(m¡1)x¡m¡1Æ0(ml  tham sè). T¼mmº ph÷ìng tr¼nh câ
hai nghi»m l  sè o cõa mët tam gi¡c vuæng câ ë d i ÷íng cao k´ tø ¿nh gâc vuæng l 
4
5
(ìn và ë d i).
H÷îng d¨n.B£n ch§t cõa b i to¡n gçm 2 b÷îc:
B÷îc 1.Ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»mx1,x2d÷ìng,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
¢Ê0
x1Åx2È0
x1¢x2È0
B÷îc 2.Hai nghi»mx1,x2l  sè o 2 c¤nh cõa mët tam gi¡c vuæng câ ë d i ÷íng cao k´ tø
¿nh gâc vuæng l 
4
5
(ìn và ë d i) th¼ thäa m¢n:
1
x
2
1
Å
1
x
2
2
Æ
1
h
2
.
B i 25.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
¡3mx¡mÆ0(ml  tham sè kh¡c0) câ hai nghi»m ph¥n bi»t
x1,x2. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùAÆ
m
2
x
2
2
Å3mx1Å3m
Å
x
2
1
Å3mx2Å3m
m
2
.
H÷îng d¨n.Ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m ph¥n bi»t khi9m
2
Å4mÈ0,mÈ0ho°cmÇ ¡
4
9
(*)
Theo ành l½ Vi±te, ta câx1Åx2Æ3mv x1x2Æ ¡m, khi â
m
2
x
2
2
Å3mx1Å3m
Æ
m
2
x
2
2
Å(x1Åx2)x1¡3x1x2
Æ
m
2
x
2
1
Åx
2
2
¡2x1x2
Æ
m
2
(x1¡x2)
2
È0.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy cho hai sè d÷ìng:AÆ
m
2
(x1¡x2)
2
Å
(x1¡x2)
2
m
2
Ê2, do â
minAÆ2,
m
2
(x1¡x2)
2
Æ
(x1¡x2)
2
m
2
,m
4
Æ(x1¡x2)
4
,m
2
Æ(x1¡x2)
2
,x
2
1
x
2
2
Æ(x1¡x2)
2
,x
2
1
x
2
2
Æ(x1Åx2)
2
¡4x1x2,x1x2(x1x2Å4)Æ9m
2
, ¡m(¡mÅ4)Æ9m
2
,8m
2
Å4mÆ0,
2
6
4
mÆ0(lo¤i)
mÆ ¡
1
2
.
Vªy vîimÆ ¡
1
2
th¼AÆ2.
B i 26.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
¡6x¡mÆ0(vîiml  tham sè). T¼mmº ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ
hai nghi»mx1,x2thäa m¢n:x
2
1
¡x
2
2
Æ12.
H÷îng d¨n.¢Æ36Å4mÈ0,mÈ ¡9.
* p döng ành l½ Vi±te, ta câx1Åx2Æ6;x1x2Æ ¡m.
* Ta câx
2
1
¡x
2
2
Æ(x1Åx2)(x1¡x2)Æ12)x1¡x2Æ2. Suy rax1Æ4,x2Æ2.
Tø â suy ramÆ ¡4¢2Æ ¡8(thäa m¢n i·u ki»n).
Vªy vîimÆ ¡8th¼ ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»mx1v x2thäa m¢nx
2
1
¡x
2
2
Æ12.
B i 27.T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõamsao cho ph÷ìng tr¼nhx
4
¡4x
3
Å8xÅmÆ0câ óng 4 nghi»m
ph¥n bi»t.
Trang 13

14. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
H÷îng d¨n.C¡ch 1.Ta câx
4
¡4x
3
Å8xÅmÆ0 (1)
,(x¡1)
4
¡6(x¡1)
2
ÅmÅ5Æ0.
°tyÆ(x¡1)
2
,yÊ0ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng:y
2
¡6yÅmÅ5Æ0 (2)
Ph÷ìng tr¼nh (1) câ 4 nghi»m ph¥n bi»t khi v  ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (2) câ 2 nghi»m d÷ìng
ph¥n bi»t
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
¢
0
È0
SÈ0
PÈ0
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
9¡(mÅ5)È0
6È0
mÅ5È0
,
8
<
:
4¡mÈ0
mÈ ¡5
, ¡5ÇmÇ4.
