8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.ppt

Apresentação do conteúdo de matemática sobre Congruência e Semelhança.

1. CONGRUÊNCIA

8. [Congruência de Triângulos]
Aidéiadecongruência:duasfiguras
planassãocongruentesquandotêma
mesmaformaeasmesmasdimensões
(istoé,omesmotamanho).

9. ParaescreverquedoistriângulosABCe
DEFsãocongruentes,usaremosa
notação:ABC DEF  

10. Consideremos os triângulos abaixo:
A
C
B R
T
S

11. Existecongruênciaentreoslados:
AB e RS, BC e ST, CA e TR
eentreosângulos:
A e R , B e S , C e T
Daí,otriânguloABCécongruenteao
triânguloRST.Escrevemos:ABC RST  

12. Doistriângulossãocongruentes,seos
seuselementoscorrespondentessão
ordenadamentecongruentes,istoé,os
ladoscorrespondenteseosângulos
correspondentesdostriângulostêmas
mesmasmedidas.

13. Paraverificarsedoistriângulossão
congruentes,nãoénecessárioconhecera
medidadetodososelementos.Basta
conhecertrêselementos,entreosquais
estejapresentepelomenosumlado.

15. [LLL(Lado,Lado,Lado)]Ostrêslados
sãoconhecidos.
Sedoistriângulostêm,ordenadamente,
ostrêsladoscongruentes,entãoelessão
congruentes.Observequeoselementos
congruentestêmamesmamarca.

16. R S
T
A
C
B

17. [LAL(Lado,Ângulo,Lado)]Dadosdois
ladoseumângulo.
Sedoistriângulostêmordenadamente
congruentesdoisladoseoângulo
compreendido, então eles são
congruentes.

18. BA
C
R S
T

19. [ALA(Ângulo,Lado,Ângulo)]Dados
doisânguloseumlado.
Sedoistriângulostêmordenadamente
congruentesumladoeosdoisângulosa
eleadjacentes,entãoelessão
congruentes.

20. A
C
BR S
T

21. [LAA
o(Lado,Ângulo,Ângulooposto)]:
Conhecidoumlado,umânguloeum
ânguloopostoaolado.
Sedoistriângulostêmordenadamente
congruentesumlado,umângulo
adjacenteeoânguloopostoaesselado
entãoelessãocongruentes.

22. BA
C
R S
T

24. [ Exemplo 1 ]:
Nafigura,otriânguloABCécongruente
aotriânguloDEC.Determineovalordex
ey.
E
A D
C
B
.
.
3x
5y
y + 48°
2x + 10°

25. [Solução]:
3x
5y
y + 48°
E
A D
C
B
.
.
2x + 10°
ComoostriângulosABCe
DECsãocongruentes(nessa
ordemdeelementos),
Temosque3x=2x+10°e
5y=y+48°,logo,
x=10°ey=12°.

26. [Proposição 1] A soma das medidas de
quaisquer dois ângulos internos de um
triângulo é menor que 180°.
[Demonstração]
Sabemosqueasomadosângulos
internosdeumtriânguloé180°,logo,a
somadedoisdelesémenorque180°.

27. [Corolário 1]
Todotriângulopossuipelomenosdois
ângulosinternosagudos.

29. Doistriângulosquetêmosmesmos
ângulosNÃOsão,necessariamente
congruentes.

30. CONTEÚDOS
•Triângulos
Definição
Critérios de semelhança
Exemplos

31. Definição [Semelhança de Triângulos]
Doistriângulossãosemelhantesse,e
somentese,possuemostrêsângulos
ordenadamentecongruenteseoslados
correspondentes (homólogos)
proporcionais.'A 'C 'B 'c 'a 'b A C B c a b

32. 'A 'C 'B 'c 'a 'b A C B c a b ' ' 'ABC A B C  A A'
B B'
' ' '
C C'
abc
ek
abc



   




 onde k é a razão de semelhança.

