Advances In Nonlinear Dynamics S Sivasundaram Aa Martynyuk

Advances In Nonlinear Dynamics S Sivasundaram Aa
Martynyuk download
https://ebookbell.com/product/advances-in-nonlinear-dynamics-s-
sivasundaram-aa-martynyuk-48865640
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Advances In Nonlinear Dynamics Volume Iii Walter Lacarbonara
https://ebookbell.com/product/advances-in-nonlinear-dynamics-volume-
iii-walter-lacarbonara-57058454
Advances In Nonlinear Dynamics Volume I Walter Lacarbonara
https://ebookbell.com/product/advances-in-nonlinear-dynamics-volume-i-
walter-lacarbonara-57213250
Recent Advances In Nonlinear Dynamics And Synchronization Theory And
Applications 1st Edition Guanrong Chen
https://ebookbell.com/product/recent-advances-in-nonlinear-dynamics-
and-synchronization-theory-and-applications-1st-edition-guanrong-
chen-4193636
Recent Advances In Nonlinear Dynamics And Synchronization With
Selected Applications In Electrical Engineering Neurocomputing And
Transportation 1st Edition Kyandoghere Kyamakya Et Al Eds
https://ebookbell.com/product/recent-advances-in-nonlinear-dynamics-
and-synchronization-with-selected-applications-in-electrical-
engineering-neurocomputing-and-transportation-1st-edition-kyandoghere-
kyamakya-et-al-eds-6788792

Water Hammer Research Advances In Nonlinear Dynamics Modeling Kaveh
Hariri Asli
https://ebookbell.com/product/water-hammer-research-advances-in-
nonlinear-dynamics-modeling-kaveh-hariri-asli-4732334
Fluid Mechanics And Heat Transfer Advances In Nonlinear Dynamics
Modeling Kaveh Hariri Asli
https://ebookbell.com/product/fluid-mechanics-and-heat-transfer-
advances-in-nonlinear-dynamics-modeling-kaveh-hariri-asli-5101362
Renewable Energy Systems Modelling Optimization And Control Advances
In Nonlinear Dynamics And Chaos Andc 1st Edition Ahmad Taher Azar
Editor
https://ebookbell.com/product/renewable-energy-systems-modelling-
optimization-and-control-advances-in-nonlinear-dynamics-and-chaos-
andc-1st-edition-ahmad-taher-azar-editor-34775606
Advances In Applied Nonlinear Dynamics Vibration And Control 2023
Xingjian Jing
https://ebookbell.com/product/advances-in-applied-nonlinear-dynamics-
vibration-and-control-2023-xingjian-jing-55513376
Advances In Applied Nonlinear Dynamics Vibration And Control 2021 The
Proceedings Of 2021 International Conference On Applied Nonlinear
Dynamics Notes In Electrical Engineering 799 1st Edition Xingjian Jing
https://ebookbell.com/product/advances-in-applied-nonlinear-dynamics-
vibration-and-control-2021-the-proceedings-of-2021-international-
conference-on-applied-nonlinear-dynamics-notes-in-electrical-
engineering-799-1st-edition-xingjian-jing-34872598

Advances in Nonlinear Dynamics

Stability and Control: Theory, Methods and Applications
A series of books and monographs on the theory of stability and control
Edited by A.A. Martynyuk, Institute of Mechanics, Kiev, Ukraine and V. Lakshmikantham, Florida
Institute of Technology, USA
Volume 1
Theory of Integro-Differential Equations
V. Lakshmikantham and M. Rama Mohana Rao
Volume 2
Stability Analysis: Nonlinear Mechanics Equations
A.A. Martynyuk
Volume 3
Stability of Nonautonomous Systems (Method of Limiting Equations)
J. Kato, A.A. Martynyuk and A.A. Shestakov
Volume 4
Some Applications of Control Theory
E.O. Roxin
Volume 5
Advances in Nonlinear Dynamics
S. Sivasundaram and A.A. Martynyuk

Advances in Nonlinear Dynamics
Edited by
S. Sivasundaram
Embry-Riddle Aeronautical University,
Daytona Beach, Florida, USA
and
A.A. Martynyuk
Institute of Mechanics
Kiev, Ukraine
Boca Raton London New York
CRC Press is an imprint of the
Taylor & Francis Group, an informa business

First published 1997 by Gordon and Breach Science Publishers.
C
Published
opyright
2021
© 1
by
99
CRC
7 OPA
Press
(Overseas Publishers Association
Taylor & Francis Group
in The Netherlands under licence by Gordon and Breach Sci
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
All rights reserved.
© 1997 by Taylor & Francis Group, LLC
NCRC o paPress rt of thiis an s bimprint ook mayof bTaylor e repro& duFrancis ced or uGroup, tilized inan Tnforma any formbusiness or by any means, el
) Amsterdam B.V. Published
e
nce Publishers.
ectronic
or mechanical, including photocopying and recording, or by any information storage or
publisher. Printed in Singapore.
Amsteldijk 166
No retrieclaim val syto soriginal tem, witU.S. hout pGovernment ermission inworks writing from the
TSBN-13: 978-90-5699-030-5 (hbk)
This
book contains information obtained from authentic and highly regarded sources.
1st Floor
Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author
1079 LH Amsterdam
and publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the
T
consequences
he Netherlan
of
ds
their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright
holders
of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if
permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not
been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint.
Except as permitted
under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted,
reproduced,
British Libr
transmitted,
ary Catalo
or
gu
utilized
ing in P
in
ub
any
lica
form
tion
by
Da
any
ta
electronic, mechanical, or other means,
now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in
any
Advances in nonlinear dynamics. - (Stability and control:
theory, methods & applications ; 5)
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access
www.copyright.com(http://www.copyright.com/) 1. Nonlinear control theory
or contact the Copyright Clearance Center,
Inc.
I. (CCC), Sivasun222 daRosewood ram, S. IIDrive, . MartyDanvers, nyuk, A.AMAO .1923, 978-750-8400. CCC is a
not-for-profit
515.3’52organiza-tion that provides licenses and registration for a variety of users. For
organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of
payment
ISBN
has
90-5
been
699-
arranged.
030-6
Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks,
and are used only for identification and explanation without intent to infringe.
British Library Cataloguing in Publication Data
Advances in nonlinear dynamics. -(Stability and control :
theory,
methods & applications ; 5)
1. Nonlinear control theory
I. Sivasundaram, S. II. Martynyuk, A.A.
515.3'52
Visit the Taylor & Francis Web site at
http://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http://www.crcpress.com

Contents
Introduction to the Series ix
Preface xi
1 A Survey of the Work of S. Leela 1
A. A.
2 Oscillatory Property for Second-Order Nonlinear Difference Equations
via Lyapunov’s Second Method 11
Ravi P. Agarwal, S. Pandian and E. Thandapani
3 Asymptotic Behavior of Solutions of Limiting Differential Equations 23
Stephen R. Bernfeld and Pierre A. Vuillermot
4
Klaus Deimling
5 Global Stability in a Hyperbolic Logistic Map with Eventually Fading Memory 41
K. Gopalsamy and Pingzhou Liu
6 Exponential Quality of Time-Varying Dynamical Systems:
Stability and Tracking 51
Ljubomir T. Grujic
I Asymptotic Constancy of the Solutions of a Nonlinear Delay Equation 63
L. Hatvani
8 A Local Attractor for the Planar System jc = y, y = — F(x,y) 71
George Karakostas
9 Stability of Moving Invariant Sets 79
V. Lakshmikantham and A.S. Vatsala
10 Stability of n-Dimensional Inhomogeneous Delay Differential Equations 85
B. S. Lalli and S.R. Grace
II Uniform Boundedness for Impulsive Systems of Integro-Differential Equations 93
Xinzhi Liu
v

vi
12A Contraction Principle 99
AA. Martynyuk
13Monotone Iterates and Stability for First-Order Ordinary Differential Equations 107
Juan J. Nieto
14Periodicity and Stability of Semigroups via “XK € p(CK) => X € p(C )” 117
N.H. Pavel
15Asymptotic Stability of Linear Delayed Systems without Instantaneous
Dissipative Terms 129
Wang Wendi and Ma Zhien
16Uniform Stability of a Delay Single Population Model 137
J.S. Yu and B.G. Zhang
17Control in Cardiac Components 147
Jane Cronin
18Control of Nonlinear Delay Differential Economic Systems in 157
E.N. Chukwu
19Controllability of Nonlinear Integro-Differential Systems 171
S.G. Deo and S. Sivasundaram
20A Second-Order Dubovitskii-Milyutin Theory and Applications to Control179
Urszula Ledzewicz and Heinz Schüttler
21The Index for Control Systems 193
Emilio O. Roxin
22Linear Systems Governed by Operators Beyond Hille-Yosida Semigroups 197
N. U. Ahmed
23Monotone Iterative Methods for Impulsive Hyperbolic Equations 209
Drumi Bainov and Emil Minchev
24Beyond Quenching for Singular Reaction-Diffusion Mixed
Boundary-Value Problems 217
C. Y. Chan and N. Ozalp
25Neutral Functional Differential Equations with Abstract Volterra Operators 229
C. Corduneanu
26Existence and Multiplicity Results for a Dirichlet Problem with
Two Parameters 237
C. De Coster and R Habets
CONTENTS

CONTENTS vii
27 Existence and Uniqueness of Solutions of Impulsive Integro-Differential
Equations in Banach Spaces 245
Dajun Guo
28 A Nonlocal Multipoint Boundary-Value Problem at Resonance 253
Chaitan P Gupta
29 The “Evolution” of Invariance Principles a la Liapunov’s Direct Method 261
John R. Haddock
30 First-Order Discontinuous Differential Equations with Functional
Boundary Conditions 273
Seppo Heikkila
31 Focal Boundary-Value Problems for Singular Ordinary Differential Equations 283
Johnny Henderson and William Yin
32 Some Properties of Differential Equations in the Weak Topology of
a Reflexive Banach Space 297
Athanassios G. Kartsatos and William R. Zigler
33 Finite-Dimensional Attractors for von Karman Systems with Nonlinear
Dissipation and Noncompact Nonlinearity 307
Irena Lasiecka
34 Dynamics of Weakly Coupled Parabolic Systems with Nonlocal
Boundary Conditions 319
C.
35 Convex Dependence of Solutions of Dynamic Systems on Time
Scales Relative to Initial Data 329
S. Sivasundaram
36 Multipoint Methods for Linear Hamiltonian Systems 335
D. Trigiante
37 Global Existence of Solutions to a Class of Nonlinear Systems of
Functional Differential Equations 349
Li Ta-Tsien (Li Da-Qian) and Kong De-Xing
38 Existence Principles for Nonlinear Integral Equations on Semi-Infinite
Intervals and Half-Open Intervals 355
John W. Lee and Donal O *Regan
39 Controllability and Observability of Continuous Matrix Liapunov Systems 365
K.N. Murty and P.V.S. Anand
Author Index 381
Subject Index 387

Professor S. Leela

Introduction to the Series
The problems of modem society are both complex and interdisciplinary. Despite the
apparent diversity of problems, tools developed in one context are often adaptable to
an entirely different situation. For example, consider the Lyapunov’s well-known second
method. This interesting and fruitful technique has gained increasing significance and has
given a decisive impetus for modem development of the stability theory of differential
equations. A manifest advantage of this method is that it does not demand the knowledge
of solutions and therefore has great power in application. It is now well recognized that the
concept of Lyapunov-like functions and the theory of differential and integral inequalities
can be utilized to investigate qualitative and quantitative properties of nonlinear dynamic
systems. Lyapunov-like functions serve as vehicles to transform the given complicated
dynamic systems into a relatively simpler system and therefore it is sufficient to study the
properties of this simpler dynamic system. It is also being realized that the same versatile
tools can be adapted to discuss entirely different nonlinear systems, and that other tools,
such as the variation of parameters and the method of upper and lower solutions, provide
equally effective methods to deal with problems of a similar nature. Moreover, interesting
new ideas have been introduced which would seem to hold great potential.
Control theory, on the other hand, is that branch of application-oriented mathematics
that deals with the basic principles underlying the analysis and design of control systems.
To control an object implies the influence of its behavior so as to accomplish a desired
goal. In order to implement this influence, practitioners build devices that incorporate
various mathematical techniques. The study of these devices and their interaction with the
object being controlled is the subject of control theory. There have been, roughly speaking,
two main lines of work in control theory which are complementary. One is based on the
idea that a good model of the object to be controlled is available and that we wish to
optimize its behaviors, and the other is based on the constraints imposed by uncertainty
about the model in which the object operates. The control tool in the latter is the use
of feedback in order to correct for deviations from the desired behavior. Mathematically,
stability theory, dynamic systems and functional analysis have had a strong influence on this
approach.
Volume 1, Theory of Integro-Differential Equations, is a joint contribution by V. Laksh-
m ikantham (U S A ) and M . R am a M ohana R ao (India).
Volume 2, Stability Analysis: Nonlinear Mechanics Equations, is by A.A. Martynyuk
(Ukraine).
IX

X
Volume 3,
Equations
A.A. Shestakov (Russia).
Volume 4, Control Theory and its Applications, is by E.O. Roxin (USA).
Volume 5, Advances in Nonlinear Dynamics by S. Sivasundaram and A.A. Martynyuk
(collection of works).
Due to the increased interdependency and cooperation among the mathematical sciences
across the traditional boundaries, and the accomplishments thus far achieved in the areas
of stability and control, there is every reason to believe that many breakthroughs await us,
offering existing prospects for these versatile techniques to advance further. It is in this spirit
that we see the importance of the “Stability and Control” series, and we are immensely
thankful to Gordon and Breach Science Publishers for their interest and cooperation in
publishing this series.

Preface
This volume consists of 39 papers contributed by experts from 15 countries, and addresses
a wide range of problems of modern nonlinear dynamics focused on stability and control.
The first group of papers dealing with stability, discuss the oscillation of solutions,
dissipation and almost-periodicity, global stability, tracking, dynamic uncertain systems,
population stability, etc.
The second group of papers on control, deal with process controls in cardiology, nonlinear
system controllability and its index, etc.
Finally, miscellaneous papers include discussions of the problems of existence of
solutions for new classes of systems of equations and boundary problems, proofs of basic
theorems of comparison principle, etc.
The results reported here are of great importance for further construction of stability and
control theories using new models of real phenomena. Many of the problems investigated
are associated with the ideas and methods proposed and developed by Professor S. Leela.
On the occasion of her 60th birthday, the editors and authors who contributed to this
volume wish her success and prosperity.
Finally our immense thanks are due to the production staff of Gordon and Breach Science
Publishers for their cooperation in publishing this volume.
xi

1 A SURVEY OF THE WORK
OF S. LEELA
A.A. MARTYNYUK 1 and S. SIVASUNDARAM2
1 Institute of Mechanics, National Ukrainian Academy of Sciences,
252057, Kiev 57, Nesterov Street 3, Ukraine
2 Department of Mathematics, Embry-Riddle Aeronautical University,
Daytona Beach Florida, FL 32114, USA
1 Introduction
The problem of modem society are both complex and interdisciplinary. Despite the apparent
diversity of problems, however, often tools developed in one context are adaptable to an
entirely different situation. For example, consider Lyapunov’s second method. Although
Lyapunov initiated what is now called “Lyapunov’s second method” at the end of the
last century, an intensive development of Lyapunov’s ideas came to light only in the later
part of this century, especially after the Second World War. This interesting and fruitful
technique has gained increasing significance and has given decisive impetus as the modem
development of stability theory of differential equations. A manifest advantage of this
method is that it does not require knowledge of solutions, and therefore has greater power
in applications.
It is now recognized that the concept of Lyapunov-like functions and the theory of
differential and integral inequalities can be utilized to study qualitative and quantitative
properties of nonlinear differential equations. Lyapunov-like functions serve as a vehicle
to transform a given complicated differential system into a relatively simpler system, and
therefore it is enough to investigate the properties of this simpler differential system. It is
also being realized that the same versatile tools are adaptable to discuss entirely different
nonlinear systems, and other tools such as the method of variation of parameters and the
monotone iterative technique provide equally effective methods to investigate problems of
similar nature. Moreover, interesting new notions and ideas have been introduced that seem
to possess great potential. It is in this spirit that we see the importance of the contributions
of S. Leela.
1

2
2 A Survey of Basic Results
Let us briefly sketch the initial development of her work. By the time Leela started her
research work, a notion called eventual stability of a set was introduced by Lasalle and
Rath [9'], which generalizes the Lyapunov stability of an invariant set. Leela [3] observed
that although eventual stability of a set is not invariant in the usual sense, it is so in the
asymptotic sense. This led to a new concept of asymptotically invariant set, and its stability
properties closely resemble those of an invariant set.
Although using a single Lyapunov function and theory of differential inequalities, one
can study a variety of problems in a unified way, Bellman [2'] and Matrosov [11'] showed
that employing vector Lyapunov functions offers a more flexible mechanism. In a series
of papers [18,38,57,59,64,66] Leela has exploited the use of vector Lyapunov functions to
discuss conditional stability properties of invariant sets of functional differential equations,
parabolic differential equations and the conditional stability of asymptotic invariant sets.
Also, in [12], converse theorems for the existence of vector Lyapunov functions for
conditional stability of motions are discussed.
At this stage, Leela collaborated with Lakshmikantham in writing a two-volume
monograph entitled Differential and Integral Inequalities [A,B] which, although similar
to Szarakii’s [23] and Walter’s [24] books, is much more comprehensive. For example,
Volume I contains, among other things, a full chapter on the method of vector Lyapunov
functions, which has inspired a lot of work on large-scale systems [7',8', 16', 18',21',22'].
In Volume II, there are three chapters dealing with the theory of functional differential
equations, giving the first systematic exposition in English. These two volumes have
stimulated much further work in this general area. It is somewhat surprising that, after
a quarter of a century, these volumes are still popular and being utilized in research work.
During the 1970s, Leela embarked on the study of nonlinear evolution equations in a
Banach space. Important results concerning the method of cone-valued Lyapunov functions
[27,28,47], the existence and uniqueness of solutions of delay differential equations in
closed sets [32], the method of upper and lower solutions in abstract cones [36,37], the
role of quasi-solutions in a Banach space [38], and discontinuous differential equations in
a Banach space [58,72] were obtained. The study of evolution equations with set-valued
discontinuous right-hand sides resulted in basic work by Crandall and Ligget [6'], Kobayashi
[10'], Benilan [4'] and others. Seeing the importance of this subject area, Leela collaborated
with Lakshmikantham in writing a monograph entitled Nonlinear Differential Equations
in A b s t r a c t S p a c e s [ C ] , w h i c h , t o g e t h e r w it h t h e b o o k s o f B a r b u [ 2 '] , M a r t in [ 1 5 '] ,
Deimling [9'], Krein [11'], Daletskii and Krein [5'] and Azbelev etal. [L], offers up-to-date
information on the theory of evolution equations.
One of the most useful methods in proving the existence of multiple solutions of initial-
and boundary-value problems, including problem at resonance, is the monotone iterative
technique. If we know the existence of upper and lower solutions w and v of a nonlinear
problem satisfying v < w and appropriate initial or boundary conditions then the existence

A SURVEY OF THE WORK OF S. LEELA 3
of a solution u of the same problem with v < u < w can be established. The methods of
upper and lower solutions coupled with the monotone iterative technique furnishes a very
effective and flexible mechanism that offers constructive existence results in a sector and is
also useful for the study of qualitative behavior of solutions. The key ideas of this combined
approach can be seen in the following simple result [12].
Theorem Assume that v, w e ^ { [0 , T],M}, v < w, v' < f(t,v) and w' >
f i t, w) on [0, T], with v(0) < uo < w( 0), where f e C[[0, T] x M, M] and satisfies
f ( t, u\) — f { t, uf) > —Miu\ — U2), M > 0, whenever vit) < U2 < u\ < wit). Then
there exist monotone sequences {u,2} {u^} such that vn -a- p and wn r uniformly
and monotonically on [0, T] and that are the extremal solutions of the initial value problem
ur = f i t, u), w(0) = u q.
These ideas have played an important role in unifying a variety of nonlinear problems.
In a series of paper [26,29,36-38,43-45,58,71], Leela and collaborators have generalized,
extended and refined the monotone iterative technique to various nonlinear problems. These
results are included in the recent monographs [D,F] on this subject.
Recently, the investigation of impulsive differential equations has attracted much
attention, since many evolution process resulting from applications are subject to short-term
perturbations in the form of impulses [19']. Furthermore, the theory of such equations
is much richer than the corresponding theory of differential equations without impulses.
Impulses can occur in systems at fixed times or at variable times, and it is impulsive
differential equations with variable moments of time that exhibit several new phenomena.
The well-known comparison principle [23] that plays an important role in the study
of qualitative properties of a variety of dynamic systems without impulses has not yet
been developed for impulsive differential equations with variable moments of time. This
is because the required theory of impulsive differential inequalities and the existence of
extremal solutions in the framework of variable impulses is not known in view of the
difficulties such a study poses. Consequently, progress in this direction has been slow.
The contributions [30,60,67,74,75] of Leela related to impulsive differential equations with
variable times have generated further work of a fundamental nature.
In addition to the areas of investigation described above, several important results that
have a lot of potential were discussed by Leela. They are the following:
(i) a technique in perturbation theory [23,63];
(ii) on perturbation of Lyapunov functions [22];
(iii) global results and stability of motion [13];
(iv) generalized quasilinearization [73];
(v) new directions in the method of Lyapunov functions [64];
(vi) dynamic systems on time scales [69,71];
(vii) a technique in the stability theory of delay differential equations [34].