C¡ch 2.Ta câx
4
¡4x
3
Å8xÅmÆ0 (1)
,
¡
x
2
¡2x
¢
2
¡4
¡
x
2
¡2x
¢
ÅmÆ0.
°tyÆx
2
¡2xph÷ìng tr¼nh câ d¤ng:y
2
¡4yÅmÆ0 (3)
Ph÷ìng tr¼nh (1) câ 4 nghi»m ph¥n bi»t khi v  ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (3) câ hai nghi»m ph¥n
bi»t lîn hìn¡1.
8
>
>
>
<
>
>
>
:
¢
0
È0
(x1Å1)(x2Å1)È0
x1Åx2
2
È ¡1
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
4¡mÈ0
x1x2Åx1Åx2Å1È0
x1Åx2È ¡2
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
mÇ4
4ÅmÅ1È0
4È ¡2
, ¡5ÇmÇ4.
B i 28.Chùng minh r¬ngav bl  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
ÅpxÅ1Æ0(1) cáncv d
l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
ÅqxÅ1Æ0(2) th¼ ta câ h» thùc:(a¡c)(b¡c)(aÅd)(bÅd)Æ
q
2
¡p
2
.
H÷îng d¨n.Theo h» thùc Vi±te, ta câ:aÅbÆ ¡p;cÅdÆ ¡qv abÆcdÆ1. X²t
(a¡c)(b¡c)(aÅd)(bÅd)Æ
¡
ab¡ac¡bcÅc
2
¢¡
abÅadÅbdÅd
2
¢
Æ
¡
1ÅpcÅc
2
¢¡
1¡pdÅd
2
¢
Æ1¡pdÅd
2
Åpc¡p
2
cdÅpcd
2
Åc
2
¡pc
2
dÅc
2
d
2
Æ1¡pdÅd
2
Åpc¡p
2
ÅpdÅc
2
¡pcÅ1
Æc
2
Å2Åd
2
¡p
2
Æ(cÅd)
2
¡p
2
Æq
2
¡p
2
.
Suy ra(a¡c)(b¡c)(aÅd)(bÅd)Æq
2
¡p
2
(pcm).
Nhªn x²t.N¸u chånpv ql  hai sè nguy¶n sao choq
2
¡p
2
l  sè ch½nh ph÷ìng th¼ ta câ k¸t
qu£:(a¡c)(b¡c)(aÅd)(bÅd)l  sè ch½nh ph÷ìng.
Ch¯ng h¤n, cho sè nguy¶nm, chùng minh r¬ng n¸uav bl  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
x
2
Å15mxÅ1Æ0(1) cáncv dl  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
Å17mxÅ1Æ0(2) th¼ ta câ
(a¡c)(b¡c)(aÅd)(bÅd)l  sè ch½nh ph÷ìng.
B i 29.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
ÅpxÅqÆ0(1). H¢y t¼m c¡c gi¡ trà nguy¶n cõapv qsao cho
ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m nguy¶n ph¥n bi»t v  nghi»m n y g§p æi nghi»m kia.
H÷îng d¨n.Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m nguy¶n ph¥n bi»t v x2Æ4x1, ta câ
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
p
2
¡4qÈ0
x1Åx2Æ5x1Æ ¡p
x1x2Æ4x
2
2
Æq
p;q2Z
)
8
>
<
>
:
x1Æ ¡
p
5
4p
2
25
Æq.
Trang 14

15. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
Suy rap
2
.
.
.25)p
2
Æ25k
2
(k2Z),pÆ §5k.
Do âqÆ
4¢25k
2
25
Æ4k
2
.
Vªy(p;q)2
©¡
5k; 4k
2
¢
;
¡
¡5k; 4k
2
¢ª
vîik2Zth¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m nguy¶n ph¥n
bi»t v  mët nghi»m g§p 4 l¦n nghi»m kia.
B i 30.Gåix1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc haiax
2
ÅbxÅcÆ0. °tSnÆx
n
1
Åx
n
2
vîi
nnguy¶n d÷ìng.
a) Chùng minh r¬ng:aSnÅ2ÅbSnÅ1ÅcSnÆ0;
b) Khæng khai triºn, khæng dòng m¡y t½nh, h¢y t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
AÆ
1
¡
1Å
p
3
¢5
Å
1
¡
1¡
p
3
¢5
.
