2 Aula 2. Matematicas financieras 051022.pptx

Aula de matemática financeira

1. Dos seguintes capitais, qual você escolheria? Caso A) (C1,t1)=(5.000,2) (C2,t2)=(8.020,2) Caso B) (C1,t1)=(100;1) (C2,t2)=(100;0) (C3,t3)=(100,2,5) Caso C) (C1,t1)=(4.050,2) (C2,t2)=(5.030,3) Verificação do estudo independente

2. Aula 2 Sumario 1.3. Leis financeiras 1.4. Propriedades das leis financeiras

3. Objetivos Entender a utilidade das Leis Financeiras e conhecer suas propriedades

4. https://canal.uned.es/video/5ab0cbecb1111fd5428b4573 Para pesquisar na Internet Vídeo explicando a lei financeira

5. LEYES FINANCIERAS En los casos en que tenemos distintos capitales con distintos vencimientos, para poder compararlos y decidir qué inversión es más ventajosa, valoramos los capitales en el momento p . Este momento p nos va a permitir valorar todas las inversiones posibles Para poder llevar los capitales al momento p, es necesario valerse de las Leyes Financieras necesarias. Para referir cualquier capital al punto p de comparación, se considera que el decisor financiero posee un criterio de sustitución de manera que ante cualquier capital (c/d) es capaz de señalar el equivalente de C en el momento p.

6. LEYES FINANCIERAS En el gráfico se observan dos capitales, C1=8 y C2=16, y ambos capitales tienen vencimientos distintos . Si se sustituye el periodo de vencimiento y se fija un vencimiento común (momento p), se observa como el C2 es mayor que el C1, ya que C2 alcanzaría el valor de 21, mientras que C1 se quedaría en torno al 19. Con este sencillo gráfico se observa como la segunda inversión (C2,t2) es más rentable e interesante que la primera inversión. 25   20   15   10   5   C 1 C 2 t 1 t 2 p

7. Los valores que toman C1 y C2 en p se denominan V1 y V2 respectivamente, de esta forma, se obtienen las siguientes equivalencias : (C1,t1) ~ ( V1,p ) ( C2,t2) ~ (V2,p ) Y en general : ( C,t ) ~ ( V,p ) Esto quiere decir que cualquier capital con vencimiento en T, si se calcula en el momento p, cambia de valor y valdrá V

8. ¿Cuál de estos tres capitales, con vencimientos distintos, sería el más rentable o el adecuado para invertir? La respuesta es el C2, ya que, para el momento p, es el que obtiene un valor más alto, rondando las 20 u.m . mientras que los otros dos capitales estarían alrededor de 15 u.m . Tal y como se indicaba anteriormente, el decisor financiero posee un criterio de sustitución de cualquier capital ( C,t ) por otro equivalente ( V,p ) en el punto p de comparación. La expresión matemática del criterio de sustitución entre los capitales ( C,t ) y ( V,p ) recibe la denominación de Ley Financiera de valoración en p. 25   20   15   10   5   C 1 C 2 t 1 t 2 p C 3 t 3

9. Ley Financiera de valoración en p Esta Ley se expresa como: V = F( C,t,p ) El capital V es una función ( F ) que depende de tres variables : el capital que se está valorando ( C ) el momento de vencimiento ( t ) y el punto p de valoración

10. A partir de aquí se derivan dos tipos de Leyes Financieras Ley de Capitalización Ley de Descuento Si t<p es una Ley de Capitalización, es decir, se está llevando el capital hacia el futuro para poder valorar una inversión. Este caso se utiliza para estimar inversiones como depósitos , cuentas corrientes con remuneración,... valorados en un futuro. Se representa con la L Si t>p es una Ley de Descuento, ya que se está adelantando la fecha de vencimiento. Este caso se da para descuentos de efectos,... Y se representa con una A. V = A( C,t,p )

11. Ejemplo de la Ley de Descuento Un ejemplo de utilización de una Ley de Descuento se encuentra en el pago de un cliente con un pagaré a 90 días, si se lleva al banco para cobrarlo ahora (se está adelantando el cobro del pagaré 90 días, se adelanta la fecha de vencimiento), el valor del capital a cobrar será menor por cobrarlo antes de tiempo. Este “descuento” que llevan a cabo en el banco viene de aplicar una Ley de Descuento.