4 A.A. M ARTYNYUK and S. SIVASUNDARAM
3 A Classification of Leela’s Work According to Field of Investigation
/ . Ordinary Differential Equations
1. Method of vector Lyapunov functions [18,38,64,66]
2. Analysis of invariant states [1,2,7,12,15-17,19]
3. Technique in perturbation theory [23,63]
4. Minimax solutions [4]
5. Perturbing Lyapunov functions [22]
6. Cone-valued Lyapunov functions [27,28,47]
7. Quasi-solutions [37,38,40,41,70]
8. Control systems [ 11,24]
9. Measure differential equations [21]
II. Functional Differential Equations
1. Perturbation [20]
2. Existence of solution [31-33]
3. Technique in stability [34]
4. With delay [49,50,62]
5. Integro-differential equations [46,53,54,56]
III. Differential Equations in Abstract Spaces
1. Existence [31-33]
2. Upper and lower solutions [36,37]
3. Solvability [65]
4. Discontinuous [72]
IV. Stochastic Differential Equations
1. Instability and boundedness [25]
V. Im pulsive D ifferen tial Equations
1. Stability [30]
2. Pulse phenomena [60]
3. Comparison principle [67]
4. Controllability [74]
5. Extrem al solutions [75]

A SURVEY OF THE WORK OF S. LEELA 5
VI. Monotone Iterative Process
1. Comparison principle [26]
2. Boundary-value problem [29]
3. Abstract cones [36]
4. Quasi-solution [37,38,71]
5. Periodic solution [43^15]
6. Discontinuous [58]
VII. Reaction-Diffusion Systems
1. Abstract cones [35]
2. Vector Lyapunov function [57,59]
VIII. Boundary-Value Problems
1. Several Lyapunov functions [18]
2. Comparison principle [26,42]
3. Monotone method [29,44]
4. Integro-differential equations [46]
5. Periodic [48,53,54]
6. System with delay [50]
B o o k s
[A] Lakshmikantham, V. (1969). Differential and Integral Inequalities, I, Academic Press, New York.
[B] Lakshmikantham, V. (1969). Differential and Integral Inequalities, II, Academic Press,
New York.
[C] Lakshmikantham, V. (1981). Nonlinear Differential Equations in Abstract Spaces, Pergamon
Press, Oxford.
[D] Lakshmikantham, V. and Martynyuk, A.A. (1989). Stability Analysis for Nonlinear Systems,
Marcel Dekker, New York.
[E] Lakshmikantham, V. and Martynyuk, A. A. (1989). Stability of Motion: Method of Integral
Inequalities (Russian), Naukova Dumka, Kiev.
[F] Lakshmikantham, V. and Martynyuk, A. A. (1991). Stability of Motion: Comparison Method
(Russian), Naukova Dumka, Kiev.
[G] Lakshmikantham, V. and Martynyuk, A. A. (1990). Practical Stability of Nonlinear Systems,
World Scientific, Singapore.

6 A.A. M ARTYNYUK and S. SIVASUNDARAM
Articles
[1] Lakshmikantham, V. (1966). Parabolic differential equations and conditional stability. Rendi.
Circ. Math. Palermo, 15, 179-192.
[2] Lakshmikantham, V. (1966). Conditionally invariant sets and functional differential equations.
Rendi. Circ. Math. Palermo, 15, 257-272.
[3] Lakshmikantham, V. (1967). Asymptotically self-invariant sets and conditional stability. Proc.
International Symp. on Differential Equations and Dynamical Systems, Puerto Rico, 1965
pp. 363-373. Academic Press, New York.
[4] Lakshmikantham, V. (1967). Remarks on minimax solutions. Ann. Polon. Math., 19, 301-306.
[5] Lakshmikantham, V. (1967). On the construction of Lyapunov functions. Rev. Romaine Math.
Pures Appl., 12, 969-976.
[6] Lakshmikantham, V. (1967). Comparison principle and Lyapunov’s second method. Analele
Stintifice Univ. Din Iasi, 13, 33-41.
[7] Lakshmikantham, V. and Sastry, T. (1967). Converse theorems for conditional stability of
motion. J. Math. Anal. Applic., 19, 444-456.
[8] Lakshmikantham, V. (1967). Almost periodic systems and differential inequalities. J. Math.
Phys. Sci., 1, 286-301.
[9] Lakshmikantham, V. (1969). Almost periodic systems and differential inequalities. Proc.
US-Japanese Seminar on Differential Equations, Minneapolis, 1967, pp. 549-555. Benjamin,
New York.
[10] Lakshmikantham, V. and Tsokos, C.P. (1969). Stability of controlled motion. J. Math. Anal.
Applic., 26, 1-12.
[11] Tsokos, C.P. (1969). Control systems and finite time stability. Analele Univ. Din Timisoara, 7,
147-153.
[12] (1971). Lyapunov stability of conditional invariant sets. Analele Stintifice Univ. Din Iasi, 17,
71-78.
[13] Lakshmikantham, V. (1971). Global results and stability of motion. Proc. Camb. Phil. Soc., 70,
95-102.
[14] Ladas, G. and Lakshmikantham, V. (1971). On the perturbability of the asymptotic manifold of
a perturbed system of differential equations. Proc. Am. Math. Soc., 27, 65-71.
[15] (1972). Asymptotically self-invariant sets and perturbed systems. Annali Math. (IV), 92, 85-93.
[16] Ladde, G.S. (1972). Analysis of invariant sets. Annali Math. (IV), 94, 283-289.
[17] Ladde, G.S. and Lakshmikantham, V. (1972). Conditionally asymptotically invariant sets and
perturbed systems. Annali Math. (IV), 94, 33-40.
[18] Bemfeld, S. and Lakshmikantham, V. (1973). Nonlinear boundary value problems and several
Lyapunov functions. J. Math. Anal. Applic., 42, 545-553.
[19] Ladde, G.S. (1973). Global results and asymptotically self-invariant sets. Accad. Nazionale Dei
Lincei-Rendi Conti (VIII), 54, 321-327.
[20] Bemfeld, S.R. and Lakshmikantham, V. (1974). Perturbations of functional differential
equations with non-uniform stability behavior. J. Math. Anal. Applic., 46, 249-259.
[21] ( 1 9 7 4 ). S ta b ility o f m easu re d ifferen tial eq u ation s. Pacific J. M ath., 5 5 , 4 8 9 ^ - 9 8 .
[22] Lakshmikantham, V. (1976). On perturbing Lyapunov functions. Math. Syst. Theory, 10,85-90.
[23] Ladde, G.S. and Lakshmikantham, V. (1977). A new perturbation technique. Rocky Mountain
J. Math., 6, 133-140.
[24] Lakshmikantham, V. (1978). On zeros of Lyapunov-monotone operators and fixed point
theorems. Appl. Math. Comput., 4, 107-119.
[25] Ladde, G.S. (1977). Instability and unboundedness of Ito’s type stochastic differential equations.
Revue Roum aine de Math. Pures A pliqu es, 22, 923—939.

A SURVEY OF THE WORK OF S. LEELA 7
[26] Bemfeld, S.R. and Lakshmikantham, V. (1977). A generalized comparison principle and
monotone method for second order boundary value problems in Banach spaces. Proc. US Army
Research Mathematicians, Hampton, VA, 1979, pp. 143-152.
[27] Lakshmikantham, V. (1977). On the method of cone-valued Lyapunov functions. Proc.
International Conf. on Nonlinear Systems and Applications, pp. 231-234. Academic Press,
New York.
[28] Lakshmikantham, V. (1977). On cone-valued Lyapunov functions. Nonlinear Anal TMA, 3,
215-223.
[29] Chandra, J. and Lakshmikantham, V. (1978). A monotone method for infinite systems of
boundary value problems. Arch. Rat. Mech. Anal., 68, 179-190.
[30] (1977). Stability of differential systems with impulsive perturbations in terms of two measures.
Nonlinear Anal. TMA, 1, 667-677.
[31] Moauro, V. (1978). Existence of solutions in a closed set for delay differential equations in
Banach spaces. Nonlinear Anal. TMA, 2, 47-58.
[32] Moauro, V. and Lakshmikantham, V. (1978). Existence and uniqueness of solutions of delay
differential equations on a closed subset of a Banach space. Nonlinear Anal. TMA, 2, 311-327.
[33] Moauro, V. and Lakshmikantham, V. (1978). Existence theory of delay differential equations
in Banach spaces. Proc. International Symp. on Nonlinear Equations in Banach Spaces,
pp. 125-133. Academic Press, New York.
[34] Lakshmikantham, V. (1979). A technique in stability theory of delay differential equations.
Nonlinear Anal TMA, 3, 317-323.
[35] Lakshmikantham, V. and Vatsala, A.S. (1979). Reaction-diffusion equations in abstract cones.
Proc. International Conf. on Applied Nonlinear Analysis, pp. 219-243. Academic Press,
New York.
[36] Lakshmikantham, V. (1983). On the method of upper and lower solutions in abstract cones.
Ann. Polon. Math., 27, 159-164.
[37] Vatsala, A.S. and Lakshmikantham, V. (1982). Method of quasi-upper and lower solutions in
abstract cones. Nonlinear Anal. TMA, 6, 833-838.
[38] Lakshmikantham, V. and Oguztoreli, M.N. (1981). Quasi-solutions, vector-Lyapunov functions
and monotone method. IEEE Trans. Autom. Control, AC-26, 1149-1153.
[39] Lakshmikantham, V. and Oguztoreli, M.N. (1981). An algorithm for the construction of
Lyapunov functions. Nonlinear Anal. TMA, 5, 1195-1212.
[40] (1981). The role of quasi-solutions in the study of differential equations. Proc. Conf. on
Nonlinear Differential Equations, pp. 259-268. Academic Press, New York.
[41] (1981). The role of quasi-solutions in the study of differential equations in Banach spaces.
Proc. 2nd Conf on Differential Equations and Applications, Rousse, Bulgaria, pp. 419-421.
Academic Press, New York.
[42] Chandra, J. and Lakshmikantham, V. (1982). Comparison principle and theory of nonlinear
boundary value problems. Proc. International Conf. on Nonlinear Phenomena in Mathematical
Sciences, pp. 241-248. Academic Press, New York.
[43] (1983). Existence and monotone method for periodic solutions for first order differential
equations. J. Math. Anal. Applic., 91, 237-243.
[44] (1983). Monotone method for second order periodic boundary value problems. Nonlinear Anal.,
7, 349-355.
[45] (1984). Monotone techniques for periodic solutions of differential equations. Proc. International
Conf. on Differential Equations, Madras, 1984; J. Math. Phys. Sci., 18, 73-82.
[46] Aftabizadeh, A.R. (1984). Existence results for boundary value problems on integro-differential
equations. Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 23-35.

A.A. MARTYNYUK and S. SIVASUNDARAM
[47] (1984). Large scale systems, cone-valued functions with quasi solutions.
Conf. on Trends in Theory and Practice of Nonlinear Differential Equations, 1984,
Marcel Dekker, New York.
[48] Lakshmikantham, V. (1984). Remarks on first and second order periodic boundary value
problems. J. Nonlinear Anal, 8, 281-287.
[49] Lakshmikantham, V. (1985). A unified approach to stability theory for differential equations
with infinite delay. J. Integral Eqns, 10, 147-156.
[50] Oguztoreli, M.N. (19??). Delay differential equations and periodic type boundary value
problems. J. Math. Anal. Applic. ?????.
[51] Martynyuk, A.A. and Mitropolski, Yu.A. (1986). A survey of collected works of V. Lakshmi-
kantham (Russia). Diff. Urav., 22, 555-572.
[52] Martynyuk, A.A. and Mitropolski, Yu.A. (1986). A survey of collected works of V. Laksmi-
kantham. Diff. Eqns, 22, 401^417 (translation of [51]).
[53] Hu, S.-C. (1988). Periodic boundary value problems for integro-differential equation of
Hammerstein type. J. Appl. Math. Comput., 25, 29-38.
[54] Hu, S.-C. (1988). Periodic boundary value problem for a second order integro-differential
equation. J. Appl. Math. Comp., 35, 219-226.
[55] Rao, M.R.M. and Lakshmikantham, V. (1987). Integral and integro-differential inequalities.
Applicable Anal., 24, 157-164.
[56] Rao, M.R.M. (1988). Stability for integro-differential equations. J. Math. Anal. Applic., 130,
460^166.
[57] Lakshmikantham, V. (1988). Reaction-diffusion systems and vector Lyapunov functions.
J. Differential & Integral Eqns, 1, 41^-7.
[58] Heikkila, S. and Lakshmikantham, V. (1988). Monotone method for differential equations with
discontinuous right hand side. J. Differential & Integral Eqns, 1, 287-297.
[59] Aftabizadeh, A.R. (ed.) (1989). Method of vector Lyapunov functions for reaction-diffusion
systems. Proc. International Conf. on Differential Equations and Applications, 1989, II,
pp. 120-124.
[60] Hu, S.-C. and Lakshmikantham, V. (1989). Pulse phenomena for differential equations with
impulses. J. Math. Anal. Applic., 137, 605-612.
[61] Zouyousefm, M. (19??). Stability results for difference equations of Volterra type. J. Appl. Math.
Comput., ?????.
[62] Sivasundaram, S. and Lakshmikantham, V. (1991). Lyapunov functions on product spaces and
stability theory of delay differential equations. J. Math. Anal. Applic., 154, 391-402.
[63] Agase, S.B. (1991). Perturbing Lyapunov functions and global results. J. Nonlinear Anal., 16,
316-319.
[64] Rao, M.R.M. and Lakshmikantham, V. (1991). New directions in the method of vector Lyapunov
functions. J. Nonlinear Anal, 16, 252-262.
[65] Heikkila, S. (1992). On solvability of initial value problems in ordered Banach spaces. Dyn.
Syst. Applic., 1, 141-170.
[66] ( 1 9 9 2 ). Current state o f the m eth o d o f v ecto r L y ap u n ov fu n ctio n s. A survey. Proc. 1st World
Congress of Nonlinear Analysis, Tampa, FL, 1992. DeGruyter.
[67] Kaul, S.K. and Lakshmikantham, V. (1994). Comparison principle for impulsive differential
equations with variable times and stability theory. Nonlinear Anal, 22, 499-502.
[68] Vatsala, A.S. and Rajalakshmi, R. (1994). A global result via perturbing Lyapunov functions.
Dyna. Syst. Applic., 3, 113-120.
[69] Kaymakcalan, B. (1994). Survey of dynamical systems on time scales. Nonlinear Times and
Digest, 1, 37-60.

A SURVEY OF THE WORK OF S. LEELA 9
[70] Sivasundaram, S. and Lakshmikantham, V. (1995). Extension of method of quasilinearization.
J. Optim. Theory Applic., 87(2), 379—401 .
[71] Sivasundaram, S. (1994). Dynamic systems on time scales and superlinear convergence of
iterative processes. World Scientific Publ., 3, 249-264.
[72] Heikkila, S. (1993). On second order discontinuous differential equations in Banach spaces.
J. AMSA, 6(4), 303-324.
[73] McRae, F. and Lakshmikantham, V. (1995). Improved GQL-method. Nonlinear Anal, 24(11),
1623-1637.
[74] McRae, F. and Sivasundaram, S. (1993). Controllability of impulsive differential equations.
J. Math. Anal Applic., 177, 24-30.
[75] Kaul, S.K. and Lakshmikantham, V. (1994). Extremal solutions, comparison principle and
stability criteria for impulsive differential equations with variable times. Nonlinear Anal., 22,
1263-1270.
Supplementary References
[H Azbelev, A.N., Maksimov, V.R and Rachmatulina, L.F. (1991). Introduction to the Theory of
Functional Differential Equations. Nauka, Moscow (Russian).
[2'] Barbu, V. (1976). Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces.
Noordhoff, Gronigen.
[3'] Bellman, R. (1962). Vector Lyapunov functions. SIAM J. Control, 1, 32-34.
[4'] Benilan, Ph. (1971). Une remarque sur la convergence des semigroupes nonlineaires. C.R. Acad.
Sci. Paris, 273, 1182-1184.
[5'] Daletskii, Yu.L. and Krein, M.G. (1970). Stability of Solutions of Differential Equations in
Banach Spaces. Nauka, Moscow (Russian).
[6'] Crandall, M.G. and Liggett, T.M. (1971). Generation of semigroups of nonlinear transformations
on general Banach spaces. Am. J. Math., 93, 265-298.
[7'] Grujic, L.T. (1974). Stabilnost Velikih Sisstema. Beograd University.
[8'] Grujic, L.T., Martynyuk, A.A. and Ribbens-Pavella, M. (1987). Large Scale Systems Stability
under Structural Perturbations. Springer-Verlag, Berlin.
[9'] Deimling, I. (1977). Ordinary Differential Equations in Banach Spaces. Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 96, Springer-Verlag, Berlin.
[10'] Kobayashi, Y. (1975). Difference approximation of Cauchy problems for quasidissipative
operators and generation of nonlinear semigroups. J. Math. Soc. Jpn, 27, 640-665.
[IP ] Krein, S.G. (1971). Linear Equations in Banach Spaces. Nauka, Moscow (Russian).
[12'] Lakshmikantham, V. (1984). Trends in Theory and Practice of Nonlinear Differential Equations.
Proc. International Conf, pp. VII-VIII (editorial). Marcel Dekker, New York.
[13r] Lakshmikantham, V., Bainov, D.D. and Simeonov, PS. (1989). Theory of Impulsive Differential
Equations. World Scientific, Singapore.
[14'] LaSalle, J.P. and Rath, R.J. (1963). Eventual stability. Proc. 2nd IFAC World Congress, Basle,
1963, pp. 556-560. Butterworths, London.
[15'] Martin, R.H.Jr. (1976). Nonlinear Operations and Differential Equations in Banach Spaces.
Wiley, New York.
[16;] Martynyuk, A. A. (1975). Stability of Motion of Composite Systems. Naukova Dumka, Kiev
(Russian).
[177] Matrosov, V.M. (1962). On the stability of motion. Prikla. Mat. Mekh., 26, 992-1002.

