00) Los números reales y sus propiedades.pdf

Diapositivas de fundamentación básica en Cálculo Diferencial de una variable, listas para empezar con los principales temas de la materia.

1. Los n´umeros reales y sus propiedades
C´alculo Diferencial
Docente Juan Sebasti´an Cort´es Cruz
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

2. Pregunta problema
¿Qu´e son los n´umeros reales y qu´e propiedades
satisfacen?
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

3. Los n´umeros naturalesN
Los n´umeros naturales forman el conjunto:
N={0,1,2,3,4,5, . . .}
Se utilizan para contar y ordenar.
Un subconjunto importante deNson los n´umeros primos,
estos son los n´umeros naturales mayores que 1 que solo tienen
dos divisores: ´el mismo y 1
({2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, . . .}).
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

4. Teorema Fundamental de la Aritm´etica
Teorema
Todo n´umero natural mayor que 1 es primo o puede expresarse de
manera ´unica (salvo el orden de los factores) como un producto de
n´umeros primos.
Ejemplos:
28 = 2
2
·7
360 = 2
3
·3
2
·5
101 es primo, por lo que su factorizaci´on es solo 101.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

5. Ejemplo de descomposici´on en factores primos
Ejemplo: Descomponer180en factores primos.
180÷2 = 90,90÷2 = 45,45÷3 = 15,15÷3 = 5
180 = 2
2
·3
2
·5
18029024531535
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

6. Los n´umeros enterosZ
El conjunto de los n´umeros enteros est´a formado por los
naturales, sus opuestos y el cero:
Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}
Permiten representar cantidades negativas y diferencias entre
cantidades.
Incluyen las operaciones de suma, resta, multiplicaci´on y
divisi´on con reglas bien definidas.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

7. Representaci´on en la recta num´erica
-4-3-2-101234
Todo n´umero a la izquierda de 0 es negativo.
Todo n´umero a la derecha de 0 es positivo.
El 0 es el punto medio y no tiene signo.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

8. Leyes de los signos: Suma y resta
Mismo signo:Se suman los valores absolutos y se conserva el
signo.
(+a) + (+b) = +(a+b),(−a) + (−b) =−(a+b)
Signos distintos:Se resta el menor del mayor y se conserva
el signo del n´umero de mayor valor absoluto.
(+a) + (−b) = signo mayor·(|a| − |b|)
Ejemplos:
(−5) + (−3) =−8,7 + (−4) = 3,(−6) + 9 = 3
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

9. Leyes de los signos: Multiplicaci´on y divisi´on
Reglas b´asicas:
Mismo signo:El resultado es positivo.
(+a)·(+b) = +(a·b),(−a)·(−b) = +(a·b)
Signos diferentes:El resultado es negativo.
(+a)·(−b) =−(a·b),(−a)·(+b) =−(a·b)
Las mismas reglas se aplican a la divisi´on.
Ejemplos:
(−4)×(−3) = 12,(−8)÷2 =−4,5×(−7) =−35
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

10. Los n´umeros racionalesQ
Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
enteros:
Q=
n
a
b
|a,b∈Z,b̸= 0
o
Incluyen los enteros, fracciones positivas y negativas, y
decimales finitos o peri´odicos.
Se representan en la recta num´erica con densidad: entre dos
racionales siempre hay otro racional.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

11. Representaci´on de los n´umeros racionales en la recta
num´erica
−3−2−10123−
3
2
−
1
2
1
2
3
2
5
2
−
5
2
Los n´umeros racionales incluyen a los enteros y fracciones
entre ellos.
Siempre hay un n´umero racional entre dos racionales distintos.
Las fracciones est´an marcadas con puntos azules para
diferenciarlas.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

12. Operaciones con fracciones: Suma y resta
Para fracciones con el mismo denominador:
a
c
±
b
c
=
a±b
c
Ejemplo:
3
5
+
2
5
=
3 + 2
5
=
5
5
= 1
Para fracciones con distinto denominador:
a
b
±
c
d
=
a·d±b·c
b·d
Ejemplo:
2
3
+
1
4
=
2·4 + 1·3
3·4
=
8 + 3
12
=
11
12
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

13. M´etodo de amplificaci´on para suma y resta de fracciones
Definici´on:El m´etodo de amplificaci´on permite sumar o restar
fracciones sin calcular el m´ınimo com´un m´ultiplo (mcm)
directamente. Se basa en multiplicar cada fracci´on por el
denominador de la otra.
Ejemplos:
1
3
+
5
6
=
1×2
3×2
+
5
6
=
7
6
7−
4
3
=
7×3
3
−
4
3
=
17
3
1
5
−1 =
1
5
−
5
5
=−
4
5
Ventaja:Evita la necesidad de calcular el mcm y facilita la
operaci´on.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

