4 funciones variables_aleatorias
fasandovaln
1,168 views
54 slides
Feb 19, 2019
Slide 1 of 54
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
About This Presentation
Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos
Análisis estadístico y probabilísitico,
Tema 4: funciones de variables aleatorias
- Función de variable aleatoria real
+ Funciones constantes
+ Funciones biunívocas o diferenciables
+ Funciones genéricas
- Funciones de...
Slide Content
AGENDA
2
2
[email protected]
Agenda
CAP. 4: Funciones de variables aleatorias
•Función de variable aleatoria real
–Funciones constantes
–Funciones biunívocas o diferenciables
–Funciones genéricas
•Funciones de variables aleatorias reales
–Funciones constantes
–Funciones biunívocas y diferenciables
–Funciones genéricas
3
Agenda
CAP. 4: Funciones de variables aleatorias
•Función de variable aleatoria real
–Funciones constantes
–Funciones biunívocas o diferenciables
–Funciones genéricas
•Funciones de variables aleatorias reales
–Funciones constantes
–Funciones biunívocas y diferenciables
–Funciones genéricas
3
[email protected]
Objetivos
•Caracterización probabilística de las funciones
de variables aleatorias.
•Análisis de la FDP y fdppara las funciones de
v.a.
•Estudio de los casos: funciones constantes y
funciones biunívocas y diferenciables.
4
Objetivos
•Caracterización probabilística de las funciones
de variables aleatorias.
•Análisis de la FDP y fdppara las funciones de
v.a.
•Estudio de los casos: funciones constantes y
funciones biunívocas y diferenciables.
4
FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
ALEATORIA REAL
5
ALEATORIA REAL
5
[email protected]
Función de variable aleatoria real
•Recordando, una v.a.real se define:
�: Ω⟼ℝ
??????⟼�??????
•Considere una función real �, definida sobre los reales,
o sea:
�: ℝ⟼ℝ
�??????⟼��??????
•se analiza la función compuesta �=�o�, real con
dominio en Ωasociada al mapa:
�: Ω⟼ℝ
??????⟼��??????
6
Función de variable aleatoria real
•Recordando, una v.a.real se define:
�: Ω⟼ℝ
??????⟼�??????
•Considere una función real �, definida sobre los reales,
o sea:
�: ℝ⟼ℝ
�??????⟼��??????
•se analiza la función compuesta �=�o�, real con
dominio en Ωasociada al mapa:
�: Ω⟼ℝ
??????⟼��??????
6
[email protected]
Función compuesta
•Es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de
otras dos funciones.
•Sean las funciones:
�(�)=�
2
,
��=sin�,
La función compuesta de �y de �que
expresamos:
(�∘�)(�)=�(�(�))=sin�
2
=????????????�
2
�,
g∘f, es la aplicación resultante de la
aplicación sucesiva defy deg. En el
ejemplo, (g∘f)(a)=@.
La interpretación de (�∘�) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que
aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso
�=�(�)=sin�,
y después aplicamos �a �para obtener
�=�(�)=�
2
=????????????�
2
�,
7
Función compuesta
•Es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de
otras dos funciones.
•Sean las funciones:
�(�)=�
2
,
��=sin�,
La función compuesta de �y de �que
expresamos:
(�∘�)(�)=�(�(�))=sin�
2
=????????????�
2
�,
g∘f, es la aplicación resultante de la
aplicación sucesiva defy deg. En el
ejemplo, (g∘f)(a)=@.
La interpretación de (�∘�) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que
aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso
�=�(�)=sin�,
y después aplicamos �a �para obtener
�=�(�)=�
2
=????????????�
2
�,
7
[email protected]
Función de variable aleatoria real
•Significa que para todo ??????∈Ω, se tiene un
valor real �??????=�(�(??????)).
8
Función de variable aleatoria real
•Significa que para todo ??????∈Ω, se tiene un
valor real �??????=�(�(??????)).
8
[email protected]
Función de variable aleatoria real
•Se concluye: si la función del conjunto �
obedece las condiciones de la Definición de
v.a.r., ella también será una v.a.
•Interesa determinar la fdp??????
�(�), asociada a la
v.a.�, en términos de �y ??????
�(�).
