Vectores angulo entre vectores

bueno

1. Proyecto MaTEX

Vectores en el plano

Cr
CIENCIAS

Fco Javier González Ortiz

Directorio
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© 2004 [email protected]
D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4

2. Tabla de Contenido

1. Vectores en el plano D
1.1. Vector fijo y libre HS
1.2. Operaciones con vectores CIENCIAS
1.3. Combinación lineal de vectores. Base

2. Coordenada cartesianas
2.1. Base canónica

3. Producto escalar de vectores
3.1. Vectores ortogonales
3.2. Producto escalar
3.3. Módulo de un vector
3.4. Ángulo de dos vectores
Soluciones a los Ejercicios

Soluciones a los Tests

3. Sección 1: Vectores en el plano

1. Vectores en el plano
1.1. Vector fijo y libre
Definición 1

=
Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su
origen en el punto A y su extremo en el punto B.

= Módulo: Es la longitud del
vector. Lo representamos por
AB]

= Dirección: Es la dirección
de la recta que lo contiene.
Si dos vectores son paralelos
tienen la misma dirección.

= Sentido: Es el que va del
origen al extremo. Lo rep-
resentamos por la punta de
la flecha. Una dirección tiene
dos sentidos.

ur
CIENCIAS

Yoj Ae

+ + + >
To T1

AB (x — 20, yı — Yo)

4. Sección 1: Vectores en el plano

Definición 2

Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo
módulo, dirección y sentido

Todos los vectores del gráfico tienen la
misma dirección, sentido y magnitud,
son todos ellos equipolentes. También
decimos que son representantes del
vector libre ü.

=> —
Así, los vectores AB,CD y EF son
equipolentes y representantes del mis-
mo vector libre ü.

En el paralelogramo ABDC, son

. — ae
equipolentes los vectores AB y CD, y
representantes de ü.

También son equipolentes los vectores
= — =
AC y BD, y representantes de Y.

e-Bay
CIENCIAS

LP fed
a DA

y

5. on

Sección 1: Vectores en el plano

1.2. Operaciones con vectores

Definición 3

El producto de un número & por un vector ü es otro vector nz
E o E re
libre representado por à -ü as

El vector a : ú mantiene la dirección pero

puede cambiar el sentido o la magnitud del lg
vector ü. u 2
= Sia > 0, a- tiene el mismo sentido que Va

i, y si a < 0 tienen sentido contrario.

= Sia > 1, el vector a-ü se dilata o alarga
y si a < 1, el vector a- ú se contrae o
acorta.

= El caso que a = 0, el vector a - úl corre-
sponde al vector nulo (0,0)

En el gráfico se muestran los vectores múltiplos de ü, la mitad de ú con

1
a= > el doble de ú con a = 2 y el opuesto de ú con a = —1.

6. Sección 1: Vectores en el plano 6
Definición 4 La suma de los vectores libres ü y V es otro vector libre

ü+v

DO
ans
CIENCIAS

que se obtiene gráficamente, tomando repre-
sentantes de ú y Y con el mismo origen, y
trazando la diagonal del paralelogramo que de-
terminan. También se llama la resultante.

Definición 5 La resta de los vectores libres ú(uz,us) y U(v1,v2) es otro vec-
tor libre definido por

U—U= (u — v1,u49 —v2)
la interpretación gráfica de la resta se muestra

en el dibujo. El vector resta ú— 1 es la diagonal
del paralelogramo construido con ü y —0.

7. Sección 1: Vectores en el plano 7

Ejemplo 1.1. Dados dos vectores no dependientes ú y Y hallar 3-u+2V 4

Solución: f

DO
ans
CIENCIAS

Oo
Ejemplo 1.2. Expresar como combinación lineal de los vectores AB =i y
BC = ©, los siguientes vectores:
— SS =
a) BA b) AC c) DB
Solución:
— —=
a) BÁ=-AB=-ú
b) AC =AB+ BC =d+0
=>
c) DB=DC4+CB=2ú- Y

a

o

24 Cc

8. Sección 1: Vectores en el plano
Ejemplo 1.3.

Considera el Sonor regular de la figura. Expresar como combinación lineal
de los vectores AB = à y AC = v, los siguientes vectores:

B—<
ans

a) BC b) AO c) AD a
d) DO e) CD f) AE
Solución:
a) BÚ=-4+0 G a
b) AO = BC =-a+8 7
c) AD =2AG = -2ü+25
d) DO==B0=8=4 D

f) AÉ=AD+DÉ=(-28+20)-4
=
AE=-3ü+2V

9. Sección 1: Vectores en el plano 9

Ejercicio 1. Dados dos vectores no dependientes ú y V hallar -2-ü—2-v 4
Ejercicio 2. Expresar como combinación lineal de los vectores BC =Uy $
=> x
CD = 5, los siguientes vectores: a
CIENCIAS
B 7
a) BD Ss
=
b) AC 5
aay
c) AB
A 2ú D

Ejercicio 3. Siendo M, N, P los puntos medios de los lados, expresar como
— —
combinación lineal de los vectores AM = i y AP = 5, los siguientes vectores:

a) MB ») AB K
=> =
€) BC d) AN

e) PM f) MG

10. Sección 1: Vectores en el plano 10

1.3. Combinación lineal de vectores. Base

En los ejercicios anteriores, básicamente hemos hecho dos cosas con los
vectores. Multiplicarlos por un número y sumarlos (restarlos). Esas dos op-
eraciones constituyen lo que se llama una combinación lineal, bien de uno o

más vectores.
Definición 6

Definición 7

Definición 8 (Base)

Decimos que el vector Y es combinación lineal del vector ú si
existe un escalar a con

V=a-t

también decimos que ü y Y son dependientes o proporcionales.
Si ü y Y no son dependientes decimos que son independientes.

Decimos que el vector W es combinación lineal de los vectores
ú y Y si existen escalares a y 8 con

Ww=a-ü+ß:V

Decimos que los vectores ú y Y forman una base en el plano R?
si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier
vector W € R? se obtiene por combinación lineal de ú y ¥.

CIENCIAS

11. Sección 2: Coordenada cartesianas 2

2. Coordenada cartesianas

Tomando en el plano un punto cualquiera O como origen de referencia
vamos a introducir coordenadas para trabajar con los vectores.

DÁ
ans
CIENCIAS

2.1. Base canónica

De entre todas las bases elegimos la base canónica determinada por los
vectores i(1,0) y j(0, 1). Así cualquier vector ú(u,, us) se pude expresar como

(uz, u2) =u1 : (1,0) + us - (0, 1)
ü= uw -Î+u aff

Los números u, y ua por este orden son

las componentes del vector. a ‘i
La magnitud o módulo del vector
ü(u,u2) por el teorema de Pitágoras cor-
responde a

Sy

12. Sección 2: Coordenada cartesianas 12

Ejemplo 2.1. Expresar los vectores del gráfico en función de la base canónica A À
i(1,0) y j(0,1) y determinar el médulo de de los mismos. À
Solución: SÓ
CIENCIAS

. 9=2-14+4-
[v] = V2? +42 = V20
ew=-3-142-j

Wel = VOTE = V5

«=-3-i-

vl = V(-3)? + (=D? = v10

© ¿=4-i-2-j
= Va? + (-2)? = V20

A continuación vamos a repasar los conceptos de dependencia, inde-
pendencia, bases y combinación lineal de vectores utilizando coorde-
nadas.

13. Sección 2: Coordenada cartesianas 13
Ejemplo 2.2. Comprobar que el vector w(4,8) es combinación lineal del
vector ú(1, 2)

Solución: Comprobamos si existe un escalar a: con en
nr
(4,85 0 (1,2) CIENCIAS

Igualando componentes se tiene

5 ~ za rer:

= 2%
O
Ejemplo 2.3. Dado el vector ¥(8, 12) hallar:
a) 3:7 b) 2.9 d 7% d) 3.7
Soluciön:
a) ne 12) = (24,36)
b) -2-4 = -2: (8,12) = (-16,-24)
la
c) à arr en,
1. 1
4) -3.9=-3:8,10)=(-3,-9)

14. Sección 2: Coordenada cartesianas 14
Test.
1. Los vectores ü(2,2) y ¥(3,3) son..?
(a) Independientes (b) Dependientes
2. Los vectores ü(2,2) y V(3, 4) son..?

