Advances in inequalities for special functions Pietro Cerone

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Advances in inequalities for special functions
Pietro Cerone
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Advances in inequalities for special functions Pietro
Cerone Digital Instant Download
Author(s): Pietro Cerone, Sever Silvestru Dragomir
ISBN(s): 9781606926215, 1606926217
Edition: illustrated edition
File Details: PDF, 1.55 MB
Year: 2008
Language: english

ADVANCES IN INEQUALITIES
FOR SPECIAL FUNCTIONS

Advances in Mathematical Inequalities
SEVER S. DRAGOMIR (SERIES EDITOR)

Advances in Inequalities from Probability Theory and Statistics
Neil S. Barnett and Sever S. Dragomir
1-60021-943-8

Advances in Inequalities for Special Functions
Pietro Cerone and Sever S. Dragomir
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Inequalities for Random Variables over a Finite Interval
Neil S. Barnett; Pietro Cerone and Sever S. Dragomir
1-60021-909-8

Advances in Inequalities for Series
Sever S. Dragomir and Anthony Sofo
1-60021-920-9

ADVANCES IN INEQUALITIES
FOR SPECIAL FUNCTIONS

PIETRO CERONE AND SEVER S. DRAGOMIR
Editors

Nova Science Publishers, Inc.
New York

Copyright © 2008 by Nova Science Publishers, Inc.

All rights reserved. No part of this book may be reproduced, stored in a retrieval system or
transmitted in any form or by any means: electronic, electrostatic, magnetic, tape, mechanical
photocopying, recording or otherwise without the written permission of the Publisher.

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AMERICAN BAR ASSOCIATION AND A COMMITTEE OF PUBLISHERS.

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Advances in inequalities for special functions / Pietro Cerone and Sever S. Dragomir, editors.
p. cm.
Includes index.
ISBN-13: 978-1-60692-621-5
1
. Functions, Special. 2. Inequalities (Mathematics) I. Dragomir, Sever Silvestru. II. Cerone,
Pietro.
QA351.A375 2008
515'.5--dc22
2007030612

Published by Nova Science Publishers, Inc. New York

Contents
Preface
.......................................................................... vii
P. Cerone
Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation...... 1
P. Cerone and S. S. Dragomir
Inequalities for Positive Dirichlet Series.......................... 37
Stamatis Koumandos
Monotonicity of the Mean Value Function of Normalized Bessel
Functions of First Kind................................... 67
Andrea Laforgia and Pierpaolo Natalini
Sturm Theory for Some Classes of Sturm-Liouville Equations and
Inequalities and Monotonicity Properties for the Zeros of Bessel Functions....... 73
Milan Merkle
Inequalities for the Gamma Function via Convexity................... 81
Istv´an Mez˝o
Some Inequalities for Hyperharmonic Series........................ 101
Edward Neuman
The Hermite-Hadamard Inequalities for Double Dirichlet Averages
and Their Applications to Special Functions........................ 107
B. G. Pachpatte
On New Inequalities Involving Convex Functions..................... 119
Tibor K. Pog´any
On Growth Rates of Weierstraß℘
0
(z) and℘(z)...................... 125
J´ozsef S´andor
On Certain Special Functions of Number Theory
and Mathematical Analysis................................. 133
Mehmet Zeki Sarikaya and H¨useyin Yildirim
On the Operator⊕
k
B
Related to the Bessel-wave Equation
and Laplacian-Bessel..................................... 149
ˇZivorad Tomovski
Inequalities for Walsh Polynomials with Semi-monotone Coeﬃcients
of Higher Order........................................ 161
Index............................................................................. 169

Preface
This book is the ﬁrst in a collection of research monographs that are devoted to presenting
recent research, development and use of Mathematical Inequalities for Special Functions.
All the papers incorporated in the book have peen peer-reviewed and they cover a range
of topics that include both survey material of previously published works as well as new
results.
In his presentation on special functions approximations and bounds via integral represen-
tation, Pietro Cerone utilizes the classical Steﬀensen inequality and bounds for theˇCebyˇsev
functional to obtain bounds for some classical special functions. The methodology relies
on determining bounds on integrals of products of functions. The techniques are used to
obtain novel and useful bounds for the Bessel function of the ﬁrst kind, the Beta function,
the Zeta function and Mathieu series.
Pietro Cerone & Sever S. Dragomir then survey some recent results of the authors
concerning inequalities for Dirichlet series with positive terms. Applications for the Zeta
function and other related functions are also provided.
Stamatis Koumandos then investigates the monotonicity of the mean value function
of normalized Bessel functions of the ﬁrst kind while Milan Merkle surveys the tools and
techniques that are shown useful in producing inequalities for the Euler gamma function via
convexity.
It has been over 150 years since the ﬁrst formulation of the Sturm comparison theorem
concerning solutions of second order linear diﬀerential equations. In these years the theo-
rem has been extended to higher order diﬀerential equations, to partial diﬀerential equations
and to diﬀerence equations. The aim of the paper authored by Andrea Laforgia & Pier-
paolo Natalini is to present a survey of the most important inequalities and monotonicity
properties of the zeros of Bessel functions. The results are obtained as a consequence of
the Sturm comparison theorem. The notion of hyperharmonic numbers is rather new. In
his contribution, Some Inequalities for Hyperharmonic Series, Istv´an Mez¨o establishes some
new inequalities for these numbers as well as an upper bound for Ramsey numbers.
Further, Edward Newman establishes some new Hermite-Hadamard type inequalities for
double Dirichlet averages of univariate functions and investigates their applications to special
functions with emphasis on Lauricellas hypergeometric function FB and Jacobi polynomials
while Baburao G. Pachpatte obtains some new inequalities of Hermite-Hadamard type for
the product of two convex respectively two logarithmic convex functions.
In his contribution on certain special functions of Number Theory and Mathematical
Analysis, J´ozsef S´andor oﬀers a survey of results on certain special number theoretical
functions as well as their real variable analogues that have been initiated by the author.
In his paper Tibor K. Pog´any investigates the growth rates of the Weierstrass functions
℘
0
(z) and℘(z) while Mehmet Zeki Sarikaya and H¨useyin Yildirim explore properties of the
operator⊕
k
B
Related to the Bessel-wave equation and the Laplacian-Bessel operator.
Finally, on utilising the concept of majorant sequence some new inequalities for Walsh
polynomials with p-times complex semi-monotone and p-times complex monotone sequence
are obtained by Zivorad Tomovski. Inequalities for p-times monotone sequences of nonneg-
ative real numbers are also obtained. These results generalize some inequalities for Walsh
polynomials with semi-monotone and semi-convex coeﬃcients, obtained by the author in an
earlier paper.
We hope that you ﬁnd the volume interesting, stimulating and suggestive of new ideas
for future research in the highly dynamic ﬁeld of Special Function Theory.
P. Cerone and S. S. Dragomir, Editors.

In: Advances in Inequalities for Special Functions
Editors: P. Cerone and S. S. Dragomir, pp. 1–35
ISBN 978-1-60021-919-1
c2008 Nova Science Publishers, Inc.
Special Functions Approximations and Bounds via Integral
Representation
P. Cerone
School of Computer Science and Mathematics
Victoria University, PO Box 14428
MCMC 8001, Victoria, Australia
E-mail address: [email protected]
Abstract.The Steﬀensen inequality and bounds for the
ˇ
Cebyˇsev functional are utilised to
obtain bounds for some classical special functions. The methodology relies on determining
bounds on integrals of products of functions. The above techniques are used to obtain novel
and useful bounds for the Bessel function of the ﬁrst kind, the Beta function, the Zeta function
and Mathieu series.
1991 Mathematics Subject Classiﬁcation:Primary 26D15, 26D20; Secondary 26D10.
Key words and phrases:
ˇ
Cebyˇsev functional, Gr¨uss inequality, Bessel, Beta and Zeta
function bounds, Mathieu series.
1 Introduction and Review of Some Recent Results
There are a number of results that provide bounds for integrals of products of functions.
The main techniques that shall be employed in the current article involve the Steﬀensen
inequality and a variety of bounds related to theˇCebyˇsev functional. There have been some
developments in both of these in the recent past with which the current author has been
involved. These have been put to fruitful use in a variety of areas of applied mathematics
including quadrature rules, in the approximation of integral transforms, as well as in applied
probability problems (see [30], [20] and [12]).
It is intended that in the current article the techniques will be utilised to obtain useful
bounds for special functions. The methodologies will be demonstrated through obtaining
bounds for the Bessel function of the ﬁrst kind, the Beta function, the Zeta function and
Mathieu series.
It is instructive to introduce some techniques for approximating and bounding integrals
of the product of functions. We ﬁrst present inequalities due to Steﬀensen and then review
bounds for theˇCebyˇsev functional.
The following theorem is due to Steﬀensen [52] (see also [12] and [17]).
Theorem 1.1.Leth:[a, b]→Rbe a nonincreasing mapping on[a, b]andg:[a, b]→Rbe
an integrable mapping on[a, b]with
−∞<φ≤g(t)≤Φ<∞for allx∈[a, b],

2 P. Cerone
then
φ
Z
b−λ
a
h(x)dx+Φ
Z
b
b−λ
h(x)dx≤
Z
b
a
h(x)g(x)dx(1.1)
≤Φ
Z
a+λ
a
h(x)dx+φ
Z
b
a+λ
h(x)dx,
where
(1.2) λ=
Z
b
a
G(x)dx, G(x)=
g(x)−φ
Φ−φ
,Φ6=φ.
Remark 1.1.We note that the result (1.1
known result that (1.3)
Z
b
b−λ
h(x)dx≤
Z
b
a
h(x)G(x)dx≤
Z
a+λ
a
h(x)dx,
whereλis as given by (1.20≤G(x)≤1.
Equation (1.3
divide byλthen
(1.4)
1
λ
Z
b
b−λ
h(x)dx≤
R
b
a
G(x)h(x)dx
R
b
a
G(x)dx
≤
1
λ
Z
a+λ
a
h(x)dx.
Thus, the weighted integral mean ofh(x)is bounded by the integral means over the end
intervals of lengthλ,the total weight.
Now, for two measurable functionsf,g:[a, b]→R, deﬁne the functional, which is known
in the literature as
ˇ
Cebyˇsev’s functional, by
(1.5) T(f,g):=M(fg)−M(f)M(g),
where the integral mean is given by
(1.6) M(f):=
1
b−a
Z
b
a
f(x)dx.
The integrals in (1.5
The weighted
ˇ
Cebyˇsev functional is deﬁned by
(1.7) T(f,g;p):=M (fg;p)−M(f;p)M(g;p),
where the weighted integral meanM(f;p) is given by
(1.8) P∙M(f;p)=
Z
b
a
p(x)f(x)dx, P=
Z
b
a
p(x)dx
with the weightPsatisfying 0<P<∞.
We note that
T(f,g;1)≡T(f,g) andM(f;1)≡M(f).
We further note that bounds for (1.5
the integral mean of the product of functions in terms of the product of integral means which

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 3
are more easily calculated explicitly. Bounds are perhaps best procured from identities. It
is worthwhile noting that a number of identities relating to theˇCebyˇsev functional already
exist (The reader is referred to [42] Chapters IX and X.). Korkine’s identity is well known,
see [42, p. 296] and is given by
(1.9) T(f,g)=
1
2(b−a)
2
Z
b
aZ
b
a
(f(x)−f(y)) (g(x)−g(y))dxdy.
It is identity (1.9
bounded above and below, [42]. Namely, the Gr¨uss inequality [38] is given by
(1.10) |T(f,g)|≤
1
4
Γ
Φ
f−φ
f
∆Γ
Φ
g−φ
g
∆
,
whereφ
f≤f(x)≤Φ fforx∈[a, b],withφ
f,Φfconstants and similarly forg(x).
The interested reader is also referred to Dragomir [29] and Fink [35] for extensive treat-
ments of the Gr¨uss and related inequalities.
Identity (1.9 ˇCebyˇsev inequality which states that for
f(∙) andg(∙) synchronous, namely (f (x)−f(y)) (g(x)−g(y))≥0,a.e.x, y∈[a, b],then
(1.11) T(f,g)≥0.
As mentioned earlier, there are many identities involving the
ˇ
Cebyˇsev functional (1.5
or more generally (1.7 f,g:[a, b]→Rwherefis of
bounded variation andgcontinuous on [a, b ],the identity
(1.12) T(f,g)=
1
(b−a)
2
Z
b
a
ψ(t)df(t),
where
(1.13) ψ(t)=(t−a)G(t, b)−(b−t)G(a, t)
with
(1.14) G(c, d)=
Z
d
c
g(x)dx.
The following theorem was proved in [12].
Theorem 1.2.Letf,g:[a, b]→R, wherefis of bounded variation andgis continuous
on[a, b].Then
(1.15 b−a)
2
|T(f,g)|≤













sup
t∈[a,b]
|ψ(t)|
bW
a
(f),
L
R
b
a
|ψ(t)|dt, forfL−Lipschitzian,
R
b
a
|ψ(t)|df(t), forfmonotonic nondecreasing,
where
W
b
a
(f)is the total variation offon[a, b].

4 P. Cerone
The bounds for the
ˇ
Cebyˇsev functional were utilised to procure approximations to mo-
ments and moment generating functions in [12] and [22].
The reader is referred to [30] and the references therein for applications to numerical
quadrature of trapezoidal and Ostrowski functionals, which were shown to be related to the
ˇ
Cebyˇsev functional in [16].
For other Gr¨uss type inequalities, see the books [8] and [42], and the papers [19], [21],
[25], [28], [29], where further references are given.
Recently, Cerone and Dragomir [19] – [21] have pointed out generalisations of the above
results for integrals deﬁned on two diﬀerent intervals [a, b] and [c, d] and more generally in
a measurable space setting (see also, [7] and [15]).
The functionalT(f,g;p) deﬁned in (1.7
due to Sonin [47]
(1.16) P∙|T(f,g;p)|=

Z
b
a
p(x)(f(x)−γ)(g(x)−M(g;p))dx

to give
(1.17) P∙|T(f,g;p)|≤

























inf
γ∈R
kf(∙)−γk
Z
b
a
p(x)|g(x)−M(g;p)|dx,

Z
b
a
p(x)(f(x)−M(f;p))
2
dx
!
1
2
×

Z
b
a
p(x)(g(x)−M(g;p))
2
dx
!
1
2
,
where
(1.18)
Z
b
a
p(x)(h(x)−M(h;p))
2
dx=
Z
b
a
p(x)h
2
(x)dx−P∙M
2
(h;p)
andPis as deﬁned in (1.8
(1.19
γ∈R
"
Z
b
a
p(x)(f(x)−γ)
2
dx
#
=
Z
b
a
p(x)(f(x)−M(f;p))
2
dx.
Some of the above results are used to ﬁnd bounds for the Bessel function (Section 2),
the Beta function (Section 3), the Zeta function (Section 4) and Mathieu series (Section 5).
2 Bounding the Bessel Function
In this section we investigate techniques for determining bounds on the Bessel function of
the ﬁrst kind (see also [13], [14]).
In Abramowitz and Stegun [1] equation (9.1.21
(2.1) J
ν(z)=γ
ν(z)
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
cos (zt)dt,Re (ν)>−
1
2
,
where
(2.2) γ
ν(z)=
2
Γ
z
2
∆
ν
√
πΓ
Γ
ν+
1
2
∆.
For the current work the interest is in bothzandνreal.