14. Operaciones con fracciones: Multiplicaci´on
Se multiplican numeradores entre s´ı y denominadores entre s´ı:
a
b
×
c
d
=
a·c
b·d
Ejemplo:
3
4
×
2
5
=
3·2
4·5
=
6
20
=
3
10
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

15. Operaciones con fracciones: Divisi´on
Se multiplica por el inverso de la segunda fracci´on:
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
=
a·d
b·c
Ejemplo:
5
6
÷
2
3
=
5
6
×
3
2
=
5·3
6·2
=
15
12
=
5
4
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

16. Los n´umeros irracionales
Un n´umero irracional es aquel queno puede expresarse
como fracci´on
p
q
, dondepyqson enteros conq̸= 0.
Su expansi´on decimales infinita y no peri´odica.
Algunos ejemplos conocidos son:
π= 3,1415926. . . ,e= 2,7182818. . . ,
√
2 = 1,4142135. . .
Los irracionales pueden dividirse en:
Algebraicos: Soluciones de ecuaciones polin´omicas con
coeficientes enteros, como
√
2,
3
√
5.
Trascendentes: No son soluciones de ninguna ecuaci´on
polin´omica con coeficientes enteros, comoπye.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

17. Ubicaci´on de los irracionales en la recta num´erica
−2−10123
√
2π
Aunque los irracionales no pueden escribirse como fracci´on,
pueden ubicarse en la recta num´erica.
Se intercalan entre los n´umeros racionales, demostrando que
la recta realno tiene ”huecos”.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

18. Los n´umeros reales como la uni´on deQe irracionales
El conjunto de los n´umeros realesRse define como:
R=Q∪(irracionales)
Cada n´umero real tiene una representaci´on en la recta
num´erica.
La propiedad dedensidadimplica que entre dos n´umeros
racionales siempre hay un irracional y viceversa.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

19. Axiomas de cuerpo enR
El conjunto de los n´umeros realesRcon las operaciones de suma y
producto cumple con los siguientes axiomas:
Propiedades de la suma:
Conmutativa:a+b=b+a.
Asociativa: (a+b) +c=a+ (b+c).
Elemento neutro: Existe 0∈Rtal quea+ 0 =a.
Elemento opuesto: Para cadaa∈Rexiste−atal que
a+ (−a) = 0.
Propiedades del producto:
Conmutativa:a·b=b·a.
Asociativa: (a·b)·c=a·(b·c).
Elemento neutro: Existe 1∈Rtal quea·1 =a.
Elemento inverso: Para cadaa̸= 0 existea
−1
=
1
a
tal que
a·a
−1
= 1.
Distributividad:a·(b+c) =a·b+a·c.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

20. Propiedades de la potenciaci´on
Para todoa,b∈Ry todon,m∈Z, se cumplen:
a
m
·a
n
=a
m+n
a
m
a
n=a
m−n
,a̸= 0
(a
m
)
n
=a
m·n
(a·b)
n
=a
n
·b
n
Γ
a
b
∆
n
=
a
n
b
n,b̸= 0
a
0
= 1,a̸= 0
a
−n
=
1
a
n
a
m/n
=
n
√
a
m
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

21. Propiedades de la radicaci´on
Dada la operaci´on
n
√
a=b(dondeb
n
=a), se cumplen las
siguientes propiedades:
n
√
a·b=
n
√
a·
n
√
b.
n
p
a
b
=
n
√
a
n
√
b
(conb̸= 0).
Γ
n
√
a
∆
m
=
n
√
a
m
. (Paraa>0)
m
p
n
√
a=
m·n
√
a.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

22. Jerarqu´ıa de Operaciones (PEMDAS)
En matem´aticas, el orden en que se realizan las operaciones es
fundamental para obtener resultados correctos. Se sigue la regla
mnemot´ecnicaPEMDAS:
Par´entesis: Resolver primero las operaciones dentro de
par´entesis.
Exponentes: Calcular potencias y ra´ıces de izquierda a
derecha.
Multiplicaci´on yDivisi´on: De izquierda a derecha.
Adici´on ySustracci´on: De izquierda a derecha.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

23. Ejemplo de Aplicaci´on
Resolver la expresi´on:
5 + 2×(3
2
−1)
Paso a paso:
1
Par´entesis: 3
2
−1 = 9−1 = 8.
2
Multiplicaci´on: 2×8 = 16.
3
Adici´on: 5 + 16 = 21.
Resultado final: 21.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