(a) Independientes (b) Dependientes

Ejemplo 2.4. Dados los vectores ü(2,1) y ¥(—1,3) hallar:
a) 3-u+2% b) -2-ü+3-V c) -4+2-v
Solución:
a) 3-ú4+v=3-(2,1) + (-1, 3) = (5, 6)
b) -2-44+3-v=-2-(2,1)+3- (-1,3) = (-7,1)
c) -ü+2-V=-(2,1)+2-(-1,3) = (-4,5)

Ejemplo 2.5. Comprobar que el vector w(4,7) es combinaciön lineal de los
vectores ü(2,1) y v(0,5).
Solución: Comprobamos si (4,7) = a: (4,7) + 3: (0,5)
Igualando componentes se tiene
=

4 = 2a+08
7 = la+58

DO
ans
CIENCIAS

15. Sección 2: Coordenada cartesianas 15

Definición 9 (Base)

Decimos que los vectores G(ui, u2) y V(v1, v2) forman una base
en el plano R? si son linealmente independientes. Esto signifi-

ca que cualquier vector W € R? se obtiene por combinación ne

lineal de ü(u1,u2) y V(v1, v2).
Ejemplo 2.6. Comprobar que los vectores ú(2, 1) y V(0,5) forman una base.
Solución: Los dos vectores ú(2, 1) y ¥(0,5) forman una base, pues son inde-
pendientes ya que no hay ningún escalar a tal que ü(2,1) = «a: v(0, 5).
Observa que las componentes no son proporcionales:
0,5

571

Ejemplo 2.7. ¿Forman una base los vectores ü(2, 1) y V(4, 2)?
Solución: No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que:
v(4,2) = 2 - (2,1)
Otra forma es ver que las componentes son proporcionales:
2

a => son dependientes

16. Sección 2: Coordenada cartesianas 16

Test. Responde a las cuestiones:
1. Los vectores ti(2,2) y ¥(3,3) forman una base en R?.

(a) Verdadero (b) Falso es
2. Los vectores ü(1,0) y ¥(2,1) forman una base en R?. SS
(a) Verdadero (b) Falso

Ejercicio 4. Expresar el vector W(5,2) como combinación lineal de los vec-
tores ü(1,2) y W(3, —2). Efectuar una representación gráfica.

Ejercicio 5. Dados los vectores (1, —2) y w(2,3), hallar Y con
W=2-04+3-V

Ejercicio 6. Sean los vectores ü(1,1) y w(-1,1). Comprobar que forman

una base.

Ejercicio 7. Sean los vectores ü(2,a) y W(1,1). Hallar los valores de a para
que formen una base.

17. Sección 3: Producto escalar de vectores 17

3. Producto escalar de vectores

3.1. Vectores ortogonales

DO
ans
CIENCIAS

Supongamos dos vectores ü y Y en (figu-
ra). Diremos que son perpendiculares u
ortogonales si se satisface el teorema de
Pitágoras:

la]? + [o]?

[a o?

Aplicando la ecuación, la condición se transforma en

(ud +42) + (u + 03) = (us — 01)? + (us — 09)?
Simplificando términos comunes queda
(u vı + U2 vo) = 0

Asi la igualdad es valida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos
vectores # y Y son ortogonales & L @ si

GLUT 40 + uv =0 (1)

18. Sección 3: Producto escalar de vectores 18

3.2. Producto escalar

Al producto anterior de las componentes de dos vectores le definimos como
producto escalar de dos vectores

uso) Aor, v2) = us v1 + uno (2)

Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son ortog-
onales o perpendiculares.
Para hallar un vector perpendicular a @(u1, us) basta cambiar el orden y el
signo de una de las componentes.

du, ua) - D(—u2,41) = 41 u2 + wo u = 0

Así,
(1,5) 1(-5,1) (2,3)1(-3,2) (8,7) 1 (77,8)
3.3. Módulo de un vector
Observar que si multiplicamos escalarmente un vector @ por si mismo se
obtiene el cuadrado de su módulo o longitud:
da = ui + uj = |a]? (3)
o dicho de otra forma, el módulo de un vector es la raíz positiva de su producto
escalar
ja] = vu -d (4)

ur
CIENCIAS

19. Sección 3: Producto escalar de vectores 19

3.4. Ángulo de dos vectores

Del teorema del coseno en un triángulo se tiene

[31 a
CIENCIAS

la — a? = a? +]? —2/4]|0] cosa (5)
donde a es el ángulo determinado por ü y U.
ja — a? =@- 5) - (4-0)

=0:-U-284-0+0:0

lu
=? - 24-04 lo?
Por otra parte, igualando las ecuaciones anteriores se tiene
a: = |úl - [5] cosa (6)

que nos da una segunda definición del producto escalar. Por ello se obtiene
que el ángulo @ de dos vectores ú y Y viene dado por

ao

{a

cos(ú, 0) =

(7)

20. Sección 3: Producto escalar de vectores 20

Ejemplo 3.1. Determinar el ángulo de los vectores de R?, & = (2,1) y =

(0,1).

