VII - Introducción al método de Monte Carlo
ManuelRodrguezHiguer1
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Sep 30, 2025
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About This Presentation
Presentación informal del método de Monte Carlo
Slide Content
ALGUNAS CONSIDERACIONES ACERCA DEL
MÉTODO DE MONTE CARLO
Autor: Manuel Rodríguez Higuero
Laboratorio de Radiofrecuencia y Microondas
Centro de Metrología y Calibración. INTA
Torrejón de Ardoz (Madrid)
14 al 23 de noviembre de 2022
MÉTODO DE MONTE CARLO
Autor: Manuel Rodríguez Higuero
Laboratorio de Radiofrecuencia y Microondas
Centro de Metrología y Calibración. INTA
Torrejón de Ardoz (Madrid)
14 al 23 de noviembre de 2022
Introducción a Monte Carlo - 1
Instituto Nacional de Técnica Aeroespacial
Centro de Metrología y Calibración
¿QUÉ ES EL MÉTODO GUM?
GUM: ‘Guide on the Expression of Uncertainty in Measurement’:
Basado en consideraciones estadísticas (funciones densidad de probabilidad, intervalos de confianza, factores
de cobertura, Ley de Propagación de Incertidumbres, Teorema del Límite Central, etc…).
Parte de los parámetros estadísticos de las contribuciones de entrada, y tienen en cuenta además una
determinada función modelo.
Es capaz de predecir ‘a priori’ el tipo de distribución a la salida (combinación de las variables de entrada).
Si estamos familiarizados con los fundamentos de la medida en un laboratorio:
No existe ninguna dificultad en aplicar dicho método, más allá de saber atribuir a cada contribución una función
densidad de probabilidad razonada (gaussiana o t de Student si proviene de un certificado de calibración o de
un resultado experimental, rectangular cuando la obtenemos de una especificación de fabricante sin otra
indicación, forma de U cuando hace referencia a la magnitud escalar de varias contribuciones vectoriales, etc…).
Matemática sencilla y que se aprende con la práctica: divisores para expresar todas las contribuciones
individuales en términos de sigma (desviación estándar), combinación cuadrática de las mismas, fórmula de
Welch-Satterwaite para el cálculo de los grados de libertad y posteriormente del factor de cobertura, etc…
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¿QUÉ ES EL MÉTODO GUM?
GUM: ‘Guide on the Expression of Uncertainty in Measurement’:
Basado en consideraciones estadísticas (funciones densidad de probabilidad, intervalos de confianza, factores
de cobertura, Ley de Propagación de Incertidumbres, Teorema del Límite Central, etc…).
Parte de los parámetros estadísticos de las contribuciones de entrada, y tienen en cuenta además una
determinada función modelo.
Es capaz de predecir ‘a priori’ el tipo de distribución a la salida (combinación de las variables de entrada).
Si estamos familiarizados con los fundamentos de la medida en un laboratorio:
No existe ninguna dificultad en aplicar dicho método, más allá de saber atribuir a cada contribución una función
densidad de probabilidad razonada (gaussiana o t de Student si proviene de un certificado de calibración o de
un resultado experimental, rectangular cuando la obtenemos de una especificación de fabricante sin otra
indicación, forma de U cuando hace referencia a la magnitud escalar de varias contribuciones vectoriales, etc…).
Matemática sencilla y que se aprende con la práctica: divisores para expresar todas las contribuciones
individuales en términos de sigma (desviación estándar), combinación cuadrática de las mismas, fórmula de
Welch-Satterwaite para el cálculo de los grados de libertad y posteriormente del factor de cobertura, etc…
Introducción a Monte Carlo - 2
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¿CÚANDO NO ES APLICABLE EL MÉTODO GUM ?
i. El método GUM no es capaz de dar una respuesta a la existencia de una contribución dominante, en cuyo
caso el Teorema del Límite Central puede no ser de aplicación y la función densidad de probabilidad
combinada puede no ser ni gaussiana ni t de Student, sino parecerse más a la función densidad de
probabilidad de la contribución dominante.
ii. (Menos importante, porque en metrología es habitual trabajar con un número elevado de contribuciones a la
incertidumbre): cuando el número de contribuciones es reducido tampoco podemos asegurar la normalidad
de la combinación de todas ellas.
En nuestra opinión la más importante de las excepciones al método GUM:
iii. Exige conocer los coeficientes de sensibilidad de las diferentes contribuciones a través de la Ley de
Propagación de Incertidumbres, lo que no siempre es trivial: en ocasiones la complejidad de la función modelo
hace imposible en la práctica la obtención de los coeficientes de sensibilidad por derivadas parciales.
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¿CÚANDO NO ES APLICABLE EL MÉTODO GUM ?
i. El método GUM no es capaz de dar una respuesta a la existencia de una contribución dominante, en cuyo
caso el Teorema del Límite Central puede no ser de aplicación y la función densidad de probabilidad
combinada puede no ser ni gaussiana ni t de Student, sino parecerse más a la función densidad de
probabilidad de la contribución dominante.
ii. (Menos importante, porque en metrología es habitual trabajar con un número elevado de contribuciones a la
incertidumbre): cuando el número de contribuciones es reducido tampoco podemos asegurar la normalidad
de la combinación de todas ellas.
En nuestra opinión la más importante de las excepciones al método GUM:
iii. Exige conocer los coeficientes de sensibilidad de las diferentes contribuciones a través de la Ley de
Propagación de Incertidumbres, lo que no siempre es trivial: en ocasiones la complejidad de la función modelo
hace imposible en la práctica la obtención de los coeficientes de sensibilidad por derivadas parciales.
Introducción a Monte Carlo - 3
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¿CUÁNDO PLANTEARSE RECURRIR AL MÉTODO D E MONTE CARLO?
Para resolver las anteriores excepciones (presencia de contribuciones dominantes, reducido número de
contribuciones, o función modelo difícil de derivar).
Para corroborar los resultados obtenidos con la GUM.
¡O simplemente porque decido comenzar por el método de Monte Carlo, que tampoco es tan difícil!
Por todos los motivos anteriores puede ser recomendable aplicar la herramienta matemática (también basado en
la estadística, por supuesto) conocida como método de Monte Carlo, que consiste básicamente en:
i. Simular las variables de entrada a mi problema (generando una serie de valores aleatorios que representen
cada una de las contribuciones a la incertidumbre).
ii. Combinarlas mediante una función modelo conocida (puede ser una simple suma de contribuciones).
iii. Examinar la variable de salida, tratando de describirla lo mejor posible en términos de Valor Medio, desviación
estándar, intervalos de cobertura, etc…
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¿CUÁNDO PLANTEARSE RECURRIR AL MÉTODO D E MONTE CARLO?
Para resolver las anteriores excepciones (presencia de contribuciones dominantes, reducido número de
contribuciones, o función modelo difícil de derivar).
Para corroborar los resultados obtenidos con la GUM.
¡O simplemente porque decido comenzar por el método de Monte Carlo, que tampoco es tan difícil!
Por todos los motivos anteriores puede ser recomendable aplicar la herramienta matemática (también basado en
la estadística, por supuesto) conocida como método de Monte Carlo, que consiste básicamente en:
i. Simular las variables de entrada a mi problema (generando una serie de valores aleatorios que representen
cada una de las contribuciones a la incertidumbre).
ii. Combinarlas mediante una función modelo conocida (puede ser una simple suma de contribuciones).
iii. Examinar la variable de salida, tratando de describirla lo mejor posible en términos de Valor Medio, desviación
estándar, intervalos de cobertura, etc…
Introducción a Monte Carlo - 4
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¿NO ES MUY COMPLICADO EL MÉTODO DE MONTE CARLO?
El único problema es el nombre que le han puesto, basado en la profusa existencia de casinos (por tanto de ruletas)
en dicho principado. Mola el nombre, pero asusta a los neófitos. Si lo hubiesen denominado método de simulación
por cálculo numérico, o simplemente cálculo numérico, no asustaría tanto a quien se acercase a dicho método por
vez primera.
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¿NO ES MUY COMPLICADO EL MÉTODO DE MONTE CARLO?
El único problema es el nombre que le han puesto, basado en la profusa existencia de casinos (por tanto de ruletas)
en dicho principado. Mola el nombre, pero asusta a los neófitos. Si lo hubiesen denominado método de simulación
por cálculo numérico, o simplemente cálculo numérico, no asustaría tanto a quien se acercase a dicho método por
vez primera.
Introducción a Monte Carlo - 5
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PONGAMOS UN EJEMPLO DE APLICACIÓN
Imaginemos que tengamos que calcular el área bajo una curva. Si soy capaz de calcular la integral indefinida,
no tengo más que particularizarla para los extremos entre los que quiero integrar y hallar el área bajo la curva.
Como esto no siempre es posible, para eso están los ordenadores que calculan el área bajo la curva
simplemente dividiendo en rodajitas muy finas el eje X, o mallando en cuadraditos el plano X-Y (función de dos
variables) o en ‘n’-ditos el espacio multidimensional, aquel que ya no podemos visualizar gráficamente pero es
muy habitual encontrarnos, por ejemplo cualquier función de tres o más variables de entrada.
Cuando integramos numéricamente nos damos cuenta de que por complicada que sea la función modelo, el
que tiene que lidiar con ella es el ordenador y no nosotros.
La mayor dificultad consiste en determinar hasta qué punto es necesario discretizar la función (el tamaño del
mallado) para que el resultado converja y sea significativo.
O a la hora de introducir mejoras como el método adaptativo, que integra más fino cuando la función varía
abruptamente y utiliza un mallado más grueso cuando la función varía más lentamente.
Y siempre sin perder de vista que el cálculo sea manejable por el ordenador (no podemos mallar hasta el infinito).
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PONGAMOS UN EJEMPLO DE APLICACIÓN
Imaginemos que tengamos que calcular el área bajo una curva. Si soy capaz de calcular la integral indefinida,
no tengo más que particularizarla para los extremos entre los que quiero integrar y hallar el área bajo la curva.
Como esto no siempre es posible, para eso están los ordenadores que calculan el área bajo la curva
simplemente dividiendo en rodajitas muy finas el eje X, o mallando en cuadraditos el plano X-Y (función de dos
variables) o en ‘n’-ditos el espacio multidimensional, aquel que ya no podemos visualizar gráficamente pero es
muy habitual encontrarnos, por ejemplo cualquier función de tres o más variables de entrada.
Cuando integramos numéricamente nos damos cuenta de que por complicada que sea la función modelo, el
que tiene que lidiar con ella es el ordenador y no nosotros.
La mayor dificultad consiste en determinar hasta qué punto es necesario discretizar la función (el tamaño del
mallado) para que el resultado converja y sea significativo.
O a la hora de introducir mejoras como el método adaptativo, que integra más fino cuando la función varía
abruptamente y utiliza un mallado más grueso cuando la función varía más lentamente.
Y siempre sin perder de vista que el cálculo sea manejable por el ordenador (no podemos mallar hasta el infinito).
Introducción a Monte Carlo - 6
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INTEGRAR EL ÁREA BAJO LA CURVA : ¿DÓNDE ESTÁ LA ALEATORIEDAD?
