3 ano estudo dos quadriláteros

1. Prof. Jorge
Estudo dos quadriláteros

2. Prof. Jorge
Definição
Dado quatro pontos A, B, C e D não-colineares, chama-se
quadrilátero ABCD a figura plana constituída pela reunião
dos segmentos AB, BC, CD e DA e pelos pontos interiores
à região que eles determinam.
A
B
C
D
A
B
C
D
Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo

3. Prof. Jorge
Elementos principais
A figura mostra o quadrilátero convexo ABCD. Nele,
destacamos
 os vértices A, B, C e D
 os lados AB, BC, CD e DA
 os ângulos internos
A, B, C e D.
 o ângulo externo (a)
A
B
C
D
a
 a diagonal AC

4. Prof. Jorge
Classificação dos quadriláteros

5. Prof. Jorge
Paralelogramos
Chama-se paralelogramo todo quadrilátero cujos lados são
dois a dois paralelos.
São paralelogramos:
 Paralelogramo;
 Retângulo;
 Losango;
 Quadrado;

6. Prof. Jorge
Paralelogramo
 na figura AD//BC e AB //CD.
A
B
C
D

7. Prof. Jorge
Paralelogramo - propriedades
 Os lados opostos são congruentes;
A B
CD
 Os ângulos opostos são congruentes;
 Os ângulos não-opostos são suplementares;
 As diagonais se cruzam ao meio.
As propriedade citadas abaixo são válidas para todo parale-
logramo

8. Prof. Jorge
Paralelogramo - propriedades
A
B
C
D
Os lados opostos são congruentes.
A → ABD = CDB
L → BD = BD
⇒Δ ABD = Δ CDB
A → ADB = CBD
⇒
AB = CD
AD = BC

9. Prof. Jorge
Paralelogramo - propriedades
A
B
C
D
Os ângulos opostos são congruentes.
C = D → correspondentes
C = B → alternos internos
⇒B = D

10. Prof. Jorge
Paralelogramo - propriedades
A B
C
D
Os ângulos não-opostos são suplementares.
A + B = 180º
A + D = 180º
B + C = 180º
C + D = 180º

11. Prof. Jorge
Paralelogramo - propriedades
A
B
C
D
As diagonais se cruzam ao meio.
A → MAD = MCD
L → AD = BC
⇒Δ MAD = Δ MCB
A → MDA = MBC
⇒
AM = MC
BM = MD
M

12. Prof. Jorge
Retângulo
A B
CD
Chama-se retângulo todo quadrilátero que tem os quatro
ângulos congruentes e, portanto, retos.
M
 As diagonais são congruentes.
Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa
é a metade da hipotenusa.

13. Prof. Jorge
Losângo
A
B
C
D
Chama-se losango todo quadrilátero que tem os quatro
lados congruentes.
M
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e
estão contidas nas bissetrizes de seus ângulos internos.

14. Prof. Jorge
Quadrado
A B
CD
Chama-se quadrado todo quadrilátero que tem os quatro
lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).
Um quadrado é ao mesmo tempo retângulo e losango,
possuindo, portanto, todas as suas propriedades.

15. Prof. Jorge
Trapézio
Chama-se trapézio todo quadrilátero que tem dois lados
paralelos e os outros dois não-paralelos.
A B
CD
H
Os lados paralelos AB e CD são as bases do trapézio;
AD e BC são os lados não-paralelos.
A distância entre as bases, CH, é a altura do trapézio.

16. Prof. Jorge
Trapézio retângulo
Se um dos lados não-paralelos de um trapézio é
perpendicular às bases, ele é chamado trapézio retângulo.
Esse lado é, no caso, sua altura.
A B
CD
AD é altura.

17. Prof. Jorge
Trapézio isósceles
Se os lados não-paralelos de um trapézio são congruentes,
ele é chamado trapézio isósceles.
A B
CD
As diagonais são congruentes (AC = BD).
Os ângulos relativos a uma mesma base são congruentes
(A = B e C = D).