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 5
Theorem 2.1.Forzreal then
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
´
−B
`
1
2
,ν+
1
2
;(1−λ)
2
´
(2.3)
≤
J
ν(z)
γ
ν(z)
≤B
`
1
2
,ν+
1
2
;λ
2
´
−
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
´
,ν>
1
2
and
B
`
1
2
,ν+
1
2
;λ
2
´
−
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
´
(2.4)
≤
J
ν(z) γ
ν(z)
≤
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
´
−B
`
1
2
,ν+
1
2
;(1−λ)
2
´
,−
1
2
<ν<
1
2
,
where
(2.5)B(α, β;x)=
Z
x
0
u
α−1
(1−u)
β−1
du,the incomplete Beta function,
(2.6) B(α, β)=B(α, β;1)=
Γ(α)Γ(β)
Γ(α+β)
,the Beta function,
and
(2.7) 2λ−1=
sinz
z
.
Proof.Consider the caseν>
1
2
thenh(t)=
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
is nonincreasing fort∈[0,1].
Further, takingg(t) = cosztwe have that−1≤g(t)≤1 fort∈[0,1] and, from (1.2
λ=
1
2
Z
1
0
(coszt+1)dt=
1
2
`
1+
sinz
z
´
.
Thus, from Theorem 1.1, we have
−
Z
1−λ
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt+
Z
1
1−λ
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt
≤
J
ν(z)
γ
ν(z)
≤
Z
λ
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt−
Z
1
λ
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt,
that is,
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt−2
Z
1−λ
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt(2.8)
≤
J
ν(z)
γ
ν(z)
≤2
Z
λ
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt−
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt.

6 P. Cerone
If we let
(2.9) G(α)=
Z
α
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt
then (2.8
(2.10) G(1)−2G(1−λ)≤
J
ν(z)
γ
ν(z)
≤2G(λ)−G(1).
A simple change of variableu=t
2
in (2.9
G(α)=
1
2
Z
α
2
0
u
−
1
2(1−u)
ν−
1
2
du
and so
(2.11) G(α)=
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
,α
2
´
,
whereB(α, β;x) is the incomplete beta function as given by (2.5
Thus substituting (2.11
For−
1
2
<ν<
1
2
thenh(t) is nondecreasing fort∈[0,1] and thus the inequalities in
(2.2
Remark 2.1.If we takeν=
1
2
in either (2.3
J
1
2
(z)
γ1
2
(z)
=
sinz
z
.
Remark 2.2.We note from (2.1
forJ
ν(z),namely
|J
ν(z)|≤
2
ı
|z|
2
≡
ν
√
πΓ
Γ
ν+
1
2
∆
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt,
where from (2.9
(2.12)
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt=
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
´
=
1
2
∙
Γ
Γ
1
2
∆
Γ
Γ
ν+
12
∆
Γ(ν+1)
to give
(2.13) |J
ν(z)|≤

z
2

ν 1
Γ(ν+1)
.
The following theorem gives a bound on the deviation of the Bessel function from an
approximant. This is accomplished via bounds on theˇCebyˇsev functional for which there
are numerous results.

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 7
Theorem 2.2.The following result holds for the Bessel function of the ﬁrst kindJ ν(z).
Namely,
(2.14)

J
ν(z)−
Γ
z
2
∆
ν
Γ(ν+1)
∙
sinz
z

≤
`
|z|
2
´
ν
"
2
√
π
∙
Γ(2ν)
Γ
2
Γ
ν+
12
∆
Γ
Γ
2ν+
12
∆−
1
Γ
2
(ν+1)
#
1
2
×
"
ı
cosz
4
η
2
+
1
2
−
`
sinz
z
−
cosz
4
´
2
#1
2
.
Proof.From (2.1
(2.15) Q
ν(z)=
J
ν(z)
γ
ν
(z)
=
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
cos (zt)dt.
Letf(t)=
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
andg(t) = coszt.
Now,
(2.16) M(g)=
Z
1
0
cos (zt)dt=
sinz
z
and from (2.12
(2.17) M(f)=
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
ν−
1
2
dt=
1
2
B
`
1
2
,ν+
1
2
´
=
√
π
2
∙
Γ
Γ
ν+
1
2
∆
Γ(ν+1)
.
Thus, from (1.17
(2.18)

Q
ν(z)−
√
π
2
∙
Γ
Γ
ν+
1
2
∆
Γ(ν+1)
∙
sinz
z

≤
`Z
1
0
f
2
(t)dt−M
2
(f)
´
1
2
×
`Z
1
0
g
2
(t)dt−M
2
(g)
´
1
2
.
We have, from (2.17
(2.19)
Z
1
0
f
2
(t)dt=
Z
1
0
Γ
1−t
2
∆
2ν−1
dt=
√
π
2
∙
Γ(2ν)
Γ
Γ
2ν+
1
2
∆
and
(2.20)
Z
1
0
g
2
(t)dt=
Z
1
0
cos
2
(zt)dt=
1
2
`
1+
sinz
z
∙cosz
´
.
Substitution of (2.19
(2.21)

Q
ν(z)−
√π
2
∙
Γ
Γ
ν+
1
2
∆
Γ(ν+1)
∙
sinz
z

≤


√
π
2
∙
Γ(2ν)
Γ
Γ
2ν+
1
2
∆−
π
4
∙

Γ
Γ
ν+
1
2
∆
Γ(ν+1)
!
2
 1
2
×
"
ı
cosz
4
η
2
+
1
2
−
`
sinz
z
−
cosz
4
´
2
#1
2
,

8 P. Cerone
0
1
2
3
4
5
z~
0.5
1
1.5
2
2.5
nu~
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figure 1:Visual representation of the left and right hand expression given by (2.14
0.5≤ν≤2.5and0≤z≤5.
and so (2.14 |γ
ν(z)|.
Remark 2.3.Figure 1 presents a visual depiction of both the left and right hand sides of
(2.14 0.5<ν<2.5ad0≤z≤5while Figure 2 presents the diﬀerence of the left hand
side from the right hand side. It may clearly be seen that the bound is better for lower values
ofzandνas expected.
Figure 3 shows the diﬀerence between the classical upper bound and|J
ν(z)|as given by
(2.13
the result (2.14
are better than the classical result given by (2.13
3 Bounding the Beta Function
The incomplete beta function is deﬁned by
(3.1) B(x, y;z)=
Z
z
0
t
x−1
(1−t)
y−1
dt,0<z≤1.
We shall restrict our attention tox>1 andy>1.
In this region we observe that
(3.2) 0≤t
x−1
≤z
x−1
and (1−z)
y−1
≤(1−t)
y−1
≤1
witht
x−1
,an increasing function and (1−t)
y−1
, a decreasing function, fort∈[0,z].
The following theorem follows from utilizing Steﬀensen’s result as depicted in Theorem
1.1 [13].

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 9
0
1
2
3
4
5
z~
0.5
1
1.5
2
nu~
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figure 2:Plot of the left from the right hand side of the expressions given by (2.14
0.5≤ν≤2.5and0≤z≤5.
00
1
0.5
1
1
1.2
1.5
1.4
2
2.5
2
1.6
3
1.8
z~3
nu~ 2 4
2.2
2.4
5
Figure 3:Plot of

z
2

νﬃ
Γ(ν+1)−|J
ν(z)|from (2.13 ≤ν≤2.5 and 0≤z≤5.

10 P. Cerone
0
1
1
1.2
-0.2
1.4 2
1.6
z~31.8
0
nu~ 2
4
2.2
0.2
2.4
5
0.4
Figure 4:Plot of
×−
z
2
∆
νﬃ
Γ(ν+1)
Λ
∙
sinzz
+b(ν,z)−|J ν(z)|for 1≤ν≤2.5 and 0≤z≤5
whereb(ν,z) ≡bound from (2.14
Theorem 3.1.Forx>1 andy>1with0≤z≤1we have the incomplete Beta function
deﬁned by (3.1
(3.3 {L
1(z),L 2(z)}≤B (x, y;z)≤min{U 1(z),U 2(z)},
where
(3.4) L
1(z)=
z
x−1
y
hı
1−z+
z
x
≡
y
−(1−z)
y
i
,U
1(z)=
z
x−1
y
h
1−
ı
1−
z
x
≡
yi
and
L
2(z)=
λ
x
2
(z)
x
+(1− z)
y−1z
x
−λ
x 2
(z)
x
,(3.5)
U
2(z)=(1−z)
y−1(x−λ 2(z))
x x
+
z
x
−(z−λ 2(z))
x
x
with
(3.6) λ
2(z)=
1−(1−z)[1−z(1−y)]
y
h
1−(1−z)
y−1
i.
Proof.If we takeh(t)=(1−t)
y−1
andg(t)=t
x−1
,then fory>1 andx>1,h(t)isa
decreasing function oftand 0≤g(t)≤z
x−1
.Thus, from (1.1
(3.7) z
x−1
Z
z
z−λ
1
(1−t)
y−1
dt≤
Z
z
0
t
x−1
(1−t)
y−1
dt≤z
x−1
Z
λ1
0
(1−t)
y−1
dt,

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 11
where
λ
1=λ1(z)=
Z
z
0
t
x−1
z
x−1
dt=
z
x
.
Now,
Z
λ1
0
(1−t)
y−1
dt=
1−(1−λ
1)
y
y
and Z
z
z−λ
1
(1−t)
y−1
dt=
(1−z+λ
1)
y
−(1−z)
y
y
,
so that, from (3.7
(3.8)
z
x−1
y
hı
1−z+
z
x
≡
y
−(1−z)
y
i
≤B(x, y;z)≤
z x−1
y
h
1−
ı
1−
z
x
≡
yi
.
Ifh(t) is an increasing function then the inequalities in (1.1
h(t)=t
x−1
andg(t)=(1−t)
y−1
,then forx>1 andy>1,h(t) is an increasing function
oftand (1−z)
y−1
≤g(t)≤1. From (1.1
Z
λ2
0
t
x−1
dt+(1−z)
y−1
Z
z
λ
2
t
x−1
dt(3.9)
≤
Z
z
0
t
x−1
(1−t)
y−1
dt
≤(1−z)
y−1
Z
z−λ 2
0
t
x−1
dx+
Z
z
z−λ
2
t
x−1
dx,
where
λ
2=λ2(z)=
Z
z
0
(1−t)
y−1
−(1−z)
y−1
1−(1−z)
y−1
dt=
1−(1−z)[1−z(1−y)]
y
h
1−(1−z)
y−1
i
as given by (3.6
Hence, from (3.9
λ
x
2
(z)
x
+(1−z)
y−1z
x
−λ
x 2
(z)
x
(3.10)
≤B(x, y;z)
≤(1−z)
y−1(x−λ 2(z))
x
x
+
z
x
−(z−λ 2(z))
x
x
.
Combining the results (3.8
notation.
Corollary 3.2.Forx>1andy>1we have the Beta function
B(x, y)=
Z
1
0
t
x−1
(1−t)
y−1
dt,
which is symmetric inxandy,satisﬁes the following bounds,
max
⊂
1
xy
x
,
1
yx
y
σ
≤B(x, y)(3.11)
≤min
⊂
1
y
ˇ
1−
`
1−
1
x
´
y˘
,
1
x
ˇ
1−
`
1−
1
y
´
xλσ
.

12 P. Cerone
Proof.Putz= 1 in (3.6 λ 2(1
1
y
followed by the obvious correspondences from
(3.3
The following theorem relates to the Beta function and is a correction of the result in
[13].
Theorem 3.3.Forx>1andy>1the following bounds hold for the Beta function,
namely,
(3.12) 0≤
1
xy
−B(x, y)≤2 min{A(x),A(y)},
where
(3.13) A(x)=
x−1
x
(
1+
x
x−1)
Proof.We have from (1.16 p(∙)≡1,
0≤|T(f,g)|=|M(fg)−M(f)M(g)|
≤M(|f(∙)−γ||g(∙)−M(g)|).
That is,
(3.14) |T(f,g)|≤inf
γ
kf(∙)−γk
∞
M|g(∙)−M(g)|
If we takef(t)=t
x−1
,g(t)=(1−t)
y−1
thenM(f)=
1
x
andM(g)=
1
y
,so that we
have from (3.14
0≤
1
xy
−B(x, y)(3.15)
≤inf
γ
"
sup
t∈[0,1]

t
x−1
−γ

#
Z
1
0

(1−t)
y−1
−
1
y

dt
= inf
γ
[max{γ,1−γ}]
Z
1
0

(1−t)
y−1
−
1
y

dt.
Now,
inf
γ
[max{γ,1−γ}] = inf
γ
ˇ
1
2
+

γ−
1
2

˘
=
1
2
and
Z
1
0

(1−t)
y−1
−
1
y

dt=
Z
1
0

u
y−1
−
1
y

du
=
Z
u∗
0
`
1
y
−u
y−1
´
du+
Z
1
u
∗
`
u
y−1
−
1
y
´
du
=
1
y
[u
∗−u
y
∗
−(u
y
∗
−u∗)]
=
2
y
u
∗
Γ
1−u
y−1
∗
∆
,
whereu
y−1
∗
=
1
y
.