10 A.A. M ARTYNYUK and S. SIVASUNDARAM
[18'] Michel, A.N. and Miller R.K. (1978).
Academic Press, New York.
[19'] Samoilenko, A.M. and Perestyuk, N.A. (1987).
bations.
[20'] Schroder, J. (1980).
[21'] Siljak, D.D. (1978). Large Scale Dynamical Systems, Stability and Structure. North-Holland,
New York.
[22'] Siljak, D.D. (1991). Decentralized Control of Complex Systems. Academic Press, New York.
[23'] Szarski, J. (1965). Differential Inequalities. PWN Warsaw.
[24'] Walter, W. (1964). Differential und Integral Ungleichungen. Springer-Verlag, Berlin.

2 OSCILLATORY PROPERTY FOR
SECOND-ORDER NONLINEAR
DIFFERENCE EQUATIONS VIA
LYAPUNOV’S SECOND METHOD
RAVI P. AGARWAL1, S. PANDIAN
1
2 Department of Mathematics, Madras University RG. Center, Salem, Tamil Nadu, India
1 Introduction
Oscillatory property of solutions of second order difference equations has been recently
investigated in detail (see [1,6] and references therein), resulting in many interesting
oscillatory criteria. The techniques employed in these investigations includes the method of
averaging, the method of comparison, and the method of linearization, using characteristic
equations, fixed point theorems etc. The purpose of this paper is to use Lyapunov’s second
method [3,4,8] to obtain some very general oscillation theorems for the difference equation
A(anAyn)
where Z = {0, 1, 2, · · ·}, A is the forward difference operator defined by A
{an}
results obtained are the discrete analogs of those obtained by Yoshizawa [7], and supplement
the recent work of He [2].
In system form, (1) can be written as
A yn = zn/an, Azn = - fin, yn+\,Zn/an). (2)
By a solution of (1) we mean a real nontrivial sequence {yn}, n e Z that satisfies (1).
A solution {y„} is said to be oscillatory if it is neither eventually positive nor eventually
negative. O therw ise, it is called n on osdilatory.
11

12 R.P. AGARWAL
2 Main Results
Theorem 1 Let the functions V(n, y, z) cmd W(n, y, z) be defined and continuous for
n > N e Z, y > 0, \z\ < oo and n > N e Z, y < 0, \z\ < oo, respectively. Further, let
(i) V (n, y , z) —> oo uniformly for y > 0 and \z\ < oo as n —>► oo and W (n, y , z) —> oo
uniformly for y < 0 and |z| < oo as n —> oo,
(ii) A V(2) (n,y, z) = Vin + 1, y„+1, 1) — V(«, yn, zn) < 0 for all sufficiently large n,
where {y„, zn} is a solution of (2) such that yn > 0 for all large n, and
(iii) AW(2)(n, y,z) = W(n + 1, yn+\, zn+\) — VP(n, yn, zn) < 0 for all sufficiently large
n, where {yn, zn} is a solution of (2) such that yn < 0 for all large n.
Then, every solution of (1) is oscillatory.
Proof Let {yn}, n > no G Z be a nonoscillatory solution of (1). We assume that
{yn} is eventually positive, i.e., there exists a sufficiently large n\ g Z so that yn > 0
for all n > nl. By condition (i), for n sufficiently large, say n > n2 > n\, we have
V(n\, yni, Znx) < V(n, yn, zn), for all yn > 0, \zn\ < oo. However, condition (ii) implies
that V(ni, ynx, znx) > V(n, yn, zn)· For the case y„ < 0 for all large n, we consider the
function W(n, yn, zn) and arrive at the same contradiction. □
Definition 1 The function v(n, y, z) is called a Lyapunov function for the system (2) if
v(n, y, z) is defined and continuous in its domain of definition and is locally Lipschitzian
in (y, z)· Further, we define Aii(2)(n, y, z) as follows:
Av(2)(«, y, z) = v(n + 1, yn + z„/a„, z„ - /( « , y„+i, z„/a„)) - v(n, y„, z„). (3)
If Au(2)(n, y , z) < 0 then it is known [1,5] that v(n, yn, zn) is nonincreasing in n along the
solution {yn, zn} of (2).
Lemma 2 For n > N*, y > 0, \z\ < oo, where N* can be large, let there exist a
Lyapunov function v(n, y , z) that satisfies the following conditions:
(i) zv(n, y , z) > 0 for z 0, n > y > 0;
(ii) Au(2)(n, y, z) < —ptn> where {pin} is a real sequence defined for all n > N* such that
Further, let there exist a k and aw(n,y,z) and large N such that k > N and w(n, y , z)
is a Lyapunov function defined for n > k, y > 0, z < 0 that satisfies the following
conditions:
(iii) z < w(n,y,z) and w(k,y,z) < b(z), where b(z) is continuous, b(0) = 0, and
b(z) < 0 for z 0,
n- 1
for all large N . (4)

OSCILLATORY BEHAVIOR VIA LYAPUNOV’S SECOND METHOD 13
(/v) Aw(2)(n, y, z) < —pnw(n, y, z), where {pn} is a non-negative real sequence such
that
oo j n — 1
E - f L - f t ^ 00·
n= k s= k
(5)
Then, if {yn, zn} is a solution of (2) such that yn > 0 for all large n then zn > 0 for
all large n.
Proof Assume that there is a sequence of integers {nj} such that nj —> oo as j —>> oo
and Zrij < 0· Further, assume that nj > N* is sufficiently large so that
n — 1
lim V p,s > 0, and yn > 0 for n > nj. (6)
n-> oo '
S=ftj
For the function v(n, yn, zn), n > n7· we have
« — 1
l>(n, Jn, Zn) < v(nj, ynpZnj) - Ms·
s=nj
Thus, in view of v(nj, yn , zUj) < 0, (6) implies that there is an integer N\ > 0 such that
for all n> N\,
E ^ - ^inj,yni,znj).
S—nj
Therefore, for n > N\ , we have
Z n ) < -v(fty, ynj,Znj) < 0.
Hence < 0 for all n > N\.
For Ni , there is an integer k such that k > N\ and there is a Lyapunov function w(n, y, z)
defined for n > k, y > 0, z < 0. For this w(n, y, z), we have
n—1 n—1
Zn < V ) ( n , yn, Z n ) < U )(fc, Z*) _ f t ) ^ b V -k ) J T 1 _ f t )
,s—/: s=£
for all n ^ /c. Since Ayn — /On^ it follows that
n- 1
A , ^(z*) .
<
--------I |( 1 - Ps).
a n s= k
(7)

14 R.P. AGARWAL
Thus, on summing the above inequality, we obtain
n —
yn
s= k Us t= k
which, in view of (5) implies that yn -> —oo as n oo. This contradiction proves that
Zn > 0 for all large n. □
Remark 1 If an = 1, pn = 0, the condition (iii) can be replaced by
(iii) a(z) < w(n, y, z) and w(k, y, z) < b(z), where a(z) is monotone, continuous,
a(0) = 0, a(z) < 0 for z / 0 and b(z) is continuous, b(0) = 0, b(z) < 0 for
z # 0.
Lemma 3 For n > N*, y < 0, \z\ < oo, where N* can be large, let there exist a
Lyapunov function v(n,y, z) that satisfies the following conditions:
(i) zv(n, y, z) < 0 for z ^ 0, n > N*, y < 0,
(ii) Av(2 )(n, y, z) < — ¡in, where {pin} is a real sequence defined for all n > N* such that
(4) holds.
Further, let there exist a k and a w(n, y, z) and large N such that k > N and w(n, y, z) is
a Lyapunov function definedfor n > k, y < 0, z > 0 that satisfies the following conditions:
(iii) —z < w(n, y, z) and w(k, y, z) < b(z), where b(z) is continuous, b(0) = 0, and
b(z) < 0 for z 0;
(iv) A\V(2)(n, y, z) < —pnw(n,y,z), where {pn} is a non-negative real sequence such
that (5) holds.
Then, if {yn, zn} is a solution of (2) such that yn < 0 for all large n then zn < 0 for all
large n.
Proof This is similar to that of Lemma 2. □
Theorem 4 In addition to the assumptions of Lemmas 2 and 3, suppose that for each
8 > 0, there exist an integer N(8) and Lyapunov functions V(n, y, z) and W(n, y, z) that
are defined for n > N(8), y > 8, z > 0 and n > N(8), y < —8, z < 0, and satisfy the
following conditions:
(i) V (n , y, z) and W (n, y, z) tend to infinity uniformly fo r y and z as n —> oo;
(ii) AV(2)(n, y, z) < 0 as long as AV(2) is defined;
(iii) AW(2)(n, y, z) < 0 as long as AW(2) is defined.
Then, every solution of(l) is oscillatory.
Proof This is similar to that of Theorem 1. □

OSCILLATORY BEHAVIOR VIA LYAPUNOV’S SECOND METHOD 15
Remark 2 With respect to equation (1), we assume that the following conditions are
satisfied:
(a)
V — = o o .
^ a
(8)
(b) For n e Z and y > 0, there exist a real sequence {pn} and a continuous function a(y)
such that a(u) — a(v) = g(u, v)(u — v), where g is non-negative,
lim
n->oo
n — l
X P s > ofor all large N, (9)
yot(y) > 0 for y ^ 0, and for all n, y > 0, \u\ < oo,
Pn<*(y) < f(n, V, u). (10)
(c) For n e Z and y < 0 there exists a real sequence {qn} and a continuous function fi(y)
such that f$(u) — ft(v) = gi(u, v)(u — v), where g\ is non-negative,
n- 1
lim y qs > 0 for all large N, (11)
n—ïoo ^—4
s= N
yfiiy) > 0 for y / 0, and for all n, y < 0, \u\ < oo,
f(n,y,u) <q„P(y). (12)
If {yn, zn) is a solution of (2) such that yn > 0 for all large n then zn > 0 for all large n.
To show this, we assume that (9)-(12) hold for all n > A/'*. For n > N*, y > 0, \z\ < oo,
we define the function v(n, y, z) = z/a(y), so that
Au(2)(n, y, z) = v(n + 1, yn+u Zw+i) ~ zw) =
£h-|-1
a(y,i+i)
Zn
ot{yn)
1
a(yn)a(y«+i)
[ - / ( « , yn+i, Zn/an)ci{yn) ~ g{yn+\, y„)(Ay„)2a„]
X P n ·
Thus this v(n, y, z) satisfies the conditions of Lemma 2 with p,n = pn.
N e x t , s i n c e t h e c o n d i t i o n ( 9 ) i m p l i e s th a t f o r a ll N > N * t h e r e i s a k such that k > N
and Ps > 0 for all n > k, the function win, y, z) = z + a(y) JZ"Zk Ps defined for all
n > k, y > 0, z < 0 satisfies the conditions of Lemma 2 with pn = 0. Thus the conclusion
follows from Lemma 2.

16 R.P. AGARWAL
Similarly, for the functions v(n, y, z) = z/Piy), n > TV*, y < 0, |z| < oo, and
w(n, y, z) = —y — fi(y) J2nsZk Qs, n > k, y < 0, z > 0, it follows from Lemma 3
that if {yn, zn] is a solution of (2) such that yn < 0 for all large n, then zn < 0 for all large ft.
The following two oscillatory criteria accommodate several recent results.
Criterion (I) If in addition to the conditions (a), (b) and (c), Pn = 00 anc^
E S lo Qn = oo i/i£ft solution of (1) is oscillatory.
Proof For n > TV*, y > 0 and |z| < oo, we set
F (ft, y, z)
z
a(y)
n — 1
+
5=0
n — 1
(z > 0),
(z < 0).
Clearly, V(ft, y, z) —► oo uniformly for y > 0, |z| < oo as n —>► oo, and
AV(2)(n, y, z)
1
a(yn)a(y/i+i)
[ - / ( « , 3Vi+i, zn/an)a(yn) - g(yn+\, y„)(Ay„)2^ j + pn
T?77 T" Pn — 0
for > TV*, y > 0 and z > 0. Thus V(n, y, z) satisfies the conditions of Theorem 1.
Similarly, the function
VF(ft, y, z)
n — 1
s=0
z
W )
n — 1
+ X ^ 5
.s-0
(z > 0),
(z < 0)
satisfies the conditions of Theorem 1. Hence the conclusion follows. □
Criterion (II) If in addition to the conditions (a), (b) and (c), there exist a constant
m > 0 and positive real sequences {hn} and {cn} such that g(u, v) > m, g\{u, v) > m, and
n — 1
n- 1
£ c>
—> OO ¿TV ft
00as ft
oo,
oo,
f/z^ft every solution of(l) is oscillatory.

OSCILLATORY BEHAVIOR VIA LYAPUNOV’S SECOND METHOD 17
Proof It suffices to show that the functions
1
2"
(y > 0, z > 0)
and
(y < 0, z < 0)
satisfy the conditions of Theorem 1. □
Lemma 5 In addition to the assumptions of Lemma 2, assume that there exists a
Lyapunov function u(n,y,z) defined for n > A*, y>0, z > R (R > 0 and large)
that satisfies
(i) u(n, y, z) oo uniformly for n, y as z —> oo and u(n, y, z) < y(z), where y(z) > 0
is continuous;
(ii) Au(2)(n, y, z) < 0.
Then, if{yn, zn} is a solution of (2) such that yn > 0 for all large n, {zn} is bounded for all
large n.
Proof Assume that yn > 0 and zn > 0 for n > no, n > A*. In view of Lemma 2, such
an «o exists. Suppose K is such that zno < K, K > R. Condition (i) ensures that there
exist positive constants y* and M such that u(n, y, K) < y*, and y* < u(n,y, M) for all
n > no and y > 0. But, by condition (ii), we have 0 < zn < M for all n > no, which is a
contradiction. □
Lemma 6 In addition to the assumptions of Lemma 3, assume that there exists a
Lyapunov function u(n, y, z) defined for n > A*, y < 0, z < —R(R > 0 and large)
that satisfies
(/) u(n,y,z) —► cxd uniformly for n, y as z —^ —oo u(n,y,z) < y(z), where
y (z) > 0 A continuous;
(ii) Aw(2)(n, y, z) < 0.
if {yn, zn) is a solution of (2) such that yn < 0 for all large n, then {zn} is bounded
for all large n.
Proof This is similar to that of Lemma 5. □
Theorem 7 In addition to the assumptions of Lemmas 5 and 6, assume that for each
8 > 0 and m > 0, there exist an integer N(8,m) and two Lyapunov functions V(n, y, z)
and W(n, y, z) such that V (n, y, z) is defined for n > N(8, m), y > 8, 0 < z < m and
W(n, y, z) is defined for n > N(8, m), y < —8, —m < z < 0, assume that V (n, y, z)
anJ W(n, y, z) satisfy the following conditions:

18 R.P. AGARWAL
(i) V(n, y, z) and W(n, y, z) tend to infinity uniformly for y and z as n -> oo;
(ii) AV(2)(n, y, z) < 0 as long as AV(2) is defined;
(Hi) AW(2)(n, y,z) < 0 as long as A W(2) is defined.
Then, every solution of(l) is oscillatory.
Proof Let {yn} be a nonoscillatory solution of (1). Then [yn} is either positive or negative
eventually. Assume that yn > 0 for all large n. By Lemma 2, there exists an integer n such
that yn > 0, zn > 0 for all n > n\ > A*. By Lemma 5, there is an m > 0 such that
0 < zn < m for all w > «i. Since Ay„ = zn/a„ > 0 for n > ni, we have yn > ynx > 0
for n > ni. Consider the Lyapunov function V(n,y,z) defined for ft > N(8, m), y > <5,
0 < z < m, where <5 = y„,/2, and assume that N > n\. Then, by the same argument as
in the proof of Theorem 1, we get a contradiction. When yn < 0 for all large ft, we use
Lemma 6 and W(n, y, z) to get a similar contradiction. □
Finally, as applications of the above results, we shall provide two interesting oscillatory
criteria for the difference equation
A2y„ +fl(ft, yn, Ay„)Ay„ + /(ft, yn+1, Ay„) = 0, (13)
which in system form can be written as
A yn = Zn, A Zn = -a(n, yn, zn)zn ~ fin, y„+i, zw). (14)
Criterion (HI) With respect to (13), assume that
(i) / : Z x IR x 1R —> IR A continuous and yf(n,y,z) > 0 /o r y ^ 0;
(//) a: Z x IR x IR ^ IR A continuous and there exist non-negative sequences [kn} and
{ln} such thatO < kn < 1 and —kn < a(n, y, z) < lnforn G Z, |y| < oo, |z| < oo;
(iii) for any 8 > 0 and m > 0, there exist an integer N(8,m) and a non-negative real
sequence {an} defined for n > N(8, m) such that crs —> oo as n -> oo,
and that |y| > 8, \z\ < m and yz > 0 ffti/7/y i/zat |/(ft, y, z)| >
(/v) J2T=okn < oo. andlinij^oo ^ n " = ()1 - ^)] = oo.
Then every solution of (13) is oscillatory.
To apply Theorem 7, it suffices to note the following:
(1) For ft g Z, y > 0, \z\ < oo, the function
v(n, y, z)
n — 1
z IT1 _ ks^
S— 0
n- 1
zn(1+/i)
5=0
(2 > 0),
( z < 0)
satisfies the conditions o f L em m a 2 w ith //„ = 0.

OSCILLATORY BEHAVIOR VIA LYAPUNOV’S SECOND METHOD
(2) For any integer n\ > 0, the function w(n, y, z) = z defined for n > n\, y > 0, z < 0
satisfies the conditions of Lemma 2. For this, we have
Au>(i4)(n, y, z) = -a(n, yn, zn)zn ~ f(n, y„+i, zn) < - l nzn < -lnU>(n, y, z)
and lim^^oo J 2 ns=^ [rC U V 1 ~ lt)\ = °°·
(3) For n > 0, y > 0, z > R (R > 0 and large) the function u(n,y,z) =
z2 — ^ ) ] ’ in view °f J2T= o ^n < 00 and > 0 satisfies the
conditions of Lemma 5.
(4) The functions
v(n, y, z)
/7-1
5=0
/7—1
- z J T 1 “ ks)
s= 0
(n G Z, y < 0, z > 0 ),
(n e Z, y < 0, z < 0 ),
w(n, y, z) = — z (n > n\, y < 0, z > 0)
and
u(n, y, z) = z2
/7—1
Ed-*.)
.5=0
(n e Z, y < 0, z < 0)
satisfy the conditions of Lemma 6.
(5) For each 8 > 0 and m > 0, we define the function V(n, y, z) for n > N (<$, m), y > <5,
0 < z < m as follows:
/7-1 /7-1
V(n, y, z) = z ]~~[(1 - ks) + L E CTs’
5= 0 s=N(8,m)
where L = ,,( 1 — ks) > 0 . For this function, we find
A V(i4) (n, y, z)
= f l d - * . >
5=0
-knZn
1 - kn
- a(n, yn,zn)z„ - f(n, y„+\,z„)+ Lon
n
— | |(1 k.s)( knZn T" knZn &n) 4“ L(Jn
5=0
- ~ Gn i l · 1 _ ks) + L(jn - °-
5=0
Thus this V(n, y , z) satisfies the conditions of Theorem 7.