Buena pregunta, porque es una discusión que suele surgir en los cursos de Monte Carlo, incluso entre usuarios
que provienen de distintas especialidades. Quizá volvamos a ella más adelante.
Nos quedamos con la idea siguiente: Monte Carlo es adecuado para problemas en que la aleatoriedad real es
un requisito (pensemos en tráfico, en llamadas entrantes, en frecuencias de eventos, etc…). Podríamos hablar
en estos casos de Monte Carlo ‘puro’.
Quizá no es necesario en problemas en los que simplemente queremos mallar el espacio de valores posibles
(ejemplo del área bajo la curva). O en el error de apuntamiento de un tiro parabólico, ya que lo que me interesa
es mallar el cono de valores posibles, ya veremos si de forma uniforme o cómo. No hay noción de aleatoriedad,
sencillamente no es necesaria.
Entonces ¿por qué viene gente a los cursos de Monte Carlo interesada en estos problemas? Incluso nosotros
mismos, frikis del cálculo de incertidumbres ¿por qué no mallamos sencillamente el rango de valores posibles
de cada una de las contribuciones de incertidumbre y las combinamos? No necesito Monte Carlo ‘puro’ en mi
cálculo de incertidumbres. La respuesta es:
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INTEGRAR EL ÁREA BAJO LA CURVA : ¿DÓNDE ESTÁ LA ALEATORIEDAD?
Buena pregunta, porque es una discusión que suele surgir en los cursos de Monte Carlo, incluso entre usuarios
que provienen de distintas especialidades. Quizá volvamos a ella más adelante.
Nos quedamos con la idea siguiente: Monte Carlo es adecuado para problemas en que la aleatoriedad real es
un requisito (pensemos en tráfico, en llamadas entrantes, en frecuencias de eventos, etc…). Podríamos hablar
en estos casos de Monte Carlo ‘puro’.
Quizá no es necesario en problemas en los que simplemente queremos mallar el espacio de valores posibles
(ejemplo del área bajo la curva). O en el error de apuntamiento de un tiro parabólico, ya que lo que me interesa
es mallar el cono de valores posibles, ya veremos si de forma uniforme o cómo. No hay noción de aleatoriedad,
sencillamente no es necesaria.
Entonces ¿por qué viene gente a los cursos de Monte Carlo interesada en estos problemas? Incluso nosotros
mismos, frikis del cálculo de incertidumbres ¿por qué no mallamos sencillamente el rango de valores posibles
de cada una de las contribuciones de incertidumbre y las combinamos? No necesito Monte Carlo ‘puro’ en mi
cálculo de incertidumbres. La respuesta es:
Introducción a Monte Carlo - 7
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LA MALDICIÓN DE LA MULTI-DIMENSIONALIDAD
¿Qué tienen en común el integrar una función de muchas variables, y el tiro parabólico en el que además del
error de apuntamiento en dos dimensiones influye la incertidumbre con la que conozco la velocidad inicial, la
dirección (otras dos dimensiones) y la fuerza del viento, más el rozamiento con el aire?
¿Y un cálculo típico de incertidumbres de mi laboratorio?
Tienen en común que el número de variables de entrada se me dispara.
Si fuese un número manejable de variables de entrada podría mallar el rango de valores posibles de cada una
de las magnitudes de influencia y combinarlas todas: M^N valores, siendo M el número de puntos de mallado
en cada variable y N el número de variables.
Esto es inmanejable a partir de un cierto número de variables. Y no puedo disminuir M, es lo que me da la
calidad del mallado.
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LA MALDICIÓN DE LA MULTI-DIMENSIONALIDAD
¿Qué tienen en común el integrar una función de muchas variables, y el tiro parabólico en el que además del
error de apuntamiento en dos dimensiones influye la incertidumbre con la que conozco la velocidad inicial, la
dirección (otras dos dimensiones) y la fuerza del viento, más el rozamiento con el aire?
¿Y un cálculo típico de incertidumbres de mi laboratorio?
Tienen en común que el número de variables de entrada se me dispara.
Si fuese un número manejable de variables de entrada podría mallar el rango de valores posibles de cada una
de las magnitudes de influencia y combinarlas todas: M^N valores, siendo M el número de puntos de mallado
en cada variable y N el número de variables.
Esto es inmanejable a partir de un cierto número de variables. Y no puedo disminuir M, es lo que me da la
calidad del mallado.
Introducción a Monte Carlo - 8
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¿QUÉ HAGO? RECURRIR A MONTE CARLO
No recurro a Monte Carlo porque esté analizando un problema aleatorio estrictamente hablando: el tiro
parabólico podría considerarlo aleatorio si examino una ocurrencia particular, pero la distribución de aciertos en
el suelo (una familia de elipses que cubran diferentes áreas de cobertura) simplemente tiene que contemplar
todos los valores posibles.
Sólo con mallar cada contribución con 20 valores posibles, la combinación de siete de ellas me da 1280 millones
de valores. Inmanejable.
Monte Carlo dice: genera M valores aleatorios para cada una de las contribuciones y combina valor por valor de
forma que te salgan ‘únicamente’ M valores aleatorios para la combinación de todos ellos.
¿Es entonces M suficiente? Piensa que ya no es suficiente que esté mallando el rango de valores posibles de
cada contribución de forma realista (con 20 no tengo ni para empezar).
Ahora tengo que pensar en la combinación de todas las contribuciones y ver si M es suficientemente elevado
como para describirla correctamente. Pero he conseguido liberarme de la maldición de la multi-dimensionalidad,
y a lo mejor con 50000 ó con 100000 tengo suficiente.
El criterio será siempre que la solución converja, lo cual es muy fácil de decir y difícil de demostrar en la práctica.
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¿QUÉ HAGO? RECURRIR A MONTE CARLO
No recurro a Monte Carlo porque esté analizando un problema aleatorio estrictamente hablando: el tiro
parabólico podría considerarlo aleatorio si examino una ocurrencia particular, pero la distribución de aciertos en
el suelo (una familia de elipses que cubran diferentes áreas de cobertura) simplemente tiene que contemplar
todos los valores posibles.
Sólo con mallar cada contribución con 20 valores posibles, la combinación de siete de ellas me da 1280 millones
de valores. Inmanejable.
Monte Carlo dice: genera M valores aleatorios para cada una de las contribuciones y combina valor por valor de
forma que te salgan ‘únicamente’ M valores aleatorios para la combinación de todos ellos.
¿Es entonces M suficiente? Piensa que ya no es suficiente que esté mallando el rango de valores posibles de
cada contribución de forma realista (con 20 no tengo ni para empezar).
Ahora tengo que pensar en la combinación de todas las contribuciones y ver si M es suficientemente elevado
como para describirla correctamente. Pero he conseguido liberarme de la maldición de la multi-dimensionalidad,
y a lo mejor con 50000 ó con 100000 tengo suficiente.
El criterio será siempre que la solución converja, lo cual es muy fácil de decir y difícil de demostrar en la práctica.
Introducción a Monte Carlo - 9
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¿PARA QUÉ NO SIRVE EL MÉTODO DE MONTE CARLO?
Monte Carlo NO sirve para mejorar los resultados obtenidos por la GUM, esto es para obtener incertidumbres
de medida más reducidas.
NO sirve para ‘pillar’ al método GUM señalando discrepancias (yo soy más listo porque aplico Monte Carlo, tú
estás obsoleto porque sigues aplicando la GUM). Lo habitual y lo deseable es que ambos métodos lleguen al
mismo resultado sencillamente porque en la mayoría de ocasiones los requisitos que impone la GUM son de
aplicación.
Habrá discrepancias cuando la GUM no sea aplicable (recordemos: cuando hay alguna contribución dominante
o el número de contribuciones es muy reducido).
Y también habrá discrepancias, por supuesto, cuando no hayamos sabido aplicar correctamente uno de los dos
métodos. Consejo: seguir intentándolo hasta que ambos métodos muestren el mismo o parecido resultado,
siempre que estemos seguros de que la GUM es aplicable.
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¿PARA QUÉ NO SIRVE EL MÉTODO DE MONTE CARLO?
Monte Carlo NO sirve para mejorar los resultados obtenidos por la GUM, esto es para obtener incertidumbres
de medida más reducidas.
NO sirve para ‘pillar’ al método GUM señalando discrepancias (yo soy más listo porque aplico Monte Carlo, tú
estás obsoleto porque sigues aplicando la GUM). Lo habitual y lo deseable es que ambos métodos lleguen al
mismo resultado sencillamente porque en la mayoría de ocasiones los requisitos que impone la GUM son de
aplicación.
Habrá discrepancias cuando la GUM no sea aplicable (recordemos: cuando hay alguna contribución dominante
o el número de contribuciones es muy reducido).
Y también habrá discrepancias, por supuesto, cuando no hayamos sabido aplicar correctamente uno de los dos
métodos. Consejo: seguir intentándolo hasta que ambos métodos muestren el mismo o parecido resultado,
siempre que estemos seguros de que la GUM es aplicable.
Introducción a Monte Carlo - 10
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¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE MONTE CARLO?
En esencia el método de Monte Carlo consiste en simular por ordenador las variables de entrada de la función
modelo de forma que reproduzcan el comportamiento esperado para las mismas en función del conocimiento
que de ellas tenemos: sus funciones densidad de probabilidad.
Se trata de generar, para cada contribución individual, un conjunto de valores tales que su distribución sea
gaussiana, o t de Student con un número concreto de grados de libertad, o rectangular, o en forma de U (también
llamada función ‘oscilación de seno’).
La mayoría de lenguajes de programación nos proporcionan ya generadores aleatorios de números que siguen
una distribución rectangular entre 0 y 1, o gaussiana en torno a 0 y con una desviación estándar igual a la unidad.
La única dificultad del método consiste en escalar adecuadamente dichas funciones predeterminadas, de forma
que reproduzcan el comportamiento de cada una de las variables de entrada: valor esperado = valor medido e
intervalo de confianza = incertidumbre de medida.
Las distribuciones en forma de U o t de Student no están predefinidas y por tanto su generación puede ser algo
más dificultosa, pero se puede prescindir de ellas en una primera aproximación al método.
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¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE MONTE CARLO?
En esencia el método de Monte Carlo consiste en simular por ordenador las variables de entrada de la función
modelo de forma que reproduzcan el comportamiento esperado para las mismas en función del conocimiento
que de ellas tenemos: sus funciones densidad de probabilidad.
Se trata de generar, para cada contribución individual, un conjunto de valores tales que su distribución sea
gaussiana, o t de Student con un número concreto de grados de libertad, o rectangular, o en forma de U (también
llamada función ‘oscilación de seno’).
La mayoría de lenguajes de programación nos proporcionan ya generadores aleatorios de números que siguen
una distribución rectangular entre 0 y 1, o gaussiana en torno a 0 y con una desviación estándar igual a la unidad.
La única dificultad del método consiste en escalar adecuadamente dichas funciones predeterminadas, de forma
que reproduzcan el comportamiento de cada una de las variables de entrada: valor esperado = valor medido e
intervalo de confianza = incertidumbre de medida.
Las distribuciones en forma de U o t de Student no están predefinidas y por tanto su generación puede ser algo
más dificultosa, pero se puede prescindir de ellas en una primera aproximación al método.
