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EJERCICIOS FISICA: VECTORES DEL LIBRO DE RESNICK

1. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


Para que el desplazamiento resultante sea:
a) 7 m
Los vectores deben estar paralelos entre sí y misma dirección

b) 1m
Los vectores deben estar paralelos y opuestos (restándose)

c) 5m
Los vectores deben ser perpendiculares:

E⃗R CI⃗ = √9 + 16 = 5 m

2. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

a) ⃗ +KI⃗ = VJ y a+b=c
Se tienen 2 vectores sumados y se pide que sus magnitudes sumadas sea otro
numero real
Esto se cumple solamente si los vectores son paralelos y tienen la misma dirección

b) ⃗ +KI⃗ =⃗ - KI⃗

La ubica opción de que se cumpla la igualdad es que: TII⃗O :

PI
I⃗ =SPII⃗
c) ⃗ +KI⃗ = VJ y
U
R K
U
OSV
U


Para que se cumpla las condiciones dadas:
Los vectores a y b deben ser perpendiculares

3. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

Usando el AUTOCAD se determina que el desplazamiento es de:
r = 374.28 m
MJ O sc.WVidccm R darccguR Al.m
MJ O yAyoyLSm R s.2ol0Sg
M OS√313.39
U
+ 204.78
U
= 374.36 %


a)
MJ O yoASg q so2Sm q cosSg

MJ O qso2SmS q soASg
r = √2.4
U
+ 2.1
U
= 3.19 '%

4. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
b)

p OS zNr
*+
,
Uo7
Uot
. = 48.81
o
Sur Oeste


/I⃗O NJ RSKI⃗
Sabemos que, en un triángulo, la suma de dos lados
siempre es mayor que el tercer lado. En el triángulo de arriba,
tenemos:
⃗+ KI⃗ < |⃗|+ KI⃗
Además, también sabemos que la diferencia de dos lados es menor
que el tercer lado. Entonces, tenemos:
|⃗|− KI⃗ < ⃗+ KI⃗
Por tanto:
|⃗|− KI⃗ < ⃗+ KI⃗ < |⃗|+ KI⃗
Recuerde que el menor valor se obtiene cuando los vectores
son paralelos y direcciones opuestas

5. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023



MJ O c2m R ysg R slWVidFsm R darFsgu
MJ O FFoFlSm R cco02Sg
|MJ|= √66.67
U
+ 55.84
U
= 86.96 '%



2⃗OSNJ RSKI
⃗
; /I⃗OSNJ qSKI⃗

Por teorema de cosenos:

2⃗ = 2 =√
U
R K
U
R sNKVid(

2 = √5.2
U
+ 4.3
U
R s á cos á 2oyVidAsc

6. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
2 = √19.88
= 4.46 5


6789
-.:
=
;<=>>
,oU

Sen(Au O .oFll
A= 42.64
? = 90 − 42.64 = 47.36
o
Noreste
/I
⃗ = / =√
U
R K
U
R sNKVid(
R= √5.2
U
+ 4.3
U
R s á cos á 2oyVidcc

/ = √71.18= 8.44 5


;<=>>
@.--
=
;<= A
-.:

darSE O .o2Al
A = 24.67
o

é O L. q E O L. q s2oFl
é O FcoyySSS15MSXdza

7. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
MJ OSMJ
+RSMJ
UR MJ
:
MJ O Asg R FWVidyAcm R daryAcguR yWVidsscm R darsscgu
MJ O 12j + 4.24i -4.24 j - 2.12 i - 2.12 j
MJ O soAsSm R coF2Sg
p O zNr
*+
,
>.D-
UotU
.= 63.4
o

Para meter la bola en el primer golpe de debe tener una magnitud de :
M OS√2.12
U
+ 5.64
U

= 6 E) , 63.4
o
Norte del Este


a)

E⃗O EWVidscsm R darscsgu
E⃗O loy2WVidscsm R darscsgu
E⃗=-2.27 i -6.98 j (u)
b)

8. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
E⃗ =FE
U
G
R E
U
H
=√25
U
+ 43
U
= 49.74 5
p O A0. q zNr
*+
W
-:
U,
u= 180 − 59.83
( = 120.17
o




SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSMJ O AySWVidssm R darSssgu
MJ O Aso.cSm R 2o0lSgSSSW%u
I
J = 12.05 %
K = 4.87 %

9. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
El vector horizontal en café, representa todos los desplazamientos a lo largo de
X y el vector en amarillo representa los desplazamientos en Y, así:

d = 3.42cos 55+ 3.42 sen 55
d = 1.96+ 2.8
d = 4.76 km


Se tiene que:
MJ
+R /MI
III⃗OSMJ
/MIIII⃗OSSSMJ qSMJ
+
/MIIII⃗O SSSyAo2Sm R lsoFSgS q SAs2g
/MIIII⃗O SSSyAo2Sm q cAo2Sg
p OSzNr
*+
,
:+.-
>+.-
.= 31.42
o

/M OS√31.4
U
+ 51.4
U
= 60.23 M%
/M O F.osySSSe3SSS* yAo2s
o
NO

10. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

11. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023

Se tiene que: l= R3
− O Sú á .o2cS O .o2cSSúSSSW3uS
MJ O .o2cúSm R sbg qW.m R .gu
/MJ O Ao2ASm R Ssbg O Ao2ASm R s á .o2cSg
/MJ O Ao2A R .oLSg (m)


a) MJ OW0 − 12um RW10 − 0ug R WA2 q .ue
MJ O qAsSm R A.Sg R A2SeSSSSSWkzu
b) M OS√12
U
+ 10
U
+ 14
U

12. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
M O s.oLlSSSWE)u
c) Como la distancia menor es la longitud de la recta que une los puntos
de partida y llegada, no puede existir otra magnitud menor a ella
d) SI LA MOSCA CAMINARA, LA MENOR LONGITUD SERIA:


Q
+=RWN R Vu
U
R K
U

Q
U=RWK R Vu
U
R N
U

Y:

13. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
Q
:=RWN R Ku
U
R V
U

Se tiene:
Q
+=RWA. R A2u
U
+ 12
U
= 26.83
Q
U=RWAs R A2u
U
+ 10
U

= 27.86
Q
:=RWA. R Asu
U
+ 14
U

= 26.08

La menor distancia es; d= 26.08 ft

NJ RSKI
⃗=Wcm R ygu+Wqym R sgu
NJ RSKI⃗=W5 − 3um RW3 + 2ug
NJ RSKI⃗O sm R cg

p OS yezNr
*+
,
>
U
. = 68.2
o
sobre el eje X

NJ O 2m q yg R e
KI⃗O S qm R g R 2e
a) NJ RSKI⃗=W4 − 1um RW−3 + 1ug RW1 + 4u'
NJ RSKI⃗O ym q sg R ce
b) NJ qSKI⃗O S2m q yg R e – (-i+j+4k)
NJ qSKI⃗=W4 + 1um RW−3 − 1ug RW1 − 4u'

14. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
NJ qSKI⃗O cm q 2g q ye
c.) Si: NJ qSKI⃗RSVJ O .
VJ OSS KI⃗qSNJ
VJ OSS qWNJ qSKI⃗u
VJ OSS qWcm q 2g q yeu
VJ OS qcm R 2g R ye

a)

|⃗|= √3
U
+ 4
U
= 5 5
p O SzNr
*+
,
:
-
. = − 36.87
o

b)

KI⃗ = √6
U
+ 8
U
= 10 5
p O SzNr
*+
,
@
D
. = 53.13
o

c)
NJ R KI
⃗O 2m q yg RWFm R 0gu

NJ R KI
⃗O A.m R cg

15. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023


p OSzNr
*+
,
>
+S
.= 26.57
o

d) KI⃗q NJ O Fm R 0g qW2m q ygu
KI⃗q NJ O sm R AASg


p OSzNr
*+
,
++
U
.= 79.69
o

e) NJ q KI⃗O 2m q yg qWFm R 0gu

I
I⃗q K
II⃗
O qsmqAAg


p OSzNr
*+
,
*++
nU
.= −79.69
o

16. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


a)
MJ O A2..m R sA..Sg q 20Se
b)

El hombre regresa por una trayectoria diferente al punto de salida A ( de B a A):
Como vuelve al punto de partida:
∆I
I⃗M =0

17. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023


NJ OSMJ
+= 4.13WVidsscm R darsscgu
MJ
+OSqsoLsSm q soLsSgSSSSW%u
KI
⃗OSMJ
U= 5.26 i
VJ OSMJ
:O coL2SWTUV sFm R darsFgu
MJ
:= 5.34 i + 2.6 j
b.) MJ OSI
⃗R KI⃗R V⃗

MJ OSqsoLsm q soLsSg R cosFm R coy2m R soFSg
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSMJ O loF0Sm q .oysSgS
c) |MJ|= R7.68
U
+W−0.32u
U
= 7.687 %

p OSzNr
*+
,
So8U
W.D@
.= −2.39
o

d) qMJ OSqloF0m R .oysSg

18. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023




/MJ OSMJ
UqSMJ
+
MJ
+= 12000WVid2.m R dar2.guO LALsocySm R llAyo2cg
MJ
U= 25800WVidAFym R darAFyguO qs2FlsoFFSm R lc2yoALg
/MJ OW−9192.53 − 24672.66um RW−7713.45 + 7543.19ug
/MJ O qyy0FcoALSm q Al.osFSg

19. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023

De la figura, utilizando el teorema de Pitágoras, se tiene:
M
U
= WN R KVid(u
U
+WKdar(u
U


M
U
OSN
U
R sNKVid( R K
U
Vid
U
( R K
U
dar
U
3
M
U
OSN
U
R sNKVid( R K
U
WVid
U
( R dar
U
3)
Como: Vid
U
( R dar
U
3 = 1
M
U
OSN
U
R sNKVid( R K
U

M O√SN
U
R K
U
R sNKVid(



Si: XII⃗ ⊥ 2⃗ :

WsKu
U
= X
U
+ 2
U


2K
U
OSN
U
R sNKVidSp R K
U
+
U
R sNKVidWA0. q Spu R K
U

VidW180 − (uOSqVidp
2K
U
OSN
U
R sNKVidSp R K
U
+
U
q sNKVidSp R K
U

2K
U
OSN
U
R K
U
+
U
R K
U

2K
U
= 2
U
R sK
U

20. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
sK
U
= 2
U

K
U
OSN
U

a = b

`
a) MJ OW. q Num RW − 0ug RW − 0u'
MJ OSqNm R Ng R Ne

MJ OW − 0um RW − 0ug RW. q Nu'
MJ O SNm R Ng q Ne

21. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

MJ OW − 0um RW. q Nug RW − 0u'
MJ O SNm q Ng R Ne

MJ OW − 0um RW − 0ug RW − 0u'
MJ O SNm R Ng R Ne

b)

J = √
U
R N
U
= √2a
zNr( O
G
Z
= √2

22. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
3 = 54.73
o

c.) D = √J
U
R N
U

D = FW√2Nu
U
R N
U

D = √2
U
R N
U

D = √3



El punto de Washington se aprecia en el esquema:

23. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
El punto de Manila se aprecia en el esquema:



Para obtener el vector que sale de O hasta W, se procede de la manera siguientes:

24. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
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Sen 39 =
[
\
]
^
; `
HO Fyl. á darSyLSSSSW'%u
`
H= 4008.77 M%
Cos 39 =
Ga
]
^
; `
GaO Fyl. á VidSyLSSSS
`
Ga= 4950.42 M%
b

De:
sen77=
[
c
[
cd


`
G= `
Gadarll O 2Lc.o2s á darll
`
G= −4823.54 Km
cos
77=
[
d
[
cd


`
a= `
GaVidll O 2Lc.o2s á Vidll
`
a= 1113.6 Km
MJ
+O q20syoc2Sm R 2..0ollSg R AAAyoFSe
El vector para Manila:

25. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023

darAc O
e
\
]

f
H= /
gdarAc O Fyl. á darAc
f
H= 1648.77 M%
VidAc O
e
cd
]

f
Ga= /
gVidAc O Fyl. á VidAc
f
Ga= 6152.95 M%


darSyA O
ed
ecd

f
a= f
GadaryA O FAcsoLc á daryA
f
a= − 3169 M%
VidyA O
e
c
fJh

f
G=f
JhVidyA O FAcsoLc á VidyA
f
G= 5274.1 M%

MJ
UO csl2oASm R AF20ollSg q yAFLSe
MJ OS MJ
UqSMJ
+
MJ OS
csl2oASm R AF20ollSg q yAFLSe q Wq20syoc2Sm R 2..0ollSg R
1113.6 ')
MJ OS
10097.64 i – 2360 j -4282.6 k (km)
|MJS|= √10097.64
U
+ 2360
U
+ 4282.6
U

|MJS|= 11219.30 M%

26. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023


S=
Em R EWTUV
Ui
j
m R dar
Ui
j
gu REWTUV
4P
k
m R dar
4P
k
gu R EWTUV
6P
k
m R
SSSSSSSSSSSSSSSSSSdar
6
k
gu R SEWTUV
8P
k
m R dar
8P
k
gu R -----
2
+m R 1
Ug= Em R EWTUV
Ui
j
m R dar
Ui
j
gu REWTUV
4P
k
m R dar
4P
k
gu R
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSEWTUV
6P
k
m R SSdar
6
k
gu R SEWTUV
8P
k
m R dar
8P
k
gu R -----
2
+O E R EVidS
2P
k
RETUV
4P
k
R EVidS
6P
k
R EVidS
8P
k
+ − −−
2
+O E R EVidS
2P
k
RETUV
4P
k
R EVidS
6P
k
R EVidS
8P
k
RSq qq REWkqAuVid
2P
k

2
+
E
O TUV . R VidS
2P
k
+ cos
4P
k
R VidS
6P
k
RVidS
8P
k
RSq qq RWkqAuVid
2P
k

27. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023
De igual forma:

2
UO EdarS
2P
k
REVlm
4P
k
REdarS
6P
k
REdarS
8P
k
+ −− −
2
UO EdarS
2P
k
R EVlm
4P
k
R EdarS
6P
k
R EdarS
8P
k
RSqq qR EWkqAudar
2P
k


n
o
A
O darSW0uR darS
2P
k
+ sen
4P
k
R darS
6P
k
R darS
8P
k
RSqq qR WkqAudar
2P
k

Utilizando sumatorias, se tiene:

n
p
A
= ∑ TUVW
Uij
j
u
=rj*+
=rS


n
o
A
= ∑ VlmW
Uij
j
u
=rj*+
=rS

EN EL CAMPO DE COMPLEJOS:

∑ TUVW
Uij
j
u
=rj*+
=rS
O SbaW∑ WVidú R mdarúu
os
t
u
=rj*+
=rS

∑ TUVW
Uij
j
u
=rj*+
=rS
= baW∑ Wa
mú
u
sr
k
rOkqA
rO.
u

∑ VlmW
Uij
j
u
=rj*+
=rS
O Su3vW∑ WVidú R mdarúu
o
t
=
u
=rj*+
=rS


∑ VlmW
Uij
j
u
=rj*+
=rS
O Su3vW ∑ Wa
wi
u
os
t
u
=rj*+
=rS

baW∑ Wa
mú
u
sr
k
rOkqA
rO.
u = baW∑ Wa
msúxk
u
r
rOkqA
rO.
u

S = ao + a1 + ------+ an-1 =
Z
y* Z
szp{
+*{

= baW
AqWa
msú
ku
k−1
Wa
msú
ku
AqWa
msú
k
u
)
= baW

Aqa
msú
AqWa
msú
k
u

Se sabe que:

28. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
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Mayo 2023

dar( OS
<
|}
*<
z|}
Uw

Vid OS
<
|}
~<
z|}
U

Se tiene:

= baW
Wa
múa
qmú
qa
mú
u ?
sm
a
múr
k?a
−
mú
kqa
mú
k?
sm

= baW
Wa
múqa
qmú
Ra
mú ?
sm
a
mú
k?qa
−
mú
kRa
mú
k?
sm

= baWS
<
|?
;6jWiu
<
|?
t
S;6jSW
?
t
u
)
=
baWS
<
|?z
|?
t
á;6jWiu
;6jSW
?
t
u
)
=
baWS
<
|?pzp/t
á;6jWiu
;6jSW
?
t
u
)
= SVidúWAq AxkuS
darWúu
darSW
P
k
u
+ i darúWA q AxkuS
;6jWiu
;6jSW
?
t
u

Se toma:

VidúWAq AxkuS
darWúu
darSW
P
k
u


Para cualquier valor de N= vectores, se Kene:
2
+
E
= ? cos?
súr
k
?
=rj*+
=rS
=SVidP?1 −
1
k
?
darWPu
darS,
P
k
.
= 0
Tomando:
darúWA q AxkuS
;6jWiu
;6jSW
?
t
u

Para cualquier valor de N= vectores, se Kene:

29. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
n
o
A
= ∑ sen,
Uij
j
.
=rj*+
=rS
O darP,1 −
1
k
.
darWPu
darS,
P
k
.
= 0


Q⃗= 2.6 ' W%u
a) −Q⃗= −2.6 '
Magnitud: d= 2.6 km
Dirección: opuesto a d

b)
?⃗
U
= ?
⃗
O SeK
I
I⃗
SSSSS_ SSSSSSeSa−a3arziS{aS−idSMaN−ad : paralelos
⃗=
1
2
Q
II⃗
------- vector mitad

Magnitud: d/2

30. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
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Mayo 2023
Dirección: la misma que d -------son paralelos con misma
dirección
c) -2.5 Q⃗
Magnitud: 2.5 veces el vector d
Dirección: opuesta al vector d

a) 5 Q⃗
Magnitud: 5 veces el vector d
Dirección: misma del vector d



Sea:
⃗
NJSoSSNJ OS|⃗||⃗|SVid(
NJSoSSNJ OS|⃗||⃗|STUVSW.u
NJSoSSNJ OS|⃗||⃗| ; |⃗|O N
NJSoSSNJ O NWu
NJSoSSNJ OSN
U

b) NJSo`SNJ
Sea el productor cruz:

31. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

NJS`SSNJ OSS|⃗||⃗|SdarS( ------x definición
NJS`SSNJ OSN
U
SSdarS(
NJS`SSNJ OSN
U
SSdarW0u
NJS`SSNJ O SS.SS q q q W.Sm R .gu



⃗ = 12WVidccm R darccguO Fo00Sm R Lo0ySg

KI
⃗
O co0Sm
a)
NJSoSSKI
⃗=W6.88uW5.8u+ 9.83W0u

NJSoSSKI
⃗= 39.9 5
NJS?SKI⃗= ?
mSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSe
6.88 9.83 0
5.8 0 0
?
NJS?SKI⃗=W−5.8 ∗ 9.83u'
NJS?SKI⃗= -57.014K (u)

32. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


MJ O 2ocWVidys.m R darys. j
MJ O yo2cSm q so0LSgSSSW5u
dJ O loySWVid0cm R dar0cgu
dJ O .oF2Sm R loslSg
a) MJSoSSdJ O
MJSoSSdJ OWM
Gd
Gu+(M
Hd
Hu
MJSoSSdJ OW3.45uW0.64uR Wqso0LuWloslu
MJSoSSdJ O sos.0 q sAo.A O-18.8 u
b) ⃗ ? ⃗ = ?
mSSSSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSe
3.45 − 2.89 0
0.64 7.27 0
?

⃗ ? ⃗ =W3.45 ∗ 7.27 + 0.64 ∗ 2.89u'
⃗ ? ⃗ = 26.93 ' 5


Sea:
NJ O N
Gm RSN
Hg R N
a'
KI
⃗O K
Gm RSK
Hg R K
a'
NJoKI⃗= (
Gm RSN
Hg R N
aeuoWSK
Gm RSK
Hg R K
aeu

33. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
NJoKI
⃗= (
GK
GuWmomu+?
GK
H?WmoguR WN
GK
auWmoeu+
(
HK
GuWmogu+?
HK
H?Wgogu+?
HK
a?Wgoeu+
(
aK
GuWeomu+?
aK
H?WeoguR WN
aK
auW'.'u
Donde: i.j =j.i =0
goe O eog O .
eom O moe O .
mom O gog O eoe O A
NJoKI
⃗= (
GK
GuWmomu+?
GK
H?W0uR WN
GK
auW0u+
(
HK
GuW0u+?
HK
H?Wgogu+?
HK
a?W0u+
(
aK
GuW0u+?
aK
H?W0uR WN
aK
auW'.'u
NJoKI
⃗= (
GK
GuWmomu+?
HK
H?WgoguR WN
aK
auW'.'u
Luego:
NJoKI⃗= (
GK
Gu R?
HK
H?R WN
aK
au


Sea:
NJ O N
Gm RSN
Hg R N
a'
KI
⃗O K
Gm RSK
Hg R K
a'
NJS?SKI⃗= ?
mSSSSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSe
GSSSSSSSSSSSSN
HSSSSSSSSSSSSN
a
K
GSSSSSSSSSSSSK
HSSSSSSSSSSSSK
a
?
Por conceptos de determinantes:

34. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
NJS?SKI
⃗= ?

HSSSSSSSSSSSSN
a
K
HSSSSSSSSSSSSK
a
? − ?

GSSSSSSSSSSSSN
a
K
GSSSSSSSSSSSSK
a
? + ?

GSSSSSSSSSSSSN
H
K
GSSSSSSSSSSSSK
H
?'
NJS?SKI
⃗=?
HK
aq N
aK
H?m q WN
GSK
aq N
aK
Gug R?
GK
Hq N
HK
G?'
NJS?SKI⃗=?
HK
aq N
aK
H?m R WN
aSK
Gq N
GK
aug R?
GK
Hq N
HK
G?'