20 R.P. AGARWAL
(6) As in (5), it is easy to show that the function
n —
W(n,
s s
satisfies the conditions of Theorem 7.
Criterion (IV) In Criterion (III) conditions (iii) and (iv) can be replaced by
(iiif) for any 8 > 0, there exist an integer N{8) and a non-negative real sequence {on} such
that X)"Z,5(1 - k s) J 2 " : ~:N(8) -> oo as n —*■ oo, and that |.v| > 5, yz > 0 imply that
I f(n, y, z)| > on;
(i'v') lira,,-,00 [n',=o (1 ~ lf = oo·
As in Criterion (III), we note that the conditions (i), (ii) and (fC) imply that there exist
Lyapunov functions that satisfy the conditions of Lemmas 2 and 3. To apply Theorem 4,
for n > N(8), y > 8, z > 0, we define
/7 — 1 /7—1 /7—1
V(n, y, z) = z J- [(1 - ks) + ]~[(1 - ks) ^ as.
i=0 j=0 s=N(8)
Then we have
/7
A V (i4)(n, y, z) = f ] ( l _ k
.9=0
/7 /7— 1 /7— 1
+ PJ(1 ~ ks)crn + <7s(—kfl)Y ^(l—ks)
5=0 s=N(8) 5=0
/7
X: | j ( l k s ) ( k nZn k nZn Cff7 T on )
5=0
knZn
l - k n
■a(n,y„,zn)zn ~ f(n,y„+i,z„)
/7—1 /7—1
H ^ ) X] < ^ < 0 .
s=0 s=N(8)
S im ila r ly , f o r n > N(8), y c —8, z < 0 , i f w e d e f in e
/7 — 1 /7 — 1 /7—1
W(n,y,z) = - z ] _[(l-Â:s) + ]_[(l-Â:i) a s
5=0
then we have AW(\4) (n, y, z) < 0. Hence all the conditions of Theorem 4 are satisfied, and
we conclude that every solution of (13) is oscillatory.
5=0 s=N(8)

OSCILLATORY BEHAVIOR VIA LYAPUNOV’S SECOND METHOD 21
References
[1] Agarwal, R.R (1992). Difference Equations and Inequalities. Marcel Dekker, New York.
[2] He, X.Z. (1991). Oscillatory property of solutions of a second order nonlinear difference
equation. Ann. Differential Eqns, 7, 415^122.
[3] Lakshmikantham, V. and Leela, S. (1969). Differential and Integral Inequalities. Academic
Press, New York.
[4] Lakshmikantham, V., Matrosov, V.M. and Sivasundaram, S. (1991). Vector Liapunov Functions
and Stability Analysis of Nonlinear Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[5] Lakshmikantham, V. and Trigiante, D. (1986). Difference Equations: Numerical Methods and
Applications. Academic Press, New York.
[6] Thandapani, E. (1994). Oscillation theorems for perturbed nonlinear second order difference
equations. Comput. Math. Applic., 28, 309-316.
[7] Yoshizawa, T. (1970). Oscillatory property of solutions of second order differential equations.
Tohoku Math. J., 22, 619-634.
[8] Yoshizawa, T. (1966). Stability Theory by Liapunov's Second Method. The Mathematical
Society of Japan, Tokyo.

3 ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF
SOLUTIONS OF LIMITING
DIFFERENTIAL EQUATIONS
STEPHEN R. BERNFELD 1 and PIERRE A. VUILLERMOT 2
1 Department of Mathematics, University of Texas at Arlington, USA
2Département de Mathématiques, Université Henri-Poincaré, Nancy-1, France
1 Introduction
We are interested in studying the relationship between the asymptotic properties of the
solutions of
/ = g(t, y) (E)
as t —► oo and the asymptotic behavior of the solutions of the limiting equation of (E)
given by
= f it, x) (L)
as t —► oo. We shall always assume f,g e C(I x D, JRn), where I is either (0, oo) or
(—oo, oo) and D is an open set in IRn. We say that (L) is a limiting equation of{E) or / is in
the limit set of g relative to a given topology on I x D if there is a sequence [tn},tn —> oo,
such that the {¿^-translates of g, g(t + tn, y), converge to fit, y) as tn -> oo relative to a
given topology (to be made precise in Section 3). In this case we shall say g(t, y) diminishes
to fit, y) along the sequence {tn}. If git, y) diminishes to fit, y) along every sequence
{tn} then we say git, y) diminishes to fit, y) as t oo. It will be convenient to consider
(E) as a perturbation of (L) as follows. Let git, y) = Fit, y) + hit, y), so (E) becomes
/ = Fit,y) + hit,y), (P)
and we shall often assume that along some sequence {tn}, F it, y) diminishes to fit, y)
and hit, y) diminishes to zero. Roughly speaking, our main result shows that the positive
limit set of a bounded solution y(0 of (P), which we denote by T+ (y(0), is invariant
with respect to solutions of some limiting equation (L) of (P) (relative to a given topology)
23

24 S.R. BERNFELD and P.A. VUILLERMOT
whenever solutions of the initial-value problem of (P) and (L) are unique; and r + (y(Z)) is
semi-invariant with respect to solutions of (L) without the uniqueness assumption. We then
apply this result (Theorem 3.1) to an investigation of the asymptotic behavior of solutions of
the perturbed equation (P) when the asymptotic behavior of the solutions of the unperturbed
or limiting equation (L) is known.
We now give a brief history of this problem: Markus [1] assumed F(t, y) = F*(y) and
that hit, y) diminishes to zero in the compact-open topology, namely
In this case (L) is given by x' = F*(x). Opial [2] also assumed F(t, y) = F*(y), where
now hit, y) diminishes to zero as t —► oo in the L1 topology given by, for each bounded
set B C D,
where y g C[[0, oo), B]. Both Markus [1] and Opial [2] assumed uniqueness of solutions
of initial-value problems of (P) and (L). Yoshizawa [3], without the uniqueness assumption,
assumed that F(t, y) diminishes to F*(y) and that h(t, y) = h\(t, y) 4- /12 (F y), where
h\(t,y) diminishes to zero in the sense of (1.1) and /12 (F y) diminishes to zero in the
sense of (1.2) as t —► 0 0. In all three cases the limiting equation (L) is the autonomous
equation x' — F*(jc), and F(t, y) +h(t, y) diminishes to F*(y) as t —► 0 0 in any topology
containing (1.1) and (1.2). Miller [4] allowed for a broader class of functions F (t, y), since
he assumed F it, y) is almost periodic in t for each y e D, and, for each compact set
D* c D, F(t, y) is uniformly continuous from IRx Z)*. This implies that for any sequence
tn -> 0 0 there exists a subsequence tHk —► 0 0 and an almost-periodic function F (f y) such
that
uniformly for t e IR and y on compact subsets of D. This is a compactness condition on
F (f y), and is automatically satisfied in the previous three cases. In this case the limiting
function / (t, x) is not a singleton, but consists of the closure of the translates of F (t, y) in the
sense of (1.3). Miller [4] assumed that h(t, y) satisfied the same conditions as Yoshizawa [3],
and also that solutions are not unique. Strauss and Yorke [5] assumed that F(t, y) = F*(y)
and that h(t, y) diminishes to zero as t -> 0 0 in a very general sense that includes (1.1)
and (1.2). Namely, they assumed for each bounded asset B c D,
h(t, y) -> 0 as Z —x 0 0 uniformly on compact subsets of D.
(1.1)
(1.2)
Fit + tnk, y) F{t, y) as k -> 0 0 (1.3)
sup sup
>’(-)<e5 0<w<1
OO, (1.4)
where y G C(7, B). This allowed them to consider, for example, perturbations hit, y) =
hit) that are conditionally convergent. They did not assume uniqueness of solutions, but

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF LIMITING DIFFERENTIAL EQUATIONS 25
still (P) is restricted to / = F*(y) + h(t, y), so that the limiting equations (L) in the
topology generated by (1.4) reduce to the single equation x' = F*(x). Sell [6] developed
a theory of dynamical systems that included non-autonomous systems. The state space for
such a dynamical system is the cross-product of the solutions of the non-autonomous system
with the time translates of the right-hand side of the differential equation (in an appropriate
topology). Sell developed a theory of limiting equations and limit sets within the context of
the dynamical system. In our context, Sell’s work [6] allowed for the case where the limit set
of g(t, y) (which is quite general) is generated by topologies that include the compact-open
topology and the local CP(I x D, IR") topology (see [6]), but does not seem to allow for
convergence given in the sense of (1.4). Also, because of the dynamical system structure,
Sell needs to assume a strong uniqueness assumption on (E) or (P); namely, that g(t, y)
essentially satisfies a Lipschitz condition in y. He thus includes the work of Miller [4] under
the restriction of the Lipschitz condition. Of course, the dynamical system approach lays a
foundation for the study of integral, functional and difference limiting equations, to name
just a few applications of this broad theory.
Our work extends all of the above results in that we use a convergence that is the same as
that in (1.4), but, in contrast to Strauss and Yorke [5], who assumed h(t, y) diminishes to
zero as t —> oo, we consider cases where h(t,y) may diminish to various functions along
different sequences. Moreover, we do not restrict our attention to the case F(t,y) = F* (y),
but consider a more general limit set of F(t, y) that includes all the previous cases
mentioned. Finally, we do not require uniqueness of solutions. Similarly to everyone else
mentioned above, we require a compactness condition on the time translates to F(t, y). In
our case we consider compactness in the topology generated by (1.4), whereas Sell [6], for
example, assumes the compactness condition in the compact-open topology or local Cp
topology.
Finally, we mention that the motivation of our work is an outgrowth of our study
of the long-time behaviour of classical solutions to non-autonomous reaction-diffusion
partial differential equations with Neumann boundary conditions (see Bemfeld, Hu and
Vuillermot [7]). Each classical solution of the partial differential equation stabilizes around
a spatially homogeneous solution that satisfies an ordinary differential equation whose
limiting equation in the compact-open topology possesses asymptotic states that our
classical solutions approach.
2 Preliminaries
Let D be an open set in JRn and let I = [0, oo). We shall assume all solutions of (L) have
domain IR and all solutions of (P) have domain /. A solution of the differential equation (P)
satisfying y (to) = yo, to e /, is given by y (t, to, yo). The positive limit set of a solution y (t)
of (P), denoted by T+ (y (0)» is the set of points z € D such that there is a sequence tn —> oo
with y(tn) z. If, in addition, y(t) is bounded, T+ (y(0) is compact and connected. For
solutions of (P), whose domain is /, a set S C D is said to be positively semi-invariant for

26 S.R. BERNFELD and P.A. VUILLERMOT
(P) if, for each yo
of (P) are uniquely determined by initial conditions
invariant.
if yo
assume uniqueness of solutions determined by initial conditions.
We first define a class K of functions that includes, for example, functions in C(D, IRn)
or the time-almost-periodic functions described in the introduction, or functions satisfying
(1.2). Moreover if we assume the measurable functions contained in CP{I x D, IR”) (see
[6]) are continuous then this set is contained in K.
Definition 2.1 Let K = {k(t,y) e C(IR x D,IRn)(C (/ x D,IR"))}> with k(t,y)
satisfying the condition (UC): for each e > 0, for each compact set J C IR(/) and for each
compact set D* c D, there exist T(e, D*, J) and <$(€, D*) such that for r > T,x, y e D*,
\\x - y II < 8
sup / |&(s + r, x) — k(s + r), y)| ds < e;
teJ Jo
and also satisfying the condition (EC): for each bounded, continuous sequence {yn(0}>
yn(t) C D for t € IR(/), for each sequence tn —> oo, and for each compact interval
/ C IR(/), there exits a continuous function H(t),t e /, such that
k(s + tn, yn(s)) ds H(t) as tn oo (2.1)
uniformly for t e l .
We now define the limiting set f(t, y) of g(t, y).
Definition 2.2 Let g(t, y) e C(I x D, IR^). Then the limit set of g, denoted by £2g, is
the set {f(t, y) e C(IR x D, IRn) such that there exists tn —> oo so that for each bounded set
B C D, for each compact interval / C IR, and for each continuous functions y : / —> JRn,
sup sup / g(s + tn, y(s)) — f(s, y(s))ds —► 0 as tn oo. ( 2.2)
y(-)eB teJ J0
We implicitly assume tn is large enough that s + tn > 0 .
We say g diminishes to f along the sequence tn if (2.2) is satisfied. If g diminishes to /
along every sequence tn —> oo, we say g diminishes to f as t oo.
If g is independent of y, that is git, y) = s(t), then we have the following.
Definition 2.3 Let s(t) e C(I, IR"). Then the limit set of s(t), denoted by Qs, is the
set {£(0 € C(IR, IR")} such that there exists a sequence tn oo so that for each compact
interval / € IR,

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF LIMITING DIFFERENTIAL EQUATIONS 27
sup f [>(£ + tn) - s(%)]d% —► 0 as tn -> oo. (2.3)
t£j JO
Accordingly, we say s(t) diminishes to s(t) along the sequence tn if (2.3) is satisfied. If ^ (r)
diminishes to s(t) along every sequence tn oo then s(t) diminishes to s(t) as t oo.
Notice that s(t) satisfies (EC) with H(t) = s(t) and also satisfies (UC); hence s(t) e K.
As we have alluded to in the introduction, the convergence in (2.2) and (2.3) reduces
to that in (1.4) in the case when g or s diminishes to zero as t —► oo. We now provide
a compactness condition on g(t, y) that is more general than Sell’s [6] condition on the
compactness of the time translates to g(t,y).
Definition 2.4 Let g(t, y) e C(I x D,JRn). We say g(t, y) satisfies (C) if for each
sequence tn oo, there exists a subsequence tnj oo and a function / e £lg such that
(2.2) holds with tn replaced by tn..
Condition (C) is satisfied when g(t, y) satisfies the almost-periodic conditions given by
Miller [4] and whenever Qg is a singleton, as assumed in Markus [1], Opial [2], Strauss
and Yorke [5], and Yoshizawa [3].
3 Main Result and Application
We now state and prove our main result, where we compare solutions of (P) with those
of (L).
Theorem 3.1 Assume we can write g(t, y) = F(t, y) +h(t, y), where F e K satisfies
(C), and h(t, y) diminishes to zero as t -> oo. Let y(t) be a bounded solution of (P). Then
the following hold.
(/) for each z € r +(y(t)), there exists f ( t, x) e £2g = a sequence xn —> oo and a
solution x(t, 0, z) of (L) such that
y(t + Tn) -* x(t, 0, z) as rn -> oo (3.1)
uniformly for t on compact intervals of JR. Moreover, F(t, y) diminishes to f(t, y)
along the sequence zn.
(ii) (a) r + (y(i)) is a semi-invariant set of (L) and thus consists of the union of
trajectories of(L).
(b) if solutions of (L) are unique then T+ (y(0) is an invariant set of (L).
P r o o f S i n c e y(t) is b o u n d e d , t h e r e i s a c o m p a c t s e t Z>* c D s u c h th a t f o r t > 0, w e
have y(t) e D*. Now there exists a sequence tn -> oo such that y(tn) zastn — oo. By
condition (C), there exist a subsequence of {tn}, which we again index by n, and a function
/ g Qf such that F diminishes to / along tn. Since h(t, y) diminishes to zero along tn,

28 S.R. BERNFELD and P.A. VUILLERMOT
we have / e Qg. Pick any T > 0 and define for t e [-T, T], yn(t) = y(t + tn). Clearly
yn(t) e D*, and hence the sequence {yn(0} is uniformly bounded for t e [-T, T]. Since
y(t) for t e [—T, T] satisfies,
F(s, y 0 )) ds + h(s, y(s)) ds,
we have
yn(t) = y(tn)+ f F(s + tn,yn(s))ds + [ h(s + tn, yn(s)) ds. (3.2)
Jo Jo
We want to show that {yn(t)} is equicontinuous on [-T, T], which would then imply by
Ascoli’s theorem that {yn(t)} is compact. Since h(t, y) diminishes to zero, letting B = D*,
J = [-T, T] in (2.2) we have the existence of a sequence {e„} where €n —► 0 as n —> oo
such that
sup / h(s+ tn,yn(s))ds
te[-T,T] \Jo
< €jl (3.3)
Since F(t, y) 6 K, letting / = [ 7’. 7’] in (2.1), we conclude there is a sequence {e„}
where ?„ —*■ 0 as n —>· oo and a function H(t) such that for t e [ —7’. 7' ].
H{t)f
F(s + tn, yn(s))ds<
Hence for any t\,t2 G [—7\ T], we have, using (2.1) and the above inequality,
I f
■FCs + i„, y„(s))ds< | / / (i2) — (fi) | + 2?„. (3.4)
Thus
ynih) - y„(h)
- f
Jt1 f
Jt 1
F(s + yn(s))ds + / fc(,s + yn(5· ) ) ^
and this implies, using (3.3) and (3.4), that
\yn(t2) - yn(ti)\ < |^(i2) - ^ ( i i ) l + 2 ( € „ + € n).
Since //( 0 is uniformly continuous on [—T, T] and en +en -> 0 as n —> oo, we see {yn (r)}
is equicontinuous. Hence there exists a subsequence of {y„(r)l, which we gain index by n,
and a function x(t) such that
lyC + i«) - x(t)| = |y„ ( 0 - v(OI —► 0 as noo (3.5)

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF LIMITING DIFFERENTIAL EQUATIONS 29
uniformly for t g [—T,T]. Since F(t,y) satisfies (C), we have the existence of a
subsequence {xn} of {tn} and a function f(t, y) such that F(t, y) diminishes to f(t, y)
along xn. Applying (UC) and (2.2) to F(t, y), we find
uniformly for t G [—T,T]. Taking the limit of both sides of (3.2) with xn replacing tn, we
have from (3.3), (3.5) and (3.6) that x(t) satisfies for t g [-T, T],
that is, x (0 is a solution of (L) and satisfies x(0) = z. Using a standard diagonalization
process, we find that x(t) may be defined on IR, such that (3.5) is satisfied on all compact
intervals of IR, and is a solution of (L) on IR. This proves (i); and (3.1) implies the
semi-invariance and invariance respectively of T+ (y(i)) relative to (L). Thus (ii) is proved.
□
Remark 1 Let us now assume in addition to the hypotheses of Theorem 3.1 that
y(t) —► Q as t -> oo, where Q is a closed subset of D. Then, if we select e sufficiently small
that Qe — { x G D : d(x, Q) < €}, where d(x, Q) = inf {\x - q\ : q e Qj, is continued
in D, and require that (2.2) holds for each bounded set B c Qe for some fixed e, then we
obtain the same conclusion as that of Theorem 3.1. The proof is essentially the same where
we now replace D* with D* C\ Q = Q*, so that y(t) —► 2* as t —► oo. We find exactly
as before that the sequence {yn(0} is compact and T+ (y(0) is a semi-invariant (invariant
if uniqueness of solutions is assumed) set lying in Q. Yoshizawa [3] has exploited this, for
example, by using a Liapunov function V(x) relative to (L), where (L) is now autonomous,
and defining
In this way, he was able to show that all solutions approached Q. Further conditions on (L)
implied that y = 0 is the largest invariant set contained in g , thus implying that solution of
(L) approached the origin. Some of these results were extended by Miller [4], who assumed
(L) is almost-periodic.
We shall now apply Theorem 3.1 to the case in which h(t, y) = s(t).
Example 3.1 Assume in (P) that F(t, y) is almost-periodic in t g IR for each fixed y
and uniformly continuous on IR x D* for each compact set D* c D.
Let h(t, y) = s(t), where s(£) dÇ —> 0 as t oo. Then for each bounded solution
y(t) of (P), there exists an almost-periodic function f*(t,x) g Qf, a solution x(t) of
x' = f*(t,x) and a sequence xn —> oo such that (3.1) holds. If T+ (y(0) = ÿ then
/ F(s + xn, y(s + xn)) ds
o
(3.6)