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LOS NÚMEROS SEUDO -ALEATORIOS
¿Por qué siempre que me bajo un tutorial hacen tanto hincapié en la generación de números aleatorios o seudo-
aleatorios?
Respuesta: para impresionar a los alumnos.
O porque están dirigidos a matemáticos.
¿No hemos dicho que hay generadores aleatorios de números, en Excel, en Matlab o en cualquier lenguaje de
programación que podamos manejar? ¿Para qué querríamos generarlos nosotros mismos?
Llevado al extremo, deberíamos chequear (y hay gente que lo hace) todas las funciones predefinidas de Excel:
por ejemplo, hay estudios comparando la CDF gaussiana de Excel con su valor exacto en tablas. Al ingeniero
que simplemente va a hacer uso de Monte Carlo en sus cálculos, estas disquisiciones no le interesan.
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LOS NÚMEROS SEUDO -ALEATORIOS
¿Por qué siempre que me bajo un tutorial hacen tanto hincapié en la generación de números aleatorios o seudo-
aleatorios?
Respuesta: para impresionar a los alumnos.
O porque están dirigidos a matemáticos.
¿No hemos dicho que hay generadores aleatorios de números, en Excel, en Matlab o en cualquier lenguaje de
programación que podamos manejar? ¿Para qué querríamos generarlos nosotros mismos?
Llevado al extremo, deberíamos chequear (y hay gente que lo hace) todas las funciones predefinidas de Excel:
por ejemplo, hay estudios comparando la CDF gaussiana de Excel con su valor exacto en tablas. Al ingeniero
que simplemente va a hacer uso de Monte Carlo en sus cálculos, estas disquisiciones no le interesan.
Introducción a Monte Carlo - 12
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UN EJEMPLO SENCILLO DE GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS
Todos sabríamos pedirle a Excel que genere 1000 puntos aleatorios entre 0 y 1, la función se llama
ALEATORIO().
Con multiplicarla por 2 y restarle 1 ya tendríamos una distribución rectangular entre -1 y 1, fácilmente escalable
al valor que deseemos para una contribución concreta (PDF rectangular) en un cálculo de incertidumbres.
Qué listo. ¿Y si es gaussiana?
Es una lástima que Excel no genere números aleatorios siguiendo una distribución normal, aunque hay
lenguajes que sí lo hacen, por ejemplo Matlab.
Solución: con generar números equiprobablemente distribuidos entre 0 y 1 (distribución rectangular, llamando a
ALEATORIO()) y nuestros conocimientos básicos de estadística es suficiente.
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UN EJEMPLO SENCILLO DE GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS
Todos sabríamos pedirle a Excel que genere 1000 puntos aleatorios entre 0 y 1, la función se llama
ALEATORIO().
Con multiplicarla por 2 y restarle 1 ya tendríamos una distribución rectangular entre -1 y 1, fácilmente escalable
al valor que deseemos para una contribución concreta (PDF rectangular) en un cálculo de incertidumbres.
Qué listo. ¿Y si es gaussiana?
Es una lástima que Excel no genere números aleatorios siguiendo una distribución normal, aunque hay
lenguajes que sí lo hacen, por ejemplo Matlab.
Solución: con generar números equiprobablemente distribuidos entre 0 y 1 (distribución rectangular, llamando a
ALEATORIO()) y nuestros conocimientos básicos de estadística es suficiente.
Introducción a Monte Carlo - 13
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GENERACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
La CDF (Cumulative Distribution Function o Función de Distribución Acumulativa), que no es más que el área
acumulada por integración bajo la curva de la PDF (Probability Density Function o Función Densidad de
Probabilidad) nos viene a dar la probabilidad acumulada en función del valor de la variable de entrada
La probabilidad de encontrar valores comprendidos entre - y un valor x es CDF(x).
Llamando a la CDF gaussiana, la probabilidad de encontrar valores comprendidos entre -1.96 y 1.96 en una
distribución normal de media 0 y desviación estándar 1 es DISTR.NORM(1.96;0;1;verdadero) – DISTR.NORM(-
1.96;0;1;verdadero) o lo que es lo mismo 0.95.
Esto me suena: a partir del valor, DISTR.NORM nos da la probabilidad, por decirlo de forma sencilla. ¿Y si le damos
la vuelta?
La CDF inversa nos da un valor a partir de una probabilidad. Si entramos con números aleatorios entre 0 y 1, la
función DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();0;1) nos dará valores tales que siguen una distribución gaussiana de
media 0 y desviación estándar 1.
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GENERACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
La CDF (Cumulative Distribution Function o Función de Distribución Acumulativa), que no es más que el área
acumulada por integración bajo la curva de la PDF (Probability Density Function o Función Densidad de
Probabilidad) nos viene a dar la probabilidad acumulada en función del valor de la variable de entrada
La probabilidad de encontrar valores comprendidos entre - y un valor x es CDF(x).
Llamando a la CDF gaussiana, la probabilidad de encontrar valores comprendidos entre -1.96 y 1.96 en una
distribución normal de media 0 y desviación estándar 1 es DISTR.NORM(1.96;0;1;verdadero) – DISTR.NORM(-
1.96;0;1;verdadero) o lo que es lo mismo 0.95.
Esto me suena: a partir del valor, DISTR.NORM nos da la probabilidad, por decirlo de forma sencilla. ¿Y si le damos
la vuelta?
La CDF inversa nos da un valor a partir de una probabilidad. Si entramos con números aleatorios entre 0 y 1, la
función DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();0;1) nos dará valores tales que siguen una distribución gaussiana de
media 0 y desviación estándar 1.
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¿CÓMO LO HAGO PARA CREÉRMELO?
Calculando el histograma. La función FRECUENCIA(datos;grupos), aunque un poco liosa de insertar, nos da el
histograma de un rango de datos según se encuentren distribuidos en una serie de categorías (ejemplo: entre 0
y 0.1, entre 0.1 y 0.2, entre 0.2 y 0.3, etc…: así es como se define el rango de categorías, o grupos si lo prefieres).
Aunque parezca una tontería, es de las cosas que más quebraderos de cabeza pueden dar al aplicar el método
de Monte Carlo: demostrar por ejemplo que un conjunto de datos sigue una distribución gaussiana.
Algunas pistas: el número de categorías tiene que estar en relación con el número de datos generados. Parece
de Perogrullo pero no podemos obtener un histograma bonito, con muchas categorías, si hemos generado pocos
datos.
Podríamos reservar dos o tres órdenes de magnitud entre el número de datos y el número de categorías: si
hemos generado 20000 datos, intentemos obtener un histograma con 20 categorías. Con menos de 20
categorías no nos saldría un buen aspecto de histograma (u n poco de sentido común, tampoco
representaríamos ninguna gráfica bonita con menos de 20 puntos).
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¿CÓMO LO HAGO PARA CREÉRMELO?
Calculando el histograma. La función FRECUENCIA(datos;grupos), aunque un poco liosa de insertar, nos da el
histograma de un rango de datos según se encuentren distribuidos en una serie de categorías (ejemplo: entre 0
y 0.1, entre 0.1 y 0.2, entre 0.2 y 0.3, etc…: así es como se define el rango de categorías, o grupos si lo prefieres).
Aunque parezca una tontería, es de las cosas que más quebraderos de cabeza pueden dar al aplicar el método
de Monte Carlo: demostrar por ejemplo que un conjunto de datos sigue una distribución gaussiana.
Algunas pistas: el número de categorías tiene que estar en relación con el número de datos generados. Parece
de Perogrullo pero no podemos obtener un histograma bonito, con muchas categorías, si hemos generado pocos
datos.
Podríamos reservar dos o tres órdenes de magnitud entre el número de datos y el número de categorías: si
hemos generado 20000 datos, intentemos obtener un histograma con 20 categorías. Con menos de 20
categorías no nos saldría un buen aspecto de histograma (u n poco de sentido común, tampoco
representaríamos ninguna gráfica bonita con menos de 20 puntos).
Introducción a Monte Carlo - 15
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¿HASTA DÓNDE DEFINIR LAS CATEGORÍAS EN UN HISTOGRAMA?
Un problema en el cálculo de histogramas consiste en definir de dónde a dónde llegan las categorías.
Lo primero que se nos ocurre es entre el máximo y el mínimo de los datos que acabo de generar, pero esto da
problemas porque por definición, la generación de números aleatorios hace imposible por definición determinar
‘a priori’ cuáles van a ser las colas de la distribución (aquellos valores más extremos, que son generados con
una probabilidad menor).
Si cada vez que ejecutamos Monte Carlo las categorías de los histogramas cambian, es complicado que dé la
sensación de que el método converge.
Es mejor determinar ‘a priori’ cuál va a ser la máxima excursión de la distribución de datos esperada (¡algo muy
parecido a lo que hace la GUM!, pero calculando por exceso 3 ó 4 desviaciones estándar) de forma que siempre
se calcule el histograma en idénticas condiciones.
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¿HASTA DÓNDE DEFINIR LAS CATEGORÍAS EN UN HISTOGRAMA?
Un problema en el cálculo de histogramas consiste en definir de dónde a dónde llegan las categorías.
Lo primero que se nos ocurre es entre el máximo y el mínimo de los datos que acabo de generar, pero esto da
problemas porque por definición, la generación de números aleatorios hace imposible por definición determinar
‘a priori’ cuáles van a ser las colas de la distribución (aquellos valores más extremos, que son generados con
una probabilidad menor).
Si cada vez que ejecutamos Monte Carlo las categorías de los histogramas cambian, es complicado que dé la
sensación de que el método converge.
Es mejor determinar ‘a priori’ cuál va a ser la máxima excursión de la distribución de datos esperada (¡algo muy
parecido a lo que hace la GUM!, pero calculando por exceso 3 ó 4 desviaciones estándar) de forma que siempre
se calcule el histograma en idénticas condiciones.
Introducción a Monte Carlo - 16
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¿UN HISTOGRAMA ES LO MISMO QUE UNA PDF?
Es lo más parecido que se me ocurre, aunque me faltan los conocimientos matemáticos para explicarlo
correctamente.
Un histograma va asociado a un experimento discreto y una PDF a una variable aleatoria continua. Pero en
teoría un histograma tendría la misma forma que una PDF cuando el número de datos generados y de categorías
fuese muy elevado.
Parece evidente que el histograma asociado al experimento ‘lanzar un dado muchas veces’ debería darnos un
resultado equiprobable, igual al número de tiradas dividido por 6 (aquí las categorías están claras, y el número
de datos generados ha de ser suficientemente grande para que se cumpla lo anterior).
Si hemos generado números aleatorios entre 0 y 1, un histograma de 20 categorías con 20000 datos generados
se empieza a parecer a la PDF asociada a una distribución rectangular comprendida entre dichos valores mínimo
y máximo.
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¿UN HISTOGRAMA ES LO MISMO QUE UNA PDF?
Es lo más parecido que se me ocurre, aunque me faltan los conocimientos matemáticos para explicarlo
correctamente.
Un histograma va asociado a un experimento discreto y una PDF a una variable aleatoria continua. Pero en
teoría un histograma tendría la misma forma que una PDF cuando el número de datos generados y de categorías
fuese muy elevado.
