Vectores_Matrices (1).pptx 2050 2025 2025

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1. Vectores y Matrices Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Santa Fe Universidad Tecnológica Nacional

2. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Vectores Un vector renglón (o fila) de n componentes es un conjunto ordenado de n números: x 1 , x 2 , … , x n escritos de la siguiente manera: = (x 1 , x 2 , … , x n ) (1)   Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números: x 1 , x 2 , … , x n escritos de la siguiente manera: (2)   =   Tanto en (1) como en (2) a x 1 se lo denomina primera componente del vector ( en (1) y en (2) ), a x 2 se lo denomina segunda componente del vector y en general a x k se lo denomina k- ésima componente del vector.   Cualquier vector cuyas componentes son todas cero se denomina vector cero . Lo denotamos .  

3. Ejemplos de vectores           ≠ ya que importa el orden de las componentes. Basta observar que difieren en una componente (la primera componente de es 1 y la de es -2).   ≠ ya que es un vector columna y es un vector renglón.   = si los componentes de ambos vectores son los números enteros y se han definido la suma y la resta tradicional.     ≠ ya que tiene 3 componentes y tiene dos componentes (difieren en tamaño o dimensión)   ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

4. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Vectores El símbolo se usa para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n: . El símbolo se usa para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n: .  

5. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Matrices Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de m.n números dispuestos en m renglones y n columnas: Observación: un vector renglón de n componentes es una matriz de 1 x n y un vector columna de n componentes es una matriz de n x 1.  

6. Una matriz A de m x n también puede escribirse como: A = ( a ij ), describiendo cómo se define cada a ij para todo 1im y todo 1jn. Ejemplo: Con m=3; n=2 a 11 =-2 a 12 =-2/3 a 21 =0 a 22 = 7 a 31 =1 a 32 =0 A= -2 -2/3 0 7 1 0 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Matrices

7. 1. Escribe explícitamente la matriz A: A = ( a ij ) / a ij  R, 1i3 , 1j2 a ij = 2 si i  j ; a ij = -1 si i > j Dado que 1i3, tenemos que A tiene 3 filas. Dado que 1j2, tenemos que A tiene 2 columnas. Hallamos sus componentes: a 11 = 2 ya que i = j = 1 a 21 = -1 ya que i = 2 > 1 = j a 31 = -1 ya que i = 3 > 1 = j a 12 = 2 ya que i =1< 2 = j a 22 = 2 ya que i = j = 2 a 32 = -1 ya que i = 3 > 2 = j 2 2 -1 2 -1 -1 A= Ejemplos ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

8. Hallamos sus componentes: b 11 : como i = j = 1, b 11 = 1 – 1 = 0 b 21 : como i = 2 > 1 = j, b 21 = 2! = 2 b 31 : como i = 3 > 1 = j, b 31 = 3! = 6 0 -1 -2 -3 2 0 -1 -2 6 6 0 -1 B= b 12 : como i = 1 < 2 = j, b 12 = 1-2 = -1 b 22 : como i = j = 2, b 22 = 2 – 2 = 0 b 32 : como i = 3 > 2 = j, b 32 = 3! = 6 2. Escribe explícitamente la matriz B: B = ( b ij ) / b ij  R, 1i3 , 1j4 b ij = i-j si i  j ; b ij = i! si i > j Dado que 1i3, tenemos que A tiene 3 filas. Dado que 1j4, tenemos que A tiene 4 columnas. Ejemplos ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

9. Si todos los elementos son cero, se denomina matriz cero de m x n . Si m = n, A es una matriz cuadrada. Para una matriz cuadrada, d = { a ii } / a ii  R, 1in es la diagonal de A. Si A es cuadrada, a ij = 0  i  j, A es una matriz diagonal . Si A es cuadrada, a ij = 0  i  j y a ij = k  R ,  i = j , A es una matriz escalar . Ejemplos A= -2 -2/3 1 7 -3 1 0 13 No cero Cuadrada No diagonal No escalar B= 3 0 7 0 0 No cero No cuadrada No diagonal No escalar 7 0 0 7 0 0 7 C= No cero Cuadrada Diagonal Escalar ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Definiciones en matrices D= 0 0 0 0 Cero de 3 x 2 No cuadrada No diagonal No escalar

10. Dos matrices A = ( a ij ) y B = ( b ij ) son iguales si y sólo si Son del mismo tamaño y Las componentes correspondientes son iguales. Ejemplos: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Igualdad de matrices A= -2 -2/3 1 0 7 -3 1 0 13 B= -2 -2/3 0 0 7 0 1 0 0 C= -2 -2/3 0 7 1 0 D= -1-1 -2/3 1-1 4+3 1-0 0 A ≠ B ya que a 13 = 1 ≠ 0 = b 13 (también porque a 23 ≠ b 23 o a 33 ≠ b 33 pero basta que difieran en una componente para ser matrices distintas). A ≠ C ≠ B ya que C es una matriz de 3x2 y tanto A como B son de 3 x 3. C = D si las componentes de ambas matrices son los números enteros y se han definido la suma y la resta tradicional.

