3. Movimiento vibratorio

1. TEMA 3 MOVIMIENTO VIBRATORIO

2. MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se
repiten todas las características del mismo en un tiempo
determinado.

MOVIMIENTO OSCILATORIO: es aquel movimiento
periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a
otro de la posición de equilibrio.

MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio
en el que las oscilaciones son relativamente rápidas.

PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo
completo, es decir, en volver a la situación inicial.
MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO

3. FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan
en un segundo.



ELONGACIÓN [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la
partícula de la posición de equilibrio en un instante
dado. (x → horizontal; y → vertical).

AMPLITUD (A): es la elongación máxima, es decir, la
máxima distancia que se separa la partícula de la
posición de equilibrio.

MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO
??????=
1
�
; �
−1
=??????�

4. MOVIMIENTO
VIBRATORIO
ARMÓNICO SIMPLE

5. Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios.

Es un movimiento periódico en el que la partícula se
desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se
caracteriza porque es un movimiento con aceleración
variable.

Esta aceleración está producida por una fuerza
recuperadora que es proporcional al desplazamiento,
pero de sentido contrario.

Al móvil que describe este movimiento se le llama
oscilador armónico.
M.V.A.S.

6. La fuerza va a ser máxima en los extremos
�=?????? � �=−??????. Como esto es así, la aceleración también
será máxima en dichos puntos.

La fuerza en �=0 va a ser 0, entonces, la aceleración
también se anulará en el punto de equilibrio.

Podemos decir que la aceleración es variable en función de
la posición de la partícula.

Si hablamos de la velocidad: �=0 �� �=?????? � �= −??????
� →�??????� �� �=0
LEY DE HOOK
�=−�·�

7. M.V.A.S.
Elongación: �,�=��; �

Velocidad: �=��;
�
�


Aceleración: ??????=��;
�
�
2

8. ECUACIONES DEL
MOVIMIENTO

9. Movimiento vertical:
�=−�·�=�·??????=�·
�
2
�
��
2


−�·�=�·
�
2
�
��
2


�·
�
2
�
��
2
+�·�=0


Ecuación diferencial, no sabemos resolver este tipo de
ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo
que vamos a obtener…
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

10. �=??????·sin
??????
�
·�
Además,
??????
�
=?????? (velocidad angular)
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
Comprueba que se
cumple la ecuación
¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el
argumento del seno…?

¿Y si en vez del seno usamos un coseno…?

11. Donde � →�����??????�??????ó� (�)
?????? →??????���??????��� (�)
?????? →����??????�??????ó� � ��������???????????? ??????����??????�
�????????????
�

??????
0 →�??????�� ??????�??????�????????????� �??????�.
������� �� �?????? �����??????�??????ó� �� �
0
�=??????·sin??????�+??????
0

�=??????·cos??????�+??????
0
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
??????=
2??????
�
=2????????????=
??????
�

12. CAMBIO DE UNIDADES:
RADIANES → GRADOS

3
′
2?????? �??????�⟶3
′
2·180
0
=576
0

sin576
0
≈−0′9

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

13. Suponemos que tenemos una
masa colgada de un muelle
como en la figura. Cuando lo
dejamos estar, la masa está
en reposo (izq.). Esa es su
posición de equilibrio.

Contraemos el muelle 2 cm y
soltamos, dejando que la
masa oscile libremente
(despreciamos rozamiento
con el aire).

Queremos calcular la fase
inicial.
EJEMPLO

14. Como es un movimiento vibratorio armónico simple cumplirá
la Ley de Hook:
�=−�·�

Conocemos la solución que se obtiene para estos casos:

�=??????·sin��+??????
0

En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongación es
�0=−2 �� y la amplitud ??????=2 ��; sustituimos en la
fórmula y despejamos:

−2=2·sin�·0+??????
0

−2=2·sin??????
0
EJEMPLO

15. Obviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sólo nos falta
un signo menos:

sin??????
0=−1

??????
0=sin
−1
−1=−
??????
2
�??????�
EJEMPLO
??????
0=−
??????
2
�??????�

16. Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)
REPRESENTACIÓN
Si �=??????·sin��+??????
0 y además ??????
0=0:

17. �
1=??????·sin??????�
1+??????
0
Diferencia de fase:
∆??????=??????�
2+??????
0−??????�
1+??????
0
�
2=??????·sin??????�
2+??????
0 ∆??????=??????�
2−??????�
1

REPRESENTACIÓN
∆??????=??????�
2−�
1
Observamos dos situaciones importantes y significativas en
función del valor que tome esta diferencia de fase

18. ∆??????=2??????·�; �=0,1,2,3,… los puntos están en FASE, es
decir, tienen la misma elongación y tendencia, y su distancia
es el Periodo (o un múltiplo del mismo).

