Algebra Lineal.Autor Kenneth Hoffman Ray Kunze, prentice hall_.pdf

asd

1. ASESORES TECNICOS
CarloFedericiCasa
DoctorenFísicayMatemáticas
UniversidaddeGénova,Italia
ProfesordeMatemáticas
UniversidadNacional,Bogotá
EnzoR".Gentile
DoctorenMatemáticas
UniversidadNacionaldeCuyo,Argentina
EstudiosdePostgraduadoenlaUniversidaddePrinceton,EE.UU.
ExprofesordeAlgebraenlasUniversidadesdeRutgersyNorthwestern,EE.UU
ProfesortitularFacultaddeCienciasExactas
UniversidaddeBuenosAires
) I
RaulBravoF.
ProfesordeMatemáticas
Uni-versidaddeChileSantiago
JesúsMaríaCastaño
ProfesordeMatemáticas
UniversidaddelValle
Cali,Colombia
ASESOR LINGÚISTICO
Dr.CarlosVega
ProfesordeFilologiaespañola

2. AlgebraLineal
É
. _
I
II
Ei
Qf
KENNETH HOFFMAN
ProfessorofMathematics
MassachusettsInstituteofTechnology
RAYKUNZE
ProfessorofMathematics
UniversityofCalifornia.lrvine
TRADUCCION YADAPTACION
HUGO E.FINSTERBUSCH
EscueladeGraduados,CourantInstitute
ofMathematicalScience.
MasterofScienceenMatemáticasdelaUniversidaddeN.Y.
Quimico.InstitutoPolitécnicodelaUniversidad
CatólicadeChile
ProfesorAsociado,DepartamentodeMatemáticasPuras
yAplicadas,InstitutodeMatemáticas,
UniversidadCatólicadeChile
(U
7*
El
“fi”
os
PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
MéxiconEnglewoodCllffs1Londres1SydneynToronton
NuevaDelhinTokiouSingapur1RiodeJaneiro

3. ALGEBRALINEAL
Prohibidalareproducciontotaloparcialdeestaobra,
porcualquiermedioometodo,sinautorizacionescritadeleditor.
DERECHOSRESERVADOS©1973,respectoalaprimeraediciónenespañolpor
PRENTICE-HALLHISPANOAMERICANA,S.A.
Av.SanAndrésAtoto157,Fracc.IndustrialSanAndresAtoto
53500NaucalpandeJuárez,Edo.deMexico
MiembrodelaCámaraNacionaldelaIndustriaEditorial,Reg.Num.1524
ISBN968-880-009-0
Traducidodelasegundaedicioneninglesde
STATISTICSFORMANAGEMENT
Copyright@MCMLXXI,byPrenticeHall,Inc.
ISBN0-13-022046-9
7890123456 I.P.-848712345690
ImpresoenMexico PrintedlnMexico
U
Í MAR V
ESTAOBRASETERMINODEIMPRIMIREN
IMPRESORAAZTECAS.A
PONIENTE140No.681-I
MEXICO,D.F.
É ü

4. PREAMBULO
Muchonoscomplacequelasegundaediciónde:runs-rrr›
librohayasidotraducidaalespañolporelprr›ji›.s'ur
HugoFinsterbusch.Esperamosqueestopuedamn-
tribuirdealgunamaneraalaformaciónmatemática
delosestudiantesdelmundodehablaespañola.
KENNETHHOFFMAN

6. Prólogo
Nuestropropósitooriginalalescribirestelibrofueproporcionaruntextoparaelcurso
universitariodeálgebralinealenelInstitutoTecnológicodeMassachusetts.Estecurso
fuediseñadopara..laespecialidaddematemáticaenelnivelmedio,auncuandotrescuartas
partesdelosestudianteserandeotrasdisciplinascientíficasytecnológicasqueibandesde
elprimerañouniversitariohastaestudiantesavanzados.Estadescripcióndelauditorio
delMITparaeltextoseconserva,engeneral,hastaelpresenteexacta.Losdiezañostrans-
curridosdesdelaprimeraediciónhanvistolaproliferacióndecursosdeálgebralineala
travésdelpaís,yhanbrindadoaunodelosautoreslaoportunidaddeenseñarlamateria
básicaaunavariedaddegruposenlaUniversidaddeBrandeis,UniversidaddeWashington
(St.Louis)yenlaUniversidaddeCalifornia(Irvine).
NuestroprincipalpropósitoalrevisarelAlgebraLinealhasidoincrementarlavariedad
decursosquepuedenserdictadosconella.Porunladohemosestructuradoloscapítulos,
especialmentelosmásdifíciles,demodoquehayavariospuntosterminalesalolargodel
desarrollo,permitiendoalprofesorenuncursodeuncuatrimestreodeunsemestreejer-
citarunacantidadconsiderabledeposibilidadesenlaeleccióndeltema.Borotraparte
hemosaumentadolacantidaddematerialeneltexto,demodoquepuedausarseparaun
cursoanualintensivoenálgebralinealeinclusocomolibrodereferenciaparamatemáticos.
Losmayorescambiossehanhechoeneltratamientodelasformascanónicasydelos
espaciosconproductointemo.Enelcapítulo6yanosecomienzaconlateoríageneral
quefundamentalateoríadelasformascanónicas.Primerosetratanlosvalorespropios
enrelaciónconlosteoremasdetriangulaciónydiagonalización,yluegosepreparaelca-
minohacialateoríageneral.Elcapitulo8sehadividido.demodoqueelmaterialbásico
deespaciosconproductointemoydiagonalizaciónunitariaseaseguidoporelcapítulo9
quetratadelasformassesquilinealesydelaspropiedadesmáscomplicadasdelosopera-
doresnormales,incluyendooperadoresnormalesenespaciosrealesconproductointerno.
Sehahechotambiénunnúmerodepequeñoscambiosyperfeeeionamientosdelapri-
meraedición.Peroladoctrinabásicaquelainspiranohacambiado.
Nohemosconcedidoatenciónparticularalhechodequelamayoríadelos'estudiantes
noestenprimariamentcinteresadosenmatemática,puescreemosqueuncursodeesta
ilisciplinzinodebeulihorrairdetéeniezis:ilestudiantedeciencia,ingeniería0cienciasso-
cizilcs,sinopri›eui';i|'lclacmnpre|isii'›ndclosconceptosinalermìlicosbásicos.

7. i›ii`i' Prólogo
Porotrolado.somosconscientesdelampliocampodeconocimientospreviosquelos
estudiantesdebierantenery,enparticular,delhechodequelosestudianteshantenido
muypocaexperienciaconelrazonamientomatemáticoabstracto.Porestarazónseha
evitadointroducirdemasiadasideasabstractasmuyalcomienzodellibro.Ademásseha
añadidounApéndicequeintroduceoanalizaideasbásicastalescomolasdeconjunto,
funcionesyrelacióndeequivalencia.Hallamosdemayorutilidadtratardeestasideasen
formaindependiente,peroacoìisejandoalosestudiantesleerelApéndicecuandoellas
aparezcan.
Alolargodellibrosehaincluidounagranvariedaddeejemplosdelosconceptosim-
portantesqueaparecen.Elestudiodetodoslosejemplosesdefundamentalimportancia
ytiendeaminimizarelnúmerodeestudiantesquerepitendefiniciones,teoremasydemos-
tracionesenordenlógicosincomprenderelsignificadodelosconceptosabstractos.Este
librocontienetambiénunaampliavariedaddeejerciciosgraduados(alrededordeseis-
cientos)quevariandesdeaplicacionesrutinariashastaotrosdirigidosalosmejoreses-
tudiantes.Estosejerciciospretendenserunaparteimportantedeltexto.
[ilcapítulo1serefierealossistemasdeecuacionesysussolucionesmedianteoperaciones
elementalesporfilasdelasmatrices.Hasidonuestraprácticadedicaralrededordeseis
clasesaestamateria.Ellomuestraalosestudiantesunbosquejodelosorígenesdelálgebra
linealyunatécnicadecálculonecesariaparacomprenderlosejemplosdelasideasabstractas
queaparecenenloscapítulosposteriores.Elcapítulo2serefierealosespaciosvectoriales,
siihcspacios,basesydimensión.Elcapítulo3tratalastransformacioneslineales,suál-
gehraysurepresentaciónpormediodematrices,comotambién,delisomorfismo,defun-
cioneslinealesydeespaciosduales.El-capítulo4defineelálgebradelospolinomiossobre
uncuerpo.losidealesentalálgebraylafactorizaciónprimadeunpolinomio.También
tratasobreraices,fórmuladeTayloryfórmuladeinterpelacióndeLagrange.Elcapítulo5
desarrollalosdeterminantesdematricescuadradasyeldeterminantevistocomounafun-
cionalternadan-linealdelasfilasdeunamatriz,paraseguirconlasfuncionesmultilineales
enmóduloscomoelanillodeGrassman.Loreferenteamóduloscolocaelconceptode
.leterminantcenunmarcomásamplioycompletoqueelque'usualmenteseencuentraen
textoselementales.Loscapítulos6y7contienenunestudiodelosconceptosquesonbásicos
paraelanálisisdeunatransformaciónlinealenunespaciovectorialdedimensiónfinita,
cl.iualisisdevalorespropios,lastransformacionestriangulabl_esydiagonalizables,los
i.-ouceptosdelaspartesdiagonalizablesynilpotentesdeunatransformacióngeneralylas
formascanónicasracionalydeJordan.Losteoremasdedescomposiciónprimariaycíclica
nieganunpapelcentral;alaúltimasellegaatravésdelestudiodelossubespaciosadmi-
sililcs.lilcapítulo7incluyeunanálisisdelasmatricessobreundominiopolinomial,el
cillculodefactoresinvariantesydivisoreselementalesdeunamatriz,yeldesarrollodela
torinacimónicadcSmith.Elcapituloterminaconunestudiosobrelosoperadoressemi-
simples.paracompletarelanálisisdelcasodeunoperador.Elcapitulo8trataconalgún
detallelosespaciosconproductointernodedimensiónfinitaycubrelageometríabásica.
relacionandolaortogonalizaciónconlaideadela«mejoraproximaciónaunvector»y
conlosconceptosdeproyecciónortogonaldeunvectorsobreunsubespacioyelcom-
plcinentoortogonaldeunsubespacio.Tambiéntratadelosoperadoresunitarios,
yi-uliiiinaconladiagonalizacióndeoperadoresautoadjuntosynormales.Elcapi-
tiilo9introducelasformassesquilineales,lasrelacionaconlosoperadorespositivosy
autoadjuntoscnunespaciocon-productointemo,sigueconlateoríaespectraldeopera-
doresnormalesyIuegoenresultadosmáscomplejosrelativosaoperadoresnormalesen
espaciosrealesocompleiosconproductointemo.ElcapituloIl)examinalasformasbi-
luiciilcs.insistiendoenlasformascanónicasparalasformassimétricayaiitisimétrica.asi
comoenlosgruposqueprescrvanformasno-degencradas.especialmentelosgruposorto»
gouiil,unitario,sçudo-iii-togiiiiiilydel_orent1

8. Prólogo ix
Seestimaquecualquiercursoqueuseestetextodeberácubrircompletamentelosca-
pítulos1,2y3conposibleexcepcióndelassecciones3.6y3.7queserefierenaldobledual
yalatraspuestadeunatrasformaciónlineal.Loscapítulos4y5,sobrepolinomiosyde-
terminantes,puedentratarsecongradosdiversosdeminuciosidad.Enefecto,losideales
depolinomiosylaspropiedadesbásicasdelosdeterminantespuedencubrirseenforma
bastanteesquemáticasinafectareldesarrollológicodeltexto;sinembargo,nosinclinamos
atratarestoscapítuloscuidadosamente(exceptolosresultadosreferenteamódulos),porque
lamateriailustramuybienlasideasbásicasdelálgebralineal.Uncursoelementalpuede
serahoraconcluidoelegantementeconlascuatroprimerasseccionesdelcapítulo6,junto
conelcapítulo8(nuevo).SilasformasracionalydeJordanhandeserincluidas,esnece-
`-sarioabarcarunaextensiónmayordelcapítulo6.
Quedamosmuyreconocidosatodosaquéllosquecontribuyeronalaprimeraedición,
especialmentealosprofesoresseñoresHarryFurstenberg,LouisHoward,DanielKany
EdwardThorp,alasseñorasJudithBowers,BettyAnn(Sargent)RoseyalaseñoritaPhyllis
Ruby.Queremosademásdarlasgraciasalosnumerososestudiantesycolegascuyospene-
trantescomentariosllevaronaestarevision,yalpersonaldePrentice-Hallporsupaciencia
paratratarcondosautrfsatrapadosenloslaberintosdelaadministraciónacadémica.
Finalmente,gratitudespïcialdebemosalaseñoraSophiaKoulourasporsupericiayago-
tadoresfuerzoenescribirtpmáquinaelmanuscritorevisado.
K.HOFFMANyR.KUNZE

10. CapituloI
Capítulo2.
Capítulo3.
Tabladematerias
Prólogo vii
Ecuacioneslineales I
1.1.Cuerpos
1.2.Sistemasdeecuacioneslineales
1.3.Matricesyoperacioneselementalesdefila 6
1.4.Matricesescalónreducidasporfilas 11
1.5.Multiplicacióndematrices 16
1.6.Matricesinversibles 21
'J-Imn
Espaciosvectoriales 28
2.1.Espaciosvectoriales 28
2.2.Subespacios 34
2.3.Basesydimensión 40
2.4.Coordenadas 49
2.5.Resumendeequivalenciaporfilas 55
2.6.Cálculosrelativosasubespacios 58
Transformacioneslineales 67
3.1.Transformacioneslineales 67
3-2.Algebradelastransformacioneslineales 74
3.3.lsomorfismo 84
3.4.Representacióndetransformacionespormatrices 86
3.5.Funcioneslineales 96
3.6.Eldobledual 106
3.7.Transpuestadeunatransformaciónlineal 111
xi

11. xii Tabladematerias
Capítulo4.Polinomios
Capítulo5.
Capitulo6.
('apllulo7.
('aplful¢›8.
4.1.Algebras
4.2.Elálgebradelospolinomios
4.3.InterpolacióndeLagrange
4.4.Idealesdepolinomios
4.5.Factorizaciónprimadeunpolinomio
Determinantes'
5.1.AnillosGonmutativos
5.2.Funcionesdeterminantes
5.3.Permutacionesyunicidaddelosdeterminantes
5.4.Otraspropiedadesdelosdeterminantes
5.5.Módulos
5.6.Funcionesmultilineales
5.7.ElanillodeGrassman
Formascanónicaselementales
6.1.Introducción
6.2.Valorespropios
6.3.Polinomiosanuladores
6.4.Subespaciosinvariantes
6.5.Triangulaciónsimultánea;diagonalizaciónsimultánea
6.6.Descomposicionesensumadirecta
6.7.Sumasdirectasinvariantes
6.8.Teoremadedescomposiciónprima
LasformasracionalydeJordan
7.1.Subespacioscíclicosyanuladores
7.2.Descomposicionesciclicasyformaracional
7.3.LaformadeJordan
7.4.Cálculodefactoresinvariantes
7.5.Resumen:operadoressemisimples
Espaciosconproductointerno
8.1.Productosinternos
8.2.Espaciosproductointerno
8.3.Funcioneslinealesyadjuntas
8.4.Operadoresunitarios
8.5.()periuIoresnormales
116
116
118
122
126
133
139
139
140
149
155
162
164
172
180
180
181
189
197
205
207
212
218
226
226
230
243
250
260
268
268
274
288
296
IIIll

12. Tabladematerias
Capitulo9.Operadoressobreespaciosproductointerno
Capítulo10.
Apéndice
Bibliografia
Indice
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
Introducción
Formassobreespaciosproductointerno
Formaspositivas
Mássobreformas
Teoríaespectral
Otraspropiedadesdelosoperadoresnormales
Fomiasbilineales
10.1
10.2
10.3
10.4.
A.l.
A.2.
A.3.
A.4.
A.5.
A.6.
Formasbilineales
Formasbilinealessimétricas
Formasbilinealesantisimétricas
Gruposquepreservanlasformasbilineales
Conjuntos
Funciones
Relacionesdeequivalencia
Espacioscocientes
RelacionesdeequivalenciaenAlgebraLineal
Elaxiomadeelección
xiit
315
315
316
321
327
331
344
353
353
361
369
373
379
380
381
384
387
390
391
393
395

14. 1.Ecuacioneslineales
1.1.Cuerpos
Suponemosallectorfamiliarizadoconelálgebraelementaldelosnúmeros
realesycomplejos.Enunagranpartedeestelibrolaspropiedadesalgebraicas
delosnúmerosqueseusaránsededucenfácilmentedelasiguientebrevelista
depropiedadesdelaadiciónydelamultiplicación.SedesignaporFelcon-
juntodeIosnúmerosreales0elconjuntodelosnúmeroscomplejos.
1.Laadiciónesconmutativa,
x+y=y+w
paracualquieraxeydeF.
2.Laadiciónesasociativa,
:v+(y+2)=(f¢+y)+z
paracualquierax,yyzdeF.
3.ExisteunelementoúnicoO(cero)deFtalquex+0=x,paratodo
\'cnF.
4.Acadaxde-Fcorrespondeunelementoúnico(-x)deFtalque
\FI-er)=0.
5.Lamultiplicaciónesconmutativa,
:cy=yx
paracualquieraxevdeF.
(›.l.ainiiltiplicaciónesasociativa,
f(.f/2)=(1ru)2
¡miacualquiera.\,i'y:deI".

15. 2 »Ilgclvtillmml
7.ExisteunelementononuloúnicodeFtalquexl=x,paratodo
xdcF.
8.AcadaelementononuloxdeFcorrespondeunúnicoelemento-r'
(01/x)deFtalquexx"=1.
9.Lamultiplicaciónesdistributivarespectodelaadición;estoes,xly+
::)=xy+xz,paracualesquierax,yyzdeF.
SupóngasequesetieneunconjuntoFdeobjetosx,y,z,...ydosopera-
cionessobreloselementosdeFcomosigue;laprimeraoperación,llamada
adición,asociaacadapardeelementosx,ydeFunelemento(x+y)deF;
lasegundaoperación,llamadamultiplicación,asociaacadaparx,_rdeFun
elemento,xydeF;yestasdosoperacionessatisfacenlasanteriorescondicio-
nes(1)-(9).ElconjuntoF,juntoconestasoperaciones,sellamaentoncescuerpo.
Hablandoaproximadamente,uncuerpoesunconjunto,juntoconalgunasope-
racionessobreloselementosdeéste,quesecomportancomolaadición.sustrac-
ción,multiplicaciónydivisióncornentesdelosnúmerosenelsentidodeque
obedecenalasnuevereglasdelálgebradadasanteriormente.Conlasopera-
cionescomunesdeadiciónymultiplicación,elconjuntoCdelosnúmeroscom-
plejosesuncuerpo,comoloeselconjuntoRdelosnúmerosreales.
Enlamayorpartedeestelibrolos«números››queseusanpuedenserlos
elementosdecualquiercuerpoF.Parapermitirestageneralidadseusarála
palabra«escalar››envezde«número››.Noperderámuchoellectorsisiempre
presuponequeelcuerpodelosescalaresesunsubcuerpodelcuerpodelos
númeroscomplejos.UnsubcuerpodeuncuerpoCesunconjuntoFdenúmeros
complejosqueesasuvezuncuerporespectodelasoperacionesusualesde
adiciónymultiplicacióndenúmeroscomplejos.Estosignificaqueel0yel1
estánenelconjuntoF,yquesixeysonelementosdeF.tambiénloson
(x+y),-x,xy,ex71(six#=0).Unejemplodeunsubcuerposemejante
eselcuerpoRdelosnúmerosreales;enefecto,siseidentificanlosnúmeros
realesconlosnúmeroscomplejos(a+ib)paralosqueb=0,el0yel1del
cuerpocomplejosonnúmerosrealesysixeysonreales,tambiénloson(x+_rl.
-x,xyyx71(six#=O).Daremosotrosejemplosmásadelante.Lopeculiar
delossubcuerposennuestroestudioesesencialmentelosiguiente:Siseestá
operandoconescalaresqueformanun-ciertosubcuerpodeC,entonceslaeje-
cucióndelasoperacionesdeadición,sustracción,multiplicaciónodivisión
conestosescalaresnosesalendelsubcuerpodado.
Ejemplo1.Elconjuntodelosenterospositivos*:I,2,3,___noesunsub-
cuerpodeCporvariasrazones.Porejemplo,0noesunenteropositivo;para
ningúnenteropositivon,es-nunenteropositivo;paraningúnenteropo-
sitivon,excepto1,es1/nunenteropositivo.
Ejemplo2.Elconjuntodelosenteros:._.,-2,-1,0,1,2,...,noes
unsubcuerpodeC,porqueparaunenteron,1/nnoesenteroalmenosque
*Elautorllama«enterospositivos»losenterosl,2,3,.__yexcluyeel0.Hoynoesestoasi.
puesseincluyeel0entrelosenterospositivos(«naturales››).

16. l'.`i°um'lrmi'.\'Ilrimlr-.i .I
nseal0-I.Conlasoperacionesusualesdeadiciónymultiplicación,elcon-
juntodclosenterossatisfacetodaslascondiciones(1)-(9),conexcepciónde
lacondición(8).
.Ejemplo3.Elconjuntodelosnúmerosracionales,estoes,númerosde
laformap/q,dondepyqsonenterosyq=/=0,esunsubcuerpodelcuerpode
loscomplejos.Ladivisiónquenoesposibleenelconjunto-'delosenteroses
posibleenelconjuntodelosnúmerosracionales.Ellectorinteresadodebería
verificarquecualquiersubcuerpodeCdebeconteneratodonúmeroracional.
Ejemplo4.Elconjuntodetodoslosnúmeroscomplejosdelaformax+y`/2,
dondexeysonracionales,esunsubcuerpodeC.Sedejaallectorlacompro-
bación.
Enlosejemplosyejerciciosdeestelibroellectordeberásuponerqueel
cuerpoconsideradoesunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos,amenosque
expresamenteseestablezcaqueesuncuerpomásgeneral.Noqueremosvolver
sobreestepunto;sinembargo,sedebeindicarporquéseadoptatalsupuesto.
SiFesuncuerpo,esposibleavecessumarlaunidad1asimismaunnúmerofini-
todevecesvobtener0(véaseelEjercicio5delasiguienteSección1.2):
1-I-1-I-----I-l==0.
Estonosucedeenelcuerpodelosnúmeroscomplejos(nienningúnsubcuerpo
suyo).SiellosucedeenF,entonceselmenorn,talquelasumadelosnunos
es0,sellamacaracterísticadelcuerpoF.SiellonosucedeenF,entonces(por
algunaextrañarazón)Fsellamauncuerpodecaracteristicacero.Amenudo,
cuandosesuponequeFesunsubcuerpodeC,loquesequieregarantizares
queFesuncuerpodecaracterísticacero;pero,enunaprimeraexposición
delálgebralineal,espreferiblenopreocuparsemuchoconrespectoacarac-
terísticasdecuerpos.
1.2.Sistemasdeecuacioneslineales
SupóngasequeFesuncuerpo.Seconsideraelproblemadeencontrarn
escalares(elementosdeF)x,,...,x,,que.satisfaganlascondiciones
/1112171+A12íC2"I"''°“I”Ainílïn=Í/1
(L1) /121171-I*/122-"G2+'''+Áenílìn=ya
Ami-"C1“I”Amzüïz“I”°'''I'Amnxn=ym
dondeyl,.__,y,,,yA,-J-,15¿Sm,1Sj5n,sonelementosdeF.A(1-1)se
lellamaunsistemademecuacioneslinealesconnincógnitas.Todon-tunlc
(xl,.__,x,,)deelementosdeFquesatisfacecadaunadelasecuacionesde(1-1)
sellamaunasolucióndelsistema.Siyl=yz-=---=y,,,=0,sedicequeel
sistemaeshomogéneo,oquecadaunadelasecuacioneseshomogénea.

17. 4 .4l,|.¦i'ln'rIÍIm'r|Í
Talvez,latécnicafundamentalparaencontrarlassolucionesdeunsiste-
madeecuacioneslineales,eslatécnicadeeliminación.Sepuedeilustraresta
técnicaenelsistemahomogéneo
2151- ZE2+ íl?3=O
:i:¡+3:i:2+4:i:3=O.
Sisumamos(-2)veceslasegundaecuaciónalaprimera,seobtiene
“"'7$2_7173=O
osea,x2=-x3.Sisesumatresveceslaprimeraecuaciónalasegunda,se
obtiene
7121+7ílÍ3=0
osea,xl=-x3.Así,seconcluyequesi(xl,xz,x3)esunasoluciónentonces
x,=x2==-x3.Alainversa,sepuedefácilmenteverificarquetodatema
deesaformaesunasolución.Así,elconjuntodesolucionesconstadetodas
lastemas(-a,-a,a).
Sehanencontradolassolucionesdeestesistemadeecuaciones«eliminan-
doincógnitas»,estoes,multiplicandolasecuacionesporescalaresysumándo-
lasluegoparaproducirecuacionesenlascualesalgunasdelasx¡noestánpre-
sentes.Deseairto§__formali_zarligeramenteesteprocesod_emgc_l_q_quesepueda
entenderporquéoperayparaasípoderllevaracaboloscálculosnecesarios
pararesolverunsistemademanerasistemática.
Paraelsistemageneral(1-1),supóngasequeseleccionamosmescalares
cl,._.,cm,quesemultiplicalaj-ésimaecuaciónporc¡yqueluegosesuma.
Seobtienelaecuación
(C1/111“I”°''+CmAm1)-T1"I"'°°-I-(C1A1n"I"'''-I'CmÁf,in)$n
=ct;/1++cm;/,_.
\talecuaciónselallamacombinaciónlinealdelasecuaciones(1-1).Evidente-
nente,cualquiersolucióndetodoelsistemadeecuaciones(1-1)serátambién
iolucióndeestanuevaecuación.Estaeslaideafundamentaldelprocesode
iliminación.Sisetieneotrosistemadeecuacioneslineales
B11351+''°-I-Binïlïn=21
(1-2) É É'É
Bklxl+'°'+Bknxn =zlr
enquecadaunadelasKecuacionesseacombinaciónlinealdelasecuaciones
de(1-1),entoncestodasoluciónde(1-1)essolucióndeestenuevosistema.
Evidentementepuedesucederquealgunassolucionesde(1-2)noseansolucio-
iesde(1-1).Esto,claroestá,nosucedesicadaecuaciónenelsistemaoriginal
›scombinaciónlinealdelasecuacionesenelnuevosistema.Sediráquedos
iistemasdeecuacioneslinealessonequivalentessicadaecuacióndecadasis-
temaescombinaciónlinealdelasecuacionesdelotrosistema.Podemosen-
toncesestablecerformalmenteestas.observacionescomosigue

18. Iii'NUi'lnIlr'\'llmwlr'.\ 1
'I`i-oreniaI..S'i_rIi'››ui.s'i-quiiiuliwlr-.vdcci'iuu'i`oncslim'uI¢'sIi¢'rii'ri¢'.\'m'Irinii'ri-
lr'lasniisniu.\-.w›lircir›m'.s.
Siquierequeelprocesodeeliminaciónparaencontrarlassoluciones
deunsistemaeoino(l-l)seaefectivo,entoncessedebebuscar,formandocoin-
Iiinacioncslinealesdelasecuacionesdadas,cómoseobtieneunsistemaequi-
valentedeecuacionesqueseamásfácilderesolver.Enlapróximasecciónseestu-
diaráunmétodoparahacerlo.
Ejercicios
I.VerificarqueelconjuntodenúmeroscomplejosdescritosenelEjemplo4esunsub-
cuerpodeC_
2.SeaFelcuerpodelosnúmeroscomplejos.¿Sonequivalenteslosdossistemasdecsi-.-
cioneslinealessiguientes?Siesasi,expresarcadaecuacióndecadasistemacomocoin-
binaciónlinealdelasecuacionesdelotrosistema.
O 311+IC2$1_íl32= =0
2181+$2=
3.ExaminelossiguientessistemasdeecuacionescomoenelEjercicio2
-$1-I*332-I*4173
2:1+31:2+82:3
ser+2:2+ãxa
0 33i'l-172
M
O $1 _
0
0
333
O $2-I*3173
__
1.-
í
í
4.ExaminelossiguientessistemascomoenelEjercicio2.
2x1+(-l+í):i:2 -l-x4=0 <l-l-š):i:¡+8x2-í:i:;-:i:4=O
3IC2_2'l:íC3-I'-5IC4=O %IE¡_-$322-I* íC3+7IC4=O
5.SeaFunconjuntoquecontieneexactamentedoselementos,0y1.Sedefineunaadición
ymultiplicaciónporlastablas:
+01 -O1
001 O00
110 '101
VerificarqueelconjuntoF,juntamenteconestasdosoperaciones,esuncuerpo.
6.Demostrarquesidos_sistemashomogéneosdeecuacioneslinealescondosincógni-
tastienenlasmismassoluciones,sonequivalentes.
7.Demostrarquetodosubcuerpodelcuerpodelosnúmeroscomplejoscontieneatodo
númeroracional.
8.Demostrarquetodocuerpodecaracterísticacerocontieneunacopiadelcuerpode
losnúmerosracionales

19. O Alg¢'I›mh`m'al
1.3.Matricesyoperaciones
elementalesdefila
Nosepuedemenosdeadvertirqueenlaformacióndecombinacioneslinea-
lesdeecuacioneslinealesnohaynecesidaddeseguirescribiendolas«incógnitas››
xl,...,x,,,yaquerealmentesoloseoperaconloscoeficientesA¡¡ylosesca-
laresyi.Elsistema(1-1)seabreviaráahoraasí:
AX=Y
All"'A1n
A= É É
A-m1"'Amn
X=lïilyrlïìli
Asellamamatrizdeloscoeficientesdelsistema.Estrictamentehablando.la
disposiciónrectangularexpuestanoesunamatriz,smounarepresentacion
deunamatriz.UnamatrizmxnsobreelcuerpoFesunafunciónAdelcon-
juntodelosparesdeenteros(i,j),15i5m,15j5n,enelcuerpoF.
LoselementosdelamatrizAsonlosescalaresA(i,j)=A¡¡,y,.confrecuen-
cia,suelesermásconvenientedescribirlamatrizdisponiendosuselemen-
tosenunarreglorectangularconmfilasyncolumnas,comoantes.Así,
X(anteriormente)es,odefine,unamatriznx1,eYunamatrizmx1.
Porelmomento,AX=Ynoesmásqueunanotaciónabreviadadelsistema
deecuacioneslineales.Másadelante,cuandosehayadefinidounamultipli-
cacióndematrices,querrádecirqueYeselproductodeAyX.
Deseamosahoraconsideraroperacionessobrelasfilas-delamatrizAque
correspondanalaformacióndecombinacioneslinealesdelasecuacionesdel
sistemaAX=Y.Selimitaránuestraatenciónatresoperacioneselementales
defilasenunamatrizmxn,sobreelcuerpoF:
donde
1.MultiplicacióndeunafiladeAporunescalarcnonulo;
2.Remplazodelar-ésimafiladeAporlafilarmáscveceslafilas,don-
dccescualquierescalaryr=;'=s;
3.IntercambiodedosfilasdeA.
Unaoperaciónelementaldefilases,pues,un_t1poespecialdefunción(regla)
0queasociaacada-matrizmxn,A,unamatrizmxn,e(A).Sepuededes-
cribireenformaprecisaenlostrescasoscomosigue:
1. 1 r, 3cArj.
2.e(,4),,.=AU.si¿qer,e(A),,.=A,,_+CA”.
3.e(A),-¡=Aü-siiesdiferentederys,e(A),¡=As]-,e(A),¡=A,¡.
I-lnladefinicióndee(A)noesrealmenteimportantecuántascolumnastengaA,
peroelnúmerodefilasdeAsíQueesdecisivo.Porejemplo,sedebeprestar

20. l-'rmn'lmn'.\'¡Im-nl:-s 7
atenciónaloquesignilicaintercambiarlaslilas5y6dcunamatri75xS.Para
evitarestaclasedecomplicaciones,convcndremosenqueunaoperaciónele-
mentaldefilaseestadclìnidaenlaclasedetodaslasmatricesmxnsobreF,
paraalgúnmlijo,peroparacualquiern.Enotraspalabras,unaeparticular
estadelìnidaenlaclasedetodaslasmatricessobreFquetienenmfilas.
Unarazónporlaquenoslimitamosasoloestostrestiposdeoperacionescon
Illas,esqueefectuadaunaoperacióneenunamatrizA.sepuedevolveraA
efectuandounaoperaciónsemejanteene(A).
Teorema2.'Acadaoperaciónelementaldefilasecorrespondeunaopera-
ciónelementaldefilasel,delmismotipodee,talquee1(e(A))=e(e¡(A)=A
paratodoA.Esdecir,existelaoperación(función)inversadeunaoperación
elementaldefilasyesunaoperaciónelementaldefilasdelmismotipo.
Demostración.(1-)Supóngasequeeeslaoperaciónquemultiplicalar-ésima
filadeunamatrizporunescalarnonuloc.Seae,laoperaciónquemultiplica
lalilarporc"1.(2)Su_póngasequeesealaoperaciónqueremplazalafilarpor
lamismafilaralaqueselesumólafilasmultiplicadaporc,rqés.Seaella
operaciónqueremplazalafilarporlafilaralaqueselehasumadolafilas
multiplicadapor(-c).(3)Sieintercambialasfilasrys,seael=e.Encada
unodeestoscasosesclaroquee1(e(A))=e(e1(A))=AparatodoA.I
Definición.SiAyBsondosmatricesmxnsobreelcuerpoF,sediceque
BesequivalenteporfilasaAsiBseobtienedeAporunasucesiónfinitadeopera-
cioneselementalesdefilas.
UsandoelTeorema2,ellectorencontraráfácilverificarlosiguiente:Cada
matrizesequivalenteporfilasaellamisma;siBesequivalenteporfilasaA,
entoncesAesequivalenteporfilasaB;siBesequivalenteporfilasaAyCes
equivalenteporfilasaB,entoncesCesequivalenteporfilasaA.Osea,que
laequivalenciaporfilasesunarelacióndeequivalencia(véaseApéndice).
Teorema3.SiAyBsonmatricesequivalentesporfilas,lossistemasho-
mogeneosdeecuacioneslinealesAX=0yBX=0tienenexactamentelasmismas
soluciones.
Demostración.SupóngasequesepasadeAaBporunasucesiónfinita
deoperacioneselementalesdefilas:
A-ÍA0'_›AlZ›"°"_'›Ak:-B.
BastademostrarquelossistemasA¡X=0yA¡HX=0tienenlasmismas
soluciones,esdecir,queunaoperaciónelementalporfilasnoalteraelconjun-
todesoluciones.
Así.supóngasequeBseobtienedeAporunasolaoperaciónelemental
defilas.Sinqueimportecuáldelostrestipos(1),(2)o(3)deoperacionessea
9

21. H
cadaecuacióndelsistemaBX=llserái-ombinaciónlinealdelasecuaciones
ilelsistemaAX=0.Dadoquelainversadeunaoperacionelementaldelìlas
esunaoperaciónelementaldefilas,todaecuacióndeAX=0serátambién
combinaciónlinealdelasecuacionesdeBX=0.Luegoestosdossistemas
/ll¡:i'l›mllnml
sonequivalentesy,porelTeoremal,tienenlasmismassoluciones.I
Ejemplo5.SupóngasequeFeselcuerpodelosnúmerosracionales
2-1 3
A=l40-
2 6-1
SeefectuaráunasucesiónfinitadeoperacioneselementalesdefilasenA,in-
Cai-IN
dicandoconnúmerosentreparéntesiseltipodeoperaciónrealizada.
-1 -9
40- 4
6-i 6
-9 -9
40- 4
-2-1 1
-9 0
0- 0
1-- 1
0 _- 0
0- 0
1 _ 1
001---
o›-c>o›-c>o›-oisai-town--[01-INI-'l\?0O00G0
._»1-=?o°”l:›-i-›Éo›i>-`i›-›i=-<'.n›-lo°lelelels<=ri-||_-ii-¬iï¬
Qu-iQO›-~OO›-O[\)i-IO
't-I
w|ui°'l~i
“C
010-
LaequivalenciaporfilasdeAconlaúltimamatrizenlasucesiónanteriornos
indicaenparticularquelassolucionesde
2121_$2+3133+2124=0
xl-l~4:i:2-x4=0
2331+6132_333+5334=
Y _
$3_-IQLQI4=
2171 -l'-13;?-334
:122--åxi
soiiexactamenteTasmismas.Quedademanifiestoenelsegundosistemaque.
siasignamosax4unvalorracionalccualquiera,seobtieneunasolución
0
0
0
0
3
0
-i
ul-IQOQ
mk
wi-Içi-Iwi-I[\)GI
4
-i
5
t›¦›l~1›-på
:wi-1c'7›'°l3___?-
ii
“ii
(4-'fix'ï'c,c),conloquetodasoluciónesdeestaforma
/'\sv
la
É
le
I"
D-I
\/
Éav
1»

22. l'.'i'mu'lmlm'Ílm'ulitt'
I-Ijemplo(›.SupóngasequeesFelcuerpodelosnúmeroscomplejosy
-li
A= -í3-
12
Alefectuaroperacionesconfilasesconvenienteamenudocombinarvarias
operacionesdeltipo(2).Teniendoestopresente
-it o2+t 01 oi
-t3i2l.03+2ti*l,o3+2t.92.0o-
12 12 12 io
Conloqueelsistemadeecuaciones
_2U1+¶:¶J2=0
-'l:IlJ1+'3íC2=0
íCi+2fU2=0
tienesolamentelasolucióntrivialxl=x2=0.
EnlosEjemplos5y6obviamentenoseestabanhaciendooperacionescon
Iilasalazar.Laeleccióndelasoperacionesconfilasestabamotivadaporel
deseodesimplificarlamatrizcoeficientedeunamaneraanálogaala«elimi-
nacióndeincógnitas»enelsistemadeecuacioneslineales.Daremosahorauna
definiciónformaldeltipodematrizalaqueestábamostratandodellegar.
Definición.Unamatrizmxn,R,sellamareducidaporfilassi:
(a)elprimerelementononulodecadafilanonuladeResigualal;
(b)cadacolumnadeRquetieneelprimerelementononulodealgunafila-
tienetodossusotroselementos0.
Ejemplo7.Unejemplodematrizreducidaporfilaseslamatrizidentidad
nxn(cuadrada)1.Estaeslamatriznxndefinidapor
1,sii=j
I*f"ô"f"lo,si¿+1.
Estaeslaprimeradelasmuchasocasionesenqueseusaráladeltade
Kronecker(6).
EnlosEjemplos5y6lasmatricesfinalesobtenidassonmatricesreduci-
dasporfilas.Dosejemplosdematricesnoreducidaspor'filasson'
1000 02 1
01-10› 10-3-
00 10 00 0
Lasegundamatriznosatisfacelacondición(a),porqueelprimerelemento