12. PROPIEDADES DE LAS LEYES FINANCIERAS 1. Ley Financiera debe ser en todo momento mayor que cero , ya que, por mucho que se capitalice o se descuente una cantidad, nunca puede tomar valor negativo En el caso ser una Ley de Capitalización será mayor que 1, si es de Descuento, deberá estar entre 0 y 1

13. V => L(C,t,p) >= 1 V => 0 <= A(C,t,p) <= 1

14. PROPIEDADES DE LAS LEYES FINANCIERAS 2. La función F ha de ser homogénea de grado uno respecto del capital. Es decir, para cualquier Ley Financiera, si se le suma, resta, multiplica o divide un número, deberá seguir cumpliendo las propiedades de Ley Financiera . Es decir, si el capital se multiplica por un número la función F queda multiplicada por dicho número

15. Es decir, si el capital se multiplica por un número la función F queda multiplicada por dicho número: F( α * C,t,p )= α *F( C,t,p ) EJEMPLO 3 Con la función F(4,2) = 4*2 Si se multiplica a X por 3: F(3*4,2) = 3*4*2 = 12*2 = 24 . Este caso es lo mismo que multiplicar por 3 toda la Función: 3*F(4,2) = 3*4*2= 24 .

16. PROPIEDADES DE LAS LEYES FINANCIERAS 3. Reflexiva de equivalencia de capitales. Se trata de igualar el momento p a t (p=t), de esta forma , la Ley Financiera debe proporcionar el valor del Capital al momento actual

17. F( C,t,P ) = C*(1 + 0,05*(p – t)) Si C=1, t=2 y p = t = 2 F(1,2,2) = 1*(1 + 0,05*(2 – 2)) = 1*(1+ 0,05*0) = 1*1 = 1 = C De esta forma, cuando p = t, la Ley Financiera va a dar como resultado el valor de C.

18. 4. Principio de subestimación de los capitales futuros respecto de los actuales de igual cuantía. Consiste en derivar la Ley Financiera respecto de t y de p:

19. 5. Continuidad de la función respecto a t y p. Esto no es necesario demostrarlo, ya que se sabe que toda ecuación (función) de primer o segundo grado es continua, las funciones exponenciales también lo son, en su dominio de definición. Y estas son las funciones habituales

20. LEYES FINANCIERAS GENERALES 1. Estacionarias: Son Leyes que no varían ante cualquier desplazamiento que se produzca en la variable tiempo . Deben de cumplir la siguiente característica: L( t,p ) = L( t+h,p+h ) Para todo h o cualquier valor que pueda tomar h. Esto indica que si se le suma tanto a t como a p la misma cantidad, el resultado a obtener va a seguir siendo el mismo.

21. EJEMPLO Con la Ley Financiera L( t,p ) = 1 + 0,05*(p – t) Comprobar que se cumple la igualdad: L( t,p ) = L( t+h,p+h ) Sabiendo que el valor de p = 2005, t = 2000 y h = 2 Primero se calcula el valor de L( t,p ): L(2000,2005) = 1 + 0,05*(2005 - 2000) = 1 + 0,25 = 1,25 Ahora se comprueba la otra parte de la igualdad, L( t+h,p+h ): L(2000 + 2,2005 + 2) = L(2002,2007) = 1 + 0,05*(2007 – 2002) = 1,25 Queda demostrado que L( t,p ) = L( t+h,p+h ) ya que 1,25 = 1,25

22. Sumativas Una ley L( t,p ) es sumativa si para dos intervalos de tiempo consecutivos cualesquiera (t1,t2 ) y (t2,t3) con t1<t2<t3 se verifica que los intereses de t1 a t2 con punto de valoración en t2, más los intereses de t2 a t3 con punto de valoración en t3 son iguales a los intereses del intervalo total (t1,t3) con punto de valoración en t3. Esto quiere decir que, para un periodo conocido de t1 a t3, los Intereses generados van a ser iguales valorados en t3 que si se fraccionan en dos periodos distintos y se suman

23. Las leyes sumativas hacen referencia a aquellas que proporcionan los mismos intereses si se tiene en cuenta el periodo total (de 2000 a 2006) que si se suman los dos periodos en que se puede dividir la inversión, de 2000 a 2003 y de 2003 a 2006 2000 2006 2003 100 100 200

24. Multiplicativas: Las Leyes son de este tipo cuando cumplen que: L(t1,t2) * L(t2,t3) = L(t1,t3) siendo t1<t2<t3 Si una Ley es multiplicativa no puede ser sumativa , ya que la suma de varios periodos no puede dar el mismo resultado que la suma de estos periodos, salvo casos puntuales por casualidades como 2+2 = 2*2 y casos similares Aún así, no quiere decir que pueda ser sumativa y multiplicativa a la vez. En este caso se multiplican las Leyes, no se suman los intereses

25. Trabalho independente

26. Conclusiones

27. Fim da aula 2