Parece evidente que el histograma asociado al experimento ‘lanzar un dado muchas veces’ debería darnos un
resultado equiprobable, igual al número de tiradas dividido por 6 (aquí las categorías están claras, y el número
de datos generados ha de ser suficientemente grande para que se cumpla lo anterior).
Si hemos generado números aleatorios entre 0 y 1, un histograma de 20 categorías con 20000 datos generados
se empieza a parecer a la PDF asociada a una distribución rectangular comprendida entre dichos valores mínimo
y máximo.
Introducción a Monte Carlo - 17
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DOS DETALLES MÁS ACERCA DE LOS HISTOGRAMAS
Para que nadie te discuta que un histograma (algo discreto, experimental y fácil de calcular) ‘es’ o se asemeja a
una PDF:
Recuerda reasignar con cuidado el eje de abcisas al rango de categorías (mejor dicho al valor medio de cada
categoría), ya que lo que obtienes de la función FRECUENCIA son únicamente los valores del eje de ordenadas.
Y finalmente, aunque no sea del todo necesario en el método de Monte Carlo, para ser rigurosos recuerda
normalizar el histograma de manera que el área bajo la curva sea la unidad.
Si haces estas dos cosas podrás comparar un histograma experimental con una PDF teórica, lo cual es muy útil
para llegar a conclusiones.
Con esto ya casi puedo resolver todos mis casos. Pero…
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DOS DETALLES MÁS ACERCA DE LOS HISTOGRAMAS
Para que nadie te discuta que un histograma (algo discreto, experimental y fácil de calcular) ‘es’ o se asemeja a
una PDF:
Recuerda reasignar con cuidado el eje de abcisas al rango de categorías (mejor dicho al valor medio de cada
categoría), ya que lo que obtienes de la función FRECUENCIA son únicamente los valores del eje de ordenadas.
Y finalmente, aunque no sea del todo necesario en el método de Monte Carlo, para ser rigurosos recuerda
normalizar el histograma de manera que el área bajo la curva sea la unidad.
Si haces estas dos cosas podrás comparar un histograma experimental con una PDF teórica, lo cual es muy útil
para llegar a conclusiones.
Con esto ya casi puedo resolver todos mis casos. Pero…
Introducción a Monte Carlo - 18
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¿Y SI QUIERO GENERAR UNA T DE STUDENT?
Parecido a la gaussiana:
¿Recuerdas que DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();0;1) nos da valores tales que siguen una distribución gaussiana
de media 0 y desviación estándar 1? Pues aunque tenga una forma algo más complicada, porque depende de si
estamos en la cola derecha o izquierda de la distribución t de Student, la fórmula que vamos a emplear no es tan
diferente conceptualmente de la anterior:
SI(ALEATORIO()<0.5;-DISTR.T.INV(2*ALEATORIO();grados);DISTR.T.INV(2*(1-ALEATORIO());grados))
La función anterior nos dará valores tales que siguen una distribución t de Student con ‘grados’ de libertad y
centrada en 0. De hecho, si en ‘grados’ introducimos un valor muy elevado, 1000000 por ejemplo, nos saldría la
gaussiana de media 0 y desviación estándar 1.
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¿Y SI QUIERO GENERAR UNA T DE STUDENT?
Parecido a la gaussiana:
¿Recuerdas que DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();0;1) nos da valores tales que siguen una distribución gaussiana
de media 0 y desviación estándar 1? Pues aunque tenga una forma algo más complicada, porque depende de si
estamos en la cola derecha o izquierda de la distribución t de Student, la fórmula que vamos a emplear no es tan
diferente conceptualmente de la anterior:
SI(ALEATORIO()<0.5;-DISTR.T.INV(2*ALEATORIO();grados);DISTR.T.INV(2*(1-ALEATORIO());grados))
La función anterior nos dará valores tales que siguen una distribución t de Student con ‘grados’ de libertad y
centrada en 0. De hecho, si en ‘grados’ introducimos un valor muy elevado, 1000000 por ejemplo, nos saldría la
gaussiana de media 0 y desviación estándar 1.
Introducción a Monte Carlo - 19
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¿QUÉ VENTAJAS OFRECE MONTE CARLO RESPECTO AL MÉTOD O GUM?
Comparando con el método de la GUM nos damos cuenta de que Monte Carlo presenta una serie de ventajas, que
pueden tener su importancia en determinados casos:
i. No es necesario derivar parcialmente la función modelo con respecto a las variables de entrada para obtener
los coeficientes de sensibilidad: Monte Carlo obtiene directamente la influencia que las variables de entrada
tienen en la variable de salida, ya que se limita a operar con valores (aplicando la función modelo, sea ésta
lo complicada que sea).
ii. No hay que preguntarse si existen contribuciones dominantes en la entrada, ya que el resultado a la salida
reflejará su influencia sin necesidad de efectuar cálculos teóricos o suposiciones.
iii. Si nos hemos preocupado de simular correctamente a la entrada las funciones densidad de probabilidad de
las variables de entrada, así como de reasignar abcisas y de normalizar ordenadas a la salida, obtendremos
a la salida la verdadera función densidad de probabilidad de la variable de salida, sea ésta gaussiana o no,
arbitraria o incluso no asimilable a ninguna función densidad de probabilidad conocida.
De lo que estaremos seguros es de que representa el verdadero comportamiento (simulado numéricamente,
podríamos decir; mientras que la GUM lo calcula a partir de suposiciones estadísticas) de la variable de salida.
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¿QUÉ VENTAJAS OFRECE MONTE CARLO RESPECTO AL MÉTOD O GUM?
Comparando con el método de la GUM nos damos cuenta de que Monte Carlo presenta una serie de ventajas, que
pueden tener su importancia en determinados casos:
i. No es necesario derivar parcialmente la función modelo con respecto a las variables de entrada para obtener
los coeficientes de sensibilidad: Monte Carlo obtiene directamente la influencia que las variables de entrada
tienen en la variable de salida, ya que se limita a operar con valores (aplicando la función modelo, sea ésta
lo complicada que sea).
ii. No hay que preguntarse si existen contribuciones dominantes en la entrada, ya que el resultado a la salida
reflejará su influencia sin necesidad de efectuar cálculos teóricos o suposiciones.
iii. Si nos hemos preocupado de simular correctamente a la entrada las funciones densidad de probabilidad de
las variables de entrada, así como de reasignar abcisas y de normalizar ordenadas a la salida, obtendremos
a la salida la verdadera función densidad de probabilidad de la variable de salida, sea ésta gaussiana o no,
arbitraria o incluso no asimilable a ninguna función densidad de probabilidad conocida.
De lo que estaremos seguros es de que representa el verdadero comportamiento (simulado numéricamente,
podríamos decir; mientras que la GUM lo calcula a partir de suposiciones estadísticas) de la variable de salida.
Introducción a Monte Carlo - 20
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¿QUÉ HACER CON LA DISTRIBUCIÓN DE SALIDA?
A partir de este momento podemos aplicar los conceptos estadísticos habituales, como el valor esperado, el
intervalo de confianza o incertidumbre asociada para una probabilidad del 95%, trabajar con intervalos asimétricos,
etc...
Para muchos de estos parámetros únicamente es necesario ‘contar’ ocurrencias, es decir ordenar los datos y ver
en qué intervalos se encuentran determinados porcentajes de interés como el mencionado 95%. No es necesario
poseer grandes conocimientos estadísticos para analizar las distribuciones obtenidas a la salida.
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¿QUÉ HACER CON LA DISTRIBUCIÓN DE SALIDA?
A partir de este momento podemos aplicar los conceptos estadísticos habituales, como el valor esperado, el
intervalo de confianza o incertidumbre asociada para una probabilidad del 95%, trabajar con intervalos asimétricos,
etc...
Para muchos de estos parámetros únicamente es necesario ‘contar’ ocurrencias, es decir ordenar los datos y ver
en qué intervalos se encuentran determinados porcentajes de interés como el mencionado 95%. No es necesario
poseer grandes conocimientos estadísticos para analizar las distribuciones obtenidas a la salida.
Introducción a Monte Carlo - 21
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¿Y SI REALMENTE LA VARIABLE DE SALIDA ES MUY, MUY RARA?
A veces nos ponemos nerviosos al llegar como resultado a una función densidad de probabilidad que difiere de
las habituales gaussianas o t de Student.
Nos podemos encontrar con que una distribución arbitraria, asimétrica incluso, es difícil de describir en términos
de intervalos de confianza para el 95%, que son las herramientas habituales con las que describimos las
distribuciones más conocidas.
Sin embargo, en un mundo en el que todos trabajásemos con Monte Carlo, quizá no tendríamos necesidad de
reducir las funciones densidad de probabilidad de nuestros cálculos a parámetros tan rudimentarios como un
valor esperado y una incertidumbre expandida.
Como resultado de mi simulación (bien sea de un patrón que voy a incluir en un cálculo posterior para calibrar
un patrón secundario, bien sea del equipo de un cliente que éste va a utilizar en sus cálculos), podría llegar a
una función densidad de probabilidad descrita por un conjunto o nube de puntos simulados, y ser éste el punto
de partida de los cálculos subsiguientes:
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¿Y SI REALMENTE LA VARIABLE DE SALIDA ES MUY, MUY RARA?
A veces nos ponemos nerviosos al llegar como resultado a una función densidad de probabilidad que difiere de
las habituales gaussianas o t de Student.
Nos podemos encontrar con que una distribución arbitraria, asimétrica incluso, es difícil de describir en términos
de intervalos de confianza para el 95%, que son las herramientas habituales con las que describimos las
distribuciones más conocidas.
Sin embargo, en un mundo en el que todos trabajásemos con Monte Carlo, quizá no tendríamos necesidad de
reducir las funciones densidad de probabilidad de nuestros cálculos a parámetros tan rudimentarios como un
valor esperado y una incertidumbre expandida.
Como resultado de mi simulación (bien sea de un patrón que voy a incluir en un cálculo posterior para calibrar
un patrón secundario, bien sea del equipo de un cliente que éste va a utilizar en sus cálculos), podría llegar a
una función densidad de probabilidad descrita por un conjunto o nube de puntos simulados, y ser éste el punto
de partida de los cálculos subsiguientes:
Introducción a Monte Carlo - 22
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¿CÓMO HACER USO DE LA VARIABLE DE SALIDA OBTENIDA POR MONTE CARLO?
Mi variable de salida, obtenida por Monte Carlo y descrita por un conjunto de valores que siguen una función
densidad de probabilidad quizá arbitraria, constituye la variable de entrada de un cálculo posterior que yo o mi
cliente vamos a efectuar, luego sólo es necesario proporcionarle dicha nube de puntos.
Es lo mismo que hacemos habitualmente con el certificado de calibración, sólo que en él incluimos una serie de
parámetros (pocos) que describen convenientemente, y de forma a la que todos estamos habituados, la función
densidad de probabilidad, gaussiana o t de Student, obtenida: el valor medio, la incertidumbre expandida, el
factor de cobertura considerado, el número efectivo de grados de libertad, el nivel de confianza del 95%, etc…
sin contemplar más posibilidades.
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¿CÓMO HACER USO DE LA VARIABLE DE SALIDA OBTENIDA POR MONTE CARLO?