11. A = ( a ij ) , B = ( b ij ), 1im , 1jn, A+B = S = (s ij ) / s ij = a ij + b ij Ejemplo: -1 0 -3 1/2 2 1 3 -1/4 3 -1/2 3 1 + = 2 -1/4 0 0 5 2 Suma de matrices ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Cuidado : la suma de matrices de diferente tamaño no está definida (si A y B tienen diferente tamaño A + B no está definida)

12. A = ( a ij ) , 1im , 1jn; α escalar: α A = M = ( α a ij ), 1im , 1jn Ejemplos: Multiplicación de una matriz por un escalar ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE 0 -1 -2 -3 2 0 -1 -2 3 ½ 0 -1 A= 0 -2 -4 -6 4 0 -2 -4 6 1 0 -2 a) 2A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) 0A =

13. Teorema 2.1.1: Sean A, B y C tres matrices de m x n y sean α y β dos escalares. Entonces: A + 0 = A, donde 0 es la matriz cero de m x n 0A = 0, donde 0 en el miembro izquierdo es el escalar 0 y 0 en el miembro derecho es la matriz cero de m x n. A + B = B + A (Ley conmutativa para la suma) (A + B) + C = A + (B + C) (Ley asociativa para la suma) α (A + B) = α A + α B (Ley distributiva para la multiplicación por un escalar) 1A = A , donde 1 es el escalar 1 ( α + β )A = α A + β A Propiedades ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

14. Dos posibilidades: Utilizar la notación expandida de la matriz (puede quedar más claro en principio, hay que escribir más): A Utilizar la notación más compacta: A = ( a ij ) (hay que escribir menos pero puede ocasionar confusión).   Demostración de Propiedades ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

15. A + 0 = A Demostración (forma 1): Sea A de m x n, luego 0 es la matriz cero de m x n y tenemos: A + = = = = A   Demostración de Propiedades ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Definición de suma de matrices Suma de números reales

16. A + 0 = A Demostración (forma 2): Sea A de m x n, luego 0 es la matriz cero de m x n y tenemos: A = ( a ij ) , 1  i  m , 1  j  n , = ( b ij ) tal que b ij = 0,  i: 1  i  m ,  j: 1  j  n, Luego A + 0 = ( a ij + b ij ) = ( a ij + 0 ) = ( a ij ) = A Demostración de Propiedades ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Definición de suma de matrices Suma de números reales

17. Sean = y = dos vectores del mismo tamaño, el producto escalar (o producto punto o producto interno) de y , está dado por: = + … + . Ejemplo: Sea y luego = 1.1 + (-2).2 + 0.3 = -3 Observación: el producto escalar de dos vectores de dimensión n es un escalar (es decir un número). Puede definirse también el producto escalar de un vector renglón con un vector columna, ambos del mismo tamaño (multiplicar la i- ésima componente del primero con la i- ésima componente del segundo).   Producto escalar (de vectores) ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

18. Teorema 2.2.1: Sean , y tres vectores de dimensión n y sea α un escalar, entonces: = 0, donde es de dimensión n. (Ley conmutativa del producto escalar) ( α ) α ( )   Propiedades del producto escalar (de vectores) ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

19. Sean , y tres vectores de dimensión n y sea α un escalar, entonces: Demostración: Sean , y luego = = ( ) + … + ( ) = = + … + + + … + = =   Demostraciones Propiedades del producto escalar ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Definición de suma de vectores Definición de producto escalar Prop . distributiva de la mult . respecto de la suma en R Prop . Conmutativa de la suma Def . de producto escalar

20. Ejemplo: 7 1 -1 0 -3 5 3x2 . 0 -1 -2 -3 2 0 -1 -2 2x4 = Se pueden multiplicar La matriz producto es de orden 3x4 7.0+1.2 7.(-1)+1.0 -15 -23 -1.0+0.2 -1(-1)+0.0 2 3 -3.0+5.2 -3.(-1)+5.0 1 -1 0 -1 -2 -3 2 0 -1 -2 2x4 B = 7 1 -1 0 -3 5 3x2 A = ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Producto de matrices