H÷îng d¨n.a)x1l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n¶nax
2
1
Åbx1ÅcÆ0;x2l  nghi»m cõa ph÷ìng
tr¼nh n¶nax
2
2
Åbx2ÅcÆ0.
Suy ra:ax
nÅ2
1
Åbx
nÅ1
1
Åcx
n
1
Æ0(1);ax
nÅ2
2
Åbx
nÅ1
2
Åcx
n
2
Æ0(2)
Tø (1), (2) cëng v¸ vîi v¸, ta ÷ñc:a
¡
x
nÅ2
1
Åx
nÅ2
2
¢
Åb
¡
x
nÅ1
1
Åx
nÅ1
2
¢
Åc
¡
x
n
1
Åx
n
2
¢
Æ0.
Tø â suy ra:aSnÅ2ÅbSnÅ1ÅcSnÆ0.
b) °t:x1Æ1Å
p
3;x2Æ1¡
p
3;SnÆx
n
1
Åx
n
2
.
Suy ra
8
<
:
x1Åx2Æ2
x1x2Æ ¡2.
Vªyx1,x2l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
¡2x¡2Æ0. p döng c¥u a), ta câ:
SnÅ2¡2SnÅ1¡2SnÆ0,SnÅ2Æ2SnÅ1Å2Sn (*)
Ta câ:S1Æ2,S2Æx
2
1
Åx
2
2
Æ(x1Åx2)
2
¡2x1x2Æ4Å4Æ8.
p döng cæng thùc (*), ta câ
S3Æ2S2Å2S1Æ2¢8Å2¢2Æ20;S4Æ2S3Å2S2Æ2¢20Å2¢8Æ56;
S5Æ2S4Å2S3Æ2¢56Å2¢20Æ152.
Ta câAÆ
1
¡
1Å
p
3
¢5
Å
1
¡
1¡
p
3
¢5
Æ
¡
1Å
p
3
¢5
Å
¡
1¡
p
3
¢5
¡
1Å
p
3
¢5
¢
¡
1¡
p
3
¢5
Æ
152
¡32
Æ
¡19
4
.
B i 31.Cho ph÷ìng tr¼nh
¡
m
2
Å2mÅ2
¢
x
2
¡
¡
m
2
¡2mÅ2
¢
x¡1Æ0. Gåix1,x2l  hai nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh ¢ cho.
a) T¼m c¡c gi¡ trà cõamºx
2
1
Åx
2
2
Æ2x1x2(2x1x2¡1);
b) T¼m gi¡ lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùcSÆx1Åx2.
H÷îng d¨n.a) V¼aÆm
2
Å2mÅ2Æ(mÅ1)
2
Å1È0vîi måimn¶n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  ph÷ìng
tr¼nh bªc hai vîi måim.
M°t kh¡c, v¼cÆ ¡1Ç0n¶n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m tr¡i d§ux1,x2vîi måim.
Theo ành l½ Vi±te, ta câ
8
>
<
>
:
x1Åx2Æ
m
2
¡2mÅ2
m
2
Å2mÅ2
x1¢x2Æ
¡1
m
2
Å2mÅ2
Ta câx
2
1
Åx
2
2
Æ2x1x2(2x1x2¡1),(x1Åx2)
2
Æ(x1x2)
2
,
2
6
4
x1Åx2Æ2x1x2(1)
x1Åx2Æ ¡2x1x2(2)
Trang 15

16. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
Ta câ:
(1),
m
2
¡2mÅ2
m
2
Å2mÅ2
Æ
2¢(¡1)
m
2
Å2mÅ2
,m
2
¡2mÅ4Æ0(væ nghi»m).
(2),
m
2
¡2mÅ2
m
2
Å2mÅ2
Æ
(¡2)¢(¡1)
m
2
Å2mÅ2
,m
2
¡2mÆ0,
2
6
4
mÆ0
mÆ2
b)SÆx1Åx2Æ
m
2
¡2mÅ2
m
2
Å2mÅ2
,(S¡1)m
2
Å2(SÅ1)mÅ2(S¡1)Æ0 (*)
+ N¸uSÆ1th¼mÆ1.
