Clase 154453 de noviembre-AyGA 1ro 12.pptx

algebra

1. Clase 13 de noviembre AyGA 1ro 12

2. Los autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes.  Demostración Suponemos que tiene dos autovalores distintos tal que   Queremos probar y son L.I. entonces             - =   =   Como entonces   (1) Multiplicamos (1) por en ambos miembros   Por hipótesis (2) Multiplicamos (1) por en ambos miembros   (3) Restamos miembro a miembro (3) y (2) Reemplazando en (1) se obtiene que    

3. HIPOTESIS es no singular entonces existe la inversa de ,   es autovalor de   Existe un vector no nulo tal que   TESIS es un autovalor de   Existe un vector no nulo tal que   DEMOSTRACIÓN   Por hipótesis          

4. es autovalor de no es inversible   es autovalor de   verifica la ecuación característica         es autovalor de         no nulo tal que     es autovalor de    

5. Si 𝝺 es autovalor de A entonces 𝝺 2 es autovalor de A 2 A.X = 𝝺. X A 2 X = 𝝺 2 . X A 2 X = A. ( A. X ) por asociatividad del producto de matrices = A. ( 𝝺 . X ) por hipótesis = 𝝺 . (A. X ) por asociatividad mixta = 𝝺 . ( 𝝺 . X ) por hipótesis = 𝝺 2 . X  = (A.A).X por definición de A 2 HIPOTESIS TESIS DEMOSTRACIÓN

6. Se dice que y son matrices semejantes si   Demostrar que si y son matrices semejantes entonces tienen el mismo polinomio característico   Polinomio Característico de       Polinomio Característico de   Corolario : Si y son matrices semejantes entonces tienen los mismos autovalores   Si A y B son semejantes no necesariamente tienen los mismos autovectores

7. Si   es una matriz diagonal Los autovalores de A son iguales a los elementos de la diagonal principal Se dice que   asociada a una T.L es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal .   Es decir , es diagonalizable si inversible , denominada matriz de pasaje, tal que   La matriz es diagonalizable si y solo si admite autovectores L.I.  

8. Sea A = , hallar los autovalores de A y sus respectivos autovectores.     Autovalores det ( A – 𝝺 I ) = 0 = ( 3 – 𝝺 ).(3 – 𝝺 ) – 1 = 9 – 6 𝝺 + – 1 = 8 = 0   𝝺 1 = 2 o 𝝺 2 = 4 Ejercicio

9. Autovectores Para 𝝺 = 2 = x + y = 0  y = – x   ( x , y ) = ( x , – x ) = x ( 1 , – 1 ) Base de S 𝝺 = 2 = { ( 1 , – 1 ) } Para 𝝺 = 4 = – x + y = 0  x = y   ( x , y ) = ( x , x ) = x ( 1 , 1 )  Base de S 𝝺 = 2 = { ( 1 , 1 ) }

10. Observaciones Espectro de Autovalores { 2 , 4 } tr (A) = 6 = 𝝺 1 + 𝝺 2 det (A) = 8 = 𝝺 1 . 𝝺 2 A es simétrica tiene autovalores reales y autovectores ortogonales entre si

11. P – 1 =    Verificación del teorema de Hamilton - Cayley 8   8.I   = – 6 . + 8.   = – +   =    P =    P – 1 . A . P =   

12. Cuadro resumen para determinar si una matriz es diagonalizable SI NO SI NO SI NO A es diagonalizable A es diagonalizable A es diagonalizable A no es diagonalizable A es simétrica? A tiene todos los autovalores simples? mg( ) = ma( ) ∀ ?  

13. Si es autovalor de entonces verifica la ecuaci ón característica   a) b)

14. La matriz asociada a una transformación lineal es ortogonalmente diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal D con una matriz de pasaje ortogonal, es decir   Si es una matriz simétrica real entonces: Los autovalores de son reales . Los autovectores correspondientes a autovalores diferentes, son ortogonales   es diagonalizable ortogonalmente es simétrica  

15. Sea   ¿ es simétrica?   Si,   Los autovalores de son reales .   Los autovectores correspondientes a autovalores diferentes, son ortogonales Autovalores de       = 6 ,   Autovectores de     Si entonces   Si entonces       Las columnas son vectores ortonormales       Q es ortogonal propia Tal que donde  

16. Sea   = 6 ,