Solución: Tenemos: nz

5 (2,1) - (0, 1) 1 CIENCIAS

cos(1,0) = ==>. = =>
|, D)[cot |(0,1)| vovi

y de esto bastaría hallar

1
a = Z(ü, 0) = arcos —

v6

Ejercicio 8. Dados los vectores à = (2,—3) y ¢ = (6, —1) hallar:

1. los módulos de à y ü.

2. El producto escalar de U y ©

3. El coseno del ángulo que forman.

4. Hallar m para que el vector &(m, 2) sea ortogonal a à
Ejercicio 9. Hallar todos los vectores W perpendiculares a ü(u;,u2) y con
el mismo módulo.
Ejercicio 10. Dados los vectores u(—4,6) y ¥(5,m). Hallar m para que:

a) Sean dependientes

b) Sean perpendiculares

21. Soluciones a los Ejercicios 21
Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1.

CIENCIAS

Ejercicio 1

22. Soluciones a los Ejercicios
Ejercicio 2.
== A —
a) BB=BC+CD=ü+v
> — —
b) AA=AD+DC=2ü-V
==. =
c) AB=AC+CB=ú- Ú

22

D
Ejercicio 2

>
unter
CIENCIAS

23. Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 3.

b) AB =2AM =
su =
e) BE=BÄ+AC=-2U427
so le

e
ey

wo
En

f) MG = MA+ 4G =

23

d

à

>
unter
CIENCIAS

B
Ejercicio 3

24. Soluciones a los Ejercicios 24

Ejercicio 4. Buscamos escalares a y 8 con AS
w=a-ü+ß-V N
Igualando componentes se tiene ans
CIENCIAS
5 = la+38
2 = 20-26 > Can

Ejercicio 4

25. Soluciones a los Ejercicios 25
Ejercicio 5. Igualando componentes se tiene

2 = 2(1)+30
3 = 2(-2)+30

win

> 041=0 n=z

>
unter
CIENCIAS

Ejercicio 5

26. Soluciones a los Ejercicios 26

Ejercicio 6. Basta comprobar que los vectores ú(1, 1) y W(—1, 1) son lineal-
mente independientes. Como las componentes no son proporcionales:

1 1
=1 A 7 > son independientes var

CIENCIAS

Ejercicio 6

27. Soluciones a los Ejercicios 27

Ejercicio 7. Basta exigir que los vectores ú(2, a) y W(1, 1) sean linealmente
independientes., es decir que las componentes no sean proporcionales. Como
oe ee

al 1
Si a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a # 2 son
independientes y forman una base.
Ejercicio 7

>
unter
CIENCIAS

28. Soluciones a los Ejercicios 28
Ejercicio 8.
L ld = 240639 = VB
Il = V6 + (2D? = v37
2. El producto escalar CIENCIAS
u-0=(2,-3)(6,-1) =2.6+3.1=15

>
unter

3. Como 1.0= ||ú|| ||öl| cosa, tenemos,
15
cos à = VB 5
4. w ortogonal a à si 4.u= 0, luego,
(m,2).(2,-3)=0>2m-6=0=>m=3

Ejercicio 8

29. Soluciones a los Ejercicios 29

Ejercicio 9. Los vectores W perpendiculares a ü(u1,u2) y con el mismo
módulo, son
Ww(—uz, u) Wu, —u1)

Ejercicio 9

30. Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 10.
a) los vectores ü(—4,6) y ¥(5,m) son dependientes si
4_6 15

=== |m=-=
5 m 2

b) los vectores ü(—4,6) y ¥(5,m) son perpendiculares si

(-4,6) - (5,m) =0 => —20 + 6m = 0 =>

30

mo

à

>
unter
CIENCIAS

m

= 0
23

Ejercicio 10

31. Soluciones a los Tests 31

Soluciones a los Tests

Solución al Test: En efecto los vectores ü(2,2) y ¥(3,3) son linealmente
dependientes pues

>
unter

¥(3,3) = 5 - (2,2) ei
Final del Test

32. Índice alfabético
ángulo de dos vectores, 19

>
unter
CIENCIAS

base, 10, 15
combinación lineal , 10
norma, 18

producto escalar, 18

vectores
por un número, 5
resta, 6
suma, 6

vectores ortogonales, 17

32