33. [ Exemplo1]
OstriângulosABCeA’B’C’dafigura
abaixosãosemelhantes.Searazãode
semelhançado1°parao2°é3/2,
determine:
(1) Os lados do ▲ABC,
(2) A razão entre seus perímetros. 'A 'C 'B 10 14 12 A C B c a b

34. [ Solução]
Utilizando a razão de semelhança temos3
14 12 10 2
a b c
  3
14 2
a
  21a 3
12 2
b
  18b 3
10 2
c
  15c 





35. [ Solução]
Dessaformaoperímetrodo▲ABCé
54u.c.Verificandoarazãoentreos
perímetrosdessestriângulostemos: 
 
2 54 3
2 ' ' ' 36 2
p ABC
p A B C



Arazãoentreosperímetroséigualàrazão
desemelhançaentreeles.

36. [ Teorema Fundamental]
Seumaretaéparalelaaumdosladosde
umtriânguloeinterceptaosoutrosdois
empontosdistintos,entãootriânguloque
eladeterminaésemelhanteaoprimeiro.//DE BC ADE ABC  A C B D E

37. [ Exemplo 2]
SeasretasDEeBCsãoparalelas,
determineovalordex.A C B D E 3 6 x 8

38. [ Solução]
Jásabemos(peloteoremaanterior)que
ostriângulosABC eADE são
semelhantes.Vamosentão:
(1)separar as figuras
(2)escrever a proporção entre os lados
conhecidos.

39. A C B D E 3 6 x 8 A C B 9 x A D E 6 8 [ Solução]

40. Escrevendo a proporção entre os lados
correspondentes temos68
9x
 6 72x 12x A C B 9 x A D E 6 8
[ Solução]

42. [ Critérios de Semelhança]
Em resposta à pergunta anterior temos:
[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos
ordenadamente congruentes são
semelhantes.BD A C B D E A´e angulo comum ADE ABC 

43. [ Critérios de Semelhança]
[2ºcaso]Doistriângulosquepossuem
doisladosproporcionaisecomângulos
compreendidos congruentes são
semelhantes.A C B c b 'A 'C 'B 'c 'b 'AA ''
bc
k
bc
 ' ' 'ABC A B C 

44. [ Critérios de Semelhança]
[3ºcaso]Doistriângulosquepossuemos
ladoscorrespondentesproporcionaissão
semelhantes.' ' '
abc
k
abc
   ' ' 'ABC A B C  A C B c b a 'A 'C 'B 'c 'b 'a

45. [ Exemplo 3]
Na figura abaixo, obtenha x:. x . 5 8 15 17 A C B D E

46. [Solução ]
Inicialmenteseparamosostriângulose
verificamosemqualcasodesemelhança
elesseenquadram. 8 15 17 A C B B D E x 5 .

47. [Solução ]
Estãoenvolvidosdoistriângulos
retânguloscomoângulodovérticeB
comumaosdois.Portantoseenquadram
no1°caso.. 8 15 17 A C B B D E x 5 .

48. [ Solução]
Portanto. 8 15 17 A C B B D E x 5 . 8 15
5x
 15 40x 40
15
x 8
3
x   

49. [ Exemplo4]
Determine a medida do lado do quadrado
na figura abaixo:6 . . . . A C B 4 D E 



50. [ Solução]
ObservamosqueostriângulosEDCe
ABCsãosemelhantespelo1°caso.
Chamemosoladodoquadradodex,
assim6 . . . . A C B 4 D E 

 x x x x 4x

51. [ Solução]6 . . . . A C B 4 D E 

 x x x x 4x
Portanto:4
46
xx
 4 24 6xx 10 24x 2,4x   

52. [ Referências]
•Iezzi,Gelson.Matemática:Ciênciae
aplicações.SãoPaulo:EditoraAtual,2004.
•Giovanni,JoséRuy.Matemática:Conjuntos,
Funções eProgressões.SãoPaulo:
FTD,1992.

53. Crescer é
Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.
Dar espontaneamente sem cobrar
inconscientemente. ...
Aprender a ser feliz de dentro para fora. ...
Sentir a vida na natureza. ...
Reconhecer nossos erros e valorizar
nossas virtudes. ...
Entender que temos o espaço de uma vida
inteira para crescer. ...
Assumir que nunca seremos grandes, que
o importante é estar sempre crescendo.