9
Función de variable aleatoria real
•Se concluye: si la función del conjunto �
obedece las condiciones de la Definición de
v.a.r., ella también será una v.a.
•Interesa determinar la fdp??????
�(�), asociada a la
v.a.�, en términos de �y ??????
�(�).
9
[email protected]
Ejemplo: Función biunívoca y diferenciable
Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un
diodo es presentada en la Figura, donde �representa la tensión en
los terminales del diodo y �la corriente. Dado que analíticamente
la característica de tensión-corriente se escribe:
�=��=ቊ
�
�
−1;�<0
�;�≥0
determinar ??????
�(�).
10
Ejemplo: Función biunívoca y diferenciable
Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un
diodo es presentada en la Figura, donde �representa la tensión en
los terminales del diodo y �la corriente. Dado que analíticamente
la característica de tensión-corriente se escribe:
�=��=ቊ
�
�
−1;�<0
�;�≥0
determinar ??????
�(�).
10
[email protected]
Determinación de fdp??????
�(�)
•Se considera inicialmente que
??????
��=න
−∞
∞
??????
���,���=න
−∞
∞
??????
�|�=��??????
����
•Observe, que dado el valor de la v.a.�, por ejemplo �=�,
la v.a.�=�(�)es una v.a.discreta que asume un único
valor igual a �(�). Esto permite expresar la fpd
condicional del integrado como una función impulso, o sea
??????
�|�=��=??????(��−�)
es válida para todo �∈ℝy para toda �∈ℝ.
11
Determinación de fdp??????
�(�)
•Se considera inicialmente que
??????
��=න
−∞
∞
??????
���,���=න
−∞
∞
??????
�|�=��??????
����
•Observe, que dado el valor de la v.a.�, por ejemplo �=�,
la v.a.�=�(�)es una v.a.discreta que asume un único
valor igual a �(�). Esto permite expresar la fpd
condicional del integrado como una función impulso, o sea
??????
�|�=��=??????(��−�)
es válida para todo �∈ℝy para toda �∈ℝ.
11
[email protected]
Determinación de fdp??????
�(�)
•Para valores de �tales que �≠�(�)se tiene
que esta fdpcondicional es nula.
Substituyendo las ec. anteriores:
??????
��=න
−∞
∞
??????��−�??????
����
12
Determinación de fdp??????
�(�)
•Para valores de �tales que �≠�(�)se tiene
que esta fdpcondicional es nula.
Substituyendo las ec. anteriores:
??????
��=න
−∞
∞
??????��−�??????
����
12
FUNCIONES CONSTANTES
13
13
[email protected]
Funciones constantes
Se considera que la función �(�)asume un único
valor ??????para cualquier valor de �en su
contradominio, o sea,
�=��=??????
Por cuanto, la fdpcondicional es
??????
�|�=��=??????(??????−�)
Y se reduce a:
??????
��=????????????−�න
−∞
∞
??????
����=??????(�−??????)
14
Funciones constantes
Se considera que la función �(�)asume un único
valor ??????para cualquier valor de �en su
contradominio, o sea,
�=��=??????
Por cuanto, la fdpcondicional es
??????
�|�=��=??????(??????−�)
Y se reduce a:
??????
��=????????????−�න
−∞
∞
??????
����=??????(�−??????)
14
FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y
DIFERENCIABLES
15
DIFERENCIABLES
15
[email protected]
Función biunívoca
Cada elemento del
conjunto origen se
corresponde con solo
un elemento del
conjunto imagen, y cada
elemento del conjunto
imagen se corresponde
con solo un elemento
del conjunto origen.
Nota: puede haber elementos sin
imagen como el1, y elementos sin
origen como lac, pero esto no influye
en la definición de biunicidad.
16
Función biunívoca
Cada elemento del
conjunto origen se
corresponde con solo
un elemento del
conjunto imagen, y cada
elemento del conjunto
imagen se corresponde
con solo un elemento
del conjunto origen.
Nota: puede haber elementos sin
imagen como el1, y elementos sin
origen como lac, pero esto no influye
en la definición de biunicidad.
16
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
Se considera el caso particular en que �(�)es biunívoca y
diferenciable. Para determinar ??????
