ALGEBRA LINEAL

Trabajo De Algebra 2

1. Álgebra lineal

El espacio euclídeo tridimensional R
3
es un espacio vectorial y las líneas y los planos que
pasan por el origen son subespacios vectoriales de R
3
.
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como
vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más
formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las
matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de
operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan
Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y a 1844,
cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría
lineal de extensión).
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios
vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que
tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto
entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es
conmutativa) (métodos cuantitativos).
Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales
que satisfacen las condiciones de linealidad:

2. A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no
necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto
cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial
sobre un campo fijo).
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se
impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más
frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos
vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un
par de los mismos.
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos
siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en R
n

Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensiones (es
decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los
vectores R
2
, que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices
La matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas
dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas
(n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra
lineal y son bastante usados en ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
Un ejemplo de espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor
o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no
excede a 2:

3. El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar
un número por un polinomio:

Donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada
polinomio el resultado de derivarlo:

El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible
demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de
linealidad:

y por otro lado:

Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo
cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial
de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases
apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las
transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en
encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la
constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las
ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o
distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema
es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que

4. éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras
el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son
demasiadas, con subíndices.
SISTEMA GENERAL
La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la
siguiente:

donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio
euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de
dicha solución, verifique la ecuación.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las
funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva
o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de
la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de
soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio un
sistema puede ser:

5.  Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse
en:
o Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de
soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de
acumulación, .
o Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de
soluciones que forman una variedad continua, .
 Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, .
SISTEMA LINEAL GENERAL
Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A
diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de
encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos.
También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un
anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más
complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la
llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices,
de la siguiente forma:

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que
acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de
incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas. La tercera
matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término
independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el
método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la
que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones
lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

6. Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el
de la incógnita . Si queda alguna fila del tipo , con , el sistema
no tendrá solución.
Ejemplos:
 Un sistema lineal incompatible es , ya que
usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la
contradicción 0 = 39.
 Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es
ya que claramente la segunda ecuación es linealmente
dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.
 Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es
cuya solución única es y .
EXISTENCIA DE SOLUCIONES
El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de
solución, de un sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:

es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su jacobiano no se anula en
ningún punto entonces existe una única solución del sistema. En ese caso existirá una
función inversa, y se podrá escribir la solución buscada simplemente como:

Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no
es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones
no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe
más de una solución, si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún
punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.
En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces
el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema
de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la
existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las
proporciona en el caso .

7. NÚMERO DE SOLUCIONES
En un sistema de ecuaciones lineales compatible y determinado la solución es siempre
única. En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede
probarse que dos curvas polinómicas en el plano de grados n y m funcionalmente
independientes tienen como mucho nm soluciones diferentes. Ese resultado se desprende
del siguiente teorema de Bézout:
Dos curvas del plano proyectivo complejo , de grados n y m sin componentes
comunes se cortan exactamente en mn puntos contados con multiplicidad.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra
lineal, para los sistemas de ecuaciones no lineales el problema es técnicamente más difícil.
MÉTODOS ANALÍTICOS
Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales.
Ni siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo
grado general:

MÉTODOS NUMÉRICOS
Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten
calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.
Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no lineales es el método
de Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema de n
ecuaciones puede hacerse a partir del conocimiento de una solución aproximada ,
siempre y cuando la aplicación anterior sea diferenciable, mediante el esquema iterativo:

O más explícitamente:

8. Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no está garantizada y en
casos de soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada.
MÉTODOS GRÁFICOS
Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés
práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos
generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.
Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real, suelen aparecer como uno de
los cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número
de soluciones:
1. Aquellos sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que
se intersecan entre sí. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el
normal. Suele tener un número de soluciones finito cada uno formado por las
coordenadas de los punto de intersección.
2. Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0. Gráficamente se
representan como un conjunto de líneas que nunca se intersecan entre sí, como
líneas paralelas.
3. Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo,
x = 2x - y o y - x = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas
satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que
gráficamente, se representa como todos los puntos del plano que representa la
solución.
4. Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos:
son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada
en otra a través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan
completamente la superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones
es redundante y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos
corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número
infinito de soluciones.
5. Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una
identidad. Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo
anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los demás es una
solución de la ecuación de los que hay a continuación, por lo general un número
infinito.

9. La ecuación x
2
+ y
2
= 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha
reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una
normal de un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares
muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la
calificación de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo
descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y
| (donde la notación | • | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones de forma
un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solución representa
un rayo.