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 13
Thus
0≤
1
xy
−B(x, y)≤2
ζ
1−
1
y
η
y
y
y−1
=2A(y),
whereA(y) is as given by (3.13
We may interchange the role ofxandybecause of the symmetry and so (3.12
The following pleasing result is valid ([13]).
Theorem 3.4.Forx>1andy>1we have
0≤
1
xy
−B(x, y)≤
x−1
x
√
2x−1
∙
y−1
y
√
2y−1
(3.16)
≤0.090169437...,
where the upper bound is obtained atx=y=
3+
√
5
2
=2.618033988....
Proof.We have from (1.17
(b−a)|T(f,g)|≤

Z
b
a
f
2
(t)dt−M
2
(f)
!
1
2
×

Z
b
a
g
2
(t)dt−M
2
(g)
!
1
2
.
That is, takingf(t)=t
x−1
,g(t)=(1−t)
y−1
then
(3.17 ≤
1
xy
−B(x, y)≤
`Z
1
0
t
2x−2
dt−
1
x
2
´
1
2
×
`Z
1
0
(1−t)
2y−2
dt−
1
y
2
´
1
2
.
Now,
Z
1
0
t
2x−2
dt=
1
2x−1
and
Z
1
0
(1−t)
2y−2
dt=
1
2y−1
and so from (3.17
Now, consider
(3.18) C(x)=
x−1
x
√
2x−1
.
The maximum occurs whenx=x
∗
=
3+
√
5
2
to giveC(x
∗
)=0.3002831....Hence,
because of the symmetry we have the upper bound as stated in (3.16
Remark 3.1.In a recent paper Alzer [3] shows that
(3.19 ≤
1
xy
−B(x, y)≤b
A= max
x≥1
`
1
x
2
−
Γ
2
(x)
Γ(2x)
´
=0.08731...,
where0andb
Aare shown to be the best constants. This uniform bound of Alzer is only
smaller for a small area around
ζ
3+
√
5
2
,
3+
√
5
2
η
while the ﬁrst upper bound in (3.16
a better bound over a much larger region of thex−yplane.
Figure 5 shows a plot of the upper bound (3.16 b
Aas
deﬁned in (3.19
Figure 6 demonstrates the cross-section throughx=yshowing the small interval for
whichb
A<C
2
(x). The worst upper bound from (3.16 x=y=
3+
√
5
2
and is
given as the second upper bound in (3.16
regionC(x)C(y)=b
Ashown in Figure 7.
We may state the following corollary given the results above.

14 P. Cerone
2
4
6
8
10
x
2
4
6
8
y
0.02
0.04
0.06
0.08
Figure 5:Three dimensional plot ofC(x)C(y) andb AwhereC(x) is deﬁned in (3.18
andb
A=0.08731...from (3.19
Corollary 3.5.Forx>1andy>1we have
0≤
1
xy
−B(x, y)≤min{C(x)C(y),b
A},
whereC(x)is deﬁned by (3.18b
Aby (3.19
Remark 3.2.The upper bound in Theorem 3.3 seems not to be as good as that given in
Theorem 3.4.
4 Bounds for the Euler Zeta and Related Functions
The Zeta function ([10]
(4.1) ζ(x):=
∞
X
n=1
1
n
x
,x> 1
was originally introduced in 1737 by the Swiss mathematician Leonhard Euler (1707-1783
for realxwho proved the identity
(4.2) ζ(x):=
Y
p
`
1−
1
p
x
´
−1
,x> 1,
wherepruns through all primes. It was Riemann who allowedxto be a complex variable
zand showed that even though both sides of (4.1z )≤1, the

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 15
0
0.02
0.04
0.06
0.08
24681 0
x
Figure 6:The curve deﬁned byC
2
(x)=
(x−1)
2
x
2
(2x−1)
andb A=0.08731...,from (3.18
(3.19).
function has a continuation to the whole complex plane with a simple pole atz= 1 with
residue 1. The function plays a very signiﬁcant role in the theory of the distribution of
primes (see [5], [6], [26], [31], [39] and [53]). One of the most striking properties of the zeta
function, discovered by Riemann himself, is the functional equation
(4.3) ζ(z)=2
z
π
z−1
sin
ζ
πz
2
η
Γ(1−z)ζ(1−z)
that can be written in symmetric form to give
(4.4) π
−
z
2Γ
ζ
z
2
η
ζ(z)=π
−(
1−z
2)
Γ
`
1−z
2
´
ζ(1−z).
In addition to the relation (4.3
tions are also connected via the integrals [31]
(4.5) ζ(x)=
1
Γ(x)
Z
∞
0
t
x−1
dt
e
t
−1
,x> 1,
and
(4.6) ζ(x)=
1
C(x)
Z
∞
0
t
x−1
dt
e
t
+1
,x> 0,
where
(4.7) C(x) := Γ(x)
Γ
1−2
1−x
∆
and Γ (x)=
Z
∞
0
e
−t
t
x−1
dt.

16 P. Cerone
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
Figure 7:Region over whichC(x)C(y)>b AwhereC(x) is as deﬁned in (3.18 b A
is the best uniform bound of Alzer given by (3.19
In the series expansion
(4.8)
te
xt
e
t
−1
=
∞
X
m=0
Bm(x)
t
m
m!
,
whereB
m(x) are the Bernoulli polynomials (after Jacob Bernoulli),B m(0B mare the
Bernoulli numbers. They occurred for the ﬁrst time in the formula [1, p. 804]
(4.9)
m
X
k=1
k
n
=
B
n+1(m+1)−B n+1
n+1
,n,m =1,2,3,... .
One of Euler’s most celebrated theorems discovered in 1736 (Institutiones Calculi Dif-
ferentialis, Opera (1
(4.10) ζ(2n)=( −1)
n−12
2n−1
π
2n
(2n)!
B
2n;n=1,2,3,... .
The Zeta function is also explicitly known at the non-positive integers by
ζ(−n)=( −1)
nBn+1
n+1
,forn=1,2,...
The result may also be obtained in a straight forward fashion from (4.6
of variable on using the fact that
(4.11) B
2n=(−1)
n−1
∙4n
Z
∞
0
t
2n−1
e
2πt
−1
dt

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 17
from Whittaker and Watson [57, p. 126].
We note here that
ζ(2n)= A
nπ
2n
,
where
A
n=(−1)
n−1
∙
n
(2n+ 1)!
+
n−1
X
j=1
(−1)
j−1
(2j+ 1)!
A
n−j
andA 1=
1
3!
.
Further, the Zeta function for even integers satisfy the relation (Borwein et al. [6],
Srivastava [48])
ζ(2n)=
`
n+
1
2
´
−1n−1X
j=1
ζ(2j)ζ(2n−2j),n∈N\{1}.
Despite several eﬀorts to ﬁnd a formula forζ(2n+ 1), (for example [49, 50]), there seems
to be no elegant closed form representation for the zeta function at the odd integer values.
Several series representations for the valueζ(2n+ 1) have been proved by Srivastava and
co-workers in particular, see [48], [51].
There is also an integral representation forζ(n+ 1) namely,
(4.12) ζ(2n+1)=(−1)
n+1
∙
(2π)
2n+1
2δ(n+ 1)!
Z
δ
0
B2n+1(t)cot(πt)dt,
whereδ=1or
1
2
([1, p. 807]). Recently, Cvijovi´c and Klinkowski [27] have given the integral
representations
(4.13) ζ(2n+1)=(−1)
n+1
∙
(2π)
2n+1
2δ(1−2
−2n
)(2n+ 1)!
Z
δ
0
B2n+1(t)tan(πt)dt,
and
(4.14) ζ(2n+1)=(−1)
n
∙
π
2n+1
4δ
Γ
1−2
−(2n+1)
∆
(2n)!
Z
δ
0
E2n(t) csc (πt)dt.
Both series representations and the integral representations (4.12
somewhat diﬃcult in terms of computational aspects and time considerations.
We note that there are functions that are closely related toζ(x).Namely, the Dirichlet
η(∙) andλ(∙) functions given by
(4.15) η(x)=
∞
X
n=1
(−1)
n−1
n
x
=
1
Γ(x)
Z
∞
0
t
x−1
e
t
+1
dt, x >0
and
(4.16) λ(x)=
∞
X
n=0
1
(2n+1)
x=
1
Γ(x)
Z
∞
0
t
x−1
e
t
−e
−t
dt, x >0.
These are related toζ(x)by
(4.17) η(x)=
Γ
1−2
1−x
∆
ζ(x) and λ(x)=
Γ
1−2
−x
∆
ζ(x)
satisfying the identity
(4.18) ζ(x)+η(x)=2λ(x).

18 P. Cerone
It should be further noted that explicit expressions for both ofη(2n) andλ(2n) exist as
a consequence of the relation toζ(2n) via (4.17
The Dirichlet beta function or DirichletL−function is given by [34]
(4.19) β(x)=
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n+1)
x,x>0
whereβ(2G,Catalan’s constant.
It is readily observed from (4.16β(x) is the alternating version ofλ(x),however,
it cannot be directly related toζ(x).It is also related toη(x) in that only the odd terms
are summed.
The beta function may be evaluated explicitly at positive odd integer values ofx,namely,
(4.20) β(2n+1)=(−1)
nE2n
2(2n)!
ı
π
2
η
2n+1
,
whereE
nare the Euler numbers generated by
sech (x)=
2e
x
e
2x
+1
=
∞
X
n=0
En
x
n
n!
.
The Dirichlet beta function may be analytically continued over the whole complex plane
by the functional equation
β(1−z)=
`
2
π
´
z
sin
ı
πz
2
η
Γ(z)β(z).
The functionβ(z) is deﬁned everywhere in the complex plane and has no singularities,
unlike the Riemann zeta function,ζ(s)=
P
∞
n=1
1
n
s,which has a simple pole ats=1.
The Dirichlet beta function and the zeta function have important applications in a
number of branches of mathematics, and in particular in Analytic number theory. See for
example [5], [26], [31].
Further,β(x) has an alternative integral representation [34, p. 56]. Namely,
β(x)=
1
2Γ (x)
Z
∞
0
t
x−1
cosh (t)
dt, x >0.
That is,
(4.21) β(x)=
1
Γ(x)
Z
∞
0
t
x−1
e
t
+e
−t
dt, x >0.
The functionβ(x) is also connected to prime number theory [34] which may perhaps be
best summarised by
β(x)=
Y
pprime
p≡1mod4
Γ
1−p
−x
∆
−1
∙
Y
pprime
p≡3mod4
Γ
1+p
−x
∆
−1
=
Y
podd
prime
ı
1−(−1)
p−1
2
p
−x
η
−1
,
where the rearrangement of factors is permitted because of absolute convergence.
The following theorem that was proved in [11] provides sharp bounds for the secant slope
ofβ(x).

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 19
Theorem 4.1.For real numbersx>0,we have
(4.22)
c
3
x+1
<β(x+1)−β(x)<
d
3
x+1
,
with the best possible constants
(4.23) c=3
`
π
4
−
1
2
´
=0.85619449...andd=2.
Cerone et al. [18] developed the identity given in the following lemma and the bounds
in Theorem 4.3 which are used to obtain approximations to the odd zeta function values in
terms of the even function values.
Lemma 4.2.The following identity involving the Zeta function holds. Namely,
(4.24)
Z
∞
0
t
x
(e
t
+1)
2
dt=C(x+1)ζ(x+1)−xC(x)ζ(x),x> 0,
whereC(x)is as given by (4.7
Based on the identity in Lemma 4.2, the following theorem resulted (see Alzer [2], Cerone
et al. [18], and also [10]) where the constants in the bounds of (4.25
Theorem 4.3.For real numbersx>0we have
(4.25)
`
ln 2−
1
2
´
b(x)<ζ(x+1)−(1−b(x))ζ(x)<
b(x)
2
,
where
(4.26) b(x)=
1
2
x
−1
,
and the constantsln 2−
1
2
and
1
2
are sharp.
The following is a correction of a result obtained by the author [14] by utilising the
ˇCebyˇsev functional bounds given by (1.17
Theorem 4.4.Forα>0the Zeta function satisﬁes the inequality
(4.27)

ζ(α+1)−
2
α−1
α
∙
π
2
6

≤
κ∙2
α−
1
2
Γ(α+1)
×
Γ(2α−1)−Γ
2
(α)
Λ
1
2
,
where
(4.28) κ=
ˇ
π
2
`
1−
π
2
72
´
−7ζ(3)
˘
1
2
=0.319846901...
with equality obtained atα=1.
Remark 4.1.The plot in Figure 8 demonstrates the attainment of equality atα=1for the
expression given by (4.27
ofζ(α+1)from its approximant
2
α−1
α
∙
π
2
6
.