��se realiza cambio de
variables
�=�(�)
Como �es biunívoca y diferenciable, se tiene
�=�
−1
�=ℎ(�)
con �
−1
()representando la función inversa de �(), y
��=ℎ′(�)��
donde
ℎ
′
�=
�
��
ℎ(�)
17
Funciones Biunívocas y diferenciables
Se considera el caso particular en que �(�)es biunívoca y
diferenciable. Para determinar ??????
��se realiza cambio de
variables
�=�(�)
Como �es biunívoca y diferenciable, se tiene
�=�
−1
�=ℎ(�)
con �
−1
()representando la función inversa de �(), y
��=ℎ′(�)��
donde
ℎ
′
�=
�
��
ℎ(�)
17
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
entonces, con el cambio de variables, ??????
�(�)se escribe
??????
��=න
−∞
∞
??????��−�??????
����
??????
��=න
????????????
??????�−�??????
�ℎ�ℎ
′
���
donde ??????
??????representa el contradominiode la función �.
Si se considera la propiedad de la función impulso, según la cual
න
�
�
??????�−�����=ቊ
��;�∈�,�
0;�∉�,�
18
Funciones Biunívocas y diferenciables
entonces, con el cambio de variables, ??????
�(�)se escribe
??????
��=න
−∞
∞
??????��−�??????
����
??????
��=න
????????????
??????�−�??????
�ℎ�ℎ
′
���
donde ??????
??????representa el contradominiode la función �.
Si se considera la propiedad de la función impulso, según la cual
න
�
�
??????�−�����=ቊ
��;�∈�,�
0;�∉�,�
18
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
Se obtiene:
??????
��=൝
??????
�ℎ�|ℎ
′
�|;�∈??????
??????
0 ;�∉??????
??????
observando que
ℎ
′
�=
1
�
′
ℎ�
se obtiene, finalmente
??????
��=
ቤ
??????
��
�
′
�
�=ℎ�=??????
−1
(�)
;�∈??????
??????
0 ;�∉??????
??????
19
Funciones Biunívocas y diferenciables
Se obtiene:
??????
��=൝
??????
�ℎ�|ℎ
′
�|;�∈??????
??????
0 ;�∉??????
??????
observando que
ℎ
′
�=
1
�
′
ℎ�
se obtiene, finalmente
??????
��=
ቤ
??????
��
�
′
�
�=ℎ�=??????
−1
(�)
;�∈??????
??????
0 ;�∉??????
??????
19
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
Considerando la definición 1:
??????
��= ቤ
??????
��
�
′
�
�=??????
−1
�
??????
????????????
(�)
Definición 1: Función indicadora de un conjunto A
Sea ??????⊂Γun subconjunto de elementos ??????, ??????∈Γ. La función
Indicadora ??????
??????(??????)del conjunto ??????es
??????
????????????=ቊ
1;??????∈??????
0;??????∉??????
20
Funciones Biunívocas y diferenciables
Considerando la definición 1:
??????
��= ቤ
??????
��
�
′
�
�=??????
−1
�
??????
????????????
(�)
Definición 1: Función indicadora de un conjunto A
Sea ??????⊂Γun subconjunto de elementos ??????, ??????∈Γ. La función
Indicadora ??????
??????(??????)del conjunto ??????es
??????
????????????=ቊ
1;??????∈??????
0;??????∉??????
20
[email protected]
Ejemplo 1: Función Biunívoca y Diferenciable
Como la función es biunívoca y diferenciable, la fdpde �puede ser
directamente determinada a partir la ec. dada. El contradominiode �es
el conjunto de los números reales.
??????
��=
ቤ
1
2??????
exp−
�
2
2
2
�=
�
2
=
1
22??????
exp−
�
2
8
;�∈ℝ
Considérese una v.a.gaussiana con parámetros �=0y ??????=1.
Sea �una v.a.definida a través de la función
�=��=2�;�∈ℝ
21
Ejemplo 1: Función Biunívoca y Diferenciable
Como la función es biunívoca y diferenciable, la fdpde �puede ser
directamente determinada a partir la ec. dada. El contradominiode �es
el conjunto de los números reales.
??????
