3 matrizes escalonadas e as inversas

ESCALONAMENTO DE MATRIZES

1. n. 3 – ESCALONAMENTO: cálculo de matrizes inversas

Escalonamento: Método de eliminação de Gauss

A eliminação de Gauss é um método, segundo o qual é
permitido efetuar 3 tipos de operações, sem que o
determinante se altere:
1) trocar linhas de lugar;
[
111
2−11
524

1
3
6
] {�2 ↔�3 [
111
524
2−11

1
6
3
]

2) multiplicar uma linha por um número qualquer não-
nulo;
[
111
524
2−11

1
6
3
] {�3=4 �3 [
111
524
8−44

1
6
12
]

3) somar a uma linha, outra linha multiplicada por um
número qualquer não nulo.
[
111
524
8−44

1
6
12
] {�2=5 �3− 8 �2 [
1 1 1
0−36−12
8−44

1
12
12
]

2. Obs.: começar sempre pela primeira coluna e ir zerando os
elementos abaixo do primeiro elemento da coluna.

Uma matriz é denominada escalonada, ou forma escada,
quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro
elemento não nulo da linha, aumenta a cada linha.


Nesse caso, a quarta linha não aumentou o número de
zeros por terem esgotado as colunas, mas ainda assim é uma
matriz escalonada.

Exercício – Escalone as matrizes a seguir:

a. �=[
111
2−11
524

1
3
6
]


b. �=[
12−1
24−2
361

3
6
9
]

3. c. �=[
123
211
3−12

1
2
1
]

Resolução do exercício:
a.
[
���
�−��
���

�
�
�
] →
??????�= −� ??????�+??????�
??????�= −� ??????�+??????�
[
���
�−�−�
�−�−�

�
�
�
]

[
���
�−�−�
�−�−�

�
�
�
] → ??????�= − ??????�+??????� [
���
�−�−�
���

�
�
�
]


b.

[
��−�
��−�
���

�
�
??????
]→
??????�= −� ??????�+??????�
??????�= −� ??????�+??????�
[
��−�
���
���

�
�
�
]


[
��−�
���
���

�
�
�
] → ??????� ↔??????� [
��−�
���
���

�
�
�
]


c.
[
���
���
�−��

�
�
�
]→
??????�= −� ??????�+??????�
??????�= −� ??????�+??????�
[
���
�−�−�
�−�−�

�
�
−�
]

4. [
���
�−�−�
�−�−�

�
�
−�
]→ ??????�= −� ??????�+� ??????� [
���
�−�−�
����

�
�
−�
]


Cálculo de matriz inversa: Eliminação de Gauss-Jordan

Este procedimento consiste em converter a matriz aumentada,
numa matriz escalonada, aplicando as operações elementares.

Exemplo

Dada uma determinada matriz:
 Primeiro construímos a matriz aumentada. A matriz
aumentada consiste em dois blocos, separados por uma
linha tracejada. O bloco do lado esquerdo é a matriz que foi
dada, o bloco do lado direito é a matriz identidade.
[
2−34|100
−12−3|010
32−1|001
]
 Agora, devemos operar com as linhas de modo que
consigamos transformar o bloco do lado esquerdo em uma
matriz identidade:
[
100|???
010|???
001|???
]

5.  depois de feitas as operações com as linhas da matriz para
obter a matriz unidade, no lado esquerdo do bloco, a matriz
que resultar no bloco do lado direito, será a matriz inversa
de A:
[
100|???
010|???
001|???
]

Exercício: Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes
inversas de:
a. �= [
111
110
101
] R: �
−1
= [
−111
10−1
1−10
]
b. �= [
2−34
−12−3
32−1
] R: �
−1
=
[






−
2
3
5
6
1
6
5
3
−
7
3
1
3
−
4
3
−
13
6
1
6]







c. �= [
102
213
310
] R: �
−1
=
[






−
3
5
−
2
5
2
5
9
5
6
5
−
1
5
1
5
1
5
−
1
5]

6. d. �= [
3010
−2020
0101
0−101
] R: �
−1
=
[





1
4
−
1
8
00
00
1
2
−
1
2
1
4
3
8
00
00
1
2
1
2]








Resoluções dos exercícios:
Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes inversas de:
a. �= [
111
110
101
]
Construindo a matriz aumentada:
�= [
111|100
110|010
101|001
]
[
111|100
110|010
101|001
]→
�1=??????????????????ℎ?????? ??????????????????ô
�2=�1−�2
�3=�1−�3
[
111|100
001|1−10
010|10−1
]
[
111|100
001|1−10
010|10−1
]→ �2↔�3 [
111|100
010|10−1
001|1−10
]
[
111|100
010|10−1
001|1−10
]→
�2=??????????????????ℎ?????? ??????????????????ô
�1=�1−�2
[
101|001
010|10−1
001|1−10
]
[
101|001
010|10−1
001|1−10
]→
�3=??????????????????ℎ?????? ??????????????????ô
�1=�1−�3
[
100|−111
010|10−1
001|1−10
]