30 S.R. BERNFELD and P.A. VUILLERMOT
f*(t, y) =
(2.3) with
contained in L
and Yorke [5], who assumed
Example 3.2 In (P) assume for t > 0, | F(t, y)| < k(t)p( |y|), where / 0° ° X(s)ds < oo,
and p{|y \) is a continuous function. Let h(t, y) = s(t), where / ?r+1 s(%) > Oasi —> oo.
Then, using Theorem 3.1, each bounded solution of (P) approaches a constant as t —> oo.
Indeed, we find that F(t, y) e K, since / 0°° A(^) ds < oo and we can choose H(t) = 0;
moreover, we have Qf = Qs = {0}. Hence (L) becomes x' = 0, and (3.1) gives us the
assertion. This example partially extends a result by F. Brauer, which may be found in
Lakshmikantham and Leela [8], where he assumed s(t) = 0 in his study of asymptotic
equilibria.
4 Perturbation That Diminish along Sequences
Let us again consider (P), where now we no longer assume s(t) is diminishing to zero as
t —> oo, as has been assumed in Examples 3.1 and 3.2, but rather assume
—oo < lim inf / s(%)d% < lim sup
r ^ o o J0 f-*oo/
s(l=) d% < oo. (4.1)
This will include the periodic and almost-periodic nonconstant functions. When (4.1) is
satisfied, Qs is not a singleton. We shall consider the class of perturbations consisting of a
“train of trapezoids”. A typical example is given as follows. For t e [0, oo), define
(t = 0, 1),
(MU)),
(t e IR+\[0, 1]);
(t = 2, 3),
(r e (2 + I ,3 -i)) ,
(re(2,2+ i]u [3-i,3)),
(t e lR+\[2, 3]).
Ui(t) =
L2(t)
0
1
linear
0
0
- 1
linear
0
We shall denote the set of upper trapezoids with odd indices as U2n+1(0 (with domain
[0, oo)) and the set of lower trapezoid with even indices Ljnit) (with domain [0, oo)).
Define recursively for « = 1,2,3,...,

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF LIMITING DIFFERENTIAL EQUATIONS 31
^2n+l ( 0 —
^2/i+2 ( 0 —
:? -r i - >)) (' e [ Eh1 ./ - 1. E ] l V./] - a„
0 (t e [0, oo)\A„);
:j" î2 y - 3) )
0 (t € [0, 0 0)\B„).
)·
)■
:Zo [t/2n+l(i) + i2„+2(i)].Let
so(t) =
m
s(-t)
it > 0),
(f < 0).
Notice that .so(0 satisfies (4.1) and = [U\ (t + a), L2(t + /3), 0} for all a, /3 e IR.
Now let Mn = An U Bn U An U Bn, where An — {—t g IR such that t e An} and
Bn = {—t G IR such that t e Bn}, and let M = U“=1M„. Consider the particular
modification of so(t) given by
(t\ _ it G M),
U sin t2 {t eJR\M).
Notice that IR\M is the infinite union of disjoint open intervals whose lengths become
unbounded as |f| —► 0 0. Each interval adjoins two consecutive trapezoids. We find that
s\(t) satisfies (4.1) and £2So = QS] = {U\(t + a) , L2(t + /3), 0} for each a, ¡3 G IR, since
/ 0° ° s$t)dt < 0 0. Interestingly enough, in the compact-open topology or in the Cp (IR, IR”)
topology the zero function is not in the limit set of s\ (t), since sin (t + tn ) 2 for any sequence
tn ^ 0 0 does not converge to 0 in these topologies. Notice for any sequence {tn} contained
in IR\M and any compact interval I\ C IR, we have
sup / si(£ +tn)dt; —^ 0 as tn —> 0 0.
fG/j JO
The following example complements Example 3.2.
Example 4.1 Consider the equation (P), where F(t, y) = ^i(0 and h(t, y) satisfies
|h(t, y)| < X(i)/o(|y|) with / 0°° k(s)ds < oc and /o(|y|) is continuous. Since Qh = {0},
we have Qh-\-s} = £2$,. We have seen that s\(t) diminishes to zero along any sequence
{tn} G IR\M, tn -a- 0 0. Thus the limiting equation of (P) along tn 0 0 is x = 0.
M oreover, along any sequence {rn} ^ IR \M , zn -> 0 0, the lim iting equation is either
x' = JJ\{t 4- a) or x' = L2(t + /?) for some a and ¡3 G IR. In each case an application
of Theorem 3.1 with F(t, y) = s\(t) and | h(t, y)| < X(t)p(\y$ implies x(t) -a constant,
since both U\ (t + a) and L2(t + fi) are eventually identically zero for t sufficiently large.

32 S.R. BERNFELD and R A. VUILLERMOT
Remark 4.1 Clearly, many modifications of soit) can be constructed, satisfying (4.1).
Notice that in such cases the results of Strauss and Yorke [5] do not apply, since for
those perturbations s(t) satisfying (4.1), Qs is not a singleton. Recall that they assume
Fit, y) = F(y) and s(t) diminishes to zero as t -> oo. A similar remark holds for hit, y).
References
[1] Markus, L. (1956). Aysmptotically autonomous differential systems. Contributions to the
Theory of Nonlinear Oscillations, edited by S. Lefschetz, 3, pp. 17-29. Princeton University
Press, New Jersey.
[2] Opial, Z. (1960). Sur la dependence des solutions d’un système d’équations différentielles de
leurs seconds membres, application systèmes presque autonomes. Ann Polon. Math., 8, 75-89.
[3] Yoshizawa, T. (1966). Stability Theory By Liapunov's Second Method. The Mathematical
Society of Japan, Tokyo.
[4] Miller, R. (1965). Asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential equations. Trans.
Am. Math. Soc., 115, 40CM-16.
[5] Strauss, A. and Yorke, J.A. (1967). On asymptotically autonomous differential equations. Math.
Syst. Theory, 1, 175-182.
[6] Sell, G. (1971). Topological Dynamics and Ordinary Differential Equations. Von Nostrand
Reinhold, London.
[7] Bemfeld, S.R., Hu, Y.Y. and Vuillermot, PA. (1995). Homogénéisation spatiele et equivalence
asymptotique pour une classe d’équations paraboliques semilinéaires non autonomes. C.R.
Acad. Sci. Paris, Ser., 320, 859-862.
[8] Lakshmikantham, V. and Leela, S. (1969). Differential and Integral Inequalities, 1. Academie
Press, New York.

4 DISSIPATION AND ALMOST-
PERIODICITY
KLAUS DEIMLING
FB 17 der Universität, D-33095 Paderborn, Germany
Dedicated to Professor Srinivasa Leela on the occasion of her 60th birthday.
1 Introduction
Among the areas studied intensively by Professor Leela are differential inequalities
and differential equations in Banach spaces, as documented, for example in [11,12]
and the references given there. Theorem 2.15.3 of [11] is a result about the existence
of almost-periodic solutions for differential equations x' — f(t,x ) in IR", where
/ : IR x IR" -» IR" is continuous, uniformly almost periodic in t (see Section 3 below)
and (besides some redundant additional conditions) satisfies
|x-y-\-h(f(t,x) — f(t, y))| < \x — y|(1 — ah) + o(h) for t > 0 and small h > 0, (1)
for some constant a > 0; here | · | is any norm on IR". If not at the same time then at least
a little bit later, it was realised that (1) is nothing other than
{fit, x) - f{t, y), x - y ) + < - a \x - y\2,
in terms of a “semi-inner product” (·, ·)+, t0 defined below, which comes down to
(Ax, x) < — a\x\2 in case of linear f(t, x) = Ax and the Euclidean norm | · |, which is a
strong dissipativity condition in “mechanical” language.
We consider the same equation in an arbitrary Banach space X, prove global existence
of solutions under some weaker conditions of dissipative type, reformulate existence of
almost-periodic solutions as a problem of finding zeros of certain operators on the space AP
of almost periodic functions u: IR —► X, prove an existence theorem under condition (1)
and indicate results for degenerate cases where one has less dissipativity. At each point, we
also mention some interesting open problems.
33

34 K. DEIMLING
(-)
Concerning notation, let Z be a Banach space with norm | · |. Then
\x — | < r}, Z* is the dual space of continuous linear functionals on Z, 2X\0 is the set
of nonempty subsets of Z, the duality map T: Z -> 2X* \0 is defined as
F(x) = {jc* e Z* : |jc*| = |*| and (x,x*) = \x\2}
and the semi-inner products (x, y)± are given by
(x, y)+ = \y\ lim ^ + ^
----— = max {(x, y*) : y* e T(y)}, ( 2)
A .\0 A
(
x, y)- = |y| lim —
---^ — — = min {(x, y*) : y* e T(y)}. (3)
P
roperties of (·, )± can be found in many books (e.g. [3,6,12]). In particular, we shall
exploit the fact that the quotients in (2) are decreasing in A as A —► 0+, while the quotients
in (3) are increasing as A 0+.
Let us also recall that A:
on
(hence for all A > 0, see the books mentioned), where
Accretivity (m-accretivity)
(Ax — Ay, x —
will be introduced at the appropriate place.
2 Global Solutions
Let Z be a real Banach space with norm | · |. Let IR+ = {t e IR : t > 0}, and let
/ : IR+ x Z —> Z be continuous and such that
(fit, x) - f i t , y), x - y)~ < 0)(t, \x - >’|)|x - for t € IR+, (x, y) e X x X, (4)
where co: 1R+ x IR+ -> IR is continuous, co(t, 0) = 0 on IR+ and p(t) = 0 is the (local)
m axim al solution o f
p — co(t, p) in t > s, p(s) = 0,
for every s e IR+. Then it is easy to show and well known that the initial-value problem
u = f(t, u) in t > s, u(s) = x e X, (5)

DISSIPATION AND ALMOST-PERIODICITY 35
has a unique local C
general “Lyapunov-dissipative” conditions. To get global solutions, one usually assumes
that / maps bounded sets of IR+ x into bounded sets of
The following argument shows that this extra condition is redundant.*
Without loss of generality, let s = 0 and assume that the solution «(·, x) of (5) exists on
J = [0, a] for some x e X. Then it is easy to see that M = {y e X : u(-,y) exists on
J] 0 is open and closed, hence equal to X; remember that the maximal solution p(t) = 0
can be approximated from above by solutions of p' = co(t, p) + 8n, p(s) = 8n with 8n \ 0,
which in combination with (4) yields both properties of M in finitely many steps. This point
becomes especially simple in the case co(t, p) = 0, since then \u(t, x) — u(t, y)\ < \x — y \
for all t in the common domain of definition. By the usual extension procedure, it is therefore
also clear that if w(·, x) exists only in [0, a) with a < oo, for some x, then w(·, y) has the
same property, for every y e X. But this is impossible since, given ro ^ we find r > 0
such that / is bounded in [0, 2a] x Br(xo), and therefore there is an existence interval of
common length for solutions of (5) with s e [0, a] and x = xq. Choosing s < a but close to
a, this interval is [s, a+ct] with a > 0; hence application of above connectedness argument
to this situation implies that the solution of (5) exists on [s, a + a], for every x e X, and this
shows that m(·, y) can be extended beyond a, by choosing x = u(s, y). This contradiction
proves the following.
Theorem 1 Let X be a real Banach space and f: IR+ x X -> X be continuous such
that (4) holds for some function co(·, ·) as specified below (4). Then the IVP (5) has a unique
C1 solution on [s, oo).
Let us note in passing that we don’t know whether Theorem 1 remains true if / is continuous
on IR+ x D, where D c X is closed and connected, / satisfies (4) for (x, y) e D x D and
the necessary boundary condition
lim X~lp(x + kf(t, x), D) = 0 on IR+ x D;
see e.g. §4.5 in [5] for preliminary results under additional assumptions. The situation
becomes even worse if / is replaced by an upper-semicontinuous multivalued map F with
compact convex values F(t, x) ^ 0, even if D = X, in which case (4) is replaced by
(y — y, x — x)- < co(t, \x — x\)\x — x\ for t e IR+,
(x, x) e X x X, y e Fit, x), y e F(t, x),
and replaced uf e F(t, u)a.e. in t u(s) = x e X\see and the problem s
on p. 142 in [7].
(5) is by > s, §10.7
*1 want to thank Dr M. Kunze (University of Cologne) for noticing that this point needs explanation in
Example 17.1 of [6], where we had co(t, p) = 0.

36 K. DEIMLING
3 Almost-Periodicity
Let
u
by
(a.p.)
a.p. functions with norm | ·
Now, consider
u = f ( t, w), (6)
where / : IR x X -» Z is continuous and /( · ,* ) G AP, for every v € Z.
To be sure that the composition /(·, w(·)) is a.p. if u e AP, we assume that / is uniformly
almost-periodic (u.a.p.), with respect to compact subsets of X, i.e. if K C X is compact
then Fk : IR -> Cx(K), defined by
= /(L *) for t g IR and x e K,
is a.p.; here Cx(K) is the Banach space of continuous v: K X with norm \v\ =
maxK |v(*)|.
By means of this assumption, it is easy to check that F: AP AP, defined by
(Fu)(t) = fit, u(t)), is continuous. If / satisfies (4), for some continuous co independent
of L then use of
\y\
\ y \ - \ y - W
(.x, y)_ as X \ 0 (7)
shows that F satisfies
(Fu — Fv, u — v)- < cjo(\u — t;|o o )|u — i^loo for u, v G AP. ( 8)
In particular, F is dissipative if f(t, ·) is dissipative for every x.
To find a.p. solutions of (6), it is therefore natural to consider (6) as Lu + Fu = 0 on the
space AP, where
Lu = —u on Dl = {u g AP : u g AP}.
For u e Dl, we have
1 1
— (uT — u) — u—> 0 and — {u— U-T) — u
T
oo
X
0+ ;

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

— "Niin, niinhän se oli… Kas kun minä en muistanut!… Sinulla se
on tuo muisti vielä tallella… Sinullahan se oli jo koulussakin
semmoinen muisti, että lukematta olisi luullut tohtorin tulevan", —
myönteli silloin Sala, selittäen edelleen: "Sinähän muistit ulkoa, ihan
lukematta, miten monta tuntia kukin oppilas oli arestissa ja
laiskanläksyllä istunut… Niin, ja entäs hiivatissa! Senkin muistit
ulkoa, miten monta kertaa 'Kössi'-maisteri oli istunut tuoliin pistetyn
neulan kärelle…"
Ja sitten seurasi juttu juttua. Harhaman valtasi halu keskeyttää
ivaava keskustelu, joka loukkasi rouva Esempion kunniaa, mutta
keskustelu veti hänen jalkoihinsa yhä mustempia sukkia ja silloin
halusi hän kuulla, kuulla kaikki. Hän hillitsi itsensä. Lopulta janosi
hän aivan uhmaten kuulla kaiken loankin, kuunnella loppuun koko
paljastuksen. Hän istui ulkonaisesti tyynenä, mutta sisällisesti
raivossa ja painoi muistoonsa jokaisen sanan, jokaisen ivallisen
äänenpainonkin, jolla ne lausuttiin. Hän halusi nyt kuulla juuri ne
likaisimmat kohdat. Hän tunsi sormiensa päiden palavan ja
suoniensa pullistuvan niitä odotellessa. Sala jatkoi hetkisen vaiti
oltuansa:
— "Missähän Helgakin nyt huseerannee, kun sitä ei ole enää
teatterissakaan näkynyt?…"
— "Se on hentustellut erästä venäläistä kapteenia… Golubof, vai
mikä sen nimi on… Kuuluu istua nököttäneen sen polvella tuolla
Viipurissa", — tarttui Halla.
Musta aistipunakukka pimensi värillänsä Harhaman elämän
sysimustaksi. Punakirkkaat salamatkin suhahtelivat hänen silmissään
mustina. Miehet jatkoivat puheluaan, kertoen tapahtuman toisensa
perästä.

— "Vai on Helgalla taas uusi golubtshikka", — lopetti Sala. "Mutta
missähän se Erkki puliveeraa?… Sekin vähän pilautui, kun nai sen
rikkaan Rahalan tytön… Ei häijyä saanut häiden jälkeen pariin
kuukauteen ryypyksiä palvelemaan… Mutta niinhän se näkyy elämä
pilaavan kaikki, kenen naimisiin menolla, kenen milläkin. Sinutkin,
Halla, elämä oli aivan piloille turmella, kun houkutteli avioliittoon:
Taisit puoli vuotta pitää viinapaastoa naimisiin menoasi katuessa…
Maltas nyt: Silloin häittesi aattona naukkailimme viimeksi ja sitten
eihän sinua saanut ihmisten joukkoon ennen kun vasta kesäkuussa,
kun eukkosi oli mennyt maalle… Mutta kyllä sitä silloin ryypättiinkin…
Vie sun turkanen!…"
— "Ilosta", — lisäsi Halla.
— "Kun oli kadotettu lammas löydetty", — riemastui Sala.
Harhama hengitti yhä mustan kukan tuoksua… Sala jatkoi
valitustaan:
— "Pilaa se elämä, pilaa kaikki ihmiset. Tuon Harhaman se näkyy
pilaavan heittämällä vanhaksi pojaksi… tekee siitä semmoisen
pässin… Ei ole tästä elämästä mihinkään…"
Hän pysähtyi hetkeksi ja tuntui, kuin olisivat kaikki kolme ajatelleet
elämän kelvottomuutta. Äkkiä Sala taas ikäänkuin riemastui ja jatkoi
Hallalle:
— "Sinä, Halla, saitkin aika sievän eukon: Mitä eikö sillä ollut
kontanttiakin lähes satatuhatta ja talo on ainakin
kahdensadantuhannen talo… On se nätti eukko… Sietäisi minunkin jo
päästä leskeksi, että pääsisi jonkun miljoneerin aviosiipaksi… Ei tällä
pelkällä maisteri-arvolla pitkälle potkita… Ennen vanhaan sitä kuuluu
maisteri-arvollakin saaneen kymppejä irti vaikka mistä, mutta nyt on

elämä jo senkin pilannut… viitoistakaan ei saa sillä enää
heltiämään… Semmoinen se on se elämä: Se pilaa ja tärvelee kaikki.
Se on yksi kavala käärme…"
Syntyi pieni levähdys. Kaikki tuntuivat taas miettivän elämää, joka
pilaa ja tärvelee kaikki. Harhama oli tulikuuma. Hänestä tuntui, että
musta aistipunakukka imee koko hänen teoksensa ja elämänsä sen
mukana. Sala nousi ylös, kuin jotain muistaen, ja kiivastui:
— "Mutta kyllä se on kummallista tämä elämä… perhana!… Kun
pitää mennä naimisiinkin ja ottaa eukko ristiksensä… Eikö sitä voisi
eukon myötäjäisiä saada ilman että on eukko siinä
kaupantekijäisinä? Esimerkiksi valtio voisi maksaa myötäjäiset niille,
jotka eivät halua avioliitossa niitä saada. Appi-ukko tuo nyt vielä saisi
tulla myötäjäisten mukana, jos sattuisi Jurvelinin lainen, että panisi
joskus ryypykset pöytään… Kah!… Johan lakkasi satamasta? Jopahan
lakkasi… Olikin se aika ukkonen… Päästään taas Hallan kanssa tästä
lähtemään", — puheli Sala, jatkaen:
— "Mutta nyt se taas pilasi ilman kuumuudella. Katso miten hikoaa
ihminen… Mitä sinä, Harhama, yhä työssä? Eihän maksa vaivaa työtä
tehdä… On tässä elämässä jo muutenkin kylliksi taakkaa…"
— "Niin, milläs sitä työtönnä eletään", — murahti Harhama jotain
sanoaksensa. Sala jatkoi:
— "Niin, onhan se siitäkin tehty yksi risti ihmisille: pitää ajatella
millä eletään…"
— "No sinulla ei ole sitä ristiä, kun elät koroillasi", — keskeytti
Halla.