∆??????=(2�+1)??????; �=0,1,2,3,… los puntos están es
OPOSICIÓN DE FASE, es decir, tiene la misma elongación,
tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un
múltiplo del mismo).

REPRESENTACIÓN
∆??????=??????�
2−�
1

19. �=
��
��
=
�??????sin??????�+??????
0
��



�
�??????� → cos??????�+??????
0=±1

sin??????�+??????
0=0 ⇒ ??????sin??????�+??????
0=�=0
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.
�=????????????cos??????�+??????
0
�
�??????�=±???????????? ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!

20. �
�??????� → cos??????�+??????
0=0

sin??????�+??????
0=±1 ⇒ ??????sin??????�+??????
0=�=±??????
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.
�
�??????�=0 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
�=????????????cos??????�+??????
0

21. VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.
�=????????????
2
−�
2

�=????????????cos??????�+??????
0=????????????
??????
2
−�
2
??????
2
=????????????
2
−�
2

sin
2
??????+cos
2
??????=1
cos??????�+??????
0=1−sin
2
??????�+??????
0
sin??????�+??????
0=
�
??????

cos??????�+??????
0=1−
�
2
??????
2

22. ??????=
��
��
=
�????????????cos??????�+??????
0
��




??????
�??????� → sin??????�+??????
0=±1 ⇒ �=�
�??????�=±??????
ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.
??????=−????????????
2
sin??????�+??????
0 ??????=−??????
2
�
??????
�??????�=±????????????
2
¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!

23. ??????
�??????� → sin??????�+??????
0=0 ⇒ �=0
ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.
??????=−????????????
2
sin??????�+??????
0 ??????=−??????
2
�
??????
�??????�=0 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!

24. EL PÉNDULO
SIMPLE

25. Se compone de un cuerpo que
cuelga de un hilo de masa
despreciable y que se desplaza
ligeramente de su posición de
equilibrio.

Este mecanismo describe un
m.v.a.s.

La fuerza a la que se encuentra
sometido el péndulo es la
fuerza de la gravedad.
EL PÉNDULO SIMPLE
1 0 0 40 65 d e E l b i b l i ó m ata

26. Vamos a calcular la fuerza total
a la que se ve sometido el
péndulo para entender así su
movimiento.

??????
�=??????·sin??????=−��sin??????

??????
�=??????·cos??????=��cos??????

�=−??????
�

�=??????
�+??????
�+�=??????
�+??????
�−??????
�
EL PÉNDULO SIMPLE
�=??????
�

27. Como θ va a ser muy pequeño si
queremos tratar al péndulo como
un m.v.a.s. (si las oscilaciones
son muy grandes no podemos
despreciar el rozamiento y deja
de serlo)

??????≈0 ⇒ sin??????≈??????

??????
�=−��??????

??????=
�??????���� �������
�??????���� ����??????���
=
�
??????

EL PÉNDULO SIMPLE
�=
−��
??????
�
Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario

28. Podemos calcular la aceleración
a la que se ve sometido:

�=�??????

??????=
�
�
=
−��
??????
�
�

EL PÉNDULO SIMPLE
??????=
−�
??????
�

29. Y podemos calcular la frecuencia
de oscilación del péndulo, ya que
conocemos la aceleración de
cualquier m.v.a.s:

??????=−??????
2
�

??????
2
=
−??????
�
=
�
??????
�
�
=
�
??????

EL PÉNDULO SIMPLE
??????=
�
??????

30. Y por último, podemos calcular la
relación más importante que
vamos a ver para un péndulo
simple, su periodo:

�=
2??????
??????
=
2??????
�
??????