7. Portanto, a matriz inversa de �= [
111
110
101
] é �
−1
= [
−111
10−1
1−10
]
b. �= [
2−34
−12−3
32−1
]
�=[
2−34|100
−12−3|010
32−1|001
]
[
2−34|100
−12−3|010
32−1|001
]→ �1↔�2
[





−12−3|010
2−34|100
32−1|001]






[





−12−3|010
2−34|100
32−1|001]





→ �1=�1 (−1)
[





1−23|0−10
2−34|100
32−1|001]






[





1−23|0−10
2−34|100
32−1|001]





→
�2=�2−2�1
�3=�3−3�1

[





1−23 |0−10
01−2|120
08−10|031]






[





1−23 |0−10
01−2|120
08−10|031]





→
�1=2 �2+�1
�3=�3−8 �2

[





10−1|2 30
01−2|1 20
006|−8−131]






[





10−1|2 30
01−2|1 20
006|−8−131]





→
�1=6 �1+�3
�2=3 �2+�3

[





600|4 5 1
030|−5−71
006|−8−131]

8. [





600|4 5 1
030|−5−71
006|−8−131]





→
{



�1=
1
6
�1
�2=
1
3
�2
�3=
1
6
�3

[





100|
2
3
5
6
1
6
010|−
5
3
−
7
3
1
3
001|−
4
3
−
13
6
1
6]







Portanto, a matriz inversa de �= [
2−34
−12−3
32−1
] é �
−1
=
[






−
2
3
5
6
1
6
5
3
−
7
3
1
3
−
4
3
−
13
6
1
6]








c. �= [
102
213
310
]
[
102|100
213|010
310|001
]→
�2=−2�1+�2
�3= −3 �1+�3

[





102|100
01−1|−210
01−6|−301]







[





102|100
01−1|−210
01−6|−301]





→ �3=−�2+�3
[





102|100
01−1|−210
00−5|−1−11]






[





102|100
01−1|−210
00−5|−1−11]





→ �2=5 �2−�3
[





102|100
050|−96−1
00−5|−1−11]






[





102|100
050|−96−1
00−5|−1−11]





→ �1=5�1+2 �3
[





500|3−22
050|−96−1
00−5|−1−11]

9. [





500|3−22
050|−96−1
00−5|−1−11]





→
{



�1=
1
5
�1
�2=
1
5
�2
�3=−
1
5
�3

[





100|
3
5
−
2
5
2
5
010|−
9
5
6
5
−
1
5
001|
1
5
1
5
−
1
5]







Portanto, a matriz inversa de �= [
102
213
310
] é �
−1
=
[






−
3
5
−
2
5
2
5
9
5
6
5
−
1
5
1
5
1
5
−
1
5]








d. �= [
3010
−2020
0101
0−101
]

[
3010|1000
−2020|0100
0101|0010
0−101|0001
]→
�2=2�1+3�2
�4= �3+�4
[
3010|1000
0080|2300
0101|0010
0002|0011
]


[
3010|1000
0080|2300
0101|0010
0002|0011
] →�2↔�3 [
3010|1000
0101|0010
0080|2300
0002|0011
]


[
3010|1000
0101|0010
0080|2300
0002|0011
] →
�1=8�1−�3
�2= 2�2−�4
[
24000|6−300
0200|001−1
0080|2300
0002|0011
]

[
24000|6−300
0200|001−1
0080|2300
0002|0011
]→
�1=
1
24
�1
�2=
1
2
�2
�3=
1
8
�3
�4=
1
2
�4

[






1000|
6
24
−3
24
00
0100|00
1
2
−
1
2
0010|
2
8
3
8
00
0001|00
1
2
1
2]

10. [






1000|
1
4
−
1
8
00
0100|00
1
2
−
1
2
0010|
1
4
3
8
00
0001|00
1
2
1
2]









Portanto, a matriz inversa de � = [
3010
−2020
0101
0−101
] é �
−1
=
[





1
4
−
1
8
00
00
1
2
−
1
2
1
4
3
8
00
00
1
2
1
2]

11. SISTEMAS ESCALONADOS. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ms211/sistemaslin.pdf> Acesso em: 12 ago. 2016.


Referências Bibliográficas

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.

CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

12. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de
Janeiro: Prentice-Hall, 1998.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
STEINBRUCH, A. ; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books,
2010.