Sea:

NJ O N
Gm RSN
Hg R N
a'
KI
⃗O K
Gm RSK
Hg R K
a'


NJS?SKI
⃗=
Gm xK
Gm +
GmS`SK
Hg RSN
GmS`SSK
a' +

Hg x KJm +
HgS`SK
Hg RSN
HgS`SSK
a'+

a' x KJm +
aeS`SK
Hg RSN
aeS`SSK
a'
Donde:
Gm xSK
GO WN
GK
GuWm x i)

Así:
NJS?SKI
⃗= WN
G
K
GuWm`mu +(
GSK
HuWmS`gu R WSN
GSK
auWm`eu R

35. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
WN
H
KJuWg`mu + WKKKuWg`guRWNKSKhuWg`e)+
WN
aK
GuWe`mu + (
aSK
HuWe`gu RSWN
aK
auWe`eu
Además se cumple:
m`m O .SS_SSSSg`g O .SSS_SSe`e O .
m`g O eSSS_SSSSSSg`m OSqe
mS`Se OSqgSSSS_SSSSSe`Sm O g
g`e q mSSSSSS_SSSSSe`Sg OSqm
NJS?SKI
⃗= WN
G
K
GuW.u +(
GSK
HuWeu R WSN
GSK
auWqgu R
WN
H
KJuWqeu + WKKKuW.uRWNKSKhuWm)+
WN
aK
GuWgu + (
aSK
HuWqmu RSWN
aK
auW.u
NJS?SKI
⃗= (
GSK
Hue qWSN
GSK
aug q WN
H
KJueR WN
HSK
aum+
WN
aK
GuWgu - (
aSK
Hum
NJS?SKI
⃗= [
HSK
aq N
a
KK?Smq?NJSKhq NhSKJ?Sg +[
GSK
Hq N
H
KJ] '
Se aprecia que cada paréntesis tiene cuatro elementos que salen de un
determinante 2 x 2:
?

HSSSSSSSN
a
K
HSSSSSSK
a
?=
HSK
aq N
a
KK
NJS?SKI
⃗= ?

HSSSSSSSN
a
K
HSSSSSSK
a
? − ?

GSSSSSSSN
a
K
GSSSSSSK
a
? + ?

GSSSSSSSN
H
K
GSSSSSSK
H
?'
Los elementos i,j, k forman la primer fila de un determinante de orden 3 x
3, así:
NJS?SKI
⃗= ?
mSSSSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSe
GSSSSSSSSSSSSN
HSSSSSSSSSSSSN
a
K
GSSSSSSSSSSSSK
HSSSSSSSSSSSSK
a
?

36. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


De: NJo KI⃗O NKVidé

a = √3
U
+ 3
U
+ 3
U
= 5.196
b = √2
U
+ 1
U
+ 3
U
= 3.742
(3)(2)+3(1)+3(3) = 5.196*3.742cos ∅
Vidé O .oLsF
∅ = 22.2
o



NJ O ym R yg q se
KI
⃗O qm q 2g R seSSSSS_SSSSSVJ O sm R sg R eS
a) NJoWKI⃗S`SVJu
KI⃗S`SVJ OS ?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSSe
−1 − 4 2
2 2 1
?
KI⃗S`SVJ OS ?
−4 2
2 1
? − ?
−1 2
2 1
? + ?
−1 − 4
2 2
?'
KI⃗S`SVJ OW−4 − 4um q WqA q 2ug RW−2 + 8u'

KI
⃗S`SVJ OSq0m R cg R Fe
⃗.?KI⃗S`SVJ?=W3uW−8u+W3uW5u+W−2uW6u
⃗.?KI⃗S`SVJ?= −24 + 15 − 12 − 21

37. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
b) NJoWKI
⃗RSVJu
K+ V=−1+2m+−4+2g+2+1'
K+ V=m−2g+3 '
⃗.?KI⃗RSVJ?=Wym R yg q seu.WSm q sg R ySeu
⃗.?KI⃗RSVJ?=W3uW1u+W3uW−2u+W−2uW3u
⃗.?KI⃗RSVJ?= 3 − 6 − 6 = −9
c) NJSS`WKI⃗RSVJu
KI⃗RSVJ OW−1 + 2um RW−4 + 2ug RW2 + 1u'
KI⃗RSVJ O m q sg R ySe
⃗ J?KI⃗RSVJ?= ?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSe
3 3 − 2
1 − 2 3
?
⃗ J?KI⃗RSVJ?= ?
3 − 2
−2 3
? − ?
3 − 2
1 3
? + ?
3 3
1 − 2
?'
⃗ J?KI⃗RSVJ?=W9 − 4um qW9 + 2ug RW−6 − 3u'
⃗ J?KI⃗RSVJ?O cSm q AAg q Le

a)
NJ O cm R 2g q Fe
KI
⃗O qsm R sg R yeSSSSS_SSSSSVJ O 2m R yg R seS
MJ OS cm R 2g q Fe qWqsm R sg R yeuR 2m R yg R seSSSSSS

MI
I⃗O Wc+2+4)i +(4-2+3)j + (-6-3+2)

MJ O AAm R cg q lSe

38. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
b)


Cos ( =
{
d
{
= −
W
√++~>~-?
= −0.5
( = 120
0

c)



NJ O cm R 2g q Fe
KI
⃗O qsm R sg R yeSSSSS
SSNJoKI⃗O NSKSVidpSSSSSS
= R5
U
+ 4
U
R WqFu
U

= 8.775
= RWqsu
U
+ 2
U
R Wyu
U

= 4.123
(5)(-2)+(4)(2)+(-6)(3)= 0ollc á 2oAsySVidp
-20 = 36.179 cos(
Vidp OSq.occy
( = 123.56
o


`

39. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
Los vectores son:
NJ O 2mSSSSSS_SSSKI⃗O yg
VJ O cSWVidpm R darpgu

sen3 =
:
>
; 3 = 36.87
o


VJ O cSWVidsAFo0lm R darsAFo0lgu
SSVJ OSq2Sm q yg
a) SSNJSoKI
⃗=W4uW0u+W0uW3u= 0
b) SSNJSoVJ OW4uW−4u+W0uW−3u= −16
c) KI⃗SoVJ OW0uW−4u+W3uW−3u= −9

Los vectores son:
NJ O 2mSSSSSS_SSSKI⃗O yg
VJ O cSWVidpm R darpgu

40. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
sen3 =
:
>
; 3 = 36.87
o