23. lll -1hu-lirallnrnl
nonulodelprimerrenglónnoesl.Laprimeramatrizsisatisfacelacondición
(a),peronolacondición(b)enlacolumna3.
Demostraremosahoraquesepuedepasardecualquiermatrizdadaauna
matrizreducidaporfilas,pormediodeunnúmerofinitodeoperacionesele-
mentalesdefila.Esto,juntoconelTeorema3,proporcionaráuninstrumento
efectivoparalaresolucióndesistemasdeecuacioneslineales.
Teorema4.TodamatrizmxnsobreelcuerpoFesequivalenteporfilas
aunamatrizreducidaporfilas.
Demostración.SeaAunamatrizmxnsobreF.Sitodoelementodela
primerafiladeAes0,lacondición(a)secumpleenloqueconciernealafila1.
Silafila1tieneunelementononulo,seakelmenorenteropositivojparael
queA1J.=,é0.Multiplicandolafila1porAfkflacondición(a)secumplecon
respectoaesafila.Luego,paratodoi22,sesuma(-A¡,,)veceslafila1ala
filai.Yahoraelprimerelementononulodelafila1 enlacolumnak,ese
elementoes1,ytodootroelementodelacolumnakes0.
Considéreseahoralamatrizqueresultódeloanterior.Sitodoelemento
delafila2es0,sedejatalcual.Sialgúnelementodelafila2esdiferentede0,
semultiplicaesafilaporunescalardemodoqueelprimerelementononulo
seal.Enelcasodequelafila1hayatenidounprimerelementononuloenla
columnak,esteprimerelementononulodelafila2nopuedeestarenlacolum-
nak;supóngasequeesteenlacolumnak,9€kiSumandomúltiplosapropia-
dosdelafila2alasotrasfilas,sepuedelograrquetodosloselementosdela
columnak,sean0,exceptoel1enlafila2.Loque'esimportanteobservares
losiguiente:Alefectuarestasoperaciones,nosealteranloselementosdela
fila1enlascolumnas1,.__,k,niningúnelementodelacolumnak.Esclaro
que,silafila1eraidénticamentenula,lasoperacionesconlafila2noafectan
lafila1.
Siseopera,comoseindicó,conunafilacadavez,esevidentequedespués
deunnúmerofinitodeetapassellegaráaunamatrizreducidaporfilas.I
Ejercicios
1.Hallartodaslassolucionesdelsistemadeecuaciones
(l-í)x¡-ixz=0
2.111+ *1:)I2=0.
2.Si
3-12
A=[2 11]
1-30
hallartodaslassolucionesdeAX=0reduciendoAporfilas.
3.Si
6 _.
A=[4_
-1 cio»QJCOmi

24. Erumiiiiwsllnmlrs ll
hallartodaslassolucionesdeAX=2XytodaslassolucionesdeAX=3X(elsíinbolo
i-Xrepresentalamatriz,cadaelementodelacualescveceselcorrespondienteelemen-
todeX).
4.Hallarunamatrizreducidaporfilasqueseaequivalenteporfilasa
t-(1+z')0
A=1-2 1-
121'-1
5.Demostrarquelassiguientesdosmatricesnosonequivalentesporfilas
-10› -20-1-
.b
A=":I
[0d
unamatriz2x2conelementoscomplejos.SupóngasequeAesreducidaporfilasytam-
biénquea+b+c+d=0.Demostrarqueexistenexactamentetresdeestasmatrices.
)|~iatolffiOC/OOQ 1-*l-IOQU-I U1[Olg
6.Sea
7.Demostrarqueelintercambiodedosfilasenunamatrizpuedehacersepormedio
deunnúmerofinitodeoperacioneselementalesconfilasdelosotrosdostipos.
8.ConsiderarelsistemadeecuacionesAX=0,donde
ab
A"ledl
esunamatriz2x2sobreelcuerpoF.Demostrarlosiguiente:
(a)SitodoelementodeAesO,entoncescadapar(x,,x2)esunasolucióndeAX=0.
'_(b)Siad-bc=,\'=0,elsistemaAX=Otienesolamentelasolucióntrivialxl=x2=0.'
(c)Siad--bc=0yalgúnelementodeAesdiferentede0,entoncesexisteunasolu-
ción(xf,xg)talque(x1,x2)esunasoluciónsi,ysolosi,existeunescalarytalquexl=
yx?,X2=yx?-
1.4.Matricesescalónreducidasporfilas
Hastaelmomento,eloperarconsistemas_deecuacionesestabamotivado
portratardeencontrarlassolucionesdetalsistema.EnlaSección1.3seesta-
blecióunmétodonormaldeencontraresassoluciones.Queremosahoraad-
quiriralgunainformaciónalgomásteórica,yparatalpropósitoesconveniente
profundizarunpocomásenlasmatricesreducidasporfila.
Definición.Unamatrizmxn,R,sellamamatrizescalónreducidapor
filasi:
(a)Resreducidaporfilas;
(b)todafiladeRquetienetodossuselementos0estádebajodetodaslas
filasquetienenelementosnonulos;

25. ¡Í .-ll_t'vl›rulineal
(c)silasfilasl,...,rsonlas_/ilusnonulasdeR._t'siclprimerclcnimn›
nonulodelaƒila¡estáenlacolumnak,-,i=l,.._,r,entocesk,<kz<---<k,.
SepuededescribirtambiénunamatrizescalónRreducidaporfilascomo
sigue.TodoelementodeRes0,oexisteunnúmeropositivor,l5rSm,y
renterospositivoskl,...,k,conl5k¡5ny
(a)R¡,-=0parai>r,yR¡¡=0sij<k¡.
(b)R¿,,j=5¡¡,lSi$r,1SjSr.
(c)k1<°"<k¡.
Ejemplo8.Dosejemplosdematricesescalónreducidasporfilassonla
matrizidentidadnxnylamatrizceromxn,0'“'",cuyoselementossontodos0.
Ellectornotendrádificultadenhallarotrosejemplos,peroquisiéramosdar
otronotrivial:
01-30%
00012-
00 000
Teorema5.Todamatrizmxn,A,esequivalenteporfilasaunamatriz
escalónporfilas.
Demostración.SabemosqueAesequivalenteporfilasaunamatrizre-
ducidaporfilas.Todoloquesenecesitaobservaresque,efectuandounnú-
merofinitodeintercambiosdefilasenunamatrizreducidaporfilas,selapue-
dellevaralaformaescalónreducidaporfilas.I
EnlosEjemplos5y6seviolaimportanciaquetienenlasmatricesredu-
cidasporfilasenlaresolucióndesistemashomogéneosdeecuacioneslineales.
SeaahoraexaminarbrevementeelsistemaRX=0.dondeResunamatriz
escalónreducidaporfilas.Seanlasfilas1,...,rlasnonulasdeR,ysupóngase
queelelementoprincipalnonulodelafilaiestáenlacolumnaki.Elsistema
RX=0constaentoncesderecuacionesnotriviales.Además,laincógnitaxk,apa-
recerá(concoeficientenonulo)solamenteenlai-ésimaecuacion.Siu¡,.__,u,,_,
representanlas(n¿r)incógnitasquesondiferentesdexh,....xk',enton-
ceslasrecuacionesnotrivialesdeRX=0sondelaforma
7l._'I'
xki+_ElCljui=0
¡==
(1-3) É É
íCk,+EC"u-=0._ r:.1
2=1
TodaslassolucionesdelsistemadeecuacionesRX=0seobtienendando
valoresarbitrariosau¡,...,u,,_,,ycalculandoentoncesloscorrespondientes
valoresdexkl,_..,xk,de(1-3).Porejemplo,siReslamatrizdelEjemplo8.

26. l'.'i'mn'lum'.\lIm'itli'\ I,l
entoncesr=2,k,=2.A2=4ylasdosecuacionesnotrivialesdelsistema
RX=0son
.U2_*3.123 +%.U5=0 O 322=3IlÍ3_'åílïf,
324+2175=0 0 324=“_2.135.
Así,podemosasignarcualquiervalorax,,x3yx5,digamosxl=a,x3=b.
x5=c,yobtenerlasolución(a,3b-åc,b,-2c,c).
Observemosunacosamás,enrelaciónconelsistemadeecuacionesRX=0.
SielnúmerordefilasnonulasdeResmenorquen,entonceselsistemaRX=0
tieneunasoluciónnotrivial,estoes,unasolución(xl,...,x,,)enquenotodo
xjes0.Enefecto,comor<n,sepuedeelegiralgúnxjquenoestéentrelas
rincógnitasxh,...,xkr,ysepuedeentoncesconstruirunasolucióncomo
antes.enqueestexjesl.Estaobservaciónnosllevaaunodeloshechosmás
fundamentalessobresistemashomogéneosdeecuacioneslineales.
Teorema6.SiAesunamatrizmxnconm<n,elsistemahomogéneo
deecuacioneslinealesAX=0tieneunasoluciónnotrivial.
Demostración.SeaRunamatrizescalónreducidaporfilaqueseaequiva-
lenteporfilaaA.EntonceslossistemasAX=0yRX=0tienenlasmismas
solucionesporelTeorema3.SireselnúmerodefilasnonulasdeR,entonces
ciertamenter5m,ycomom<ntenemosquer<n.Sesigueinmediatamente
delasobservacionesanterioresqueAX=0tieneunasoluciónnotrivial.I
Teorema7.SiAesunamatriznxn(cuadrada),Aesequivalentepor
filasalamatrizidentidadnxn,si,ysolosi,elsistemadeecuacionesAX=0
tienesolamentelasolucióntrivial.
Demostración.SiAesequivalenteporfilasaI,entoncesAX=0eIX=0
tienenlasmismassoluciones.Recíprocamente,supóngasequeAX=0tiene
solamentelasolucióntrivialX=0.SeaRunamatrizescalónreducidapor
filasnxn,queesequivalenteporfilasaA,ysearelnúmerodefilasnonulas
deR.EntoncesRX=0carecedesoluciónnotrivial.Conloquer2n.Pero
comoRtienenfilas,ciertamenter5n.Conloquer=n.Comoestoquiere
decirqueRtieneun1comoprimerelementononuloencadaunadesusnfilas
ycomoestos1estánenlasdiferentescolumnasn,Rdebeserlamatrizidenti-
dadnxn.I
Preguntémonosahoraquéoperacioneselementalesdefilahayquehacerpara
resolverunsistemadeecuacioneslinealesAX=Ynohomogéneo.Deentrada
cabeobservarunadiferenciabásicaconelcasohomogéneo;yesquemien-
traselsistemahomogéneosiempretienelasolucióntrivialxl=---=x,,=0,
unsistemanohomogéneonotienenecesariamentesolución.
SeconstruyelamatrizaumentadaA'delsistemaAX=Y.Estaeslamatriz
mx(n+l)cuyasprimerasncolumnassonlascolumnasdeAycuyaúltima
columnaesY;másprecisamente,
I 0 o
AU=A,-,-,si_;Én
Ai(n+i›=yt-

27. I4 Algebrallnvul
SupóngasequeseefectúaenAunasucesióndeoperacioneselementalescon
filas,parallegaraunamatrizescalónreducidaporfilasR.Siseefectúaesta
mismasucesióndeoperacionesdefilaenlamatrizaumentadaA',sellegará
aunamatriz-R'cuyasprimerascolumnassonlascolumnasdeRycuyaúltima
columnatieneciertosescalares2,,___,zm.Losescalareszisonloselementos
delamatrizmx1
21
Z=2
-zm
queresultadelaaplicacióndelasucesióndeoperacionesdefilaalamatrizY.
Paraellectoresclaroque,aligualqueenlademostracióndelTeorema3,los
sistemasAX=YyRX=Zsonequivalentesy,comoconsecuencia,tienen
lasmismassoluciones.EsmuyfácildeterminarcuándoelsistemaRX=Z
tienealgunasoluciónyencontrartodaslassolucionessiesqueexisten.Enefec-
to,siRtienerfilasnonulas,conelprimerelementononuloenlafilaiyen
lacolumnak¡,i=1,___,r,entonceslasprimeras.recuacionesdeRX=Z
expresaránefectivamentelasxh,___,xk,porlas(n-r)restantesxjyloses-
calareszi,.__,z,.Lasúltimas(m-r)ecuacionesson
0=21'-1-I
. Q
Q 0
. O
0.=zm
y,portanto_lacondiciónparaqueelsistematengaunasoluciónesz,=0
parai>r.Sisecumpleestacondicióntodaslassolucionesdelsistemaseen-
coiitrarán,delmismomodoqueenelcasohomogéneo,dandovaloresarbi-
trariosa(n~r)delasxj,calculandoluegox,,¡enlai-ésimaecuación.
Ejemplo9.SeaFelcuerpodelosnúmerosracionalesy
1-2 1
A= 2 1 1
0 5--1
Se,trataderesolverelsistemaAX=Yparaciertosv,,yzey3.Efectuandouna
sucesióndeoperacionesdefilaenlamatrizaumentadaA',quereduzcapor
filasaA:
1-2 12/1 1-*2 1 Z/1
211yiE.05-1(yt-2;/1)
0 5-1-ya O 5_] ya
_.
le
Qi-Il@Quit-Il-I
/'\'â“$
1-2 1 'yi 1_ lll _
0 5-1 (Z/2_-22/1) [0 '_' %(y2"'2!/1)
_0 0 0(ya_yz+22/1) 0 '“'l'2!/1)
“ 'ií(!/i+2?/2)
01- š:(@I2-22/1)
(ya"“2/2+2!/1)Qi-IOO ©0\l›-law

28. lu'tmi'lt›m'.\'llm'uli'.\' I,S
laeoiiilicióiiparaqueclsistemaAX==Ytengaunasoluciónes,pues,
2?/i_Z/2+ya=0
vsilosescalaresdadosy,satisfacenestacondición,todaslassolucionesseob-
tienenasignandounvalorcax3,ycalculandoluego
171=-gc+'.%(Z/i+21/2)
$2=ic+É@/2_21/1)-
O
UnaobservaciónfinalrespectoalsistemaAX=Y.Supóngasequelosele-
mentosdelamatrizAylosescalaresyl,___,_v,,,pertenecenaunsubcuerpo
1-',delcuerpoF.SielsistemadeecuacionesAX=Ytieneunasolucióncon
\,_____x,,enF,tienetambiénunasoluciónconxl,____x,,enF1.Enefecto,
sobrecualquiercuerpo,lacondiciónparaqueelsistematengaunasolución
esquesecumplanciertasrelacionesentrelosyl,___,y,,enF1(lasrelaciones
,4:0parai>ranteriores).Porejemplo,siAX=Yesunsistemadeecua-
cioneslineales,enelcuallosescalaresykyAU-sonnúnierosreales,ysiexiste
unasoluciónenquexl,____x,,sonnúmeroscomplejos,entoncesexisteuna
soluciónenquelosxl,_._,x,,sonnúmerosreaLes.
lzfiercicios
I.Ilallar,mediantereducciónporfilasdelamatrizdecoeficientestodaslassoluciones
delsiguientesistemadeecuaciones:
åxi+21:2-6x;=
_42I1 + 5173=
_3I1+6222'_13123=
-šxl-l-2:2-åxa=OOO@
2.Hallarunamatrizescalónreducidaporfilasqueseaequivalentea
1-'i
A= 2 2-
il-I-'i
¿CuálessonlassolucionesdeAX=0?
3.Describirexplícitamentetodaslasmatricesescalón2x2reducidasporfilas.
4.Considéreseelsistemadeecuaciones
$1“_$2-I-213=1
2I1 -I-2223=1
$1__32:2+4223=2.
¿Tieneestesistemasolución?Siesasí,determinartodassussoluciones.
5.Darunejemplodeunsistemadedosecuacioneslinealescondosincógnitasqueno
tengasolución.

29. lb all_t¦i'llt'ullmïll
6.Mostrarqueelsistema
xr-2:@-2+:ca-l-2:c4=1
1131+íC2_1173+íC4=2
:t:1-l-7x2-5:c;-:t:4=3
notienesolución.
7.Hallartodaslassolucionesde
21:1-32:2-7:c3+5:c¢+2:c;,=-
:c1-2:c2-4a:3+3:z:4-|-:i:5=-
2x1 -4:c3+2:c4-|-2:5=
xl-5x2-7x;;+6:c.,+2:r;,=-
3-12
A=2 11-
1-30
¿Paracuálestemas(yl,yz,y3)tieneunasoluciónelsistemaAX=Y?
9.Sea
_~iootctc
8.Sea
H*C>bDCúN>C>à›O>l-it-Ii-Al_@Qihøgghø
A-.=
¿Paracuál(yl,yz,y3,y4)tienesoluciónelsistemadeecuacionesAX=Y?
10.SupóngasequeRyR'sonmatricesescalón2x3reducidasporfilasyquelossis-
temasRX=0yR'X=0tienenexactamentelasmismassoluciones.DemostrarqueR=R'.
I.5_Multiplicacióndematrices
Esevidente(odeberíaserlo,entodocaso)queelprocesodeformarcom-
binacioneslinealesconlasfilasdeunamatrizesfundamental.Porestarazón
esdeprovechointroducirunesquemasistemáticoqueindiquequéoperaciones
sehanderealizar;másprecisamente,supóngasequeBesunamatriznxp
sobreelcuerpoF,confilasB1,___,B,yqueapartirdeBseconstruyeunama-
trizCconfilasy¡,___,ym,efectuandociertascombinacioneslineales
(L4) 'Yi=Aafii-l-/11232+'''+AMB»-
LasfilasdeCquedandeterminadasporlosmnescalaresAi,-,quesonlosele-
mentosdeunamatrizmxn,A.Sisedesarrolla(1-4)
<0_›_---0.-_)=šl<A_-_B_i---A.-_B_,_)
sevequeloselementosdeCvienendadospor
Ctj=šA,-,Bf
r=l r

30. l'_`|'ttm'lnm'.\'llm'uli'.\ I7
Delìnieión.SeuAunamatriznixnsobreclcuerpoI"v.veuBunamatriz
nxpsobreI".lilproductoABeslamatrizmxp,C,cuyoseli-nwntosi,/`son
c_,=ÉA-Birrj-
r-1
Ejemplo10.Heaquíalgunosproductosdematricesdeelementosra-
cionales.
<fl>[3"ãšl=l_šÍlliš“iÉl
I)onde
'y1=(5-12)=1-(5 -12)-l-0-(15 48)
'y2=(O 72)=-3(5 -12)-I-1-(1548)
06
912- -
(b) 1262-" 38-2
38- t\Doo00›-
OU1NJ›-^i-Ii-l=~0OO

I'_'-'I
OOD I-I
Q
l)onde
'y2=(912 -8)=-2(O 61)-l~3(38-2)
~y3=(l262-3)= 5(06l)+4(3 8-2)
ts]=tiata
la1;]-[nin4
Donde
(e) L24][_â]=[10]
_ 34
=0
-_ 0
00
` 0
-5 10
20
9O
L3S
¢.Ol\Di-'OOO
OO'-'
00
OOO

OOOQør-1i-10301OOOC01-l=~l\D
ki-1-IL-±n1_±1J
OOONJ
=0
-1
Esimportanteobservarqueelproductodedosmatricespuedenoestar
dcfinido;elproductoestádefinidosi,ysolosi,elnúmerodecolumnasdela
primeramatrizcoincideconelnúmerodefilasdelasegunda.Asíquenotiene
sentidointercambiarelorden'delosfactoresen(a),(b)ylc)delosejemplos
anteriores.Frecuentementeseescribiránproductos,talescomoAB,sinmen-
cionarexplícitamentelasdimensionesdelosfactores,yentalescasossedará
porentendidoqueelproductoestádefinido.Por(d),(e),(f),(g)seveque,aun-

31. lll .^ll_|:¢°hrulineal
quelosproductosAByBAesténdefinidos,noesnecesariamenteAB=-B/1:
esdecir,lamultiplicacióndematricesnoesconmutativa_
Ejemplo11.
(a)SiIeslamatrizidentidadmxmyAesunamatrizmxn,IA=A.
(b)SiIeslamatrizidentidadnxnyAesunamatrizmxn,Al=A.
(c)Si0'°""eslamatriznulakxm,O“"'=U“""A.Enformasimilar.A0""'=0"-"_
Ejemplo12.SeaAunamatrizmxnsobreF.Larepresentaciónabre-
viadaanteriorAX_=Y,parasistemasdeecuacioneslineales,escompatiblecon
ladefinicióndeproductosdematrices.Así,si
¿Ci
X=$2
¿Cn
conx,enF,entoncesAXeslamatrizmx1
2/i
Y=1'?
ym
talquey,=Aüxl+Aux,+.---+A¡,,x,,.
Elusodematricescolumnasugiereunarepresentaciónqueesfrecuente-
menteútil.SiBesunamatriznxp,lascolumnasdeBsonlasmatricesnx1.
B1,____BP,detinidaspor
B1, \
B",-
LamatrizBeslasucesióndeestascolumnas:
B= |:B1,...,Bp].
Elelementoi,jdelamatrizproductoABseformaapartirdelai-ésimafila
deAydelaj-ésimacolumnadeB.Compruebeellectorquela/`-ésimaco-
lumnadeABesAB¡:
AB=[AB1,___,AB,,]_
Apesardequeunproductodematricesdependedelordenenquelosfac-
toresestánescritos,esindependientedelmodoenqueestánasociados,comc
lodemuestraelsiguienteteorema.
Teorema8.SiA,B,CsonmatricessobreelcuerpoF,talesquelosproduc-
tosBCyA(BC)estándefinidos,entoncestambiénloestánlosproductosAB,
(AB)Cy
A(BC)=(AB)C.

32. limnu›r¡i'.\ltm'ul¢'.\ l9
Ili-nn›.\'mu'ión.SupóngasequeBesunamatriznxp.ComoBCestáde-
Imula.(`esuiianiatri/conplìlas,yB(`tienenlilas.ComoA(BC)estádefinida,
Í.-puedesuponerqueAesunamatrizmxn.AsíelproductoABexisteyes
mmuiatri/mxp,deloquesesiguequeelproducto(AB)Cexiste;Parahacer
wique_-ttB('l=(AB)Csedebedemostrarque
t4wC›1.-,-=t(AB›C1_-,-
|›.u.itodoslosi,/'_Pordefinición
[A(BC)]='f=2Á.--(BC)f¡
¬M*M¬uM'P
ff*.":WÍ9
= EBraco;
-M¬L~4
Ef*2°@Í@
=2 Ai:-Brs)Caj
=2(AB)iaCaj
=[(ÁB)C]¢ƒ.
SiAesunamatriz(cuadrada)nxn,elproductoAAestádefinido.Esta
niatri/serepresentaporA2.PorelTeorema8,(AA)/l=A(AA)oAZA=AA2,
.lrmodoqueelproductoAAAestádefinidosinambigüedad.Esteproducto
serepresentaporA3.Engeneral,elproductoAA--A(kveces)estádefini-
dosinambigüedad,yserepresentaráporA'°_
()bsérvesequelarelaciónA(BC)=(AB)Cimplica,entreotrascosas,que
combinacioneslinealesdecombinacioneslinealesdefilasdeCsonotravez
ioiiibinacioneslinealesdefilasdeC_
SiBesunamatrizyCseobtieneapartirdeBpormediodeunaoperación
elementaldefilas,entoncestodafiladeCescombinaciónlinealdelasfilasde
H,y,portanto,existeunamatrizAtalqueAB=C.Engeneral,existenmuchas
deestasmatricesA,yentretodasellasesconvenienteyposibleescogerunaque
it-agaalgunaspropiedadesespeciales.Antesdeverestosenecesitaintroducir
unaclasedematrices.
Definición.Unamatrizmxmsedicematrizelementalsisepuedeobtener
«lclumatrizidentidadmxmpormediodeunasolaoperaciónelementalsimple
ili'/ÍÍUS.
Ejemplo13.Unamatrizelemental2x2esnecesariamenteunadelas
aguientes:
[01 [1c] [10]
i0'01'C1

33. 20 Al_ei'l›rulineal
[3ï:|›c7€0, 2} c7!0.
Teorema9.SeaeunaoperaciónelementaldefilayseaElamatrizele-
mentalmxm,E=e(I)_Entonces,paratodamatrizmxn,A
e(A)=EA.
Demostración.Laclavedelademostraciónradicaenqueelelemento
delai-ésimafilaylaj-ésimacolumnadelamatrizproductoEAseobtienede
lai-ésimafiladeEydelaj-ésimacolumnadeA.Lostrestiposdeoperaciones
elementalesdefiladebenserestudiadosseparadamente.Sedaráunademos-
tracióndetalladaparaunaoperacióndeltipo(ii).Losotrosdoscasos,más
fácilesdeestudiar,sedejancomoejercicios.Supóngasequerqésyqueees
unaoperaciónque«remplazalafilarporlafilarmáscveceslafilas'››_Entonces
___ ô-51,,
Etk-{5†1¢+05sk, Í=1`-
Luego
_'",___ Áçk, T
(EA)*”'_Ã,b"'°A'"“l/1,,+¢A_,-,t=1-.
Esdecir,EA=e(A).I
Corolario.SeanAyBdosmatricesmxnsobreelcuerpoF.Entonces
BesequivalenteporfilasaAsi,ysolosi,B=PA,dondePesunproductode
matriceselementalesmxm.
Demostración.SupóngasequeB=PA,dondeP=Es---E2E,ylosE,
sonmatriceselementalesmxm.EntoncesEIAesequivalenteporfilasaA1y
E2(E1A)esequivalenteporfilasaEIA.LuegoE2E,Aesequivalenteporfilasa
A,ycontinuandodeestemodoseve_que(Es---E1)Aesequivalenteporfilas
aA.SeanE1,E2,___,Esmatriceselementalescorrespondientesaciertasu-
cesióndeoperacioneselementalesdefilasquellevaAaB.EntoncesB=
(Es__.El I
Ejercicios `
A=[Í“â B=[_ï],c=[i-1].
|'1-i1 2-2
3 01 4 4
VerificardirectamentequeA(AB)=A2B_
l.Sean
CalcularABCyCAB.
2.Sean

34. I:_mn'mm'.\llm'uli'.\ fl
l.I-ncontraidosmatrices2x2.A.dil`e|'entestalesqueA2U,pero.-I=†U.
-I.l'.-uacada.ldelEjercicio2,hallarmatriceselementalesl-.`,_l:',,____I:`,,talesque
¡dk'"E2lç¡A =I.
l-1
A=[22],B=[ji
l0
,_lustcunamatrizCtalqueCA=B?
4Sean
t›.SeaAunamatrizmxnyBunamatriznxk-Demostrarquelascolumnasde('=/IB
.imi-omhiiiacioneslinealesdelascolumnasdeA.Sial,____01,,sonlascolumnasdeAy
¡',.____yksonlascdlumnasdeC,entonces
'Il
fï
7SeanAyBmatrices2x2talesqueAB=I.DemostrarqueBA=I.
CC
C=[aiaz]
unamatriz2x2.Sedeseasabersiesposibleencontrarmatrices2x2,AyB,talesqiic
É'AB-BA.Demostrarquetalesmatricespuedenhallarsesi,ysolosi,C1,+C22=0.
ll.Sea
I.6_Matricesinversibles
SupóngasequePesunamatrizmxm,queesunproductodematrices
t-lementales.Paracadamatrizmxn,A,lamatrizB=PAesequivalentepor
tilasaA;luegoAesequivalenteporfilasaByexisteunproductoQdematri-
i-eselementales,talqueA=QB.Enparticular,estoesverdadcuandoAesla
matrizidentidadmxm.Enotraspalabras,existeunamatrizmxm,Q,que
esellamismaunproducto_dematriceselementales,talqueQP=I.Como
veremos,laexistenciadeunaQconQP=Iesequivalentealhechodeque
I'esunproductodematriceselementales.
Definición.SeaAunamatriz(cuadrada)nxnsobreelcuerpoF.Una
matriznxn,B,talqueBA=IsellamainversaalaizquierdadeA;unamatriz
nxn,B,talqueAB=Isellamainversa.aladerechadeA.SiAB=BA=I,
entoncesBsellamainversabiláteradeA,ysedicequeAesinversible.
Lema.SiAtieneunainversaalaizquierda,B,yunainversaaladerecha,
(`_entoncesB=C.
Demostración.SupóngasequeBA=IyqueAC'=I.Entonces
B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C.I

35. 22 Algehmlineal
Así,siAesinversaalaizquierdaeinversaaladerecha,Aesinversibley
tieneunainversabiláteraqueserepresentaráporA”yscllamarásimplemente
lainversadeA.
Teorema10.SeanAyBdosmatricesnxnsobreF.
(i)SiAesinversible,tambiénloesA_'y(A"1)_1=A.
(ii)SiAyBsoninversibles,tambiénloesABy(AB)"'=B"1A_'_
Demostración.Laprimeraafirmaciónesevidenteporlasimetríadela
definición.Lasegundasedesprendedelasrelaciones
(AB)(B_*A“1)=(B_1A“1)(AB)=I.I
Corolario.Unproductodematricesinversiblesesinversible.
Teorema11.Unamatrizelementalesinversible.
Demostración.SeaEunamatrizfundamentalcorrespondientealaope-
raciónelementaldefilae.Sieleslaoperacióninversadee(Teorema2)yE1=
e,(l),entonces
EE¡=e(E¡)=e(e1(I))=I
y EIE=e1(E)=e1(e(l))=I
conloqueEesinversibleyE1=E”.I
Ejemplo-14.
it¿H?¿J
tz,fr-ii:fi
ti'2H-±$1
(d)Cuandoc#=0,
[23ïl1=[å`*llY[Fi'ìlrlåÉ--l'
Teorema12.SiAesunamatriznxn,lossiguientesenunciadossonequi-
valentes_ °
(i)Aesinversible.
(ii)Aesequivalenteporfilasalamatrizidentidadnxn
(iii)Aesunproductodematriceselementales.

36. I-imwimn-.slineales 23
I›enn›.i-trfu-ión.SeaRunamatrizescalónreducidaporfilas,equivalen-
teporlilasaA.PorelTeorema9(osucorolario),
If=[ik'°°_B'2E¡A
donde15,,___,E,,sonmatriceselementales.CadaEjesinversible,yasi
A=E1"1---E,Z'R_
tomoelproductodematricesinversiblesesinversible,sevequeAesinversi-
lvlcsi,ysolosi,Resinversible.ComoResunamatriz(cuadrada)escalónre-
ducidaporfilas,Resinversiblesi,ysolosi,todafiladeRcontieneunelemento
nonulo,estoes,si,ysolosi,R=I.HemosvistoqueAesinversiblesi,ysolosi,
R=l,ysiR=lentoncesA=E,,_1,___,Ef1_Seveahoraque(i),(ii)y(iii)
sonafirmacionesequivalentesrespectodeA.I
Corolario.SiAesunamatrizinversiblenxnysiunasucesióndeopera-
«mncselementalesdefilareduceAalaidentidad,entonceslamismasucesión
deoperaciones,cuandoseaplicaaI,daA".
Corolario.SeanAyBdosmatricesmxn.EntoncesBesequivalentepor
/ilusaAsi,ysolosi,B=PA.dondePesunamatrizmxminversible.
Teorema13.Paraunamatriznxn,lassiguientesafirmacionessonequi-
i-ulentes_
(i)Aesinversible.
tii)ElsistemahomogéneoAX=0tienesololasolucióntrivialX=0.
(iii)ElsistemadeecuacionesAX=YtieneunasoluciónXparacadamatriz
itX1,Y.
Demostración.DeacuerdoconelTeorema7,lacondición(ii)esequiva-
lentealhechodequeAesequivalenteporfilasalamatrizidentidad.Porel
leorema12,(i)y(ii)son,portanto,equivalentes.SiAesinversible,lasolu-
cióndeAX=YesX=A_'Y.Recíprocamente,supóngasequeAX=Y
tieneunasoluciónparacadaYdada.SeaRunamatrizreducidaporfilasquesea
equivalenteporfilasaA.SedebedemostrarqueR=l.Estoequivaleademos-
trarquelaúltimafiladeRnoes0(idénticamente)_Sea
al
SielsistemaRX=EpuederesolverseparaX,laúltimafiladeRnopuede
ser0.SesabequeR=PA,dondePesinversible.LuegoRX=Esi,ysolosi,
/IX=P"'E_Deacuerdocon(iii),elúltimosistematieneunasolución.I
Corolario.Unamatrizcuadradaquetieneunainversaalaizquierdaoa
laderechaesinversible.

37. 24 Algehrulmeul
Demostración.SeaAunamatrizmxn.SupóngasequeAtieneunain-
versaalaizquierda,esdecir,unamatrizBtalqueBA=I.EntoncesAX=0
tienesololasolucióntrivial,porqueX=IX=B(AX)_LuegoAesinversible.
Porotrolado,supóngasequeAtieneunainversaaladerecha.esdecir.una
matrizCtalqueAC=I.EntoncesCtieneunainversaalaizquierdayes,por
tanto,inversible.SesigueentoncesqueA=C`1yasíAesinversibleconin-
versaC.I
Corolario.SeaA=A,A2--~A,,,dondeA1,___,A,,sonmatrices(cua-
dradas)nxn.EntoncesAesinversiblesi,ysolosi,cadaAJ-esinversible.
Demostración.Sehavistoqueelproductodedosmatricesinversibles
esinversible.DelocualesfácildeducirquesicadaAJ-esinversibleentonces
Aesinversible.
SupóngaseahoraqueAesinversible.SedemostraráprimeroqueA,,es
inversible.SupóngasequeXesunamatnznx1yqueA,,X=0.Entonces
AX=(A1,___,A,,_¡)A,,X=0.ComoAesinversiblesedebetenerqueX=0.
ElsistemadeecuacionesA,,X=0notiene,pues,soluciónnotrivial,yasíA,,es
inversible.PeroahoraA,---A,,_1=AA,,_1esinversible.Porlodichoantes,
Ah-,esinversible.ContinuandoenestafonnaseconcluyequetodoAJ-esin-
versible_I
Quisiéramoshacerahorauncomentariofinalrespectoalasolucióndeecua-
cioneslineales.SupóngasequeAesunamatrizmxnyquedeseamosresolver
elsistemadeecuacionesAX=Y.SiResunamatrizescalónreducidaporfilas,
equivalenteporfilasaA,entoncesR=PA,dondePesunamatrizmxm
inversible.LassolucionesdelsistemaAX==Ysonexactamentelasmismas
quelassolucionesdelsistemaRX=PY(=Z)_Enlapráctica.noesmucho
másdificilhallarlamatrizPquereducirporfilasAaR.Enefecto,supóngase
queseformalamatrizaumentadaA'delsistemaAX=Y,conescalaresarbi-
trariosy1,___,y,,,ensuúltimacolumna.SientoncesseefectúasobreA'una
sucesióndeoperacioneselementalesdefilaquellevedeAaR,sehabráacla-
radoquéeslamatrizP.(EllectordeberáremitirsealEjemplo9,_dondesellevó
adelanteesencialmenteesteproceso.)EnparticularsiAesunamatrizcuadrada
esteprocesodejaenclarocuándoAesonoinversible,ysiAesinversiblecuál
eslainversaP.Comoyasehadadolaparteprincipaldeunejemplodetalcálcu-
lo,solosedaráahoraunejemplode2x2.
Ejemplo15.SupóngasequeFeselcuerpodelosnúmerosracionalesy
A-tf*ii
Así
[2-1y1il_tIì)›[13y2]_(ï)_›[l3 yg
1 3ji/2 2-1 y1 0_7 2/1-22/2
[13yr 04<y_+sy_›]
01'1r(22/2-3/1) 01'1r(22/2_2/1)

38. lim|i'|um'.\l|m'itlt'\ 25
deloqueresultaclaroqueAesinversibley
_¬_[_
Puedeparecerengorrososegtiirescribiendolosescalaresarbitrariosy1,
ig.___eiielcálculodelasinversas.Algunosencuentranmásfácilproceder
iondossucesionesdematrices,unaquedescribalareduccióndeAalaidenti-
dad.yotraqueregistreelefectodelamismasucesióndeoperacionespartiendo
delaidentidad.Ellectorjuzgaráporsímismocuáleslaformaqueleresulta
mascómodaparacontabilizarloscálculos.
-Il--'tw-tw-1-
lajcinplo16.Hallarlainversade
A=lSi
-- 10
--- 0 1
--- 0 0
-- 0
rle_ _- 1
rie_- __ 0
-- 0
rle' _" 1
l©<:,_.|l©©._.lQQ›-iQ©i-ø©©i-irm-«un-it-I
@,..4¡¢¡..Qi-ini-I©:l"'tci--NHi››-»cm-fui-I
ir-¿__›-__
¡-i©@¡-i©@l-Il-¡cm-1wi-noitcjwi-lun-i›››-wi-I
__|'ií||iï||||""_|w›-un-l-I
|-
cåggGäi-Icali-im--t-Icm-im-Ii-Iñuwhlwu
UH-iiht-*wi-I

i-tb-I00@ON gg@O8OOOHOOHOOHOO
iáïï -1
-- 0
- 12
30-180
_ _ 60_
192-
-180180
0 -36
1 -36 -
0 _
Ellectorsehabrápercatadoquesehahechounlargoestudiosobrelasfilas
deunamatrizynosehadichocasinadadelascolumnas.Sehaconcentrado
laatenciónenlasfilasporparecerellomásnaturaldesdeelpuntodevistade
lasecuacioneslineales.Dadoque,obviamente,nohayningúnprivilegiocon
respectoalasfilas,lotratadoenlaúltimasecciónpudohabersehechousando
columnasenvezdefilas.Sisedefineunaoperaciónelementaldecolumnay
equivalenciaporcolumna,esclaroquetodamatrizmxnseráequivalente

39. 26 Al_eehmlineal
porcolumnasaunamatriz«escalónreducidaporcolumnas».Asícadaopera-
ciónelementaldecolumnaserádelaformaA-›AE,dondeEesunamatriz
elementalnxn,yasísucesivamente.
Ejercicios
1.Sea
1210
A= -1 035-
1-211
HallarunamatrizescalónreducidaporfilasRqueseaequivalenteaA,yunamatrizin-
versible3x3,P,talqueR=PA.
2.RepetirelEjerciciol,perocon
20 i
A=1-3-i-
i 11
3.Paracadaunadelasdosmatrices
2 5-1 1-1 2
4-1 2› 3 2 4
6 4 1 0 1-2
emplearoperacioneselementalesdefilaparadetenninarcuándoesinversibleyencon-
trarlainversaencasoquelosea.
4.Sea
500
A=150-
015
¿ParaquéXexisteunescalarctalqueAX=cX?
A=Ii
esinversibleyhallarA"siexiste.
5.Determinarsi
OOO'-^OOIOIOOCJOQOQOthu-Ft-Bi-P
6.SupóngasequeAesunamatriz2x1yqueBesunamatriz1x2.Demostrarque
C=ABnoesinversible.
7.SeaAunamatriz(cuadrada)nxn.Demostrarlassiguientesdosafirmaciones:
(a)SiAesinversibleyAB=0paraalgunamatriznxn,B,entoncesB=0.
(b)SiAnoesinversible,entoncesexisteunamatriznxn,B,talqueAB=0,
peroB9€0.