EL PÉNDULO SIMPLE
�=2??????
??????
�

31. ��=??????·sin??????�+??????
0

Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0
??????
0=10
0
??????=10
0


??????�=??????
0·sin??????�+??????
0

10
0
=10
0
·sin0+??????
0

sin??????
0=1 ??????
0=sin
−1
(1)
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
??????�=??????
0·sin??????�+??????
0
??????
0=
??????
2

32. ENERGÍA DEL
OSCILADOR
ARMÓNICO

33. En el m.v.a.s. se ponen en juego dos
tipos de energía:

La energía cinética

La energía potencial
ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO
(Modelo de Einstein)

34. �
??????=
1
2
��
2
=
1
2
�????????????cos??????�+??????
0
2
=
1
2
�??????
2
??????
2
cos
2
??????�+??????
0=

=
1
2
�??????
2
�
�
cos
2
??????�+??????
0=
1
2
�??????
2
1−sin
2
??????�+??????
0=

=
1
2
�??????
2
−??????
2
sin
2
??????�+??????
0=
1
2
�??????
2
−�
2

ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S.
�
??????=
1
2
�??????
2
−�
2
; ??????
�?????? �=0 →�
??????�á�
=
1
2
�??????
2

�?????? �=±?????? → �
??????�??????�
=0

35. Podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas
elásticas son fuerzas conservativas.

??????=−∆�
??????

Calculamos primero el trabajo:

??????= �·��
�2
�1
= −�·�·��=−
�·�
2
2

�
2
�
1
�2
�1
=
1
2
��
1
2
−
1
2
��
2
2


??????=−∆�
??????=�
??????1
−�
??????2
=
1
2
��
1
2
−
1
2
��
2
2

ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.

36. ??????=−∆�
??????=�
??????1
−�
??????2
=
1
2
��
1
2
−
1
2
��
2
2


Consideramos E
P = 0 cuando x = 0; es decir, en la posición
de equilibrio:

ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.
�
??????=
1
2
��
2
; ??????
�?????? �=0 → �
??????�??????�
=0
�?????? �=±?????? → �
??????�á�
=
1
2
�??????
2

37. �
�=�
??????+�
??????=
1
2
�??????
2
−�
2
+
1
2
��
2
=
1
2
�??????
2
−
1
2
��
2
+
1
2
��
2

ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.
�
�=
1
2
�??????
2
; ??????
�?????? �=0 → �
??????�??????�
=0 � �
??????�á�
=
1
2
�??????
2
⇒ �
�=
1
2
�??????
2

�?????? �=±?????? → �
??????�á�
=
1
2
�??????
2
� �
??????�??????�
=0 ⇒ �
�=
1
2
�??????
2

38. ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.
¡¡¡La Energía Mecánica es Constante!!!

39. Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
en los extremos y en el punto de equilibrio?
EJEMPLO
�
??????=
1
2
�??????
2
−�
2


�
??????=
1
2
��
2


�
�=
1
2
�??????
2

Vamos a necesitar calcular la constante k,
para eso nos dan T:
??????=
2??????
�
=
�
�


�=�
4??????
2
�
2

Sustituimos los datos:

�=0
′
5��·
4??????
2
2�
2
=4
′
93
��
�
2
=4′93
??????
�

40. Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
en los extremos y en el punto de equilibrio?
EJEMPLO
Calculamos las energías en x = 0’05m

�
??????=
1
2
·4
′
93
�
�
·0
′
1�
2
−0
′
05�
2
=1
′
85·10
−2
??????

�
??????=
1
2
·4
′
93
??????
�
· 0
′
05�
2
=6
′
16·10
−3
??????

�
�=
1
2
·4
′
93
??????
�
·0
′
1�
2
=2
′
47·10
−2
??????

41. Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
en los extremos y en el punto de equilibrio?
EJEMPLO
Calculamos las energías en los extremos (x = ± A):

�
??????=0

�
??????=�
�=2
′
47·10
−2
??????

Calculamos las energías en el punto de equilibrio (x = 0):

�
??????=�
�=2
′
47·10
−2
??????

�
??????=0

42. AMORTIGUAMIENTO

43. En los movimientos
vibratorios existen fuerzas
no conservativas como la
fuerza de rozamiento que
hacen que la energía
disminuya. Esta pérdida
de energía se traduce en
una disminución de
Amplitud.
�=
1
2
�??????
2

AMORTIGUAMIENTO
Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistema
energía con la misma frecuencia de vibración. A esta frecuencia se
la conoce como frecuencia de RESONANCIA.