VJ O cSWVidsAFo0lm R darsAFo0lgu
SSVJ OSq2Sm q yg
a) NJS`SKI
⃗
NJS`SKI⃗= ?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSe
4 0 0
0 3 0
?
NJS`SKI⃗= ?
4 0
0 3
?' = 12 '
b) NJS`SVJ
NJS`SVJ OS?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSe
4 0 0
−4 − 3 0
?
NJS`SKI
⃗= ?
4 0
−4 − 3
?' = −12 '
c)
KI
⃗S`SVJ
KI⃗S`SVJ OS?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSe
0 3 0
−4 − 3 0
?
KI⃗S`SVJ OS?
0 3
−4 − 3
?' = 12 '

41. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
a) NJSoKI
⃗
`cos27 =
Z
d
Z
SSS_SSSN
aO NSVidsl O yosSVidsl

a= 2.85 5
cos63 =
Z
\
Z
SSS_SSSN
HO yosSVidFy

H= 1.453 5
PI
I⃗= 1.453 j + 2.85 k
cos42 =
?
d
?
SSS_SSSK
aO KSVid2s O Ao2Vid2s
K
a = 1.04 5
cos48 =
?
c
?
SSS_SSSK
G= 1.4cos48
K
G= 0.94 5
TI
I⃗= 0.94 i + 1.04 k
NJSoKI⃗= (0.94)(0)+1.453(0)+(2.85)(1.04)
SSSNJSoKI⃗ = 2.96 u
2

b)
NJS`SKI
⃗= ?
mSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSe
0 1.453 2.85
0.94 0 1.04
?
NJS`SKI⃗= = 1.453W1.04umS q .oL2W−2.85ug q .oL2 á Ao2cye
NJS`SKI⃗OSO AocASm R soF0Sg q Aoyle
c)

NJSoKI⃗O NKVidp
= √1.453
U
+ 2.85
U
= 3.2
K OS√0.94
U
+ 1.04
U
= 1.4

42. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
2.96= 3.2*1.4cos(
cos( = 0.6607
( = 48.64
o







NJoKI
⃗OSKI⃗.⃗
De: NJoKI⃗O NKVid(
NJoKI⃗O KNVid( ------------------conmutativa en Reales
Pero: KI⃗oNJ O KNVid(
Luego:
NJoKI⃗OSKI⃗.⃗
b.) De: NJoWKIII⃗R VJu O
= ?
Gm R N
Hg R N
a'?oWK
Gm R K
Hg R K
ae R V
Gm R V
Hg R V
aeu
= ?
Gm R N
Hg R N
a'?.[WK
GR V
Gum R WK
HR V
Hug R WK
aR V
aue?
Por propiedad del producto escalar:

43. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
=
GWK
GR V
Gu+
H?K
HR V
H?R N
aWK
aR V
au
=
GK
GR N
GV
GRSN
HK
HR N
HV
HRSN
aK
aR N
aV
a
Por propiedad conmutativa de la suma:
=
GK
GR N
HK
HR N
aK
aR N
GV
GR N
HV
HR N
aV
a
Usando la propiedad asociativa de los números reales:
= WN
GK
GR N
HK
HR N
aK
au R WN
GV
GR N
HV
HR N
aV
au
PI
I⃗oWTIIII⃗+ ?I⃗u OSSPII⃗oTII⃗RSPII⃗.?I⃗
c.) De: NJS`WKIII⃗R VJu
NJS`WKIII⃗R VJu OS ?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSSe
GSSSSSSSSSSSSSSN
HSSSSSSSSSSSSSSSSN
a
K
GR V
GSSSSSSK
HR V
HSSSSSSSSK
aR V
a
?
NJS`WKI
II⃗R VJu OS ?

HSSSSSSSSSSSSSSSSN
a
SK
HR V
HSSSSSSSSK
aR V
a
? − ?

GSSSSSSSSSSSSSSSSN
a
SK
GR V
GSSSSSSSSK
aR V
a
? +
?

GSSSSSSSSSSSSSSSSN
H
SK
GR V
GSSSSSSSSK
HR V
H
?'
NJS`WKI
II⃗R VJu OS ?
HWSSK
aR V
auqSN
a?K
HR V
H??m q[
GWSSK
aR V
au−
SN
aWK
GR V
Gu?g R?
G?SSK
HR V
H?qSN
HWK
GR V
Gu?k

NJS`WKI
II⃗R VJu OS ?
HK
aR N
HV
aqSN
aK
Hq N
aV
H?m q[
GK
aRSN
GV
aq N
aK
G−

aV
G]g R?
GK
HR N
GV
HqSN
HK
Gq N
HV
G?k
NJS`WKI
II⃗R VJu OS { (
HK
aq N
aK
Hum q WN
GK
aq N
aK
Gug R WN
GK
HqSN
HK
Gu?? R
{(
HV
aq N
aV
Hum q WN
GV
aq N
aV
Gug R WN
GV
HqSN
HV
Gu??
Al termino:

HK
aq N
aK
HS*daSa`?MadNSVi3i?SSS?

HSSSSSSSSSSSSSSSSN
a
SK
HSSSSSSSSSSSSSSSK
a
?SSSS*Nd??
NJS`WKI
II⃗R VJu OS {?

HSSSSSSSN
a
SK
HSSSSSSK
a
? − ?

GSSSSSSSN
a
SK
GSSSSSSK
a
? +?

GSSSSSSSN
H
SK
GSSSSSSK
H
?'} +

{?

HSSSSSSSN
a
SV
HSSSSSSV
a
? − ?

GSSSSSSSN
a
SV
GSSSSSSV
a
? + ?

GSSSSSSSN
H
SV
GSSSSSSV
H
?'}

44. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
Donde:
NJS`KI
⃗= ?

