5.6 Distribución Normal Bidimensional-1.pptx

Probabilidad y estadística

1. Probabilidad y Estadística Unidad 5: Regresión y correlación 5.6 Distribución Normal Bidimensional Miembros del equipo: -Genaro Lugo torres -Daniel Rodríguez Hernández -Luis Gabriel Juárez Hernández

2. Introducción La distribución normal bidimensional es una extensión de la distribución normal unidimensional, que permite modelar la relación conjunta entre dos variables aleatorias continuas. Este tipo de distribución es ampliamente utilizado en campos como la estadística, la economía, la ingeniería y las ciencias sociales para analizar fenómenos en los que dos variables están correlacionadas. La distribución normal bidimensional permite no solo describir las propiedades individuales de cada variable, sino también entender la interdependencia entre ellas. En este trabajo se describe la distribución normal bidimensional, se presentan sus principales características y se resuelve un ejercicio que ilustra su aplicación práctica.

3. Desarrollo teórico Definición de la Distribución Normal Bidimensional La distribución normal bidimensional describe la distribución conjunta de dos variables aleatorias continuas X y Y , ambas normalmente distribuidas, y que pueden estar correlacionadas. La función de densidad conjunta de una distribución normal bidimensional está dada por:

4. Donde: - μₓ y μᵧ son las medias de X y Y . - σₓ y σᵧ son las desviaciones estándar de X y Y . - ρ es el coeficiente de correlación entre X y Y . Esta ecuación describe cómo varían conjuntamente X y Y alrededor de sus medias, y la forma en que la correlación ρ afecta la forma de la distribución.

5. Propiedades 1. Simetría: Al igual que la distribución normal unidimensional, la distribución normal bidimensional es simétrica en torno a sus medias. 2. Coeficiente de correlación : La correlación ρ determina la dependencia lineal entre X y Y , influyendo en la inclinación y en la forma de la elipse de dispersión. 3. Función de distribución marginal : Las distribuciones marginales de X y Y son normales unidimensionales.

6. Ejemplo de aplicación: Supongamos que las variables X y Y representan, respectivamente, los puntajes en dos exámenes de habilidades. Estos puntajes siguen una distribución normal bidimensional con μₓ = 70, μᵧ = 65, σₓ = 10, σᵧ = 15 y una correlación ρ = 0.6. Queremos encontrar la probabilidad de que una persona obtenga un puntaje entre 60 y 80 en X y entre 55 y 75 en Y. 1. Transformación de las variables: Convertimos las variables originales a variables estandarizadas Zₓ y Zᵧ, donde: Aplicando esta transformación a los límites, tenemos:

7. 2. Uso de tablas : Calculamos la probabilidad conjunta usando la función de distribución acumulativa bivariada , disponible en tablas específicas para la distribución normal bivariada o mediante software estadístico . 3. Resultado : La probabilidad obtenida representa la probabilidad conjunta de que X y Y estén dentro de los intervalos dados. En este caso , obtenemos que P(60 ≤ X ≤ 80, 55 ≤ Y ≤ 75) ≈ 0.22, lo que indica que hay una probabilidad del 22% de que un individuo esté dentro de los rangos especificados .

8. Ejercicio propuesto: Supón que las variables aleatorias X y Y , que representan el tiempo de vida en horas de dos componentes eléctricos diferentes, están distribuidas según una distribución normal bidimensional con los siguientes parámetros: Media de X: μX =100 horas Media de Y: μY =120 horas Desviación estándar de X: σX =10 Desviación estándar de Y: σY =15 Covarianza entre X y Y: σXY =30 Se pide: Calcular el coeficiente de correlación ρ entre X y Y . Calcular la probabilidad marginal de que el tiempo de vida del primer componente X sea menor a 110 horas, es decir, P(X<110)P(X < 110)P(X<110).

9. Ejercicio propuesto:

10. Conclusión La distribución normal bidimensional es una herramienta fundamental en el análisis estadístico de variables correlacionadas, permitiendo describir tanto las propiedades individuales de cada variable como su relación conjunta. A través del ejemplo resuelto, se muestra cómo esta distribución permite calcular probabilidades conjuntas, facilitando la comprensión de fenómenos donde dos variables están relacionadas. La aplicación de la distribución normal bidimensional es extensa, desde el análisis de datos hasta la investigación científica, haciendo de ella una pieza clave en el estudio de fenómenos multidimensionales.

11. ¡ GRACIAS POR SU ATENCIÓN!