40. l'.`i'mnlum'.\'llm't|li'.\' 27
tt.Sea
ab
A_[c(lil.
I›emostrar_usandooperacioneselementalesdefila,queAesinversiblesi,ysolosi,
llul-_hf)=',¿
0.Unamatriznxn,A,sellamatriangularsuperiorsiA¡¡=0parai>j;estoes.si
todoelementopordebajodeladiagonalprincipales0.Demostrarqueunamatriz(cua-
drada)triangularsuperioresinversiblesi,ysolosi,cadaelementodesudiagonalprincipal
esdiferentede0.
lll.DemostrarlasiguientegeneralizacióndelEjercicio6.SiAesunamatrizmxn,B
esunamatriznxmyn<m,entoncesABnoesinversible.
Il.SeaAunamatrizmxn.Hacerverquepormediodeunnúmerofinitodeoperacio-
neselementalesdefilay/odecolumnasepuedepasardeAalamatrizRqueessimultá-
neamente«escalónreducidaporfilas»y«escalónreducidaporcolumnas››;esdecir,RU-=0
sii9€j,R,-¡=l,l§i5r,Rü=0sii>r.DemostrarqueR=PAQ,dondePesuna
iiiatrizinversiblemxmyQesunamatrizinversiblenxn.
l2.ElresultadodelEjemplo16sugierequetalvezlamatriz
1 1
1
2 n
11 _1__
A:2 3 n-I-1
1___1 ____1
2n-1nn-I-1
esinversibleyA"tieneelementosenteros.¿Sepuededemostraresto?

41. 2.Espaciosvectoriales
2.1_Espaciosvectoriales
Envariaspartesdelamatemáticasepresentanconjuntosdondetienesentido
yresultainteresanteconsiderarlas«combinacioneslineales»deloselementos
dedichosconjuntos.Porejemplo,enlossistemasdeecuacioneslineales,se
encontrónaturalelconsiderarcombinacioneslinealesdelasfilasdeunamatriz.
Esprobablequeellectoryahayaestudiadocálculoyhayatenidoquevercon
combinacioneslinealesdefunciones;sobretodosihaestudiadoecuaciones
diferenciales.Talvezellectorhayatenidoexperienciaconvectoreseneles-
pacioeuclidianotridimensional,yenparticularconcombinacioneslineales
detalesvectores.
Hablandoenformasimple,elálgebralinealesaquellaramadelamatemáti-
caquetratadelaspropiedadescomunesdelossistemasalgebraicos,queconstan
deunconjuntomásunanociónrazonablede«combinaciónlineal»delosele-
mentosdelconjunto.Enestasecciónsedefiniránlosobjetosmatemáticosque
laexperienciahamostradoserlasmásútilesabstraccionesdeestetipodesis-
temas_a1gebraicos_
Definición.Unespaciovectorial(oespaciolineal)constadelosiguiente:
1.uncuerpoFdeescalares;
2.unconjuntoVdeobjetosllamadosvectores;
3.unaregla(uoperación)llamadaadición,queasociaacadapardevecto-
resot,lideVunvectorot+lideV,quesellamasumadeotyIi,detalmodoque:
(a)laadiciónesconmutativa,oz+[3=[3+ot;
(b)laadiciónesasociativa,ot+([3+'y)=(ot+Ii)+y;
28

42. l"\'poem.svectoriales
(c)e.ri_\-leunúnicovector0deV,llamadovectornulo,talqueoc+0=oc,
paratodoot(lcV;
(d)purocadavectorotdeV,existeunúnicovector-otdeV,talque
I.i(_OC)=0;
4.unaregla(uoperación),llamadamultiplicaciónescalar,queasociaacada
escolarcdeFycadavectorotdeVaunvectorconenV,llamadoproductodecy
1.detalmodoque:
(a)lot=otparatodoozdeV;
(b)(c1cz)oc=c,(czot);
(c)c(ot+Ii)=ca+cfi;
(d)(c,+cz)ot=clon+czot_
Esimportanteobservar,comoladefiniciónestablece,queunespaciovec-
iorialesunobjetocompuestoqueconstadeuncuerpo,deunconjuntode«vecto-
res»ydedosoperacionesconciertaspropiedadesespeciales.Elmismocon-
juntodevectorespuedeserpartededistintosespaciosvectoriales(véaseEjem-
plo5,másadelante).Cuandonohayposibilidaddeconfusión,seharárefe-
renciasimplementealespaciovectorialV,ycuandosedeseeespecificarelcuerpo,
sediráqueVesunespaciovectorialsobreelcuerpoF.Elnombre«vector››se
daaloselementosdelconjuntoVmásbienporconveniencia.Elorigendel
nombreseencontraráenelEjemplol,peronosedebedarmuchaimportancia
alnombremismo,yaquelavariedaddeobjetosquepuedenservectoresenV
puedenoparecersegrancosaaalgúnconceptodevectorqueellectoryatenga.
Setratarádeilustrarestavariedadenunaseriedeejerciciosqueseráampliada
considerablementecuandosecomienceelestudiosistemáticodelosespacios
vectoriales.
Ejemplo1.Elespacioden-tuples,F'_SeaFcualquiercuerpoyseaVel
conjuntodetodoslosn-tuplesot=(xz,xz,___,x,,)deescalaresx,deF.Si
/l=(yl,yz,___,y,,)cony,-deF,lasumadeotyBsedefinepor
(2-1) a+B=(rvi+y1,:v2+z/2,-..,a:..+z/__).
Elproductodeunescalarcyelvectorotsedefinepor
(2-2) ca=(cxl,c:i:2,___,c:z:,,).
Queestaadiciónvectorialymultiplicaciónescalarcumplenlascondiciones
(3)y(4)esfácildeverificar,usandolaspropiedadessemejantesdelaadición
ymultiplicacióndeloselementosdeF.
Ejemplo2.Elespaciodematricesmxn,F""”'_SeaFcualquiercuerpo
yseanmynenterospositivos.SeaF"'“"elconjuntodetodaslasmatrices
mxnsobreelcuerpoF.LasumadedosvectoresAyBenF'"'*"sedefinepor
(2“3) (A+B).-r=Air+Be'-

43. JO /IÍgvhrclÍ|m°(|Í
ElproductodeunescalarcydelamatrizAsedefinepor
(CA)¡¡=CA.¡¡°.
ObsérvesequeF1*"=F”.
Ejemplo3.Elespaciodefuncionesdeunconjuntoenuncuerpo.SeaFcual-
quiercuerpoyseaScualquierconjuntonovacío.SeaVelconjuntodetodas
lasfuncionesdeSenF.LasumadedosvectoresfygdeVeselvectorf+g;
esdecir,lafuncióndeSenFdefinidapor
(2-5) (f+9)($)=f(S)+11(8).
Elproductodelescalarcylafunciónfeslafuncióncfdefinidapor
(2-6) (Cf)(S)=¢f(S)-
Losejemplosanterioressonuncasoparticular'deesteúltimo.Enefecto,un
n-tupledeelementosdeFpuedeconsiderarsecomounafuncióndelconjunto
Sdelosenteros1,___,ndeF.Enformaanáloga,unamatrizmxnsobreel
cuerpoFesunafuncióndelconjuntoSdelosparesdeenteros(i,j),15i-3m,
15j5n,enelcuerpoF.Paraestetercerejemploseindicacómosepuede
verificarquelasoperacionesdefinidassatisfacenlascondiciones(3)y(4).Para
laadiciónvectorial:
(a)ComolaadiciónenFesconmutativa,
f(s)+11(8)=11(8)+f(S)
paratodosdeS,luegolasfuncionesf+gyg+fsonidénticas.
(b)ComolaadiciónenFesasociativa,
¡(8)+[¶(8)+11(8)]=[f(s)+a(S)]+h(S)
paratodos,luegof+(g+h)eslamismafunciónque(f+g)+h,
(c)Elúnicovectornuloeslafuncióncero,queasignaacadaelemento
deSelescalar0deF.
(d)ParatodofdeV,(~f)eslafuncióndadapor
(-f)(S)=-f(S)-
Ellectorencontraráfácilverificarquelamultiplicaciónescalarsatisface
lascondicionesde(4),razonandocomosehizoparalaadiciónvectorial.
Ejemplo4.ElespaciodelasfuncionespolinomiossobreelcuerpoF.Sea
FuncuerpoyseaVelconjuntodetodaslasfuncionesfdeFenFdefinidas
enlaforma
(2-7) f(-v)=co+ca+~--+ca”
dondeco,c¡,___,c,,sonescalaresfijosdeF(independientedex).Unafunción
deestetiposellamafunciónpolinomiosobreF.Seanlaadiciónylamultipli-
caciónescalardefinidascomoenelEjemplo3.Sedebeobservarquesifyg

44. l:lv¡›¢:«'|'«›5m'¢'lnr|ul¢-.s .ÍI
sonfuncionespolinomiosycestáenF,entoncesƒ+gycfsontambiénfun-
cionespolinomios.
Ejemplo5.ElcuerpoCdelosnúmeroscomplejospuedeconsiderarse
comounespaciovectorialsobreelcuerpoRdelosnúmerosreales.Enforma
másgeneral,seaFelcuerpodelosnúmerosrealesyseaVelconjuntodelos
n-tuplesa=(xl,__.,x,,),dondex,,___,x,,sonnúmeroscomplejos.Sedefine
laadiciónvectorialylamultiplicaciónescalarpor(2-l)y(2-2),comoenel
lfiemplo1.DeestemodoseobtieneunespaciovectorialsobreelcuerpoRque
esmuydiferentedelespacioC"ydelespacioR".
I-layunospocoshechossimplesquesedesprenden,casiinmediatamente,
deladefinicióndeespaciovectorial,yprocederemosaderivarlos.Sicesun
escalary0eselvectornulo,entoncespor3(c)y4(c)
cO=c(0+0)=c0+cO_
Sumando-(c0)ypor3(d),seobtiene
(2-8) c0=0.
Análogamente,paraelescalar0ycualquiervectorofsetieneque
(2-9) 0a=0.
icesunescalarnonuloyozunvectortalqueca=0.entoncespor(2-8),
"(c<x)=0.PeroQC/1
c_1(ca)=(c`1c)a=la=a
luego,of=0.Asisevequesicesunescalaryofunvectortalqueca=0,en-
toncesceselescalarcerooozeselvectornulo.
SiofescualquiervectordeV,entonces
0=0a== (1-1)a= la-I-(-1)a=a-I-(-1)a
deloquesesigueque
(2-10) (-l)a=-a.
Finalmente,laspropiedadesasociativayconmutativadelaadiciónvectorial
implicanquelasumadevariosvectoresesindependientedecómosecombinen
estosvectoresydecómoseasocien_Porejemplo,sia1,az,a3,a4sonvectores
deV,entonces i
(011.+012)+(Ga+U4)=[012+(011+013)]+014
ytalsumapuedeserescrita,sinconfusión,
0l1+0¿2+0la+0fl4-
Definición.UnvectorBdeVsedicecombinaciónlinealdelosvectores
oq,__,a,,en-V,siexistenescalarescl,___,c,,deFtalesque
n
B=010114--I-Onda=É0:01-
1-1
\

45. 32 /IIgr-liralmcul
Otrasextensionesdelapropiedadasociativadelaadiciónvectorialylas
propiedadesdistributivas4(c)y4(d)delamultiplicaciónescalarseaplican
alascombinacioneslineales:
_3ilCia;+_åldia:=_å1(Ci+d¡)0l¡
fl fl
C20101;'=2(00ì')0l¢-
¡-1 ¿-1
Ciertaspartesdelálgebralinealestáníntimamenterelacionadasconla
geometría.Lamismapalabra«espacio››sugierealgogeométrico,comolohace
elvocablo«vector››paramuchos.Cuandoseavanceenelestudiodeloses-
paciosvectoriales,ellectorobservaráquemuchadelaterminologíatieneuna
connotacióngeométrica.Paraconcluirestasecciónintroductoriasobreespacios
vectoriales,seconsiderarálarelacióndelosespaciosvectorialesconlageo-
metría,hastaungradoqueindicaráalmenoselorigendelnombre«espacio
vectorial».Esteseráunbreveanálisisintuitivo.
ConsidéreseelespaciovectorialR3.Engeometríaanalíticaseidentifican
lastemas(xl,xz,x3)denúmerosrealesconlospuntosdelespacioeuclidiano
tridimensional.Entalcontexto,unvectorsesueledefinircomounsegmento
dirigidoPQ,delpuntoPdelespacioaotropuntoQ.Elloequivaleaunaformu-
lacióncuidadosadelaideade«fiecha››dePaQ.Talcomosonusadoslosvec-
tores,sehatenidoenmentequequedendefinidosporsulongitudydirección.
Así,sedebenidentificardossegmentosdirigidossitienenlamismalongitud
ylamismadirección.
ElsegmentodirigidoPQ,delpuntoP=(xl,xz,x3)alpuntoQ=(yz,
yz,yz),tienelamismalongitudydirecciónqueelsegmentodirigidodelorigen
0=(0,0,0)alpunto(y,-xl,yz-xz,y3-x¿,).Además,esteeselúnico
segmentoquepartiendodelorigentienelamismalongitudydirecciónque
PQ.Conloque,siseconvieneenoperarsoloconvectoresaplicadosalorigen,
hayexactamenteunvectgrasozciadoconcadalongitudydireccióndadas.
ElvectorOP,delorigenaP=(xl,xz,x¿,)estácompletamentedetermi-
nadoporP,yesporelloposibleidentificarestevectorconelpuntoP.Enla
definicióndelespaciovectorialR3,losvectoressedefinensimplementecomo
lasternas(xl,xz,xz).
DadoslospuntosP=(xl,xz,x¿,)yQ=(yz,yz,yz),ladefinicióndesuma
delosvectoresOPyOQpuedehacersegeométricamente.Silosvectoresno
sonparalelos,entonceslossegmentosOPyOQdeterminanunplanoyestos
segmentossondosdelosladosdeunparalelogramoenaquelplano(véase
Figura1).Ladiagonaldeesteparalelogramo,quevade0alpuntoS,define
lasumadeOPyOQcomoelvectorOS.LascoordenadasdelpuntoSson
(xl+y,,xz+yz,x3.+yz),conloqueestadefinicióngeométricadelaadi-
ciónvectorialesequivalentealadefiniciónalgebraicadelEjemplo1.
Lamultiplicaciónescalartieneunainterpretacióngeométricasimple.Si
cesunnúmeroreal,entonceselproductodecporelvectorOPeselvector
quepartedelorigendelongitud|c|veceslalongituddeOPydirecciónquecoin-

46. I'\[Im“h›.\I'i'i'h›rmÍ¢'.\' .U
SIX;+yr.X2+yz.X3+ys)
// \
/'
Q(Y1-Y2-Ya)X Pixiixzixa)
,0_, _,
FIGURAl
cideconladeOPsic>0,yqueesopuestaaladireccióndeOPsic<0.Esta
multiplicaciónescalardajustamenteelvectorOTdondeT=(cxz,cxz,cxz),
yes,portanto,compatibleconladefiniciónalgebraicadadaenR3.
Devezencuandoellectorencontraráprobablementeprovechoso«pensar
geométricamente»enespaciosvectoriales,esoes,trazargráficosqueloayuden
riilustrarymotivaralgunadelasideas.Ciertamente,deberáhacerlo.Sinem-
bargo,alhacertalesilustraciones,debetenersepresenteque,portratarlos
espaciosvectorialescomosistemasalgebraicos,todaslasdemostracionesque
hagandebenserdenaturalezaalgebraica.
Ejercicios
I.SiF`esuncuerpo,verificarqueF"(comosedefinióenelEjemplol)esunespaciovec-
torialsobreelcuerpoF.
2.SiVesunespaciovectorialsobreelcuerpoF,verificarque
(01+012)+`(as+014)=[012+(Ola+01)]+014
paratodoslosvectoresa1,az,azy0:4deV.
3.SiCeselcuerpodeloscomplejos,¿quévectoresdeC3soncombinacioneslinealesde
(l,0,-1),(0,1,1)y(1,l,1)?
4.SeaVelconjuntodelospares(x,y)denúmerosreales.yseaFelcuerpodelosnú-
merosreales.Sedefine
(fv,y)+(wi.yr)=tw+211.1/+yt)
¢(=v,z/)=(cx.:1)-
¿EsV,conestasoperaciones,unespaciovectorialsobreelcuerpodelosnúmerosreales?

47. 34 /Ilg¢'lu'ulimwl
5.EnR"sedefinendosoperaciones
«®6=«-5
c-a=-ca.
Lasoperacionesdelsegundomiembrosonlasusuales.¿Quéaxiomasdeespaciovectorial
secumplenpara(R",GB,-)?
6.SeaVelconjuntodetodaslasfuncionesquetienenvalorcomplejosobreelejereal,
talesque(paratodotdeR)
f(-i)=TÚ)-
Labarraindicaconjugacióncompleja.DemostrarqueV.conlasoperaciones
(f+9)(¢)=f(i)+9(¢)
(fif)(1)=¢f(¢)
esunespaciovectorialsobreelcuerpodelosnúmerosreales.Darunejemplodeunafun-
ciónenVquenotomavaloresreales.
7.SeaVelconjuntodepares(x,y)denúmerosrealesyseaFelcuerpodelosnúmeros
reales.Sedefine
(xrÍ/)+(xl:yl)=(x+xl:
c(x݃l)=(ext0)-
¿EsV,conestasoperaciones,unespaciovectorial?
2.2.Subespacios
Enestasecciónseintroduciránalgunosdelosconceptosbásicoseneles-
tudiodelosespaciosvectoriales.
Definición.SeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoF.Unsubespacio
deVesunsubconjuntoWdeVque,conlasoperacionesdeadiciónvectorialy
multiplicaciónescalarsobreV,eselmismounespaciovectorialsobreF_
Unacomprobacióndirectadelosaxiomasparaunespaciovectorial,de-
muestraqueelsubconjuntoWdeVesunsubespaciosi,paratodoslosoty/3
deW,elvectora+BestátambiénenW;elvector0estáenW;paratodoa
deW,elvector(-ot)estáenW;paratodootdeWytodoescalarc,elvectorca
estáenW.Laconmutatividadyasociatividaddelaadiciónvectorialylaspro-
piedades(4)(a),(b),(c)y(d)delamultiplicaciónescalarnonecesitansercom-
probadas,yaqueéstassonpropiedadesdelasoperacionesenV.Sepueden
simplificaraúnmáslascosas.
Teorema1.UnsubconjuntonovacioWdeVesunsubespaciodeVsi,y
solosi,paratodopardevectoresot,BdeWytodoescalarcdeF,elvectorca+B
estáenW.
Demostración.SupóngasequeWseaunsubconjuntonovacíodeVtal

48. Iuptn'mst'¢'¢'t¢›rlaI:'.s' 35
qm-«fx+/lpertenezcaaWparatodoslosvectoresot,BdeWytodoslosesca-
lmvsrdcI-'_ComoWnoesvacio,existeunvectorpenW,y,portanto,(-1)p+
,›UestáenW.Ahorabien,siotescualquiervectordeWyccualquierescalar,
rlvectorca=ca+0estáenW.Enparticular,(-l)a=-otestáenW.Final-
mcmc,sioty[3estánenW,entoncesot+B=loz+[3estáenW.Así,Wesun
'illlicspalciødeV.
Recíprocamente,siWesunsubespaciodeV,ozyBestánenWycesunes-
mlm,ciertamenteca+BestáenW.I
Algunosprefierenusarlapropiedadca+BdelTeorema1comodefini-
rumdeunsubespacio,loqueesapenasdiferente.Loimportanteesque,siWes
unsubconjuntonovacíodeVtalquecon+BestáenWparatodoslosot,Bde
IIytodocdeF,entoncesW(conlasoperacionesheredadasdeV)seaunes-
¡mciovectorial.Estodalugaramuchosnuevosejemplosdeespaciosvectoriales.
lijemplo6.
(a)SiVescualquierespaciovectorial,VesunsubespaciodeV;elsub-
toujuntoqueconstasolodelvectornuloesunsubespaciovectorialdeV,lla-
madosubespacionulodeV*.
(b)EnF",elconjuntodelosn-tuples(xl,___,x,,)conxl=0esunsub-
espacio,peroelconjuntodelosn-tuplesconx,=l+xznoesunsubespa-
uo(n22).
(c)ElespaciodelasfuncionespolinomiossobreelcuerpoFesunsubes-
paciodelespaciodetodaslasfuncionesdeFenF.
td)Unamatriz(cuadrada)nxn,sobreelcuerpoFessimétricasiAU-=A¡¡
paratodoiyj.Lasmatricessimétricasformanunsubespaciodelespaciode
lasmatricesnxnsobreF.
(e)Unamatriz(cuadrada)nxn,A,sobreelcuerpoCdelosnúmeros
complejoseshennítica(oautoadjtmta)si
Afg=
paratodoj,k,dondelabarraindicaconjugacióncompleja.Unamatriz2x2
eshermítieasi,ysolosi,tienelaforma
[z x-I-'iyïl
x--iy,w
dondex,y,zywsonnúmerosreales.Elconjuntodetodaslasmatriceshermí-
ticasnoesunsubespaciodelespaciodetodaslasmatricesnxnsobreC.En
efecto,siAeshermítiea,suselementosenladiagonalAn,Azz,___,sonnú-
merosreales,peroloselementosdiagonalesdeiA,engeneral,nosonreales.
Porotrolado,esfácilverqueelconjuntodelasmatriceshermíticasnxnes
unespaciovectorialsobreelcuerpodelosnúmerosreales(conlasoperaciones
usuales).
"'Notadeltraductor:EstossubespaciossellamancomúnmentelossubespaciostrivialesdeV.

49. 30 AI_r'cl›rulincul
Ejemplo7.Elespaciosolucióndeunsistemahomogéneodeecuaciones
lineales.SeaAunamatrizmxnsobreF.Entonceselconjuntodetodaslas
matrices(columna)nx1,X,sobreFtalqueAX=0esunsubespaciodel
espaciodetodaslasmatricesnx1sobreF.Parademostrarestosenecesita
probarqueA(cX+Y)=0siAX=0,AY=0ycunescalararbitrariodeF.
Estosedesprendeinmediatamentedelsiguientehechogeneral.
Lema.SiAesunamatrizmxnsobreF,yB,Csonmatricesnxpso-
breF,entonces
(2-11) AMB+C)=d(AB›+AC
paratodoescalarddeF_
Demostración.[A(dB+C)],-,-=ÉA,-¡.(dB+C);,,-
=É(dÁ¡t=B¡¢¡+África,-)
=dÉÁa=Bt=¡+EÁ¢iCi,'
k
=d(AB)='¡+(ÁC)='¡
=[d(AB)+Ácler-I
Enformasemejantesepuedeverque(dB+C)A=dtBA)+CA,silasuma
yelproductodelasmatricesestándefinidos.
Teorema2,SeaVunespaciovectorialsobreclcuerpoF_Laintersección
decualquiercoleccióndesubespaciosdeVesunsubespaciodcV.
Demostración.Sea{W,,}unacoleccióndesubespaciosdeV,yseaW=
QWasuintersección.RecuérdesequeWestádefinidocomoelconjuntode
todosloselementospertenecientesacadaWa(véaseApéndice).Dadoque
todoWaesunsubespacio,cadaunocontieneelvectornulo.Asíqueelvector
nuloestáenlaintersecciónW,yWnoesvacío.Sean-rxy/3vectoresdeWysea
cunescalar.PordefinicióndeWambos,otyB,pertenecenacadaWa,yporser
cadaWuunsubespacioelvector(ca+/›')estáencadaWa.Así(ccx+B)está
tambiénenW.PorelTeorema1,WesunsubespaciodeV.I
DelTeorema2sededucequesiSescualquiercoleccióndevectoresdeV,
entoncesexisteunsubespaciomínimodeVquecontieneaS;estoes,unsub-
espacioquecontieneaSyqueestácontenidoencadaunodelosotrossubespa-
ciosquecontienenaS.
Definición.SeaSunconjuntodevectoresdeunespaciocectorialV.Elsub-
espaciogeneradoporSsedefinecomointersecciónWdetodoslossubespacios
deVquecontienenaS.CuandoSesunconjuntofinitoderectores,S={ot1,
az,___,ot,,}sedicesimplementequeWeselsubespaciogeneradoporlosvectores
oq,otz, ocn.

50. I\¡›m-tmt'¢'ctot'tale.\' 37
Teorema3.El.s'ul›e.s-paciogeneradoporunsubconjuntoSnovacíodeun
«-\¡›a«-iovectorialVeselconjuntodetodaslascombinacioneslinealesdelosvec-
lurt'.\'tlt'S.
Demostración.SeaWelsubespaciogeneradoporS.Entoncestodacom-
|›||i.ICiÓnlineal
0fi=íl71¢11+í¡72¢12+"'+37m0¢m
«lcvectoresal,az,___,oz,,,deSperteneceevidentementeaW.AsíqueWcon-
tieneelconjuntoLdetodaslascombinacioneslinealesdevectoresdeS.El
ionjuntoL,porotraparte,contieneaSynoes,pues,vacío.Siot,Bpertene-
.-cnriL,entoncesozesunacombinaciónlineal,
01=3710f1†íl720f2+ +25mO¢m
«lcvectoresoz,deS,yBesunacombinaciónlineal,
6= "°+ynBn
«lcvectoresBJ-enS.Paracadaescalarc,
00!+fl=šl(0ïl7=')¢1¡+ålZlƒfii-
I- J"
Iuegoca+/3perteneceaL.ConloqueLesunsubespaciodeV.
SehademostradoqueLesunsubespaciodeVquecontieneaS.ytambién
quetodosubespacioquecontieneaScontieneaL.SesiguequeLeslainter-
seccióndetodoslossubespaciosquecontienenaS;esdecir.queLeselsub-
espaciogeneradoporelconjuntoS.I
Definición.SiS1,Sz,___,SksonsubconjuntosdeunespaciovectorialV,
clconjuntodetodaslassumas
a1+a2+°°'+a|¿
«lerectoresot,deS,sellamasumadelossubconjuntosS1,Sz,___,Skyserepre-
it-utapor __
S1+S2+...+Sk
opor
tr
E SE;
¡=1
SiWz,Wz, W,,sonsubespaciosdeV,entonceslasuma
W=Wr+W»+ +W›.
comoesfácilver,esunsubespaciodeVquecontienecadaunodelossubes-
paciosW¡.Deestosesigue,comoenlademostracióndelTeorema3,queW
eselsubespaciogeneradoporlaunióndeWz,Wz,___,W,,.

51. 38 Algebralineal
Ejemplo8.SeaFunsubcuerpodelcuerpoCdelosnúmeroscomplejos.
Supóngaseque
263?PP.”..°."*..°..°..*'.E^°;-,es
(21=
ag=
¢l3=
PorelTeorema3,unvectorotestáenelsubespacioWdeF5generadoporal,
az,azsi,ysolosi,existenescalarescz,cz,czenF,talesque
0=C101+C202+Cada-
Así,Wconstadetodoslosvectoresdelaforma
a=(cl)261902;361+462;
dondecz,cz,czsonescalaresarbitrariosdeF.Enformaalternativa,Wpuede
serescritocomoelconjuntodetodoslos5-tuples
Of=($1,252,253,254,235)
conx,enF,talque
21:=2271
174=331+427:-
Así(-3,-6,1,-5,2)estáenW,mientrasque(2,4,6,7,8)no.
Ejemplo9.SeaFunsubcuerpodelcuerpodelosnúmeroscomplejos,
yseaVelespaciovectorialdetodaslasmatrices2x2sobreF.SeaW1elsub-
conjuntodeVqueconstadetodaslasmatricesdelaforma
rifz0
dondex,y,zsonescalaresarbitrariosdeF.Porúltimo,seaWzelsubconjunto
deVqueconstadetodaslasmatricesdelaforma
_ [3Z] '
dondexeysonescalaresarbitrariosdeF.EntoncesW,yWzsonsubespacios
deV.También
V=Wi+Wz
ab ab 00
[Cdj"[C0]"`[0dj'
ElsubespacioW1HWzconstadetodaslasmatricesdelaforma
[at0]_
00
porque

52. l¡.\¡›m^tusmwtorlalrs 39
I-`.jemplo10.SeaAunamatrizmxnsobreelcuerpoF.Losvectoresfila
tlf-1sonlosvectoresdeF'dadosporot,=(An,___,A¡,,),i-~=1,___,m.El
mln-spaciodeP'generadoporlosvectoresfilasellamaelespaciodefilasdeA.
l-lsubespacioconsideradoenelEjemplo8eselespaciodefilasdelamatriz
12030
A=00l40-
00001
l-.tambiénelespaciodefilasdelamatriz
›l=-OOH
OON
i-OI-O
Om-oo
OI-OO
B=
--3-3
I-Íjemploll.SeaVelespaciodetodaslasfuncionespolinomiossobreF.
Si-tuSelsubconjuntodeVqueconstadelasfuncionespolinomiosfo,fl,fz,___
tlrliriidopor
ƒ,,(x)=:c",n=O,1,2,....
IutoncesVeselsubespaciogeneradoporelconjuntoS.
l;'¡'erciei0s
I.¿Cuálesdelossiguientesconjuntosdevectoresot=(a,,___,a,,)deR”sonsubespa-
tlns'dCR"(fl23)?
tu)todoslosottalquea,20;
th)todoslosottalquea,+3az=az;
tc)todoslosottalqueaz=az;
(d)todoslosottalqueazaz=0;
te)todoslosottalqueazesracional.
2.SeaVelespaciovectorial(real)detodaslasfuncionesfdeRenR.¿Cuáldelossi-
guientesconjuntosdefuncionessonsubespaciosdeV?
(a)todaslasftalesquef(x2)=f(x)2;
tb)todaslasftalesquef(0)=f(l);
(c)todaslasftalesquef(3)=l+f(-5);
td)todaslasftalesquef(-l)=0;
(e)todaslasfquesoncontinuas.
I.¿Perteneceelvector(3,-l,0,-1)alsubespaciodeR5generadoporrosvectores
t.'_-1,3,2),(-1,1,1,-3)y(1,1,9,-5)?
-I.SeaWelconjuntodetodoslos(xz,xz,xz,x4,x5)deR5quesatisfacen
21:1-x2+§-:z:¡--x4 =0
271 +šílïa _”$5=0
I 9x1-32:2+62:;-31:4-3x;=0.
I-ncontrarunconjuntofinitodevectoresquegeneraW.

53. 40 AIgchralineal
5.SeanFuncuerpoynunenteropositivo(n22).SeaVelespaciovectorialdetodas
lasmatricesnxnsobreF.¡CuálesdelossiguientesconjuntosdematricesAdeVson
subespaciosdeV?
(a)todaslasAinversibles;
(b)todaslasAnoinversibles;
(c)todaslasAparalasqueAB=BA.dondeBesciertamatrizdadadeV;
(d)todaslasAparalasqueA2=A.
6.(a)DemostrarquelosúnicossubespaciosdeR'sonR1yelsubespacionulo.
(b)DemostrarqueunsubespaciodeR2esR20elsubespacionulooconstadetodos
losmúltiplosescalaresdealgúnvectorfijodeR2.(Elúltimotipodesubespacioes,intuiti-
vamente,unarectaporelorigen.)
(c)¿PuedeusteddescribirlossubespaciosdeR3?
7.SeanW,yWzsubespaciosdeunespaciovectorialVtalquelauniónconjuntistade
W,yWzseatambiénunsubespacio.Demostrarqueunodelosespaciosl/V,estácontenido
enelotro.
8.SeaVelespaciovectorialdetodaslasfuncionesdeRenR;seaVPelsubconjuntode
lasfuncionespares,f(~x)=f(x);seaV,elsubconjuntodelasfuncionesimpares,
f(-X)=-f(X)-
(a)DemostrarqueVP onsubespaciosdeV.
(b)DemostrarqueVP =V.
Demostrarque =
'BD-l"<_.=:_t<:<
Í/1
Í2(c) V
9.SeaW,yWzsubespaciosdeunespaciovectorialVtalesqueW,+Wz=Vy
W,HWz={0}.DemostrarqueparatodovectorotdeVexistenúnicosvectoresot,en
W,yotzenWztalesqueot=ot,+az.
OI
2.3.Basesydimension
Pasamos,ahora,alatareadedotardedimensiónaciertosespaciosvec-
toriales_Aunqueusualmenteasociamos«dimensión››conalgogeométrico,
debemosencontrarunadefiniciónalgebraicaapropiadaparaladimensiónde
unespaciovectorial.Estoseharámedianteelconceptodebasedeunespacio
vectorial.
Definición.SeaVunespaciovectorialsobreF.UnsubconjuntoSdeVse
dicelinealmentedependiente(osimplemente,dependiente)siexistenvectoresdistin-
tosoil,otz,___,ot,,deSyescalarescz,cz,___,c,,deF,notodosnulos,talesque
clotz+czotz+ +c,,ot,,=0.
Unconjuntoquenoeslinealmentedependientesedicelineahnenteindependiente.
SielconjuntoStienesolounnúmerofinitodevectoresaz,otz,___,ot,,sedice,
aveces,quelosaz,az,___,ot,sondependientes(oindependientes),envezdedecir
queSesdependiente(oindependiente).