Mi variable de salida, obtenida por Monte Carlo y descrita por un conjunto de valores que siguen una función
densidad de probabilidad quizá arbitraria, constituye la variable de entrada de un cálculo posterior que yo o mi
cliente vamos a efectuar, luego sólo es necesario proporcionarle dicha nube de puntos.
Es lo mismo que hacemos habitualmente con el certificado de calibración, sólo que en él incluimos una serie de
parámetros (pocos) que describen convenientemente, y de forma a la que todos estamos habituados, la función
densidad de probabilidad, gaussiana o t de Student, obtenida: el valor medio, la incertidumbre expandida, el
factor de cobertura considerado, el número efectivo de grados de libertad, el nivel de confianza del 95%, etc…
sin contemplar más posibilidades.
Introducción a Monte Carlo - 23
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EN LA NUBE DE PUNTOS, ¿DÓNDE ESTÁ LA ALEATORIEDAD?
En efecto, la nube de puntos que le proporcione a mi cliente (o que recibo de un laboratorio superior en la cadena
de trazabilidad) siempre será la misma, no hay aleatoriedad.
Solución: ¡se desordena!
Es verdad que una nube de puntos en un pendrive es lo menos parecido a algo aleatorio, y estamos hablando
de Monte Carlo. Hay algo que no cuadra...
Pero nada me impide desordenar la nube de puntos de mi patrón (que describen mi patrón) cada vez que ejecute
Monte Carlo en mis cálculos posteriores.
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EN LA NUBE DE PUNTOS, ¿DÓNDE ESTÁ LA ALEATORIEDAD?
En efecto, la nube de puntos que le proporcione a mi cliente (o que recibo de un laboratorio superior en la cadena
de trazabilidad) siempre será la misma, no hay aleatoriedad.
Solución: ¡se desordena!
Es verdad que una nube de puntos en un pendrive es lo menos parecido a algo aleatorio, y estamos hablando
de Monte Carlo. Hay algo que no cuadra...
Pero nada me impide desordenar la nube de puntos de mi patrón (que describen mi patrón) cada vez que ejecute
Monte Carlo en mis cálculos posteriores.
Introducción a Monte Carlo - 24
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DESORDENAR DATOS… ¡ES UNA BUENA IDEA!
En efecto, esperaba que te dieses cuenta…
El problema con la aleatoriedad ‘pura’ es que nunca podré estar seguro (a no ser que genere números a
cascoporro) de generar lo que yo quiero, ni siquiera la tirada de un dado. Dale seis veces a la función
ALEATORIO.ENTRE(1;6) de Excel y representa el histograma a ver qué te sale. Una mierda sale.
La simulación, para ser creíble, debería llamar muchísimas veces a dicha función para que el histograma
exhibiese para cada valor entre 1 y 6 algo que se pareciese al número de tiradas dividido por 6.
Lo mismo es de aplicación a una variable aleatoria continua entre 0 y 1, que se simula llamando a ALEATORIO().
Ahora llega un listo, y en el caso del dado desordena los valores del 1 al 6 y representa el histograma con seis
barras de valor 1, porque cada valor le ha salido una vez. Histograma perfecto. Y cada vez que ejecuta Monte
Carlo lo único que hace es desordenar de forma diferente los números del 1 al 6 (hay funciones que lo hacen:
en Matlab se llama randperm, y en Excel se puede hacer ordenando 6 números aleatorios y anotando la posición
que ocupaba cada uno).
Al listillo este no le podrás negar que está generando cada vez una ordenación aleatoria de números que son
precisamente los que él quiere, ni uno más ni uno menos. Creo que Tetris hace algo parecido: no te presenta
aleatoriamente las figuras, sino que, en tandas de siete, porque hay siete figuras diferentes, te las presenta
desordenadas aleatoriamente. Hasta que no termina de presentarte siete diferentes no empieza a desordenar
las siete siguientes.
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DESORDENAR DATOS… ¡ES UNA BUENA IDEA!
En efecto, esperaba que te dieses cuenta…
El problema con la aleatoriedad ‘pura’ es que nunca podré estar seguro (a no ser que genere números a
cascoporro) de generar lo que yo quiero, ni siquiera la tirada de un dado. Dale seis veces a la función
ALEATORIO.ENTRE(1;6) de Excel y representa el histograma a ver qué te sale. Una mierda sale.
La simulación, para ser creíble, debería llamar muchísimas veces a dicha función para que el histograma
exhibiese para cada valor entre 1 y 6 algo que se pareciese al número de tiradas dividido por 6.
Lo mismo es de aplicación a una variable aleatoria continua entre 0 y 1, que se simula llamando a ALEATORIO().
Ahora llega un listo, y en el caso del dado desordena los valores del 1 al 6 y representa el histograma con seis
barras de valor 1, porque cada valor le ha salido una vez. Histograma perfecto. Y cada vez que ejecuta Monte
Carlo lo único que hace es desordenar de forma diferente los números del 1 al 6 (hay funciones que lo hacen:
en Matlab se llama randperm, y en Excel se puede hacer ordenando 6 números aleatorios y anotando la posición
que ocupaba cada uno).
Al listillo este no le podrás negar que está generando cada vez una ordenación aleatoria de números que son
precisamente los que él quiere, ni uno más ni uno menos. Creo que Tetris hace algo parecido: no te presenta
aleatoriamente las figuras, sino que, en tandas de siete, porque hay siete figuras diferentes, te las presenta
desordenadas aleatoriamente. Hasta que no termina de presentarte siete diferentes no empieza a desordenar
las siete siguientes.
Introducción a Monte Carlo - 25
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¿A DÓNDE QUEREMOS LLEGAR?
Al llamado método de Monte Carlo estratificado. Muy importante si quieres ahorrar tiempo de computación o
filas de Excel, o simplemente para generar histogramas ‘bonitos’.
¿Qué diez valores posibles esperarías encontrar en una variable aleatoria distribuida uniformemente entre 0 y
1? Lo digo para no llamar directamente a ALEATORIO() y que sea lo que Dios (o el motor de generación de
números aleatorios de Excel) quiera.
Si te hubiese preguntado once quizás me habrías respondido 0.0 – 0.1 – 0.2 – 0.3 – 0.4 – 0.5 – 0.6 – 0.7 – 0 .8
– 0.9 – 1.0. Pero hazme caso y evita el 0 y el 1 (recuerda que la variable uniformemente distribuida entre 0 y 1
se la vas a dar a comer a la CDF inversa gaussiana o t de Student, y a ninguna de las dos les gustan los valores
extremos de probabilidad).
Yo recomiendo estos diez valores: 0.05 – 0.15 – 0.25 – 0.35 – 0.45 – 0.55 – 0.65 – 0.75 – 0.85 – 0.95. Ahora
los desordenas y obtienes un histograma perfecto para diez valores, con diez categorías y un valor de 1 obtenido
para cada categoría. Y cada vez que ejecutes Monte Carlo obtendrás el mismo histograma pero con una
ordenación diferente.
Puedes hacerlo con cien valores: 0.005 – 0.015 – […] – 0.985 – 0.995. O con mil: 0.0005 – 0.0015 – […] –
0.9985 – 0.9995. Y como para empezar te recomendé trabajar con 20 categorías, obtendrías histogramas de
valor 5 o de valor 50, respectivamente. Siempre perfectos.
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¿A DÓNDE QUEREMOS LLEGAR?
Al llamado método de Monte Carlo estratificado. Muy importante si quieres ahorrar tiempo de computación o
filas de Excel, o simplemente para generar histogramas ‘bonitos’.
¿Qué diez valores posibles esperarías encontrar en una variable aleatoria distribuida uniformemente entre 0 y
1? Lo digo para no llamar directamente a ALEATORIO() y que sea lo que Dios (o el motor de generación de
números aleatorios de Excel) quiera.
Si te hubiese preguntado once quizás me habrías respondido 0.0 – 0.1 – 0.2 – 0.3 – 0.4 – 0.5 – 0.6 – 0.7 – 0 .8
– 0.9 – 1.0. Pero hazme caso y evita el 0 y el 1 (recuerda que la variable uniformemente distribuida entre 0 y 1
se la vas a dar a comer a la CDF inversa gaussiana o t de Student, y a ninguna de las dos les gustan los valores
extremos de probabilidad).
Yo recomiendo estos diez valores: 0.05 – 0.15 – 0.25 – 0.35 – 0.45 – 0.55 – 0.65 – 0.75 – 0.85 – 0.95. Ahora
los desordenas y obtienes un histograma perfecto para diez valores, con diez categorías y un valor de 1 obtenido
para cada categoría. Y cada vez que ejecutes Monte Carlo obtendrás el mismo histograma pero con una
ordenación diferente.
Puedes hacerlo con cien valores: 0.005 – 0.015 – […] – 0.985 – 0.995. O con mil: 0.0005 – 0.0015 – […] –
0.9985 – 0.9995. Y como para empezar te recomendé trabajar con 20 categorías, obtendrías histogramas de
valor 5 o de valor 50, respectivamente. Siempre perfectos.
Introducción a Monte Carlo - 26
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¿ASÍ DE SENCILLO?
Simular una distribución rectangular estratificada entre 0 y 1 no tiene ningún mérito, pero recuerda que es el
punto de partida para generar gaussianas o t de Student. Introduce los valores anteriores, aunque sea sin
desordenar, en las funciones Excel DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();0;1) o en:
SI(ALEATORIO()<0.5;-DISTR.T.INV(2*ALEATORIO();grados);DISTR.T.INV(2*(1-ALEATORIO());grados))
Simplemente, en lugar de ALEATORIO() apuntas al rango estratificado que hemos definido en el punto anterior.
¿Qué te sale? La misma gaussiana de media 0 y desviación estándar 1, o la misma t de Student con ‘grados’
de libertad y centrada en 0, pero que antes eran muy dependientes del número de puntos aleatorios que
generases. Ahora obtienes siempre el mismo resultado, es verdad, ¡pero el histograma es perfecto!
Igual me he pasado: cuantos más puntos hayas definido en la uniforme estratificada mejor verás el aspecto de
las gaussianas o t de Student.
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¿ASÍ DE SENCILLO?
Simular una distribución rectangular estratificada entre 0 y 1 no tiene ningún mérito, pero recuerda que es el
punto de partida para generar gaussianas o t de Student. Introduce los valores anteriores, aunque sea sin
desordenar, en las funciones Excel DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();0;1) o en:
SI(ALEATORIO()<0.5;-DISTR.T.INV(2*ALEATORIO();grados);DISTR.T.INV(2*(1-ALEATORIO());grados))
Simplemente, en lugar de ALEATORIO() apuntas al rango estratificado que hemos definido en el punto anterior.
¿Qué te sale? La misma gaussiana de media 0 y desviación estándar 1, o la misma t de Student con ‘grados’
de libertad y centrada en 0, pero que antes eran muy dependientes del número de puntos aleatorios que
generases. Ahora obtienes siempre el mismo resultado, es verdad, ¡pero el histograma es perfecto!
Igual me he pasado: cuantos más puntos hayas definido en la uniforme estratificada mejor verás el aspecto de
las gaussianas o t de Student.