21. Producto de matrices ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Definición: Sea A= ( a ij ) una matriz m x n, y sea B= ( b ij ) una matriz n x p. Entonces el producto de A y B es una matriz m x p, C= ( c ij ) , en donde: c ij = (renglón i de A) (columna j de B) Es decir, el elemento ij de C=AB es el producto escalar del renglón i de A y la columna j de B: ; c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj =  

22. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Producto de matrices Si la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación . Observación: dos matrices pueden multiplicarse solamente si la cantidad de columnas de la primera es igual a la cantidad de renglones de la segunda. Si no ocurre se dice que las matrices son incompatibles bajo la multiplicación .

23. Propiedades del producto de matrices ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Ley asociativa de la multiplicación de matrices (T.2.2.2): Sea A una matriz de n x m, B una de m x p y C una de p x q, entonces A(BC) = (AB)C ( Por esta razón podemos escribir simplemente ABC. Esta ley puede extenderse a producto de más matrices: siempre que el producto esté bien definido: ABCD = A(B(CD)) = ((AB)C)D = A(BC)D = (AB)(CD) ). Ley distributiva 1 (T.2.2.3): Sea A una matriz de n x m y B y C matrices de m x p, entonces: A(B + C) = AB + AC. Ley distributiva 2 (T.2.2.3): Sean A y B matrices de n x m y C una matriz de m x p, entonces: ( A + B) C = AC + BC.

24. Propiedades del producto de matrices ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Importante: AB  BA Para tener en cuenta: A B = 0 no implica A = 0 o B = 0              

25. Propiedades del producto de matrices ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Para tener en cuenta: A ≠ 0 y A B = A C no implica B = C (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 (A + B) (A – B) = A 2 – AB + BA – B 2 A I = I A = A si A es cuadrada e I es la matriz diagonal con todos unos en la diagonal (matriz identidad). Potencias de matrices cuadradas: A 1 = A; A n+1 = A n A ; si n  1

26. Comparación de los productos escalar y matricial ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Propiedades Producto Escalar Producto Matricial CONMUTATIVA SI NO ASOCIATIVA NO SI DISTRIBUTIVA SI SI

27. Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Procesos estocásticos: lo que sucede es aleatorio y a lo sumo depende de lo que sucedió antes. Ejemplo 1: Revolver primera versión Revolver con una bala de seis. Giramos el tambor y se aprieta el gatillo. El revolver no falla. Si no se dispara seguimos gatillando. Estados = {se dispara, no se dispara} Vuelta Prob . que se dispare Prob . que no se dispare 1 1/6 5/6 Si no se dispara 2 1/5 4/5 3 1/4 3/4 4 1/3 2/3 5 1/2 1/2 6 1 0 LO QUE SUCEDE DEPENDE DE TODOS LOS ESTADOS DE LOS PASOS ANTERIORES

28. Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Procesos estocásticos: lo que sucede es aleatorio y a lo sumo depende de lo que sucedió antes. Ejemplo 2: Revolver segunda versión Revolver con una bala de seis. Giramos el tambor y se aprieta el gatillo. El revolver no falla. Si no se dispara, volvemos a girar el tambor y luego gatillamos. Estados = {se dispara, no se dispara} Vuelta Prob . que se dispare Prob . que no se dispare 1 1/6 5/6 Si no se dispara 2 1/6 5/6 3 1/6 5/6 4 1/6 5/6 5 1/6 5/6 … … … LO QUE SUCEDE DEPENDE DE ÚNICAMENTE DEL ESTADO EN EL PASO ANTERIOR

29. Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Procesos estocásticos: lo que sucede es aleatorio y a lo sumo depende de lo que sucedió antes. Ejemplo 3: Moneda y Dado a) Probabilidad que salga cara: 1/2, 1/2, 1/2, … LO QUE SUCEDE NO DEPENDE DE LOS ESTADOS EN LOS PASOS ANTERIORES b) Probabilidad que salga 3: 1/6, 1/6, 1/6, … Cadenas de Markov finitas: Es un proceso estocástico en el que hay una cantidad finita de estados: 1, 2, …, n, y lo que sucede a lo sumo depende de lo que sucedió en el paso anterior. No es Cadena de Markov finita: Revolver primera versión. Son Cadenas de Markov finitas: Revolver segunda versión, moneda, dado.

30. Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Cadenas de Markov finitas: Es un proceso estocástico en el que hay una cantidad finita de estados: 1, 2, …, n, y lo que sucede a lo sumo depende de lo que sucedió en el paso anterior. Matriz de transicisión de estados: matriz P = ( p ij ), 1 < i,j < n tal que: p ij = probabilidad de que estando en el estado j en el paso siguiente esté en el estado i. Ejemplo 2: Revolver segunda versión Estados = {se dispara (1) , no se dispara (2)} p 11 = probabilidad de que estando en el estado 1 (se dispara) en el paso siguiente esté en el estado 1 (se dispara) = 0. p 12 = probabilidad de que estando en el estado 2 (no se dispara) en el paso siguiente esté en el estado 1 (se dispara) = 1/6. p 21 = probabilidad de que estando en el estado 1 (se dispara) en el paso siguiente esté en el estado 2 (no se dispara) = 1. p 22 = probabilidad de que estando en el estado 2 (no se dispara) en el paso siguiente esté en el estado 2 (no se dispara) = 5/6.    j, 1 < j < n

31. Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Cadenas de Markov finitas: Es un proceso estocástico en el que hay una cantidad finita de estados: 1, 2, …, n, y lo que sucede a lo sumo depende de lo que sucedió antes. Matriz de transicisión de estados: matriz P = ( p ij ), 1 < i,j < n tal que: p ij = probabilidad de que estando en el estado j en el paso siguiente esté en el estado i. Ejemplo 3: Moneda Estados = {cara (1) , ceca (2)} p 11 = probabilidad de que saliendo cara en el paso siguiente salga cara = 1/2. p 12 = probabilidad de que saliendo ceca en el paso siguiente salga cara = 1/2. p 21 = probabilidad de que saliendo cara en el paso siguiente salga ceca. p 22 = probabilidad de que saliendo ceca en el paso siguiente salga ceca.    j, 1 < j < n

32. Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Matriz de transición de estados: Multiplicando matricialmente P por el vector de estado , obtenemos el vector del estado siguiente   Ejemplo 2: Revolver segunda versión. Si en el estado n el revolver se disparó, ¿cuáles son las probabilidades de que en el estado n + 1 el revolver se dispare y cuáles que no se dispare.   Estados = {se dispara (1) , no se dispara (2)}

33. Un problema de Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Dos negocios (A y B) surten de un producto a cierta población. Con el tiempo algunos clientes cambian de repartidor por diferentes razones (publicidad, costo, conveniencia, etc.). Se desea modelar y analizar el movimiento de los clientes entre los dos negocios suponiendo, por simplicidad, que la misma fracción de clientes cambiará de un negocio a otro durante cada período de tiempo. Suponer que después de un mes el negocio A ha logrado mantener el 80% de sus propios clientes y además ha atraído el 30% de los clientes del negocio B. Si el negocio A cuenta actualmente con 30 000 clientes y el número total de clientes es de 100000, responder:   a) ¿Con qué cantidad de clientes contará cada negocio después de un mes? b) ¿Y al cabo de dos meses? c) ¿Cuál será la fórmula que permite conocer la distribución de clientes al cabo de n meses? d) ¿Cómo podrías determinar si en algún momento la distribución del mercado se estabiliza?

34. Un problema de Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Estados = {es cliente del negocio A (1), es cliente del negocio B (2)} p 11 = probabilidad de que estando en el estado 1 (sea cliente del negocio A) en el paso siguiente esté en el estado 1 (sea cliente del negocio A) = 0,8. p 12 = probabilidad de que estando en el estado 2 (sea cliente del negocio B) en el paso siguiente esté en el estado 1 (sea cliente del negocio A) = 0,3. p 21 = probabilidad de que estando en el estado 1 (sea cliente del negocio A) en el paso siguiente esté en el estado 2 (sea cliente del negocio B) = 0,2. p 22 = probabilidad de que estando en el estado 2 (sea cliente del negocio B) en el paso siguiente esté en el estado 2 (sea cliente del negocio B) = 0,7. P =  

35. Un problema de Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Estados = {es cliente del negocio A (1), es cliente del negocio B (2)} P =   a) ¿Con qué cantidad de clientes contará cada negocio después de un mes? Si el negocio A cuenta actualmente con 30000 clientes y el número total de clientes es de 100000:   Después de un mes el negocio A contará con 45000 clientes y el B con 55000.