24. Definici´on de monomio y polinomio
Monomio:Una expresi´on algebraica de la forma:
ax
n
dondeaes un coeficiente real ynun exponente entero no negativo.
Polinomio:Una suma de monomios:
P(x) =anx
n
+an−1x
n−1
+· · ·+a1x+a0
donde los coeficientesai∈Ry el exponente m´as alto define el
grado del polinomio.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

25. Operaciones con polinomios
Suma y resta: Se suman los coeficientes de t´erminos con la
misma base y exponente.
Multiplicaci´on: Se multiplican los coeficientes y se suman los
exponentes.
Divisi´on: Se dividen coeficientes y se restan exponentes, si es
posible.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

26. Ejemplo de suma y resta de polinomios
Consideremos los siguientes polinomios:
P(x) = 3x
3
+ 5x
2
−2x+ 4,Q(x) = 2x
3
−3x
2
+ 4x−6.
Suma:Sumamos t´ermino a t´ermino:
(3x
3
+ 5x
2
−2x+ 4) + (2x
3
−3x
2
+ 4x−6).
Agrupando t´erminos semejantes:
(3x
3
+ 2x
3
) + (5x
2
−3x
2
) + (−2x+ 4x) + (4−6).
5x
3
+ 2x
2
+ 2x−2.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

27. Ejemplo de suma y resta de polinomios
Consideremos los siguientes polinomios:
P(x) = 3x
3
+ 5x
2
−2x+ 4,Q(x) = 2x
3
−3x
2
+ 4x−6.
Resta:Restamos t´ermino a t´ermino:
(3x
3
+ 5x
2
−2x+ 4)−(2x
3
−3x
2
+ 4x−6).
Distribuyendo el signo negativo:
3x
3
+ 5x
2
−2x+ 4−2x
3
+ 3x
2
−4x+ 6.
Agrupando t´erminos semejantes:
(3x
3
−2x
3
) + (5x
2
+ 3x
2
) + (−2x−4x) + (4 + 6).
x
3
+ 8x
2
−6x+ 10.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

28. Ejemplo de multiplicaci´on de polinomios
Consideremos los polinomios:
P(x) =x
2
+ 3x+ 2,Q(x) =x+ 1.
Multiplicamos cada t´ermino deP(x) por cada t´ermino deQ(x):
(x
2
+ 3x+ 2)·(x+ 1).
Distribuyendo:
x
2
·x+x
2
·1 + 3x·x+ 3x·1 + 2·x+ 2·1.
x
3
+x
2
+ 3x
2
+ 3x+ 2x+ 2.
Sumamos t´erminos semejantes:
x
3
+ 4x
2
+ 5x+ 2.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

29. Ejemplo de divisi´on de polinomios
DividamosP(x) =x
3
−3x
2
+ 4x−2 entreQ(x) =x−1.
Paso 1:Dividimos el primer t´ermino del dividendo entre el primer
t´ermino del divisor:
x
3
x
=x
2
.
Multiplicamosx
2
porx−1:
x
3
−x
2
.
Restamos:
(x
3
−3x
2
+ 4x−2)−(x
3
−x
2
) =−2x
2
+ 4x−2.
Paso 2:Repetimos con−2x
2
:
−2x
2
x
=−2x.
Multiplicamos porx−1:
−2x
2
+ 2x.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

30. Ejemplo de divisi´on de polinomios
Restamos:
(−2x
2
+ 4x−2)−(−2x
2
+ 2x) = 2x−2.
Paso 3:Repetimos con 2x:
2x
x
= 2.
Multiplicamos porx−1:
2x−2.
Restamos:
(2x−2)−(2x−2) = 0.
Resultado:El cociente es:
x
2
−2x+ 2.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

31. Productos notables
Cuadrado de una suma:
(a+b)
2
=a
2
+ 2ab+b
2
Cuadrado de una resta:
(a−b)
2
=a
2
−2ab+b
2
Producto de conjugados:
(a+b)(a−b) =a
2
−b
2
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

32. Teorema del Binomio de Newton
Teorema
ElTeorema del Binomioestablece que para cualquier n´umero
naturaln, la expansi´on de la potencia de un binomio est´a dada por:
(a+b)
n
=
n
X
k=0
`
n
k
´
a
n−k
b
k
,
donde los coeficientes binomiales est´an definidos como:
`
n
k
´
=
n!
k!(n−k)!
.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