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LAS COLAS DE LAS GAUSSIANAS, UN PROBLEMA REAL
Sobre todo, echa un vistazo a las colas de las gaussianas (o t de Student, en general) generadas por el método
estratificado. No hay más que fijarse en los valores mínimo y máximo generados. Cuanto mayor es el número
de puntos del que partimos (cuanto más fino es el mallado de la distribución uniforme entre 0 y 1) más nos
acercamos a esos valores que nunca alcanzamos (el - y el +) y que constituyen las colas de la distribución.
Una forma de evaluarlas es ver el número de veces que incluyen a sigma (la desviación estándar). Simular
experimentos que incluyan un determinado número de veces la sigma da a veces idea de la calidad de la
simulación (cuanto más elevado mejor, siempre es mejor incluir unas colas de ±4· que incluyen el 99.99% de
las ocurrencias de la PDF teórica, que unas colas de ±3· que incluyen el 99.73%).
Y lo bueno es que lo puedes tener tabulado: el número de veces que el valor mínimo o máximo incluye a sigma
es función (para unos grados de libertad determinados) del número de puntos que hayamos definido para el
mallado de la distribución uniforme: utilizando un determinado número M de puntos llegaré al mismo histograma
siempre, con unas colas siempre iguales y que puedo determinar ‘a priori’.
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LAS COLAS DE LAS GAUSSIANAS, UN PROBLEMA REAL
Sobre todo, echa un vistazo a las colas de las gaussianas (o t de Student, en general) generadas por el método
estratificado. No hay más que fijarse en los valores mínimo y máximo generados. Cuanto mayor es el número
de puntos del que partimos (cuanto más fino es el mallado de la distribución uniforme entre 0 y 1) más nos
acercamos a esos valores que nunca alcanzamos (el - y el +) y que constituyen las colas de la distribución.
Una forma de evaluarlas es ver el número de veces que incluyen a sigma (la desviación estándar). Simular
experimentos que incluyan un determinado número de veces la sigma da a veces idea de la calidad de la
simulación (cuanto más elevado mejor, siempre es mejor incluir unas colas de ±4· que incluyen el 99.99% de
las ocurrencias de la PDF teórica, que unas colas de ±3· que incluyen el 99.73%).
Y lo bueno es que lo puedes tener tabulado: el número de veces que el valor mínimo o máximo incluye a sigma
es función (para unos grados de libertad determinados) del número de puntos que hayamos definido para el
mallado de la distribución uniforme: utilizando un determinado número M de puntos llegaré al mismo histograma
siempre, con unas colas siempre iguales y que puedo determinar ‘a priori’.
Introducción a Monte Carlo - 28
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¿SEGURO QUE TODO ESTO ES ALEATORIO?
Demasiado bonito para ser verdad ¿no? Pues en mi opinión funciona.
Recuerda que debes combinar todas tus contribuciones a la incertidumbre de la medida. Supongamos que son
siete, como en el ejemplo del tiro parabólico. Generas siete contribuciones (unas rectangulares, otras
gaussianas, quizás alguna t de Student si viene de un certificado con k distinto de 2) con 20000 puntos cada
una.
Lo difícil no es generarlas, de hecho te van a salir todas perfectas, con sus histogramas casi teóricos (20000
puntos son muchos puntos para un estratificado). Lo difícil es desordenarlas, pero supongamos que lo hacemos
incluso con Excel (es una solución un poco tipo McGiver que ralentiza un poco los cálculos pero creo que
funciona).
Una vez desordenadas las combinas valor por valor (aquí no hay maldición de la multi-dimensionalidad) y
obtienes un rango de valores de 20000 puntos cuyo histograma no será tan bonito como el de las contribuciones
individuales, porque aquí ya influye la aleatoriedad del proceso de desordenado (permutaciones aleatorias si
quieres llamarlo con la terminología de Matlab).
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¿SEGURO QUE TODO ESTO ES ALEATORIO?
Demasiado bonito para ser verdad ¿no? Pues en mi opinión funciona.
Recuerda que debes combinar todas tus contribuciones a la incertidumbre de la medida. Supongamos que son
siete, como en el ejemplo del tiro parabólico. Generas siete contribuciones (unas rectangulares, otras
gaussianas, quizás alguna t de Student si viene de un certificado con k distinto de 2) con 20000 puntos cada
una.
Lo difícil no es generarlas, de hecho te van a salir todas perfectas, con sus histogramas casi teóricos (20000
puntos son muchos puntos para un estratificado). Lo difícil es desordenarlas, pero supongamos que lo hacemos
incluso con Excel (es una solución un poco tipo McGiver que ralentiza un poco los cálculos pero creo que
funciona).
Una vez desordenadas las combinas valor por valor (aquí no hay maldición de la multi-dimensionalidad) y
obtienes un rango de valores de 20000 puntos cuyo histograma no será tan bonito como el de las contribuciones
individuales, porque aquí ya influye la aleatoriedad del proceso de desordenado (permutaciones aleatorias si
quieres llamarlo con la terminología de Matlab).
Introducción a Monte Carlo - 29
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¿CUÁLES SON LAS VENTAJAS DE MONTE CARLO ESTRATIFICADO VS. MONTE CARLO ‘PURO’?
Que como partimos de contribuciones individuales ‘perfectas’ el proceso converge antes, con menos puntos.
Para un número constante de puntos simulados observarás menos variaciones con cada ejecución de Monte
Carlo, por ejemplo en el valor medio, en la desviación estándar, en el margen de valores que incluye el 95% de
las ocurrencias.
El mismo aspecto del histograma de la combinación de incertidumbres exhibe menos variaciones, se parece
antes a una PDF teórica. O lo que es lo mismo, esto te permite reducir si quieres el número de puntos necesarios
en tu simulación.
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¿CUÁLES SON LAS VENTAJAS DE MONTE CARLO ESTRATIFICADO VS. MONTE CARLO ‘PURO’?
Que como partimos de contribuciones individuales ‘perfectas’ el proceso converge antes, con menos puntos.
Para un número constante de puntos simulados observarás menos variaciones con cada ejecución de Monte
Carlo, por ejemplo en el valor medio, en la desviación estándar, en el margen de valores que incluye el 95% de
las ocurrencias.
El mismo aspecto del histograma de la combinación de incertidumbres exhibe menos variaciones, se parece
antes a una PDF teórica. O lo que es lo mismo, esto te permite reducir si quieres el número de puntos necesarios
en tu simulación.
Introducción a Monte Carlo - 30
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LA CONVERGENCIA, ¡LO QUE ME FALTABA!
Este es otro tema espinoso: la convergencia del método de Monte Carlo, pero explicado de forma sencilla
consiste en observar que tus parámetros de interés no varían en la cifra significativa que tú te has marcado
como precisión de tu método.
Es largo de hablar porque también hay que examinar si el análisis es robusto, es decir si llegas a los mismos o
parecidos resultados independientemente del análisis de frecuencias que hagas (el número de categorías que
selecciones para el histograma no debería influir cuando la simulación es lo suficientemente buena).
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LA CONVERGENCIA, ¡LO QUE ME FALTABA!
Este es otro tema espinoso: la convergencia del método de Monte Carlo, pero explicado de forma sencilla
consiste en observar que tus parámetros de interés no varían en la cifra significativa que tú te has marcado
como precisión de tu método.
Es largo de hablar porque también hay que examinar si el análisis es robusto, es decir si llegas a los mismos o
parecidos resultados independientemente del análisis de frecuencias que hagas (el número de categorías que
selecciones para el histograma no debería influir cuando la simulación es lo suficientemente buena).
Introducción a Monte Carlo - 31
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¿NO PARECE QUE AL FINAL EL MÉTODO DE MONTE CARLO TIENE POCO DE ALEATORIO?
Conceptualmente Monte Carlo consiste en generar eventos aleatorios, pero da toda la impresión de que pierde
esta aleatoriedad cuando el problema físico que estamos analizando no lo requiere estrictamente. Y un problema
de estadística no requiere estrictamente analizarlo introduciendo la aleatoriedad.
De hecho me da la sensación de que Monte Carlo es la herramienta ‘para torpes’ que no sabemos estadística.
Igual que la integración numérica es para los que no saben hacer integrales indefinidas, al final te das cuenta
de que muchos problemas que resuelves por Monte Carlo los podrías haber resuelto matemáticamente,
sabiendo muchas matemáticas, eso sí.
Por ejemplo, para el que no se imagina lo que puede ocurrir lanzando un dado dos veces, sumando el resultado
y repitiendo el experimento muchas veces, Monte Carlo está para ayudarle a generar dos histogramas uniformes
entre 1 y 6, combinarlos y obtener un histograma triangular entre 2 y 12.
‘Ya me he demostrado a mí mismo’, diría el ignorante matemático pero experto en Monte Carlo, ‘que la
combinación de dos histogramas rectangulares iguales da como resultado uno triangular’.
Pero el matemático no necesita Monte Carlo, simplemente convolucionaría los dos histogramas y obtendría el
histograma triangular. Y quien dice histograma dice PDF para el caso de variables aleatorias continuas.
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¿NO PARECE QUE AL FINAL EL MÉTODO DE MONTE CARLO TIENE POCO DE ALEATORIO?
Conceptualmente Monte Carlo consiste en generar eventos aleatorios, pero da toda la impresión de que pierde
esta aleatoriedad cuando el problema físico que estamos analizando no lo requiere estrictamente. Y un problema
de estadística no requiere estrictamente analizarlo introduciendo la aleatoriedad.
De hecho me da la sensación de que Monte Carlo es la herramienta ‘para torpes’ que no sabemos estadística.
Igual que la integración numérica es para los que no saben hacer integrales indefinidas, al final te das cuenta
de que muchos problemas que resuelves por Monte Carlo los podrías haber resuelto matemáticamente,
sabiendo muchas matemáticas, eso sí.
Por ejemplo, para el que no se imagina lo que puede ocurrir lanzando un dado dos veces, sumando el resultado
y repitiendo el experimento muchas veces, Monte Carlo está para ayudarle a generar dos histogramas uniformes
entre 1 y 6, combinarlos y obtener un histograma triangular entre 2 y 12.
‘Ya me he demostrado a mí mismo’, diría el ignorante matemático pero experto en Monte Carlo, ‘que la
combinación de dos histogramas rectangulares iguales da como resultado uno triangular’.
Pero el matemático no necesita Monte Carlo, simplemente convolucionaría los dos histogramas y obtendría el
histograma triangular. Y quien dice histograma dice PDF para el caso de variables aleatorias continuas.
Introducción a Monte Carlo - 32
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¿POR QUÉ NO CONVOLUCIONAMOS VARIABLES ALEATORIAS?
De nuevo la maldición de la multi-dimensionalidad.
Igual que he partido de dos histogramas de M = 6 puntos y he llegado a uno de 11 = (2·M-1), si tuviese que
seguir convolucionando histogramas porque deseo sumar siete, ocho, nueve o diez veces un dado lanzado al
aire, los histogramas resultantes estarían cada vez más poblados, habría más valores posibles. Y eso que un
dado sólo tiene seis caras.
Pensemos nuevamente las PDFs continuas de mis variables de entrada: estábamos contentos porque podíamos
simular con 20000 puntos unas PDFs bastante bonitas: rectangulares que son las más fáciles, gaussianas o t
de Student.