+ N¸uS6Æ1(vîim6Æ0) th¼ ph÷ìng tr¼nh (*) l  ph÷ìng tr¼nh bªc hai luæn câ nghi»m n¶n
¢
0
Ê0,(SÅ1)
2
¡2(S¡1)
2
Ê0,S
2
¡6SÅ1Æ0,(S¡3)
2
É8
,3¡2
p
2ÉSÉ3Å2
p
2.
So s¡nh vîiSÆ1, ta câ
maxSÆ3Å2
p
2khimÆ
¡b
2a
Æ
SÅ1
1¡S
Æ ¡
p
2v 
minSÆ3¡2
p
2khimÆ
¡b
2a
Æ
SÅ1
1¡S
Æ
p
2
B i 32.Cho ph÷ìng tr¼nhx
2
¡mx¡4Æ0.
a) Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh luæn câ hai nghi»m ph¥n bi»tx1,x2vîi måi gi¡ trà cõam.
T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùcAÆ
2(x1Åx2)Å7
x
2
1
Åx
2
2
.
b) T¼m c¡c gi¡ trà cõamsao cho hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ·u l  c¡c sè nguy¶n.
H÷îng d¨n.Ta câ¢Æm
2
Å16È0vîi måimn¶n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho luæn câ hai nghi»m ph¥n
bi»tx1,x2.
a) Theo ành l½ Vi±te, ta câ:x1Åx2Æm;x1x2Æ ¡4.
Do âAÆ
2(x1Åx2)Å7
(x1Åx2)
2
¡2x1x2
Æ
2mÅ7
m
2
Å8
.
X²t hi»u:1¡AÆ1¡
2mÅ7
m
2
Å8
Æ
(m¡1)
2
m
2
Å8
Ê0vîi måim.
Suy ra GTLN cõaAb¬ng1khimÆ1.
b) V¼x1,x2nguy¶n v x1x2Æ ¡4Æ(¡4)¢1Æ(¡2)¢2Æ(¡1)¢4n¶nmÆx1Åx22{¡3; 0; 3}.
Thû l¤i th§y thäa m¢n.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ c¡c nghi»m ·u l  sè nguy¶n khim2{¡3; 0; 3}.
Nhªn x²t.
- Ta câ thº sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy º t¼m GTLN cõaAnh÷ sau:
Ta câ:m
2
Å1Ê2jmjÊ2m)
¡
m
2
Å1
¢
Å7
m
2
Å8
Ê
2mÅ7
m
2
Å8
)1ÊA.
D§u ¯ng thùc x£y ra khimÆ1.
- Ta công câ thº t¼m çng thíi t¼m c£ GTLN v  GTNN cõaAb¬ng ph÷ìng ph¡p mi·n gi¡ trà
nh÷ sau:AÆ
2mÅ7
m
2
Å8
,Am
2
¡2mÅ8A¡7Æ0.
* N¸uAÆ0th¼mÆ
7
2
.
* N¸uA6Æ0th¼ ph÷ìng tr¼nh bªc hai ©nmluæn câ nghi»m, do â:
¢
0
Ê0, ¡8A
2
Å7AÅ1Ê0,(A¡1)(1¡8A)Ê0¡
1
8
ÉAÉ1.
Trang 16

17. B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT GV: Ph¤m V«n Tuy¶n
KhiAÆ1th¼mÆ1v  khiAÆ ¡
1
8
th¼mÆ ¡8.
- Do â, tòy thuëc v o biºu thùc cõa nghi»m m  ta vªn döng linh ho¤t c¡c c¡ch gi£i (mi·n gi¡
trà, bi¸n êi b¼nh ph÷ìng, ¡p döng b§t ¯ng thùc kinh iºn, . . . ) º c¡ch gi£i óng v  nhanh.
- Ta câ thº t¼m ÷ñc th¶m GTNN cõaAnh÷ sau: X²t8AÅ1Æ
8(mÅ7)
m
2
Å8
Å1Æ
(mÅ8)
2
m
2
Å8
Ê0vîi måi
m.
Suy ra GTNN cõaAb¬ng¡
1
8
, ¤t ÷ñc khimÆ ¡8.