20 P. Cerone
12
10
8
6
4
2
0
alpha~
54.543.532.521.5
Figure 8:Plot of the result (4.27≤α≤5 demonstrating the upper bound for the
expression on the left involving Zeta.
Theorem 4.5.Forα>1andm=bαcthe zeta function satisﬁes the inequality
(4.29)

ζ(α+1)− 2
α−m
Γ(m+1)
Γ(α+1)
ζ(m+1)Γ(α−m+1)

≤
2
(
α−m+
1
2)
Γ(α+1)
∙E
m∙
×
Γ(2α−2m+1)−Γ
2
(α−m+1)
∗
1
2
,
where
(4.30) E
2
m
=2
2m
Γ(2m+1)[λ(2m)−λ(2m+ 1)]−
1
2
Γ
2
(m+1)ζ
2
(m+1),
withλ(∙)given by (4.16 α=m.
Proof.Let
τ(α)=Γ(α+1)ζ(α+1)=
Z
∞
0
x
α
e
x
−1
dx(4.31)
=
Z
∞
0
e
−
x
2
x
m
e
x
2−e
−
x
2
∙x
α−m
dx, α >1
wherem=bαc.
Make the associations
(4.32) p(x)=e
−
x
2,f(x)=
x
m
e
x
2−e
−
x
2
,g(x)=x
α−m

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 21
then we have from (1.17
(4.33)





















P=
Z
∞
0
e
−
x
2dx=2,
M(f;p)=
1
2
Z
∞
0
e
−
x
2x
m
e
x
2−e
−
x
2
dx=
1
2
Γ(m+1)ζ(m+1),
M(g;p)=
1
2
Z
∞
0
e
−
x
2x
α−m
dx=2
α−m
Γ(α−m+1).
Thus, from (1.7
P∙T(f,g;p)=Γ(α+1)ζ(α+1)−2
α−m
Γ(m+1)ζ(m+1)Γ(α−m+1)
=
Z
∞
0
e
−
x
2
Γ
x
α−m
−γ
∆
`
x
m
e
x
2−e
−
x
2
−
Γ(m+1)ζ(m+1)
2
´
dx.
Now, from (1.17 γwhen utilising the Euclidean norm is
the integral mean and so we have from (1.17

Γ(α+1)ζ(α+1)− 2
α−m
Γ(m+1)ζ(m+1)Γ(α−m+1)

≤
`Z
∞
0
e
−
x
2
Γ
x
α−m
−2
α−m
Γ(α−m+1)
∆
2
dx
´
1
2
×

Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
m
e
x
2−e
−
x
2
−
Γ(m+1)ζ(m+1)
2
´
2
dx
!
1
2
.
That is, on using (1.18
(4.34)
Γ(α+1)ζ(α+1)− 2
α−m
Γ(m+1)ζ(m+1)Γ(α−m+1)

≤E
2
m
ˇZ
∞
0
e
−
x
2x
2(α−m)
dx−2
2(α−m)+1
Γ
2
(α−m+1)
˘
1
2
,
where
(4.35) E
2
m
=
Z
∞
0
e
−
x
2
x
2m
Γ
e
x
2−e
−
x
2
∆
2
dx−2
`
Γ(m+1)ζ(m+1)
2
´
2
.
Now
Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
m
e
x
2−e
−
x
2
´
2
dx=
Z
∞
0
e
−
3
2
x
x
2m
Γ
1+2e
−x
+3e
−2x
+∙∙∙
∆
dx(4.36)
=
∞
X
n=1
n
Z
∞
0
e
(
2n+1
2)x
x
2m
dx
=
∞
X
n=1
n
2
2m+1
Γ(2m+1)
(2n+1)
2m+1
=2
2m
Γ(2m+1)
∞
X
n=1
2n
(2n+1)
2m+1
=2
2m
Γ(2m+1)[λ(2m)−λ(2m+ 1)],

22 P. Cerone
whereλ(∙) is as given by (4.16
missable interchange of summation and integration.
Substitution of (4.36
(4.30
2
1.5
1
0.5
0
alpha~
108642
Figure 9:Plot of result (4.29<α≤5 showing bounds on the error for the expression
on the left involvingζ(α+1).
Remark 4.2.The plot in Figure 9 shows an implementation of (4.29
attainment of equality forαat the integer values. A deterioration of the bound on the error
for increasingαmay also be noticed from the ﬁgure.
The following corollary provides upper bounds for the zeta function at odd integers.
Corollary 4.6.The inequality
(4.37m +1)
×
2∙
Γ
2
2m
−1
∆
ζ(2m)−
Γ
2
2m+1
−1
∆
ζ(2m+1)
Λ
−Γ
2
(m+1)ζ
2
(m+1)>0
holds form=1,2,....
Proof.From equation (4.30 E
2
m
>0.Utilising the relationship
betweenλ(∙) andζ(∙) given by (4.17
Remark 4.3.In (4.37mis odd, then2mandm+1are even so that an expression in
the form
(4.38) α(m)ζ(2m)−β(m)ζ(2m+1)−γ(m)ζ
2
(m+1)>0,

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 23
results, where
α(m)=2
Γ
2
2m
−1
∆
Γ(2m+1),
β(m)=
Γ
2
2m+1
−1
∆
Γ(2m+1)and(4.39)
γ(m)=Γ
2
(m+1).
Thus formoddwe have
(4.40) ζ(2m+1)<
α(m)ζ(2m)−γ(m)ζ
2
(m+1)
β(m)
.
That is, form=2k−1,we have from (4.40
(4.41) ζ(4k−1)<
α(2k−1)ζ(4k−2)−γ(2k−1)ζ
2
(2k)
β(2k−1)
giving fork=1,2,3,for example,
ζ(3)<
π
2
7
`
1−
π
2
72
´
=1.21667148,
ζ(7)<
2π
6 1905
`
1−
π
2
2160
´
=1.00887130,
ζ(11)<
62π
105803245
`
1−
π
2
492150
´
=1.00050356,
Guo [37] obtainedζ(3)<
π
4
72
and the above bound forζ(3)was obtained previously by
the author in [14] from (4.28
Ifmiseventhen form=2kwe have from (4.40
(4.42) ζ(4k+1)<
α(2k)ζ(4k)−γ(2k)ζ
2
(2k+1)
β(2k)
,k=1,2,....
We notice that in (4.42 m=2kthere are two zeta functions
with odd arguments. There are a number of possibilities for resolving this, but ﬁrstly it
should be noticed thatζ(x)is monotonically decreasing forx>1so thatζ(x
1)>ζ(x 2)for
1<x
1<x2.
Firstly, we may use a lower bound obtained in [10] as given by
L(x)=(1−b(x))ζ(x)+
`
ln 2−
1
2
´
b(x) orL
2(x)=
ζ(x+2)−
b(x+1)
2
1−b(x+1)
,
whereb(x)is given by (4.26
But from numerical investigation in [10], it seems thatL
2(x)>L(x)for positive integer
xand so we have from (4.42
(4.43) ζ
L(4k+1)<
α(2k)ζ(2k)−γ(2k)L
2
2
(2k)
β(2k)
,
where we have used the fact thatL
2(x)<ζ(x+1).
Secondly, since the even argumentζ(2k+2)<ζ(2k+1),then from (4.42
(4.44) ζ
E(4k+1)<
α(2k)ζ(4k)−γ(2k)ζ
2
(2k+2)
β(2k)
.

24 P. Cerone
Finally, we have thatζ(m+1)>ζ(2m+1)so that from (4.38 m=2k
on solving the resulting quadratic equation that
(4.45) ζ
Q(4k+1)<
−β(2k)+
q
β
2
(2k)+4γ(2k)α(2k)ζ(4k)
2γ(2k)
.
Fork=1we have from (4.43
ζ
L
(5)<
π
4
93
−
1
186
`
7π
4
540
−
1
12
´
2
=1.039931461,
ζ
E(5)<
π
4
93
`
1−
π
4
16200
´
=1.041111605,
ζ
Q
(5)<−93 +
p
8649 + 2π
4
=1.04157688;
and fork=2
ζ
L(9)<
17
160965
π
8
−
1
35770
`
31
28350
π
6
−
1
60
´
2
=1.002082506,
ζ
E
(9)<
17
160965
π
8
`
1−
π
4
337650
´
=1.0020834954,
ζ
Q(9)<−17885 +
1
3
p
2878859025 + 34π
8
=1.00208436.
It should be noted that the above results give tighter upper bounds for the odd zeta func-
tion evaluations than were possible using the methodology utilising techniques based around
Theorem 4.3 as demonstrated by the numerics which are presented in Table 1 of [10].
Numerical experimentation using Maple seems to indicate that the upper bounds for
ζ
L
(4k+1),ζ
E
(4k+1)andζ
Q
(4k+1)
are in increasing order. Analytic demonstration thatζ
L(4k+1)is better remains an open
problem.
5 Bounds for Mathieu Series
The series, known in the literature as the Mathieu series,
(5.1) S(r)=
∞
X
n=1
2n
(n
2
+r
2
)
2
,r>0,
has been extensively studied in the past since its introduction by Mathieu [41] in 1890,
where it arose in connection with work on elasticity of solid bodies. The reader is directed
to the references for further illustration.
One of the main questions addressed in relation (5.1
Brenner and Ruehr [4] showed that the best constantsaandbin
(5.2)
1
x
2
+a
<S(x)<
1
x
2
+b
,x6=0
area=
1
2ζ(3)
andb=
1
6
whereζ(∙) denotes the Riemann zeta function deﬁned by (4.1
(See also [44], [45], [46], [54], [55] and [58]).

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 25
An integral representation forS(r) as given in (5.1
(5.3) S(r)=
1
r
Z
∞
0
x
e
x
−1
sin (rx)dx.
Guo [37] utilised (5.3 S(r).Alternate bounds to (5.1
by Qi and coworkers in [44, 45, 46].
For the generalised Mathieu series
(5.4) S
μ(r)=
∞
X
n=1
2n
(n
2
+r
2
)
1+μ
,r> 0,μ>0,
Cerone and Lenard [24] proved the following two theorems.
Theorem 5.1.The generalised Mathieu seriesS
μ(r)deﬁned by (5.4
in the integral form
(5.5) S
μ(r)=C μ(r)
Z
∞
0
x
μ+
1
2
e
x
−1
J
μ−
1
2
(rx)dx, μ >0,
where
(5.6) C
μ(r)=
√
π
(2r)
μ−
1
2Γ(μ+1)
andJ
ν(z)is theν
th
order Bessel function of the ﬁrst kind.
Theorem 5.2.Forma positive integer we have
(5.7) S
m(r)=
1
2
m−1
∙
1
r
2m−1
∙
1
m
m−1
X
k=0
(−1)
b
3k
2c
k!
r
k
[δkevenAk(r)+δ koddBk(r)],
where
(5.8) A
k(r)=
Z
∞
0
x
k+1
e
x
−1
sin (rx)dx, B
k(r)=
Z
∞
0
x
k+1
e
x
−1
cos (rx)dx,
withδ
condition=1if condition holds and zero otherwise andbxcis the smallest integer part
ofx.
Bounds on theˇCebyˇsev functional (1.4
distance of the weighted mean of the product of two functions from the product of the
weighted mean of the two functions. This proves to be quite useful since the individual
means are invariably easier to evaluate.
In [24] the author utilised the sharp bounds on the Bessel function|J
ν(z)|of Landau
[40] to procure bounds for the generalised Mathieu seriesS
μ(r) given by (5.5
Here we investigate the bounding ofS
μ(r) as deﬁned by (5.4
(5.5 S
μ(r) is accomplished viaχ
μ(r) where
(5.9) χ
μ(r):=
Z
∞
0
x
μ+
1
2
e
x
−1
J
μ−
1
2
(rx)dx; μ, r >0,
since from (5.5
(5.10) S
μ(r)=C μ(r)χ
μ(r),
whereC
μ(r) is positive as deﬁned in (5.6
The following lemma examines the behaviour ofχ
μ(r) (see also [9]).

26 P. Cerone
Lemma 5.3.
(5.11)

χ
μ(r)−
1
2
∙
(2r)
μ−
1
2
√
π
∙
Γ(μ)
Γ
r
2
+
14
∆
μ∙
π
2
6

≤κ



Γ
Γ
2μ−
1
2
∆
r
2μ−1
π
3
2
Zπ
2
0
cos
2μ−1
φ
h
Γ
1
4
∆
2
+r
2
cos
2
φ
i
2μ−
1
2
dφ−2K
2
∗


1
2
,
where
K
∗=
(2r)
μ−
1
2
Γ(μ)
2
√
π
Γ
r
2
+
1
4
∆
μis deﬁned in (5.20
and
(5.12) κ=
ˇ
π
2
`
1−
π
2
72
´
−7ζ(3)
˘
1
2
=0.319846901....
Proof.Firstly, we notice thatχ
μ(r) from (5.9
(5.13) χ
μ
(r)=
Z
∞
0
e
−
x
2∙
x
e
x
2−e
−
x
2
∙x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)dx.
Let
(5.14) p(x)=e
−
x
2,f(x)=
x
e
x
2−e
−
x
2
,g(x)=x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)
then from (1.7
(5.15) P=
Z
∞
0
p(x)dx=
Z
∞
0
e
−
x
2dx=2,
(5.16) P∙M(f;p)=
Z
∞
0
e
−
x
2∙
x
e
x
2−e
−
x
2
dx=
Z
∞
0
x
e
x
−1
dx=ζ(2
π
2
6
and
(5.17) P∙M(g;p)=
Z
∞
0
e
−
x
2∙x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)dx=
(2r)
μ−
1
2
Γ(μ)
√
π
ı
Γ
1
2
∆
2
+r
2
≡
μ,
where we have used (4.5
Z
∞
0
e
−αx
∙x
ν
Jν(βx)dx=
(2β)
ν
√
π
∙
Γ
Γ
ν+
1
2
∆
Γ
α
2
+β
2
∆ν+
1
2
,Re (ν)>
1
2
,Re (α) >|Im (β)|,
withα=
1
2
,ν=μ−
1
2
,β=rto obtain (5.17
Now, from (1.7
(5.18)χ
μ(r)−
1
2
∙
(2r)
μ−
1
2
√
π
∙
Γ(μ)
Γ
r
2
+
14
∆
μ∙
π
2
6
=
Z
∞
0
e
−
x
2
ı
x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)−K
≡
`
x
e
x
2−e
−
x
2
−
π
2
12
´
dx.

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 27
Now, by using the Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, we have from (5.18
(1.17)
(5.19)

χ
μ(r)−
1
2
∙
(2r)
μ−
1
2
√
π
∙
Γ(μ)
Γ
r
2
+
14
∆
μ∙
π
2
6

≤
`Z
∞
0
e
−
x
2
ı
x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)−K
η
2
dx
´
1
2
×

Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
e
x
2−e
−
x
2
−
π
2
12
´
2
dx
!
1
2
.
As mentioned in Section 1, equation (1.17 Kis the weighted
integral mean as given from (5.17
(5.20) K=K
∗=
(2r)
μ−
1
2
Γ(μ)
2
√
π
Γ
r
2
+
1
4
∆
μ.
The result given by (1.18
hand side of (5.19
Thus from (5.19
(5.21)
Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
e
x
2−e
−
x
2
−
π
2
12
´
2
dx=
Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
e
x
2−e
−
x
2
´
2
dx−2
`
π
2
12
´
2
.
Now, allowing for the permissable interchange of integration and summation, we have
Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
e
x
2−e
−
x
2
´
2
dx=
Z
∞
0
e
−
3x
2
`
x
1−e
−x
´
2
dx(5.22)
=
Z
∞
0
e
−
3x
2x
2

∞
X
n=1
ne
−nx
!
dx
=
∞
X
n=1
n
Z
∞
0
e
−(
2n+1
2)x
x
2
dx
=
∞
X
n=1
nΓ (3
Γ
2n+1
2
∆
3
=
∞
X
n=1
2n
Γ
n+
12
∆
3
=2
∞
X
n=1
1
Γ
n+
12
∆
2
−
∞
X
n=1
1
Γ
n+
12
∆
3
=π
2
−7∙ζ(3).
In (5.22
Z
∞
0
e
−αx
x
p
dx=
Γ(p+1)
α
p+1
.
Hence, from (5.21
(5.23)
"
Z
∞
0
e
−
x
2
`
x
e
x
2−e
−
x
2
−
π
2
12
´
2
dx
#
1
2
=
ˇ
π
2
`
1−
π
2
72
´
−7ζ(3)
˘
1
2
.