��=
ቤ
1
2??????
exp−
�
2
2
2
�=
�
2
=
1
22??????
exp−
�
2
8
;�∈ℝ
Considérese una v.a.gaussiana con parámetros �=0y ??????=1.
Sea �una v.a.definida a través de la función
�=��=2�;�∈ℝ
21
[email protected]
Pasos para hallar ??????
�(�)dado que se conoce ??????
�(�)y �(�)
Determinar si �(�)es:
a.función constante.
i.??????
��=??????(�−??????)
b.función biunívoca diferenciable.
i.Derivar �(�).
ii.Invertir: �=�
−1
�.
iii.Determinar ??????
??????.
iv.??????
��= ቚ
????????????�
??????
′
�
�=??????
−1
�
??????
????????????
(�)
c.otro tipo de función.
i.Emplear definición general.
22
Pasos para hallar ??????
�(�)dado que se conoce ??????
�(�)y �(�)
Determinar si �(�)es:
a.función constante.
i.??????
��=??????(�−??????)
b.función biunívoca diferenciable.
i.Derivar �(�).
ii.Invertir: �=�
−1
�.
iii.Determinar ??????
??????.
iv.??????
��= ቚ
????????????�
??????
′
�
�=??????
−1
�
??????
????????????
(�)
c.otro tipo de función.
i.Emplear definición general.
22
[email protected]
Ejemplo 2: Función Biunívoca y Diferenciable
Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un
diodo es presentada en la Figura, donde �representa la tensión en
los terminales del diodo y �la corriente. Dado que analíticamente
la característica de tensión-corriente se escribe:
�=��=ቊ
�
�
−1;�<0
�;�≥0
Asuma que la tensión en los terminales del diodo es caracterizada
por una v.a.gaussiana con parámetros �=0y ??????=1. Determinar
??????
�(�).
23
Ejemplo 2: Función Biunívoca y Diferenciable
Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un
diodo es presentada en la Figura, donde �representa la tensión en
los terminales del diodo y �la corriente. Dado que analíticamente
la característica de tensión-corriente se escribe:
�=��=ቊ
�
�
−1;�<0
�;�≥0
Asuma que la tensión en los terminales del diodo es caracterizada
por una v.a.gaussiana con parámetros �=0y ??????=1. Determinar
??????
�(�).
23
FUNCIONES GENÉRICAS
25
25
[email protected]
Funciones genéricas
•Funciones genéricas, seccionalmente continuas y
diferenciables.
•El dominio �es particionado en intervalos
�
1,�
2,…,�
??????, tales que, en cada intervalo, �()sea
constante o biunívoca y diferenciable.
•La función g(�)es descompuesta en ??????funciones
�
1�,�
2�,…,�
??????(�), definidas,
respectivamente, en los intervalos �
1,�
2,…,�
??????y
con contradominiorepresentados
respectivamente por ??????
??????1
,??????
??????2
,…,??????
????????????
.
26
Funciones genéricas
•Funciones genéricas, seccionalmente continuas y
diferenciables.
•El dominio �es particionado en intervalos
�
1,�
2,…,�
??????, tales que, en cada intervalo, �()sea
constante o biunívoca y diferenciable.
•La función g(�)es descompuesta en ??????funciones
�
1�,�
2�,…,�
??????(�), definidas,
respectivamente, en los intervalos �
1,�
2,…,�
??????y
con contradominiorepresentados
respectivamente por ??????
??????1
,??????
??????2
,…,??????
????????????
.
26
[email protected]
Funciones genéricas
•La función densidad de probabilidad de la v.a.
�=�(�), considerando las particiones
�
1,�
2,…,�
??????del dominio de �(�), es dada por
??????
��=න
??????
??????��−�??????
����
=
??????=0
??????
න
??????
??????
??????�
??????�−�??????
����
??????
??????(�)
28
Funciones genéricas
•La función densidad de probabilidad de la v.a.
�=�(�), considerando las particiones
�
1,�
2,…,�
??????del dominio de �(�), es dada por
??????
��=න
??????
??????��−�??????
����
=
??????=0
??????
න
??????
??????
??????�
??????�−�??????
����
??????
??????(�)
28
[email protected]
Funciones genéricas
•La parte de ??????
�(�)que corresponde a las
funciones �
??????(�)constantes (e iguales a ??????