33. Ejemplo: Expansi´on de (x+y)
4
Aplicamos el Teorema del Binomio conn= 4:
(x+y)
4
=
4
X
k=0
`
4
k
´
x
4−k
y
k
.
Calculamos los coeficientes binomiales:
`
4
0
´
= 1,
`
4
1
´
= 4,
`
4
2
´
= 6,
`
4
3
´
= 4,
`
4
4
´
= 1.
Expandimos:
(x+y)
4
=x
4
+ 4x
3
y+ 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+y
4
.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

34. Tri´angulo de Pascal
Los coeficientes binomiales pueden encontrarse usando el
Tri´angulo de Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
· · ·
Cada n´umero es la suma de los dos n´umeros que tiene encima.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

35. Casos de factorizaci´on
Factor com´un:
ax+ay=a(x+y)
Diferencia de cuadrados:
a
2
−b
2
= (a−b)(a+b)
Suma y diferencia de cubos:
a
3
±b
3
= (a±b)(a
2
∓ab+b
2
)
Trinomio cuadrado perfecto:
a
2
+ 2ab+b
2
= (a+b)
2
Trinomio de la formax
2
+bx+c: Se busca descomponer en
factores lineales, buscando dos n´umeros que multiplicados den
cy sumadosb.
Trinomio de la formaax
2
+bx+c: Se busca llevar al caso
z
2
+bz+cy luego se resuelve.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

36. Factorizaci´on deax
2
+bx+c
Consideremos el trinomio 2x
2
+ 7x+ 3. Queremos encontrar su
factorizaci´on de la forma:
(mx+n)(px+q).
Paso 1:Se multiplica y divide la expresi´on pora:
2(2x
2
+ 7x+ 3)
2
=
(2x)
2
+ 7(2x) + 6
2
Paso 2:Aplicamos el caso de la formaz
2
+bz+c, en este caso
z= 2x:
(2x)
2
+ 7(2x) + 6 = (2x+ 6)(2x+ 1)
Paso 3:Regresamos a la forma original dividiendo el 2 por uno de
los factores convenientes:
(2x+ 6)(2x+ 1)
2
= (x+ 3)(2x+ 1)
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

37. Racionalizaci´on de denominadores
Definici´on:La racionalizaci´on es un proceso algebraico que
consiste en eliminar ra´ıces del denominador de una fracci´on,
multiplicando por un factor conveniente.
Caso 1: Un solo t´ermino en el denominadorSi el denominador
es de la forma
a
√
b
, multiplicamos por
√
b
√
b
:
a
√
b
×
√
b
√
b
=
a
√
b
b
Ejemplo:
5
√
3
×
√
3
√
3
=
5
√
3
3
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

38. Racionalizaci´on con binomios en el denominador
Caso 2: Un binomio en el denominadorSi el denominador tiene
la forma
a
√
b+
√
c
, multiplicamos por su conjugado
√
b−
√
c
√
b−
√
c
:
a
√
b+
√
c
×
√
b−
√
c
√
b−
√
c
Usando la identidad (x+y)(x−y) =x
2
−y
2
, se eliminan las
ra´ıces en el denominador.
Ejemplo:
4
√
5 + 2
×
√
5−2
√
5−2
=
4(
√
5−2)
5−4
=
4
√
5−8
1
= 4
√
5−8
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

39. Ecuaciones
Propiedad uniforme de la igualdad:Para cualquier ecuaci´on, se
pueden realizar las mismas operaciones en ambos lados sin alterar
la igualdad:
Suma y resta:Sia=b, entoncesa+c=b+cy
a−c=b−c.
Multiplicaci´on y divisi´on:Sia=byc̸= 0, entonces
a·c=b·cy
a
c
=
b
c
.
Ejemplo:Resolver 3x−6 = 0 aplicando la propiedad uniforme:
Sumamos 6 en ambos lados:
3x−6 + 6 = 0 + 6⇒3x= 6
Dividimos entre 3:
3x
3
=
6
3
⇒x= 2
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

40. Ejemplo: Resolviendo 2x−1 = 4x+ 5
Queremos resolver la ecuaci´on:
2x−1 = 4x+ 5.
Paso 1: Restar2xen ambos ladosAplicamos la propiedad
uniforme:
2x−1−2x= 4x+ 5−2x.
Lo que simplifica a:
−1 = 2x+ 5.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

41. Resoluci´on (continuaci´on)
Paso 2: Restar 5 en ambos lados
−1−5 = 2x+ 5−5.
Lo que da:
−6 = 2x.
Paso 3: Dividir por 2 en ambos lados
−6
2
=
2x
2
.
As´ı obtenemos la soluci´on:
x=−3.
Por lo tanto, la soluci´on de la ecuaci´on esx=−3.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