28 P. Cerone
Now, for the ﬁrst expression on the right hand side of (5.19
and (1.18
(5.24)
Z
∞
0
e
−
x
2
ı
x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)−K ∗
η
2
dx=
Z
∞
0
e
−
x
2x
2μ−1
J
2
μ−
1
2
(rx)dx−2K
2
∗
.
A result in Watson [56, p. 290] states that
(5.25)
Z
∞
0
e
−2at
Jα(γt)J β(γt)t
α+β
dt
=
Γ
Γ
α+β+
1
2
∆
π
3
2
γ
α+β
Zπ
2
0
cos
α+β
φcos (α −β)φ
(a
2
+γ
2
cos
2
φ)
α+β+
1
2
dφ
and so takinga=
1
4
,α=β=μ−
1
2
andγ=rin (5.25
(5.26)
Z
∞
0
e
−
x
2x
2μ−1
J
2
μ−
1
2
(rx)dx=
Γ
Γ
2μ−
1
2
∆
r
2μ−1
π
3
2
Zπ
2
0
cos
2μ−1
φ
ı
Γ
1
4
∆
2
+r
2
cos
2
φ
η
2μ−
1
2
dφ.
That is,
(5.27)
ˇZ
∞
0
e
−
x
2
ı
x
μ−
1
2J
μ−
1
2
(rx)−K ∗
η
2
dx
˘
1
2
=



Γ
Γ
2μ−
1
2
∆
π
3
2
r
2μ−1
Zπ
2
0
cos
2μ−1
φ
h
Γ
1
4
∆
2
+r
2
cos
2
φ
i
2μ−
1
2
dφ−2K
2
∗


1
2
.
Placing (5.27
Theorem 5.4.Forμ>0 andr>0the generalised Mathieu seriesS μ(r)satisﬁes the
following relationship, namely,
(5.28)

S
μ(r)−
π
2
12μ
Γ
r
2
+
1
4
∆
μ

≤
κ
√
2μ



1
√
π
∙
Γ
Γ
2μ−
1
2
∆
4
2μ−1
Γ
2
(μ)
Z
π
2
0
cos
2μ−1
φ
h
Γ
1
4
∆
2
+r
2
cos
2
φ
i
2μ−1/2
dφ−
1
Γ
r
2
+
14
∆
2μ


1
2
=
κ
√
2μ


4
−μ
π
∙B
`
1
2
,2μ−
1
2
´
∙
1
Γ
r
2
+
116
∆
2μ−
1
2
−
1
Γ
r
2
+
14
∆
2μ
×2F1
`
1
2
,2μ−
1
2
;μ+
1
2
;
r
2
r
2
+
1
16
´˘1
2
whereκis as given by (5.12B(x, y)is the Euler Beta function and 2F1(a, b;c;x)is the
hypergeometric function.

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 29
0.8
0.6
0.4
0.2
0
r~
543210
Figure 10:Visual representation of (5.31≤r≤5.
Proof.From (5.10 C
μ(r), as deﬁned by (5.6
5.3 readily produces the result
(5.29)

S
μ(r)−
π
2
12μ
Γ
r
2
+
1
4
∆
μ

≤
κ
√
2μ



1
√
π
∙
Γ
Γ
2μ−
1
2
∆
4
2μ−1
Γ
2
(μ)
Z
π
2
0
cos
2μ−1
φdφ
h
Γ
1
4
∆
2
+r
2
cos
2
φ
i
2μ−1/2
−
1
Γ
r
2
+
14
∆
2μ


1
2
upon simpliﬁcation.
Further, utilising the Maple computer algebra package, it may be shown that
(5.30)
Z
π
2
0
cos
2μ−1
φ
h
Γ
1
4
∆
2
+r
2
cos
2
φ
i
2μ−1/2
dφ
=
√
π
2
∙
Γ(μ)
Γ
Γ
μ+
1
2
∆∙
1
Γ
r
2
+
116
∆
2μ−1/2
×2F1
`
1
2
,2μ−
1
2
;μ+
1
2
;
r
2
r
2
+
1
16
´
,
where
2F1(a, b;c;x)=
∞
X
k=0
(a)
k
(b)
k
(c)
k
∙
x
k
k!
and (α)
k
=
Γ(α+k )
Γ(α)
,the Pochhammer function.
Now, substitution of (5.30
known Euler Beta functionBand the Hypergeometric function
2F1,where we have used the

30 P. Cerone
4
3
2
1
0
r~
543210
Figure 11:Upper and lower bounds from (5.31 S(r).
1.6
1.2
0.8
0.4
0
r~
543210
Figure 12:Diﬀerence between the upper and lower bounds from (5.2

Special Functions Approximations and Bounds via Integral Representation 31
duplication formula
√
πΓ(2x)=2
2x−1
Γ(x)Γ
Γ
x+
1
2
∆
and the deﬁnition of the Euler Beta
functionB(x, y)=
Γ(x)Γ(y)
Γ(x+y )
.
1
1.50
1
0.05
21.5
0.1
r
2
0.15
2.5
mu~
0.2
2.5
0.25
33
Figure 13:Demonstration of the result (5.28≤r, μ≤3.
0.2
0.4
0.6
0
0.8
0.2 r
0.4 1
0.5
0.6
0.8 1.2
1
1
mu~
1.41.2
1.4
1.5
2
Figure 14:Pictorial demonstration of the result (5.28.1 ≤r, μ≤1.5.

32 P. Cerone
Corollary 5.5.The following bounds are valid forS(r)the Mathieu series. That is,
(5.31)

∞
X
n=1
2n
(n
2
+r
2
)
2
−
π
2
12
−
r
2
+
1
4
∙

≤2
√
2∙κ





2
1+(4r)
2
−
1
h
1+(2r)
2
i
2




1
2
,
whereκis as given by (5.12
Proof.Letμ= 1 in (5.28
that
2
6
Zπ
2
0
cosφ
h
1+(4rcosφ)
2
i3
2
dφ=
64
1+(4r)
2
and after some simpliﬁcation.
Remark 5.1.Figures 10 and 11 provide a visual representation involving the Matthieu
seriesS(r)and its bounds derived from the ﬁrst inequality in (5.28μ=1.The bounds
extracted from (5.31
series.
The plots presented in Figure 12 show the diﬀerence between the upper and lower bounds
from (5.2 S(r)from (5.31 0<r<0.85566
whereas the lower bound is better only for0.0816295<r<0.2482358 .The bounds provided
by (5.2 rvalues. It must be remembered
however that (5.31
in (5.28
Remark 5.2.Figures 13 and 14 show the left hand side of (5.28
bound provided by the right hand side of (5.28
the diﬀerent vertical scale.
6 Concluding Remarks
In the paper the usefulness of some recent results in the analysis of inequalities, has been
demonstrated through application to some special functions. Although these techniques
have been applied in a variety of areas of applied mathematics, their application to special
functions does not seem to have received much attention to date. There are many special
functions which may be represented as the integral of products of functions. The investiga-
tion in the current article has restricted itself to the investigation of the Bessel function of
the ﬁrst kind, the Beta function, the Zeta function and Mathieu series.
It may be surmised from the above investigations that the accuracy of the bounds over
particular regions of parameters cannot be ascertaineda priori.It has been demonstrated,
however, that some useful bounds may be obtained which seem hitherto not to have been
discovered. The approach of utilising developments in the ﬁeld of inequalities to special
functions has been shown to have the potential for further development.
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stravaganze, quante sono in Ferrara, & infinite n'haveva notato; ma
il timore di non essere à lettori troppo fastidioso, me n'ha fatto
tralasciare la maggior parte, ma prima però ch'io esca dalle mura di
Ferrara, dirò come vi hò veduto il paradiso,
[69] ilquale non ha in se
molta bellezza, non amenità, non consolatione alcuna, & qual
maraviglia sarebbe se l'amor del paradiso non ritirasse i Ferraresi
dalle malvagie opere? & che ciò sia vero, che bello non sia, gli Agnoli
non vi fanno la lor stanza, ma si hanno edificato una contrada la piu
gioiosa, che veder si possa: In paradiso non habita S. Gioan battista,
ma se n'è piu tosto ito ad habitar in terra nuova. S. Anna piu tosto
s'è contentata di starsi all'hospedale,
[70] che in questo paradiso. S.
Georgio è ito fuori della terra, la Reina del cielo con la gloriosa
Caterina, non vi habitano, di maniera ch'egli rimane quasi che
dishabitato, voglio però confessar il vero, ne voglio defraudare città
alcuna delle sue debite lodi, che in Ferrara, & non in altro luogo, ho
veduto huomini, & donne pie:
[71] et hocci veduto un'Agnolo degnarsi
di far l'hosteria à mortali: Fu il mio albergo col S. Hercole Riminaldo,
ilquale mi da speranza di doventar simile d'ardire à quel famoso
Ercole di cui son piene tutte le carte de scrittori: fu però gran parte
della mia conversatione col S. Ferrante trotto, & col S. Giulio
zerbinato, liquali mi parvero di tal valore, che fortunatissimo
giudicherei quel principe, che de simili n'havesse almeno due paia.
Da Ferrara piglio la strada ver Padova, et giunto à Rovigo, mi ricordai
del Celio Rodigino mio honorato precettore, per tenerezza fui
sforzato piagnere si gran perdita: giunto poi in Padova, ricordammi
subitamente delle grandezze sue, del numeroso popolo che l'haveva,
delli infiniti cavaglieri, & de i singolari privilegi da Romani lor
conceduti: mai certo vi fu città, che de simili ne havesse, hora la
trovai quasi desolata, & me ne venne gran pietà: Vado alle scuole de
legisti, sto ad udir ciò che dicono di bello, appartenente al viver
civile, & alla unione de cittadini, & non odo salvo che contradittioni,
l'uno impugnar l'altro, & oscurar il vero à piu potere: eravi tal legista,
che per insegnare à litigare, era con gran stipendio pagato, &
ciascuna lettione li valeva piu di 60 scudi: vado alle scuole de
philosophi, penso udir favellar di giustitia, di prudentia, di modestia,

di fortezza, di castità, et altre simili cose, penso veder huomini gravi,
& ornati, non di barba, & di pallio come erano i philosophi della
grecia, ma de bellissimi costumi, penso veder molti Socrati, molti
pithagori, et molti Platoni, et ingannato mi ritrovo, non odo favellare
salvo che di materia,
[72] della quale parevami, che n'havessero
pieno il capo: di forma, non so se di Cacio, o da informar stivali, di
privatione, non so parimenti se intendessero de danari, ò di senno.
Entro nella scuola de Metaphisici, nella qual pensai udir ragionare
della divina maestà, delle celesti Gierarchie, della perpetua felicità de
beati: ma ecco che per molti giorni io non odo parlare d'altro che di
ente et uno. Vomene ad udir chi trasordinariamente leggeva i libri
dell'anima, & penso ch'egli m'habbi ad insegnar qual cosa adoperar
mi debba per salvar l'anima, che Satanasso non ne faccia rapina,
come guardar la mi debba da peccati, che gloria, che triumpho, se le
aspetti dopo morte. & ecco che non intendo altro che opinioni, che è
composta di fuoco, che è composta d'acqua che è di color purpureo,
Tutta nel tutto, & tutta in qualunque parte del corpo, che è seguace
della complessione corporale, che la non si cava dalla potentia della
materia, ma che ella se ne viene di fuori, & non dice donde, & che la
si separa come l'incorruttibile dal corruttibile: Vennermi a fastidio
questi tanti scaldabanchi, queste rabule, questi loquaci corbi, ne
potei sofferir di piu udirli, per il che, io mi diedi tutto
all'investigatione delle cose notabili, Dirò adunque come in Padova,
& non in altra parte: hò trovato huomini, & donne dotte:
[73] non è
adunque da maravigliarsi ciò che si legge della dottrina di
Probavaleria: di Eudoxia: di Nicostrata, di Telesilla, & di Aspasia, ho
parimente veduto huomini, & donne con i capi di vacca: hocci veduto
huomini in galline convertiti: Vi hò conosciuto un Sperone formato
da Iddio, non per isperonar giumenti, ma per speronar la gioventu
Padovana alla virtu, & alle buone lettere: Io ci conobbi uno, che
Frigendo melica era divenuto non men dotto, che riccho già si
divenisse in Piacenza un'altro per seccar melica: vi conobbi un
gentilhuomo ilquale vedeva le cose future, & non vedeva le
presenti
[74]. Fu il mio albergo col gentilissimo S. Pio delli Obizzi, per
il cui mezzo, conobbi l'affabile, & gratiosa M. Lucretia reloggia.