Supongamos que hay un programa que convoluciona funciones, aunque primero haya que dárselas
discretizadas: no hay nada que Matlab no pueda hacer con matrices, o sea que seguro que es capaz de hacer
convoluciones.
Y de momento pensemos que las hacemos de dos en dos matrices, por definición de convolución: no podemos
permitirnos el lujo de pasar con cada convolución de dos PDFs de 20000 puntos a una de 39999 (2·M-1), ya
que caeríamos en la maldición de la multi-dimensionalidad.
Preocupémonos sin embargo de redimensionar las matrices cada vez que convolucionemos, de manera que el
número de puntos de cada combinación de incertidumbres sea un número fijo, en este caso 20000. Pensemos
que un redimensionamiento no deja de ser una convención, un muestreado arbitrario de una PDF teórica que
es continua por definición.
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¿POR QUÉ NO CONVOLUCIONAMOS VARIABLES ALEATORIAS?
De nuevo la maldición de la multi-dimensionalidad.
Igual que he partido de dos histogramas de M = 6 puntos y he llegado a uno de 11 = (2·M-1), si tuviese que
seguir convolucionando histogramas porque deseo sumar siete, ocho, nueve o diez veces un dado lanzado al
aire, los histogramas resultantes estarían cada vez más poblados, habría más valores posibles. Y eso que un
dado sólo tiene seis caras.
Pensemos nuevamente las PDFs continuas de mis variables de entrada: estábamos contentos porque podíamos
simular con 20000 puntos unas PDFs bastante bonitas: rectangulares que son las más fáciles, gaussianas o t
de Student.
Supongamos que hay un programa que convoluciona funciones, aunque primero haya que dárselas
discretizadas: no hay nada que Matlab no pueda hacer con matrices, o sea que seguro que es capaz de hacer
convoluciones.
Y de momento pensemos que las hacemos de dos en dos matrices, por definición de convolución: no podemos
permitirnos el lujo de pasar con cada convolución de dos PDFs de 20000 puntos a una de 39999 (2·M-1), ya
que caeríamos en la maldición de la multi-dimensionalidad.
Preocupémonos sin embargo de redimensionar las matrices cada vez que convolucionemos, de manera que el
número de puntos de cada combinación de incertidumbres sea un número fijo, en este caso 20000. Pensemos
que un redimensionamiento no deja de ser una convención, un muestreado arbitrario de una PDF teórica que
es continua por definición.
Introducción a Monte Carlo - 33
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¿ES ESTA ENTONCES LA SOLUCIÓN EXACTA DEL PROBLEMA?
Es decir, ¿no estaremos llegando por este camino a la solución exacta, matemática, de la combinación de
incertidumbres?
He dicho una combinación sencilla, de suma de contribuciones, porque si hay función modelo de por medio
estamos perdidos. Recordemos que Monte Carlo funciona ‘para torpes’ porque maneja la nube de puntos, y a
esos puntos les aplica las transformaciones matemáticas que nosotros queramos a través de la función modelo.
Cosa muy distinta es aplicar transformaciones matemáticas a una PDF teórica y obtener la PDF teórica a la
salida, eso yo no sé hacerlo y por eso he utilizado alguna vez Monte Carlo para demostrarme a mí mismo el
efecto de alguna transformación sencilla, pero un matemático seguro que sí sabe hacerlo directamente.
En definitiva, que si sabemos librarnos de la maldición de la multi-dimensionalidad (con el redimensionamiento
de las matrices y la ayuda de Matlab) y, en caso de que la función modelo sea algo más complicada que una
simple suma de contribuciones, nos las sabemos arreglar para aplicar la transformación correspondiente,
llegaremos a determinar la PDF teórica a la salida, combinación de una serie de PDFs a la entrada a través de
una función modelo.
Y no dependerá de la ejecución concreta del programa (será tan bonita como las de Monte Carlo estratificado),
y definirá de forma exacta el problema. Pero todavía no somos capaces…
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¿ES ESTA ENTONCES LA SOLUCIÓN EXACTA DEL PROBLEMA?
Es decir, ¿no estaremos llegando por este camino a la solución exacta, matemática, de la combinación de
incertidumbres?
He dicho una combinación sencilla, de suma de contribuciones, porque si hay función modelo de por medio
estamos perdidos. Recordemos que Monte Carlo funciona ‘para torpes’ porque maneja la nube de puntos, y a
esos puntos les aplica las transformaciones matemáticas que nosotros queramos a través de la función modelo.
Cosa muy distinta es aplicar transformaciones matemáticas a una PDF teórica y obtener la PDF teórica a la
salida, eso yo no sé hacerlo y por eso he utilizado alguna vez Monte Carlo para demostrarme a mí mismo el
efecto de alguna transformación sencilla, pero un matemático seguro que sí sabe hacerlo directamente.
En definitiva, que si sabemos librarnos de la maldición de la multi-dimensionalidad (con el redimensionamiento
de las matrices y la ayuda de Matlab) y, en caso de que la función modelo sea algo más complicada que una
simple suma de contribuciones, nos las sabemos arreglar para aplicar la transformación correspondiente,
llegaremos a determinar la PDF teórica a la salida, combinación de una serie de PDFs a la entrada a través de
una función modelo.
Y no dependerá de la ejecución concreta del programa (será tan bonita como las de Monte Carlo estratificado),
y definirá de forma exacta el problema. Pero todavía no somos capaces…
Introducción a Monte Carlo - 34
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¿DÓNDE ESTÁ EL TRUCO?
El truco en todo lo anterior consiste en que estamos discretizando funciones continuas, por tanto lo que
obtenemos es una aproximación numérica a la solución teórica, no la expresión matemática de la PDF que sería
lo que quizás un matemático fuese capaz de obtener.
Convolucionar PDFs continuas a partir de sus expresiones matemáticas se puede comparar con obtener
integrales indefinidas, sólo al alcance de unos pocos. Nosotros, más limitados, aspiramos a calcularlas por
aproximación numérica.
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¿DÓNDE ESTÁ EL TRUCO?
El truco en todo lo anterior consiste en que estamos discretizando funciones continuas, por tanto lo que
obtenemos es una aproximación numérica a la solución teórica, no la expresión matemática de la PDF que sería
lo que quizás un matemático fuese capaz de obtener.
Convolucionar PDFs continuas a partir de sus expresiones matemáticas se puede comparar con obtener
integrales indefinidas, sólo al alcance de unos pocos. Nosotros, más limitados, aspiramos a calcularlas por
aproximación numérica.
Introducción a Monte Carlo - 35
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¿QUÉ ES LA CORRELACIÓN?
La podríamos omitir porque es común tanto al enfoque GUM como al método de Monte Carlo.
Generalmente la despreciamos y no la incluimos en el análisis GUM, y tampoco en Monte Carlo. Por lo tanto,
en este aspecto Monte Carlo no aporta ninguna ventaja ni inconveniente, aunque la forma de trabajar es
diferente.
Si decidimos tener en cuenta la correlación entre contribuciones, hay fórmulas en la GUM que la incluyen en la
combinación cuadrática de incertidumbres.
Monte Carlo simula (para eso es un método numérico) dicha correlación entre las variables de entrada, pero
una vez simuladas una serie de variables de entrada parcialmente correladas entre sí, desde el punto de vista
de la función modelo el tratamiento es el mismo que si estuviesen incorreladas.
Digamos que por Monte Carlo el usuario se preocupa de simular la correlación entre variables, pero no de
combinarlas entre sí, mientras que por la GUM es fundamental aplicar correctamente la fórmula de combinación
cuadrática de incertidumbres que tiene en cuenta las posibles correlaciones cruzadas.
Y hay que decir que en la simulación de variables correladas Monte Carlo es más visual, puesto que se podría
representar (tomadas de dos en dos las contribuciones) la nube correlada de puntos y la estarías viendo,
apreciando de forma intuitiva el concepto de correlación. Pero esto tampoco se puede considerar una ventaja:
como ya hemos comentado, ambos métodos deben llegar al mismo resultado siempre que las condiciones de
la GUM sean aplicables.
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¿QUÉ ES LA CORRELACIÓN?
La podríamos omitir porque es común tanto al enfoque GUM como al método de Monte Carlo.
Generalmente la despreciamos y no la incluimos en el análisis GUM, y tampoco en Monte Carlo. Por lo tanto,
en este aspecto Monte Carlo no aporta ninguna ventaja ni inconveniente, aunque la forma de trabajar es
diferente.
Si decidimos tener en cuenta la correlación entre contribuciones, hay fórmulas en la GUM que la incluyen en la
combinación cuadrática de incertidumbres.
Monte Carlo simula (para eso es un método numérico) dicha correlación entre las variables de entrada, pero
una vez simuladas una serie de variables de entrada parcialmente correladas entre sí, desde el punto de vista
de la función modelo el tratamiento es el mismo que si estuviesen incorreladas.
Digamos que por Monte Carlo el usuario se preocupa de simular la correlación entre variables, pero no de
combinarlas entre sí, mientras que por la GUM es fundamental aplicar correctamente la fórmula de combinación
cuadrática de incertidumbres que tiene en cuenta las posibles correlaciones cruzadas.
Y hay que decir que en la simulación de variables correladas Monte Carlo es más visual, puesto que se podría
representar (tomadas de dos en dos las contribuciones) la nube correlada de puntos y la estarías viendo,
apreciando de forma intuitiva el concepto de correlación. Pero esto tampoco se puede considerar una ventaja:
como ya hemos comentado, ambos métodos deben llegar al mismo resultado siempre que las condiciones de
la GUM sean aplicables.
Introducción a Monte Carlo - 36
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¿PERO CÓMO ESTIMO LA CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES?
No es una pregunta para Monte Carlo. La estimación de la correlación entre variables es algo que el usuario
debe responder antes de analizar el problema por Monte Carlo o por la GUM.
De nuevo Monte Carlo es más visual, más intuitivo: en lugar de ‘proponer’ un coeficiente de correlación entre
dos variables, me represento (siempre que esto sea posible) unas cuantas parejas de observaciones de ambas
variables en un gráfico de dos dimensiones. Esto me permite ver si aparentemente existe correlación (por
ejemplo, variaciones positivas en la temperatura del laboratorio observo que se corresponden con variaciones
positivas en una lectura de mi instrumento, lo que sugiere cierta correlación positiva entre ambas variables).
En el método GUM ‘propondría’ un coeficiente de correlación positivo, tanto más próximo a la unidad cuanto
más distribuidos en torno a una recta vea los datos (pocos) de los que he hablado anteriormente.
En el método de Monte Carlo debería ser capaz de generar una nube de puntos en dos dimensiones que me
reproduzca dicho coeficiente de correlación ‘propuesto’. Hay métodos para ello, bien girando y achatando de
forma intuitiva nubes de puntos incorreladas (transformando las nubes en forma de círculo en formas de elipses
inclinadas), o bien recurriendo a herramientas matemáticas como la descomposición de Cholesky (no hace falta
comprender lo que es la descomposición de Cholesky, únicamente hace falta saber cómo aplicarla a la
simulación de coeficientes de correlación entre variables independientes).
El resultado es similar en ambos casos (Cholesky permite aplicar la correlación a varias variables a la vez, no
necesariamente de dos en dos, por lo que es mucho más potente).
