04 Monomis i Polinomis 3r ESO

Monomis i Polinomis a INS Gabriela Mistral curs 2020-21

1. Temari matemàtiques 3r d'ESO
1. Cossos geomètrics (8,10)
2. Transformacions en el pla (9)
3. Probabilitat (14)
4. Polinomis (3)
5. Equacions de 1r i 2n grau (4)
6. Sistemes d'equacions (5)
7. Percentatges (6)
8. Funcions (11,12) ANÀLISI
ÀLGEBRA
GEOMETRIA
1T
2T
3T

2. Unitat 4: Monomis i Polinomis
1. Els monomis x
2. Operacions amb monomis x
3. Polinomis x
3.1 Suma x
3.2 Resta x
3.3 Multiplicació x
3.4 Divisió x
3.5 El valor numèric d'un polinomi x
3.6 Extracció de factor comú x
3.7 Igualtats notables x

3. Un monomi és el producte indicat entre un nombre
conegut (elcoeficient) i un o més nombres desconeguts
(lletres) elevats a un exponent natural (la part literal).
x
2
y
7Són monomis o no?
9xt
4xy
2 2
3
a
3
x
2
3x
2
+4x 5√x
7x
1
x
-Les lletres o incògnites no poden trobar-se al denominador, ni estar
elevades a un nombre que no sigui natural.
-No poden aparèixer ni sumes ni restes.
1. Els monomis

4. El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
a) Nomenclatura Monomi de grau 4
(3+1=4)5x
3
y
Coeficient
(el número)
Part literal
(les lletres)
b) Grau d'un monomi
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són
monomis semblants.
c) Monomis semblants
3x
2
−4x
2
x
2
3
−5
3
x
2
p52 1, 2, 3, 38, 39, 40

5. 2. Operacions amb monomis
El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a
coeficient elproducte dels coeficients, i com a part literal elproducte
de les parts literals.
2.1 Suma i resta:
2.2 Producte:
3x
2
+4x
2
−9x
2
=−2x
2
3a·5b=(3·5)·(a·b)=15ab
Dos monomis només es poden sumar si sónsemblants. En aquest
cas,sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
2a+b−4a+2b=−2a+3b
5x
2
·2x
3
=(5·2)·(x
2
·x
3
)=10x
5

6. 2.3 Quocient:
2x
2
:5x
2
=
2x
2
5x
2
=
2
5
Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre
monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació enforma de
fracció i simplificarem factors idèntics.
p53 Exemples 3-4, 4,5,6, 41-46
6a
3
b
2
:2ab
2
=
6a
3
b
2
2ab
2
=
2·3·a·a·a·b·b
2·a·b·b
=
3a
2
1
=3a
2
8x
2
y:6y
3
=
8x
2
y
6y
3
=
2·2·2·x·x·y
2·3·y·y·y
=
4x
2
3y
2
(Nombre)
(Monomi)
(Fracció algebraica)

7. 3. Polinomis
a) Nomenclatura Polinomi de grau 4
11x
3
y−7xy
2
+5x−13
Terme
b) Grau d'un polinomi: el més alt dels termes que el formen.
p54 7, 8, 9
Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
Terme TermeTerme
Grau 4 Grau 3Grau 1Grau 0
c) Oposat d'un polinomi: s'obté canviant els signes de cada terme

8. 3.1 Suma:
A=5x
3
−1
Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple:
B=7x
3
−5x
2
+3
A+B
5x
3
7x
3
−5x
2
+3+
−1
12x
3
−5x
2
+2

9. 3.2 Resta:
A=5x
3
−1
Restar és el mateix que sumar l'oposat. Així, procedirem de la mateixa
manera però sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend.
Exemple:
B=7x
3
−5x
2
+3
A−B=A+(−B)
5x
3
−7x
3
+5x
2
−3+
−1
−2x
3
+5x
2
−4

10. P(x)=3x
2
−2x+7
Exemple: Q(x)=3x−5
P(x)·Q(x)
x
−15x
2
+10x−35
3x
2
−2x+7
3x−5
9x
3
−6x
2
+21x
9x
3
−21x
2
+31x−35
3.3 Multiplicació:

11. 3x·(5x
3
−2x)
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva"distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
p56 14, 15, 16, 59, 61
3x·(5x
3
−2x)=3x·5x
3
−3x·2x
3x·5x
3
−3x·2x=15x
4
−6x
2
3.3 b Multiplicació per propietat distributiva:

12. 18, 19 / 25, 22, 23, 24
P(x) Q(x)
C(x)
R(x)
4x
3
+2x
2
−4x+3
3.4 Divisió de polinomis
DividendDivisor
Quocient
Residu
-Dividir 1r terme de P(x) entre el 1r terme de Q(x) per obtenir 1r de C(x)
-Multiplicar resultat per Q(x) i restar-lo a P(x) per obtenir nou dividend.
-Repetir operació fins que R(x) sigui de menys grau que Q(x).
2x
2
−x+1
2x−4x
3
+2x
2
−2x
4x
2
−6x+3
+2
−4x
2
+2x−2
−4x+1

13. p55, 10, 11
És elnombre o resultat que s'obté en substituir les incògnites
per nombres determinats i realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric del següent polinomi per a x = 5.
3x
2
+x+10
3·5
2
+5+10=3·25+5+10=75+5+10=90
3·5
2
+5+10
si x = 5
3.5 El valor numèric d'un polinomi

14. 15x
4
−6x
2
Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la
propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns
ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.
p59 25, 26, 67, 68
3·5·x·x·x·x−3·2·x·x
3·x·x·(5·x·x−2)
3x
2
·(5x
2
−2)
3.6 Extracció de factors comuns:

15. ab
2
=a
2
2abb
2
Demostració:
a) Quadrat de la suma
(a+b)
2
=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b
a·a1a·b1a·bb·b=a
2
2abb
2
Exemple:
2x3y
2
=2x
2
2·2x·3y3y
2
=4x
2
12xy9y
2
3.7 Productes notables

16. a−b
2
=a
2
−2abb
2
Demostració:
b) Quadrat de la diferència
(a−b)
2
=(a−b)·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)
a·a−a·b−a·bb·b=a
2
−2abb
2
Exemple:
2x
3
−6x
2
=2x
3

2
−2·2x
3
·6x6x
2
=4x
6
−24x
4
36x
2

17. (a+b)·(a−b)=a
2
−b
2
p60 28, 69, 70, 71, 72
Demostració:
c) Suma per diferència
(a+b)·(a−b)=a·a+a·(−b)+b·a+b·(−b)
a·a−1a·b+1a·b−b·b=a
2
−b
2
Exemple:
(x+2y)·(x−2y)=(x)
2
−(2y)
2
=x
2
−4y
2