Fastidito di star in Padova per la brenta già detta Meduaco, mi
condussi alla maravigliosa & possente Vinegia: Chi potrebbe ridir il
piacer ch'io hebbi in quella barca? Vi erano alcuni scolari Forlani,
c'havevano il capo sopra della berretta, piu furiosi di Athamante, & di
Oreste; Vi erano frati di color bigio, bianco, & nero, Donne da
partito, Barri & Giudei: I Scolari favellavano alla scoperta, senza
rossore, de carnali congiungimenti; i Frati se ne mostravano
alquanto schifi, & sorridevano facendo il bocchino della sposa. Le
buone femine girando gli occhi qua & la, cercavano di adescare i mal
accorti: Eravi un Giudeo, ilqual veniva allhora di Damasco pieno di
arte maga, faceva apparir gli huomini cavalli, Asini, Cani, & gatte.
Fece apparir un Lione, et poi mostrandogli un gallo lo fece
incontanente sparire: egli faceva arrestar gli uccelli nel mezo del lor
volo: faceva venir i pesci a riva: Sapeva la virtu di tutte l'herbe,
haveva notitia di tutte le lingue: Sapeva costui di arte Maga piu assai
di Cetieo, di Dardano, di Democrito, di Zoroaste, & di Gobria: suscitò
costui un giorno pioggia, si come anchora fece Arnupho egittio per
abeverare l'esercito di M. Antonio. Vi era ancho un Romagnuolo con
una cetra, & si dolcemente la sonava, che pareva un Iopa: un
Philamono, un'Apolle, un Terpandro, & un Dorceo: Giunsi finalmente
nella miraculosa Città di Vinegia, della cui edificatione, & aumento ne
fu potissima cagione la rovina di Padova, d'Altino, d'Oderzo, e di
Moncelese già detto Acello, & di Aquileia colonia de Romani, & capo
dell'oriente. È opinione, che questi popoli venessero in Italia con que
Francesi liquali regnando Tarquinio Prisco dettero il nome alla Gallia
cisalpina: fa mentione Cesare di questi Veneti ne suoi commentarij:
Livio è di opinione, che sieno venuti dalla Paphlagonia gente d'Asia,
dopo l'incendio di Troia, è una natione molto civile, dedita alli studi
delle buone lettere, dedita alli acquisti terrestri, et alli esercitij
maritimi: Sono in questo mare pesci piu saporiti, che in qualunque
altro luogo, benche minori: stimasi esser di ciò la cagione perche
molti fiumi concorreno in questo Adriatico mare, per la qual ragione
anchora i pesci di Galipoli stimansi avanzare di sapore, li altri
scorrendovi dentro ventidue gran fiumi ispetialmente il Dannubio, &
il Tanai: Gode Vinetia un'aria felicissima, imperoche la salsedine del
mare, Calda essendo, & meno humida, genera una temperatura

molto opportuna alli humani corpi. Il flusso anchora & reflusso purga
l'aria, & se vi è cosa veruna di corrotto, la porta nel mare. Quivi
fermato essendomi, con intentione di starvi molti giorni, incominciai
à considerar attentamente gli ordini, & li costumi loro, & fra molte
cose grandimenti mi maravigliai intendendo da certi vecchioni pieni
di Reverentia, che mai questi Signori vollero armare i popoli loro, &
non piu tosto della propria militia servirsi: che della straniera, nella
quale sovente si sono trovati inganni, amutinamenti, & tradigioni. Mi
maravigliai intendendo, che nelle guerre, non dessero alli lor
capitani, le commissioni libere. Mostruoso mi parve il vederci, Nani,
grandi, Magni, piccioli: troni, terrestri, & non celesti: Trivisani, Pisani,
& Soriani, che non videro mai ne Trevisi, ne Pisa, ne Soria: Notabil
mi parve di veder molti Salomoni: ci trovai Barbari latinissimi &
humanissimi: Cicogne, di piu breve collo, ma di miglior tenuta, che
non sono l'altre: molti Garzoni, che passavano sessant'anni: Tanti
Marcelli, che tanti non ne vide Roma: non vide ne anche mai tanti
Lioni la Numidia, quanti n'ha Vinetia, i Barbi stanno in terra, & non
nelle acque. Sonci Balbi nel favellar ben espediti: Qui non sono le
mule sterili, ma feconde, come anche sono in Cappadocia, & i
delphini si veggono tramutati in huomini: i mori et le more non sono
nere, ma candidissime: Sonci de molti lombardi, che non vider mai
lombardia: Sonci piu savi che non hebbe mai la gratia, quelli furono
sette, & questi sono piu di duodici. Il mio albergo fu nella casa del S.
Benedetto agnello, dove molto volentieri me n'andai, & volentieri ci
stetti per essermi stato affermato da piu di dua, ch'egli era il padre
de virtuosi, & di perfetto cuore l'hospitalità esercitava, ne dal suo
volere discorda punto la sua honoratissima consorte. Trovai in
Vinetia un Siciliano ilquale, scriveva in un specchio d'acciaio, et
quello che nel specchio scriveva, ve lo faceva per reflesso, legere
nella luna: Faceva un sapone col quale si lavava la faccia, e poi con
un stecco si radeva sottilmente, & per molti giorni rimanevali la
faccia odorifera piu che ambra. Faceva apparire una mensa carica di
ottime vivande, et poi come fumo faceva ogni cosa sparire. Poneva
un pezzo di Carta non nata, ove erano scritte alcune parole ad una
serratura, & incontanente se li apriva ogni ben serrata porta: Cavava
ogni grosso chiodo con i denti, Convertiva in oro il rame, il ferro, il

piombo, & finalmente ogni metallo col spargervi sopra una certa
polvere non piu veduta. Alla presentia mia, et di tre altri fece parlar
una testa di morto. Mentre sono in Vinetia mi vien detto, che ci
habitava il terrore de scelerati principi, & il flagello de viciosi preti
Pietro Aretino, lo visitai piu d'una fiata, & parvemi vedere un'opra di
natura piu che perfetta, parvemi di udir una lingua possente à farsi
amare, & temere, & farsi tributarij sin alli estremi Morini, & li
disgiunti Britani: conobbi ancho in Vinetia l'oracolo di marte, dal qual
correvano tutti gli huomini martiali per farsi decidere le controversie
dell'honore
[75]: Stato che io fui in Vinetia molti mesi, mi venne
desiderio di gir pel mondo, gran dolcezza sentendo sol in pensar ad
alcune cose vedute, duolsemi assai di dovermi partire di questa
inclita città per molti rispetti, ispetialmente dovendo rimanere privo
di godere la dolce conversatione della virtuosa M. Giulia Ferreta: & di
M. Francesca Ruvissa, laquale mi parve la Sibilla cumana, tanta
sapientia & bontà in lei scopersi. Egli è vero, & negar nol posso, che
molte cose in Italia mi piacquero stremamente, ma molto piu furono
quelle, che mi spiacquero, non hò scritto tutto ciò che veduto hò di
mostruoso, ne ho raccontato tutti i luoghi dove io fui: Hò
pretermesso scrivere come in Asti trovai huomini, & donne, che rane
Cacavano,
[76] & le piu male balie, che veder si possano: hò
pretermesso dire di quelli c'hanno nella Mirandola i piedi d'oca, &
portano del continuo le panze rase: ho pretermesso d'haver veduto
in Bologna una Medusa non dannosa come fu quella anticha, ma
gioveuole. Ho tralasciato d'haver veduto in Piuri Lumache senza
Corna, non con l'habitatione alle spalle, ne lente, & tarde, ne suoi
movimenti: Ho tralasciato d'haver veduto in Como, & in Chiavenna
salici fecundi, & non sterili: Se Homero n'havesse veduti non
l'havrebbe mai chiamato perdifrutto. Ho lasciato d'haver conosciuto
in Milano Cagnuoli,
[77] che favellavano come se huomini suti
fussero, & molti pagani christiani: non hò detto d'haver veduto in
Ferrara Arriani; contro de quali non si faceva alcuna inquisitione, si
come facevasi contra de lutherani, nella qual città conobbi il
bend'Iddio, non per avanti conosciuto: non vi ho detto d'una Gattina,
laquale in Mantoa non pigliava sorci, anzi li temeva, li fuggiva, et

n'havea schifo, & haveva con le sue losenghe si fattamente
innamorato di se, un'abbate, che per transtullarsi con essa, non si
curava punto di fama, ne d'infamia, & spesso scordavasi il Breviario,
et il Diurno: non paia adunque favola, che Cratis pastor Sibaritano
amasse già una Capra, poi che un'Abbate, & di sangue illustris. si è
invaghito di una gatta, non vi paia maraviglia se Aristone Ephesio,
amò un'Asina, se Fulvio una cavalla, se Ortensio una Murena, &
Ciparisso una cerva. Diro hora di molte altre straniezze per le quali,
l'Italia mi venne in odio, & feci disegno partirmi: Io rimasi d'habitar
in Bologna, veggendo starsi fuori delle Porte la misericordia:
[78] non
volli star in Anchona, veggendo che la Reina del cielo n'era uscita, &
itasene à Loreto per non star nell'Anchona, mi spaventai dell'habitar
in Siena per timore di non impazzire: già mi sentiva il capo
formicolare, & se aspettava la venuta di M. Agosto, per certo io dava
la volta, ne so s'io fussi piu ritornato, divenivo indubitatamente piu
pazzo di Xenophanto, piu di Mamacuto, piu di Cippio, e piu di
qualunque Psillo dell'austro vano combattitore. Non mi piacque il star
in Firenze, parendomi mal consiglio lo pormi nelle man de medici
sano, & di buona voglia essendo. Mi spaventai di star in Lucca,
udendo, che ogni dui mesi, quando si crea la nuova signoria, sia
costretta giurare di oservar non so qual statuto contro forestieri: Non
hebbi cuore di fermarmi in Piacenza havendo udito dir, che non sia
buono, ne star sotto signor novello, ne albergar con hoste, che
novellamente hosteria faccia. Doveva io star in Milano, vegendo, che
la pace, le gratie: & gli Agnoli
[79] non osavano di starci, ma
habitavano fuori delle mura? Doveva posarmi in Genova dove la
consolatione stassi in disparte fuori dell'habitato, et ogni giorno si
vorrebbe mutar stato: non è si volubile Vertunno, ne si spesso
mutasi il vento, come si muta il capo d'un Genovese. Spiacquemi di
stare in Brescia, dove a colpi di spada ci conviene guadagnar la
strada di sopra. Non hebbi cuore di stare in Bergamo per le molte
sottigliezze, che nel vivere, & nel mercantare si usano. Spiacquemi il
veder in Italia tanti Marchesi senza marchesato, Conti senza
contado, Cavaglieri, che non hanno ne cavalli, ne speroni, ne stivali.
Spiacquemi vedere, che in Italia le Signore havessero ardire di

scambiare alle lor damigelle il nome del Battesimo, & in luogo di
Catherina, Lucia, Margherita, Agata, Agnesa, & Appollonia, per fargli
sino ne i nomi belle, & lussuriose, le chiamano Cinthia, Flavia, Fulvia,
Flaminia, Camena, Sulpitia, & Virginia. Quanto mi sono io di cuor
maravigliato della lor prosuntione, parevami certamente fusse
risvegliata l'heresia de Pepuzziani; presso de quali (si come riferisce
il P. S. Agostino), erano solite le femine di battezare, & far l'uficio di
sacerdote: Parevami di esser in Caria, dove le femine barbute fanno
l'officio qual presso di noi far sogliono i frati. Brutta cosa mi parve
vedere li Italiani à si buona derata venuti, che alla guerra vadino
invitati, non da tre scudi, come era il consueto, ma spesso tratti per
tre Giulij. Brutta cosa mi parve, che ogni sciagurato si voglia fasciare
le reni di raso, & di veluto, ne stimarsi in Italia chi humilmente si
veste. Mi spiacque l'udir, che ogni Buffalaio, & ogni bifolco giurasse a
fe de gentilhuomo, & ogni vil putanella a fe di gentildonna, & il veder
pompeggiar sopra le facultà, ne in habito esser differenti le donne
honeste dalle dishoneste, i nobili dalli ignobili, & ogni di mutarsi
foggia di vestire, & cambiarsi le monete con gran danno de poveri,
che peggio è tosarli senza riportarne pena: ogn'uno sa che in
Mantoa ci sono i tosa beci, & non si puniscono.
[80] Spiacquemi il
veder per forza por le fanciulle nei monasteri, et per ogni lieve
cagione condursi gli huomini in steccato, vedersi tanti poveri
impiagati per le strade mendicare: tante sette de Frati, & de Suore:
tanti Epicurei, tanti Sardanapali. Spiacquemi il veder le donne farsi la
bionda; et i capelli neri, con lor mal augurio fargli simili alle fiamme,
fargli di piu ricci, rappresentando i serpenti che le circunderanno le
tempie, quando saranno dal gran giudice alli eterni supplicij
destinate. Spiacquemi di veder l'Italia divisa in tanti Signori.
Spiacquemi vedere una Signora in Lombardia gloriosa sovra modo, di
haver animo di Reina, & non si avedeva, che putiva di spelorchia, et
viveva da mendica. Non poteva sofferire di vedere nella lunigiana
trenta marchesi ad un tratto sopra d'un fico per sfamarsi. Oh come
mi venne a noia il vedere in Arco, et in Lodrone due mila conti, & un
sol contado, molto stretto, & povero. Pensate poi, che mi dovea
parere vegendo i Marchesi di Ceva, e i conti di Piacenza, & i

cavaglieri di Bologna. Spiacquemi vedere in lombardia una Signora
ch'era pazza, & voleva esser tenuta savia: era vecchia, et voleva
esser tenuta giovane, era brutta, & sforzavasi di apparir bella. Se io
volessi racontar tutte le cose c'ho vedute degne di biasimo, non ne
verrei a capo in tre mila giorni. Risoluto adunque di partirmi, chiamo
Tetigio, & si li dico il mio pensiero, li manifesto la mia deliberatione,
pregandolo mi risolvi se egli vuol rimanere in Italia, ò pur andarsene
nel mio paese: egli mi rispose, che molto volentieri nel mio paese se
n'anderebbe, cosi risolti: li dico: Tetigio: Intendo di volermene andar
per il mondo à veder cose rare, tu ti rimarrai in Italia, & voglio che
tutta l'Italia scorri con la diligentia maggiore, che ti sia possibile, &
rechi nel paese nostro le cose ch'io ti dirò, eccoti tre mila fiorini
d'oro: se piu te ne sia bisogno: vattene da parte mia al banco de
Priuli: voglio per la prima cosa, che di Sicilia mi adduchi due belle
mule senza vitio (se possibil è di ritrovar mule senza vitio) tre
schiavi, due schiave, ma guarda sieno ben sani, & nelle membra non
habbiano veruno diffetto, non li toglier domestici, ma selvaggi.
Portami della seta di messina almeno cinquanta lire, & della Manna
di Calavria: cinquanta braccia di Dobleto da Catanzarro; della Sargia,
che si fa in Castro villere, & trenta lire della seta di Mont'alto laquale
è piu forte della Messinesa: vorrei venti braccia della bambagina di
Nardo, delli Coriandoli della costa di Malphi, del Zafferano di
Abruzzo: qualche insito delle olive di bitonto: portami da Napoli
dell'opre, che fanno que setaivoli, ispetialmente strenghe, capelli, &
borse fatte con l'aco, recami del Sivetto, del sapone di Cervo, & de
fiori di aranci, dui corsieri della razza del Re, ò di quella del P. di
Salerno: portami da Roma tre dozene di belle corone per le nostre
donne: torrai in Firenze due pezze di brocato riccio sopra riccio, et
due di tela d'argento, con dieci lire di quel filo tanto sottile: portami
di que fiaschettini lavorati con la seta, che fanno le monache
Fiorentine, & di quelle coseline, che fanno i prigioni nelle stinche.
Fammi havere ventisei braccia di panno monachino, altretanto di
perso: venti braccia di rascia, sei berrette fiorentine per la state.
Portami da Fabriano trenta risme di carta. Da colle dieci dozine di
palle. Da Urbino cinquanta piatti di terra figurati. Da Bologna dieci
fiaschi di vetro coperti di cuoio lavorato, & cinquanta pallotte di