36. Un problema de Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Estados = {es cliente del negocio A (1), es cliente del negocio B (2)} P =   b) ¿Y al cabo de dos meses? Después de un mes el negocio A contará con 45000 clientes y el B con 55000.   Después de dos meses el negocio A contará con 52500 clientes y el B con 47500.

37. Un problema de Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Estados = {es cliente del negocio A (1), es cliente del negocio B (2)} P =   c) ¿Cuál será la fórmula que permite conocer la distribución de clientes al cabo de n meses? Si el negocio A cuenta actualmente con 30000 clientes y el número total de clientes es de 100000:   La fórmula que permite conocer la distribución de clientes al cabo de n meses es:    

38. Un problema de Cadenas de Markov ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE d) ¿Cómo podrías determinar si en algún momento la distribución del mercado se estabiliza? Tenemos que analizar si existe con y tal que     A largo plazo habrá 60.000 clientes es A y 40.000 en B (este sistema alcanza el estado de equilibrio) No sabemos cuándo se logra el equilibrio en este sistema pero sí la distribución de su estado de equilibrio.

39. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden escribirse en forma matricial: A = A: Matriz de coeficientes : vector columna de incógnitas : vector columna de términos independientes   Ejemplo x 1 - 3x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 - 5x 2 + 7x 3 = 2 -x 2 + 2 x 3 = -1 Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Puede escribirse en forma matricial 1 -3 4 2 -5 7 0 -1 2 . x 1 x 2 x 3 = 1 2 -1 A     Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

40. Si = , el sistema es homogéneo y se puede escribir A = . Si ≠ decimos que el sistema es no homogéneo . Dado un sistema lineal no homogéneo A = un sistema homogéneo asociado se define como A = . Teorema 2.3.1: Sean y soluciones del sistema no homogéneo A = , entonces - es una solución al sistema homogéneo asociado. Demostración: SI   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

41. Teorema: Sean y soluciones del sistema no homogéneo A = , entonces - es una solución al sistema homogéneo asociado. Ejemplo: El sistema tiene solución S = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 )} = {(-1-t ; 0 ; 1; t)}  t  R. Este sistema puede escribirse como A = : Dos soluciones son y . Luego, por teorema, , es solución del homogéneo A = .   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE x 1 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + x 4 = -1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 -2 0 1 . x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 -1 A    

42. Ejemplo: es solución de Para t = -1 obtenemos la solución que garantizaba el teorema   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE x 1 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 = 0 x 1 - 2 x 2 + x 4 = 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 -2 0 1 0 R 3  R 3 - R 1 R 3  R 3 + 2R 2 S = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 )} = {(-t ; 0 ; 0; t)}  t  R 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 -2 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 Del último renglón: x 3 = 0 Del segundo: x 2 + x 3 = 0; x 2 = - x 3  x 2 = 0 Del primero: x 1 + x 3 + x 4 = 0  x 1 = – x 4 = - t

43. Teorema 2.3.1: Sean y soluciones del sistema no homogéneo A = , entonces - es una solución al sistema homogéneo asociado. Demostración: SI   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE A ( - )   Ley distributiva de matrices = A - A   = -   y soluciones del sistema no homogéneo   =  

44. Teorema: Sean y soluciones del sistema no homogéneo A = , entonces - es una solución al sistema homogéneo asociado. Corolario: Sean y soluciones del sistema no homogéneo A = , luego existe una solución al sistema homogéneo asociado A = tal que: = + . Demostración: Por el teorema anterior - es una solución al sistema homogéneo asociado A = . Definiendo = - , por suma de vectores, tenemos = + .   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

45. La matriz identidad I n de n x n es una matriz de n x n cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás son 0 (es decir, es una matriz escalar con escalar 1): Ejemplo:   Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

46. Teorema 2.4.1: Sea A una matriz cuadrada de n x n, entonces A I n = I n A = A. Demostración: Utilizar la matriz expandida (tedioso) Utilizar una notación más compacta (mejor) Sean a ij el elemento ij de A, b ij el elemento ij de I n y c ij el elemento ij de A I n , luego, para todo c ij tenemos: c ij = [a i1 a i2 … a ij … a in ]. = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a ij b jj + … + a in b nj = = a i1 0 + … + a ij 1 + … + a in 0 = a ij De manera similar podemos probar I n A = A. Observación: Utilizaremos I en vez de I n ya que el tamaño de I es inferible cuando se da A.   Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