B i 33.Chox1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
¡7xÅ3Æ0.
a) H¢y lªp ph÷ìng tr¼nh bªc hai câ hai nghi»m l 2x1¡x2v 2x2¡x1;
b) T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcBÆj2x1¡x2jÅj2x2¡x1j.
H÷îng d¨n.a) Theo ành l½ Vi±te, ta câ:
8
<
:
x1Åx2Æ7
x1x2Æ3
)
8
<
:
(2x1¡x2)Å(2x2¡x1)Æ7
(2x1¡x2)¢(2x2¡x1)Æ9x1x2¡2(x1Åx2)
2
Æ ¡71.
(óng v¼7
2
È4¢(¡71)).
Theo ành l½ Vi±te £o, ta cây1Æ2x1¡x2v y2Æ2x2¡x1l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
y
2
¡7y¡71Æ0.
b) Ta câ:BÆj2x1¡x2jÅj2x2¡x1jÆjy1jÅjy2jÆ
¯
¯
¯
¯
¯
7¡
p
333
2
¯
¯
¯
¯
¯
Å
¯
¯
¯
¯
¯
7Å
p
333
2
¯
¯
¯
¯
¯
Æ
p
333.
B i 33.Gi£ sûx1,x2l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhx
2
¡4x¡1Æ0. Chùng minh r¬ngx
5
1
Åx
5
2
l  mët sè nguy¶n.
H÷îng d¨n.Theo ành l½ Vi±te, ta câx1Åx2Æ4,x1x2Æ ¡1, khi â
x
2
1
Åx
2
2
Æ(x1Åx2)
2
¡2x1x2Æ14;
x
3
1
Åx
3
2
Æ(x1Åx2)
3
¡3x1x2(x1Åx2)Æ52;
x
5
1
Åx
5
2
Æ
¡
x
2
1
Åx
2
2
¢¡
x
3
1
Åx
3
2
¢
¡(x1x2)
2
(x1Åx2)Æ724(pcm).
Nhªn x²t.
- Ta °tSnÆx
n
1
Åx
n
2
th¼SnÅ2¡4SnÅ1ÅSnÆ0. Do âSnl  sè nguy¶n vîi måi sè nguy¶n d÷ìng
n.
- VîiSnl  mët sè nguy¶n th¼ ta công câ thº g­n c¡c b i to¡n sè håc v o ¥y, v½ dö nh÷ b i
to¡n chùng minh chia h¸t, b i to¡n t¼m sè d÷ khi chiaSncho mët sè n o â ch¯ng h¤n nh÷
t¼m sè d÷ khi chiax
2005
1
Åx
2005
2
cho5, . . .
B i 34.T¼mmº ph÷ìng tr¼nhx
2
ÅxÅmÆ0(*) câ hai nghi»m ·u lîn hìnm.
H÷îng d¨n.C¡ch 1.°ttÆx¡m, ta câxÆtÅmv xÊm,tÊ0.
Ph÷ìng tr¼nh (*),t
2
Å(2mÅ1)tÅm
2
Å2mÆ0 (1)
Ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»mx·u lîn hìnmkhi v  ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (1) câ hai nghi»m
t·u lîn hìn0. i·u â x£y ra khi v  ch¿ khi
8
>
>
>
<
>
>
>
:
¢1Ê0
S1È0
P1È0
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
(2mÅ1)
2
¡4
¡
m
2
Å2m
¢
Ê0
¡(2mÅ1)È0
m(mÅ2)È0
,mÇ ¡2.
Trang 17

18. GV: Ph¤m V«n Tuy¶n B i tªp æn thi v o lîp 10 THPT
C¡ch 2.Ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»mx1,x2·u lîn hìnm
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
¢Ê0
(x1¡m)(x2¡m)È0
(x1¡m)Å(x2¡m)È0
,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
¢Ê0
x1x2¡m(x1Åx2)Åm
2
È0
(x1Åx2)¡2mÈ0.
Thayx1Åx2Æ ¡1,x1x2Æmv o h» tr¶n ta t¼m ÷ñcmÇ ¡2.