quelle del Melone, & trenta braccia di velo. Da Faenza, una credenza
de piatti, & di scodelle di terra bianca. Portami sei pezze di raso
Luchese. Torrami in Ferrara due pezze di veluto intagliato, & in
Ancona tre pezze di ciambelotto, tre similmente di Mocaiaro, due di
zarzecano, dieci di Bedena, sei feltri: sei Tapeti, cinquanta Cordovani
di vario colore: in Genova due pezze di veluto di tre peli: Di Sardignia
addurammi un paio di cavalli per far l'amore. Di Corsica voglio due
paia di cani per guardia de nostri giardini. compra in Cremona trenta
braccia di Sargia: torrai in Brescia due dozine di Forbici lavorati alla
zimina, & due di cortelli, quatro paia di Alari, o Cavedoni, che li
vogliamo chiamare: torrai alla Scarperia tre dozine di que ferretti da
stuccio: In Modona venti rotelle: venti Maschere: giunto in Reggio
fornisceti di staffe, di speroni, & di quelle opre fatte di corno, cioe
calzatoi, di scriminali, corone, anella, pettini. Se i speroni Rezzani
non ti piacciano, pigliali in Viterbo. Da Crema portami due pezze di
tela sottile: compra in Mantova dodici paia di calce di seta fatte con
l'aco, & altri lavori d'oro, & di seta. Di Milano sei corsaletti, sei
celade: venti migliaia d'aghi, cento paia di sonagli: venti sei braccia
di stametto: & altre tanto di Sargia pannata. Da Tortona sette vasi di
Tiriaca: et dieci capelli di paglia finissima: Da Seravalle, dieci buone
lamme. Di Padova, trenta braccia di quella Sargia cotonata: due
Dozine di berette leggerissime: venti paia di guanti, & per far razza
di quelle Galline Padovane. Da Vinetia venti specchi: cinquanta
bicchieri di Christallo, & venti tazze: trenta braccia di scarlatto: una
pezza di veluto cremisino: sei cassette di cipresso: dieci ventaruole
di seta di vario colore: dodici pettini d'avorio, venticinque braccia di
damasco: qualche vasetto di polvere di Cipri, & per profumar
camere. Dato che hebbi questo ordine inviai Tetigio alle facende & io
mi posi in viaggio per gir come feci errando. Credei (misero me) di
starmi fuor di casa quattro, ò cinque anni, & mi convenne starmi
dieci, et per estrema fortuna gir di mare, in mare vagando, & di
regione in regione peregrinando, pareva che Eolo, & Nettuno
havesser congiurati ne miei danni: mai havemmo vento che ci fusse
benigno & propitio: piu di sei giorni quasi continova pioggia notte &
giorno ci bagnò il capo: pareva che le Pleiade et le hiade fussero
adirate con esso noi, non ci bastò l'esser sopra di una nave che di

securanza avanzava quella Argo, sopra della quale Iasone, Tiphi,
Castore, & Polluce andarno in Colcos per toglier il vello aureo,
avanzava la nave nostra di velocita Pistri, Centauro, Chimera, tritone,
& Gias, che tutte furono perfettissime navi & dalli antichi scrittori
celebrate. Non ci bastò l'haver nocchieri esperti piu che ophelte, piu
che Mnesteo, piu che Servio, piu che Carapo, piu che Amicla, et piu
di Peloro: che scorrer ci bisognò al dispetto nostro infiniti pericoli
maggiori: egli è vero, che dopo molte angoscie sostenute con assai
intrepida fronte: mi trovai lieto et contento d'haver si longamente
errato: parendomi di poter giustamente vantarmi, d'haver veduti piu
diversi luoghi, & piu maniere di costumi, che mai non vide ne
Hercole, ne il travagliato Ulisse. ho veduto li phrigij, quai afferma
Herodoto esser antichissimi, ne stette molto à veder gli Archadi, quai
scrive Apollonio nella sua Argonautica esser piu antichi della luna. Ho
veduto Parnaso, d'onde n'uscivano gia gli oracoli di Apollo, & acciò
non mi reputi alcuno bugiardo, darolli i contrasegni, egli è in
Phocida, & è ornato di due belle cime: hò veduto la selva Grinea,
dove erano l'ombre di quanti famosi Poeti furono mai al mondo: vi ci
trovai d'alcuni moderni Poeti l'ombre assai meste, & lagrimose,
intendendo, che delli lor poemi se ne facevano scartoccini da
speciali, & da porvi dentro le sardelle: ho veduto Colcos, & il
fronzuto Idalio: fui per molti giorni in Egira, ove si adorava l'amore,
sotto un medesimo tetto con la fortuna istessa: passai per Arcadia,
ove si adora Aristeo, Dio del mele, vidi in Tebe adorar l'Iddio Bacco,
quasi che allhor io mi credei d'esser traportato in Polonia ò in
Alemagna: ho veduto presso delli Elei, il tempio di Plutone, che si
teneva perpetuamente chiuso: ho veduto in Lampsaco, adorar il Dio
Priapo, alquale l'asino si sacrifica per grand'honore: vidi in non so
qual luogo, mutarsi un'huomo, hor in toro, hor in serpente, & molti
ne vidi mutarsi in cervi, benche tal metamorphosi spesso si vega in
ogni luogo: mi son ritrovato dove la bella Alcione si mutò in uccello,
Calisto in Orsa Lyca in scoglio, Myrrha in albero: Corone in
cornacchia: Talo in perdice, Tereo in upupa: & Tiresia in femina: fui
costretto (misero me) di mangiar per molti giorni un pane tale, qual
fu il pane, rifiutato da Philoxeno perche non si facesse notte a mezo
giorno dalla negrezza istrema, che in se haveva: et i prohemi delle

cene nostre: erano radici amarissime: ben sospirava io allhora il pane
Padovano & i lumbi Vinitiani ma gran ventura fu la mia, poi che si
mal albergo fu incontanente dalla fortuna remunerato, col farmi
vedere gli orti di Alcinoo, liquali erano si de vari frutti ornati, che
appena l'uno era maturo, che l'altro vi nasceva. Vidi non molto
lontano, gli orti delle Esperide dove sono gli alberi d'oro, et vidi il
vigilante Dracone che li fa la guardia perche furati non sieno. Vidi
anchora gli orti di Adonide, & quei nell'aria sospesi, che con tanto
piacere in Assiria, & da paesani, & da passaggieri si contemplano
non so ben dire, se fusser fatti da Cirro, ò da Semiramis: se nel venir
in Italia vicino la Sicilia io udi cantar le Sirene, hora le vidi, & insieme
i stormenti ne quali cantano: hanno il corpo di femina fino
all'umbilico, il rimanente è pesce; le ho anche udito chiamarsi per i
propri nomi, una di quelle, che videro, chiamavasi Aglaosa, Telcippoa
un'altra; ve n'era una detta Pisna et una ve udi per nome Iliga. La
dolcezza del canto mi fece adormentare, & di tal sorte, che io vidi li
ministri del sonno, cioè Morpheo, Phabetore, & Phanto, liquali mi
parevano rasimigliarsi à certi miei amici, che si lievano all'Alba de
visconti, quando il Sole ci agiugne à meza gamba: non debbo
anchora narrarvi delle molte battaglie, che pel viaggio vidi farsi da
molti animali: la onde m'accorsi delle mortali nemistà, che fra gli
animali irragionevoli sono: vidi combattere eserciti di cornacchie, &
di nottole, di Nibbij, & de corbi, di aquile, & de trochili di murene, &
de congri, de delphini, & di balene, de cervi, & de serpenti, de
cameli, & de cavalli, di pecchie & de rondinelle, & de formiche, & de
sorici, & di salamandre, & de testugini, di elephanti, & de dragoni, &
di lacerte, & de lumache. Standomi un giorno fra gli altri alla ripa del
mare, aspettando si bonaciasse il tempo, per ritornar (se possibil
fusse) nella smarrita strada: vidi non in sogno, ma chiaramente la
Dea Thetis accompagnata da molte Halcioni: dal cui lato manco v'era
la dea Venere guidata da piu cigni, & da molte columbe: dal lato
dritto v'era Giunone, con una gran torma de pavoni. Vidi poi Minerva
con gran squadra di civette, che li andavano avanti con riverentia,
non molto lontano da lei, eravi Apollo con grata compagnia de corvi,
& de candidi cigni. Non si stette guari, che mi apparve Giove con la
sua Aquila in compagnia. dopo questa bella veduta, abonacciossi il

mare: si che n'andai commodamente à veder la torre Pharia, le
Piramidi del Nilo, andai dove era il tempio di Diana ephesia: il
sepolcro di Mausolo: il simulacro anchora di Giove olimpio: & dove
era già il Colosso del Sole di settanta piedi presso de rodiotti con
gran religione tenuto: ho veduto la casa di Cirro Re de Medi, nella
quale erano le pietre legate con l'oro: hò veduto il tempio che à
Giunone fece la reina Dido, et quel che fece Giarba re de Getuli à
Giove: un'altra nobil casa vidi non molto distante, copiosissima di
pretiose colonne, & de ingegnose statove di cedro fatte: non debbo
dirvi della casa del Sole, della quale ben si potrebbe dire, materiam
superabat opus. Ho veduto un teatro di trecento sessanta colonne,
la cui Scena, parte era di marmo, & parte di ben polito vetro: le
colonne inferiori erano di quarant'otto piedi, & fra le colonne vi
annoverai piu di trecento statove di bronzo, maestrevolmente fatte,
& era capace di settanta mila huomini: rassimigliavasi al Theatro di
M. Emilio scauro figliastro di Silla (per quanto mi sovviene della
descrittione) Hò veduto que quattro obelischi fatti si artificiosamente
dalli re di Egitto. hò veduto l'obelisco fatto da Ramise re di Egitto di
quaranta cubiti, che fu opra di venti mila huomini (sel vero mi fu
rifferito.) Ho veduto il Laberintho fatto da Dedalo, & un'altro
similmente nell'Egitto, con le colonne di marmore pario nell'intrare, &
le piu interne erano di marmore Sienito. Hò veduto i vestigij di quella
camera fatta da Alessandro Macedone, dove stavano cento letti
agiatamente, con le colonne d'oro, che sostenevano la sommità del
luogo, ch'era pur d'oro, nella quale stavano mille Persiani, mille
saetattori Macedonici, & cinquecento huomini con i scuti d'argento:
& nel mezo v'era un seggio d'oro, dove sedeva il sopradetto
Alessandro, con i suoi portatori di Sarisse: Compresi allhora
chiaramente, che dalle difficultà grandi, solite erano di nascerci
molte consolationi & infinite dolcezze: se tollerato non havessi
patientemente, & senza perdermi di cuore quelle tante fatiche che io
tollerai, come sarei io stato contemplatore di si memorabili cose?
Hora essendo io da venti qua, & la traportato: vidi una gran città
piena di Ermaphroditi: vidi li Arimaspi c'hanno un sol occhio: vidi li
Arimphei giusti sopra tutti i mortali, liquali stanno nelle selve, &
pasconsi di Bacche: ho veduto ancho un paese dove le femine sette

figli ad un tratto sogliono partorire, ne questo di rado accade, ma
sovente volte: ho veduto alcuni popoli, liquali usano di combatter co
gli occhi chiusi, & altri che maledicono, & biastemiano il sole, quando
si lieva, & quando tramonta, ne per nome alcuno fra loro si
chiamano, & altri popoli non lontano scorsi, liquali hanno dui estati,
dui verni, & quatro solstitij: hanno le mogli communi, & communi
sono anchora le facultà fra di loro: vidi in questo mio travaglioso
viaggio, li Agriophagi, che si pascono di carne de Lioni, & di
Panthere, & li vagabondi Arthabati, & li Astomi. perciò detti cosi,
perche sono senza bocca, & di corpo molto pelosi: vivendo sol di
odore per lo naso ricevuto: hò scorso per gran fortuna li Ethiopi
hesperij, senza legge, & senza alcuno instituto viventi: vendono i
Padri li figliuoli per haver del formento da mercatanti: ho scorso li
Axoni, ho veduto presso delli Armenij, le nevi rosse, perche adunque
tanto si maraviglia Tullio di quel philosopho, che disse la neve esser
negra. ho considerato attentamente le usanze delli Assirij, nel propor
li infermi nelle vie publiche, acciò che da passagieri ricevino
consiglio, ho considerato li stravaganti costumi delli Abideni e delli
popoli atrij, tanto nemici de furti, delli asbiti, delli adrimarchidi, delli
besalti, & delli boristenidi da perpetuo freddo tormentati: ho veduto
li horridi Battriani, & li magnifici & splendidi Persiani. ho ben
considerato li corruttissimi costumi de Babilonici, li rozzi Boetij, i
religiosi Bithini, li sani Bragmani, gli inhumani Berbici, li schifosi
Budini, che de pidocchi si pascono: son stato fra li Casiri & hebbi
fatica à campare dalle lor mani, imperoche si pascano de corpi
humani. Son stato fra que popoli detti Ophiophagi perche de
serpenti si nodricano. Son stato fra li Choromandi huomini senza
voce, ma di horribil stridore, di corpo peloso, et de denti canini: ho
veduto femine partorir di cinque anni, ne vivere piu di otto; ho
veduto li Cauci, popoli settentrionali, che habitano case simili alle
navi, & sono gran mangiadori de pesci: ho veduto li Chelenophagi di
Carmania che viveno sol di carne di testugine: debbo tacere i Caspij,
i cureti, i Calcidensi, e la Caldea adoratrice del fuoco, et allo'ncontro i
Galleci che non adorano cosa veruna. ho veduto li sporchi Chij, dalli
quali nacque il proverbio chilìs omnia percacat. Ho veduto li
seditiosi Cercirci, li fraudulenti Cercopi, et li Crestoni, presso de quali,