42. Ecuaciones cuadr´aticas
Una ecuaci´on cuadr´atica tiene la forma:
ax
2
+bx+c= 0
Su soluci´on se obtiene mediante la f´ormula general:
x=
−b±
√
b
2
−4ac
2a
Ejemplo:Resolverx
2
−5x+ 6 = 0.
x=
5±
p
(−5)
2
−4(1)(6)
2(1)
x=
5±
√
25−24
2
=
5±1
2
x= 3 ox= 2
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

43. Propiedad del producto nulo y resoluci´on de ecuaciones
Una propiedad fundamental de los n´umeros reales es:
Sia·b= 0,entoncesa= 0ob= 0.
Esta propiedad es clave para resolver ecuaciones algebraicas
mediante factorizaci´on.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

44. Ejemplo 1: Ecuaci´on cuadr´atica factorizada
Resolver la ecuaci´on cuadr´atica:
x
2
−5x+ 6 = 0
Paso 1: Factorizar
(x−2)(x−3) = 0
Paso 2: Aplicar la propiedad del producto nuloPara que el
producto sea cero, al menos un factor debe ser cero:
x−2 = 0 ´ox−3 = 0
Paso 3: Resolver cada ecuaci´on
x= 2 ´ox= 3
Entonces, las soluciones sonx= 2 yx= 3.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

45. Ejemplo 2: Ecuaci´on de mayor grado
Resolver la ecuaci´on:
x
3
−3x
2
−4x+ 12 = 0
Paso 1: Factorizar
(x−3)(x+ 2)(x−2) = 0
Paso 2: Aplicar la propiedad del producto nulo
x−3 = 0,x+ 2 = 0,x−2 = 0
Paso 3: Resolver cada ecuaci´on
x= 3,x=−2,x= 2
Entonces, las soluciones sonx= 3,x=−2 yx= 2.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

46. Axiomas de orden en los n´umeros reales
El conjunto de los n´umeros realesRest´a dotado de una relaci´on de
orden<, que cumple los siguientes axiomas:
Tricotom´ıa: Para todoa,b∈R, se cumple exactamente una
de las siguientes relaciones:
a<b,a=b,oa>b.
Transitividad: Sia<byb<c, entoncesa<c.
Cierre bajo suma: Sia<b, entoncesa+c<b+cpara
todoc∈R.
Cierre bajo multiplicaci´on: Sia<byc>0, entonces
ac<bc. Sic<0, la desigualdad se invierte:ac>bc.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

47. Notaci´on de intervalos
Un intervalo es un subconjunto de los n´umeros reales que
representa todos los valores comprendidos entre dos extremos.
Dependiendo de si los extremos est´an incluidos o no, los intervalos
se representan de la siguiente manera:
Intervalo abierto(a,b): Incluye todos los n´umeros entreay
b, pero excluyeayb.
Intervalo cerrado[a,b]: Incluye todos los n´umeros entreay
b, incluyendoayb.
Intervalo semiabierto(a,b] o [a,b): Incluye solo uno de los
extremos.
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

48. Tabla de intervalos
Notaci´onDescripci´on del conjuntoImagen
(a,b) {x|a<x<b}
ab
[a,b] {x|a⩽x⩽b}
ab
[a,b) {x|a⩽x<b}
ab
(a,b] {x|a<x⩽b}
ab
(a,∞) {x|x>a}
a
[a,∞) {x|x≥a}
a
(−∞,b) {x|x<b}
b
(−∞,b] {x|x≤b}
b
(−∞,∞) R
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

49. Resoluci´on de desigualdades lineales
Una desigualdad lineal tiene la forma:
ax+b<0,ax+b≤0,ax+b>0,ax+b≥0.
Ejemplo:Resolver 3x−5≤7.
Sumamos 5 en ambos lados: 3x≤12.
Dividimos entre 3:x≤4.
Soluci´on:(−∞,4].
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

50. Resoluci´on de desigualdades cuadr´aticas y orden superior
Ejemplo:Resolverx
2
−5x+ 6≥0.
Factorizamos: (x−2)(x−3)≥0.
Aplicamos el m´etodo delcementerio:
1
Identificamos los ceros:x= 2 yx= 3.
2
Dividimos la recta en intervalos: (−∞,2), (2,3), (3,∞).
3
Evaluamos signos en cada intervalo:
(−∞,2)⇒(+).
(2,3)⇒(−).
(3,∞)⇒(+).
Como queremos≥0, tomamos los intervalos positivos:
(−∞,2]∪[3,∞).
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades

51. ¡Con este repaso de matem´aticas b´asicas estamos
listos para empezar con el curso!
Docente Juan Sebasti´an Cort´es CruzLos n´umeros reales y sus propiedades