— "Ei ole, ei. Mutta on sen sijaan muuta surua. Pahin risti on tästä
kuumuudesta. Se lempo ei anna öissä maata, eikä anna
ruokahaluakaan… vietävä. Eilenkin jäi semmoinen kananpaisti
syömättä ja soppa ja taisi olla eukolla jotain imelänrypläkkääkin…
Vesi nousi aivan suuhun ja suututti. Mutta minkä sille teet, kun ei
pala mene kurkusta alas… Juohtuu mieleeni Ratisen eukko: Se
paistaa niin ryökäleen hyvin torttuja… Ei se ole leikkiä tämä elämä,
ei ole. Lihoo vaan ja paisuu ja hikoaa… Koettelehan taas niskasta
selkää, miten on märkä… Työnnä syvemmälle kätesi… Älä nyt liika
syvälle, että kaulus repeää! No, kas niin!… Hyh, hyh, hyh, hyh!
Raskasta on ihmis-elämä, raskasta. Ihmis-elämä on yhtä ainoaa
päivänpaistetta… aivan oikea tulitutkain, joka paistaa ihmisen
makkaraksi ja pistää joka puolelta… Talvella vielä eläisi, jos ei kylmä
vaivaisi ja jos olisi vähän viheriää, missä nukkua ruokalepo… Mutta
sinulla, Halla, ei ole tästä liiallisesta lihasta vastusta. Sinun elämäsi
on toista… Nuori eukko on… semmoinen sievä lepero… hymyilee niin
veikeästi… ja entäs minkälaisia lettuja paistaa… Ei ole lapsia
parkumassa… Talo tuottaa yhdeksän tuhatta vuodessa, vai tuottaako
se kymmenen jo?…"
— "Vai ei minulla ole vastusta!" — tenäsi Halla topakkana.
"Kunhan itselläsi olisi paljas kalju, niin tietäisit, mitä on sen kanssa
elämä. Kaikki perhanan kärpäset siinä kykkivät ja purevat… ei saa
muuta, kuin tapella niiden kanssa. Yölläkin lemmot inisevät sen
ympärillä ja inisevät, ja purevat, kuin neuloilla pistäisi… Kas taas
häijyä!" — lopetti Halla, tavottaen tappaa ahdistelevan kärpäsen
paljaalta päälaeltansa ja lisäten: "Ennen kärsisin lapsen huutoa,
vaikka heitä olisi viisi tusinaa, ennen kun tuon itikka-pahuksen
inisemistä."

— "Jokaisellahan se on elämässä oma taakkansa, kellä mikin", —
myönsi Sala ja ottaen lakkinsa, lausui hän Harhamalle jäähyväisiksi:
— "No, terve nyt sitten… Turkanen, miten hyvälle haisevat letut
kyökistä!… Sinä täällä vaan kirjoittelet kirjeitä ja romaaneja… Etkös
sinäkin Halla jo lähde?"
— "Ka, joutaapa tästä", — vastasi Halla, nousten.
— "No terve nyt sitten ja voi paksusti ja kirjoittele romaaneja ja
runoja… Koulutytöt niitä kuuluvat lukevan ja rakastuvat siinä, ja
puoluehan siitä vaan kasvaa… Nyt sitä taas rupeaa hikoomaan…
Terve nyt!… Milloin sinä tulet meillä päin käymään?" — jatkoi vielä
Sala Harhamalle.
— "Ehkäpä piankin", — murahti puhuteltu.
Miehet lähtivät. Menneisyyden pimeydestä oli kierinyt Harhaman
eteen rouva Esempion polkemat jälet. Aistipunakukan väri puhkesi
yhä mustemmaksi.
* * * * *
Ukkos-ilma oli asettunut. Koivun viheriöillä lehdillä kimaltelivat
vesihelmet auringon säteissä ja linnut tirskuivat sen oksilla. Mutta
sokeana kaikelle istui Harhama. Hän istui kuin raunioiksi
romahtaneen rakennuksen jätteillä, kun kaikki oli peittynyt sen
pölyyn. Pää painoi hartioita raskaan rautapallon painoisena. Korvat
humisivat. Pölyn seasta näkyi joskus jotain sekavaa, joskus ei
mitään. Sitten selveni hieman. Ja ensimäisenä pääsi hänessä vallalle
loukatun sukupuoli-elämän tunne: sekaisin inho ja mustasukkaisuus.
Aistillisuus levisi hänen silmiensä eteen likaisena, ilettävänä, ja hän

oli näkevinänsä rouva Esempion alastoman ruumiin siinä
aistillisuudessa virumassa ja sitten nousevan siitä raukeana,
saastaisena… semmoisena, jossa ei ole enää äitiyden puhdasta, jaloa
tunnusta, vaan pelkkä aistillinen, kulunut naisen ruumis. Hän muisti
monia likaisia kohtauksia, joiden todistajana hän oli ollut Hiiden
myllyssä… Sen… ja sen… ja senkin…
— "Hyi!" — puistahti hän.
Mutta oitis alkoi se tunne ikäänkuin lokana solua hänestä pois.
Pöly selkeni ja hän syöksyi raivohullun vimmalla pelastamaan
teostansa, näki sen pelastuksen olevan mahdotonta, näki kaiken
olevan sortumaisillansa raunioiksi.
— "Nyt… nyt… nyt… nyt se sortuu, sortuu kaikki", — värisi
hänessä tuska ja hän itse aivan lyyhistyi sen sorrunnan alle, odotti
joka hetki romahdusta, eikä kyennyt pelastumaan.
Koko elämä näytti olevan menossa. Kaikki vajosi kuin sumuinen
päivänpyörä pimeyteen.
Ja taas selvisivät ajatukset ja taas sotkeutuivat ne. Hän alkoi
tarkemmin miettiä äskeisen kertomuksen yksityiskohtia, sovitteli niitä
rouva Esempion kertomuksiin, vertaili niitä toisiinsa ja etsi siten
jotain lisävarmuutta kertomuksen todellisuudesta, tai oikeastaan
varmuutta, todistusta sen perättömyydestä. Hän toivoi jokaisesta
tomuhitusesta pelastusta. Hän alkoi taas tutkia äskeistä
kuulemaansa. Ajatukset pysähtyivät, kuin vasaralla lyödyt, korvat
menivät tukkoon. Tylsänä mietti hän:
— "Mutta eiväthän ne niin sanoneetkaan… Ehkä kuulin minä
väärin…

Ja varmasti kuulinkin."
Ja voiton toivolla alkoi hän sovitella kuulemaansa rouva Esempion
omiin kertomuksiin matkoistansa ja olinpaikastansa.
— "Ne varmasti valehtelivat", — ilostui hän jo.
Mutta rouva Esempion omat kertomukset matkoistaan ja
olinpaikoistaan sopivat yhteen äskeisten kuvausten kanssa, samoin
olivat ajat samat. Hän oli vaan kertonut kaikki kokonaan toisessa
valossa.
Ja silloin peittyi taas kaikki sortuvan rakennuksen pölyyn ja sen
pölyn läpi kumotti aistillisuuden ilkeä, läähättävä haamu ja nauraa
kikatti hänelle inhottavaa nauruansa. Hän tunsi haamun hengityksen
ja näki sen hampaat, joista toinen puoli oli pois karissut. Musta
aistillisuuden kukka lemusi hänen sieramiensa edessä, kuin
mädäntymän haju…
Hän värähti inhosta ja muisti rouva Esempion. Haamu tuntui
hänestä rouva Esempion näköiseltä.
Ja taas ja taas sekottui kaikki ja peittyi pölyyn. Taivaalle näytti
ilmestyneen suuri joukko auringoita, jotka kieriksivät sekaisin,
himmenivät vähitellen, sammuivat ja yhtyivät viimein yhdeksi
pikimustaksi auringonkiijuksi, joka kieri verkalleen alas ja upposi
taivaan rantapimeyteen.
Uudestaan ja yhä uudestaan hapuili hän teostansa pimeydestä,
pelastaaksensa sen. Hän etsi sitä, kuin sokea äiti rakasta lastansa
sortuvan rakennuksen sopista. Ihmemaailmat, tähtisumut ja kaikki
alkoivat tanssia sekaisin. Ne pauhasivat hurjassa lennossa avaruuden

laella, punertavina… hirvittävinä palloina… uhkasivat joka hetki
syöstä alas, tai törmätä yhteen… hävittää kaiken ja peittää kaiken
maailmoiden yleisen häviön pölypilveen. Hän lyyhistyi jo sitä iskua
välttämään.
— "Nyt… Nyt… Nyt ne iskevät viimeinkin!" — tuskaili hän. Pöly
alkoi jo levitä. "Kas kun ei kuulunut romahdus", — järkeili Harhama.
Korvat menivät taas tukkoon, pää painoi hartioita, hän oli läkähtyä.
Pöly selkeni hieman. Hän näki sen läpi taas aistillisuuden ilkeän
haamun, se kyykistyi, kurotti leukaansa häntä kohti ja irvisteli
ilkeästi…
— "Joko nyt on kaikki mennyttä?" — supisi Harhama likomärkänä.
Sitten ei hän taas käsittänyt mitään, tylsistyi aivan puuksi. Auringon
pyörä nousi taivaalle sysimustana, leijaili siellä juhlallisena ja hajosi
sitten pieniksi tähdiksi, jotka alkoivat kieriä, etenivät, pienenivät ja
lopulta hävisivät tyhjyyteen, ja sinne hävisi koko hänen teoksensa,
hänen elämänsä. Jälelle jäi ainoastaan haiseva musta kukka.
Tunnit kuluivat, entinen sekavuus jatkui. Hän lähti ulos
puolisokeana, puolitajuttomana. "Ehkä siellä selkenee", — pilkahti
hänessä heikko ajatus. Ulkona paahtoi aurinko täydeltä terältä. Se
tuntui tavallista kuumemmalta. Välistä tuntui se hajoavan, vuotavan
valomerenä yli taivaan. Hänen teoksensa sivut kirkastuivat sitä
mukaa.
— "Ai! Muutaman kuukauden kuluttua se olisi ollut valmis", —
muisti
Harhama.
Ja silloin valui häneen taas epäselvien ajatusten kaaos ja kaikki
hävisi. Aurinko tuntui laskeutuvan hänen niskaansa ja painoi siinä

raskaana, tulisena pallona. Hän aivan kyyristäytyi sen alla ja ajatteli:
"Eiköhän se putoa… solahda pään yli tielle."
Iltapäivä lähestyi. Hän käveli yhä, kantoi aurinkoa niskassansa.
Kaikki hajosi pölyksi, selveni ja taas hajosi. Maailmat hurisivat
punaisina palloina korkeudessa, haihtuivat sumuksi ja
muodostautuivat uusiksi maailmoiksi. Aistillisuuden haamu näyttäytyi
entistään ilkeämpänä, velttona, haisevana, kuluneena haaskana.
Lopulta alkoi hän tuntea, että hänelle oli tehty vääryyttä. Se huomio
oli kuin valopilkku, kuin pieni pelastus…
— "Enhän minä itse ole tähän syyllinen", — lohdutteli hän
itseänsä.
Ja sitten alkoi hän etsiä sitä syyllistä. Hän etsi sitä väsyneenä,
raukkana, aluksi myös välinpitämättömänä, kuin jotakin etsiäksensä.
Hän oli sen jo löytämäisillänsäkin. Hän tapaili Salaa ja Hallaa, jotka
olivat loihtineet hänen eteensä haamuja. Mutta ne hävisivät.
— "Eivät ne ole syyllisiä", — mutisi hän, sekottui ja etsi toisia,
Erkki Arvolaa, Golubofia. Mustasukkaisuuden piru irvisteli hänelle
niistä.
— "Hyi!" — puistahti hän ja etsi etemmä jupisten;
— "Minulle on tehty vääryyttä: Minun elämäntyöni on lyöty rikki…
Vääryyttä minulle on tehty…"
Itsekkäisyys alkoi hänessä kyteä. Hän kohosi elämänsä
pölypilvestä, luulotellen että kaiken täytyy palvella häntä ja hänen
teoksensa aatetta. Hän raivostui, kun näki että elämä kulkikin omaa
uomaansa. Itsekkäisyys nosti päätänsä yhä korkeammalle. Se

kuiskaili taas ja taas: "Ne ovat tehneet sinulle vääryyttä." Hän
kyyristyi sen käsiin, heittäytyi raukkana sen armoille, syytti muita
siitä, että hänen teoksensa runoulapoille levisi jotain, jota hän piti
tahrana. Sen hengestä tuoksahteli aistillisuuden ravassa kasvaneen
ja versoneen mustan kukan löyhkä. Enkeli Iiranto häilähteli hänen
vierellänsä lakkaamatta, tarkastellen hänen aivojensa työtä.
Ja kuumeisesti alkoi hän etsiä syyllistä ja löysi hänet ja miltei
selvisi siitä huomiosta. Se syyllinen oli rouva Esempio, hänen
Jumalansa esikuva.
— "Miksi hän ei ole ollut minulle suora?… Miksi on hän pettänyt
minua?" — mutisi hän synkkänä.
Taas kului tunti tunnin perästä. Sama sekava kaaos jatkui ja kiehui
nyt rouva Esempion syyllisyyden ympärillä. Hän viskasi jo kaikki
onnettomuutensa hänen hartioillensa, polki häntä niiden painolla
maailman häpeäpenkille.
— "Kirkon mustalla penkillä olisi nyt paikkasi", — raivosi hän. Hän
ajatteli sitä yhtä ainoaa, nimittäin: "Minun elämäntyöni on lyöty
rikki… minulle on tehty siinä vääryyttä."
Hän oli menettänyt parhaansa ja suru sen kadottamisesta
läkähdytti kaiken muun…
Lopulta turtui hän kaikille ajatuksille. Väsyneenä Ja katkerana
kirjoitti hän rouva Esempiolle:
'Helga!
Anna anteeksi suoruuteni, mutta en voi olla Sinulle totuutta
ilmoittamatta. Olin äskettäin eräässä seurassa, jossa kerrottiin

suhteistasi herra Arvolaan, kapteeni Golubofiin y.m. Itse olet
ne kertonut minulle aivan toisessa valossa. Tahtoisin luottaa
Sinuun, mutta minulle on mainittu muutamia asioita, joiden
totuutta minun on vaikea epäillä. Miksi tämä salaaminen?
Olisin minä ne ehkä jaksanut ymmärtää, mutta kun ne
salaisuudet näin odottamatta nostetaan eteeni, niin en tiedä,
mitä silloin ajatella ja tehdä. Toivon kumminkin, että kaikki
olisi minulle kerrottu liian mustilla väreillä, tai olisi juorua.
Sinä yksin ne voisit oikaista, uskomalla minulle totuuden.
Silloin voisin helpommin puolustaakin Sinua tarvittaessa. Itse
Sinä et sitä tietysti kaipaa, mutta olisihan hyvä puhdistautua
lapsesikin tähden, jonka väitetään kulkevan väärällä nimellä.
Toivon, että olet minua oikein ymmärtänyt, kuten ennenkin.
Harhama.
* * * * *
Ja sitten alkoi taas entinen sekavuus. Teoksen sivuilla kuvatut
ihmemaailmat ja jumaluuden ilmenemiset karkeloivat sekaisin,
jossain harmaassa pölyssä. Hän ei taas lopulta käsittänyt, mikä isku
oli kohdannut, mistä oli salama singahtanut. Ja äkkiä puikahti pölyn
seasta näkyviin vanha ennustus arpirintaisesta naisesta, joka tuottaa
onnettomuutta…
— "Olisiko se hän… rouva Esempio?" — alkoi hän miettiä ja
sovitella ennustuksia häneen.
— "Siinähän on yhtenäisyyttä… juuri se luoma", — jatkoi hän,
ennustuksen yhä rohkeampana nostaessa rumaa päätänsä.

Ja kirjan sivut haihtuivat hetkeksi. Hän sotkeutui kokonaan
ennustuksien näkymättömiin kuituihin, jotka alkoivat juosta yhä
nopeampina. Lopulta hän takertui rouva Esempion rinnan päässä
olevaan ruskettumaan, puolipyöreään täplään. Hän oli sen monesti
huomannut, muistanut silloin joskus ennustuksen ja kysellyt sen
täplän alkua…
— "En minä sitä tiedä", — oli rouva Esempio silloin aina vastannut.
— "Siinä se nyt on!… Se on jotain pahaa, koska hän sitä ei
selittänyt",— jatkoi Harhama ajatuksiansa.
Ja sitten alkoi se täplä kummitella hänen silmissänsä. Se suureni,
laajeni, muodostui ilkeäksi pyöräksi, joka verkallensa kieri, kuin
aurinko, hänen silmiensä editse, laajeten lakkaamatta, kunnes hävisi
jonnekin, ilmestyi uudestaan ja taas uudestaan ja alkoi saman
kulkunsa.
Niin kului päivä, toinen. Ajatukset alkoivat jo tylsistyä, mieli turtua.
"Kun se edes vastaisi pian!… Ja mitähän se vastaa?… Kierteleeköhän
taas, vai onkohan siihen itseensäkin koskenut?" — jatkoi hän
sotkuisia ajatuksiansa, yhä tuntien mustan kukan lemun ja enkeli
Iirannon heilahdellessa hänen ympärillänsä, ruumiina kukan tuoksu
ja viisauden näkymättömänä palava soihtu kädessä.
Parin päivän kuluttua sai hän rouva Esempiolta seuraavan
vastauksen:
'Rakas ystävä!
En tiedä mitä sinulle kirjoittaa. Olen aivan surun murtama ja
rikki revitty. En jaksa kävelläkään.

Tahtoisin sinulle kertoa kaikki, mutta asia on niin
arkaluontoinen. En tiedä miten alkaa.
Kyllä on tosi, että Erkki Arvola oli muutamia kertoja luonani,
mutta minun lapseni kulkee sittenkin oikealla nimellään. Siltä
varalta olen todistukseksi aivan säilyttänyt Erkin kirjeen, joka
todistaa että tulin Esempion vaimoksi en vierge. Kun tulet,
niin näytän sen sinulle. Semmoisena sai minut mieheni. Se
suhde oli yhtä ainoaa tuskaa. Mieheni epäili minua jos
jostakin, tietysti syyttä. Hän rakasti minua, mutta minä en
häntä. Mieheni kuoltua tuli sitten Erkki, jonka vaimo oli
kuollut, luokseni katuvana. Minä luulin hänen olevan suurten
tunteiteni arvoisen ja tahdoin analyseerata tuon vanhan
rakkauden. Luulin, että hän on sittenkin se oikea…
Mutta sitten tapahtui elämässäni jotain niin mustaa, jota
muistan kuin pahaa unta… Se oli se kapteeni Golubof. Kyllä se
on totta… Hänellä oli niin voimakas luonne, että hän otti
minut väkisin. Perkeleeksi minä häntä kutsuinkin. Kerran
kirosin lapsenikin, jos menen hänen luokseen, ja kuitenkin
menin. Minä halveksin itseänikin, miten voin antautua
moiselle miehelle, josta vielä kuulin niin paljon rumaa ja
alhaista. Lopulta Erkki sai vihiä asiasta, puristeli minut
mustelmille ja siitä asti on hän ollut minulle kuollut.
Enempää en jaksa kertoa. Olen nyt riisunut itseni aivan
alasti edessäsi. Koko elämä on taas nyt mennyttä. Se oli jo
valoisaa sinun kanssasi ja onnellista. Minä luulin, että kaikki
olisi haudattu, mutta nyt nousee menneisyyteni sen Erkin
hahmossa ja myrkyttää kaikki.