47. Sean A y B dos matrices de n x n, tales que AB = BA = I, entonces B se llama inversa de A y se denota por A -1 , es decir: A A -1 = A -1 A = I . Si A tiene inversa se llama invertible . Una matriz que no es inversible se llama singular o no regular y una matriz invertible se llama también no singular o regular . Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

48. Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Teorema 2.4.2: Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única Demostración: SI Supongamos que B y C son inversas de A, luego, por definición de inversa: AB = BA = I y AC = CA = I. Tenemos: B = B I = B (AC) = (BA)C = IC = C Teorema Prop . Asociativa de la multiplicación de matrices Teorema

49. Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Teorema 2.4.3: Sean A y B dos matrices invertibles de n x n. Entonces AB es invertible y ( AB) -1 = B -1 A -1 Demostración: SI Por definición de matriz inversa basta probar (AB)(B -1 A -1 ) = (B -1 A -1 ) (AB) = I: (AB) (B -1 A -1 ) = A(B B -1 )A -1 = AI A -1 = A A -1 = I Teorema Prop . Asociativa de la multiplicación de matrices (B -1 A -1 )(AB) = B -1 (A -1 A)B = B -1 IB = B -1 B = I Teorema Prop . Asociativa de la multiplicación de matrices

50. Inversa y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Teorema2.4.4: Si A es invertible, el sistema A = tiene una única solución = A -1 Demostración: A = A -1 A = A -1 I = A -1 = A -1 Dado que la matriz A -1 es única, el vector es único.  

51. Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Ejemplo: Hallar, si existe, la inversa de la matriz . Supongamos que existe luego es de 2 x 2 y A = I. Por tanto si tenemos: A = = = ,lo que equivale a resolver:  

52. Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Observar que en las ecuaciones 1 y 3 involucran solamente las variables x , z y las ecuaciones 2 y 4 sólo las variables y , w . Luego resolver el sistema equivale a resolver los sistemas: y Estos sistemas tienen solución única si la matriz escalón reducida en ambos casos es I y si logramos obtener I, en la parte aumentada nos dan los valores buscados: y . Pero las matrices de coeficientes son iguales, por tanto se puede aplicar la Gauss- Jordan a la matriz: .  

53. Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Luego, si A es invertible, al obtener la matriz escalón reducida de la matriz de coeficientes en la parte aumentada (I) nos queda en la parte aumentada: Resumiendo: Hallar, si existe, la inversa de la matriz Plantear Hacer Gauss- Jordan : Si obtenemos I en la matriz de coeficientes, en la parte aumentada obtenemos (si en la matriz de coeficientes obtenemos una fila de ceros A no es invertible).  

54. A= 3 4 18 0 2 4 1 0 3 3 4 18 1 0 0 0 2 4 0 1 0 1 0 3 0 0 1 Planteamos Hallamos la forma escalón reducida de A aplicando las operaciones a A | I 3 4 18 1 0 0 0 2 4 0 1 0 1 0 3 0 0 1 R 1  R 3 1 0 3 0 0 1 0 2 4 0 1 0 3 4 18 1 0 0 R 3  R 3 - 3R 1 1 0 3 0 0 1 0 2 4 0 1 0 0 4 9 1 0 -3 R 2  ½ R 2 1 0 3 0 0 1 0 1 2 0 ½ 0 0 4 9 1 0 -3 R 3  R 3 - 4R 2 1 0 3 0 0 1 0 1 2 0 ½ 0 0 0 1 1 -2 -3 R 1  R 1 - 3R 3 R 2  R 2 - 2R 3 1 0 0 -3 6 10 0 1 0 -2 9/2 6 0 0 1 1 -2 -3 I A -1 Cálculo de la matriz inversa ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

55. Para A = 3 4 18 0 2 4 1 0 3 Obtuvimos A -1 = -3 6 10 -2 9/2 6 1 -2 -3 Verificación: 3 4 18 0 2 4 1 0 3 A.A -1 = -3 6 10 -2 9/2 6 1 -2 -3 . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = Verificación del cálculo de A -1 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

56. Inversa de una matriz cuadrada ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Ejemplo: Hallar, si existe, la inversa de la matriz .     ≠ I A -1  

57. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden escribirse en forma matricial: A = A: Matriz de coeficientes : vector columna de incógnitas : vector columna de términos independientes   Ejemplo x 1 - 3x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 - 5x 2 + 7x 3 = 2 -x 2 + 2 x 3 = -1 Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Puede escribirse en forma matricial 1 -3 4 2 -5 7 0 -1 2 . x 1 x 2 x 3 = 1 2 -1 A     Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