54. lytucnn|'t't'tmtuli'\ 4/
0
lassiguientessonfácilesconsecuenciasdeladefinición.
I.Todoconjuntoquecontieneunconjuntolinealmentedependientees
lun-ulmentedependiente.
.2.Todosubconjuntodeunconjuntolinealmenteindependienteeslineal-
menteindependiente.
l.Todoconjuntoquecontieneelvector0eslinealmentedependiente;
tuelecto,l-0=0.
fl.UnconjuntoSdevectoreseslinealmenteindependientesi,ysolosi,
nulosubconjuntofinitodeSeslinealmenteindependiente;esdecir,si,ysolo
.iparavectoresdiferentescxl,___,ot"deS,arbitrariamenteelegidosclon,+---
|¢-,,ot,,=0implicaquetodoc¡=0.
Definición.SeaVunespaciovectorial.UnabasedeVesunconjuntode
utmreslinealmenteindependientedeVquegeneraelespacioV.ElespacioVes
.Itdimensiónfinitasitieneunabasefinita.
lìjemplo12.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos.EnF3los
\t't'l0I'€S
/¬/N/N/`.!°__“>_!'*$-°
N
xv
a1= -3)
ÍÍÃ -2)
1)
(X4:
sonlinealmentedependientes,pues
2¢11+20f2-0fs+0°0¢4=0.
Iosvectores
fl=(lt0:
52=(Oili0)
fa=(0,0,1)
mnlinealmenteindependientes.
Ejemplo13.SeaFuncuerpo,yenF"seaSelsubconjuntoqueconsta
delosvectoresez,ez,___,endefinidospor
/¬f-\.."'*.°PP
©©
\./\.v
€1=
al
e,,=(0,0,0,.._,l).
Seanx¡,xz,___,x,,escalaresdeF,yhágaseot=xzot,+xzaz+---+x,,a,,_
I-ntonces
a=(zh$2:°°-1$11)-
I-stomuestraquee,,___,engeneranF”.Comooz=0si,ysolosi,x,=xz=___=
\',,=0,losvectoresel,...,ensonlinealmenteindependientes.Elconjunto

55. 42 Algehrullm-ul
S={e1,___,e,,}es,portanto,unabasedeF".Estabaseparticularsellamará
basecanónìcadeF".
Ejemplo14.SeaPunamatriznxninversibleconelementosenelcuer-
poF_EntoncesP,,___,P,,,lascolumnasdeP,formanunabasedelespacio
delasmatricescolumnasF”1.Esoseverácomosigue.SiXesunamatrizco-
lumna,entonces
PX=2U1P1+"°+íCflP,¡. `
ComoPX:*tienesololasolucióntrivialX_=Q,sesigueque{P,,___,P,,}
esunconjuntolinealmenteindependiente.¿PorquégeneranF”1'?SeaYcual-
quiermatrizcolumna.SiX=P_1Y,entoncesY=PX,estoes
Y=x1P1+ °'°+xnPn-
Asi,{P1, P,,}esunabasedeF"“_
Ejemplo15.SeaAunamatrizmxnyseaSelespaciosolucióndelsis-
temahomogéneoAX=0(Ejemplo7).SeaRunamatrizescalónreducida
porfilasqueesequivalenteporfilasaA.EntoncesSestambiénelespacioso-
lucióndelsistemaRX=0.SiRtienerfilasnonulas,entonceselsistemade
ecuacionesRX=0simplementeexpresardelasincógnitasxz,___,x,,entér-
minosdelas(n-r)incógnitasxjrestantes.Supóngasequeloselementosprin-
cipales,nonulos,delasfilasnonulasestánenlascolumnaskz,___,k,_SeaJel
conjuntoconstituidoporlosn-ríndicesdiferentesdekz,___,k,:
J={1,_..,n}-{k1,___,k,}_
ElsistemaRX=0tienelaforma
¿Uh+šiC159-71=0
I O I
O I I
I . O
1Uk,+§0ffl›'=0
dondeloscü-sonciertosescalares.Todaslassolucionesseobtienenasignando
(arbitrariamente)valoresaaquellosxjconjenJycalculandoloscorrespon-
dientesvaloresdexz,,___,xz,.ParacadajdeJ,seaE¡lasoluciónobtenidaal
hacerxj=1yx,=0,paratodoslosotrosideJ.Seafirmaquelos(n-r)
vectoresE1-,conjenJ,formanunabaseparaelespaciosolución.
ComolamatrizcolumnaEjtieneunlenlafilajycerosenlasrestantes
filas,lasrazonesdadasenelEjemplo13permitenconcluirqueelconjunto
deestosvectoreseslinealmenteindependiente.Porestarazóneseespacioge-
neraelespaciosolución.SilamatrizcolumnaT,conelementost,,___,t,,,per-
tenecealespaciosolución,lamatriz
N=ÉGEJ
_:
pertenecetambiénalespaciosolución,yesunasolucióntalquex¡=tjpara
cadajdeJ.Lasoluciónconestapropiedadesúnica;luegoN=TyTperte-
neeealespaciogeneradoporlosvectoresE¡_

56. Il'tjnlrttøs'l't't'It›rltIlt'.\' 4,)
l-.jemplo16.Daremosahoraunejemplodeunabaseinfinita.SeaFun
ttuhcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaVelespaciodelasfuncionespoli-
uouuossobreF.SerecuerdaqueestasfuncionessonlasdeFenFquetienen
lulorma
Ño=w+wa+-~+wafl
Si-u/,,(x)==x*,k=0,l,2,___Elconjunto(infinito){_ƒ[,,fl,fz,__esunabase
«lvI".EsclaroqueelconjuntogeneraV,pueslafunciónfanteriores
ƒ=0qƒo+0›fi+ +0,-Ji..
lIlectorveráqueestoesvirtualmenteunarepeticióndeladefinicióndelafun-
ttonpolinomio,esdecir,unafuncióndeFenFesunafunciónpolinomiosi,
v-.olosi,existeunenteronyescalaresco,___,c,,t.alesquef=czfo+--°+
t,,/,,.¿Porquésonestasfuncionesindependientes?Demostrarqueelconjunto
I/,,,/`,,fz,___}esindependiente,eslomismoquedemostrarquetodosub-
toujuntofinitosuyoesindependiente.Bastaráentoncesdemostrarque,para
tutton.elconjunto{f0,___,f,,}esindependiente.Supóngaseque
c0ƒ0+ "'+c1\ƒn=0-
I-.todiceque
co+¢ir¢++c._:t:"=0
puratodoxdeF;enotraspalabras,cadaxdeFesraízdelpolinomiof(x)=
t.,+czx+'°°+c,,x".Sesuponequeellectorsabequeunpolinomiodegradon
roncoeficientescomplejospuedeteneralosumonraicesdistintas.Sesigue
que,c0=c1=---=c,,=0_
SehavistounabaseinfinitadeV.¿QuieredecirestoqueVnoesdedimen-
nonfinita?Enrealidad,esasí,peroellonosededucedeladefinición,porque
«letodoloquesesabeVpodríatenertambiénunabasefinita.Esaposibilidad
quedafácilmentedeseartada.(Seeliminaráengeneralenelsiguienteteorema.)
Supóngasequetenemosunnúmerofinitodefuncionespolinomiosgl,___,g,_
llatbráunamayorpotenciadexqueaparece(concoeficientenonulo)eng,(x),___,
_r›,(x)_Sitalpotenciaesk,esclaroqueÁ,¡(xl=x*"'nopertenecealsubes-
paciogeneradoporlosgl,___,g,_Asi,pues,Vnoesdedimensiónfinita.
Uncomentariofinalrespectoaesteejemplo.Unabaseinfinitanotiene
nadaquevercon«combinacioneslinealesinfinitas››_Ellectorquesientael
deseoirresistibledeintroducirseriesdepotencias `
šiGif'
tt-0
enesteejemplo,debeestudiarlocuidadosamentedenuevo.Siconellonose
lcaclaratodavía,debelimitarsuatención,deahoraenadelante,aespacios
dedimensiónfinita.
Teorema4.SeaVunespaciovectorialgeneradoporunconjuntofinitode
vectoresji1,flz,___,Bm.Entoncestodoconjuntoindependientedevectoresde
Vesfinitoynocontienemásdemelementos.

57. 44 .'Il_ucl›ralineal
Demostración.Parademostraresteteoremaessuficienteverquetodo
subconjuntoSdeVquecontienemásdemvectoreseslinealmentedependiente.
SeaSuntalconjunto.EnShayvectoresdiferentesal,az,___,ot",donden>m.
Comoliz,___,BmgeneranV,existenescalaresAU-enFtalesque
fll
Off=ÉÁfffif-
1`==l
Paracualesquieranescalaresxl,xz,___,x,,,setiene
fl
xlal+°°°+xnan=Exjdj
J--1
=š23;'25Árjfia
¡-1¿-1
=É_§(A.-,fea
1-1s-1
=É Át¡$')flt-
1 1
_ _ -7
¡_ ¡=-
Comon>m,elTeorema6delCapítulolimplicaqueexistenescalaresxl,
xz,___,x,,,notodos0,talesque
ilA.-,wi=0,1st5m.
32
Luegoxlotl+xzotz+ +x,,ot,,=0.EllodemuestraqueSesunconjunto
linealmentedependiente.I
Corolariol.SiVesunespaciovectorialdedimensiónfinita,entoncesdos
basescualesquieradeVtienenelmismonumero(finito)deelementos.
Demostración.ComoVesdedimensiónfinita,tieneunabasefinita
[611B2!'°'1B"'}°
PorelTeorema4,todabasedeVesfinitaycontienenomásdemelementos.
Así,si{oz¡,az,___,a,,}esunabase,n5m.Porelmismorazonamiento,m5n.
Luegom=n.I
Estecorolariopermitedefinirladimensióndeunespaciovectorialdedi-
mensiónfinitacomoelnúmerodeelementosdeunabasecualquieradeV.Se
indicaráladimensióndeunespacioVdedimensiónfinitapordimV.Ellonos
permitevolveraenunciarelTeorema4comosigue.
Corolario2.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitaysean=dimV.
Entonces
(a)cualquiersubconjuntodeVquecontengamásdenvectoreseslinealmente
dependiente;

58. l'\¡Itu'lu\t't't'lt›t'tul¢'.\' 45
(li)nitretiusul›conjtmto«lcVquecontengamenosdenvectorespuedege-
nerar|'.
ljjemplol7_SiFesuncuerpo,ladimensióndeF'esn,porquelabase
.unónicadeF"contienenvectores.ElespaciodelasmatricesF"'*"tienedi-
mensiónmn.ElloesclaroporanalogíaconelcasodeF",yaquelasmnmatri-
t-esquetienenun1enellugari,j,concerosenlosdemás,formanunabasede
1""'".SiAesunamatrizmxn,entonceselespaciosolucióndeAtienedimen-
nonn-r,dondereselnúmerodefilasnonulasdeunamatrizescalónreducida
porfilas,queesequivalenteporfilasaA.VéaseelEjemplo15.
SiVescualquierespaciovectorialsobreF,elsubespacionulodeVesge-
neradoporelvector0,pero{0}esunconjuntolinealmentedependienteyno
uuubase.Porestarazónseconvienequeelsubespacionulotengadimensión0.
St-podríallegartambiénalamismaconclusiónpensandoqueelconjuntovacío
esunabasedelsubespacionulo.Elconjuntovaciogenera{0},pueslaintersec-
t-tondetodoslossubespaciosquecontieneelconjuntovacíoes{0},yelconjunto
vacioeslinealmenteindependiente,porquenocontienevectores.
Lema.SeaSunsubconjuntolinealmenteindependientedeunespaciovecto-
nalV.SupóngasequejiesunvectordeVquenopertenecealsubespaciogenerado
porS.Entonceselconjuntoqueseobtieneagregando[3aS,eslinealmenteinde-
ju-ndiente_
Demostración.Supóngasequeal,___,oz,,,sonvectoresdistintosdeSyque
0101+ +C››t¢1-»+55=0-
Ifutoncesb=0;deotramanera,
B=(-%)¢11+ +(-%')a,..
y/testáenelsubespaciogeneradoporS.Así,clon,+-~-+c,,,ot,,,=0,ycomo
Sesunconjuntolinealmenteindependiente,todoci=0.I
Teorema5.SiWesunsubespaciodeunespaciovectorialdedimensión
/mitaV,todosubconjuntolinealmenteindependientedeWesfinito_vesparte
deunabase(finita)deW.
Demostración.SupóngasequeS0esunconjuntolinealmenteindependiente
deW.SiSesunsubconjuntolinealmenteindependientedeWquecontiene
atS0,entoncesSestambiénunsubconjuntolinealmenteindependientedeV;
comoVesdedimensiónfinita,SnotienemásdedimVelementos.
SeextiendeS0aunabasedeW,comosigue.SiS0generaW,entoncesS0
esunabasedeWyestádemostrado.SiS0nogeneraW,porellemaanterior
sehallaunvector[31enWtalqueelconjuntoS,=S0U{B1)esindependiente.
SiS1generaW,estádemostrado.Sino,seaplicaellemaparaobtenerunvector[iz

59. 46 /Ilgelvralineal
enWtalqueSz=S,U{Bz}esindependiente.Sisecontinúadeestemodo,
entonces(yennomásdedimVdeetapas)sellegaaunconjunto
Sm=S0U{B1›°~°›Bm}
queesunabasedeW.I
Corolariol.SiWesunsubespaciopropiodeunespaciovectorialdedi-
mensiónfinitaV,entoncesWesdedimensiónfinitaydimW<dimV.
Demostración.PodemossuponerqueWcontieneunvectorof=;ë0.Por
elTeorema5ysudemostraciónexisteunabasedeWque,conteniendoaot,
nocontienemásquedimVelementos.LuegoWesdedimensiónfinitay
dimWSdimV__ComoesunsubespaciopropioexisteunvectorBenVque
noestáenW.AgregandoBacualquierbasedeWseobtieneunsubconjunto
linealmenteindependientedeV.Así,dimW<dimV.I
Corolario2.EnunespaciovectorialVdedimensiónfinitatodoconjunto
linealmenteindependientedevectoresespartedeunabase.
Corolario3.SeaAunamatriznxnsobreelcuerpoF,ysupóngaseque
losvectoresfiladeAformanunconjuntolinealmenteindependientedevectores
deF".EntoncesAesinversible.
Demostración.Seanot,,otz,___,ot,,vectoresfiladeA,ysupóngasequeWes
unsubespaciodeF"generadoporaz,otz,___,oz,,_Comolosaz,az,___,ot,,son
linealmenteindependientes.ladimensióndeWesn.PorelCorolariolsetiene
queW=F".LuegoexistenescalaresB¡¡enFtalesque
€¿=šB--a- 1<í<n__un ___
J-1
donde{e¡,ez,___,e,,}eslabasecanónìcadeF”.Así,paralamatrizBdeele-
mentosBüsetiene
BA=1_|
Teorema6.SiW,yWzsonsubespaciosdedimensiónfinitadeunespacio
vectorial,entoncesW,+Wzesdedimensiónfinitay
dimW,+dimWz=dim(W,HWz)+dim(W+Wz)_
Demostracion.PorelTeorema5vsuscorolarios,W,HWztieneuna
basefinita{ot,,,ot,,}queespartedelabase
lab -°°1aka pl»---apmi para WI
ypartedelabase
{ot1,___,ak,yz,___,y,,}paraWz_
ElsubespacioW,+Wzesgeneradoporlosvectores
a1,oon,ah Bbuoø,B¶n, Yl,ooo,Yn

60. Ilíijutclosvei'torlaIc.s- 47
Vestosvectoresformanunconjuntoindepeiidiente_Enefecto,supóngaseque
Erc.-ai+252/_-fif+23zm=0-
I'ttlonccs
-É2-1-=Érv.-ai+22/¡Bi
quemuestraqueEz,y,perteneceaW1.ComoEz,y,tambiénperteneceaWz,
twsigueque
27zm=23cia.-
|›iii-aiciertosescalarescz,___,ch.Comoelconjunto
{a¡,_..,a¡,,'y1,._.,'y,,}
esindependiente,cadaunodelosescalaresz,=0.Así,
EIta;+EZ/¡fii=0
ycomo
{a¡,._.,a¡,,Bb._.,B,,.}
estambiénunconjuntoindependiente,cadax,=0ycaday,=0.Así,
{a¡,_._,a¡,,B¡,._.,B,,,,71,._.,"y,.}
esunabaseparaW,+Wz_Finalmente,
dimW,+dimW2= (k+m)+(k+fl)
=k+(m+k+fl)
Cerremosestasecciónconunaobservaciónreferentealaindependencia
ydependencialineal.Sehandefinidoestosconceptosparaconjuntosdevec-
tores.Esútilhaberlosdefinidoparasucesionesfinitas(n-tuplesordenados)
devectores:oil,___,oi,,_Sediráquelosvectoresaz,___,oi,sonlinealmente
ili-pendientessiexistenescalaresfijoscz,___,c,,,notodosnulos,talesque
i-jor,+---+c,,oi,,=0.Todoestoestannaturalqueellectorpodríacreer
quesehausadoyaestaterminología.¿Cuále'sladiferenciaentreunasuce-
siónfinitaaz,___,oi,yelconjunto{oi,,___,oi,,}'?Haydosdiferencias:identidad
yorden. .
Siseexaminaelconjunto{ot¡,___,oi,,}escorrientesuponerquenohay
dosvectoresaz,____oi,queseanidénticos.Enunasucesiónoil,___,oi,todos
losoi,puedenserelmismovector.Sioi-=ix-,paraalgúni=!=j,entonceslasu-
l J
cesiónaz,___,oi,,eslinealmentedependiente:
G;+(_1)a¡' =0.
Así,sioiz,___,oi,,sonlinealmenteindependientes,todossondistintos,ysepue-
dehablardelconjunto{oi1,___,oi,,}sabiendoquetienenvectores.Así,evi-
dentemente,ningunaconfusiónsurgiráenelestudiodebasesydimensión.
LadimensióndeunespacioVdedimensiónfinitaeselmayorn,talqueun

61. 43 »Il_r'i'l›ralineal
n-tupledevectoresdeVeslinealmenteindependiente,yasísucesivamente.
Ellectorquecreaqueestepárrafonoesmásquepalabras,puedepreguntarse
silosvectores
al=(ein:1)
«_=(\/°110,1)
sonlinealmenteindependientesenR2.
Loselementosdeunasucesiónestánenumeradosenunordendetermina-
do.Unconjuntoesunacoleccióndeobjetosconunadisposiciónnodetermi-
nadauordenada.Claroquealdescribirelconjuntosedebenindicarsusele-
mentos,yellorequiereelegirunorden.Peroelordennoespartedelconjunto.
Losconjuntos{1,2,3,4}y{4,3,2,1}sonidénticos,mientrasque1,2,3,4es
unasucesiónmuydiferentede4,3,2,1.Elaspectoordinaldelassucesiones
noentraenjuegoenlosasuntosdeindependencia,dependencia,etc.,porque
ladependencia(comosedefinió)noestá_afectadaporelorden.Lasucesión
a,,,___,oi,esdependientesi,ysolosi,lasucesiónoq,___,oi,esdependiente.
Enlasecciónsiguiente,elordenseráimportante.
Ejercicios
1.Demostrarquesidosvectoressonlinealmentedependientes,unodeellosesunmúlti-
ploescalardelotro.
2.¿Sonlosvectores
al=(lili2:4)› a2=(2›-li_5›
a3=(li“li_°4›0); al=(21ltls
linealmenteindependientesenR4?
3.HallarunabaseparaelsubespaciodeR4generadoporloscuatrovectoresdelEjer-
cicio2.
4.Demostrarquelosvectores
al=(1:Oi_'1)› a2=(li2;1); a3=(O:_3›
formanunabaseparaR3.Expresarcadaunodelosvectoresdelabasecanónìcacomo
combinaciónlinealdeaz,azyaz.
5.HallartresvectoresdeR3queseanlinealmentedependientesytalesquedoscuales-
quieradeellosseanlinealmenteindependientes.
O
6.SeaVelespaciovectorialdetodaslasmatrices2x2sobreelcuerpoF.Demostrar
queVtienedimensión4,encontrandounabasedeVquetengacuatroelementos.
7.SeaVelespaciovectorialdelEjercicio6.SeaW,elconjuntodelasmatricesdela
forma
[“`“]y z

62. I\¡Iiti'tit.\'|'i'i'lut'titli'.\' 4')
\si-.iIVzclconjuntodclasmatricesdelul`oriii:t
ab]_
-ac
tailDemostrarqueW,yWzsonsubespaciosdeV.
(lilllaillarladimensióndeW,,Wz,W,+WzyW,HWz_
ltNuevamente,seaVelespaciodelasmatrices2x2sobreF.Hallarunabase{A¡,Az,
I.,I4¦deV,demodoqueAJ?=AJ-paracadaj_
›
0.SeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoFdelosnúmeroscomplejos.Supóngase
que«_By¬,-seanvectoreslinealmenteindependientesenV.Demostrarque(ot+B).(B+y)
Yl“,'tot)sonlinealmenteindependientes.
Ill.SeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoF.Supóngasequehayunnúmerofinito
-,lrvectores0:1,___,oi,enVquegeneranV.DemostrarqueVesdedimensiónfinita.
ll.SeaVelconjuntodetodaslasmatrices2x2.A,conelementoscomplejosquesa-
tisliicenAU+Azz=0.
(ii)HacerverqueVesunespaciovectorialsobreelcuerpodelosnúmerosreales,con
|.i~operacionescomunesdeadicióndematricesymultiplicacióndematricesporunescalar.
th)Hallarunabasedeesteespaciovectorial.
le)SeaWelconjuntodetodaslasmatricesAdeVtalesqueAzz=-Ãz,(labarra
iiidieiicomplejoconjugado)_DemostrarqueWesunsubespaciodeVyhallarunabasedeW.
Il.Demostrarqueelespaciodetodaslasmatricesm›<nsobreelcuerpoFtienedimen-
sioiinin,presentandounabaseparaesteespacio.
Il.AnalizarelEjercicio9,cuandoVesunespaciovectorialsobreelcuerpodedosele-
mentos,descritoenelEjercicio5,Secciónl_l_
H.SeaVelconjuntodelosnúmerosreales.ConsiderarVcomotinespaciovectorial
sobreelcuerpodelosnúmerosracionales.conlasoperacionesusuales.Demostrarqueeste
esp-.iciovectorialnoesdedimensiónfinita.
2.4.Coordenadas
Unadelascaracterísticasútilesdeunabase(BenunespacioVdedimensión
nesquepermiteesencialmenteintroducircoordenadasenVenformaanálo-
giialas«coordenadasnaturales»,xi,deunvectoroi=(xl,___,x,,)eneles-
pacioF".Enesteesquema,lascoordenadasdeunvectoroienV,respectode
lubase(B,seránlosescalaresquesirvenparaexpresaroicomocombinación
linealdelosvectoresdelabase.Así,pues,seríadeconsiderarlascoordenadas
naturalesdeunvectoroienF"comodefinidasporoiylabasecanónìcadeF";
sinembargo,aladoptarestepuntodevistasedebetenermuchocuidado.Si
a=(:t:1.._.,33»)=E33r€¢
y(BeslabasecanónìcadeF",¿cómoquedandeterminadaslascoordenadas
deoipor(Byot?Unamaneradeformularlarespuestaeslasiguiente.Unvector
dado,oi,tieneunaexpresiónúnicacomocombinaciónlinealdelosvectores
delabasecanónìca,ylacoordenadai-ésimax,deoteselcoeficientedeeien

63. 50 Algebralineal
estaexpresión.Desdeestepuntodevista,sepuededecircualeslai-ésimacoor-
denada,porquesetieneunorden«natural››delosvectoresdelabasecanónìca,
estoes,setieneunareglaparadeterminarcuálesel«primer››vectorenlabase,
cuálesel«segundo››vector,yasisucesivamente.Si(Besunabasearbitraria
delespacioVdedimensiónn.nosetendráprobablemente.unordennatural
delosvectoresde(B,y,portanto,seránecesarioimponeralgúnordenaestos
vectoresantesquesepuedadefinirla«i-ésimacoordenadadeozrespectoaG3».
Paraplantearlodeotraforma,sedefiniránlascoordenadasrespectoauna
sucesióndevectoresynodeunconjuntodevectores.
Definición.SiVesunespaciovectorialdedimensiónfinita,unabaseor-
denadadeVesunasucesiónfinitadevectoreslinealmenteindependienteyque
generaV.
Silasucesiónal,...,a,,esunabaseordenadadeV,entonceselconjunto
{oz1,...,a,,}esunabasedeV.Labaseordenadaeselconjunto,juntamente
conelordendado.Seincurriráenunpequeñoabusodenotaciónyseescribirá
(B={a¡,...,a,,}
diciendoque(BesunabaseordenadadeV.
AhorasupóngasequeVesunespaciovectorialdedimensiónfinitasobre
elcuerpoFyque
(B={a¡,...,a,,}.
esunabaseordenadadeV.DadoozdeV,existeunúnicon-tuple(xl,...,x,,)
deescalarestalque
n
G=Eíligag.
0'-1
Esten-tupleesúnico,yaquesitambiénsetiene
fl
a=E2.-a¡
¿-1
entonces
11
2:1($¡_Z,')a¡=0
ylaindependencialinealdelosaiaseguraquex,-z¡=0,paratodoi.Sella~
maráax¡lai-ésimacoordenadadeozrespectoalabaseordenada
(B= {a1,...,a;;}
Si
Ú=2]yaa;
entonces
G+Ú=311(Ii+3/¡)¢1¡

64. I-\¡›m'iu.\t'¢'¢'l¢›rtult'.\' 5/
-It-modoquelai-ésimacoordenadade(oz+B)enestabaseordenadaes(x¡+yi).
Iuformaanáloga,lai-ésimacoordenadade(ca)escx;.Debeobservarsetam-
Im-nque.cadan-tuple(x,,...,x,,)deF"eseln-tupledecoordenadasdealgún
nf;-tordeV,asaber,elvector
Eílïiag.
¡-1
Resumiendo,cadabaseordenadadeVdeterminaunacorrespondencia
Iuunivoca
(I"›(2¦1,. ..,2¦n)
uttrt-clconjuntodetodoslosvectoresdeVyelconjuntodetodoslosn-tuples
th-I-`".Estacorrespondenciatienelapropiedaddequeelcorrespondientede
t-tli)eslasumaenF"deloscorrespondientesdeoryB,yelcorrespondiente
th-(fa)eselproductoenF"delescalarcyelcorrespondientedeor.
(`:tbríapreguntarse,enestemomento,¿porquenoseeligesimplemente
.algunabaseordenadadeVyseexpresatodoVporsucorrespondienten-tuple
tlt-coordenadas,yaqueasísetienelaconvenienciadeoperarsoloconn-tuples?
I-.toiríacontranuestropropósitopordosrazones.Primera,comoladefini-
ttooaxiomáticadeespaciosvectorialesindica,setratadeaprenderarazonar
tonespaciosvectorialescomosistemasalgebraicosabstractos.Segunda,in-
timocnaquelloscasosenqueseusancoordenadas,losresultadosmásimpor-
ttmtcsseobtienendelacapacidadquesetengadecambiarsistemasdecoor-
dt-mtdas,esdecir,decambiarlabaseordenada.
/\menudo,serádemayorconvenienciausarlamatrizdelascoordenadas
th-ozrespectoalabaseordenada(B:
X=[31]
rnvezdeln-tuple(xl,...,x,,)decoordenadas.Paraindicarladependencia
dt-estamatrizdecoordenadasrespectodelabaseseusaráelsímbolo
[ale
|›.1r:tlamatrizdecoordenadasdelvectorotrespectoalabaseordenada(B.Esta
notaciónseráparticularmenteútilcuandoprocedamosahoraadescribirqué
It-sucedealascoordenadasdeunvectorozcuandosecambiadeunabaseorde-
u.tdaaotra.
Supóngase,entonces,queVesdedimensiónnyque
(B={a1,...,0fi»} y(B'={0¢i,...,0lit}
seandosbasesordenadasdeV.ExistenescalaresúnicosPUtalesque
(2-13) a;=ãP--«-1<1'<n.U1; _ ._
1'-1
Scanx1,...,xj,lascoordenadasdeunvectordadootenlabaseordenada(BC
I'nt0nces

65. 52 /fl,g'¢'I›rulineal
a=wiai-I-+2IÂaå
11
ÍI
=É$1111
.i='1
= 33;Ptjüi
¡=1 sfil
=3:$5(P.-,-x;›a
1-li-1
= Pifílïi)Oft-
z-1 1-1
Setieneasílarelación
(2-14) .1=É(ìåP,,-a;;).1.-.
¡B1 '-1
Comolascoordenadasxl,xz,._.,x,,deozenlabaseordenada(Bestánuní-
vocamentedeterminadas,sesiguede(2-14)que
(2-15) x.-=ilP.-,~=«:;,15t5n.
,É
SeaPlamatriznxncuyoi,jelementoeselescalarP¡_,-yseanXyX'lasma-
tricesdecoordenadasdelvectorozenlasbasesordenadas(By(B'.Entoncesse
puedeescribir(2-15)como
(2-16) X=PX'.
Como(By(B'sonconjuntoslinealmenteindependientes,X=0,si,ysolosi,
X'=0.Así,de(2-l6)ydelTeorema7delCapítulol,sesiguequePesinver-
sible.Luego
(2-17) X'=P°1X.
Siseusalanotaciónintroducidaanteriormenteparalamatrizdecoordenadas
deunvectorrespectoaunabaseordenada,entonces(2-16)y(2-l7)dicenque
[ala=Plala'
[ala=P`1[°=]oa-
Conloqueloanteriorpuederesumirseasí.
Teorema7.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF,
ysean(By(B'basesordenadasdeV.Entoncesexisteunaúnicamatriznxn,
necesariamenteinversible,conelementosdeF,demodoque
o te=Pm.
to t«1§=P¬f3«1@
paratodovectorozdeV.LascolumnasdePestándadaspor
jï1,...,n.

66. l*'\¡uutut'|°t't'turiult'.\' 53
I';tr;tcompletarelanálisisanterior,sedemostrarátambiénelsiguiente
tt'o|v|n:t.
'Il-orcma8.SupóngasequePesunamatrizinversiblenxnsobreF.Sea
IunespaciovectorialdedimensiónnsobreF,ysea(BunabaseordenadadeV.
¡mom-csexisteunabaseordenada(B',única,deVtalque
i [oz]=P[oz]›
«iii [ajâf=P-Ifåja,
¡turatodovectorozenV.
Demostración.Sea(B,queconstadelosvectoresal,...,ot,,.Si(B'=
1.11,...,oc,',}esunabaseordenadadeV,paralacualsetiene(i),esclaroque
n
G;=_E1P¡¡a¡.
'í
/\~.|,solosenecesitademostrarquelosvectoresot},definidosporestasigual-
tt.tttcs,formanunabase.SeaQ=P"1.Entonces
Í;Q,-avi;=Qƒkf;Pajflt
1 1 I
= -PijQjlcai
J Í
= Epi;51'
?(.Q*)°'
=ak.
t'onloqueelsubespaciogeneradoporelconjunto
(B'={ot¶,...,af,}
tontienea(By,portanto,esigualaV.Asíque(B'esunabase,yporsudefini-
ttonyporelTeorema7esclaroque(i)esválidoytambiénloes(ii).I
Ejemplo18.-SeaFuncuerpoysea
a=(x¡,x2,...,x,.)
tmvectordeF".Si(BeslabaseordenadacanónìcadeF",
(B={e1,...,e,,}
lamatrizdecoordenadasdelvectorozenlabase(Bestádadapor
$1
[ala=
In
Ejemplo19.SeaRelcuerpodelosnúmerosrealesysea0unnúmeroreal
dudo.Lamatriz
P=[cos6-senâ]
senâoos6

67. 52 /Ilgrltrulineal
of=wiai-I-+22,91;
fl
=_Zl=v}<1§
JI
fl Ifl
=2$12Pijfla
¡=1¡-1
=âÉ(P¢¡íl7i)€!¿
5-1;-1
=2(2Pii35i)C!¡-
i=l j-=l
Setieneasílarelación
(2-14) a=ÉP.--$5)a.-.
1 -1
I O ,
'1
Comolascoordenadasxl,xz,._.,x,,deozenlabaseordenada(Bestánuní-
vocamentedeterminadas,sesiguede(2-14)que
(2-15) 1;,=ÉP.-,-$5,151:5n.
j-I
SeaPlamatriznxncuyoi,jelementoeselescalarPüyseanXyX'lasma-
tricesdecoordenadasdelvectorotenlasbasesordenadas(By(B'.Entoncesse
puedeescribir(2-15)como
(2-16) X=PX'.
Como(By(B'sonconjuntoslinealmenteindependientes,X=0,si,ysolosi,
X'=0.Así,de(2-16)ydelTeorema7delCapítulo1,sesiguequePesinver-
sible.Luego
(2-17) X'=P°1X.
Siseusalanotaciónintroducidaanteriormenteparalamatrizdecoordenadas
deunvectorrespectoaunabaseordenada,entonces(2-16)y(2-17)dicenque
[ala=P[0=]ai'
[a]¢3›=P`1[a]¢g.
Conloqueloanteriorpuederesumirseasí.
Teorema7.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF,
ysean(By(B'basesordenadasdeV.Entoncesexisteunaúnicamatriznxn,
necesariamenteinversible,conelementosdeF,demodoque
秛 vi@=Pins
(11) [ot]¿B.=P"'[oz]¿B
paratodovectorozdeV.LascolumnasdePestándadaspor
_]--Í1,...,n.

68. l"\¡mcIt›st'¢'t°tnriuI¢-s .U
Paracompletarclanálisisanterior,sedemostrarátambiénelsiguiente
twicnia.
Teorema8.SupóngasequePesunamatrizinversiblenxnsobreF.Sea
IunespaciovectorialdedimensiónnsobreF,ysea(BunabaseordenadadeV.
Intonccsexisteunabaseordenada(B',única,deVtalque
[oz]¿B=P[oz]¿B.
tn) [oz](B.=P`1[oz]¿B
¡uuuÍ0d0U€CIOt'OC€nV.
Demostración.Sea(B,queconstadelosvectoresal,...,ot,,.Si(B'=
,ot,',}esunabaseordenadadeV,paralacualsetiene(i),esclaroque
fi
I
ay=EP¡,'d.¡.
¡-1
ÍÍ
_
í`
.|10 I
Asi.solosenecesitademostrarquelosvectoresot;-,definidosporestasigual-
tlatles,formanunabase.SeaQ=P”1.Entonces
2Qfkai=23QfkZP-'fat'
J -7 1
=EEP='ƒQ¡kOff
1.-
=?(ÉP*fQf*)
=ak.
t'onloqueelsubespaciogeneradoporelconjunto
(B'={a{,...,a{.}
tontienea(By,portanto,esigualaV.Asíque(B'esunabase,yporsudefini-
tionyporelTeorema7esclaroque(i)esválidoytambiénloes(ii).I
Ejemplo18.-SeaFuncuerpoysea
a=($1,x2,...,:t,.)
unvectordeF".Si(BeslabaseordenadacanónìcadeF",
(B={e1,...,e,,}
lamatrizdecoordenadasdelvectorozenlabase(Bestádadapor
$1
[ala=
xa
Ejemplo19.SeaRelcuerpodelosnúmerosrealesysea0unnúmeroreal
t|;ldO.Lamatriz
P=[eos0-sen0]
sen0eos0

69. 54 .4Igchralineal
esinversibleconinversa,
P_¡=[ cos0sen6_
-sendcost)
Asiqueparacada0,elconjunto(B'queconstadelosvectores(cos0,sen9),
(sen0,cos0)esunabasedeR2;intuitivamenteestabasepuedeserdescrita
comolaobtenidaporrotacióndeángulo6delabasecanónìca.Sioteselvector
(xl,X2),entonces
[Q]'=I:eos0sen0][sq]
'B -sendeos0xa
=2v100S0+x2sen6
=-flïrsenâ-I-:c2cos0.
o
:ci
:vé
Ejemplo20.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos.Lamatriz
-14 5
P= 02-3
00 8
esinversibleconinversa
-12-*U1
P"={0Éfe'
0018
Asilosvectores
af=(--1,0,0)
aå=(4,2,0)
aå=(5,-3,8)
formanunabase(B'deF3.Lascoordenadasx1,xå,xf,delvectoroz=(xl,xz,x3)
enlabase(B'vienendadaspor
:ví -:t:¡+21:2+-1311:;-12-131x1
xå= åxg-I-¬¡§'¡a:;= 0-}
íöá ïiííïïa
Enparticular
(3,2,-8)=-l0aÍ-åaå-aš.
Í-¿_-'I
©©anti-joL_ì.|É?S*|._†_.|
Ejercicios
1.Demostrarquelosvectores
al=(lsltOr0)) a2=(0:01lr
a3=(lr0:Or4): ai=(0›OiOr2)
formanunabasedeR4.Hallarlascoordenadasdecadaunodelosvectoresdelabaseca-
nónìcarespectodelabaseordenada{a¡,az,a3,a4}.

70. liptti'ms't't't°tm'lttlr'.\' 55
1Ilallarlamatrildecoordenadasdelvector(I,0,I)enlabasedeC3formadaporlos
tutorest2i,I,0),(2,-I,I).(0,1+i,1-i),eneseorden.
1Sea(B={oz,,az,oz3}labaseordenadadeR3formadapor
al=(lp0;"'l)› a2=(lr1;1): al=(lt010)'
,_t'nalessonlascoordenadasdelvector(a,b,c)enlabaseordenada(B?
-ISeaWelsubespaciodeC3generadoporot,=(1,0,i)yaz=(1+i,1,-1).
ta)Demostrarquealy0:2formanunabasedeW..
th)DemostrarquelosvectoresB,=(1.1.O)yB2=(1,i,1+i)pertenecenaW
vlormanotrabasedeW.
tel¿Cuálessonlascoordenadasdealyazenlabaseordenada{fl,,B2}deW?
1.Seanfx=(x1,x2)yB=(yl,y¡)dosvectoresdeR2talesque
rm/1+r›:/2=0,x'ï'+rš=z/i+yš=1.
li.-mostrarque(B={oz,B}esunabasedeR2.Hallarlascoordenadasdelvector(a,b)en
labaseordenada(B={a,fl}.(LascondicionesimpuestasaotyBdicen,geométricamente,
queotyBsonperpendicularesydelongitud1.)
tt.SeaVelespaciovectorialsobrelosnúmeroscomplejosdetodaslasfuncionesdeR
en(`;esdecir,elespaciodetodaslasfuncionessobreelejerealavalorcomplejo.Sea
I,t\l=l,f2(x)=e”,f3(x)=e_”'.
ta)Demostrarquefl,flyf,sonlinealmenteindependientes.
th)Seag,(x)=1,g2(x)=cosx,g3(x)=senx.Hallarunamatrizinversible3x3,P.
htlque
a
9:'=2Perfi-
¡-1
7.SeaVelespaciovectorial(real)detodaslasfuncionespolinomiosdeRenRdegrado
.'omenor;esdecir,elespaciodetodaslasfuncionesdelaforma
f(x)=co+cia:+c¢:t:*.
.St-.ttunnúmerorealfijoydefinase
a›(w)=1,a=(=v)=fr+1,a«(2=)=(I+0'-
lh-mostrarque(B={g,,gz,g3}esunabasedeV.Si
f(x)=co+clx+czx*
,_t`ualessonlascoordenadasdefenestabaseordenada(B?
2.5.Resumendeequivalenciaporfilas
Enestasecciónseusaránunoshechoselementalesreferentesabasesydi-
mensiónenespaciosvectorialesdedimensiónfinitaparacompletareltrata-
mientodelaequivalenciadematricesporfilas.SerecuerdaquesiAesuna
matrizmxnsobreelcuerpoF,losvectoresfilade.Asonlosvectoresoq,.._,am
«leF"definidospor
CI;=(Aa,.--,AM)-

71. 56 /llgelrralineal
yqueelespaciodefilasdeAeselsubespaciodeF"generadoporestosvecto-
res.ElrangodefiladeAesladimensióndelespaciodefilasdeA.
SiPesunamatrizkxmsobreF,entonceselproductoB=PAesunama-
trizkxncuyosvectoresfilaB1,.._.8,,soncombinacioneslineales
fir=P=10f1+'°' +P¢mC!m
delosvectoresfiladeA.AsíelespaciodefilasdeBesunsubespaciodelespacio
defilasdeA.SiPesunamatrizinversiblemxm,entoncesBesequivalente
porfilasaA,demodoquelasimetríadelaequivalenciaporfilas,olaigualdad
A=P_1B,indicaqueelespaciodefilasdeAestambiénunsubespaciodel
espaciodefilasdeB.
Teorema9.Lasmatricesequivalentesporfilastienenelmismoespacio
defilas.
DeestemodosehavistoqueparaestudiarelespaciodefilasdeAsepuede
estudiarelespaciodefilasdeunamatrizescalónreducidaporfilasqueesequi-
valenteporfilasaA,comoseharáenseguida.
Teorema10.SeaRunamatrizescalónnonulareducidaporfilas.Enton-
ceslosvectoresfilanonulosdeRformanunabasedelespaciodefilasdeR.
Demostración.Seanpl,...,p,losvectoresfilanonulosdeR
Ps'=(R51)''-3Rin)-
CiertamenteestosvectoresgeneranelespaciodefilasdeR;senecesitasolo
demostrarquesonlinealmenteindependientes.ComoResunamatrizescalón
reducidaporfilas,hayenterospositivosk,,...,k,talesque,parai<r
(3)R('¿›.l)=0Si<ki
(<=)k1<<k,.
SupóngasequeB-=(bl,...,b,,)seaunvectordelespaciodefilasdeR:
B=clpl+'''+cipr-
Seafirmaentoncesquec¡=b,,,,.Enefecto,por(2-18)
(2-20) b,.,.=É¢,-Ro',k,-)
í=1
1'
=E01-511;
i==l
=Cj.
Enparticular,siB=0,esdecir,siclpl+'°-+c,p,=0,entoncesc¡debe
serlak-ésimacoordenadadelvectornulo,conloque_c¡=0,j=1_...,r.
Así,pues,pl,...,p,sonlinealmenteindependientes.