HSSSSSSSN
a
SK
HSSSSSSK
a
? − ?

GSSSSSSSN
a
SK
GSSSSSSK
a
? +?

GSSSSSSSN
H
SK
GSSSSSSK
H
?'
NJS`KI
⃗= ?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSSe
GSSSSSSSSSSSSSSN
HSSSSSSSSSSSSSSSSN
a
K
GSSSSSSSSSSSSSSK
HSSSSSSSSSSSSSSSSSK
a
?

NJS`VJ OS ?

HSSSSSSSN
a
SV
HSSSSSSV
a
? − ?

GSSSSSSSN
a
SV
GSSSSSSV
a
? + ?

GSSSSSSSN
H
SV
GSSSSSSV
H
?'
NJS`VJ OS ?
mSSSSSSSSSSSSSSSgSSSSSSSSSSSSSSSSSe
GSSSSSSSSSSSSSSN
HSSSSSSSSSSSSSSSSN
a
V
GSSSSSSSSSSSSSSV
HSSSSSSSSSSSSSSSSSV
a
?
Por tanto, se tiene:
PI
I⃗ ?IIII⃗+ ?I⃗u OS PII⃗ ?II⃗+ PII⃗ ? ?I⃗


De:
NJS`SKI
⃗= |⃗ | KI⃗ darSé
Del triángulo de la figura:
daré O
?
?
SS_SSSSS? O Kdaré OS KI⃗ darSé
NJS`SKI⃗ = |⃗ | KI⃗ darSé
NJS`SKI⃗ = |⃗ |ℎ
Se sabe que el área de un triángulo es: A= (1/2) a*h

+
U
NJS`SKI⃗ =
+
U
|⃗ |ℎ

45. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

E OS
+
U
NJS`SKI⃗


Se conoce que el área de paralelogramo: A = a*h
daré O
ℎ
K
SS_SSSSS? O Kdaré OS KI⃗ darSé
NJS`SKI⃗ = |⃗ | KI⃗ darSé
NJS`SKI⃗ = |⃗ |ℎ
Por tanto:
A= NJS`SKI⃗

46. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


NJSoWKSI
IIII⃗`SVJu OS|⃗| KI⃗S`SVJ SVid 3
Vid( OS
?
Z
_SSSSS? O SSNSVid(
NJSoWKSIIIII⃗`SVJu OS|⃗|Vid 3 KI⃗S`SVJ
NJSoWKSIIIII⃗`SVJu O ? KI⃗S`SVJ
KI⃗S`SVJ O E
?Z;<
NJSoWKSIIIII⃗`SVJu O ?E
?Z;<
? OSNJSoWKSIIIII⃗`SVJu


NJ OSN
Gm RSN
Hg O yosSm R AoFSg
KI
⃗OSK
Gm RSK
Hg O .ocSm R 2ocSgS
a) NJSoKI⃗O NWKuVid(

47. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
= √3.2
U
+ 1.6
U
= 3.58
K OS√0.5
U
+ 4.5
U
= 4.53
(3.2)(0.5)+(1.6((4.5)= 3.58*4.53 Vid(
Vid( O .oc2y
3 = 57.14
o

b)

VJ OSV
Gm RSV
Hg
NJSoVJ O . O yosV
GR AoFV
H
yosV
GO qAoFV
H
V
HO qsV
G
RWV
Gu
U
R WV
Hu
U
= 5
WV
Gu
U
+?qsV
H?
U
= 25
WV
Gu
U
R W2V
Gu
U
=25
5SV
U
G
= 25
V
U
G
= 5
V
G= ±2.236
V
HO qsV
G= −4.722
V
HO qsV
G= 4.472
VJ OSV
Gm RSV
Hg
VJ O SsosyFSm q 2o2lsg ; ó
VJ OSqsosyFSm R 2o2lsg

48. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023



5I
⃗O Nm R Ng R Ne
?J O WN q .um R WN q .ug R W. q Nuev
?J O Nm R Ng q Ne
5 = √
U
R N
U
R N
U
O N√3
? = R
U
R N
U
R WqNu
U
O N√3
5I⃗.?⃗ = 5 ∗ ?3
WuR NWuq NWuO SN√3?√3?Vid(

U
= 3
U
Vid(
Vid( O
+
:

3 = 70.53
o




|⃗|= 3 ; KI
⃗ = 4 ; |VJ|= 10

49. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
` a) NJ O NWTUV .m R darS.gu

NJ O yTUV.m R ydar.g O ySm
X= 3 ; y=0

KI
⃗O KWTUVy .m R darSy.gu

KI
⃗O 2TUVy.m R 2dary.g O yo2FSm R sg
J = 3.46 ; K = 2
VJ O VWTUVSAs. m R darSAs.gu

VJ O A.TUVAs.m R A.darAs.g O qcSm R 0oFFSg
J = −5 ; K = 8.66
b.) ⃗ = ?⃗ + ?I
⃗
−5 + 8.66 = ?Wymu+ ?Wyo2FSm R su
qcSm R 0oFFSg OW3? + 3.46?u + ?W2ug
Por tanto se tienen las ecuaciones:
I
−5 = 3? + 3.46?
8.66 = 2?

De donde: 8.66 = 2?
? = 4.33
-5= 3p+3.46(4.33)
3p = -19.98
p = - 6.66

50. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


El esquema con la rotación de los ejes:

En XY se tienen vectores i, j
En X’Y’se tienen u,v
|5I⃗|= 1 ; |?⃗|O ASS q q q q5rmzNMmidS
Se debe poner u, v en términos de los vectores i, j, así:

?J O qSdar9Sm R Vid9g
5I
⃗O Vid9Sm R dar9g
El punto P en XY:

⃗ =
Gm RSN
Hg

El punto P en X’Y’:

⃗=
Gb5 RSN
Hb?
⃗=
G
?WVid9Sm R dar9gu RSN
HbW qSdar9Sm R Vid9gu
⃗=
G
?Vid9Sm R N
G
?dar9g qSN
Hb Sdar9Sm R N
H
?Vid9g
⃗= WN
G
?Vid9 q N
Hb Sdar9umS R WN
G
?dar9 R N
H
?Vid9ug
Se tiene:

51. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

Gm RSN
Hg = WN
G
?Vid9 q N
Hb Sdar9umS R WN
G
?dar9 R N
H
?Vid9u
Igualando los términos respectivos:
?