C¡ch 3.Vîi i·u ki»nmÉ
1
4
th¼ ph÷ìng tr¼nh (*) câ hai nghi»mx1,x2. Sû döng cæng thùc
nghi»m ta t½nhx1,x2theomrçi gi£i çng thíi hai b§t ph÷ìng tr¼nhx1Èmv x2Èmthu ÷ñc
mÇ ¡2.
B i 35.Choa,b,c,dl  bèn sè thüc æi mët kh¡c nhau v  thäa m¢n çng thíi hai i·u ki»n
sau:
i) Ph÷ìng tr¼nhx
2
¡2cx¡5dÆ0câ hai nghi»ma,b;
ii) Ph÷ìng tr¼nhx
2
¡2ax¡5bÆ0câ hai nghi»mc,d.
Chùng minh r¬ng:a¡cÆc¡bÆd¡av aÅbÅcÅdÆ30.
H÷îng d¨n.Theo ành l½ Vi±te, ta câ
8
<
:
aÅbÆ2c
abÆ ¡5d
v 
8
<
:
cÅdÆ2a
cdÆ ¡5b
Suy raaÅbÆ2cv aÅbÅcÅdÆ2aÅ2c)a¡cÆc¡bv c¡bÆd¡a)a¡cÆc¡bÆd¡a.
°tmÆa¡cÆc¡bÆd¡a)
8
>
>
>
<
>
>
>
:
cÆa¡m
bÆc¡mÆa¡2m
dÆaÅm
)aÅbÅcÅdÆ4a¡2m(v¼a6Æcn¶nm6Æ0).
TøabÆ ¡5dta câ:a(a¡2m)Æ ¡5(aÅm))a
2
¡2amÆ ¡5a¡5m (1)
TøcdÆ ¡5bta câ:(a¡m)(aÅm)Æ ¡5(a¡2m))a
2
¡m
2
Æ ¡5aÅ10m (2)
L§y (1) trø v¸ theo v¸ cho (2) ta ÷ñcm(m¡2a)Æ ¡15m)m¡2aÆ ¡15(v¼m6Æ0), suy ra pcm.
B i 36.T¼m c¡c sèa,b,c,dsao cho ph÷ìng tr¼nhx
2
ÅaxÅbÆ0câ nghi»mc,dcán ph÷ìng
tr¼nhx
2
ÅcxÅdÆ0câ nghi»ma,b.
H÷îng d¨n.Theo ành l½ Vi±te, ta câ
8
<
:
cÅdÆ ¡a
cdÆb
v 
8
<
:
aÅbÆ ¡c
abÆd
Suy raaÅbÅcÆaÅcÅdÆ0,bÆcdv dÆab)aÅbÅcÆ0v bÆdÆcdÆab. Tø â ta câ:
* N¸ubÆ0th¼dÆ0,cÆ ¡avîial  sè nguy¶n tòy þ. Ta ÷ñc hai ph÷ìng tr¼nh l x
2
ÅaxÆ0v 
x
2
¡axÆ0, thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
* N¸ub6Æ0th¼aÆcÆ1v bÆdÆ ¡2. Ta ÷ñc hai ph÷ìng tr¼nh ·u l x
2
Åx¡2Æ0, thäa m¢n
y¶u c¦u b i to¡n.
B i 37.Câ hay khæng c¡c sè nguy¶nb,csao cho c¡c ph÷ìng tr¼nhx
2
ÅbxÅcÆ0(1) v 2x
2
Å
(bÅ1)xÅcÅ1Æ0(2) câ c¡c nghi»m ·u l  c¡c sè nguy¶n.
H÷îng d¨n.N¸ux1,x2l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) th¼ theo ành l½ Vi±te ta câ:x1Åx2Æ ¡b
(3) v x1x2Æc(4)
N¸ux3,x4l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2) th¼ theo ành l½ Vi±te ta câ:2(x3Åx4)Æ ¡(bÅ1)(5)
v 2x3x4ÆcÅ1(6)
Tø (5) v  (6) ta câb,c·u l  sè l´. K¸t hñp vîi (4) ta câx1,x2l  c¡c sè l´. Tø â (3) khæng thäa
m¢n.
Vªy khæng câ c¡c sè nguy¶nb,cthäa m¢n y¶u c¦u cõa b i to¡n.
Trang 18