58. Si A admite inversa, obtenemos: A = = A -1   = x 1 x 2 x 3   1 2 -1   -3 2 -1 -4 2 1 -2 1 1 A -1 . = 2 -1 -1 Concluimos que la solución del sistema es: S = {(x 1 ; x 2 ; x 3 )} = {(2 ; -1 ; -1)} Hallando A -1 . x 1 x 2 x 3 1 1 1 1 -3 4 2 -5 7 0 -1 2 A     = ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Inversa y sistemas de ecuaciones lineales

59. Inversa de una matriz cuadrada de 2 x 2 Teorema 2.4.5: Sea A=( a ij ) una matriz de 2 x 2. Entonces: A es invertible si y sólo si a 11 a 22 – a 12 a 21 ≠ 0 ( det A ≠ 0). Si a 11 a 22 – a 12 a 21 ≠ 0 ( det A ≠ 0), entonces   Ejemplo: Hallar la matriz inversa de   A -1 = [1/ (1.3 – 4.(-2)]. 3 2 -4 1 = 1/11. 3 2 -4 1 = 3/11 2/11 -4/11 1/11 = ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

60. Inversa de una matriz cuadrada Teorema de Resumen 2.4.7: Sea A una matriz de n x n, las seis afirmaciones siguientes son equivalentes: A es invertible. La única solución al sistema homogéneo A = es la solución trivial ( = ). El sistema A = tiene una solución única para cada vector de dimensión n ( = A -1 ). A es equivalente por renglones a I (es decir, si la forma escalón r educida de A es I). Toda forma escalón por renglones de A tiene n pivotes. det A ≠ 0 (hasta ahora sólo definimos det A para A de 2 x 2).   ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

61. Si A = ( a ij ) / a ij  R, 1im, 1jn Definimos: A T = ( b ji ) / b ji  R, tal que b ji = a ij para todos 1im y 1jn Ejemplo: A= 7 -3 2 4 1 5 3x2 7 2 1 -3 4 5 A T = 2x3 Transposición ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

62. “Teorema 2.5.1”: Si las operaciones están bien definidas i) (A T ) T = A ii) (A+B) T = A T + B T iii) (c A) T = c A T iv) (A B) T = B T A T Sean A mxn , B nxp luego: A mxn B nxp  (AB) mxp  (AB) T pxm B T pxn A T nxm  ( B T A T ) pxm Cuidado: no probamos la propiedad, sólo que los órdenes de las matrices son iguales. Transposición ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

63. “Teorema 2.5.1”: Si las operaciones están bien definidas v) Si A es invertible, A T es invertible y (A T ) -1 = (A -1 ) T Ejemplo: Transposición ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE     =     =   =  

64. La matriz A de n x n se denomina simétrica si A T = A (es decir las columnas de A son también los renglones de A). Ejemplo:   Transposición ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE La matriz A de n x n se denomina antisimétrica si A T = -A (es decir, a ij = - a ji ). Ejemplo:   Una matriz A de n x n, ¿puede ser simétrica y antisimétrica ?

65. A = ( a ij ) , B = ( b ij ), matrices de mxn , despejar la matriz X: A+X = B (-A) +A +X = (-A) + B Asociando y sabiendo que A+(-A) = 0 0 +X = (-A) + B X = (-A) + B Escribimos (-A) + B = B – A Luego, X = B – A Ecuaciones ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

66. A, B, C son de orden nxn y regulares A X C = B (A -1 ) A X C= A -1 B X C C -1 = A -1 B C -1 X = A -1 B C -1 ¿Hace falta que A, B y C sean regulares para poder despejar X? Ecuaciones ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE

67. Ecuaciones ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Ejercicio 1, TP1 Civil B 2015 Dadas las siguientes matrices: Despejar X y luego resolver, en cada una de las siguientes ecuaciones: a) AX=5X+B b) C 2 =DX  

68. Ecuaciones ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE AX=5X+B AX - 5X = B 4   4I   AX – 5IX = B (A – 5I)X = B Si existe (A – 5I) -1 : X = (A – 5I) -1 B Luego:        

69. Aplicación: Modelo económico de Leontief ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Para industrias que interactúan (se demandan mutuamente) Demanda externa: demanda que viene desde fuera del sistema (que no proviene de ninguna de las industrias). Demanda interna: la que hace una industria a otra (entre las que forman el sistema), o la que hace la industria sobre sí misma. La producción de cada industria es igual a su demanda. IMPORTANTE