72. I\¡uu'l¢›.\'t't't'h›ttitles 57
TeoremaIl.Seantnyndosenteros¡›¢›s-:tivosyseaFuncuerpo.Supóngase
qm-II'esunsuhcs¡›uciodeF"yquedimW5m.Entoncesexisteexactamente
mm.solamatrizescalóntnxnreducidaporfilassobreFquetieneaWcomo
tu¢-.\¡›m'io¿lefilas.
¡tt-nu›.s-tración.Hayalmenosunamatrizescalónreducidaporfila
m›<nconespaciodefilasW.ComodimW5m,sepuedenelegirmvectores
1,.____oz",deWquegeneranW.SeaAlamatrizmxnconvectoresfilaoq,___,
.__yseaRlamatrizescalónreducidaporfilasqueesequivalenteporfilasaA.
Imonces_elespaciodefilasdeResW.
SeaahoraRcualquiermatrizescalónreducidaporfilasquetieneaWcomo
~.uespaciodefilas.Seanp,,___,p,losvectoresfilanonulosdeRysupóngase
queelelementoprincipalnonulodep,estéenlacolumnaki,i=1,___,r.
Iosvectorespl,____p,formanunabasedeW.EnlademostracióndelTeore-
maIt)seobservóquesiB=(b,, b,,)perteneceaW,entonces
B=c1P1+ °'°+crPr;
y«_=bh;enotraspalabras,laexpresiónúnicadeBcomocombinaciónlineal
111'|t›Sp¡,---›pres
Í? Ú=-Élbh,-pi.
/\~.|.pues,cadavectorBestádeterminadosiseconocenlascoordenadasbh,
II,___,r.Porejemplo,pseselvectorúnicodeWquetienelak,-ésimacoor-
«It-nada1ylaski-ésimascoordenadas0para`i'=/=s.
SupóngasequeBperteneceaWyqueB=/=0.Seafirmaquelaprimeracoor-
tlt-nadanonuladeBestáenunadelascolumnasks_Como
B=Élbem;
y/J=|=0sepuedeescribir
(2:22) B=Ébltipü bh.7é
1'-a
l›elascondiciones(2-18)setieneR¡¡=0sii>syj2k_,.Conloque
B=(0,__.,0, b¡,_,._.,b,,),b¡,,;=f0
vlaprimeracoordenadanonuladeBestáenlacolumnak,_Obsérvesetambién
queparacadaks,s=1,___,r,existeunvectorenWquetienesuk,-ésima
coordenadanonula,asaberps. '
AhoraesclaroqueRestádeterminadaunívocamenteporW.Ladescrip-
cióndeRenterminosdeWescomosigue.Seconsiderantodoslosvectores
/t=(bl,___,b,,)enW.SiB7€0,entonceslaprimeracoordenadanonuladebe
estarenalgunacolumnat:
B=(0,...,0, b,,__.,b,_),b,.¢0_
Seankl,___,k,aquellosenterospositivosttalesqueexistealgúnB7€0enW,

73. 58 A¡gt-bralineal
cuyaprimeracoordenadanonulaestáenlacolumnat.Sedisponenloskl,___,k,
enelordenkl<kz< <k,_Paracadaunodelosenterospositivosk,
habráunvectorpsysolounodeWtalquelak,-ésimacoordenadadep,es1y
lak,-ésimaes0parai3€s.EntoncesReslamatrizmxnquetienelosvecto-
resfilapl,...,p,,0,__.,0.I
Corolario.Cadamatrizmxn,A,esequivalenteporfilasauna,ysola-
menteuna,matrizescalónreducidaporfilas.
Demostración.SabemosqueAesequivalenteporfilas,almenos,auna
matrizescalónreducidaporfilas.SiAesequivalenteporfilasaotramatriz
escalónR',entoncesResequivalenteporfilasaR';luego,RyR'tienenelmis-
moespaciodefilasydebenseridénticas.I
Corolario.SeanAyBmatricesmxnsobreelcuerpoF.EntoncesAyB
sonequivalentesporfilassi,ysolosi,tienenelmismoespaciodefilas.
Demostración.SesabequesiAyBsonequivalentesporfilas,entonces
tienenelmismoespaciodefilas.SupóngaseahoraqueAyBtenganelmismo
espaciodefilas.AhoraAesequivalenteporfilasaunamatrizescalónreducida
porfilasR,yBesequivalenteporfilasaunamatrizreducidaporfilasR'.Como
AyBtienenelmismoespaciodefilas,RyR'tienenelmismoespaciodefilas.
ConloqueR=R'yAesequivalenteporfilasaB.I
Enresumen,siAyBsondosmatricesmxnsobreelcuerpoF,lassiguien-
tesafirmacionessonequivalentes:
wish;
~<~<wwQ.”
1. onequivalentesporfilas.
2. enenelmismoespaciodefilas.
3.±PA,dondePesunamatrizinversiblemxm.
UnacuartaafirmaciónequivalenteesquelossistemashomogéneosAX=0
yBX=0tienenlasmismassoluciones;sinembargo,auncuandosesabeque
laequivalenciaporfilasdeAyBimplicaqueestossistemastienenlasmismas
soluciones.esmásconvenientedejarlademostracióndelrecíprocoparamás
adelante.
2.6.Cálculosrelativosasubespacios '
Queremosahoramostrarcómolasoperacioneselementalesporfilasdanun
métodonormalizadopararesponderaciertaspreguntasconcretasconcer-
nientesasubespaciosdeF"_Yahemosdeducidoloquevamosanecesitar.El
análisisesválidoparacualquierespaciovectorialVdedimensiónnsobreel
cuerpoF,siseeligeunabaseordenada(BfijayseexpresacadavectorozdeV
porlan-tuple(xl,___,x,,)quedalascoordenadasdeozenlabaseordenada(B.
Supóngasequesehandadomvectoresal,___,ampertenecientesaF"_Con-
sideremoslassiguientespreguntas:
1.¿Cómosedeterminasilosvectoresal,___,oz",sonlinealmenteinde-
pendientes?Oentérminosgenerales,¿cómosedeterminaladimensióndel
subespacioWgeneradoporestosvectores?

74. l\¡nn'mst-rwturlulcs 59
2.DadoBenF”,¿cómosedeterminasiBesunacombinaciónlinealde
1,,_._,am,esdecir,siBpertenecealsubespacioW?
l.¿_CómosepuededarunadescripciónexplícitadelsubespacioW'?
I.ttercerapreguntaesalgovaga,yaquenoseespecificaquéseentiende
poruna«descripciónexplícita››;sinembargo,elloseaclararácuandosede
rltipodedescripciónquesetieneenmente.Conestadescripciónlaspregun-
tn-_(I)y(2)puedencontestarseinmediatamente.
SeaAunamatrizmxnconvectoresfilaot,:
CI;=(Aa,...,Ah)
Ilagascunasucesióndeoperacioneselementalesporfila,empezandoconA
¡tinaterminarconunamatrizescalónreducidaporfilaR.Anteriormenteya
urindicócómosehaceesto;ahora,ladimensióndeW(elespaciodefilasdeA)
t|m-«Iademanifiesto,yaqueestadimensiónessimplementeelnúmerodevec-
toteslilanonulosdeR.Sip,,___,p,sonlosvectoresfilanonulosdeR,en-
tonces(B={p,,___,p,}esunabasedeW.Silaprimeracoordenadanonula
itt-B,eslacoordenadak¡-ésima,setieneentoncesparai5r
tn) R('i,=0,SÍ<lt?,-
Iii) =öfj
11') l€1<°°° <lt7,-_
IlsubespacioWconstadetodoslosvectores
B=clP1+ °°'+cfpr
==ÉC¡(R¡|,...,Rin).
¡-1
Ia¬-coordenadasbl,____b,,detalvectorB,sonentonces
¶'
1'.,23) bj=EC¡R¡¡.
:-1
Inparticular,bk,=c,-,yasí,siB=(bl,___,b,,)esunacombinaciónlineal
ttt-lospi,debeserlacombinaciónlinealparticular
1'
t_'.!2-1) B=Ebiopi-
1'-1
I.tscondicionessobreBque(2-24)hadetenerson
(2-25) b,-=Éb,_,R--j=1,_..,n_
UI
¿-1
Ahora(2-25)esladescripciónexplícitadelsubespacioWgeneradopor
1,.___,am,estoes,elsubespacioconstadetodoslosvectoresBdeF"cuyas
toordenadassatisfacen(2-25).¿Quétipodedescripciónes(2-25)?Enprimer
lugardescribeWcomotodaslassolucionesB=(bl,___,b,,)delsistemade
ecuacioneslinealeshomogéneas(2-25).Estesistemadeecuacionesesdeuna
naturalezamuyespecial,porqueexpresa(n-r)delascoordenadascomo
combinacioneslinealesdelasrcoordenadasseñaladas,"bm,___,b,,r_Setiene

75. Ó" fIl_L't°lIrulÍm'ul
completalibertadparaelegirlascoordenadasb,,;estoes,sicl,___,c,sonres-
calarescualesquiera,existeunvectorBdeWysolounoquetienec,comosu
k,--ésimacoordenada.
Losignificativo,aquí,esque:dadoslosvectoresoq,lareducciónporfila
esunmétododirectoparadeterminarlosenterosr,k1,___,k,ylosescalares
RU-quedanladescripción(2-25)delsubespaciogeneradoporal,___,ot,,,_Debe-
mosobservar,comohicimosenelTeoremall,quetodosubespacioWdeF”
tiene_unadescripcióndeltipo(2-25).Tambiéndebemoshacernotaralgunos
aspectosrespectoalapregunta(2).Sehadeterminado,enlaSección1.4,cómo
sepuedehallarunamatrizinversiblemxm,P,talqueR=PA.Elconoci-
mientodePpermiteencontrarlosescalaresxl,___,x,,,talesque
fi=371Of1+ +$m0fm
cuandoelloesposible.Enefecto,losvectoresfiladeRestándadospor
Pi=šPaja;
j=l
demodoquesiBesunacombinaciónlinealdelosai,setiene
I'
B=Ebkifli
a-1
= bh. Piƒflj
1-1 ¡-1
=ÉÉb,,.P--_»
_ 1¡JJ
J-lí=1
f
conloque 21;'=Ebtipaf
¡-1
esunaposibleeleccióndelosxj(puedehabervarias).
LacuestióndesiB=(bl,___,b,,)esunacombinaciónlinealdelasai,y
entalcasocuálessonlosescalaresx,sepuedetambiénconsiderarpreguntán-
dosesielsistemadeecuaciones
_š1A¡¡Z¡=b¡, j=1,...,1L
tienesoluciónycuálessonlassoluciones.Lamatrizcoeficientedeestesistema
eslamatriznxm,B,convectorescolumnaal,___,am.EnelCapítulo1se
estudióelusodelasoperacioneselementalesporfilapararesolverunsistema
deecuacionesBX=Y.Consideremosunejemploenelcualadoptamosambos
puntosdevistapararesponderpreguntasrespectoasubespaciosdeF"_
Ejemplo21.Consideremoselsiguienteproblema.SeaWelsubespacio
deR4generadoporlosvectores
^_@_¢=$33030..°__O,,l°
I-¡F-5
\-/\-/
jiOQY
a1==
a2==
a3== _' '_

76. l'..\¡un'It›s|'e¢'tm'lale.t M
ta)Demostrarqueoq,ozz,oz,formanunabasedeW,esdecir,queestos
tt-etoressonlinealmenteindependientes.
th)SeaB=(b,,bz,bz,b4)unvectordeW.¿Cuálessonlascoordenadas
tleBrespectoalabaseordenada{ot1,az,oz3}'?
tc)Sean
ai=(1,020)
acá=(0,20,1)
aå=(0003).
Q Y
9
Q Q ¶
Iìt-mostrarqueozí,ozz,ozf,formanunabasedeW.
td)SiBperteneceaW,sedesignaporXlamatrizdecoordenadasdeB
n--.pectoalabasedelosoz,yporX'ala_matrizdecoordenadasdeBrespecto
ttlabasedelosoz'.Hallarlamatriz3x3,P,talqueX=PX'paracadauna
tlt'l¡I|€S
PararesponderestaspreguntasporelprimermétodoseformalamatrizA
tonvectoresfilaoq,otz,az,sedeterminalamatrizescalónreducidaporfilasR,
t|neesequivalenteporfilasaA,yhaciendolasmismasoperacionessobrela
matrizidentidadseobtienelamatrizinversibleQ,talqueR=QA:
1221] [1020
02o1_›R=o1oo
-20-43 0001
[100 6-oo
o1o_›Q=%-2 5-1
ooij 4-42 -
(a)EvidentementeResderango3,conloqueoq,az,azson.indepen-
dientes.
tb)¿QuévectoresB=(bl,bz,bz,b4)pertenecenaW?Setienelabase
deWdadaporpl,pz,pz,quesonlosvectoresfiladeR.Alavistaestáqueel
espaciogeneradoporpl,pz,pzconstadelosvectoresBparalosquebz=2b1_
ParaunBtal,setiene
B=btpr+bzpz+b4P3
=|.b1›be,b4]R_
= bab4]QA
=23101+172012+223013
dondex¡=[[91bzb3]Q¡;
$1= br"'åbz+šb-1
$2=_b1+-2-bg_ãbg
Ia= _tlrbz+šba-
(c)Losvectoresozj,ozz,oz¿Í,sontodosdelaforma(yz,yz,yz,y4)conyz=2y,,
y,portanto,pertenecenaW.Esevidentequesonlinealmenteindependientes.

77. 62 /Ilet-bralineal
(d)LamatrizPtieneporcolumnas
P;=[dile
donde(B={ot1,az,ozz}_Lasecuaciones(2-26dicencómohallarlamatrizde
coordenadasparaai,ozz,az.Porejemplo,conB=oz;setienebl=1,bz=O,
b3=:2,b4ï0,y
I1=
332
223=
l-%(0)+%(0)
-I+%(0)-š(0)
-%(0)+%(0)
=1
-1
=0.
Conloqueoz;=oz,-az.Enformasemejante,seobtieneaz=ozzyozz=
2oz1-2ozz+az.Luego
P
10 2
=-11-2-
001
Ahoraseverácómoserespondenlaspreguntasporelsegundométododes-
crito_Seformalamatriz4x3,B,convectorescolumnaoil,az,otz:
B
O
2/2_22/4
3/3_2!/1
10
2o_
Htúwt-OOQ
I-Ä
*Gco ©
Inquirimosparacuálesyl,yz,yz,y4elsistemaBX=Ytieneunasolución.
10 2 ll/1 0 2 y¡
220yz 24 2y
3/ 3/43/1
-2
-4
O
t-*IOt-*O OQ OOI-^t-t
2/2'”1__›
3/3_2?/1
OO'-^
Or-«OOcnøäw
*S
'QIII
*QIII

OO»-I›-OOOOi-*O
UIQ
3/1_åll/2+ã?/4
%(23l4”1/2)
“U1+%?/2*É?/4
ya“'2?/1OOO
AsílacondiciónparaqueelsistemaBX=Ytengaunasoluciónesqueyz=2y,_
AsíB=(bl,bz,bz,b4)perteneceaWsiy,solosi,bz=2b1.SiBpertenecea
W,entonceslascoordenadas(xl,xz,xz)enlabaseordenada{oz,,az,otz}se
puedenleerde_laúltimamatrizanterior.Obtenemosnuevamentelasfórmu-
las(2-26)paraesascoordenadas.
Laspreguntas(c)y(d)serespondencomoantes.
Ejemplo22.Consideremoslamatriz5x5
A=
OIOGI-*I-*OtåOt\Dl\DQt-si-IO
t-›
OO›-P›C»›-t-OOO
-1-1
ylossiguientesproblemasconcernientesaA.

78. I\¡uu'lust~ct-tnriules t'›,i
ta)llallarunamatrizinversibleP,talquePAseaunamatrizescalón
tetlucidaporfilasR.
tb)HallarunabaseparaeiespaciodefilasWdeA.
te)Determinarquévectores(bl,bz,bz,b_.,,bz)estánenW.
td)Hallarlamatrizdecoordenadasdecadavector(bl,bz,bz,b4,bz)
deWenlabaseordenadaelegidaen(b).
te)Escribircadavector(bl,bz,bz,b4,bz)deWcomounacombinación
lnteatldelasfilasdeA.
tf)DarunadescripciónexplícitadelespaciovectorialVdetodaslasma-
tneescolumnasde5xl,X,talesqueAX=0.
tg)HallarunabasedeV.
th)¿Paraquématrizcolumna5x1,Y,laecuaciónAX=Ytieneso-
lucionesX?
PararesolverestosproblemasseformalamatrizaumentadaA'delsis-
temaAX=Yyefectuandounasucesiónapropiadadeoperacionesporfilas
ttulìreA'Z
l2
I - - _ _ _!/1+ya
U __* Í/3 --›
'Z _-21/1'i'1/4
0 ya
OOOONDOwtäcløOOOHO
Oi-ft-tt-O
OOOi-bwt-si-*OOOOEFÄHOO
t--ti-«OOO°$°$*$*$°S
°$
OOOOHOOOOIOQi-bt-v-*OOthsàttäwt-*F-*OOO
'S
_' 1/1
U yt_I/2
0 -yi+y2+y3--›
0 -31/1+yo+yt
t›
OOOOI-'*OOOONOOOHOOOOt-bwOO›-OO
yr
2/1_3/2
ya
_!/1+2/2+ya
_3?l1+ya+ya_ya
ta)Si
?/1
3/1_3/2
PY= yr,
_?/1+ya+ya
_3?/1+ya+?/4_ya
paratodoY,entonces
Cpt-*Qu-si-lHi-*OHOOi-OOOt-OOOOt-*Oi-*OO
P=

79. 64
luegoPAeslamatrizescalónreducidaporfilas
[000 Oj
SedeberesaltarquelamatrizPnoesúnica.Existen,dehecho,muchasmatri-
cesinversiblesP(queprovienendelosdiferentesmodosdeelegirlasopera-
12
OO
R= 00
00Oct-*Q
OOO
3
4
0
0
0
cionesusadasparareducirA')talesquePA=
(b)UnabasedeWsepuedeteneraltomarlasfilasnonulas
deR.
P1=
ø2=(0
ps=(0
(1203
0
0
14
0)
0)
001)
Al,eel›t-ttlineal
(c)ElespaciodefilasWconstadetodoslosvectoresdelaforma
dondecz,cz,czsonescalaresarbitrarios.Así,(bz,bz,bz,b4,bz)perteneceaW
siy,solosi.
Estasecuacionessoncasosparticularesdelsistemageneral(2-25),quesepuede
usarparaver-inmediatamentesiunvectordadoperteneceaW.Así,(-5,-10
1,-11,20)esunacombinaciónlinealdelasfilasdeA,pero(1,2,3,4,5)`noloes
(d)Lamatrizdecoordenadasdelvector(bl,2b1,bz,3b1+4bz,bz)en
5=C101+C202+Capa
=(cl:261:C2;361+462;C3)
(bt,bz,bs,ba,bs)=(7101+bath+baba
loqueesciertosiy,solost,
bg= 1
b4=3b1+4b3.
labasep,pz,pzesevidentemente
bi
lil
(e)HayvariasmanerasdeescribirlosvectoresdeWcomocombinacio
neslinealesdelasfilasdeA.Talvezelmétodomásfácilesseguirelprimerpro
cedimientodelEjemplo21anterior
(bli2b1›b3›3b1+4b3›bñ)
R
B
[bbb3›bb:Oi
[blab3›bb:Or-PA
=[blib3›bfit0!
=Uh+ba,_b3,O,0,(251
0O›--=O›-›t--
:Lt-tv-*Oi--O
Oi-*OOOt-*CCOOI-*Oi-*OC

80. Ktptttlt›.\t't't'lt›t'tttlt'.\
In|›.ntteula|',conB=t-5,-IO,l,
B=(_4›_1›O›O› )
N)C
©l\9©t-*'-'
[Q '-3
tt)LasecuacionesenelsistemaRX=0son
x1+22:2+32:4
$3+42224=
275=
"-2222_3274
$2
X= -4224
tonloqueVconstadetodaslascolumnasdelaforma
i 0 j
tlontlexzyx4sonarbitrarios.
tv)Lascolumnas
¿C4
lotmanunabaseparaV.EsteesunejemplodelabasedescritaenelEjemplo
th)La'ecuaciónAX=YtienelassolucionesXsiy,solost,
OOO›-*to Oi--Ii-P~O0O
_!/1+1/2+?/s
-31/1+1/2+:/4-yt
I-.`¡m-cicios
I.Seas<nyAunamatrizsxnconelementosenelcuerpoF.UsandoelTeorema4
tnosudemostración),demostrarqueexisteunXnonuloenF"*1talqueAX=0
2.Sean
al=(111›_2s1)› a2=(3:Oi4:"'1)› a3=(_1›2
VSOLID
O
0
0
0
0
-ll,20)setiene
O›l>~Otú Or-*t--*CD
t-I
OOt-t=~t-Im›-It-*OOO
a=(41-51 9›_7): B= 1-'414)› 7=_
tc)¿Sugiereestoalgúnteorema?
_, (1›1
ta)¿Cuáldelosvectoresot.B,ypertenecealsubespacioR4generadoporlosot,`7
tb)¿Cuálesdelosvectoresot,B,yestánenelsubespaciodeC4generadoporlosot,

81. 64
luegoPAeslamatrizescalónreducidaporfilas
12
00
R=
SedeberesaltarquelamatrizPnoesúnica.Existen,dehecho,muchasmatri
cesinversiblesP(queprovienendelosdiferentesmodosdeelegirlasopera-
cionesusadasparareducirA')talesquePA=R.
OOOOOOOOO)-'OOOO
30
40
J
.4lgebrulinertl
(b)UnabasedeWsepuedeteneraltomarlasfilasnonulas
deR.
P1=
na=(0
0
0
(12030)
pz=(0 0)
1)Oi-4Otb
(c)ElespaciodefilasWconstadetodoslosvectoresdelaforma
dondecz,cz,czsonescalaresarbitrarios.Así,(bz,bz,bz,b4,bz)perteneceaW
siy,solosi,
B:
(blrb2›bli;bd; =blpl+b3p2+b5p3
loqueesciertosiy,solost,
Estasecuacionessoncasosparticularesdelsistemageneral(2-25),quesepuede
usarparaver›inmediatamentesiunvectordado-perteneceaW.Así,(-5,-10
1,-ll,20)esunacombinaciónlinealdel`asfilasdeA,pero(1,2,3,4,5)`noloes
(d)Lamatrizdecoordenadasdelvector(bz,2bz,bz,3bz+4bz,bz)en
crm+Cam+caps
=(cz,201,02,31:1+41:2,cg)
bg=2171
bz=3bz-|-4b3.
labasepzpz,pzesevidentemente
cedimientodelEjemplo21anterior
(bl)2b1)bli;3bl+4b3)
R
B
=[bl+b3›_'b3›0)0;
[bhb3›bb;0)
[bbb3›bb;ot
[bhb3›b5›Or
br
batt
(e)HayvariasmanerasdeescribirlosvectoresdeWcomocombinacio-
neslinealesdelasfilasdeA.Talvezelmétodomásfácilesseguirelprimerpro-
PA
í
í-
C9)-\©›-It-I
¿Ãi-ft-Oi-*O
Oi-*OOOt-LOOOOt-Oi-OO

82. It'\¡›m'm.\'t'r't'lm'uIlt'.\
lnparticular.conB=(-S,-lt),l,-ll,20)setiene
ONJOHI-*OthøtølsbCDH-I-CD
th0:
B=(_4› '-11010)
j
10
0
tt)LasecuacionesenelsistemaRX=0son:
231'l'2332-l'3234
2:3+42:4
235
tonloqueVconstadetodaslascolumnasdelaforma
_22§2_3114
332
X= _42D4 C'
174
0
dondexzyx4sonarbitrarios.
tg)Lascolumnas
lotmanunabaseparaV.EsteesunejemplodelabasedescritaenelEjemplo
th)La'ecuaciónAX=YtienelassolucionesXsiy,solosi,
_?/1+11/2+1!/3
OOi-Nl.__.____|t'__"'“_"l
O›-POGQl.__.____|
O t-›
O
0
0
_3Z/1+1!/2+94_ya
líicrcicios
I.Seas<nyAunamatrizsxnconelementosenelcuerpoF.UsandoelTeorema4
tnosudemostración),demostrarqueexisteunXnonuloenF"“talqueAX=0
2.Sean
al=(1111-211); a2=(310:4:_1)› a3=(_1›2»
yscan
a=(41_5›gr'_7)› B=(311)_4›4); 'Y=(-1111 ›)
ta)¿Cuáldelosvectoresot,B,)›pertenecealsubespacioR4generadoporlosot,'7
th)¿Cuálesdelosvectoresot,B,yestánenelsubespaciodeC4generadoporlosot,
tc)¿Sugiereestoalgúnteorema?
0
0
l-Il
t-tr-*OOO

83. 00 AIgrhrulittertl
3.ConsiderarlosvectoresenR4definidospor
at=(-1,0,1,2), ag=(3,4,-2,5),cx;=(1,4,0,9).
Hallarunsistemadeecuacioneslinealeshomogéneasparalasqueelespaciodelassolu-
cionesseaexactamenteelsubespaciodeR4generadoporlostresvectoresdados.
4.EnC3,sean
al=(1,O,-í), ag=(1+í,1-iz1),0:3=('tÍ,^í,í).
DemostrarqueestosvectoresformanunabasedeC3.¿Cuálessonlascoordenadasdel
vector(a,b,c)enestabase?
5.Darunadescripciónexplícitadeltipo(2-25)paralosvectores
B=(bl:bìrb3rbli
deR5quesoncombinacioneslinealesdelosvectores
al=(lr01211:_1)› ai=(_1|21-4129
a3=(2›_1›5:2:1): ai=(21la3:512)'
6.SeaVunespaciovectorialrealgeneradoporlasfilasdelamatriz
A=
O¦Nll-'O3›-O›-OF-I00651010O»-›-O
ta)HallarunabaseparaV.
(b)¿Quévectores(xz,xz,xz,x4,xz)sonelementosdeV?
(c)Si(xz,xz,xz,x4,xz)perteneceaV,¿cuálessonsuscoordenadasenlabaseele-
gidaenlaparteta)?
7.SeaAunamatrizmxnsobreelcuerpoFyconsiderarelsistemadeecuacionesAX=Y.
Demostrarqueestesistemadeecuacionestieneunasoluciónsi,ysolosi,elrangodefila
deAesigualalrangodefiladelamatrizaumentadadelsistema.

84. 3_Transƒormaeioneslineales
1.I.Transformacioneslineales
Vamosaintroducirahoralastransformacioneslineales,queesdeloque
ct-trataenlamayorpartedeloquerestadellibro.Ellectorencontrarádeutili-
«Intlleer(oreleer)elestudiosobrefuncionesenelApéndice,yaquesehará
mnpliousodelaterminologíapertinente.
Definición.SeanVyW.dosespaciosvectorialessobreelcuerpoF_Una
transformaciónlinealdeVenWesunafunciónTdeVenWtalque
T(ca+3)=Ctra)+To
¡wmtodoslosvectoresot_vBdeVytodoslosescalarescdeF.
I-.jemplo1.SiVescualquierespaciovectorial,latransformaciónidentidad
I,tlelinidaporIa=oz,esunatransformaciónlinealdeVenV.Latransfor-
ntneióncero0,definidaporOoz=0,esunatransformación_linealdeVenV.
I-ijemplo2.SeaFuncuerpoyseaVelespaciovectorialdelasfunciones
polinomiosfdeFenF,dadopor
` f(35)=0o+C1íU+"'+C¡¢$".
Vil
(Dƒ)(:c)=el+2c2:t:+---+kc¡,:t:'°_1_
IntoncesDesunatransformaciónlinealdeVenV:latransformaciónderi-
int-ión.
67

85. 68 AI_t-ehrulineal
Ejemplo3.SeaAunamatrizmxndada,conelementosenelcuerpoF.
LafunciónTdefinidaporT(X)=AXesunatransformaciónlinealdeF""'
enF"'“'_LafunciónUdefinidaporU(ot)=ozAesunatransformaciónlineal
deF"'enF”.
Ejemplo4.Sea'Punamatrizmxmdada,conelementosenelcuerpoF,
yseaQotramatriznxndada,sobreF.SedefineunafunciónTdelespacio
F"“”'ensímismoporT(A)=PAQ_EntoncesTesunatransformaciónlineal
deF'"“"enF'"”',porque
T(cA+B)=P(¢A+B)Q
=(¢P¿1+PB)Q
=CPAQ+PBQ
=cT(A)+T(B)_
Ejemplo5.SeaRelcuerpodelosnúmerosrealesyseaVelespaciode
todaslasfuncionescontinuasdeRenR.SedefineTpor
(mm=fima
EntoncesTesunatransformaciónlinealdeVenV.LafunciónTfnosoloes
continua,sinoquetambiéntieneprimeraderivadacontinua.Lalinealidaddela
integraciónesunadesuspropiedadesfundamentales.
Ellectornotendrádificultadesenverificarquelastransformacionesde-
finidasenlosEjemplos1,2,3y5sontransformacioneslineales.Lalistade
ejemplosseampliaráconsiderablementecuandoseestudienmásaspectosde
lastransformacioneslineales.
EsimportanteobservarquesiTesunatransformaciónlinealdeVenW,
entoncesT(0)=0:loqueseveporlamismadefinición,pues
T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)-
Estepuntoesamenudomotivodeconfusiónparaquienestudiaálgebralineal
porprimeravez.yaqueprobablementehayatenidounavisiónunpocodife-
rentedelusodeltérmino«funciónlineal».Unbrevecomentarioalrespecto
podriaaclararesaconfusión.SupóngasequeVeselespaciovectorialR'.Una
transformaciónlinealdeVenVesentoncesuntipoespecialdefunciónreal
enelejereal.Enuncursodecálculoesprobablequesedigaquetalfunción
esfunciónlinealsisugrafoesunarecta.UnatransformaciónlinealdeR1enR'.
deacuerdoconladefinición,seráunafuncióndeRenRcuyografoesunarecta
quepasaporelorigen.
AmásdelapropiedadT(0)=0indiquemosotrapropiedadgeneraldela
transformaciónlinealT.Taltransformación«preserva››lascombinacioneslinea-
les;estoes,siozz,___,oz,sonvectoresdeVycz,___,c,,sonescalares,entonces
T(crar+'-'+cuan)=cr(Tai)+---+C»(T0r._)-
Elloresultadirectamenteenformaenformadirectadeladefinición.Porejemplo,
7-'(0101+Cgag)=C1(TC!1)+T(C2a2)
=C1(T(!1)+C2(T(l2).

86. `IiomIornm¢'ionc.rIt`m'ales O9
TeoremaI.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpo
I_teo-¦otz,____oz,,}unabaseordenadadeV.SeanWunespaciovectorialsobre
elnos-mocuerpoFyBz,___,B,vectorescualesquieradeW_Entoncesexisteuna
unn-otransjprmaciónlinealdeTdeVenWtalque
Totz-=B¡, j=l,.._,n_
Itt-››u›s-tración.ParademostrarqueexisteunatransformaciónlinealT
tnlqueTozz-=Bzseprocedecomosigue.DadootdeV.existeunaúnican-tuple
ttz___,x,,)talque
d= íl?1(X1'+' +íUnOln.
l'.n.|esevectorotsedefine
Ta + ..'+ xnfifls
Intonccs,Tesunacorrespondenciabiendefinidaqueasociaacadavectorot
deIunvectorTotdeW.DeladefiniciónquedaclaroqueTotz-=BJ-paracada¡_
I'-tt.:verqueTeslineal,Sea
B=Z/1011++2/_n0¢›t
deI'ySeaccualquierescalar.Ahora
Ca+B=(0101+2/0011+'''+(Cxn+.l/ft)0¢n
vonloque,pordefinición,
T(C0l+(3)=(C121-l-?/1)t51+'°°+(Cra+ynlfin-
I'o|otraparte,
c(T«)+To=cÉlao.-+,Élye.-
=ill(Cïïi+?/t)B¿
Yttst
Ttca+ti)=c(Ta)+To.
SiUesunatransformaciónlinealdeVenWconUotz-=B¡_j=1,____n,
entoncesparaelvectora=2)xfa.-setiene
i-=1
Ua=U(É:;t_a_~)
i=l
fl
=EíU¡(U0la)
Í=l
n
=EItfif
i-1
conloqueUesexactamentelamismacorrespondenciaTquesedefinióantes,
loquedemuestraquelatransformaciónlinealTconTaj=B¡_esúnica.I

87. 70 Algebralineal
ElTeorema1esmuyelemental,peroporsuimportanciahasidopresentadol
detalladamente.Elconceptodefunciónesmuygeneral.SiVyWsonespacios
vectoriales(nonulos),hayunamultituddefuncionesdeVenW.ElTeorema1
destacaelhechodequelasfuncionesquesonlinealessonmuyespeciales.
Ejemplo6.Losvectores
al=(lr
a2=(3)
sonlinealmenteindependientesy,portanto,formanunabasedeR2.Deacuer-
doconelTeorema1,existeunaúnicatransformaciónlinealdeR2enR2talqu
Ta,=(3,2,1) `
TG2=(6,5,
Deserasí,sedebepoderencontrarT(ez).Encontradoslosescalarescz,cztalest
queez=czotz+czaz,sesabeentoncesqueTez=czTozz+czTotz.Si(1,0)=†
cz(l,2)+cz(3,4),entoncescz=-2ycz=1.Conloque
=(0,1,2).
Ejemplo7.SeaTunatransformaciónlinealdelespaciodelosm-tuples
F"'enelespaciodelosn-tuplesF".ElTeorema1dicequeTestáunívocamente
determinadoporlasucesióndevectoresBz,____B,,,,donde
B¡=T6¡, 1:=1,...,m.
Dichobrevemente,Testáunívocamentedeterminadoporlasimágenesdelos.
vectoresdelabasecanónìca.Estadeterminaciónes
a: (x1:°--rxm)
Ta=x1fl1+ "'+xmøm-
SiBeslamatrizmxnquetieneporfilaslosvectoresBz,____B,,,,estoquiere
decirque
Tot=otB.
OseaquesiBz=(Bzz,____Bz,,),entonces
Bu ...B1"
T(xl›°°°›xfl)=[x1°°'xfil E E '
Bml °'°Bmn
Estaesunadescripciónmuyexplícitadelatransformaciónlineal.EnlaSec-
ción3.4seharáunestudiodetalladodelarelaciónentrelastransformaciones
linealesylasmatrices.Nose'seguiráconladescripciónparticularTa=orB,
porquetienelamatrizBaladerechadelvectorotyello-puedeinduciraconfu-
sión.Larazóndeesteejemploeshacerverquesepuededarunadescripción
explícitayrazonablementesimpledetodaslastransformacioneslinealesde
F'"enF".

88. 'Iiuns/ormaclonesllmwlcs 71
Si'I'esunatransformaciónlinealdeVenW,entonceslaimagendeTno
tusolounsubconjuntodeW,sinounsubespaciodeW.SeaRTlaimagendeT;
ntoes,elconjuntodetodoslosvectoresBdeWtalesqueB=Ta,paraalgún
›|enl'_ScanBzyBzdeRTyseacunescalar.ExistenvectoresozzyazdeV
titlesqueTotz=BzyTotz=Bz_ComoTeslineal
T(Ca1+(12)=CTCI1+Tag
=CBI+Bb
loquedicequecBz+BzpertenecetambiénaRT.
t)trosubespaciointeresanteasociadoconlatransformaciónlinealTesel
tontnntoN,queconstadelosvectoresotenVtalesqueTa=0:esunsubes-
pnetodeV,pues
ta)T(0)=0,conloqueNnoesvacío.
tI›)SiTotz=Totz=0,entonces
T(Cd1+ag)=CTG1+Tag
=c0+0
=0
tonloquecozz+otzperteneceaN.
Definición.SeanVyWdosespaciosvectorialessobreelcuerpoFyseaT
IttttttransformaciónlinealdeVenW.ElespacionulodeTeselconjuntodetodos
losvectoresotdeVtalesqueTot=0.
SiVesdedimensiónfinita,elrangodeTesladimensióndelaimagendeTy
lanulidaddeTesladimensióndelespacionulodeT.
lleaquíunodelosresultadosmásimportantesdelálgebralineal.
Teorema2.SeanVyWespaciosvectorialessobreelcuerpoFyseaTuna
tmns/ormaciónlinealdeVenW.SupóngasequeVesdedimensiónfinita.Entonces
rango(T)+nulidad(T)=dimV.
Demostración.Sea{otz,___,ot,,}unabasedeN,elespacionulodeT.Exis-
tenvectoresot,,,_z,____a,,enVtalesque{otz,____a,,}esunabasedeV.Podemos
demostrarahoraque{Tor,,,_z,___,Tot,,}esunabaseparalaimagendeT.Los
vectoresTaz,___,Tot,,generanevidentementelaimagendeT,'ycomoTozz-=0
paraj<k,sevequeTotzzz,____Tot,,generanlaimagen.Paraverqueestos
veetoressonlinealmenteindependientes,supóngasequesetienenescalares
tztalesque
ÉC,-(Ta,-)=0.
Í-k+1
I-stodiceque
T( É Cgdi)=0
i-lt:-1-l

89. 72 ›'|l_g't'l)rttlineal
_ ~ _ J
yenconsecuencia,elvectora=E+1Ct<1apertenecealespacionulodeT.)
¢=1=
Comoozz,___,az,formanunabasedeN,debenexistirescalaresbz,___,bz,
talesque
1;
a=Ebidi-
¡-1
Conloque
lo 1; t
Ebia¡"" 2 Cjd¡=0 *
¡-1 5-1=+1 |
ycomoozz,-____ot,,sonlinealmenteindependientes,sedebetener l
b1:...=-.bk=ck+1-:ø-.=cn=.0. L
SielrangodeTesr,elhechodequeTotzzz,____Tot,,formenunabasede.
laimagendeTnosdicequer=n-k.ComokeslanulidaddeTynesladi-
mensióndeV,setieneloafirmado_I
Teorema3.SiAesunamatrizmxndeelementosenelcuerpoF,entonces
rangodefilas(A)=rangodecolumnas(A)
nXl X1
Demostración.SeaTunatransformaciónlinealdeF enF"'definida
porT(X)=AX.ElespacionulodeTeselespaciodesolucionesdelsistema
AX=0,esdecir,elconjuntodetodaslasmatricescolumnaXtalesqueAX=0.
LaimagendeTeselconjuntodetodaslasmatricescolumnamx1,Y,tales
queAX=YtieneunasoluciónparaX.SiAz,____A,,sonlascolumnasdeA,
entonces
AX=x¡A¡+ +x,,A,_
demodoquelaimagendeTeselsubespaciogeneradoporlascolumnasdeA.
Esdecir,quelaimagendeTeselespaciodelascolumnasdeA.Portanto,
rango(T)=rangodecolumnas(A).
ElTeorema2dicequesiSeselespaciodesolucionesdelsistemaAX=O,en-
tonces
dimS+rangodecolumnas(A)=n.
SeaahoraelEjemplo15delCapítulo2.Ahísevioque,siresladimensión
delespaciodefilasdeA,entonceselespaciodesolucionesStieneunabase
queconstaden-rvectores:
dimS=n-rangodefilas(A).
Enconsecuencia
rangodefilas(A)=rangodecolumnas(A).I
LademostracióndelTeorema3queacabadedarsedependedecálculos
explícitosconsistemasdeecuacioneslineales.Hayunademostraciónmás
conceptualquenosebasaentalescálculos.Sedarátaldemostraciónenla
Sección3.7.

