VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL

formulas para encontrar vector tangente normal y binormal

1. INSTITUTO TECNOLOGICO
SUPERIOR DE LERDO
•CASTRO MURUATO MARIO OMAR
•GUERRERO VALDES EDUARDO
•GUTIERREZ PORTILLO JOSE MARIA
•MONTELONGO CABRALES JAZMIN

2. Definiciones: Z
B
T
N
C
X
0
Y
Sea C una curva en el espacio definida por la
función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector
en la dirección de la tangente a C. Considerando al
escalar t como la longitud de arco s medida a partir
de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector
tangente a C y que llamaremos T como se observa
en la figura de la derecha. ! % $ #* $ )$$ $ " !* $ - ! $$
# + $ % $ #* ". $ " #$*
" )" " ! $( #*+ " !* * $ % $ " )"
"") " !+
La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura de C y viene dada
por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a
la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal
se llama normal principal a la curva.
ds
dT
ds
dT
El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al
plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de
coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida
que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro
móvil.
NTB´=

3. DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO
Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua
y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar
que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.
Cálculo del vector tangente unitario
EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:
tjitr 2)(+=¢
1)(
2
=+= tcuandojttitr
Se calcula la primera derivada de
por tanto el vector tangente unitario es:
2
41
2
)(
)(
)(
t
tji
tr
tr
tT
+
+
=
¢
¢
=
Cuando t =1, el vector tangente unitario es:
5
2
)1(
ji
T
+
=
Ver figura de la siguiente diapositiva

4. La dirección del vector tangente unitario depende de la
orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada
por:
jtittr
2
)2()2()( -+--=
T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el
punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.
DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

5. Cálculo del vector normal principal (unitario)
EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: jttitr
2
23)( +=
2
169)(43)( ttrytjitr +=¢+=¢
)43(
169
1
)(
)(
)(
2
tji
ttr
tr
tT +
+
=
¢
¢
=
Derivando la función dada vemos que:
De donde se deduce que el vector tangente unitario es:
Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos:
Vector tangente unitario
)34(
)169(
12
)43(
)169(
16
)4(
169
1
)(
2
3
2
3
22
2
jti
t
tji
t
t
j
t
tT +-
+
=+
+
-
+
=¢
232
2
169
12
)169(
169
12)(
tt
t
tT
+
=
+
+
=¢
Por lo tanto el vector normal principal es:
)34(
169
1
)(
)(
)(
2
jti
ttT
tT
tN +-
+
=
¢
¢
=
Vector normal principal

6. Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación
Cuando t = 1, el vector normal principal es:
)34(
5
1
)1( jiN +-=
Tal como se muestra en la figura de la derecha:
DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL
El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al
plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C.
NTB´=
Cálculo del vector binormal
Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N

7. Vector tangente normal y
binormal ejercicio.