??????) son
dadas por
??????
??????�=??????�−??????
??????න
??????
??????
??????
����=??????�−??????
????????????(�∈�
??????)
•La parte de ??????
�(�)que corresponde a las funciones �
??????(�)
biunívocas y diferenciables, son dadas por
??????
??????�= ቮ
??????��
�
??????
′
�
�=??????
??????
−1
�
??????????????????
??????
�
29
Funciones genéricas
•La parte de ??????
�(�)que corresponde a las
funciones �
??????(�)constantes (e iguales a ??????
??????) son
dadas por
??????
??????�=??????�−??????
??????න
??????
??????
??????
����=??????�−??????
????????????(�∈�
??????)
•La parte de ??????
�(�)que corresponde a las funciones �
??????(�)
biunívocas y diferenciables, son dadas por
??????
??????�= ቮ
??????��
�
??????
′
�
�=??????
??????
−1
�
??????????????????
??????
�
29
[email protected]
Funciones genéricas
•Finalmente
??????
��
=
??????∈�
??????�−??????
????????????�∈�
??????+
??????∈ℬ
อ
??????
��
�
??????
′
�
�=??????
??????
−1
�
??????
????????????
??????
�
donde
�
=conjuntodeíndices??????talesque�
??????�esconstanteen�
??????
ℬ
={conjuntodelosíndices??????talesque�
??????�esbiunívocay
diferenciableen�
??????}
30
Funciones genéricas
•Finalmente
??????
��
=
??????∈�
??????�−??????
????????????�∈�
??????+
??????∈ℬ
อ
??????
��
�
??????
′
�
�=??????
??????
−1
�
??????
????????????
??????
�
donde
�
=conjuntodeíndices??????talesque�
??????�esconstanteen�
??????
ℬ
={conjuntodelosíndices??????talesque�
??????�esbiunívocay
diferenciableen�
??????}
30
[email protected]
Pasos para hallar ??????
�(�)dado que se conoce ??????
�(�)y �(�)
Determinar si �(�)es:
a.función constante.
i.??????
��=??????(�−??????)
b.función biunívoca diferenciable.
i.Derivar �(�).
ii.Invertir: �=�
−1
�.
iii.Determinar ??????
??????.
iv.??????
��= ቚ
??????
??????�
??????
′
�
�=??????
−1
�
??????
??????
??????
(�)
c.función constante o biunívoca diferenciable por intervalos.
i.Definir los intervalos y cada uno aplicar literal a. o b., según
corresponda.
ii.Sumar el resultado de cada intervalo para obtener el valor final.
d.otro tipo de función.
i.Emplear definición general.
31
Pasos para hallar ??????
�(�)dado que se conoce ??????
�(�)y �(�)
Determinar si �(�)es:
a.función constante.
i.??????
��=??????(�−??????)
b.función biunívoca diferenciable.
i.Derivar �(�).
ii.Invertir: �=�
−1
�.
iii.Determinar ??????
??????.
iv.??????
��= ቚ
??????
??????�
??????
′
�
�=??????
−1
�
??????
??????
??????
(�)
c.función constante o biunívoca diferenciable por intervalos.
i.Definir los intervalos y cada uno aplicar literal a. o b., según
corresponda.
ii.Sumar el resultado de cada intervalo para obtener el valor final.
d.otro tipo de función.
i.Emplear definición general.
31
[email protected]
Ejemplo 3: Funciones Genéricas
Considere un limitador de tensión, cuya característica es
presentada en la Figura. El valor �representa la tensión de entrada
del limitador y �el valor de tensión en su salida. Si la tensión de
entrada del limitador es una v.a.con fdp??????
�(�), determinar la fdp
de la v.a.resultante �en la salida del limitador.
32
Ejemplo 3: Funciones Genéricas
Considere un limitador de tensión, cuya característica es
presentada en la Figura. El valor �representa la tensión de entrada
del limitador y �el valor de tensión en su salida. Si la tensión de
entrada del limitador es una v.a.con fdp??????
�(�), determinar la fdp
de la v.a.resultante �en la salida del limitador.
32
[email protected]
Ejemplo 4: Funciones Genéricas
Se desea encontrar la fdp??????