ciascuno hà piu mogli: se fussero di tanta spesa à mariti quanto
sono le femine Italiane pur troppo n'haverebbono di una. Hò veduto
li Mitrati Cisti, li timidi, & effeminati Ciziceni, & li severi Derbici, che
ogni minimo delitto di dura morte puniscono: hò veduto li Essedoni,
liquali cantano ne funerali de lor padri. Ho veduto li Esseni, astenenti
di vino, di carne, & de feminili congressi, senza haver fra di loro
alcuna cosa di proprio: hò veduto li Epizefirij presso de quali è pena
capitale, per la salute del corpo à ber vino. Ho veduto li superstitiosi
Ephesii: & li Fanesii nell'oceano settentrionale, c'hanno gli orecchi si
grandi, che ne cuoprono tutto'l corpo. Ho veduto li depinti Geloni,
bevitori del sangue di cavallo, mescolato col latte: Ho conversato
molti giorni, col rigido Geta, col vagabondo Garamanto, col nudo &
selvaggio Gamphasando: con il Gimnosophista dell'otio, & della
pigritia capital nemico: con l'hiperboreo settentrionale, indefesso
cacciatore: con l'Eptacometa habitatore delli alberi, ò delle alte torri:
con l'hircano, che fa mangiar i suoi defunti da cani: con l'Omolotta
del bue amico, con l'inhumano Henioco, con l'Alizone di Scithia gran
mangiatore d'aglio, di cipolle, di lente & di miglio. Ho veduto il ferino
hibero, il dilicato Ionico, il fortunato Lothofago, il Leuco, saettatore
eccellente: il bellicoso Lacedemonio, il Lepreo, nemico d'adulterij, il
brieve Lacone, il giusto & hospital Lacano, l'invidioso Lusitano, il lidio
Taverniero & giuocatore di palla, il lussurioso Lesbio, il libico
cacciator di elephanti: ho conversato con i Laciadi, con i Lirci, con i
Massageti, con i Marsi domatori de serpenti, con i Mandi che viveno
di locuste, con i Menismini che viveno sol di latte di cinocephali, con i
Miconij vaghi dell'altrui mense, con i Mosini che in publico mangiano,
con i Masilli governatori de lor cavalli, non con freno, ma con la sol
verga, con i Molossi cacciatori, con i Nasameni dottissimi nel
saettare, con i Magneti strenui domatori de cavalli, con i Mardi
habitatori di spelonche; con il Macedonico che non soffre che alcun
si cinga se almeno uno de suoi nemici ucciso non habbia; con il
religioso Myso, con il Medo ottimo cavalcatore, con il crudel
Mosyneco, col soggetto Messenio, con il tonduto Maco, con il Miniato
Machylo, con il falso Megarese, con il Melancleno, di veste nera
ornato: con il Mendesio adoratore di capre, col veloce Monomero. Ho
veduto ancho il sfrenato Numida: ho veduto il Norico ricco di ferro.

Ho veduto l'indomabil Nervio, l'inhospital Britanno del quale parlando
Oratio scrisse. Visam Britannos hospitibus feros. Ho cercato li
Nabathei nell'accumular ricchezze giorno & notte intenti: ho ricercato
li Pelusioti, liquali nell'invecchiar della luna si tondeno il capo, &
guardansi come dalla peste di mangiar cipolle. Ho ricercato le
contrade de Cilici Pirrati, ho circondato tutta la regione de Phenici
che già tanta lode hebbe dal ritrovar le stelle, & le lettere, con le arti
belliche & navali. Ho veduto li Cubitali pigmei: & li vivacissimi Pandori
popoli dell'India, alli quali in gioventu i capelli son candidi, & in
vecchiezza si fanno neri, sono stato presso delli unguentati & bevitori
Parthi, liquali pasconsi di cicale. Ho veduto li Agresti Paramesidi: vidi
in questa mia longa peregrinatione li Phaseliti popoli di Pamphilia,
liquali sacrificano alli Dei di certi pesciolini salati. Ho veduto li Pariani
nell'helesponto, liquali adorano l'amore per lor Iddio. Ho veduto li
Pedalij, liquali ne lor sacrificij altro a Dio non dimandano, salvo che
giustitia: ho veduto il feroce & lauto Pannone: ho veduto li Phigalei
vicini alli Messenij tanto vaghi del vino, che habitano nelle taverne &
allogano le case à forestieri: Ho veduto i Poltroni Rhegini, li
industriosi Seri: & quelli Sciti, c'hanno le case volubili sopra di carri
poste: ho veduto li Sauromati che si spesso cambiano stanza,
habitano fra l'histro & il Boristene: pratticai con li Suani, indomiti &
cavatori dell'oro. Se volessi dir quanti satiri m'habbia veduto sarei
troppo prolisso: non mi stendero molto in dirvi c'habbia veduto li
ricchissimi Sabei, ò li Sorboti che sono grandi otto cubiti non vi dirò
d'haver veduto li Sciopedi liquali dall'estremo calore si diffendeno
con l'ombra de piedi: ho veduto i Soriti, liquali viveno di pesce cotto
al sole: ho veduto l'efferato Svevo: ho veduto il leggier Siro & alla
novita di sua natura inchinato: ho veduto li Sogdij vicini à Bactriani,
liquali si lietamente corrono alla morte: ho veduto quelle donne quai
chiama Erodoto Selenetide che partoriscono uova, & di quelle
n'escono huomini di gran statura: Ho veduto i Sarabaiti sacerdoti
dell'egitto vestiti di pelli del porci, & de buoi, & habitano ne forami
delle pietre. ho veduto i Scriptovini gelati per le perpetue nevi, i
Spartani nemici dell'oro: & dell'argento, & amicissimi del ferro, della
qual materia sono anche li danari loro: ho veduto li popoli Siginni,
con i lor piccioli & pelosi cavalli: ho veduto li Samij, & il gimnasio che

dedicarno all'amore & mi sono ritrovato presente alli sacrificij quai
chiamano Eleutheri: ho veduto li amorevoli Sotiani & le horride
spelonche de Trogloditi: ho veduto l'isola Taprobana & sonomi
ammirato della lor vivacita poi che il campar cent'anni è si poca vita
stimato. Sono stato molti giorni con i Thraci, & mi sono riso della lor
fragil memoria, non sapendo annoverare oltre quatro: sono stato
presso delli Tentirithi, tanto da Cocodrilli temuti: Sono stato con i
Tapyri tanto altrui liberali delle lor mogli: Son stato presso delli giusti
Tybareni: son stato presso delli Thrausi, dove le femine sono sopra
modo innamorate de lor mariti. Son stato presso delli inquieti
Spagnuoli: de furibundi Galli, & de animosi Tedeschi. Son stato
presso delli Elusii, & delli Oxiomi di volto humanissimi, del rimanente
poi simili alle fiere: Se volessi scrivere quanto ho veduto, farei piu
alto volume che non fece Livio Patavino: stracco adunque di gir piu
vagando: deliberai inviarmi ver casa, dove giunto, fui lietamente da
parenti & da amici acarezzato; dil che sempre ne sia lodato Iddio,
ilquale vive & regna sin ne secoli de secoli. Amen.

NICOLO MORRA ALLI
LETTORI.
odi Lettore il presente Commentario, nato dal
costantissimo cervello di M. O. L. detto per la sua natural
mansuetudine il Tranq. rincrescemi che tu non lo possi
godere, come il suo archetipo stava, impero che'l rispetto
n'ha fatto mozzar una buona parte, il sospetto un'altra, et il dispetto
ha fatto squarciar piu di tre fogli: Se ci fusse cosa veruna che ti
paresse Favola; sovengati della nave delle carotte nel
cominciamento. Io ti so ben dir come quello che familiarissimo li
sono, che non senza gran sudore ci hà dato questo parto, & gli è
stato mestieri di volger sossopra di molte & molte carte: Se in
qualche cosa ti parerà mordace, & furioso, & maldicente: habbili
compassione, perche egli era allhora in croce quando queste cose
scriveva, & era pieno di desperatione: havrebbe egli voluto poter
rovinare tutto il mondo, & certo s'egli fusse stato di vetro lo
havrebbe piu d'una volta spezzato. egli non si è curato di favellare ò
di scrivere toscanamente come hoggidi molti si sforzano di fare, ma
piu tosto hà voluto scriver nella lingua nellaqual nacque, oltre che fu
sempre fin da fanciullo piu studioso d'imitare la lealtà toscana, che la
lor dolcissima favella, de gli errori che sono nel stampare occorsi,
perdona al stampatore, perdona alla rozza & villa mano che lo
scrisse da prima, & anche perdona volentieri alla negligentia del
correttore; ilquale haveva allhora il capo pieno de grilli. Sta sano, &
giudica candidamente, pigliando questa picciola lettione per un
passatempo. Di Vinetia alli XXIIII di Settembre.

CATALOGO
DELLI INVENTORI
DELLE COSE CHE
SI MANGIANO, ET
DELLE BEVANDE
CHE HOGGIDI SI
USANO.
COMPOSTO DA M.
Anonymo, cittadino
di Utopia.
CON PRIVILEGIO DELL'ILLU-
STRIS. SENATO VENETO.

AL VIRTUOSO, ET NOBILE S.
il S. Gioan battista Luzago.

on potendovi mandar le novelle, che s'erano alli di passati
ritrovate sotto titolo di quel frate Cippolla, c'ha meritato
d'esser lodato da messer Gioan Boccaccio, vi mando il
presente Catalogo, sotto vostro nome publicato, & questo
non hò già io fatto per dargli un protettore contra di quelli, che sono
piu pronti al calunniare, che all'imitare, ne anche l'ho fatto per
essercitar la vostra liberalità di sua natura assai pronta à giovar chi
n'ha bisogno; ma l'ho fatto sol perche vi ho sempre conosciuto avido
lettore di quelle cose dove io pongo la mano: godete adunque
questa picciola lettione, & quando l'havrete ben goduta, fatene
partecipi il generoso cavaglier Pompilio, & il molto Reverendo signor
Silvio; & qui facendo fine, à tutti tre di buon cuor mi raccomando:
Di Vinegia alli X di Settembre.

CATHALOGO DELL'INVEN-
TORI DELLE COSE, CHE SI
mangiano, & delle bevande, ch'hog-
gidi s'usano.
ivevano gli antichi nostri nella prima età, detta l'età
dell'oro, (vivevano dico) di giande: & delle frondi se ne
coronavano le tempie: Cerere poi, donna d'immortal fama
& di eterno honore degna, ritrovò il formento: &
insegnocci à far il pane: Si visse longo tempo in Italia di polte, si
come in Grecia di polenta si viveva, & cosi fu incognita la polenta in
Italia, come anchora la polte in Grecia: Ennio nobil poeta,
descrivendo una gran fame dice, che i padri toglievano di bocca à
figliuoli l'offa, ne fa alcuna mentione di pane: habbiamo per certo
grande obligatione à Cerere, & non minore à Carmilia, laquale vi
aggiunse il fermento, perche facesse i corpi piu robusti, & ci
porgesse piu salutevole nodrimento: Facevasi già il pane à quella
foggia, c'hora si fanno i Caci cavalli: poi si ridusse in forma di
schiacciata, se è egli finalmente dato figura spherica. Papinio egittio
insegnò à mescolarvi l'aniso, & il burro, per farlo piu delitioso:
longamente si stette senza pistori: & era solamente opera di femine
il far pane, & i pistori erano detti dal pestare.
Hor volendo seguitare il mio Cathalogo, parmi d'avisare il lettore
della presente operetta, chel non si maravigli punto se non hò
serbato quell'ordine ch'egli forse havrebbe voluto: Io l'ho descritto di
mano in mano con quell'ordine, che ancho presso de vari scrittori mi
è accaduto di ritrovarle: non ho tessuto il presente Cathalogo dalli
scritti di un sol autore, ma forse di cinquecento; ne mai havrei

creduto, che di si picciola impresa non ne fussi riusciuto con minor
sudore, & travaglio di quel c'ho sostenuto. Hora perche l'opera fusse
non sol curiosa, ma anche insieme utile, non mi son contentato di dir
semplicemente gli inventori delle cose, che vi hò voluto aggiungere
l'utilità della cosa ritrovata, non diffusamente, ma sono ito ristretto,
quanto piu hò potuto, & dal pesce con favor celeste incominciarò
questa mia non inutile fatica.
Hirtia figlia di Sesostre Re dell'Egitto, la qual predisse al padre la
futura monarchia, fu la prima che mangiasse le Corniolette & le
Tinche: Una Lombarda le empi di aglio, & poi di soavi herbuccie.
Labissa di Boemia, divinatrice: fu la prima che mangiasse seguzzole,
ceppe, & Scolopendre: ma non le mangiò già si delitiosamente
cucinate, come hoggidi s'usa di fare.
Lementione: fu il primo che mangiasse Bottrici, & lasche, delle quali
molto n'abonda il lago di Perosa già detto Trasimeno, dove Romani
per temerità di Varro ne hebbero quella memorabil rotta.
Agomoncelo prefetto di Alessandro magno: fu il primo che cuocesse,
& in tavola ponesse il Schenale, et la Murena insalata: era costui di
tanta richezza & di tanto splendore, che si poneva sotto le scarpe i
chiodi d'oro.
Cleopatra l'ultima reina dell'Egitto: fu la prima, che ponesse in tavola
il Dragon marino, & il pesce Milvio: Apparecchiò costei una cena ad
Antonio, nella quale spese à conto di nostra moneta ducento
cinquanta mila corone d'oro: dal che si mosse Sidonio à chiamar le
sontuose vivande: Cleopatricas dapes.
L. Neratio scelerato (se altri ve ne fu à suoi tempi) fu il primo, che
ponesse in uso di mangiar scazzoni, pesce argentino, & quell'altro
pesce, detto da lombardi sputa pane: fa di costui mentione Aulo
Gelio: nelle sue notti attiche.

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