90. ltom/ornmclom-t¡tm-alt-s 73
I;}c'rcicios
I.¿_(`u;'t|esdelassiguientesfuncionesTdeR2enR2sontransformacioneslineales?
(ll)T(2?1›$2)=(1+$1,132);
(lt)T(171›932)=($2,331);
(P)T($1›$2)=(Ii,312);
(ti)T(ïlï1›$2)=(Sen¿Un932);
(e)T(:t:¡,3:2)=(x1-2:2,0).
I.llallarlaimagen,rango,espacionuloynulidadparalatransformaciónceroylatrans-
lntrnaciónidentidadenunespaciodedimensiónfinitaV.
t.l)eseribirlaimagenyelespacionuloparalatransformaciónderivacióndelEjem-
¡do2.Hacerlomismoparalatransformación-integracióndelEjemplo5.
-I.,_l-xisteunatransformaciónlinealTdeR3enR2talqueTtl,-1,1)=(1,0)y
HI,I,l)=(0,1)?
QSI
al=(11_]-)› BI=(lr
a2=(2:_1)› =(Or1)
a3=(-3)2)› B3=(l›1)
,_IusteunatransformaciónlinealTdeR2enR2talqueTotz=Bzparai=1,2,3?
ti.Describirexplícitamente(comoenlosEjerciciosIy2)latransformaciónlinealTde
I'enF2talqueTez=ta,b),Tez=(c,d).
7.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaTunafuncióndeF3enF3de-
ltuulatpor
T(íl7¡,$2,173)=($1_172+213,2171+$2,_íl71_2172+2173).
ta)ComprobarqueTesunatransformaciónlineal.
th)Si(a,b,c)esunvectordeF3,¿cuálessonlascondicionesparaa,bycdemodoque
ttvectorpertenezcaalaimagendeT?¿CuáleselrangodeT?
te)¿Cuálessonlascondicionesparaa,bycdemodoque(a,b,c)pertenezcaalespe-
ttonulodeT?¿CuáleslanulidaddeT?
It.DescribirexplícitamenteunatransformaciónlinealdeR3enR3quetienecomoima-
¡tenelsubespaciogeneradopor(1,0,-1)y(1,2,2).
O.SeaVelespaciovectorialdetodaslasmatricesnxnsobreelcuerpoFyseaBunama-
ttuttxndada.Si
T(A)=AB-BA
iomprobarqueTesunatransformaciónlinealdeVenV.
Ill.SeaVelconjuntodetodoslosnúmeroscomplejosconsideradocomounespacio
vt-ttorialsobreelcuerpodelosnúmerosreales(conlasoperacionesusuales).Hallaruna
Innt-tondeVenVqueseaunatransformaciónlinealendichoespaciovectorial,peroque
noseaunatransformaciónlinealenC1;esdecir,quenosealinealcompleja.
II.SeaVelespaciodelasmatricesnx1sobreFyseaWelespaciodelasmatricesmx1
sobreF_SeaAunamatrizmxndadayseaTlatransformaciónlinealdeVenW,definida

91. 74 Algebralineal
porT(X)=AX.DemostrarqueTeslatransformacióncerosi,ysolosi,Aeslamatriz
cero.
12.SeaVunespaciovectorialVdedimensiónnsobreelcuerpoFyseaTunatransforma-
ciónlinealdeVenVtalquelaimagenyelespacionulodeTseanidénticos.Demostrar
quenespar.(¿.SepuededarunejemplodetaltransformaciónlinealT?)
13.SeaVunespaciovectorialyTunatransformaciónlinealdeVenV.Demostrarque
lasdosafirmacionessiguientessobreTsonequivalentes.
(a)LainterseccióndelaimagendeTyelespacionulodeTeselsubespaciocerodeV.
(b)SiT(Tot)=0,entoncesTa=0.
3.2.Algebradelastransformacioneslineales
EnelestudiodelastransformacioneslinealesdeVenWesdefundamen-
talimportanciaqueelconjuntodeestastransformacionesheredaunaestruc-
turanaturaldeespaciovectorial.Elconjuntodelastransformacioneslineales
deunespacioVensímismotieneinclusounaestructuraalgebraicamayor,
pueslacomposiciónordinariadefuncionesdauna«multiplicacìón››detales
transformaciones.Seanalizaránestasideasenestasección.
Teorema4.SeanVyWespaciosvectorialessobreelcuerpoF_SeanTy
UtransformacioneslinealesdeVenW_Lafunción(T+U)definidapor
(T+U)(ot)=Tot+Uot
esunatransformaciónlinealdeVenW_SicescualquierelementodeF,lafunción
(cT)definidapor
tcT)(ot)=c(Tot)
esunatransformaciónlinealdeVenW.Elconjuntodetodaslastransformaciones
linealesdeVenW,juntoconlaadiciónylamultiplicaciónescalaraquídefinidas,
esunespaciovectorialsobreelcuerpoF_
Demostración.SupóngasequeTyUsontransformacioneslinealesde
VenW,quesedefine(T+U)comoseindicó.Entonces
(T+U)(w+5)=T(w+B)+U(w+B)
=c(Ta)+TB+c(Ua)+UB
=v(TǠUa)+(TB+UB)
=c(T+U)(«)+(T+U)(t¬2)
quediceque(T+U)esunatransformaciónlineal.Enformaanáloga,
(0T)(da+B)=c[T(da+19)]
=0[d(Ta)+TB]
=cd(Ta)+c(TB)
=d[¢(Ta)l+0(TB)
=d[(¢T)¢l+(0T)B
quediceque(cT)esunatransformaciónlineal.

92. 1':ttni/ornm¢'lon¢'sllm'alt's 75
l'a.tracomprobarqueelconjuntodetransl`ormacioneslinealesdeVenW
ttnntoconestasoperaciones)csunespaciovectorial,sedebeverificardirecta-
mentecadaunadelascondicionesparalaadiciónvectorialylamultiplica-
ttonporescalar.Sedejanlosdetallesdeestoallector,bastandoaquílossi-
¡ttnrntescomentarios:Elvectorceroenesteespacioserálatransformación
nula.quetransformacadavectordeVenelvectorcerodeW;cadaunadelas
propiedadesdelasdosoperacionesesconsecuenciadelacorrespondiente
tnoptedaddelasoperacionesenelespacioW.I
I-sconvenientemencionarotromododeveresteteorema.Sisedefinen
lnsumaylamultiplicaciónporescalarcomosehizoantes,entonceselconjunto
dttodaslasfuncionesdeVenWesunespaciovectorialsobreelcuerpoF.Esto
notienenadaqueverconqueVseaunespaciovectorial,solonecesitaqueV
minnconjuntonovacío.CuandoVesunespaciovectorial,sepuededefinir
unntransformaciónlinealdeVenW,yelTeorema4dicequelastransformacio-
nt-›.linealesformanunsubespaciodelespaciodetodaslasfuncionesdeVenW.
SerepresentaráelespaciodelastransformacioneslinealesdeVenWpor
ltl_Wl.SerecuerdaallectorqueL(V,W)sedefinesolocuandoVyWson
v-tpaeiosvectorialessobreelmismocuerpo.
Teorema5.SeaVunsubespaciovectorialdedimensiónfinitansobreel
tunpoF__vseaWunespaciovectorialdedimensiónfinitamsobreF_Entonces
rlespacioL(V,W)esdedimensiónfinitaytienedimensiónmn.
Il--mostración_Sean
(B={a1!°"!aII} y (B':-"{B1›°-°›Bm}
lot-tesordenadasdeVyW,respectivamente.Paracadapardeenteros(p,q)
tonl1;p5my15qSnsedefineunatransformaciónlinealEMdeV
Mtlllp0I'
EP›Q(a.) 1-{g, sl Z¢q
3 rrSi7:=q
=6,-zzB,,_
lleneuerdocon-elTeorema1,existeunatransformaciónlinealúnicadeVen
lt'quesatisfaceestascondiciones.SeafirmaquelasmntransformacionesEP-"
lortnanunabasedeL(V,VV),
SeaTunatransformaciónlinealdeVenW.Paracadaj,15iSn_sean
tz,_____A,,__,-lascoordenadasdelvectorTotz-enlabaseordenada(B',esdecir,
tut) Ta,-=É:A,,o,.
p-1
t)nr-remosdemostrarque
la-_›) T=iiÉA,,,E»-«
p-lq-l

93. 76 Al_et'l›ralineal¿
SeaUlatransformaciónlinealdelsegundomiembrode(3-2).Entoncespara
cadai
UOff= mE''°(¢1¡)
BMBMiebd-:[4
¦2›ü-
: möiqfir
=glAMB?
p-=l
=Tdj
yenconsecuenciaU=T_Perocomo(3-2)dicequelosEM'generanL(V,W)
debemosdemostrarquesonindependientes.Peroestoquedaclaroconloex-
puestoanteriormente;enefecto,silatransformación
U=22A,,,E»-«
P9
eslatransformaciónnula,entoncesUozz=Oparacadaj,conloque
2Arƒflr=0
11-1
ylaindependenciadelosBz,implicaqueAN-=0paratodopyj.I
Teorema6.SeanV,WyZespaciosvectorialessobreelcuerpoF_SeaTuna
transformaciónlinealdeVenWyUunatransformaciónlinealdeWenZ.Enton-
ceslafuncióncompuestaUTdefinidaporUT(or)=U(T(oc))esunatransforma-
ciónlinealdeVenZ.
Demostract`ón_
(Ur)(¢«+o)=U[~T(w+12)]
=Utcra+To)
=c[U(Ta)]+U(TB)
=c(UT)(0f)+(UT)(B)-I
Enloquesiguedebemosinteresarnosprincipalmenteentransformaciones
linealesdeunespaciovectorialensímismo.Comosetendráamenudoque
escribir«TesunatransformaciónlinealdeVenV»,sedirámásbien:«Tes
unoperadorlinealsobreV».
Definición.SiVesunespaciovectorialsobreelcuerpoF,unoperadorlineal
sobreVesunatransformaciónlinealdeVenV.
EnelcasodelTeorema6,cuandoV=W=Z,enqueUyTsonopera-
doreslinealesenelespacioV,sevequelacomposiciónUTestambiénunope-
radorlinealsobreV.Así,elespacioL(V,V)tieneuna«multiplicación››de-
finidaporcomposición.EnestecasoeloperadorTUtambiénestádefinido,
ydebeobservarsequeengeneralUT=)éTU,esdecir,UT-TU=)éO.Seha
deadvertirdemaneraespecialquesiTesunoperadorlinealsobreV,entonces

94. 'Witt!\/nttttm'lnm'_\ltm't|lt'.\ 77
It-puedecomponer'I'con'I'_usaraparaellolanotaciónT2=TT,yenge-
twml1'"1'---7'tnveces)paran=l,2,3,___SedefineT0=IsiT=)ëO.
I.t-mn.SeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoF;seanU,TzyTzopera-
doreslinealessobreV;seacunelementodeF.
(al)IU=UI=U;
tb)U(Tz+Tz)=UTz+UTz;(Tz+Tz)U=TzU+TzU;
(ClC(UTr)=(CU)T1:U(¿`T1)-
Il.-mostración_(a)Estapropiedaddelafunciónidentidadesobvia.Se
lnlt.tenunciadoaquísoloparainsistir.
tb) [U(T_+T2)](a)=U_[(Ti+T2)(«)l
=U(T1a +Tga)
=U(T1a)+U(T-ia)
=(UT1)(«)+(UT2)(«)
ttttll/(liz+T2)=UTz+UTZ.También
[tri+T2)U](__)=(T1+T2)(Ua)
=T1(Ua)+T2(Ua)
=(T1U)(«)+(T2U)(«)
tonloque(Tz+Tz)U=TzU+TzU.(Ellectorobservaráquelasdemos-
tnntonesdeestasdosleyesdistributivasnohantenidoencuentaqueTzy
Izeranlineales,ylademostracióndelasegundatampococonsideraelqueUes
ltttvttl.)
te)Sedejaallectorlademostracióndelaparte(c).I
llcontenidodeestelema,yunapartedelTeorema5,dicenqueelespacio
mtoiialL(V,V),juntoconlaoperacióndecomposición,esloqueseconoce
tomounálgebralinealconidentidad.SeexaminaráestoenelCapítulo4.
Ijemplo8.SiAesunamatrizmxnconelementosenF,setienelatrans-
IoimaciónlinealTdcfinidaporT(X)=AXdeF”1enFm*1.SiBesunamatriz
¡I›<m,setienelatransformaciónlinealUdeF'"“1enFP*1definidapor
tftll=BY.LacomposiciónUTsedefinefácilmentepor:
(UT)(X)=U(T(X))
=Utftx)
=Bt/rx)
=(B/r)X.
A-.tt/Tes«multiplicaciónalaizquierdaporelproductodematricesBA».
l-jemplo9.SeaFuncuerpoyVelespaciovectorialdetodaslasfunciones
polinomiosdeFenF.SeaDeloperadordederivacióndefinidoenelEjemplo2.
teseaTeloperadorlineal«multiplicaciónporx››:
(Tf)(2=)=1=f(=v)-

95. 78 /ll¡¿t'brttlineal
EntoncesDTaëTD.Enefecto.ellectornotendrádificultadenverificarque
DT-TD=1,eloperadoridentidad.
Auncuandola«multiplicación››quesetieneenL(V,V)noesconmutativa,
estámuyrelacionadaconlasoperacionesenelespaciovectorialL(V,V).
Ejemplo10.SeaG3={az,___,oz,,}unabaseordenadadeunespacio
vectorialV.SeconsideranlosoperadoreslinealesE""'quesepresentaronen
lademostracióndelTeorema5:
Ep'q(ai)=ôiear-
Estosn2operadoreslinealesformanunabasedelespaciodelosoperadores
linealessobreV.¿QuéesEP-°E"“?Setiene
(EP-°E'-')(w)=E”-°(ö.-.«f)
-;6'-,EP-Q((xr)
=ô¡¡ô,q0¡,.
Luego
f___0,sirafq
EMEle»_siq_ -° =r.
SeaTunoperadorlinealsobreV.SeprobóenlademostracióndelTeore-
ma5quesi
Ar=[T0f1'l<B
A=|:A1,...,An]
entonces
'GM-=M
mT=
si
U=22B,,L~--
esotrooperadorlinealenV,entoncesellemaanteriordiceque
TU= AMEP-°)(2)2B,,E'-')
BM^ietd:Ej*IM-M
= A,,B__EME†-»_
Comoobservamos,losúnicostérminosquequedanenestaconsiderablesuma
sonlostérminosconq=r,ycomoE”"E'-S=EM,setiene
TU =EE A-prBra)Ep'8
par
=22(AB)_,_Ef›-«_
ps
AsíelefectodecomponerTyUeseldemultiplicarlasmatricesAyB.
Eneltratamientodelasoperacionesalgebraicascontransformaciones
linealesnosehadichonadaaúnsobreinversión.Unapreguntaconcretade
interéseslasiguiente.¿ParacuálesoperadoreslinealesTenelespacioVexiste
unoperadorlinealT`1talqueTT"=T"1T=I?

96. lmnslormat'toneslineales 79
UnafunciónTdeVenWsediceinversiblesiexisteunafunciónUdeWen
ttalqueUTeslafunciónidentidaddeVyTUeslafunciónidentidaddeW.
SiI'esinversible,lafunciónUesúnicayserepresentaporT"1_(VéaseApén-
dice.)Másaún,Tesinversiblesiy,solosi,
I.Tesinyectiva,estoes,Tot=TBimplicaoz=B.
2.Tessobreyectiva,estoes,laimagendeTes(coincidecon)W.
Teorema7.SeanVyWdosespaciosvectorialessobreelcuerpoFysea
IunatransformaciónlinealdeVenW.SiTesinversible,entonceslafunción
n-_:promT-1esunatransformaciónlinealdeWsobreV.
Demostración.Volvemosarepetirparaaclararunaspecto.CuandoTes
unal`uncióninyectivaysobreyectiva,existeunaúnicafunciónrecíprocaT"1
ont-aplicaWsobreV,demodoqueT`'TsealafunciónidentidaddeV,yTT"1
wnlafunciónidentidaddeW.Loquesehadedemostraraquíesquesiuna
lnncrónlinealTesinversiblefentonceslarecíprocaT”tambiéneslineal.
SeanBzyBzdosvectoresdeWyseacunescalar.Queremosdemostrarque
T_¡(Cfl1'l'('32)=CT"3flr“l†T_¡B2-
Seaaz=T_'Bz,i=1,2;estoes,seaazelúnicovectordeV,talqueTozz=Bz_
t'ontoTeslineal,
T(Cd1+G2)=CTQ1+Tag
=C51+32-
Asl,cotz+azeselúnicovectordeVqueesaplicadoporTencBz+Bz,yasí
T“¡(Cflr'l'('32)=C01+02
=C(T_3fi1)'+'TTIB2
v¡T1eslineal.I
SupóngasequesetieneunatransformaciónlinealinversibleTdeVsobre
ltyunatransformaciónlinealinversibleUdeWsobreZ.EntoncesUTes
inversibley(UT)"=T“1U`*_Estaconclusiónnoexigelalinealidad,ni
tampocoimplicacomprobarseparadamentequeUTesinyectivaysobreyectiva_
lodoloquesenecesitaescomprobarqueT"U"esinversaalaizquierda
rinversaaladerechadeUT.
SiTeslineal,entoncesT(ot--B)=Ta-TB;luegoTot=TBsiy,solosi,
I'tot-B)=0.EstosimplificamucholacomprobacióndequeTesinyectiva.
SedicequelatransformaciónlinealTesnosingularsiTy=0implicay=0;
esdecir,sielespacionulodeTes{0}_Evidentemente,Tesinyectivasiy,solo
sr,Tesnosingular.Elalcancedeestaobservaciónesquelastransformaciones
linealesnosingularessonlasquepreservanlaindependencialineal.
Teorema8.SeaTunatransformaciónlinealdeVenW_EntoncesTesno
singularsi,ysolosi,TaplicacadasubconjuntolinealmenteindependientedeV
sobreunsubconjuntolinea-lmenteindependientedeW_

97. 80 /1Ig¢'¡›rulineal
Demostración.SupóngaseprimeroqueTesnosingular.SeaSunsub-
conjuntolinealmenteindependientedeV.Sial,...,aksonvectorespertene-
cientesaS,entonceslosvectoresTal,...,Ta*sonlinealmenteindependien-
tes;enefecto,si
C1(T0f1)+'''+Ck(T¢-Yk)=0
entonces
T(C1(11-I-'°'+Ckak)=0
ycomoTesnosingular
6101+ +Ck0U.==0
deloquesesigueconquecadac,=O,puesSesunconjuntoindependiente.
EsterazonamientomuestraquelaimagendeSporTesindependiente.
SupóngasequeTaplicasubconjuntosindependientessobresubconjuntos
independientes.SeaozunvectornonulodeV.EntonceselconjuntoSqueconsta
delsolovectorozesindependiente.LaimagendeSeselconjuntoqueconsta
delsolovectorTa.Portanto,Ta=;é0,pueselconjuntoqueconstadel'solo
vectornuloesdependiente;loquemuestraqueelespacionulodeTeselsub-
espaciocero,esdecir,Tesnosingular.
Ejemploll.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos(ouncuerpode
característicacero)yseaVelespaciodelasfuncionespolinomiossobreF.Consi-
déreseeloperadorderivaciónDyeloperadordela«multiplicaciónporx»,T,
delEjemplo9.ComoDaplicatodaslasconstantessobre0,Dessingular;sin
embargo,Vnoesdedimensiónfinita,laimagendeDestodoVyesposible
definirunainversaaladerechadeD.Porejemplo,siEeseloperadorintegra-
ciónindefinida:
E(0o+0122+ +c»Iv”)=0<›fiv+šc1:v”+ +,T_1ïïc,.:v"+1
entoncesEesunoperadorlinealenVyDE==I.Porotrolado,ED=,éI,pues
EDaplicalasconstantessobre0.EloperadorTestá,porasídecirlo,enlasi-
tuacióncontraria.Sixf(x)=0paratodox,entoncesf=0.ConloqueTes
nosingularyesposiblehallarunainversaalaizquierdadeT.Porejemplo,
siUeslaoperación«suprimireltérminoconstanteydividirporx››:
U(co+c1:v+ +cn=v")=c1+c2rv+ +cn1v"“1
entoncesUesunoperadorlinealenVyUT=I.PeroTU=;éI,yaquecada
funciónenlaimagendeTUestáenlaimagendeT,queeselespaciodelasfun-
cionespolinomiosƒtalesquef(O)=O.
Ejemplo12.SeaFuncuerpoyseaTeloperadorlinealsobreF2definidopor
T(331,$2)=(331+132,331)-

98. ÍPuns/m'nuu'lum'.s'Hm'ah'.\' 8I
Iumnccs7'csnosingular,puessiT(x,,xz)=0setiene
íU1+í¡32=0
$1=O
nmlnquex1=x2=0.TambiénsevequeTessobreyectiva,puessi(zl,zz)
unumlquiervectordeF2,paraverque(zl,zz)pertenecealaimagendeTse
himdeencontrarescalaresxlyx2talesque
íl71+í¡32=21
$1=Z2
Vlusoluciónobviaesxl=zz,x2=z,-zz.Esteúltimocálculodaunafórmu-
luexplícitaparaT'1,asaber,
T"*(2›,22)=(22,21-22)-
SchavistoenelEjemplo11queunatransformaciónlinealpuedeserno
ulupularsinsersobreyectivayquepuedesersobreyectivasinsernosingular.
IIpresenteejemploilustraunimportantecasoenqueellonopuedesuceder.
(II-orema9.SeanVyWespaciosvectoriales-dedimensiónfinitasobreel
im~r¡›oFtalquedimV=dimW.SiTesunatransformaciónlinealdeVenW,
luisiguientesa_firmacionessonequivalentes:
(i)Tesinversible.
(ii)Tesnosingular.
(iii)Tessobreyectiva;esoes,laimagendeTesW.
Demostración.Sean=dimV=dimW.PorelTeorema2sesabeque
rangode(T)+nulidad(T)=n.
Almrabien,Tesnosingularsi,ysolosi,nulidad(T)=0,y(comon=dimW)
IiiimagendeTesWsi,ysolosi,rango(T)=n.Comoelrangomáslanulidad
vun.lanulidadesOprecisamentecuandoelrangoesn.Portanto,Tesnosin-
¡pilarsi,ysolosi,T(V)=W.Así,sirigenlascondiciones(ii)o(iii),laotrase
mmpletambiényTesinversible.I
ScprevieneallectorquenodebeaplicarelTeorema9,exceptosiladimen-
nlfiucsfinitaycondimV=dimW.ConlashipótesisdelTeorema9lascon-
iliumies(i),(ii)y(iii)sontambiénequivalentesaéstas.
(iv)Si{oz¡,...,a,,}esunabasedeV,entonces{Toz1,...,Ta,,}esunabase
(lrIV.
(v)Existeunabase{oc¡,...,a,,}deVtalque{Ta¡,...,Toz,,}esunabase
di-W.
Scdaráunademostracióndelaequivalenciadelascincocondicionesque
r-.diferentealadadaparalaequivalenciade(i),(ii)y(iii).
(i)-›(ii)._SiTesinversible,Tesnosingular.(ii)-›(iii).Supóngaseque
Icsnosingular.Sea{a¡,...,a,,}unabasedeV.PorelTeorema8,{Ta,,...,
I>›,,¦esunconjuntolinealmenteindependientedevectoresdeW,ycomola

99. 82 Algehralineal
dimensióndeWestambiénn,esteconjuntodevectoresesunabasedeW.Ahora
seaBcualquiervectordeW.Existenescalarescl,...,c,,talesque
B=01(T¢!1)+'°°+C»(T¢1n)
=T(c1a1+---+c..a.)
loquemuestraqueBpertenecealaimagendeT_(iii)-›(iv).Sesuponeahora
queTessobreyectiva.Si{.x,,._.,oz,,}escualquierbasedeV,losvectores
Tal,...,Toz,generanlaimagendeT,queesWpordefinición.Comoladimen-
sióndeWesn,estosnvectoresdebenserlinealmenteindependientes,estoes,
debenconstituirunabasedeW.(iv)-›(v).Estonorequierecomentarios.
(v)-›(i).Supóngasequeexistealgunabase{oz1,...,a,,}deVtalque{a¡,_..,
Ta,,}esunabasedeW.ComolosTa,generanW,estáclaroquelaimagende
TestodoW.Sioz=clon,+'--+c,,a,,pertenecealespacionulodeT,entonces
T(¢1a1+---+cuan)=0
0
01(T0l1)+°''+0»(T¢l-›)=0
ycomolosTor,sonindependientes,cadac,=0,yasíoz=O.Sehavistoqueel
recorridodeTesW,yqueTesnosingular,luegoTesinversible.
ElconjuntodeoperadoreslinealesinversiblessobreunespacioVconla
.operacióndecomposiciónproporcionaunbuenejemplodeloqueseconoce
enálgebracomo«grupo››.Aunquenosetendrátiempoparaexaminarlosgru-
posconalgúndetalle,sedaráalmenosladefinición. `
Definición.Ungrupoconstadelosiguiente.
1.UnconjuntoG;
2.Unacorrespondencia(uoperación)queasociaacadapardeelementos
x,ydeG,unelementoxy_deGdetalmodoque
(a)x(yz)=(xy)zparatodox,y,zenG(asociatividad);
(b)existeunelementoeenGtalqueex=xe=xparatodoxdeG;
(c)acadaelementoxdeGlecorrespondeunelementox"1enGtalque
xx'1=x_1x=e.
Sehavistoquelacomposición(U,T)-›UTasociaacadapardeopera-
doreslinealesinversiblessobreunespacioVotrooperadorinversiblesobreV.
Lacomposiciónesunaoperaciónasociativa.EloperadoridentidadIsatis-
faceIT=TI=TparatodoT,yparaunTinversibleexiste(porelTeorema7)
unoperadorlinealinversibleT”talqueTT"=T"'T=I.Conloqueel
conjuntodelosoperadoreslinealesinversiblessobreV,juntoconestaopera-
ción,esungrupo.Elconjuntodelasmatricesn›<ninversibles,conlamulti-
plicaciónmatricialcomooperación,esotroejemplodegrupo.Ungrupose
diceconmutativosisatisfacelacondición`xy=yxparacadaxey.Losdos
ejemplosdadosanteriormentenoson,engeneral,gruposconmutativos.Ame-
nudoseescribelaoperaciónenungrupoconmutativocomo(x,y)-›x+y,
envezde(x,y)-›xy,usándoseentonceselsímbolo0paraelelemento«neutro››e.

100. I'v.milnrnmr'lom~.vh'm°uIi's NJ'
II«unmntodelosvectoresenunespaciovectorial,juntoconlaoperaciónde
mlnmuvectorial,esungrupoconmutativo.Uncuerpopuedeserdescritocomo
mit-tmjuntocondosoperaciones,llamadasadiciónymultiplicación,quees
migrupoconmutativoparalaadición,yenqueloselementosno'nulosforman
mi¡.-iupoconmutativoparalamultiplicación,teniendose,además,laleydis-
Ittlittmax(y+z)=xy+xz.
Í(Ío't'¢'Í('Í()S
ISi-.inTyUoperacioneslinealesenR2definidaspor
T(911›-172)=(1'32›911)Y'U(931,$2)=(1'31›0)-
mi¿CómosedescribiránTyUgeométricamente?
th)l)arreglassemejantesalasquedefinieronTyUparacadaunadelastransforma-
iiuttts(U+T),UT,TU,T2,U2.
ISeaTel(único)operadorlinealsobreC3paraelque
Te¡=(1,0,í),Tea=(0,1,1),Tea.=(i,1,0).
,lsIinversible?
I'waTeloperadorlinealsobreR2definidopor
T(x1,1:2,2:3)=(311,:ct-:t:2,_2x1+2:2-l-273).
¡IwIinversible?Deserlo,hallarunaexpresiónparaTi'comoaquellaque*defineaT_
II'.u-aeloperadorlinealTdelEjercicio3,demostrarque
(T2-'I)(T-31)=0.
I.\t~:iC2“2elespaciovectoriálcomplejodelasmatrices2x2deelementoscomple-
lmSea
1-1
B"[-44]
vmiI'eloperadorlinealsobreC2“2definidoporT(A)=BA.¿CuáleselrangodeT?
,'avpuededescribirT2?
toSeaTunatransformaciónlinealdeR3enR2yseaUunatransformaciónlinealde
N'enR3.DemostrarquelatransformaciónUTnoesinversible.Generalizarelteorema.
7I-neontrardosoperad_oreslinealesTyUenR2talesqueTU=ï),peroqueUT=;éO.
IISeanVunespaciovectorialsobreelcuerpoFyTunoperadorlinealsobreV.Si
I'0.¿quésepuededecirrespectoalarelaciónentrelaimagendeTyelespacionulo
-I-1"'DarunejemplodeunoperadorlinealTenR2talqueT2=0,peroT=)ë0.
0.SeaTunoperadorlinealsobreelespacioVdedimensiónfinita.Supóngasequeexiste
unoperadorlinealUenVtalqueTU=I.DemostrarqueTesinversibleyqueU=T”.
ImiunejemploquemuestrequeestoesfalsocuandoVnoesdedimensiónfinita.(Indicación:
M-.iF=Deloperadorderivaciónenelespaciodelasfuncionespolinomios.)
I0.SeaAunamatrizmxnconelementosenFyseaTlatransformaciónlinealdeF"*'

101. 84 .-II_i,'el›ruIinetd
enF"""definidaporT(X)=AX.Hacerverque,sim<n,puedesucederqueTseasol
breyectivasinsernosingular.Enformasemejantehacerverquesim>npuedetomand
Tnosingular,peronosobreyectiva. ,
ll.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitayseaTunoperadorlinealsobre
Supóngasequeelrango(T2)=rango(T).Demostrarquelaimagenyelespacionulo
Tsondisjuntos,esdecir,tienensoloelvectornuloencomún.
12.Seanp.mynenterospositivosyFuncuerpo.SeanVelespaciodelasmatricesmx
sobreFyWelespaciodelasmatricespxnsobreF.SeaBunamatrizpxmdaday
TlatransformaciónlinealdeVenWdefinidaporT(A)=BA.DemostrarqueTesinve
siblesi,ysolosi,p=myBesunamatrizmxminversible.
3.3.lsomorfismo
SiVyWsonespaciosvectorialessobreelcuerpoF,todatransformaci'
linealTdeVenWsobreyectivaeinyectiva,sediceisomorfismodeVsobre
SiexisteunisomorfismodeVsobreW,sedicequeVesisomorfoaW.
ObsérvesequeVestrivialmenteisomorfoaV,yaqueeloperadoridentid
esunisomorfismodeVsobreV.TambiénsiVesisomorfoaWporunisomo
fismoT,entoncesWesisomorfoaV,puesT”esunisomorfismodeWsob
V.EllectorpodrádemostrarfácilmentequesiVesisomorfoaWyWesi
morfoaZ,entoncesVesisomorfoaZ.Enresumen,elisomorfismoesu
relacióndeequivalenciasobrelaclasedeespaciosvectoriales.Siexisteuni
morfismodeVsobreW,sediráavecesqueVyWsonisomorfos,envez
queVesisomorfoaW.EllonoserámotivodeconfusiónporqueVesisomorf
aW,si,ysolosi,WesisomorfoaV.
Teorema10.TodoespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF4
isomorfoalespacioF". i
Demostración.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuer
poFysea(B={ot,,...,ot,,}unabaseordenadaparaV.Sedefineunafunción1
deVenF",comosigue:SiotperteneceaV,seaToteln-tuple(x1,...,x,,)dt
coordenadasdeotrespectodelabaseordenadaG3,esdecir,eln-tupletalqui'
a:xlal+ °°°+xnalt-
(
1
EnnuestroestudiosobrecoordenadasenelCapítulo2,severificóqueTel
linealinyectivayaplicaVsobreF".I {
Paramuchosfinesesfrecuenteconsiderarlosespaciosvectorialesisomor¡
foscomosifueran«elmismo»,aunquelosvectoresylasoperacionesenlol
espaciosseanmuydiferentes:esdecir,amenudoseidentificanespaciosisol
morfos.Nopretendemosprolongarahoraladiscusióndeestaidea,sinoqw
laasimilacióndelacomprensióndelisomorfismoydelsentidoenqueloses
paciosisomorfosson«losmismos»seiráhaciendoamedidaquesecontinút
elestudiodeespaciosvectoriales.

102. lhmt/nttmn'lmu'.\'ltm'ul¢'.s HS
Il.ui-1110.-;algunosbrevescomentarios.SupóngasequeTesunisomorfismo
ol-IsobreI-l'.SiSesunsubconjuntodeV,entonceselTeorema8diceque
'otwlinealmenteindependientesi,ysolosi.elconjuntoT(S)enWesindepen-
«lu-nteAsí.paradecidirsiSesindependientenoimportasiseconsideraSo
I(\|Porloquesevequeunisomorfismo«preservaladimensión»,estoes,
tt-«IosubespaciodedimensiónfinitadeVtienelamismadimensiónquesu
(nm).-enporT_Heaquíunasencillailustracióndeestaidea.Supóngaseque
tr-.unamatrizmxnsobreelcuerpoF.Yasehandadoenrealidaddosde-
IttmtonesdelespaciosolucióndelamatrizA.Laprimeraeselconjuntode
(ml.-:.losn-tuples(xl,...,x,,)deF"quesatisfacenacadaunadelasecua-
tu-mwdelsistemaAX=0.Lasegundaeselconjuntodetodaslasmatrices
wlumnasnx1,X,talesqueAX=0.Elprimerespaciosoluciónesasíun
tmlw-.|›acioF"yelsegundoesunsubespaciodelespaciodetodaslasmatrices
n-IsobreF.Ahorabien,existeunisomorfismocompletamenteobvioentre
I"wI-'"'“',asaber,
171
(zh. .Í, E °
:c,,.
Poresteisomorfismo,elprimerespaciosolucióndeAesaplicadosobreel
u~¢m|tloespaciosolución.Estosespaciostienenlamismadimensión,yasí,
utui-quieredemostrarunteoremarespectoaladimensióndelespaciosolución,
tmimportaquéespacioseelijaparaanalizar.Enrealidad,ellectornosesor-
¡tn-miei-úsidecidimosidentificarF"conelespaciodelasmatricesnx1.Esto
cvI|.tr;'\cuandoseaconveniente,ycuandonoseaconvenientenosehará.
IJa'rt'it'i(›s
I.Sral'elconjuntodelosnúmeroscomplejosyseaFelcuerpodelosnúmerosreales.
0"ttlasoperacionesusualesVesunespaciovectorialsobreF.Describirexplícitamente
mi|«.¢›mor|ismodeesteespaciosobreR2.
I.SraVunespaciovectorialsobreelcuerpodelosnúmeroscomplejosysupóngaseque
»¡~.t«-unisomorfismoTdeVsobreC2.Seanoq,az,a3,a4vectoresenVtalesque
Tal=(lr0;22)) Ta?=(_2› ii0):
Ta,=(-1,1,1),Ta,=(x/2,1',3).
(nl¿Estáot,enelsubespaciogeneradoporalya3?
(lv)SeaW,elsubespaciogeneradoporot,y:x2yseaW2elsubespaciogeneradoporot¿,
y-,¿CuáleslainterseccióndeW,yW2?
(tIllallarunabasedelsubespaciodeVgeneradoporloscuatrovectoresoz,.
\Si-aWelconjuntodetodaslasmatriceshermíticas2x2.estoes,elconjuntodelasmatri-
(vnrumplejas2x2,A,talesqueAU=A_¡,(labarraindicaconjugacióncompleja).Comose
u.n.il.ihaenelEjemplo6delCapítulo2,Wesunespaciovectorialsobreelcuerpodelos
tmtut-rosrealesconlasoperacionesusuales.Verificarque
t D
(I.y.2,¢)-›|:+“ÍÉ/+22]
111-zzt-a:
enunisomorfismodeR4sobreW.
-IDemostrarqueF""“'esisomorfoaF""'.