�(�)de la v.a.�=��
2
(�>0), donde
�es una v.a.doble exponencial de parámetro �, o sea
??????
��=
�
2
exp(−�|�|)
33
Ejemplo 4: Funciones Genéricas
Se desea encontrar la fdp??????
�(�)de la v.a.�=��
2
(�>0), donde
�es una v.a.doble exponencial de parámetro �, o sea
??????
��=
�
2
exp(−�|�|)
33
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
ALEATORIAS
34
ALEATORIAS
34
[email protected]
Función de Varias Variables Aleatorias
•Cuando se dispone de �v.a.es usual
representarlas por un vector aleatorio �-
dimensional.
•�v.a.�
1,�
2,…,�
�pueden ser representadas por
un vector �-dimensional �definido como una
función del conjunto que atribuye un vector �-
dimensional �(??????)a cada punto de muestra ??????del
espacio de muestras Ω.
•�define el mapa:
�:Ω⟼ℝ
�
??????⟼�(??????)
35
Función de Varias Variables Aleatorias
•Cuando se dispone de �v.a.es usual
representarlas por un vector aleatorio �-
dimensional.
•�v.a.�
1,�
2,…,�
�pueden ser representadas por
un vector �-dimensional �definido como una
función del conjunto que atribuye un vector �-
dimensional �(??????)a cada punto de muestra ??????del
espacio de muestras Ω.
•�define el mapa:
�:Ω⟼ℝ
�
??????⟼�(??????)
35
[email protected]
Función de Varias Variables Aleatorias
•Considere una función vectorial �-dimensional
�, definida sobre el ℝ
�
, o sea
�:ℝ
�
⟼ℝ
�
�??????⟼��??????
•Interesa analizar la función vectorial �-
dimensional compuesta �=�∘�, con dominio
en Ω, asociada al mapa
�:Ω⟼ℝ
�
??????⟼��??????
36
Función de Varias Variables Aleatorias
•Considere una función vectorial �-dimensional
�, definida sobre el ℝ
�
, o sea
�:ℝ
�
⟼ℝ
�
�??????⟼��??????
•Interesa analizar la función vectorial �-
dimensional compuesta �=�∘�, con dominio
en Ω, asociada al mapa
�:Ω⟼ℝ
�
??????⟼��??????
36
[email protected]
Función de Varias Variables Aleatorias
•La fdp??????
��asociada al vector aleatorio �, en términos de �y
??????
��, es dada por
??????
��=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????
���,���
=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????
��=�
�??????
����
•dado el vector aleatorio �, por ejemplo �=�, el vector aleatorio
�=�(�)es un vector aleatorio discreto que asume un único valor
igual a �(�).
??????
�|�=��=??????(��−�)
37
Función de Varias Variables Aleatorias
•La fdp??????
��asociada al vector aleatorio �, en términos de �y
??????
��, es dada por
??????
��=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????
���,���
=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????
��=�
�??????
����
•dado el vector aleatorio �, por ejemplo �=�, el vector aleatorio
�=�(�)es un vector aleatorio discreto que asume un único valor
igual a �(�).
??????
�|�=��=??????(��−�)
37
[email protected]
Función de Varias Variables Aleatorias
•Sustituyendo
??????
��=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????��−�??????
����
38
Función de Varias Variables Aleatorias
•Sustituyendo
??????
��=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????��−�??????
����
38
FUNCIONES CONSTANTES
39
39
[email protected]
Funciones constantes
•Considere que la función �(�)asume un único
valor ??????para cualquier valor de �en su
contradominio, o sea
�=��=??????
•Consecuentemente
??????
��=????????????−�න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????
����
=??????�−??????
40
Funciones constantes
•Considere que la función �(�)asume un único
valor ??????para cualquier valor de �en su
contradominio, o sea
�=��=??????
•Consecuentemente
??????
��=????????????−�න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????
����
=??????�−??????
40
FUNCIONES BIUNÍVOCAS Y
DIFERENCIABLES
41
DIFERENCIABLES
41
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
•Un caso particular que merece atención es el de la
función �biunívoca y diferenciable en cada argumento.
