Vectores cartesianos

1. Contenido Temático Créditos Presentación Ing. Jorge Luis Paredes Estacio VECTORES CARTESIANOS UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO FACULTA DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL CURSO: ESTÁTICA

2. INTRODUCCIÓN En ingeniería muchas aplicaciones requieren la descomposición de vectores en sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. Aquí se explicara como hacerlo y como operar con vectores en tres dimensiones.

3. VECTORES CARTESIANOS SISTEMA COORDENADO DERECHO. El sistema de la figura es derecho si se dirigen los dedos de la mano derecha en la dirección del eje x y se flexionan (para formar un puño) hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z. Cuando la dirección positiva del eje z apunta en la dirección opuesta, el sistema coordenado será izquierdo.

4. VECTORES CARTESIANOS COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Un Vector A dirigido dentro de un octante x , y y z , mediante dos aplicaciones sucesivas del paralelogramo, podemos dividir al vector en componentes como A=A’+ A z y luego A’= A x +A y . Al combinar estas ecuaciones para eliminar A’, A se presenta mediante la suma vectorial de sus tres componentes.

5. VECTORES CARTESIANOS VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j k, se usa para designar la dirección de los eje x, y, z, respectivamente. En la figura se muestras los vectores unitarios cartesianos.

6. VECTORES CARTESIANOS REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO Como las tres componentes de A, actúan en direcciones positivas i, j y k, según la figura, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como:

7. VECTORES CARTESIANOS MAGNITUD DE UN VECTOR CARTESIANO A partir del triángulo rectángulo azul, y del triangulo rectángulo sombreado, Al combinar estas ecuaciones para eliminar se obtiene:

8. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados α , β y γ , medidos entre la cola de A. Cada uno de estos ángulos estará entre 0° y 180°. Para determinar α , β y γ , considerar las proyecciones sobre los eje x, y z. Con referencia a los triángulos azules mostrados tenemos los siguientes cosenos directores:

9. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO Una manera facil de obtener los cosenos directores es formar un vector unitario u A en la dirección de A. Si A esta expresado en forma de vector cartesiano, A= A x i+A y j+A z k , entonces u A tendrá una magnitud de uno y será adimensional dado que A está dividido entre su magnitud, es decir.

10. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO Si un vector unitario u A se representa de esta manera Como la magnitud de un vector unitario es igual a la raíz cuadrada de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y u A tiene la magnitud de uno, puede formularse esta importante relación en los cosenos directores

11. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO Si solo se conocen dos ángulos de los dos se puede determinar el tercer con la formula anterior. Finalmente, si se conocen la magnitud y los ángulos directores coordenados, A puede expresarse en forme de vector cartesiano como:

12. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS La suma o resta de dos o mas vectores se simplifica considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, si A = A x i +A y j +A z k y B = B x i +B y j +B z k , entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i , j , k de A y B , es decir.

13. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS Si esto se generaliza y se aplica a un sistema de varias fuerzas concurrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse como: Aquí, y representan las sumas algebraicas de las respectivas componentes x, y z o bien i , j , k de cada fuerza presente en el sistema.  

14. EJEMPLOS Exprese la fuerza F mostrada en la figura como un vector cartesiano.

15. EJEMPLO N° 02 Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura.

16. VECTORES DE POSICIÓN Generalicemos en el caso bidimensional: hay un punto A con coordenadas ( x A , y A , z A ) y un punto B con coordenadas ( x B , y B , z B ). El vector posición r AB que va de A a B esta dado en función de las coordenadas de A y B por:

17. EJEMPLO N° 03 Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B como se muestra en la Figura. Determine su longitud y su dirección medida de A hacia B.

18. VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LINEA Con mucha frecuencia, en problemas tridimensionales de estática, la dirección de una fuerza se especifica por dos puntos que indican su línea de acción. En la figura se aprecia que la fuerza F esta dirigida a lo largo de la cuerda AB . Podemos formular F como un vector cartesiano al observar que tiene el mismo sentido y dirección del vector posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección se especifica mediante el vector unitario u = r /r. Por lo tanto,

19. EJEMPLO N° 04 El hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con una fuerza de 70lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el soporte A como un vector cartesiano y determine su dirección.

20. PROBLEMAS PROPUESTOS Determine los ángulos directores coordenados de la Fuerza

21. PROBLEMAS PROPUESTOS Determine la fuerza resultante que actúa sobre el gancho.