103. 86 .-I¡gr-bralineal
5.SeaVelconjuntodelosnúmeroscomplejosconsideradoscomoespaciovectorialsobre
elcuerpodelosnúmerosreales(Ejerciciol).SedefinecomosigueunafunciónTdeVen.
elespaciodelasmatricesreales2x2.Siz=x+iy,conxeynúmerosreales,entonces
_:tt-l-7y52/]
T(Z)_i:-10y :z:-71/2
(a)VerificarqueTesunatransformaciónlineal(real)inyectivadeVenelespaciode
lasmatricesreales2x2.
(b)VerificarqueT(z,z2)=T(z,)T(z2).
(c)¿CómosedescribiráiaimagendeT? *
6.SeanVyWespaciosvectorialesdedimensiónfinitasobreelcuerpoF.Demostrarqu
VyWsonisomorfossi,ysolosi,dimV=dimW.
7.SeanVyWespaciosvectorialessobreelcuerpoFyseaUunisomorfismodeVsobreW
DemostrarqueT-›UTU`1esunisomorfismodeL(V,V)sobreL(W.W).
3.4.Representacióndetransformacionespormatrices
SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF,yseaWun
espaciovectorialdedimensiónmsobreF.SeaG3={ot,,...,a,,}unabaseor-,
denadadeV,yG3'={fi1,...,fl,,,}unabaseordenadadeW.SiTescualquier
transformaciónlinealdeVenW,entoncesTestádeterminadaporsuefectq
sobrelosvectoresot,-.CadaunodelosnvectoresTa¡seexpresademaneraúnica
comocombinaciónlineal ,
fn
(3-3) T0;=¿ElA1-¡Br
delos/i,-.losescalaresAU,.__,AW-sonlascoordenadasdeTcx,enlabaseor-
denada03'.Porconsiguiente,latransformaciónTestádeterminadaporlos
mnescalaresAU-mediantelaexpresión(3-3).Lamatrizmxn,A,definida
porA(i,1')=A,-,-sellamamatrizdeTrespectoalpardebasesordenadasG3y63'.
LatareainmediataescomprenderclaramentecómolamatrizAdeterminala
transformaciónlinealT.
Sioc=xlcxl+''°+x,,oc,,esunvectordeV,entonces
Ta= 1',-aj)
j=l
=El:B-(Ta-)_11
J=-l
=gl37:'glAfjfir
.í==l¡-1
"I 11
=2(2Ai.-,f»,«)ra..
r=1¡=1
SiXeslamatriz'delascoordenadasdecxenlabaseorden-ada,(B.entoncesel
cálculoanteriormuestraqueAXeslamatrizdelascoordenadasdelxectmla
enlabaseordenadaG3',yaqueelescalar

104. lhmi/rummmm-slnnwlr-.v R7
fl
2A-710;'
¡-1
rwt-Ielementodelai-ésimafiladelamatrizcolumnaAX.Obsérvesetambién
qm--it_-IescualquiermatrizmxnsobreelcuergfoF,entonces
Í"ll I1Í¡'(1_¡)='-il: A¡¡I¡)fl¡
¡=1 .'.=1¡=1
il.-(mvunatransformaciónlinealTdeVenW,lamatrizdelacualesA,res-
¡witoa(B,03'.Resumiendoformalmentesetiene:
lvflrfimall-SeanVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF,
tItunespaciovectorialdedimensiónmsobreF.SeanG3unabaseordenadade
It-1ll'unabaseordenadadeW.ParacadatransformaciónlinealTdeVenW,
tmu-unamatrizmxn,A,cuyoselementospertenecenaF,talque
[T0=]o'=Alalo
¡mmtodovectorozenV.Además,T-›Aesunacorrespondenciabiyectivaentre
fl.m:¡:irit(›detodaslastransformacioneslinealesdeVenWyelconjuntodetodas
ImmatricesmxnsobreelcuerpoF.
LamatrizA,queestáasociadaaTenelTeoremall,sellamalamatrizde
In-spectoalasbasesordenadasG3,03'.Obsérvesequelaecuación(3-3)dice
qu.--IeslamatrizcuyascolumnasA,,...,A,,sondadaspor
AJ'=i:TaJ':i(B'› =1:°--›"'-
\tUesotratransformaciónlinealdeVenWyB=[B,,.._,B,,]eslamatriz
.lvl'respectoalasbasesordenadas(B,G3',entoncescA+Beslamatrizde
.IIUrespectoaG3,03'.Estoesclaroporque
CA;+Bi=¢[T0¡]ca'+[Uaƒ]as'
=[Cïldj+Uajjfgf
=[(CT+Ulflfflav-
Ieorema12.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF.
län.:cadapardebasesordenadas(B,G3'deVyW,respectivamente,lafunción
qmasignaaunatransformaciónlinealTsumatrizrespectoaG3,G3'esuniso-
m.-;/ismoentreelespacioL(V,W)yelespaciodetodaslasmatricesmxnsobre
alim'r¡›0F.
Dmnostración.Seobservóantesquetalfuncióneslinealy,comosees-
tnltlreióenelTeoremall,estafunciónesinyectivayaplicaL(V,W)sobreel
mnntntodematricesmxn.I
I-stamosparticularmenteinteresadosenlarepresentaciónpormatricesde
Im.transformacioneslinealesdeunespacioensimismo,esdecir,delosopera-
.lmt-slinealessobreunespacioV.Entalcasoesmásconvenienteusarlamisma

105. 88 .-Il_t'¢-bmlineal
baseordenada.estoes,hacerG3=G3',ysedirásimplementequelamatriz
quelarepresentaeslamatrizdeTrespectoalabaseordenadaG3.Comoeste
conceptoserámuyimportanteparaesteestudio.repasaremossudefinición.
SiTesunoperadorlinealsobreunespaciovectorialVdedimensiónfinita,
yG3={a,,_..,a,,}esunabaseordenadadeV,lamatrizdeTrespectoaG3(0.
lamatrizdeTenlabaseordenadaG3)eslamatriznxn.A.cuyoselementos
A,_,-estándefinidosporlasecuaciones Í
11
Taj=2Áfjai, =1,...,71. l
i=l
SedeberecordarsiemprequeestamatrizquerepresentaaTdependedelabasì
ordenadaG3,yqueexisteunamatrizquerepresentaaTencadabaseordenad
paraV.(Entransformacionesdeunespacioenotrolamatrizdependededo
basesordenadas,unadeVyotradeW.)Paranoolvidarestadependencia
usarálanotación
[Th
paralamatrizdeloperadorlinealTenlabaseordenadaG3.Lamaneracómo
estamatrizylabaseordenadadescribenaT,esqueparacadaotdeV
[Tala=[T]o[«]@-
Ejemplo13.SeaVelespaciodelasmatricescolumnasnxIsobree
cuerpoF;seaWelespaciodelasmatricesmxlsobreFyseaAunamat'
mxndadafijasobreF.SeaTlatransformaciónlinealdeVenWdefinid
porT(X)=AX.Sea(BlabaseordenadaparaV,análogaalabasecanóni
deF":esdecir,eli-ésimovectordeG3enlamatriznxI,X,tieneunlenl
filaiytodoslosdemáselementos0.SeaG3'lacorrespondientebaseordenad
deW;osea,el¡'-ésimovectorde(B'eslamatrizrnxl,Y,-,quetiene,unle
lafilajytodoslosdemáselementos0.EntonceslamatrizdeTrespectoalpa
G3,G3'eslamismamatrizA.Elloesevidente,pueslamatrizAXJ-eslai-ési
columnadeA. L
Ejemplo14.SeaFuncuerpoyseaTeloperadorenF2definidopor
T(l`1,332)=(171,0).
EsfácilverqueTesunoperadorlinealenF2.Sea(Blabaseordenadacanó-
nìcadeF2,G3={e,.e2}.Entonces
Tr,=T(1,o)=(1,0)=1€,+of, '
Tr,=T(o,1)=(0,0)=or,+of, l
conloquelamatrizdeTenlabaseordenadaG3es
tm=
Ejemplo15.SeaVelespaciodetodaslasfuncionespolinomiosdeRen
Rdelaforma
f(x)=co+cn:+c2:z:2+caxa

106. Inmflmwmnmwshmwks S9
.titocs,clespacioilclaslìiiicioiiespoliiioiiiiosdegradotresomenor.Elopera-
iliiiilcrivación,delliicniplo2,aplicaVeiil',yaqueI)«decreceelgrado».Sea
IllI.ibaseordenadadeVqueconstadelascuatrofuncionesƒj,fz,f_,,,ƒ,`,de-
lliiiiliispor_/,(.\')=.\¬¡1.Entonces
(Dfi)(ïU)=
(1)f2)(-1?)
(Dfsl(I)
(Df4)(f'?)
í
1-
-_
í
-.-
í
iiiiiloquela
0, Dfi=Ofi+Ofz+Ofa+Ofa
1, Dfzlfi+Ofa+Ufa+Ofi
21?, Dfa Ofi+2f2+Ofa+0f4
3.222,Dfi Oft+0f2+3fa+Ofa
matrizdeDenlabaseordenadaG3es
[D]o=
OOOOOO›-OOOOwO
0(20]
llcmosvistoloquelessucedealasmatricesrepresentantescuandolastrans-
liiiiiiacionessesuman.yesquelasmatricessesuman.Cabeahorapreguntar
ipii-sucedecuandosecomponentransformaciones.Enformamásprecisa,
ii-miI'.WyZespaciosvectorialessobreelcuerpoFdedimensionesn.myp,
ii-›.pt-ctivamente.SeaTunatransformaciónlinealdeVenWyUunatransfor-
iiiiiiionlinealdeWenZ.Supóngasequesetienenlasbasesordenadas
(B: {a1,...,an}, (B'= {fl1,...,fim}, (BN: {'Y1,...,")'¡,}
piii.ilosrespectivosespaciosV,WyZ.SeaAlamatrizdeTrespectoalpar
Ill,Hi'yseaBlamatrizdeUrespectoalparG3',G3".Esfácilverahoraquela
iiiiiiii/CdelatransformaciónUTrespectoalparG3,G3"eselproductodeByA;
i-tii-fccto.si1escualquiervectordeV
[T0f]cii'=Álfllcs
[U(T0f)]cs--=B[T0=]o'
Y"Sl
[(UT)(<1)]cs~=BA[alo
iliicgo.porladefiniciónyunicidaddelamatrizrepresentante,sedebetener
i|iir(_'=BA.Se'puedetambiénverestohaciendoelcálculo
(UT)(«1,-)=U(Tai)
=Í/(ÉlÁtjfik)
lc=l
=É?At=›'(UÚi=)
k=l
m r
=2Akj2Buríïi'
k=1 i=1
ivm
=2(2Bu=Ak¡)'Yi'
~i=lk=l

107. 90 AI,i¦eI›mlineal
conloquesedebetener
(3-6) Cii=kšlB¿t¢Á¡=¡-
Yasehabíamotivadoladefinición(3-6)paralamultiplicacióndematrices
poroperacionessobrelasfilasdeunamatriz.Aquísehavistoqueunamoti-
vaciónmuyconvincenteparaladefiniciónsetienemediantelacomposición
detransformacioneslineales.Resumiendo,tenemos:
TO0I'€m213-SeanV,WyZespaciosvectorialesdedimensiónfinitasobre
elcuerpoF;seaTunatransformaciónlinealdeVenWyUunatransformación
linealdeWenZ.SiG3,G3'yG3"sonlasbasesordenadasdelosespaciosV,Wji
Z,respectivamente,ysiAeslamatrizdeTrespectoalparG3,G3'yBeslamatriz
deUrespectoalparG3',G3”,entonceslamatrizdelacomposiciónUTrespecta
alparG3,G3"eslamatrizproductoC=BA. l
ObsérvesequeelTeorema13daunademostracióndequelamultiplicación
dematricesesasociativa,demostraciónquenorequierecálculosyqueesini
dependientedeladadaenelCapítulo1.DebeseñalarsetambiénqueenelEjem-`
plo12sehademostradouncasoparticulardelTeoremal3.
EsimportantehacernotarquesiTyUsonoperadoreslinealessobreur.
espacioVyquesiserepresentaporunasolabaseordenadaG3,entonceselTeore-“
ma13tomalaformasimple[UT](B=[U](B[T](B.Asi,enestecaso,lacorresl
pondenciaque(Bdeterminaentrelosoperadoresylasmatricesnoessolour
isomorfismodelespaciovectorial,sinoquetambiénpreservalosproductos
UnaconsecuenciainmediatadelocualesqueeloperadorlinealTesinversiblt
si,ysolosi,[T](Besunamatrizinversible.Enefecto,eloperadoridentidad
estárepresentadoporlamatrizidentidadencualquierbaseordenada,yas
UT=TU=I
esequivalentea
[U]ca[T]ca=[T]<s[U]ai=I.
Además,cuandoTesinversible
[T`1]<a=[T]cš'-
Quisiéramosahorainvestigarquésucedealamatrizrepresentantecuandt
secambialabaseordenada.Porrazóndesimplicidadseconsiderarásoloe
casodeoperadoreslinealessobreunespacioV,demodoquesolosetengaun:
baseordenada.Setratadelosiguiente.SeaTunoperadorlinealsobreeles
paciodedimensiónfinitaVysean
&ï{a]_,.-.,a¶¡} y &'={a¦)~~-jam
dosbasesordenadasparaV.¿Dequémaneraestánrelacionadaslasmatrice
[T](By[T](B.?ComoseobservóenelCapítulo2,existeunamatriz(inversible
nxn,P,únicatalque
(3-7) [alas=Plain'

108. himi/inn|iti'ii›t|i'.\'lu|i1|li'\ Vl
piiiiicadavectoroteiiV.lislamatrizI'|P,,__.,P,,]conP,=_[al].Por
1(B
ili'Iil!|t'tUn
MH) [Tala=[T]o[0=]o-
Apliviiiido(3-7)alvectorTot,tenemos
(ltti) [Ta]¢,==P[Ta]@›.
ioiiihiiiando(3-7),(3-8)y(3-9)seobtiene
[T]cBP[°f]cB'=P[T0f]cii'
P_1[T]<sP[0f]ai'=[T0f]cii'
ioiiloquesedebetenerque
lilW) [Tias=P`l[T]aP-
l-ii.ieslarespuestadelproblema.
r\iitesdeenunciaresteresultadoqueremosobservarlosiguiente.Existe
iiiiiiiiieooperadorlinealUqueaplicaG3sobreG3',definidopor
Ua¡=a;, j=1,...,7l.
l-iii-operadorUesinversible,yaqueaplicaunabasedeVsobreunabasede
IIiimatrizP(anteriormentecitada)esprecisamenteladeloperadorUenla
liii-ivordenadaG3.Enefecto,Pestádefinidapor
n.
Of;=2Paja;
¡-1
itomoUa,-=ají,estaecuaciónpuedeescribirse
n
Uaj=EPgjüi.
1'-1
MiI'=[U](Bpordefinición.
feorema14.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpo
I,i-.sean
G?›={oi,,...,ot,,}yÚ?›'={ot1,...,ot,',}
il.i_ibusesordenadasdeV.SupóngasequeTesunoperadorlinealsobreV.Si
I'[P,,...,P,,]eslamatriznxndecolumnasP¡=[ot}](B,entonces
[Tias=P`1[T]caP-
¡Iiotramanera,siUeseloperadorlinealsobreVdefinidoporUotj=ot;-.1'=
l,...,n,entonces
[T]cii'=[U]cš1[T]cB[U]cs-

109. 02 .Iligi-¡imImml
Ejemplo16.SeaTeloperadorlinealsobreR2definidoporT(x,,xz)=
(xl,0).EnelEjemplo14sevioquelamatrizdeTenlabaseordenadacanó-
nìcaG3={e,,e2}es
ej=(2,1).Entonces
demodoquePeslamatriz
P
[Tim=
SupóngasequeG3'eslabaseordenadadeR2,queconstadelosvectoresej=(1,l),
(H.M.'.'."¬
00'l1°l
61+¢2
261+G2
[121
11
Despuésdeunbrevecálculoseobtiene
Conloque
P
[ii]
1
Í il í
-1-ri:ii
[Tlof=P*1[T]oP
i1i-IOlil
I'_ïll"*_lOI'-^OI'-^ONOO
gg
Fil
i-i-I'-*NJmi
2 D
l12]
Fácilmentesepuedecomprobarqueestoescorrecto,pues
Ejemplo17.SeaVelespaciodelas
Tai=(1,0)
Té=(2,0)
-fi+fi
-2¢í-l-2¢å.
funcionespolinomiosdeRenRde
«grado››menoroigualque3.ComoenelEjemplo17,seaDeloperadorde-
rivaciónenVysea
Comolamatriz
P
(B={ƒ1›ƒ21ƒ3›ƒ4}
labaseordenadadeVdefinidaporf(x)=x¡"'.Seatunnúmerorealyde-
finaseg,(x)=(x+t)¡_1,estoes,
gi
G2
ya
94
l
fi
¿fi+f2
¿2f1+25]-2+fa
lafi-lr3É2f2+3¿fa+fi-
©©©l-^©©F-*em
¿2¿a
2t3t2
13t
01

110. Iruni/inniiirtotti-slun-iilini 4).!
ni-vcl`;'icilmentequeesinversiblecon
1-tt*-tt
01-2t 3t2
-3t
P-1=
ocooløooi-oøci-acci-
$3'-*ei.@$l-'eu
cciocowoc;-_.--Jña“is
OO
22°*°"oo
“'^'ooo
cooooøoøooi-OHoooi--QQQHcomoocwcomoomo@
-I-1
cwcc
oo??
oooi-©©l-'es
F-^es
M
22Q.
U
ur--truequeG3'={g,,gl,g3,g4}esunabaseordenadadeV.EnelEjemplo15
iiii-iirontróquelamatrizdeDenlabaseordenadaes
[D]a=ui
o_o
laiiiatrizdeDenlabaseordenadaG3'es,pues,
_ -zise 2i3:2
01 01
- 2:se
_ -2ise
01 0
A-.iI)estárepresentadaporlamismamatrizenlasbasesordenadas(ByG3',
Porsupuesto,queellopuedeverseenformadirecta,yaque
DQ1=O
DQ2=91
DQ3=2gg
DQ4=3g3.
Iiii-ejemploilustraalgoimportante.Siseconocelamatrizdeunoperador
liiii-:ilencierrabaseG3ysedeseaencontrarlamat-rizenotrabaseordenadaG3',
i--iiimenudomásconvenienteefectuarelcambiodecoordenadasusandola
iii.itrizinversibleP;peropuedesermuchomássimpleencontrarlamatrizre-
piiwcntanteporunaaplicacióndirectadesudefinición.
Definición.SeanAyBdosmatrices(cuadradas)nxnsobreelcuerpoF_
.SrdicequeBessemejanteaAsobreFsiexisteunamatrizinversiblenxn,P,
iullri'F[alqué'B=P_1AP.
l)eacuerdoconelTeorema14,setienelosiguiente:SiVesunespaciovec-
toiialdedimensiónnsobreelcuerpoFyG3yG3'sondosbasesordenadasdeV,

111. 94 .-IlL'i'lII'itlÍm'(tl
entoncesparatodooperadorlinealTsobreVlamatrizB=[T]¿B.esseme-
jantealamatrizA=[T]¿B.Elrazonamientotambiénesválidoalainversa.
SupóngasequeAyBsonmatricesnxn`yqueBessemejanteaA.SeaVcual-
quierespaciodedimensiónnsobreFysea(BunabaseordenadadeV.SeaTel
operadorlinealsobreVqueestárepresentadoenlabase(BporA.SiB=P"'AP,
sea(B'labaseordenadadeYobtenidade(BporP,esdecir
TI.
ai=ÉPrim-
i=1
EntonceslamatrizdeTenlabaseordenada(B'seráB.
AsílaafirmacióndequeBessemejanteaAquieredecirqueencadaes-
paciodedimensiónnsobreFlasmatricesAyBrepresentanlamismatrans-
formaciónlinealenlasdos(posibles)basesordenadasdiferentes.
Obsén/esequetodamatriznxn,A,essemejanteasímisma,tomando
P=I;siBessemejanteaA,entoncesAessemejanteaB,yaqueB'=P"AP
implicaqueA=(P*')"'BP"';siBessemejanteaAyCessemejanteaB,
entoncesCessemejanteaA,puesB=P“'APyC=Q"*BQimplicaque
C=(PQ)"'A(PQ).Así,pues,lasemejanzaesunarelacióndeequivalencia
enelconjuntodelasmatricesnxnsobreelcuerpoF.Obsérvesetambiénque
laúnicamatrizsemejantealamatrizidentidadIesIyquelaúnicamatrizse-
mejantealamatriznulaeslamismamatriznuia.
Ejercicios
I.SeaTeloperadorlinealsobreC2definidoporT(x,,xz)=(x,,0).Sea(Blabaseor-
denadacanónìcadeC2ysea(B'={a,,ot2}labaseordenadadefinidaporot,=(l,i),
az=(-i,2).
(a)¿CuáleslamatrizdeTrespectoalpar(B,(B"?
(b)¿CuáleslamatrizdeTrespectoalpar(B',CB?
(c)¿CuáleslamatrizdeTenlabaseordenada(B".'
(d)¿CuáleslamatrizdeTenlabaseordenada{a,,a,¦'?
2.SeaTlatransformaciónlinealdeR3cnR2definidapor
T($i,272,$3)=($1-l-232,2x;-xi).
(a)Si(BeslabaseordenadacanónìcadeR3y(B'eslabaseordenadacanónìcadeR2,
¿cuáleslamatrizdeTrespectoalpar(B,(B"?
(b)Si(B=¦ot,,az,ot3¦yG3'={[i,,/t2},donde
ai=(1,0,-I),01;»=(l,1,1),ag=(I,0,0),fi¡=(O,1),(32=(1,0)
¿CuáleslamatrizdeTrespectoalpar(B,03"?
3.SeaTunoperadorlinealsobreF",seaAlamatrizdeTenlabaseordenadacanónìca
paraF"yseaWelsubespaciodeF"generadoporlosvectorescolumnadeA.¿Querela-
ciónexisteentreWyT?
4.SeaVunespaciovectorialbidimensionalsobreelcuerpoFysea(Bunabaseordenada
deV.SiTesunoperadorlinealenVy
b
[Tias=[Íd]
demostrarqueT2--`(a+d)T+(ad-bc)I=0.

112. ÍtiimlmmuiIumtiltmwlizi 95
I,*iniIelopeiatlorlinealsobreR"cuyaiiialn/eiilabasecanónìcaes
12l
A= 0l1-
-134
liiiiiiiiiaiunabasedelaimagendeTyunabasedelespacionulodeT.
liSi-iiIeloperadorlinealsobreR2definidopor
`T(.r,,1:2)=(-1:2,xl).
t.il¿,(`uáleslamatrizdeTenlabaseordenadacanónìcadeR2?
(hi,'(`uáleslamatrizdeTenlabaseordenada(B={ot,,cx2},dondeot,=(1,2)y
0, ll.-U?
(ir)Demostrarqueparacadanúmerorealceloperador(T--cl)esinversible.
(il)Demostrarquesi(BescualquierbaseordenadaparaR2y[T]¿B=A,entonces
I,|,,±0.
lSeaTeloperadorlinealenR3definidopor
T(x¡,$2,T3)=(3111+173,_2¦ìÍ1+$2,"-$1+2222+4113).
(al¿CuáleslamatrizdeTenlabaseordenadacanónìcadeR3?
(Iii¿CuáleslamatrizdeTenlabaseordenada
{0f1-02»Gil
ilillllik'¶¡:ii.O.i).121'(-I. 2, y13=(2.1,
ic)DemostrarqueTesinversibleydarunaexpresióndeTi'talcomolaquede-
lt|i|iialT.
llSea0unnúmeroreal.Demostrarquelasdosmatricessiguientessonsimilaressobre
iliiierpodelosnúmeroscomplejos:
cos0-Scn0], ei”0
sen0cos0 0e¬'°
i\iir-ereiiciu:SeaTeloperadorlinealsobreC2representadoporlaprimeramatrizenla
|i.i-.cordenadacanónìca.Encontrarentoncesvectoresoi,yaztalesqueTa,=c¡a,,Tai,=
i'x,y¦ot,.fx2¦seaunabase.)
'ISeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseanSyTopera-
.loicslinealessobreV.Sepregunta:¿cuándoexistendosbasesordenadas(By(B'deV
i.iIi-sque[SLR=[T],B.'.'Demostrarquetalesbasesexistensi,ysolosi,existeunope-
|iilorlinealinversibleUenltalqueT=USU_'_(lì`squemudelademu.i'tract`ón:Si[S]¿B=
|I|,,,_seaUeloperadorqueaplica(Bsobre(B'ydemostrarqueS=UTU_'_Recípro-
iamcnte.siT=USU_'paraalgúnUinversible,sea(Bcualquierbaseordenadapara
Ivsea(B'suimagenporU_Demostrarentoncesque[S](B=[T](B,_)
It).sabequecloperadorlinealTsobreR2definidoporT(x,,xz)=(.\',,U)estarepre-
sentado,enlabaseordenadacanónìca.porlamatriz
A-tisi
I-leoperadorcumleT2=I.DemostraruesiSesunoradorlinealsobreR2talue
P q Pe q
S"=S,entoncmS=0,oS=I,oexisteunabaseordenada(BdeR2talque[S](B=A
(anteriormente).

113. 96 /1l,L't'l›t'ttlinvttl
ll.SeaWelespaciodetodaslasmatricescolumnanxlsobreelcuerpoF.SiAesunit
matriznxnsobreF.entoncesAdefineunoperadorlinealLAsobreWporlamultiplica-
ciónalaizquierdaL_,,(X)=AX.DemostrarquecadaoperadorlinealsobreWeselpro-
ductoalaizquierdadealgunamatriznxn;esdecir,esLAparaalgúnA.
AhorasupóngasequeVesunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoFyque
(BesunabaseordenadadeV.ParacadaozdeVsedefineUa=[a]¿B.DemostrarqueUes
unisomorfismodeVsobreW.SiTesunoperadorlinealsobreV,entoncesUTU"1esun
operadorlinealsobreW.Portanto,UTU""eselproductoalaizquierdaporalgunamatriz
nxn,A.¿CuálesA?
12.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoFysea(B=¦ot,,___,ot,,}
unabaseordenadadeV.
(a)ConformealTeoremalexisteunoperadorlinealúnicoTsobreVtalque
Ta,-=a,-+1,_7=1,...,n-1, Ta,,=0. {
¿CuáleslamatrizAdeTenlabaseordenada(B?
(b)DemostrarqueT"=0,peroqueT""=)l=0.
(c)SeaScualquieroperadorlinealenVtalqueS"=0,peroconS"""=)é0.Demos-1
trarqueexisteunabaseordenada(B'deVtalquelamatrizdeSenlabaseordenada(B'\
eslamatrizAdela¡'¬rte(a).
(d)DemostrarquesiMyNsonmatricesnxnsobreFtalesqueM"=N"=0,co
M"_1=/=0=¡l=N"_'.entoncesMyNsonsemejantes. 01
13.SeanVyWespaciosvectorialesdedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseaTunal
transformaciónlinealdeVenW.Si I
4
<B={a,,...,a,,}y(B'=(fi,,...,B,,.} l
l
sonbasesordenadasdeVyW,respectivamente,definaselatransformaciónlinealEN@
comoenlademostracióndelTeorema5:E"°""(o:,-)=ö,,,/lp.Entonces,losEM,l5p5m,
l5q5n,formanunabasedeL(l',W),yasí -
mi fl
T=22APQENI
p=lq=l
paraciertosescalaresAM(lascoordenadasdeTenestabasedeL(V,W).Demostrarque
lamatrizAconelementosA(p,q)=ApqesjustamentelamatrizdeTrespectoalpar(B,(B'.
3.5.Funcionaleslineales
SiVesunespaciovectorialsobreelcuerpoF,unatransformaciónlineal
fdeVenelcuerpodeescalaresFsellamatambiénunfuncionallinealsobreV.
Sisecomienzadesdeelprincipio,estoquieredecirquefesunafunciónde
VenF,talque
f(w+B)=0f(0f)+f(B)
paratodoslosvectoresocy/ídeVytodoslosescalarescdeF.Elconceptode
funcionallinealesimportanteparaelestudiodelosespaciosvectorialesde
dimensiónfinita,puesayudaaorganizaryclarificarelestudiodelossubes-
pacios,lasecuacioneslinealesylascoordenadas.

114. lmni/ormui'ionesIim'uli'.i 07
I-¡cmplol8.SeaI"uncuerpoyseaiia,,...,a,,escalarespertenecientes
iiIl)el`inaseunafunciónfenF"por
_f<ÍlÍ],...,17")=-(11171+°°°+anxn-
liitoiices_fesunfuncionallinealsobreF".Eselfuncionallinealrepresentado
piiilaiiiatriz[a,,...,a,,]respectoalabaseordenadacanónìcadeF”ylabase
¦l¦ileF:
a¡=f(fJ)› j=1›°'°vn'
IoilofuncionallinealsobreF"esdeestaformaparaciertosescalaresal,...,a,,.
IIlosesiguedeladefinicióndefuncionallineal,yaquedefinimosaj=f(e¡)
iempleandolalinealidad
foi,...,wi)-2fx,-,«)
=$¡f(¢¡)
=a,-:i:,-.
I
ltemplo19.Heaquíunejemploimportantedeunfuncionallineal.Sea
iiiiiienteropositivoyFuncuerpo.SiAesunamatriznxnconelementos
I-iiI',latrazadeAeselescalar
Í`›I`A=A1i+A22'l" 'l"Ami-
I IIXII
Iii(tincióntrazaesunfuncionallinealenelespaciodeasmatricesF,pues
tr(CA+B)=Él(¢A,-,+B,-,)
=CšAi'¡+šlBi°¡
i'=-1 ¿=-
=ctrA-I-trB.
l-Íjemplo20.SeaVelespaciodetodaslasfuncionespolinomiosdelcuer-
poI"ensimismo.SeattinelementodeF.Sisedefine
Lt(p)=pa)
entoncesL,esunfuncionallinealenV.Esusualdescribirestodiciendoque,
p.-iiacadat,la«valuaciónent››esunfuncionallinealenelespaciodelasfun-
iiiiiicspolinomios.Habríaqueadvertirqueelquelasfuncionesseanpolino-
miosnointervieneenelejemplo.Lavaluaciónentesunfuncionallinealenel
r--paciodetodaslasfuncionesdeFenF.
I-Ljemplo21.Estepuedeserelfuncionallinealmásimportanteenmate-
iiiiitica.Sea[a,b]unintervalocerradodelejerealyseaC([a,b])elespaciode
I.i-.funcionesrealescontinuassobre[a,b].Entonces
Lo)=[,fg<i›d¢
ili-tinetinfuncionallinealLenC([a,b]).

115. 98 AI_t¦i-bmlineal
SiVesunespaciovectorial,elconjuntodetodoslosfuncionaleslineales
sobreVforman,naturalmente,unespaciovectorial.EselespacioL(V,F).
SedesignaesteespacioporV*yselellamaespaciodualdelV:
V*=L(V,F).
SiVesdedimensiónfinitasepuedeobtenerunadescripciónmuyexplícita
delespaciodualV*.PorelTeorema5sabemosalgoacercadelespacioV*:
dimV*=dimV.
Sea(B={a1,___,a,,}unabasedeV.ConformealTeorema1existe(paracadai)
unfuncionallinealúnicojjenVtalque
(3211) fi-(Off)=5:1'-
DeestaformaseobtienedeG3unconjtintodenfuncionaleslinealesdistintos
fl,___,f,sobreV.Estosfuncionalessontambiénlinealmenteindependientes,
puessupóngaseque
(3-12› f=_›:`;lcai.
Entonces
f<«,~›=ÉlC.-f.~<«_-›
=§;6,5..
11
s'-l
=Cj.
Enparticular,sifeselftincionalcero.f(a,-)=0paracadajy,portanto,los
escalaresc,sontodosceros.Entonceslosfl,___,f,sonnfuncionaleslineal-
menteindependientes,ycomosesabequeV*tienedimensiónn,debenser
talesqueG3*={f,,___,f,}esunabasedeV*.Estabasesellamabase
dualdeG3.
TeoremaIS. SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poF_vseaG3={ot,,___,ot,,}unabasedeV.Entoncesexisteunaúnicabasedual
G3*={f¡,___,f,}deV*talquef,(a¡)=5,,-_Paracadafuncionallinealfsobre
Vsetiene
ts-mi f=É_/tw
i-1
yparacadavectorotdeVsetiene
(3-14) ot=221fi(ot)rx,-.
Demostración.Sehavistoantesqueexisteunabaseúnicaquees«dual››
deG3.SiƒesunfuncionallinealsobreV,entonces_fesunacombinaciónlineal

116. l1mii/orn|m'mni'i'l|m'uli'.i 99
H-I2)delos_/,Iy,comoobservamosdespuésde(3-12),losescalaresc¡vienen
ilailospore,=_/(ot,-).Enformaanáloga,si
fl
Gr=ÉIwli
i=1
i-›.iiiivectordeV,entonces
f¡(0=)=å§l$¿fi'(0=›')
fl
=ÉIröiƒ
1'-l
ilemodoquelaexpresiónúnicaparaoz,comocombinaciónlinealdelosot,-,es
a=fi(0=)ai-I
1-l
Iaecuación(3-14)suministraunbuenmododedescribirquéeslabase
iIii.i|.Diceque.siG3={a,,___,a,,}esunabaseordenadadeVy
ot*=¦_/j,____f,}eslabasedual,entoncesf,-esprecisamentelafunciónque
ii-.it-iiaacadavector1enVlai-ésimacoordenadadeozrespectoalabaseorde-
iiiiilaG3.Asiquetambiénsepuedenllamarlosf,funcionescoordenadasdeG3.
I.iformula(3-13),cuandosecombinacon(3-14),«liceque:Sifpertenecea
l"ysi_/(ot,-)=a,-,entoncessi
a=1101+ +I»0fii
si'IÍCIIC
lil15) f(0f)=01951+ +0f›iI1i-
Iiiotraspalabras,siseeligeunabaseordenada(BdeVyseexpresacadavec-
toicnVporsun-tupledecoordenadas(x,,___,x,,)respectoaG3,entonces
i.iilaftincionallinealenVtienelaforma(3-15).Estaeslageneralizaciónnatu-
i.iIdelEjemplo18,queeselcasoespecialenqueV=F"yG3={e,,___,e,,}_
lìjemplo22.SeaVelespaciovectorialdetodasla_lsfuncionespolinomios
ili-RenRquetienengradomenoroigualque2.Seatitl,tz,tjtresnúmeros
ii~.i|esdistintosarbitrarios,vsea
L-(10)=v(t.-)-
IiiioncesL1.L2yL3sonfuncionaleslinealessobreV.Estosfuncionalesson
linealmenteindependientes;enefecto,supóngaseque
L=C1L1+C214+caLa_
SiI=0;esdecir,siL(p)=0paratodopdeV,entoncesaplicandoLalas
--Iiiiieiones››polinomiosparticulares1,x,x2,tenemos
C1“l”C2+Ca=0
t1C1+t2C2+¿$03=0
¿ici+1302+tšci=0

117. fill) Âl,I¦t'ln'itllflfltl
Deaquísesiguequec,=cz=c¿,=0,porque(comoloindicaunligerocálcu-
lo)lamatriz
111
51¿2ta
ntšå
esinversiblecuando1,,tzyt¿,sondistintos.EntonceslosL,sonindependien-
tes,ycomoVtienedimensión3,estosfuncionalesformanunabasedeV*.
¿CuáleslabasedeVdelaqueéstaesladual?Talbase{p1,pz,p3}deVdebe
satisfacer
Li(Pƒ)=¿ii
o
Prat)=¿if-
Estasfuncionespolinomiosson,comosevebienfácilmente,
\
(_¿2)('"ta)
“(2)Si(ii4iatii-ti)
_(_t1)(_ta)
Mx)(ii-ìi›(fi-ts)
(1¬!1)($'“f2)_.
M”m-mm-M
Labase{p,,pz,p3}paraVesinteresante,yaquedeacuerdocon(3-14)setiene
paracadapenV
z†==vUòvi+-vüavii-vuavs \
Conloque,sic,,czycasonnúmerosrealescualesquiera,existeexactamente
unafunciónpolinomiopsobreRquetienegradoalomás2ysatisfaceap(t,)=c,-,
j=1,2,3.Estafunciónpolinomioesp=clpl+c,_p2+capa.
Seaestudiarahoralarelaciónentrelosfuncionaleslinealesylossubespa-
cios.Sifesunfuncionallinealnonulo,entonceselrangodefes1,yaquela
imagendefesunsubespaciononulodelcuerpoescalarydebeser(portanto)
elcuerpoescalar.SielespaciodereferenciaVesdedimensiónfinita,elrango
máslanulidad(Teorema2)nosdicequeelespacionuloN,tienedimensión
mmM=dmV-1
Enunespaciovectorialdedimensiónn,unsubespaciodedimensiónn-1
sellamaunhiperespacio.Talesespaciossellamantambiénaveceshiperplanos
osubespaciosdecodimensión1.¿Estodohiperespacioelespacionulodeun
funcionallineal?Sevefácilmentequelarespuestaessí.Noesmuchomásdifi-
cildemostrarquetodosubespaciodedimensióndeslainterseccióndeloses-
paciosnulosde(n-d)funcioneslineales(Teorema16,másadelante).
Definición.SiVesunespaciovectorialsobreelcuerpoFySesunsubconjun-
todeV,elanuladordeSeselconjuntoS°defuncionaleslinealesfsobreVtales
quef(ot)±0paratodootdeS.
l

118. I'runs'/ornmi'ioneslnn'ult's NH
l)eberíaserclaroparaellectorqueS"esunsubespaciodeV*,seaono
StinsubespaciodeV.SiSeselconjuntoqueconstadelsolovectorcero,en-
toiieesS0=V*_SiS=V,entoncesS0eselsubespaciocerodeV*.(Estoes
IàicildevercuandoVesdedimensiónfinita.)
Teorema16.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poFyseaWunsubespaciodeV.Entonces
dimW+dimWO=dimV.
Demostración.SeakladimensióndeWy{a,,___,a,,}unabasedeW.
Seeligenvectoresak,,,___,oz,enV,demodoque{a1›,___,a,,}seaunabaseparaV.
Sea{f,,___,f,}labasedeV*queesdualdeestabasedeV.Seafirmaque
¦/¿_,,___,f,}esunabasedelanuladorWO.Efectivamente.12perteneceaW°
paraizk+1,yaque
f¡(011)=5;;
yö,,-=0sii2k+1yj5k;deestosesigueque,parai2k+ l,_ƒ,`(ot)=0
sieinprequeaseaunacombinaciónlinealdeal,___,a,,.Losfuncionalesj§,+,,___,
/,,sonindependientes,demodoquetodoloquesedebedemostraresquege-
neranW°_SupóngasequefestáenV*.Entonces
f=âmm
demodoquesifestáenW°setienef(a,)=0paraiSky
f=Ésam.
i=k-I-1
HemosmostradoquesidimW=kydimV=n,entoncesdimW°=
it--k.I
Corolario.SiWesunsubespaciodedimensiónkdeunespaciovectorial
I'dedimensiónn,entoncesWeslaintersecciónde(n-k)hiperespaciosenV.
Demostración.EsteesuncorolariodelademostracióndelTeorema16
iníisbienquesuenunciado.Conlanomenclaturadelademostración,Wes
|iistamenteelconjuntodelosvectoresottalesquefi(ot)=0,i=k+1,___,n.
I-'iicasodequek=n-1,Weselespacionulodef,_I
Corolario.SiW,yW2sonsubespaciosdeunespaciovectorialdedimen-
wonfinita,entoncesW,=W2si,ysolosi,Wi”=W?.
Demostración.SiW,=W2,entoncesesclaroqueWP= SiW,#W2,
entoncesunodelosdossubespacioscontieneunvectorquenoestáenelotro.
SupóngasequehayunvectorofqueestáenWz,peronoenW,.Porelcorola-
rioanterior(oporlademostracióndelTeorema16),existeunfuncionallineal
/talquef(B)=0paratodoBdeWI,perof(a)#0.EntoncesfestáenW?.
peronoenW?yWP# I

119. 10.2 AIj¿¢'I›rulmvrtl
Enlasecciónsiguientesedarándemostracionesdistintasparaestosdos
corolarios.Elprimercorolariodiceque,siseeligeunabaseordenadadeles-
pacio,cadasubespaciodedimensiónkpuededescribirsedando(n-k)con-
dicioneslinealeshomogéneasparalascoordenadasrespectodeesabase.
Obsérvese,ahora,elsistemadeecuacioneslinealeshomogéneasdesdeel
puntodevistadelosfuncionaleslineales.Supóngasequesetieneunsistema
linealdeecuaciones
1111331+ 'l-Aiiiílïn=0
Amlxl +'°`+Aflmxn =0
delquesequien:encontrarsussoluciones.Sisedesignapor_/,Í_i=l,___,m
alfuncionallinealenF"definidopor
ƒ1`(xl;-°-1xn)=Aílxl + ''°+Aínxn
entoncessebuscaelsubespaciodeF"paratodoslosattalesque
fi'(O!)=0, i=1,...,'m.
Enotraspalabras,sebuscaelsubespacioanuladoporfl,____j,,,.Lareduc-
ciónporfilasdelamatrizdeloscoeficientesdaunmétodosistemáticopara
encontrarestesubespacio.Eln-tuple(An, ,A,,,)dalascoordenadasdel
funcionallinealj,-`respectoalabasequeesdualalabasecanónìcadeF"_El
espaciodelasfilasdelamatrizdeloscoeficientespuede.pues.considerarse
comoelespaciodelosfuncionaleslinealesgeneradopor_/,_____j/;,,_Elespacio
solucióneselsubespacioanuladoporesteespaciodefuncionales.
Ahorasepuedeconsiderarelsistemadeecuacionesdesdeelpuntodevista
«dual››_Estoes,supóngasequesedenmvectoresdeF"
a.-=(An,---›Am)
yquesedeseahallarelanuladordelsubespaciogeneradoporestosvectores.
ComounfuncionallinealtípicosobreF"tienelaforma
ƒ(xl;---yxn) =clx1+ '°'+cnxn
lacondicióndequefestéenesteanuladoresque
šA¡¡'C¡=0, 2:-`=1,...,7ì'l.
j-1
estoes,que(c,_____c,,)seaunasolucióndelsistemaAX=0.Desdeestepunto
devista.lareducciónporfilasdaunmétodosistemáticoparahallarelanula-
dordelsubespaciogeneradoporunconjuntofinitodevectoresdeF".
Ejemplo23.HeaquítresfuncionaleslinealessobreR4:
f1(íU1,332,333,334)=371'l'2332+2133'l'$4
f2(371›$2,$3,334)=2152+314
f3(íC¡,$2,$3,324)="-2231_4223+3334.