GO N
G
?Vid9 q N
HbSSdar9

HO N
G
?dar9 R N
H
?Vid9

Ahora;
G
?=
Z
c~Z
\?;<=?
??;?
-------(1)

G
?=
Z
\*Z
\???;?
;<=?
-------(2)
Igualando (1) y (2):

Z
c~Z
\?;<=?
??;?
=
Z
\*Z
\???;?
;<=?

dar9?
GR N
H
?dar9?O Vid9WN
Hq N
H
?Vid9u

Gdar9 R N
H
?dar
U
9 OSN
HVid9 q N
H
?Vid
U
?

H
?dar
U
9 R N
H
?Vid
U
9 O N
HVid9 q N
Gdar9

H
?Wdar
U
9 R Vid
U
9u O N
HVid9 q N
Gdar9
dar
U
9 R Vid
U
? = 1

H
?O N
HVid9 q N
Gdar9
De:
H
?=
*Z
c~Z
c???;?
;<=?
-------(3)

G
?=
Z
\*Z
c?;<=?
??;?
-------(4)
Igualando (4) y (3):

*Z
c~Z
c???;?
;<=?
=
Z
\*Z
c?;<=?
??;?

Vid9W−
GR N
G
?Vid9uO Sdar9WN
Hq N
G
?dar9u
−
GVid9 R N
G
?Vid
U
9 O Sdar9N
Hq N
G
?dar
U
9u


G
?WVid
U
? +dar
U
9u OS
Hdar9 R N
GVid9


G
?OSN
GVid9 +
Hdar9

52. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023
?

J
′= JVid9R NKdar9

H
b= −Jdar9RNKVid9




Este problema es una aplicación de lo obtenido en el problema 51:
a)
I
⃗O NWTUV cFm R darScFgu
NJ O AlWVidcFm R darcFgu
NJ O LocSm R A2o.LSg ; ? = 18

?

J
′= JVid9R NKdar9

H
b= −Jdar9R NKVid9

?

J
′= 9.5VidA0R A2o.LdarA0

H
b= qLocdarA0RA2o.LVidA0

?

J
′= 13.39

H
b= 10.46

53. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023


Se conoce que:

NJ OSN
Gm R N
Hg
KI
⃗OSK
Gm R K
Hg
NJ RSKI⃗= WSN
GRSK
Gum R ?SN
HRSK
H?
?II⃗RSK
II⃗
?= FW
JRSK
Ju
U
R W
KRSK
Ku
U
----------------------(1)
Además: ?

J
′= JVid9R NKdar9

H
b= −Jdar9R NKVid9


⃗ =
J
′S5 R N
K
′?

54. EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK
VECTORES: CAPITULO III
Msc. Widmar Aguilar
Mayo 2023

⃗ = ?JVid9 R NKdar9?5 +?−Jdar9 R NKVid9??

KI
⃗= ?KJVid9 R KKdar9?5 +?qKJdar9 R KKVid9??

NJ RSKI
⃗= [JVid9 R NKdar9 R K
GVid9 R K
Hdar9?5 R
[−
Gdar9 R N
HVid9 qK
Gdar9 R K
H?[?

NJ RSKI
⃗= [WN
J
R KJuVid9 R WNKR KKudar9?5 R
[W −Jq KJudar9RWNKRKK?]?
?
I
I⃗RSK
II⃗
?=
F
?WN
J
RKJuVid9RWNKR KKudar9?
U
R ?qWJRKJudar9R WNKR KKuVid9]
U

Donde:
?WN
J
RKJuVid9RWNKR KKudar9?
U
=
=
?WN
J
RKJu
U
Vid
U
?+WN
K
RKKu
U
dar
U
? +sWN
J
RKJuVid9á WNKR KKudar9?
?qWN
J
RKJudar9RWNKR KKuVid9?
U
=
=
?WN
J
RKJu
U
dar
U
?+WN
K
RKKu
U
Vid
U
? −sWN
J
RKJudar9á WNKR KKuVid9?
Se tiene:
?WN
J
RKJuVid9RWNKR KKudar9?
U
+?qWN
J
R KJudar9R WNKRKKuVid9?
U

=
?WN
J
R KJu
U
Vid
U
?+WN
K
RKKu
U
dar
U
? +sWN
J
RKJuVid9áWNKRKKudar9?+
?WN
J
R KJu
U
dar
U
?+WN
K
R KKu
U
Vid
U
? −sWN
J
RKJudar9áWNKRKKuVid9?
= WN
J
R KJu
U
WVid
U
?+dar
U
9u+ WN
K
R KKu
U
Wdar
U
9 R Vid
U
?u
Finalmente:
?
I
I⃗RSK
II⃗
?= FWN
J
R KJu
U
WVid
U
9 R dar
U
9u RSWN
K
RKKu
U
Wdar
U
9 R Vid
U
9u
Vid
U
9 R dar
U
? = 1
?
I
I⃗RSK
II⃗
?= FWN
J
RKJu
U
+ WN
K
RKKu
U
-----------------------(2)
De (1) y (2), se concluye que:
?
I
I⃗RSK
II⃗
?
G
= ?II⃗RSK
II⃗
?
Gb