•Para determinar la integral, se realiza cambio de
variables
�=�(�)
•como �es biunívoca y diferenciable en cada
argumento, se tiene que
�=�
−1
�=��=
ℎ
1�
1,�
2,…,�
�
ℎ
2�
1,�
2,…,�
�
⋮
ℎ
��
1,�
2,…,�
�
�
−1
representa la función inversa de �()
42
Funciones Biunívocas y diferenciables
•Un caso particular que merece atención es el de la
función �biunívoca y diferenciable en cada argumento.
•Para determinar la integral, se realiza cambio de
variables
�=�(�)
•como �es biunívoca y diferenciable en cada
argumento, se tiene que
�=�
−1
�=��=
ℎ
1�
1,�
2,…,�
�
ℎ
2�
1,�
2,…,�
�
⋮
ℎ
��
1,�
2,…,�
�
�
−1
representa la función inversa de �()
42
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
•resolviendo el sistema de ecuaciones �=�(�)para �
��=�
�(�)��
donde �
�(�)denota el jacobianode la transformación
�(�).
•Considerando el cambio de variables,
ඵ…න
????????????
�integrales
??????�−�??????
����
����
donde ??????
??????representa el cotradominiode la función �.
43
Funciones Biunívocas y diferenciables
•resolviendo el sistema de ecuaciones �=�(�)para �
��=�
�(�)��
donde �
�(�)denota el jacobianode la transformación
�(�).
•Considerando el cambio de variables,
ඵ…න
????????????
�integrales
??????�−�??????
����
����
donde ??????
??????representa el cotradominiode la función �.
43
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
•Considerando la propiedad de la función
impulso, según la cual, para ��−dimensional
ඵ…න
�
�integrales
??????�−�����
=ቊ
��;�∈�
0;�∉�
44
Funciones Biunívocas y diferenciables
•Considerando la propiedad de la función
impulso, según la cual, para ��−dimensional
ඵ…න
�
�integrales
??????�−�����
=ቊ
��;�∈�
0;�∉�
44
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
•se obtiene
??????
��=൝
??????
����
��;�∈??????
�
0 ;�∉??????
�
•observando también
�
��=
1
�
�(�(�))
•se obtiene
??????
�(�)=
อ
??????
��
�
��
�=��=�
−1
�
;�∈??????
�
0 ;�∉??????
�
45
Funciones Biunívocas y diferenciables
•se obtiene
??????
��=൝
??????
����
��;�∈??????
�
0 ;�∉??????
�
•observando también
�
��=
1
�
�(�(�))
•se obtiene
??????
�(�)=
อ
??????
��
�
��
�=��=�
−1
�
;�∈??????
�
0 ;�∉??????
�
45
[email protected]
Funciones Biunívocas y diferenciables
??????
��= อ
??????
��
�
��
�=�
−1
�
??????
????????????
(�)
donde ??????
????????????
(�)representa una función indicadora
de ??????
??????. �
??????(�)denota el Jacobianode la
transformación �(�).
46
Funciones Biunívocas y diferenciables
??????
��= อ
??????
��
�
��
�=�
−1
�
??????
????????????
(�)
donde ??????
????????????
(�)representa una función indicadora
de ??????
??????. �
??????(�)denota el Jacobianode la
transformación �(�).
46
FUNCIONES GENÉRICAS
47
47
[email protected]
Funciones Genéricas
•La función �(�)es descompuesta en ??????
funciones �
1�,�
2�,…,�
??????(�), definidas,
respectivamente, en las regiones ??????
1,??????
2,…,??????
??????
y con contradominiosrepresentados
respectivamente por ??????
�
1
,??????
�
2
,…,??????
�
??????
.
•La fdpde la v.a.�=�(�)es dada por
??????
��=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????��−�??????
����
48
Funciones Genéricas
•La función �(�)es descompuesta en ??????
funciones �
1�,�
2�,…,�
??????(�), definidas,
respectivamente, en las regiones ??????
1,??????
2,…,??????
??????
y con contradominiosrepresentados
respectivamente por ??????
�
1
,??????
�
2
,…,??????
�
??????
.
•La fdpde la v.a.�=�(�)es dada por
??????
��=න
−∞
∞
…න
−∞
∞
�integrales
??????��−�??????
����
48
[email protected]
Funciones Genéricas
??????