Tee nyt kanssani mitä tahdot, mutta sinä teet minulle
veristä vääryyttä, jos nyt enää annat menneisyyteni vaikuttaa,
ja jos sen teet, niin minä kiroan sinut ja kaikki miehet
kanssasi.
Jospa sinäkin voisit unohtaa kaikki, niin voisi olla vielä valoa
elämässä. Usko minua: Nykyisyys on Sinun, Sinun yksin. Minä
vartioin sitä Sinulle sieluni kaikilla voimilla. Ja mitä tehnetkin,
älä tee, ennen kun olet puhunut kanssani, sillä näistä on
vaikea kirjoittaa; syntyy uusia väärinymmärryksiä…
Nyt olen epätoivossa. Olen juuri lähdössä täältä
Schuwalowan liasta asuntoosi Harhamalaan, mutta en tiedä
sallitko enää, ja itselläni ei ole varoja vuokrata kesäasuntoa.
Kaikki riippuu nyt sinusta, koko elämä. Mutta vaikka
hylkäisitkin minut, niin yhtä Sinä et saa viedä, nimittäin
kunnioitustasi. Se on minulle kalleinta kaikista ja se minun
täytyy Sinulta saada. Minä en sitä pyydä, minä otan sen
Sinulta, otan elämälläni.
Ole nyt minulle suopea ja vastaa pian!
Helga.
P. S. Ole hyvä ja ilmoita, saanko tulla kanssasi puhumaan.
Ehkä silloin kaikki selviää.'
Välinpitämättömänä, mieli haudassa, luki Harhama kirjeen. Häntä
ei, mielestänsä, sitonut rouva Esempion aistillisuus, tai henkisen
rakkauden huumaus. Hänen suhteensa tähän oli itsetietoisen miehen
suhde vaimoon. Mutta hän oli sitonut häneen elämänsä ytimen,

nostanut hänet — aluksi puoliväkisin — elämänsä, ajattelujensa ja
teoksensa kirkkaaksi keskipisteeksi.
Enkeli Iiranto huomasi hänen ajatuksensa. Se sieppasi vyöllänsä
riippuvan käärmeen suusta käärmenuolensa ja ampui sen
korkeuteen josta sävähti uusi kuva Harhaman aivoihin: Hän näki
teoksensa kirkkaan keskipisteen alkavan himmetä. Hän hätäytyi ja
heittäytyi sitä pelastamaan aivan sokeana. Hän käsitti että jos se
keskipiste häviäisi nyt tahraan, joutuisi hän omissa silmissään
henkiseen haaksirikkoon, josta hän ei jaksaisi enää nousta. Sen hän
tajusi sairaloisesti, vaistomaisesti.
Silloin enkeli Iiranto puhalsi hänen sieluunsa sumua ja Harhamalle
tuli hetkessä elämän ja kuoleman kysymykseksi voida kirkastaa se
piste taas ennalleen, omissa silmissään. Hän ajatteli itsekseen: "Jos
olen nyt kulkenut väärää tietä, olen kulkenut liian kauvaksi…
väsyksiin asti. Voimat eivät riitä palata ja alkaa uudestaan. Täytyy
siis jatkaa alettua polkua ja päästä sitä käyden perille."
Uudet mietteet alkoivat pulputa Harhamassa. Hän mutisi, mietti:
— "Olen häntä kaikkien edessä kohottanut kaiken yläpuolelle, olen
masentanut ja häväissyt jokaisen, joka on yritellyt häntä lokaamaan
ja nyt…"
Hän keskeytti, kuin olisi häntä pistetty. Mielipuolen tapainen
itsensä korottaminen kaikkien yläpuolelle tempasi hänet taas
valtoihinsa.
— "Ja jos ne nyt näkisivät, että olen erehtynyt, niin jo ne
ilkkuisivat!… Raakimukset!" — supisi hän, muistellen nimiä: "Senkin
olen masentanut… ja sen… ja sen." Ja hän alkoi sairaloisesti taas

pysytellä luulotellulla henkisellä vuorenhuipulla, pysytteli siinä, kuin
terävän piikin päässä. Kaikki ne, papit ja Airolat ja muut, joiden
edessä hän oli röyhkeän ylpeänä puhunut rouva Esempiosta, kulkivat
jo hänen editsensä, pilkkanauru huulilla. Joka nurkan takaa soivat
ivakellot.
Taas peittyi kaikki savuun ja pimeään. Teoksen häviö ja oma
alennus niiden edessä, joita hän luulotteli polkeneensa henkisenä
ylimyksenä, sekaantuivat yhdeksi sotkukseksi, joka avasi pimeän
kitansa ja uhkasi niellä hänet ja hänen elämänsä. Hän alkoi etsiä
pelastusta siitä häviöstä ja häpeästä. Hän luki rouva Esempion
kirjeen uudestaan ja yhä uudestaan, etsi valopilkkua joka sanasta. Ja
mitä hartaammin hän etsi, sitä valoisempina tuikkivat kirjeestä
toivonkipinät. Hän supisi:
— "Tässähän on niin paljon avomielisyyttä ja katumusta…"
Ja hän luki taas uudestaan ja löysi yhä uutta valoa. Enkeli Iiranto
osotti kirjettä sormellansa ja hymyili:
— "Tässähän on niin paljon ihmistuskaa, sitä puhdasta,
jumalallista tuskaa."
Harhama ilostui, kuin hengenhädässä oleva avun lähestyessä, ja
tutki ja mietti ja löysi aina uutta ja uutta toivoa. Ja silloin enkeli
Iiranto ampui nuolellansa Harhaman poveen uuden, välähtävän
kysymyksen, uuden uskon siemenen: entisen epätoivon epäilyn.
Äkkiä kysyi silloin Harhama itseltänsä:
— "Mitä rikosta hän oikeastaan on tehnyt… Mistä minä häntä
syytän?…"

Ajatukset tekivät työtä raukeina, väsyneinä. Kaikki oli himmeää,
mutta kirkastuvaa. Teoksen pelastus näytti jo mahdolliselta. Hän
taisteli, kuin hukkuva henkensä puolesta. Hän jatkoi:
— "Hänhän on vaan erehtynyt, ei rikkonut… Eikä edes
erehtynytkään, vaan mitä lie… Ja millä oikeudella minä vaadin tiliä
hänen entisyydestänsä?"
Suuren teoksen pelastus näytti jo varmalta. Hän ponnisti
viimeisetkin voimansa, puhellen:
— "Olenko minä itse synnitön?… Tai olenko erehtymätön?…
Päinvastoin. Ei ole kuoppaa, johon en liene langennut, ei rapakkoa,
jossa en olisi uinut."
Enkeli Iiranto hymyili. Ja yhä valoisemmilta näyttivät Harhamasta
kirjeen sivut. Hän alkoi jo tyyntyä. Ajatuksissansa oli hän avannut
munkki Pietarin lahjottaman Uuden testamentin ja selaili sitä. Kuin
sattumalta avautui silloin munkki Pietarin alleviivaama, Raamatun
ihanin kertomus syntisestä vaimosta fariseuksen huoneessa, jonka
hänkin oli kerran alleviivannut rouva Esempiolle. Hän luki siitä
Luukan evankeliumin 7 luvun 37:nen ja 38:nen värssyn:
"Et ecce, mulier, quae fuerat in urbe peccatrix, quum cognovisset
eum accumbere, in domo Pharisaei, allato alabastro unguenti, et
stans apud pedes ejus retro, flens coepit lacrymis rigare pedes ejus,
et capillis capitis sui extergebat, et deosculabatur pedes ejus, et illo
unguento ungebat."
[Ja katso, yksi vaimo oli kaupungissa, ja hän oli syntinen ja kun
hän sai kuulla, että Hän aterioitsi fariseuksen huoneessa, toi hän
lasin kallista voidetta. Ja seisoi takana Hänen jalkainsa juuressa

itkien ja rupesi kyynelillänsä kastamaan Hänen jalkojansa ja niitä
päänsä hiuksilla kuivasi ja suuteli Hänen jalkansa ja voiteli voiteella.]
Enkeli Iiranto hymyili Harhaman vierellä näkymättömässä
ruumiissansa, puhalsi taivaalle Harhaman teoksesta sen runokuvan,
jonka hän oli maalannut ukkos-ilman noustessa. Se osotti sitä ja
kutitteli Harhamaa ihanilla henkäyksillänsä, kuiskaillen niillä:
— "Muistatko?… Ihmemaailmassa saarnasi ihmisjumala, että kaikki
on vaan jumaluuden puhdistustulta… syntymäkipua… että ei voi olla
mitään väärää ja tarpeetonta… rikkaat ryöväritkin ovat tarpeellisia…
sillä jumaluus on syntymäkivuissaankin erehtymätön…"
Ja silloin hänelle alkoi avautua jumaluuden suuri armo ja
anteeksiantamus ja ihmisen katumus ja nouseminen valkeni hänelle
kirkkaana puhdistustulena. Tuntui, kuin olisi rouva Esempion kirjeen
lehdiltä tuoksunut sama kallis nardusvoide, jolla syntinen vaimo
voiteli Jeesuksen jalat, ja tuntui kuin sen rivien välille kätketyt
huokaukset ja tuskat olisivat rouva Esempion hivuksia, joilla hän
syntisen vaimon tavoin kuivasi jumaluuden jalat, jotka hän oli
kyynelillänsä kastellut.
— "Mitä onkaan ihminen ilman erehdystä!… Se ei tunne
nousemisen suuruutta, eikä jumalallisen anteeksiantamisen
suloutta", — puheli Harhama riemuiten jo, kuin hukkuva rannalle
päästyänsä.
Uudestaan ja yhä uudestaan luki hän kirjeen, tunsi siinä nardus- ja
aloesvoiteiden tuoksun, katumuksen ja nousun jumalallisen
tuulahduksen, ihmishengen vaivaloisen pyrkimyksen jumaluuteen. Ja
kaikki alkoi vaaleta, selvetä ja kirkastua, kuin autuaalle tulevan
elämän ihanuus, kun sille kirkastuu Jumalan armo ja taivaan kellot

soivat ja enkelit tulevat laulaen häntä noutamaan ja tähdet
hymyilevät kirkkaina ja uusi elämä puhkeaa, kuin kukka nupustansa,
tai kuin ylistyslaulu autuaasta ihmisrinnasta.
— "Niin. Mitä olisi ihminen ilman erehdystä!" — ilostui hän
edelleen, enkeli Iirannon hänen vierellänsä hymyillessä.
Ja ihmisessä piilevä jumaluus kirkastui hänelle kirkastumistansa,
pöly hävisi, aurinko loisti ennallansa, uusi valo valeli rouva
Esempiota, joka oli juuri noussut jumaluuden jalkoja suutelemasta…
Sairaloisen riemulla kiirehti Harhama ulos ja lähetti rouva
Esempiolle komean kukkakorin ja sähkösanoman:
— "Kaikki sovitettu."
Ja kun hän oli kokonansa tyyntynyt, nautti hän aivan siitä, että
hänelläkin oli jotain unohdettavaa ja anteeksi annettavaa, eikä
ainoastaan anteeksi pyydettävää. Hän kohosi omissa silmissänsä.
Hänen inhimillinen heikkoutensa oli löytänyt nyt tomuhitusen,
kuvitteli sen kalliiksi kiveksi ja nautti siitä…
Hän tarttui taas teokseensa, kuin äiti lapseensa, jonka on luullut
ijäksi kadottaneensa, mutta löytääkin sen sattumalta ja ratkeaa
aivan ilosta, alkaa sitä pukea parhaimmillansa. Hän alkoi kuvata
rouva Esempiota suurten lankeemuksien ja suurten nousemisien
esikuvaksi, siksi, joka Jeesuksen tavoin "antaa esikuvan" muille.
— "Ilman tätä ei teokseni olisi ollutkaan täydellinen… Oikeastaan
olisi jäänyt pois jumaluuden kaunein helmi", — riemuitsi hän työnsä
lomassa.
* * * * *

Maan kiertolaisena huitoi kirkas kuu ijankaikkista kierrekettänsä
maan ympäri, pauhaten sen mukana. Aurinko paahtoi sinne valo-
uhkuna. Se kuumensi kuun vuoret tulikuumiksi, hehkuviksi tulihiiliksi.
Tulikuumana hohtavan vuoren huipulla, kuun päivätasaajan
kohdalla, seisoi Perkele, ruhtinaallinen tulihulme hartioilla, välkkyvä
valtikka kädessä, pään päällä tulikruunu, jota siivekkäät käärmeet
kynsissänsä kannattivat Hänen edessänsä oli sata miljoonaa enkeliä,
veriviitat hartioilla, vyöllä tuliset miekat, kädessä sotatorvet. Rotkot
olivat niitä täynnä, vuoren kupeet kirjavina. Ne soittivat Perkeleen
ylistystä. Tulihohteinen vuori vapisi. Soitto pauhasi, kuin itseensä
sointuva ukkosen jyrinä.
Perkele puhui tulisuihkun ja valo-uhkun seasta:
— "Palvelijani Iiranto on vienyt Harhaman onnellisesti vaarallisen
salakarin ohi. Juonitteleva Jehova oli antanut pilvensä kärestä puheta
salamana Harhaman eteen vaimon menneisyyden… Hän luuli sillä
voivansa Harhaman teoksen murskaksi lyödä… Mutta palvelijani
Iiranto on paljastanut Harhamalle Jehovan ilkeän juonen… Harhama
maalaa jo Jehovaa vastaan tehtyä rikosta hyveen runoväreillä…"
— "Sillä sinusta iski viisaus salamana Iirantoon… Sinä murskasit
Jehovan karit ja sammutit Hänen salamansa palvelijasi Iirannon
kädellä", — oikaisivat pää-enkelit.
Sata-miljoonainen enkeliparvi veisasi silloin Perkeleen ylistystä:
"Sinusta niinkuin päivän valovirta viisaus ja voima tulvailee.
Sinulle vihollises niidet, pirta raatavat, kun niihin suoltuilee
sinusta loppumattomasti loimet, joist' alkuun saavat kaikki
ihmistaimet."

Kaiku värisi ja vapisi tulikirkkaissa kuun vuorien sivuissa ja
lymyytyi sen onkaloihin. Vallan ja voiman sädekehä ympäröi
Perkelettä. Tuliviitat hulmahtelivat valovirrassa ja enkelien ihastus
kohisi kauniina pauhuna.
Perkeleen vihjauksesta ilmestyi enkeli Iiranto hänen eteensä ja
Perkele puhui hänelle:
— "Hyvin olet tehtäväsi hoitanut. Palkkioksi saat lahjan itse
armastella itseäsi, eivätkä sinun mielitekosi ole koskaan uupuvat."
Riemastunut enkeli-armeija veisasi ja soitti taas Perkeleen
ylistystä. Säveleet kantoivat ihastuneen Iirannon takaisin tehtäviinsä
ja Perkele nousi laulavan armeijansa kanssa kuunvuoren huipulta
pimeään eetteriin.
* * * * *
Pohjolan kirkas kesäyö välkkyi vesillä. Käet kukkuivat. Rastas
keinui koivunvarvulla ja viserteli pesässä hautovalle emolle ja yön
tyttäret seuloivat armaita unia päivän vaivoista väsyneille. Rannoilla
ripsehti luonnonrauha, ja metsissä arkaili hämärä, kisaillen valoisan
taivaan välkkeen kanssa. Neito odotteli armastansa ja nuorukainen
kulki karjapolkuja metsän halki tyttönsä asunnolle, merkiten
kulkunsa laululla. Tyttö kuunteli armaansa tulolaulua, odotti syliä,
valmisti suuteloa… Kaikkialla huiskuttelivat elämän ja kevään liinat,
kutsuen sille povelle, missä tuskat unohtuvat, kysymykset lakkaavat,
povet rauhottuvat ja kaikki raukeaa unohdukseen ja onneen.
Mutta Harhaman pienen huoneen akkuna oli raollansa ja sisällä
istui Harhama itse sieluttomana muumiona. Hänen runojensa hurjat
henget harhailivat taas etäisissä maailmoissa etsimässä jumaluuden

nisiä. Silloin kun kaikki muu nukkui luonnon rinnoilla, lähti hän, kuin
rauhaton yökkö etäiselle lennollensa tavottelemaan
mielikuvituksensa kirkkaita virvatulia ja valhemaita. Ne tulet
välähtelivät sakeana salamasateena, milloin siellä, milloin täällä, ja
ne tienviittana pyrki hän jumaluuden ikuisille auteremaille,
nousemaan siellä jumaluuden hengen siiville, nukkuaksensa niiden
tuudittamana ikionneen…
Kaikki kukki. Kaikki imi elämän utaria. Yö hyräili luonnonvirttä.
Kevät jakeli kauneuttansa, mainen rauha antimiansa, mutta
Harhama valmisti teostansa, niihin silmää siirtämättä. Runot nousivat
sen sivuille helminä, kuin kirkas kaste kukkanurmelle, aatteet
kutoutuivat verkoksi, kuin hämärän hienot kuidut. Sivu valmistui
sivun perästä. Mielikuvitus karkeloi vallatonna ja hän itse istui kuin
yökkö hiljaa, sieluttomana, maahan jääneenä aaveena.
Jumaluuden mailta soivat kauneuden kellot. Harhama kuvaili
teoksessansa lankeemuksen runollisuutta ja kauneutta. Hän antoi
rikoksen puheta heleänvärisimpänä kukkanuppuna, pulahtaa sen,
kuin kirkkaan kuplan runovirran väripinnalle. Hän lauloi siihen
kukkaan hivelevän tuoksun, muutti sen tuoksun hyveeksi, sen värit
hän lauloi jumalalliseksi hyveeksi ja niin loi hän rikoksesta kukan,
jossa valmistui jumaluuden korkein olemus hyve, kuin puhdas kulta
tulinisissä.
Hän antoi esempio-ihmisen peseytyä ja puhdistua omissa suurissa
erehdyksissänsä, jalostua rikosten kauneissa runokylvyissä,
kuivautua soitossa ja sävelissä, ollen itse mukana ihailemassa
jumaluuden puhdistumista. He soutavat Riuttalan kuulua selkää…
kirkkoveneiden ikitietä… virsien vanhaa ulappaa… Se selkä on nyt
kaunis, kuin kirkkolaulu… Sinisotkat uivat veneen vanavedessä… Sen

edessä laulavat allit… Nukkuvan aallon alla helottaa kirkas päivän
kuva taivaan sini-ontelolla… rannat riippuvat vedessä kuvina…
veneen väre vierii, kuin kaunis virsi pitkin järven rasvatyyntä…
Mainen kauneus on kukassansa… sopu liikkuu rantalumpeilla… rauha
lymyää rantakaislikossa… onnenkukissa piilottaikse puhtaus ja ihmis-
onni ajelee allin laululla pitkin järven siniselkää… Elämä on kuin nuori
neito… Sillä on koristeina käen kukunnat, helyinä lintujen laulut ja
luonnon silmäterä vartijana… Päivän kuva heilahtaa hieman, kun
veneen väre vierii sen yli… Allit laulavat somemmin… rantakuvat
huiskahtavat… vene viiltää tyyntä vettä… Purjehtijat ovat menossa
ikuisen onnen hakuun. He ovat menossa niihin maihin, missä
ihmisyys laskee jumaluuteen onnellisena, kuin vasta vihityt
morsiusvuoteelle…
Mutta Riuttalan ranta näyttää lievettänsä, missä kasvavat Riuttalan
Helgan hääkukat… Se heilauttaa sitä, kuin tyttö liinojansa… Sieltä
vilkuttavat vanhat muistot… Siellä on kulunut ensi lempi, silloin, kun
elämä hohti, kuin illanpuna akkunassa ja käet kukkuivat heleää
hopeaa ja päiväpaiste levitti liinat tielle kaikkialla minne kulki… Siellä
ovat itketyt ensi kyyneleet kuihtuneille hääkukille… Nyt kokoaa sotka
ne kyyneleet helminauhaksi. Se koristaa niillä vanhat muistot…
Onnenkukat kukoistavat silloin houkuttelevampina… kainompina…
armaampina… Yhden teriöllä hohtaa se ensi suudelma… elämän
ihanin onni… tytön puhtain unelma… Se on taas tarjolla onnenkukan
teriöllä… Mutta luonto valvoo jumaluuden silmänä, huolehtii
puhtaudesta… perheestä… vaimon ja miehen välien pyhyydestä…
rastaan pesän puhtaudesta… Se kuiskaa jumaluuden suulla:
— "Se suudelma ei kuulu enää sinulle… Se on sinulle jo liikaa, kun
olet itsesi yhdelle antanut… Minä olen jumaluutta, ja jumaluus ei salli
uskottomuutta, ei tahraa, se on yksiavioinen…"