70. 1) Considerar dos industrias en las que se producen respectivamente dos artículos: vehículos (camiones, automóviles, etc.) y acero. Cada año se da una demanda externa (proveniente de otras industrias, empresas privadas o de otros países) de 360 000 toneladas de acero y 110 000 vehículos. La demanda externa no es la única que se da en las dos industrias consideradas. Se requiere acero para producir vehículos. También se requieren vehículos para producir vehículos, porque las plantas manufactureras de esos vehículos requieren autos y camiones para transportar los materiales y los empleados. De igual manera, la industria del acero requiere acero (para su maquinaria) y vehículos (para el transporte del producto y de los trabajadores) en su operación. Así, cada una de las dos industrias impone demandas a si misma y a la otra industria. Estas acciones se llaman demandas internas . Suponer que la industria del acero requiere 1/4 de tonelada de acero y 1/12 de vehículo para producir 1 tonelada de acero (es decir, se usa 1 vehículo en la producción de 12 toneladas de acero). También la industria automotriz requiere de 1/2 tonelada de acero y de 1/9 de vehículo para producir un vehículo. ¿Cuantas toneladas de acero y cuantos vehículos se deben producir cada año para que la disponibilidad de cada uno sea igual a la demanda total (externa + interna)? ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Aplicación: Modelo económico de Leontief

71. x: “producción (en toneladas) anual de la industria de acero” y: “producción anual de la industria automotriz” ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE x = 1/4 x + 1/2 y + 360000 y = 1/12 x + 1/9 y + 110000 Aplicación: Modelo económico de Leontief Cada año se da una demanda externa de 360 000 toneladas de acero y 110000 vehículos. Suponer que la industria del acero requiere 1/4 de tonelada de acero y 1/12 de vehículo para producir 1 tonelada de acero (es decir, se usa 1 vehículo en la producción de 12 toneladas de acero). También la industria automotriz requiere de 1/2 tonelada de acero y de 1/9 de vehículo para producir un vehículo. Disponibilidad de cada uno sea igual a la demanda total (externa + interna) Matricialmente:   Si existe , obtenemos que el vector de producción (oferta) es   Resolviendo con calculadora   No habrá sobreproducción si se producen por año 600.000 toneladas de acero y 180.000 vehículos.

72. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Aplicación: Modelo económico de Leontief Nota : L a matriz se llama matriz de Leontief , donde es la matriz de las demandas internas , sus elementos indican la cantidad que demanda la industria sobre la producción de la industria para producir una unidad de su producto. es el vector de las demandas externas .     Asignamos: (en nuestro ejemplo): 1 a la industria del acero y 2 a la industria automotriz a 11 = cantidad que demanda la industria 1 (acero) a la industria 1 (acero) para producir una unidad del producto 1 (acero) = ¼. a 12 = cantidad que demanda la industria 2 (automotriz) a la industria 1 (acero) para producir una unidad del producto 2 (automotriz)= ½. a 21 = cantidad que demanda la industria 1 (acero) a la industria 2 (automotriz) para producir una unidad del producto 1 (acero) = 1/12. a 22 = cantidad que demanda la industria 2 (automotriz) a la industria 2 (automotriz) para producir una unidad del producto 2 (automotriz) = 1/9.

73. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Repaso: SEL y Matrices Ejercicio 1 : Analizar el siguiente sistema según los valores del parámetro α , determinando cuando es compatible (determinado o indeterminado) y cuando incompatible. x - 3y + α z = -1 2x + y - 3z = α 8 x - 3y -5z = 4

74. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Repaso: SEL y Matrices Ejercicio 2 : En el problema de cadenas de Markov visto, si sabemos que en un mes determinado el negocio A contó con 5625 clientes y el negocio B contó con 4375 . ¿Con cuántos clientes contó cada negocio el mes anterior? Estados = {es cliente del negocio A (1), es cliente del negocio B (2)} P =  

75. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Repaso: SEL y Matrices

76. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Repaso: SEL y Matrices Ejercicio 4 : Dadas las siguientes matrices: Despejar X y luego resolver la siguiente ecuación: C 2 =DX  

77. Ecuaciones ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL SANTA FE Ejercicio 2. B Recuperatorio del Primer Parcial (2/12/15) Dada la ecuación matricial (A X  B X) C  1 = (C B) –1 , donde X es la matriz incógnita. Se pide: b 1 ) Obtener una expresión simbólica para X (es decir, despejar X) (8 ptos ). b 2 ) Si , B = A – I y C = -2A, hallar, si es posible, la matriz X (8 ptos ).