��
=
??????=1
??????
ඵ…න
??????
??????
�integrales
??????�
??????�−�??????
����
??????
??????(�)
Las porciones que corresponden a las funciones
�
??????(�)constantes (y iguales a ??????
??????) son dadas por
49
Funciones Genéricas
??????
��
=
??????=1
??????
ඵ…න
??????
??????
�integrales
??????�
??????�−�??????
����
??????
??????(�)
Las porciones que corresponden a las funciones
�
??????(�)constantes (y iguales a ??????
??????) son dadas por
49
[email protected]
Funciones Genéricas
??????
??????�=??????�−??????
??????ඵ…න
??????
??????
�integrales
??????
����
=??????�−??????
????????????(�∈??????
??????)
•Las porciones que corresponden las funciones
�
??????(�)biunívocas y diferenciables serán dadas por
??????
??????�= อ
??????
��
�
�
??????
�
�=�
??????
−1
�
??????
??????�
??????
(�)
50
Funciones Genéricas
??????
??????�=??????�−??????
??????ඵ…න
??????
??????
�integrales
??????
����
=??????�−??????
????????????(�∈??????
??????)
•Las porciones que corresponden las funciones
�
??????(�)biunívocas y diferenciables serán dadas por
??????
??????�= อ
??????
��
�
�
??????
�
�=�
??????
−1
�
??????
??????�
??????
(�)
50
[email protected]
Funciones Genéricas
•Finalmente
??????
��
=
??????∈�
??????�−??????
????????????(�∈??????
??????)+
??????∈ℬ
อ
??????
��
�
�
??????
�
�=�
??????
−1
�
??????
??????�
??????
(�)
�
=conjuntodeíndices??????talesque�
??????�esconstanteen??????
??????
ℬ
={conjuntodelosíndices??????talesque�
??????�esbiunívocay
diferenciableen??????
??????}
51
Funciones Genéricas
•Finalmente
??????
��
=
??????∈�
??????�−??????
????????????(�∈??????
??????)+
??????∈ℬ
อ
??????
��
�
�
??????
�
�=�
??????
−1
�
??????
??????�
??????
(�)
�
=conjuntodeíndices??????talesque�
??????�esconstanteen??????
??????
ℬ
={conjuntodelosíndices??????talesque�
??????�esbiunívocay
diferenciableen??????
??????}
51
REFERENCIAS
52
52
[email protected]
Referencias
•ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
•Marco Grivet, ProcesosEstocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones–CETUC, 2006. [Slide]
•Universidadde Cantabria, Teoríade laProbabilidad, Teoría
de laComunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
•ALBERTO LEON-GARCIA,Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering,ThirdEdition, Pearson –Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
53
Referencias
•ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
•Marco Grivet, ProcesosEstocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones–CETUC, 2006. [Slide]
•Universidadde Cantabria, Teoríade laProbabilidad, Teoría
de laComunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
•ALBERTO LEON-GARCIA,Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering,ThirdEdition, Pearson –Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
53
Esta obra esta bajo licencia CreativeCommons
de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras
Derivadas, Ecuador 3.0
www.creativecommons.org
[email protected]
54
de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras
Derivadas, Ecuador 3.0
www.creativecommons.org
[email protected]
54
Categories
EducationDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 1,168
- Slides 54
- Age 2481 days
Related Slideshows
11
TLE-9-Prepare-Salad-and-Dressing.pptxkkk
MaAngelicaCanceran
34 views
12
LESSON 1 ABOUT MEDIA AND INFORMATION.pptx
JojitGueta
29 views
60
GRADE-8-AQUACULTURE-WEEKQ1.pdfdfawgwyrsewru
MaAngelicaCanceran
45 views
26
Feelings PP Game FOR CHILDREN IN ELEMENTARY SCHOOL.pptx
KaistaGlow
45 views
![Jeopardy_Figures_of_Speech_Template.pptx [Autosaved].pptx](https://slidepub.com/thumb/5828/284015828.jpg)
54
Jeopardy_Figures_of_Speech_Template.pptx [Autosaved].pptx
acecamero20
28 views
7
Jeopardy_Figures_of_Speech.pptxvdsvdsvsdvsd
acecamero20
29 views