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¿PERO CÓMO ESTIMO LA CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES?
No es una pregunta para Monte Carlo. La estimación de la correlación entre variables es algo que el usuario
debe responder antes de analizar el problema por Monte Carlo o por la GUM.
De nuevo Monte Carlo es más visual, más intuitivo: en lugar de ‘proponer’ un coeficiente de correlación entre
dos variables, me represento (siempre que esto sea posible) unas cuantas parejas de observaciones de ambas
variables en un gráfico de dos dimensiones. Esto me permite ver si aparentemente existe correlación (por
ejemplo, variaciones positivas en la temperatura del laboratorio observo que se corresponden con variaciones
positivas en una lectura de mi instrumento, lo que sugiere cierta correlación positiva entre ambas variables).
En el método GUM ‘propondría’ un coeficiente de correlación positivo, tanto más próximo a la unidad cuanto
más distribuidos en torno a una recta vea los datos (pocos) de los que he hablado anteriormente.
En el método de Monte Carlo debería ser capaz de generar una nube de puntos en dos dimensiones que me
reproduzca dicho coeficiente de correlación ‘propuesto’. Hay métodos para ello, bien girando y achatando de
forma intuitiva nubes de puntos incorreladas (transformando las nubes en forma de círculo en formas de elipses
inclinadas), o bien recurriendo a herramientas matemáticas como la descomposición de Cholesky (no hace falta
comprender lo que es la descomposición de Cholesky, únicamente hace falta saber cómo aplicarla a la
simulación de coeficientes de correlación entre variables independientes).
El resultado es similar en ambos casos (Cholesky permite aplicar la correlación a varias variables a la vez, no
necesariamente de dos en dos, por lo que es mucho más potente).
Introducción a Monte Carlo - 37
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HA TERMINADO EL CURSO: ¿QUÉ HAGO AL LLEGAR A MI DESPACHO?
No hagas como con la mayoría de los cursos: almaceno la documentación, se la paso a mi jefe para que vea
que he aprovechado el curso (a la mayoría de los jefes no les gustaría esta presentación) y a continuación me
olvido de ella. ¡Practica en el ordenador!
No necesariamente recurras a Matlab (a lo peor necesitarías otro curso). Excel está bien para principiantes.
Genera tu primera columna de M números aleatorios mediante ALEATORIO(). Estarás generando una
distribución rectangular entre 0 y 1.
Representa tu primer histograma mediante FRECUENCIA(datos;grupos). Recuerda que es liosa de insertar, o
a lo mejor ya estás familiarizado con ella y no hace falta que te prevenga.
Juega con el número de puntos M y con el de categorías (recuerda un mínimo de 20). Así sacarás tus propias
conclusiones (estarás jugando con el concepto de convergencia del método).
Trata de transformar la columna de números aleatorios en una columna de números que sigan una distribución
normal (gaussiana). Aquí puede estar la primera dificultad, pero tampoco es para tanto…
Intenta escalar las rectangulares y las gaussianas a los valores deseados de un problema, real o inventado. Si
al final logras tener una distribución rectangular y otra gaussiana, independientes y ya escaladas, trata de
combinarlas simplemente sumándolas punto a punto. Juega con los tamaños relativos, y representa el resultado
mediante histograma. Estarás viendo una aplicación práctica de cómo una distribución dominante determina el
resultado de la variable de salida. O más sencillo todavía: demuéstrate que la combinación de dos rectangulares
da como resultado una triangular.
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HA TERMINADO EL CURSO: ¿QUÉ HAGO AL LLEGAR A MI DESPACHO?
No hagas como con la mayoría de los cursos: almaceno la documentación, se la paso a mi jefe para que vea
que he aprovechado el curso (a la mayoría de los jefes no les gustaría esta presentación) y a continuación me
olvido de ella. ¡Practica en el ordenador!
No necesariamente recurras a Matlab (a lo peor necesitarías otro curso). Excel está bien para principiantes.
Genera tu primera columna de M números aleatorios mediante ALEATORIO(). Estarás generando una
distribución rectangular entre 0 y 1.
Representa tu primer histograma mediante FRECUENCIA(datos;grupos). Recuerda que es liosa de insertar, o
a lo mejor ya estás familiarizado con ella y no hace falta que te prevenga.
Juega con el número de puntos M y con el de categorías (recuerda un mínimo de 20). Así sacarás tus propias
conclusiones (estarás jugando con el concepto de convergencia del método).
Trata de transformar la columna de números aleatorios en una columna de números que sigan una distribución
normal (gaussiana). Aquí puede estar la primera dificultad, pero tampoco es para tanto…
Intenta escalar las rectangulares y las gaussianas a los valores deseados de un problema, real o inventado. Si
al final logras tener una distribución rectangular y otra gaussiana, independientes y ya escaladas, trata de
combinarlas simplemente sumándolas punto a punto. Juega con los tamaños relativos, y representa el resultado
mediante histograma. Estarás viendo una aplicación práctica de cómo una distribución dominante determina el
resultado de la variable de salida. O más sencillo todavía: demuéstrate que la combinación de dos rectangulares
da como resultado una triangular.
Introducción a Monte Carlo - 38
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¿Y UN POCO MÁS AVANZADO?
Introdúcete en las t de Student (a lo mejor las necesitas porque las encuentres en tus certificados de calibración).
Trata de describir los intervalos de confianza de la variable de salida. Por ejemplo cuando combinas una
rectangular dominante con una gaussiana y el resultado no es ni lo uno ni lo otro. ¿Te das cuenta de que la
forma de la variable es fundamental a la hora de describir el resultado del ‘experimento’? Intenta llegar a
distribuciones asimétricas.
Piensa en aplicaciones prácticas de tu laboratorio que requieran de una función modelo no trivial. Ahí es cuando
realmente verás las ventajas de Monte Carlo. Si no se te ocurre ninguna función modelo: ¿qué pasa si a la
variable de entrada le aplico la función ‘elevar al cuadrado’ o la función ‘seno’ entre -/2 y +/2? Te estarás
introduciendo en las distribuciones con forma de U.
¿Quieres introducirte en la correlación? Genera dos gaussianas independientes y representa las parejas de
puntos en dos dimensiones. Obtendrás una nube de puntos que se parecerá a un círculo (si partes de
gaussianas iguales) o a una elipse en posición horizontal o vertical (si una gaussiana es mayor que la otra).
Calcula el coeficiente de correlación que será próximo a cero.
Seguimos jugando con la correlación, que hasta ahora es nula y no tiene gracia: gira la elipse un determinado
ángulo, y obtén las nuevas coordenadas (sobre los ejes X e Y) de la nube de puntos girada. Ahora tus dos
variables son las coordenadas así obtenidas. Calcula el coeficiente de correlación, ¿a que ya no es cero?
Combina dos variables fuertemente correladas entre sí, y compara con el caso en que la correlación es cero. Te
sorprenderá lo diferentes que pueden ser los resultados obtenidos para una simple interpolación (función
modelo: la semisuma) dependiendo de si las variables de entrada tienen un coeficiente de correlación nulo,
próximo a 1 o próximo a -1.
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¿Y UN POCO MÁS AVANZADO?
Introdúcete en las t de Student (a lo mejor las necesitas porque las encuentres en tus certificados de calibración).
Trata de describir los intervalos de confianza de la variable de salida. Por ejemplo cuando combinas una
rectangular dominante con una gaussiana y el resultado no es ni lo uno ni lo otro. ¿Te das cuenta de que la
forma de la variable es fundamental a la hora de describir el resultado del ‘experimento’? Intenta llegar a
distribuciones asimétricas.
Piensa en aplicaciones prácticas de tu laboratorio que requieran de una función modelo no trivial. Ahí es cuando
realmente verás las ventajas de Monte Carlo. Si no se te ocurre ninguna función modelo: ¿qué pasa si a la
variable de entrada le aplico la función ‘elevar al cuadrado’ o la función ‘seno’ entre -/2 y +/2? Te estarás
introduciendo en las distribuciones con forma de U.
¿Quieres introducirte en la correlación? Genera dos gaussianas independientes y representa las parejas de
puntos en dos dimensiones. Obtendrás una nube de puntos que se parecerá a un círculo (si partes de
gaussianas iguales) o a una elipse en posición horizontal o vertical (si una gaussiana es mayor que la otra).
Calcula el coeficiente de correlación que será próximo a cero.
Seguimos jugando con la correlación, que hasta ahora es nula y no tiene gracia: gira la elipse un determinado
ángulo, y obtén las nuevas coordenadas (sobre los ejes X e Y) de la nube de puntos girada. Ahora tus dos
variables son las coordenadas así obtenidas. Calcula el coeficiente de correlación, ¿a que ya no es cero?
Combina dos variables fuertemente correladas entre sí, y compara con el caso en que la correlación es cero. Te
sorprenderá lo diferentes que pueden ser los resultados obtenidos para una simple interpolación (función
modelo: la semisuma) dependiendo de si las variables de entrada tienen un coeficiente de correlación nulo,
próximo a 1 o próximo a -1.
Introducción a Monte Carlo - 39
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¿QUÉ PASA CON MONTE CARLO ESTRATIFICADO?
Es difícil ver las ventajas del método estratificado con Excel. Como no dispone de la función randperm de Matlab
resulta complicado desordenar un array. Hay soluciones ingeniosas como ordenar un array de números
aleatorios y anotar la posición que ocupaban en el array original los números una vez ordenados.
Pero si estamos empezando con una sola distribución, sí que podemos hacer pruebas con Monte Carlo
estratificado. Así compararemos los histogramas por el método estratificado (perfectos) y los obtenidos por
Monte Carlo ‘puro’ (aleatorio).
También podremos ver el número de puntos necesarios para obtener el detalle requerido en el histograma (las
colas de la distribución gaussiana, que es un tema muy importante en toda simulación), incluso tabulando el
número de puntos necesarios para llegar a una precisión dada en la definición de las colas.
Recuerda que la combinación de dos o más contribuciones generadas por el método estratificado ya no da como
resultado un histograma perfecto (si llegas hasta aquí es que has logrado desordenar arrays, bien en Excel o
bien utilizando randperm de Matlab).
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¿QUÉ PASA CON MONTE CARLO ESTRATIFICADO?
Es difícil ver las ventajas del método estratificado con Excel. Como no dispone de la función randperm de Matlab
resulta complicado desordenar un array. Hay soluciones ingeniosas como ordenar un array de números
aleatorios y anotar la posición que ocupaban en el array original los números una vez ordenados.
Pero si estamos empezando con una sola distribución, sí que podemos hacer pruebas con Monte Carlo
estratificado. Así compararemos los histogramas por el método estratificado (perfectos) y los obtenidos por
Monte Carlo ‘puro’ (aleatorio).
También podremos ver el número de puntos necesarios para obtener el detalle requerido en el histograma (las
colas de la distribución gaussiana, que es un tema muy importante en toda simulación), incluso tabulando el
número de puntos necesarios para llegar a una precisión dada en la definición de las colas.
Recuerda que la combinación de dos o más contribuciones generadas por el método estratificado ya no da como
resultado un histograma perfecto (si llegas hasta aquí es que has logrado desordenar arrays, bien en Excel o
bien utilizando randperm de Matlab).
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