Vene viiltää taas vettä. Ranta laulaa vanhoja muistoja… Se laulu
vetää venettä rannan luokse… Se kääntää melaa esempio-ihmisen
kädessä… Vanhat muistot ovat viehättäviä: Laulu voittaa… Mela
kääntyy jo kädessä, vene pyörtää melan mukaan… Jo lähestyy vene
kukkarantaa… Valkeat kukat nuokkuvat, kuin olisivat täynnä
lapsuuden iloja… nuoruuden muistoja… elämän onnea… Vaahtona
kuohuu niistä ensi lemmen muisto… Se herättää janon, kuin
viininvaahto… Ensi suudelma hohtaa helmenä sisinnä… Se kiehtoo
kuin kaunis käärmeen laulu… Se kuiskaa:
— "Ei ole vielä myöhäistä… Ei ole mikään luvatonta… Vai olisiko
luonto niin sanonut…"
— "On se sanonut… on sanonut", — vastaa esempio-ihminen.
— "Valetta… Valetta! Älä usko!… Taita kukka, ota siltä suudelma…
ja toinen… ja kolmas, niin tiedät, kuin Jumala, mitä on uneksittu
lempi ja onni!…"
Ja esempio-ihminen katsoo kukkaa. Onni lymyää sen pohjalla
puhtaana ja arkana, kuin lintu varvulla, morsian häävuoteella… Ensi
lemmen muisto levittää sen lehdille armaimmat ihanuutensa… Ensi
suudelma kiehtoo kauniina käärmelauluna… Voimat raukeavat Allin
lauluun… Silmä sulaa veden sineen… Mieliteot riutuvat vanhoihin
muistoihin… Hän katkaisee sen kukan, jota luonnon lakikirja kieltää
taittamasta… Hän saa siitä suudelman… Hän tapaa onnea käsin
kiinni… Mutta arka onni on herännyt suudelmasta… Se on paennut
kukasta, kuin henki kuolevasta, jättäen jälkeensä kirouksen kylmäksi
ruumiiksi… Rikottu on jumaluuden ainoa, suuri käsky: luonnonlaki,
yksimiehisyys… Se käsky on rikottu, jonka täyttämisestä on luvattu
naisen taivas: äiteys…

Elämä osottaa jo ohdakemaatansa: Uskollisin ystävä kärsii… Elämä
tarjoaa sille mustia kukkia… Mieli käy siitä tiedosta apeaksi… Sitten
tulevat tunnonvaivat… kärsimykset… tuskat… soimaukset… äiteyden
menetys. Onnen unelmalinnut olivat turman mustasiipisiä yökköjä…
* * * * *
Mutta jumaluus pysyy sen kautta, ettei se mitään luotansa päästä.
Se puhdistaa erehtyneet. Se vetää ne katuneina takaisin itseensä. Se
puhdistaa ne onnettomuudella… kärsimyksillä… tuskilla… Kaikki
palaa siihen. Siihen ajaa erehtynyttä erehdyksestä johtunut
onnettomuus, siihen vetää sitä jumaluuden oma armo, vetää kuin
lähde janoista… lämmin viluista… rakkaus kovaa kokenutta…
Harhaman teoksen sivuille kumpuavat uudet helmikylvöt, kuin
kaste maanpovesta… Alkaa jumaluuteenpaluu… kadotetun rauhan
nouanta… peseytyminen omissa kyynelissä… Hän harhailee taas
vanhimmissa maailmoissa, esempio-ihminen mukana… Ihminen on
siellä jumaluuteen pääsemäisillänsä… Se on kuin Jeesus Jumalan,
mieheksi varttuva poika isän suhteen… Se hallitsee jo jumaluuden
avaimia, tekee sen tehtäviä: Se antaa jo syntejä anteeksi, kuin
Jeesus, ainoa ihmislapsi, jossa jumaluus oli jo tietoiseksi herännyt…
Se jakaa siunausta… hoitaa armonastioita jo Jumalana, kuin poika
isänsä nimessä…
Hän kuvaili ihmemaailmansa uniensa ja näkyjensä valossa. Siellä
on ainainen valo: kuusi kuuta paistaa öisin… Päivää valaisee yhtä
monta aurinkoa oudolla valolla… Rauhan kellot soivat kaikkialla…
Onni kukkii mailla… liitelee vesillä… hymyilee ilmassa… Linnut
laulavat autuaiden riemulaulua… Ne laulavat ylistystä sille
jumaluudelle, joka on heissäkin heräämässä, suloisena, kuin Jumalan

armo syntisessä, kauniina, kuin aamukoite pimeän erämaan
hätääntyneelle kulkijalle…
Autuus paistaa päivänä… armo kuunvalona… totuus on itseselviö…
Niillä onnenmailla on ihmisillä enkeliruumis, outo maan ihmisille…
Henki on siellä kehittynyt… liha riutunut, vietit surkastuneet… ruumis
saanut uuden, korkean olomuodon… Ihmisjumala on jalostanut
itseänsä, henkeänsä ja hengen kautta ruumistansa… Se ei ole
hoidellut lihaansa… ei viettien kutkuttimia… ei aistillisuuttansa, joita
se on hävennyt, kuin maan ihminen arkoja elimiänsä. Hengen
jalostuessa on ruumiskin jalostunut… viettien syötit kuihtuneet…
jumaluuden jalot ilmestysmuodot syntyneet niiden sijalle…
Ihmisjumalilla on enkelisiivet… Ne liikkuvat vapaasti ilmassa maansa
vetopiirin rajoille asti… Ne rakastavat puhtaasti ja kauniisti, kuin
nurmen kukat… Ne äitiytyvät nautinnotta… antavat isyyden ilman
irstautta… liekkumaa… nautintoa… antavat sen puhtaasti, kuin isä
lahjan lapsellensa, ilman viettien orjaruoskaa…
Auringoista valuu sinipunerva valo… Kuutkin paistavat omalla
valollansa, vaikka ovat puoli sammuneita… Niiden valo on kelmeän-
punainen… Vedenkalvot sointuvat kuutamoon ja auringon valoon,
sulaen yhdeksi värisuloksi… Metsät ovat yhtä satua. Puiden lehdet
ovat kukkasia, mikä minkin värillisiä, ja hedelmä kypsyy joka
kukasta… Värit ovat maassa tuntemattomia… aine toista, kuin
maassa ja sen sisarmaailmoissa… eläimet ovat yhtä korkealla, kuin
on ihminen maassa.
Siellä asuu ihmisjumala jättiläiskukkaisissa, jotka se on itsellensä
asumukseksi kehittänyt, jalostanut ne siksi pienestä kukasta
miljaardi-vuosien kuluessa… Puu kantaa ihmisjumalalle hedelmätä…
linnut veisaavat virsiä… muut eläimet soittavat sille ylistystä, tuntien

sen jumaluuden, itse pyrkien siihen sulautumaan… Sukulaisuudet
ovat hävinneet… kansat ovat lakanneet olemasta… kielet ovat
sulautuneet… on olemassa ainoastaan yksi olento: ihmisjumaluuden
jumalajoukko, joka näkee avaruuden ihmeenkaukaisiin osiin asti…
näkee etäiset auringot ja kaukaiset kuut ja elää avaruudessa, kuin
kirkkaassa onnenkuplassa…
Teos jatkui. Runo vuoti hyrskyvänä hopeavaahtona, ryöppysi
kirkkaana kultakuohuna. Harhama kuvaili jumalallista
anteeksiantamista ja langenneen ihmishengen suurta nousua.
Jumaluuden ja onnen maassa oli kaunis laakso… Sen kolmella
puolen pujottelivat hopeahohteiset vuoret huippujansa ilman
punakirkkauteen… Laakson pohjalla päilyivät lammit kuvastimina ja
virrat koukertelivat värivöinä, sateenkaaren-värisinä, vaikka värit
olivatkin maan ihmisen silmälle ennen näkemättömiä… Puiden
korkeimmat kukat tirskuttivat niinkuin pikku linnut maassa, mutta
ääni oli hiljaista sulosointua… Hienoinen tuulenhenkäys ajeli kukkien
väriä, kuin maassa tuuli sumua, tai päivän kirkasta auteresavua.
Kaikki kylpi kauneudessa.
Ihmisjumalat istuivat ympäri laaksoa, mikä lammikon
hopeanheleällä lumpeella, mikä puussa, mikä maassa, tai vuoren
hopeakielekkeellä… Soittimet soivat… Sävel karkeloi… Se oli meille
outoa säveltä, kun ei sitä ollut korva ennen kuullut.
Yksi ihmisjumalista selitti lankeemuksen runollisuutta, rikoksen
suuruutta. Hän puhui:
— "Ei voi olla mitään, joka ei palvelisi meidän jumaluutemme
kehittämistä korkeimpaan kukkaansa, sillä meidän jumaluus on ainoa
todellisesti oleva ja ainoa kehityksen tarkotus… Siksi palvelee meidän

kehitystämme kaikki… Rikoskin ja erehdys ovat tarpeellisia kehitys-
ilmiöitämme… Sillä jumaluutemme on ainoa viisaus ja se on
erehtymättömyys… Kaikki on sen luomaa, ja siksi ei voi olla mitään
väärää… Syntikin on ase jumaluutemme kädessä… Syntikin on
kehitysvoimamme tarpeellinen, järjellinen ilmiö… Se on järjellinen,
koska se on meidän erehtymättömän jumaluutemme luoma… ja se
on meidän luoma, koska ei voi olla mitään, joka ei olisi meidän
luoma…"
Ihastuneiden ihmisjumalien suusta puhkesi riemulaulu, kuin
kaunis, viaton ja kaino kaiun morsian, joka ojentaa kätensä
ottamaan vastaan kaiun koreita, ikävöityjä kihloja. Ne veisasivat:
"Syntikin on ase kädessämme. Lankeemus on voimamme.
Rikoskin on voittomme. Kaikkeuden kaikki purot meihin
meistä virtaavat. Meist' ei mikään pääse pois."
Kaiku kihlaili ja armasteli morsiantansa. Ihmisjumala joi
onnestansa.
Puhuja jatkoi:
— "Lankeemus on kehityksemme järjellinen kiirastuli ja
olemuksemme korkeimman loppuyhtymän: hyveen valmistaja. Sillä
ainoastaan langennut tuntee armon ja anteeksiantamisen tarpeen ja
suloisuuden. Siksi, kasvattaa rikos armoa ja anteeksiantamusta ja
rikoksen ymmärtämistä… Niin kehittää rikoskin olemustamme,
hyvettä… Niin on syntikin aseena meidän jumaluutemme käsissä…"
Ihmisjumalat kallistivat polvellensa jättiläiskukan teriöt, joiden
heteet soivat viritettyinä harpunkielinä, ja soittivat sillä oman itsensä
ylistystä. Harpunheleä soiton sävel uiskenteli ylistyslaulussa, kuin

neitonen kirkkaassa vedessä, kun sen ruumiin puhdas iho sointuu
veden väreihin…
Puhuja jatkoi:
— "Rangaistuksella pitää jumaluutemme rikoksen järjellisyyden
rajoissa, joissa se luo hyvettä. Sillä kääntää se myös langenneen
rikoksesta takaisin ja opettaa hänet tuntemaan armon ja hyveen
suloisuuden… Anteeksiantamisella ja armolla vetää jumaluutemme
langenneet takaisin itseensä… Siksi ei meistä mikään pois vierähdä…
Siksi ei olemuksemme heikkene, ei voimamme häviä… Siksi olemme
me ijankaikkiset…"
Ihmisjumalat veisasivat taas omaa ylistystänsä:
"Rikos sekä rangaistuskin meitä yksin palvelevat. Rikoksesta
tuloksena niinkuin kukka puhkeaa rangaistus ja langenneita
ajaa meihin uudestaan. Erehtyneet meihin vetää armon suuri
virta, sitten kun on rikos, synti jalostanut langenneen. Siksi
jumaluutemme suur' on, ijankaikkinen."
Enkeli Iiranto seisoi hymynä Harhaman vierellä, osotti
lankeemuksen jumalallisen jalouden, järjellisyyden ja suuruuden ja
lausui:
— "Jehovan kuvitelmain juonien tähden olit tuomita jumaluuden
kauneimman kehitys-ilmiön: suurten lankeemusten jalostavan
kiirastulen…"
Harhaman koko sielu värisi. Hän tarttui loistavimpiin
runosoihtuihinsa ja maalasi niillä rikoksen ja lankeemuksen
ihanaksi… jaloksi… kauniiksi… puhdistavaksi… Hän istutti esempio-

ihmisen lumikirkkaasen kukkaveneesen… nosti veneen purjeeksi
unelmat… kylvi tien hopealumpeilla… antoi soiton puhaltaa
purjeeseen tuulta… Hän maalasi virrankulun kirkkolauluksi… paheen
kukan tuoksuksi… rikoksen palavaksi runorovioksi ja siihen tuleen
antoi hän esempio-ihmisen solua veneessänsä, vajota siihen, kuin
sävel kaikunsa suuteloihin, taivaallisten laulujen soidessa jumaluuden
kiirastulen kunniaksi.
Valo kisailee kukissa… autuaiden unelmat häilyvät ilmassa…
onnenväre vierii vesillä, kuin kaunis allin laulu, ja rauha helottaa
helmikirkkaana. Ihmisjumalat katsovat langennutta lempeästi… Se
katse raukaisee polvia… herpaisee niitä suloisesti, kuin kuoleman
lempeä tulo paljon kärsineen jäseniä: Jumaluus kutsuu sillä syliinsä…
Se kutsuu armolla ja anteeksiantamisella. Se vetää, kuin veden
suppilo.
Kaikki himmenee, kaikki häviää jumaluuteen, kuin autuuden
utuihin, sointuu siihen, kuin sävel taivaan enkelilauluihin… Polvet
herpoavat… mieli rauhottuu… sydän rohkaistuu… henki pyrkii
puhtauteen, kuin kasvi valoon… kukka väreihinsä… neito
kauneuteensa…
Harhama antoi esempio-ihmisen nähdä suurten nousemusten
hohtavat seppeleet… Hän puki sen niillä seppeleillä… uitteli armon
virroissa… pesi… jalosti… kirkasti… puki hyveen jalokiviin… antoi sen
langeta polvillensa oman jumaluutensa ja kaikkeuden jumaluuden
eteen ja sovittaa kaiken omassa povessansa, etsiä ja löytää
sovinnon, lunastuksen ja rauhan omassa rinnassansa asuvan
jumaluuden edessä, eikä hapuilla sitä mielikuvituksien luomilta
jumalilta.

Hän antoi esempio-ihmisen tutkia itsensä. Se oli katumus oman
jumaluutensa edessä.
Linnut laulavat… luonto soittaa… tuska puhdistaa ihmishenkeä…
Jo soivat armon kellot… Jo kuuluvat enkelilaulut… Jumaluus puhuu
esempio-ihmisessä sen omalla suulla tutkien tuskansa syitä:
— "Ihmispoloinen! Minä mullan lapsi! Miksi itken? Miksi suren?…
Mitä olen rikkonut jumaluuteni käskyjä: luonnonlakeja vastaan?…"
Ja ihmissydän alkaa soida ja ihmishenki puheta jumaluuden
puhtauteen, työntäen tieltänsä niitä aistillisuuden verholehtiä, jotka
ovat sen jumaluudesta erottaneet. Se kirkastuu, kuin päivä pilven
takaa. Esempio-ihminen puhuu itseänsä tutkiskellen, itsensä,
luonnonlain edessä katuen:
— "Minä olen rakastanut Riuttalan rannalla… Minä olen itkenyt
siellä lempeni kyyneliksi, iloni ikäväksi ja nuoruuteni olen siellä
hautaan peittänyt… Minä olen sillä rannalla pettynyt ja sortunut…
Riuttalan rannalla uneksin minä onnea, kun olin puhdas, ja rakensin
sille puhtaan pesän, kun olin nuori… Minä uneksin, kun olin kaunis…
Ja minun unelmistani syntyi valkeita onnenlintuja… unelmalintuja…
lemmenlintuja… Ne hävisivät ja lensivät pois ja haihtuivat, kuin
kauniit vesikuplat… ja minä jäin yksin… Riuttalan rantakukkaan jäi
minun lempeni… ja minun onneni… ja minun kyyneleeni… ja
nuoruuteni… Mutta se kukka ei enää kukkinut minulle. Se oli minulle
kielletty kukka… Kirkkaimman jalokiven: äitiyden, menettäminen oli
sen kukan hintana… Mutta valkeat onnen unelmalinnut lauloivat
siellä… ja entiset muistot vetivät venettä… ja käänsivät melaa
kädessä… Sinä armon henki, kuule mitä kerron! Se ranta loisti ja
kukka tarjosi ensi lempeni onnea… Ja minä taitoin sen kukan, joka
oli minulta kielletty kukka… Minä olen rikkonut jumaluuden sen

käskyn, jonka täyttämisen on jumaluus luonnon lakikirjassa pannut
suurimman onnen: äitiyden ehdoksi… Minun elämäni on nyt haikea,
minun kulkuni vaikea ja minun onneni on katkennut laulu…"
Silloin soivat maailmanlaulut ja jumaluuden syli avautui
ihmishengelle kokonansa… Se ei tutki syitä, ei tuomitse, kun ottaa
katuvan syliinsä…
Ja Harhama alkoi kuvailla nousemisen suuruutta. Hän nosti
puhdistuneen ihmisjumalan runoliinoille, kuin säteilevästä valo-
uhkusta, enkelisiiville kohoavan pyhimyksen, jonka päässä säteilee
kirkkaus ja hartioilla hulmahtelee autuuden lumivalkea valovaippa.
Hän lauloi rikoksen runokylvyksi, jonka kirkkaissa vesissä
ihmisjumaluus peseytyy… puhdistuu… jalostuu… ja kirkastuu.
Ja taas vuotavat kyyneleet ja sydän pakahtuu omiin tuskiinsa ja
jumaluus suree. Esempio-ihminen jatkaa itsekatumistansa.
Luonnonlaki, jumaluuden ilmestys oikaisi itse erehdykset,
soimaamatta, herjaamatta.
Ihminen on nöyrtynyt oman olemuksensa lakien edessä,
tunnustanut niiden voiman ja saanut rauhan hengellensä.
Ja silloin alkavat soida riemuvirret. Taivaat ylistävät ihmisen
jumaluuden armon äärettömyyttä ja maailmat sen viisautta ja
voimaa. Se ylistys yhtyy ijankaikkisuuden suureen lauluun, joka
ylistää jumaluuden ikuista heräämistä ja voittoa. Se laulu julistaa
jumaluuden pysyväistä ja ijankaikkista kirkastumista sanoilla:
— "Sinä, jumala, et koskaan himmene… Et koskaan… Et koskaan.

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Advances In Nonlinear Dynamics S Sivasundaram Aa Martynyuk

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Advances In Nonlinear Dynamics S Sivasundaram Aa Martynyuk

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82