120. I'iiiti_i/orniaciorit-slineales 103
I-Isubespacioqueanulanpuedeserencontradoexplícitamentehallandola
matriz.escalónreducidaporfilasdelamatriz
12 21
A= 0201~
-20-43
Ilncálculobreve,ounaobservacióndelEjemplo2]delCapítulo2,muestraque
1020
R=0100-
0001
Portanto,losfuncionaleslineales
g1(:vi,2:2,wi,ha)=:vi+22a
g2(xl›x2:x3›$4)=$2
9s($1,332,illa,234)=$4
generanelmismosubespaciode(R4)*yanulanelmismosubespaciodeR4
tomolohacenf,,fz,fa.Elsubespacioanuladoconstadelosvectorescon
rci=-2:0»
$C3=I4='0.
Ejemplo24.SeaWelsubespaciodeR5generadoporlosvectores
al=(2:-223:4›_l)› a3=(0:0:_1›_2›
a2=(-1-›lv2:5›2); a4=(1:__]-12:3›
,,(`ómosepuededescribirW°,anuladordeW?Formandolamatriz4x5,_A,
convectoresfilasoil,az,aa,a4,yseencuentralamatrizescalónreducidapor
filasRqueesequivalenteporfilasaA:
A2 -_ __ _- ]--D R=[ -
-1 2
SifesunfuncionallinealsobreR5:
i-«Oi-*NJ
Oi-IN)r-*[000
¢›Dt\'›U\i-l>OOQNJH OOO!-*OOOHOO'-*OOONJHOI-*OO
f($1,---›1%)=jâ01%'
entoncesfestáenW°si,ysolosi,f(a,)=0,i=1,2,3,4;esdecir,si,ysolosi,
jã}lA,-,~c,-=0,ISiS-4.
listoesequivalentea
R,,-¢=,=o,tgigs
_1=l
o
C1'-C2-C4=0
Ca+2C4=0
c5=0_

121. ¡U4 Algr-bralineal
Todosestosfuncionaleslinealesfseobtienenasignandovaloresarbitrarios
aczyc4,porejemplo,cz=ayc4=b,yacontinuaciónhallandoloscorres-
pondientescl==a+b,c3=-2b,cs=0.
ConloqueW°constadelosfuncionaleslinealesfdelaforma
j-($1,$2,$3,$4,$5)=(0+b)1l31+(1132'_2b$3+(2174.
LadimensióndeWOes2,yunabase{f,,j§}paraW°puedeencontrarsepri-
meramentetomandoa=1,b=0,yentoncesa=0,b-=1:
ƒ1(íC1,...,$5)=$1+$2
f2(ïU1›---›$5)=¿U1_211:;'l'¿U4-
ElfanteriorgeneralenW°esf=af,+bf2_
Ejercicios
I.EnR-3,S63.ot¡=(1,0,1),0:2=.(0,1,-2),0:3=(_-1,-1,0)
(a)SifesunfuncionallinealsobreR3talque
f(“1)=lif(0f2)=“li f(0fa)=3»
ysioz=(a,b,c),hallar_f(a).
(b)DescribirexplícitamenteunfuncionallinealfsobreR3talque
f(0fi)=f(¢22)=0P¢f0f(0a)5*0-
(c)Seafcualquierfuncionallinealtalque
f(0t1)=f(0f2)=0Yf(0a)7¿0-
Sicz=(2,3,-1),demostrarque_f(ot)9€0.
2.Sea(B={ot,,az,ot¿,}labaseparaC3definidapor
al=(lt0:-Di a2=(1:li1): a3=(212›0)'
Hallarlabasedualde(B.
3.SiAyBsonmatricesnxnsobreelcuerpoF,demostrarquetraza(AB)=traza(BA).
Entoncesdemostrarquelasmatricessemejantestienenlamismatraza.
4.SeaVelespaciovectorialdetodaslasfuncionespolinomiospdeRenRquetienen
grado20menor:
P(I)=ci+».22+021:”.
SedefinentresfuncioneslinealessobreVpor
f.<i››=L'po)dx.fio)=L”i›<=¢›dx,fio)=L"iio)dx.
Demostrarque{_f,,fz,f3}esunabasedeV*,presentandolabasedeVdelacualésta
esdual.
5.SiAyBsonmatricescomplejasnxn,hacerverqueesimposiblequeAB-BA=I.

122. I`run.\_'/urnmi'timeslineales 10.5
o.SeanniynenterospositivosyFuncuerpo.Seanfl,___,f,,,funcionaleslinealesenF"_
ParaozeiiF"define
Ta=(ƒ1(a)i---;ƒm(a))-
DemostrarqueTesunatransformaciónlinealdeF"enF"'.Demostrarluegoquetoda
transformaciónlinealdeF"enF"'esdelaformaanteriorparaciertosfii.__,_f,,,_
7_Sgaal=(1,0,_1,2)yaz=(2,3,1,1)yseaWelsubespaciodeR4generadopor
1,yotz.¿Quéfuncionaleslinealesfr
f(I1,$2,Ia,$4)=01211+62252+Caflïa+04%;
estánenelanuladordeW?
8.SeaWelsubespaciodeR5generadoporlosvectores
ai=ei+2e2+¢¢, a2=e2+3ei+3¢i+ei
0¢z=€1+4€2+6€a+4€4+€s-
llallarunabasedeWB.
9.SeaVelespaciovectorialdetodaslasmatrices2x2sobreelcuerpodelosnúmeros
reales,ysea
2-2
B`[-11]'
SeaWelsubespaciodeVqueconstadetodaslasAtalesqueAB=0.Seafunfuncional
linealsobreVqueestáenelanuladordeW.Supóngasequef(I)=0yf((')=3,donde
Icslamatrizidentidad2x2y
OO
C"BJ'
I0.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos.Sedefinennfuncionaleslinealesen
F"(n22)por
nanrflai
ƒ,,(:i:¡,___,:t:,,)=Él(lc-_7):t:,-,1S¡GSfl-
,_
¿Cuálesladimensióndelsubespacioanuladoporfi.___,_f,,?
II.SeanW,yW2subespaciosdeunespaciovectorialVdedimensiónfinita.
(a)Demostrarque(W,+W2)°=WP(j
(b)Demostrarque(W,OW2)°=W?+Wf.
l2_SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseaWunsubespa-
ciodeV.Si_fesunfuncionallinealsobreW,demostrarqueexisteunfuncionallinealg
sobreVtalqueg(a)=f(a)paratodootdelsubespacioW.
I3.SeaFunsubcuerpodelcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaVcualquierespacio
vectorialsobreF.SupóngasequefygsonfuncionaleslinealessobreVtalesquelafunción
Iidefinidaporh(a)=f(ot)g(ot)seatambiénunfuncionallinealsobreV.Demostrarque
_ƒ=0og=U_
I4_SeaFuncuerpodecaracterísticaceroyseaVunespaciovectorialdedimensiónfinita
sobreF.Si01,,___,fz,,sonunnúmerofinitodevectoresdeV,distintosdelvectornulo,de-
mostrarqueexisteunfuncionallinealfsobreVtalque
ƒ((I¡)_7¿0, 1:=l,...,m.

123. "M Álflrlirttltmwl
15.DeacuerdoconelEjercicio3,lasmatricessemejantestienenlainismatraia.lïntoiicesi
sepuededefinirlatrazadeunoperadorlinealenunespaciodediniensioiilinitacomoIii
trazadecualquiermatrizquerepresentealoperadorenunabaseordenada.Estaestáhieti
definida,yaquetodaslasmatricesquerepresentanunoperadorsonsemejantes.
SeaahoraVelespaciodetodaslasmatrices2x2sobreelcuerpoFyseaPunamatrir
2x2dada.SeaTeloperadorlinealsobreVdefinidoporT(A)=PA_Demostrarque
traza(T)=2traza(P).
16.Demostrarqueelfuncionaltrazadeunamatriznxnesúnicoenelsiguieiitesentido.
SiWeselespaciodelasmatricesnxnsobreelcuerpoFysifesunfuncionallinealsobre
Wtalquef(AB)=f(BA)paratodoAyBdeW,entoncesfesunmúltiploescalardela
funcióntraza.Siademásf(I)=n,entoncesfeslafuncióntraza.
17.SeaWelespaciodelasmatricesnxnsobreelcuerpoFyseaWoelsubespacioge-
neradoporlasmatricesCdelaformaC=AB-BA.DemostrarqueWOesexactamente
elsubespaciodelasmatricesquetienentrazacero.(Indicación:¿Cuálesladimensióndel
espaciodelasmatricesdetrazacero?Considerarlasmatrices«básicas››,esdecir,lasma-
tricesquetienensolounelementononulo,paraconstruirsuficientesmatriceslinealmente
independientesdelaformaAB-BA.)
3.6.Eldobledual
Unapreguntarespectoabasesdualesquenosecontestóenlasecciónan-
terior,erasitodabasedeV*esladualdealgunabasedeV.Unaposibilidad
decontestarestapreguntaesconsiderarV**,espaciodualdeV*.
SiozesunvectordeV,entoncesozinduceunfuncionallinealL,sobreV*,
definidopor
L..(f)=f(¢r)›ffiflV*-
ElhechodequeL,sealinealnoesmásqueunareformulacióndeladefinición
delasoperacioneslinealesenV*:
L_.(¢ƒ+0)=(cf+a)(«)
=(¢_f)(a)+11(0)
=cfta)+a(a)
=CL-=-(f)+L.-(al
SiVesdedimensiónfinitayot9€0,entoncesL,9€0;enotraspalabras,existe
unfuncionallinealftalquef(ot)9€0.Lademostraciónesmuysimpleyfue
dadaenlaSección3.5:Elíjaseunabaseordenada(B={a,,___,a,,}deVtal
queot,=oz,yseafelfuncionallinealqueasignaacadavectorenVsuprimera
coordenadaenlabaseordenada(B.
Teorema17.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poF_ParacadavectorotdeVsedefine
1-..(f)=f(0f),fenV*-
Laaplicaciónot-›LaesentoncesunisomorfismodeVsobreV**_

124. Iiims/iirmucimtesllm-film ¡U7
I)enu›stración_HemosmostradoqueparatodoozlafunciónL,eslineal.
SiipóngasequeozyltpertenezcanaVycaF,yseay=con+B.Entoncespara
cadafenV*
L'r(f)=f('Y)
=ƒ(e«+B)
=¢ƒ(«)+ƒ(fi)
=CI/a(ƒ)+
L1 ”-=CII@+Lp.
I-stomuestraquelaaplicaciónot-›L,esunatransformaciónlinealdeVen
I"“"_Estatransformaciónesnosingular;enefecto,deacuerdoconlasobser-
vacionesanterioresL,=0si,ysolo.si,oz=0.Entoncesoz-›L,esunatrans-
formaciónlinealnosingulardeVenV**,ycomo
4
dimV**=dimV*=dimV
elTeorema9afirmaqueestatransformaciónesinversible-yes,portanto,un
isomorfismodeVsobreV**_I
Y¿ISI
Corolario.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoF_
.SiLesunfuncionallinealenelespaciodualV*deV,entoncesexisteunúnico
rectorotdeVtalque
LU)=f(01)
paral`0d0fdeV*.
Corolario.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poF_TodabasedeV*esdualdealgunabasedeV.
Demostración.Sea(B*={f,,___,f,}unabasedeV*.PorelTeorema15,
existeunabase{L,,___,L,,}deV**talque
Li(f¡)=515-
Porelcorolarioanterior,paratodoiexisteunvectoroz,deVtalque
L-=(ƒ)=f(a.-)
paratodofdeV*;esdecir,talqueL,=Lai.Sesigueinmediatamenteque
{a,,___,oz,,}esunabasedeVyque(B*esladualdeestabase.I
EnvistadelTeorema17escorrienteidentificarozconL,ydecirqueV«es››
elespaciodualdelV*,oquelosespaciosV,V*estánnaturalmenteenmutua
dualidad.Cadaunoeselespaciod'ualdelotro.Enelúltimocorolariosetiene
unailustracióndeloútilqueestopuedeser.Heaquíotrailustración.
SiEesunsubconjuntodeV*,entonceselanuladorE0es(técnicamente)
unsubconjuntodeV**_SisedecideidentificarVyV**comoenelTeorema17,
entoncesE"esu`nsubespaciodeV,valedecirelconjuntodetodoslosotdeV
talesquef(ot)=0paratodoslosfdeE.EnuncorolariodelTeorema16hemos

125. ION /ll,t¦i'l›rulltlml
obsen/adoquecadasubespacioWestádeterminadoporsuanuladorW”.¿Cómo
estádeterminado?LarespuestaesqueWeselsubespacioanuladoportodos
losfdeWO;estoes,lainterseccióndelosespaciosnulosdetodoslos_/enWo.
Connuestraactualnomenclaturaparaanuladores,larespuestapuedeescri-
birseenformamuysimple:W=(W°)°_
Teorema18.SiSescualquiersubconjuntodeunespaciovectorialdedi-
mensiónfinitaV,entonces(S°)°eselsubespaciogeneradoporS.
Demostración.SeaWelsubespaciogeneradoporS.EsclaroqueWO=S”.
Portanto,loquesedebedemostraresqueW=W°°_Yasehadadounade-
mostración_Heaquíotra.PorelTeorema16
dimW+di1nW°=dìmV
dimW”+dimW°°=dimV*
ycomodimV=dimV*,setiene
dimW=dimW°°_
ComoWesunsubespaciodeW°°,sevequeW=W°°_|
Losresultadosdeestasecciónsonválidosparaespaciosvectorialesarbi-
trarios;sinembargo,lasdemostracionesrequierenelusodelllamadoaxioma
deelección.Queremosevitarenredarnosenunalargadiscusióndeeseaxioma,
demodoquenoseabordaránlosanuladoresenespaciosvectorialesgenerales.
Perohaydosresultadosrespectoafuncionaleslinealesenespaciosvectoriales
arbitrarios,tanfundamentales,quesedaranacontinuación.
SeaVunespaciovectorial.QueremosdefinirhiperespaciosenV.Amenos
queVseadedimensiónfinita,nosepuedehaceresoconsiderandoladimensión
delhiperespacio.PerosepuedeexpresarlaideadequeunespacioNtieneapenas
unadimensiónmenosqueV,delasiguienteforma:
1.NesunsubespaciopropiodeV;
2.siWesunsubespaciodeVquecontieneaN,entoncesW=No
W=V.
Lascondiciones(1)y(2)enconjuntodicenqueNesunsubespaciopropioy
quenoexisteunsubespaciopropiomayor;valedecir,Nesunsubespaciopro-
piomaximal_
Definición.SiVesunespaciovectorial,unhiperespacioenVesunsubes-
paciopropiomaximaldeV.
Teorema19.Siƒesunfuncionallineal:zonulosobreelespaciovectorialV,
entonceselespacionulodefesunhiperespacioenV.Recíprocamente,todohi-
perespaciodeVeselespacionulodeun(noúnico)funcionallinealnonulosobreV.
Demostración.SeafunfuncionallineanonulosobreVyNfsuespacio
nulo.SeaotunvectordeVquenoestéenNf;esdecir.unvectortalqueƒ(oi)9€0.

126. l'i«ms/ornti¡rin,mm¡¡m,"¡,,_` mv
5*'*|°'““-`““'iráquetodovectordeVestáenelsubespaciogeneradoporNƒyot.
¡W*"h°`f¬`Patcioconstadetodoslosvectores
'y+cot,yenN¡,cenF.
Seu/lcnV/_Sedefine
_aa
3°"f<«›
*|"*f`tieneSientidoporquef(ot)9€0.Entonceselvectory=,6~capertenece
iiN¡,yaqlue
flfi=fiB-M)
={)(i6)_0ƒ(a)
"W1°queeBestáenelsubespaciogeneradoporNfyot.
SeaahoaraNunhiperespacioenV.Seaotalgúnvectorquenopertenece
i'N-C0m0›Nesunsubespaciopropiomaximal,elsubespaciogeneradoporN
Y0*esmdfoelespacioV.Portanto,todovectorBdeVtienelaforma
l3=y-l~cot,yenN,cenF_
HVefìtøf'PpyelescalarcestánunívocamentedeterminadosporB.Sisetiene
tambienqtug
B=y'+c'ot,¬,"enN,c'enF
entonces
__ (C'-C)<1=v-i"-
Í'¿ti"Cl:-9€0,entoncesotestaríaenN;luegoc'=cyy'==y.Otramanera
WOfmuairestaconclusiónes:SiBperteneceaV,existeunúnicoescalarc
'if'que“-caperteneceaN.Seag(B)eseescalar.Esfácilverquegesunfun-
“UnailmeialenVyqueNeselespacionulodegI
Lema-'SiƒygsonfuncionaleslinealesenelespaciovectorialV,entonces
9esunmuìltiploescalardefsi,ysolosi,elespacionulodegcontienealespacio
"M0defï;estoes,si,ysolosi,_f(ot)=0implicaqueg(ot)==0.
'D_em0S'tración_Sif=0entoncestambiéng=0ygestrivialmenteun
multlploFsscalardejïSupóngasequef9€0demodoqueelespacionuloN,
SeaunhllperespacioenV.ElíjasealgúnvectorotenVconf(ot)9€0,ysea
=M.
°f<«›
Elfuncimiallinealh=g-cfes0sobreNƒ,yaquetantofcomogsonahí0
YMa)=êg(ot)-cf(a)=0.Asíhes0enelsubespaciogeneradoporN,yot
`"YeseSlubespacioesV.Seconcluyequeh=0;esdecir,queg=cf.
_T°°"°¡ma20.Seang,fl,___,jjfuncionaleslinealessobreunespaciovec-
'0"'“¡VGonespaciosnulosN,N,,___,N,,respectivamente.Entoncesgesuna

127. lll) Algebralineal
combinaciónlinealdelosfl,____f,si,ysolosi,Ncontienelaintersección
N1m".'nN,..
Demostración.Sig=c¡ƒ¡+H-+c,f,yf,.(a)=0paratodoi,enton-
cesevidentemente,g(ot)=0.Portanto,NcontieneN,O---ON,_
Demostraremoselrecíproco(Iaparte«si››delteorema)porinducciónso-
breelnúmeror.Ellemaprecedenteserefierealcasoenquer=1.Supóngase
queelresultadoseaválidoparar=k-1yseanfl,___,jj,funcionaleslineales
conespaciosnulosNl,___,N,,talesqueN,O---ON,,estácontenidoenN,el
espacionulodeg.Seang',jj',___,Ĥ_,lasrestriccionesdeg,jj,___,fi,_,al
subespacioN,,_Entoncesg',fl',___,ƒ,;'_,sonfuncionaleslinealessobreeles-
paciovectorial_N,,_Además,siotesunvectordeN,,yf'(oz)=0,i=1,___,k-1,
entoncesotestáenN,(W---ON,,,conloqueg'(ot)=0.Porlahipótesisde
inducción(elcasor=k-l),existenescalaresc,talesque
Q'=C1fi+'''+Cr-tfti-L
Seaahora
ii-1
(3-16) ll=9_'¿PlCifr-
ConloquehesunfuncionallinealenVy(3-16)dicequeh(ot)=0paratodo
oienN,,.Porellemaanteriorhesunmúltiploescalarde/¿_Sih=c,,j§,,entonces
g=râtciƒi-2I
Ejercicios
l.SeanunenteropositivoyFuncuerpo.SeaWelconjuntodetodoslosvectores(x,,___,x,,)
deF"talesquexl+--'+x,,=0_
(a)DemostrarqueW°constadetodoslosfuncionaleslinealesfdelaforma
fl
ƒ(:t:¡,___,:t:,,)=c2)x,-_
3=l
(b)HacerverqueelespaciodualW*deWpuedeidentificarse«naturalmente››con
losfuncionaleslineales
¢ou,x¶¡,)2 --O + cnxn
sobreF"quesatisfacecl+ +c,,=0.
2.UsandoelTeorema20,demostrarlosiguiente.SiWesunsubespaciodeunespacio
vectorialdedimensiónfinitaVysi-¦g,,___,g,}escualquierbaseparaWo,entonces
W ==.ñl Nm-
3.SeaSunconjunto,FuncuerpoyV(S;F)elespaciodetodaslasfuncionesdeSenF:
(ƒ+g)(=v)=f(x)+g(==)
(¢ƒ)(=v)=vf(=v)-
SeaWcualquiersubespaciodedimensiónndeV(S;F).Demostrarqueexistenpuntos
xl,_,x,,enSyfuncionesfi..__,_f,,enWtalesquef,-(x,-)=ó,-¡_

128. I'tttus/irrtmn'imtvsltm'ule.\- lll
il.7.Transpuestadeunatransformaciónlineal
SupóngasequesetienendosespaciosvectorialesVyWsobreelcuerpoF
vunatransformaciónlinealTdeVenW.EntoncesTinduceunatransfor-
maciónlinealdeW*enV*,comosigue.Supóngasequegesunfuncionallineal
enW,ySea
tw-17) f<«›=gm)
paracadaocenV.Entonces(3-17)defineunafunciónfdeVenF,queeslacom-
posicióndeT,funcióndeVenW,cong,funcióndeWenF.Comoambas,
I'yg,sonlineales,elTeorema6dicequefestambiénlineal;valedecir,ƒes
unafunciónlinealenV.AsíTsuministraunacorrespondenciaT'queasocia
atcadafuncionallinealgsobreWunfuncionallinealƒ=T'gsobreV,defini-
tlnpor(3-17).ObsérvesetambiénqueT'esigualmenteunatransformación
linealdeW*;enefecto¬siglyglestánenW*ycesunescalar
[T'(C91"l"92)](Of)=(C91+92)(T0f)
"=C91(T0f)+Q2(T0fl)
=C(T'91)(0I)+(T'92)(¢1)
demodoqueT'(cg,+gz)=cT'g¡+T'g2.Resumamos.
Teorema21.SeanVyWespaciosvectorialessobreelcuerpoF.Paratoda
transformaciónlinealTdeVenW.existeunaúnicatransformaciónlinealT'de
lI'*enV*talque
lrfllldl=.€(T0ll
paratodogdeW*ytodoozdeV.
AT'selallamatranspuestadeT.EstatransformaciónT'tambiénsellama
amenudoadjuntadeT,peronousaremosestaterminología.
Teorema22.SeanVyWespaciosvectorialessobreelcuerpoFyseaTuna
transformaciónlinealdeVenW_ElespacionulodeT'eselanuladordelaimagen
deT.SiVyWsondedimensiónfinita,entonces
(i)rango(T')=rango(T)
(ii)laimagendeT'eselanuladordelespacionulodeT.
Demostración.SigperteneceaW*.entoncespordefinición
(T'a)(a)=g(T<›=)
paratodorxdeV.LaafirmacióndequegestáenelespacionulodeT'quiere
decirqueg(Trx)=0paratodoocdeV.AsielespacionulodeT'es,precisa-
mente,elanuladordelaimagendeT.
SupóngasequeVyWsondedimensiónfinita,porejemplo,dimV=n
ydimW=m.Para(i):SearelrangodeT,esdecir,ladimensióndelaimagen
deT.PorelTeorema16elanuladordelaimagendeTtieneentoncesdimen-

129. l1.2 Algvliritlineal
sión(m-r).PorlaprimeraafirmacióndeesteteoremalanulidaddeT'debe
ser(m«-r).Peroentonces,comoT'esunatransformaciónlinealenunespacio
dedimensiónm,elrangodeT'esm-(m_r)=r,yasíTyT'tienenelmismo
rango.Para(ii):SeaNelespacionulodeT.Todofuncionalenlaimagende
T'estáenelanuladordeN;enefecto,supóngasequef=T'gparaalgúng
enW*;entonces,siocestáenN
f(0=)=(T'9)(°=)=9(T0=)=91(0)='0-
Ahorabien,laimagendeT'esunsubespaciodelespacioNO,y
dimNo=n-dimN=rango(T)=rango(T')
conloquelaimagendeT'debeser,exactamente,N°.I
Teorema23,SeanVyWespaciosvectorialesdedimensiónfinitasobre
elcuerpoF.SeaG3unabaseordenadadeVconbasedualG3*,yseaG3'unabase
ordenadadeWconbasedualG3'*.SeaTunatransformaciónlinealdeVenW;
seaAlamatrizdeTrespectoa(B,G3'yseaBlamatrizdeT'respectoa(B'*,G3*.
Ent0nce.ç :'-Ají.
Demostración.Sea
(B:{a1;---;an}› (B':{Bl›°°'›B1"}r
(B*={ƒl›~~-›ƒfl}› al*={gl›~°°›gM}°
Pordefinición,
Taj: ï`¡A.,'¡fl¡, j=l,...,7l
¡-1
T'9›'= BfifoÍ=1,---›m-
Porotrolado, 'cl
(T'a,-)(a-)=Q,-(Ta.-)
=¶1'(§Ákifik)
it=1
=iniAH!h'(5k)
tt-1
=glÁkiöƒk
tt-1
=Ají.
ParacualquierfuncionallinealfsobreV
f.=f<«t›f.».
Siseaplicaestafórmulaalfuncionalf=Tg_,-yseconsideraque(T'g¡)(a¡)=A¡,-,
setiene
T'9f=ÉlA1'-'ff
dedondesedesprendeenformainmediataqueBU-=A_,-¡_I

130. I":tms/nmtm'ium-.rlim'alt'.\' II3
Definición.SiAesunamatrizm›<nsobreelcuerpoF,latranspuestade
eleslamatriznxm,A',definidaporA§¡=A_}¡.
ElTeorema23dice,pues,quesiTesunatransformaciónlinealdeVenW,
cuyamatrizconrespectoaunpardebasesesA,entonceslatransformación
transpuestaT'estárepresentada,enelpardebasesdual,porlamatriztrans-
puestaA'.
Teorema24.SeaAcualquiermatrizm›<nsobreelcuerpoF.Entonces
elrangodefilasdeAesigualalrangodecolumnasdeA.
Demostración.SeaG3labaseordenadacanónìcadeF"y(B'labaseordena-
dacanónìcadeF"'.SeaTlatransformaciónlinealdeF"enF"'talquelamatriz
deTrespectoalparG3,G3'seaA;esdecir,
T(xl›---txn) =(Í/lt---:Í/fu)
donde
n
2/í=EÁ¡¡Z¡.
ƒI=l
lìlrangodecolumnasdeAeselrangodelatransformaciónT,pueslaimagen
deTconstadetodoslosm-tuplesquesoncombinacioneslinealesdelosvec-
torescolumnasdeA.
Respectoalasbasesdual03'*yG3*,laaplicacióntranspuestaT'estáre-
presentadaporlamatrizA'.ComolascolumnasdeA'sonlasfilasdeA,seve
queporlamismarazónqueelrangodefilasdeA(elrangodecolumnasdeA')
esigualalrangodeT'.PorelTeorema22,TyT'tienenelmismorangoy,por
tanto,elrangodefilasdeAesigualalrangodecolumnasdeA.|
AhoravemosquesiAesunamatrizm›<nsobreFyTeslatransformación
linealdeF"enF'"definidaanterior-mente,entonces
rango(T)=rangodefilas(A)=rangodecolumna(A)
ysedirásimplementequeestenúmeroeselrangodeA.
Ejemplo25.Esteejemplòserádecaráctergeneral;másbienunadiscu-
siónqueunejemplo.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuer-
poFyseaTunoperadorlinealsobreV.SupóngasequeG3={a,,...,a,,}
esunabaseordenadadeV.LamatrizdeTenlabaseordenadaG3estádefinida
comolamatriznxn,A,talque
Taj:É;A..a.
_ :J1
1-1
osea,queAU-eslai-ésimacoordenadadelvectorTajenlabaseordenadaG3.
Si{ƒ1,.._,fi,}eslabasedualdeG3,estopuedeenunciarsesimplemente
Ai;=f='(T<1f)-

131. I14 /Ilg:-hruItm-al
Severáahoraquesucedecuandosecambiadebase.Supóngaseque
(B'={aÍ,...,a,Í}
esotrabaseordenadadeVconbasedual¦f{....._/ÄI-.SiBeslamatrizdeTen
labaseordenada(B',entonces
Bo'=fi(T0Ó-)-
SeaUeloperadorlinealinversible,talqueUrxj=1;-_Entonceslatranspuesta
deUvienedadaporU'ƒ}'=fi.Estoesdefácilverificación.yaquecomoUes
inversible,tambiénloesU'y(U')"=(U")'.Así,_ƒ§'=(L"')'fi,i=1,2,...,n.
Portanto.
B-'f=[(U“')'ƒ.~](Ta§)
=ff(U"¡Ta§)
=f¡(U“1TUa,-).
Yahora,¿quédiceesto?Bien,fi(U"TUat¡)eselelemento¡_idelamatriz
U`1TUenlabaseordenadaG3.Loscálculosanterioresindicanqueesteescalar
estambiénelelementoi,jdelamatrizdeTenlabaseordenada(B'.Esdecir,que
[T](Q'=-'EUTITUJQ
=[U`1]<BlT]rB[U]m'
=[U]<š`[T]a[U]a
loque,precisamente,eslafórmulaparaelcambiodebaseyaconocida.
Ejercicios
l.SeaFuncuerpoyseaIelfuncionallinealcnF2definidopor_/'(.\',.tz)=ax,+h_\'¿.
ParacadaunodelossiguientesoperadoresT.hágaseg=T'/'yhállcse_2(.\',.xz).
(11)T(fin,12)=(rn.0);
(b)T(331,$2)=(""332›331);
(C)T(I¡,Ig)=($1_'$2,$1+$2).
2.SeaVelespaciovectorialdetodaslasfuncionespolinomiossobreclcuerpodclosnú-
merosreales.SeanaybdosnúmerosrealesfijosyseafelfuncionallinealcnI'definidopor
t›
ƒ(z›)=Lz›(r)dr.
SiDeseloperadorderivaciónsobreV.¿quéesDf/"P
3.SeaVelespaciodelasmatricesnxnsobreelcuerpoFyseaBunamatri?n›<ndada.
S1TesunoperadorlinealsobreVdefinidoporT(Al=AB-BAysi_/eslafuncióntra/a.
¿quéesT'j`?
4.SeaVelespaciovectorialdedimensiónfinitasobreclcuerpoFyseaTunoperador
linealsobreV.Seacunescalarysupóngasequeexisteunxcctornonuloxcnl`talque
Tot=ca.Demostrarqueexisteunfuncionallinealnonulo/'enI'talqueT't=t-/_
5.SeaAunamatrizm›<ndeelementosreales.DemostrarqueA=0si._\solosi.
traza(A'A)=0.

132. Itutt.\lm'ntm'lumtiltm-ul:-.i I1S
ti.SeanunenteropositivoyseaVelespaciodelasfuncionespolinomiossobreelcuerpo
-lt-losnúmerosrealesquetienengradonalomás;esdecir,funcionesdelaforma
f(2=)=¢r›+c1z++¢=.2=”.
\t-;|IDeloperadorderivaciónsobreV.Hallarunabasedelespacionulodeloperadortrans-
pitvsloD'.
7.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoF.DemostrarqueT-›T'
esunisomorfismodeL(V,V)sobreL(V*,V*).
H.SeaVelespaciovectorialdelasmatricesnxnsobreelcuerpoF.
la)SiBesunamatriznxndada,sedefineunafunciónfasobreVporfB(A)=tra-
/.:(B'A).Demostrarquef,esunfuncionallinealenV.
lb)DemostrarquetodofuncionallinealsobreVesdelaformaanterior,esdecir,es
tuparaalgúnB.
lc)DemostrarqueB-›fBesunisomorfismodeVsobreV*.

133. 4.Polinomios
4.1.Algebras
Elpropósitodeestecapituloesestableceralgunasdelaspropiedadesbá-
sicasdelálgebradepolinomiossobreuncuerpo.Eltratamientosefacilitará
siseintroduceprimeroelconceptodeunálgebralinealsobreuncuerpo.
Definición.SeaFuncuerpo.UnálgebralinealsobreelcuerpoFesunes-
paciovectorial@sobreFconotraoperación,llamadamultiplicacióndevectores,
queasociaacadaparderectoresoz,/ideCìunrectoralien(illamadoelproducto
deozyli,detalmodoque
(a)lamultiplicaciónesasociativa,
Oil/fïl=lotlllì'
(b)lamultiplicaciónesdistributiraconrespectoalaadición,
alfi+1')=«If+00'y(fr+If):'=1:'+/fa'
(c)paratodoescalarcdeF,
c(ozB)=(cot)fl=cxlcƒf).
SiexisteunelementolenGtalquelot==al=otparatodoozdeG.Gsellama
14.'álgebralinealconunidadsobreF,yalselellamalaunidadde(ì.Elálgebra
(Ísediceconmutativasiafl=/iot,paratodoozyIfdeG.
Ejemplo1.Elconjuntodelasmatricesnxnsobreuncuerpo,conlas
operacionescorrientes.esunálgebralinealconunidad;enparticularelcuerpo
Iló

134. ['t›Itnuntm.s II7
mismoesunálgebralinealconunidad.Esteálgebranoesconmutativasin22.
IIcuerpomismoes(evidentemente)conmutativo.
lìjemplo2.Elespaciodetodoslosoperadoreslinealessobreunespacio
tt-ctorial,conlacomposicióncomoproducto,esunálgebralinealconuni-
dad.Esconmutativasi,ysolosi,elespacioesunidimensional.
Esposiblequeellectortengaalgunaexperienciaconelproductoescalar
vclproductovectorialdevectoresdeR3.Deserasí,debeobservarquenin-
i-unodeestosproductosesdeltipodescritoenladefinicióndeálgebralineal.
I-Iprimerproductoesun«productoescalar»enelsentidoqueasociaacada
pardevectoresunescalar,nosiendoporconsiguientedeltipodeproducto
quesediscuteahora.Elproductovectorialasociaunvectoracadapardevec-
toresdeR3;peroéstanoesunamultiplicaciónasociativa.
Enloquerestadeestasecciónnosocuparemosdelaconstruccióndeun
algebraqueessignificativamentediferentedelasálgebrasdelosejemplosan-
teriores.SeanFuncuerpoySelconjuntodelosenterosnonegativos.Porel
I-jemplo3delCapitulo2,elconjuntodelasfuncionesdeSenFesunespacio
vectorialsobreF.SerepresentaráesteespaciovectorialporF°°.Losvectores
deF°°son,portanto,sucesionesinfinitasƒ=(fo,fl,jå,...)deescalaresj¶de
I-'_Sig=(go,gl,g2,...)cong,enF,ya,bescalaresdeF,af+bgesunasu-
cesióninfinitadadapor
l-l-1) af'l'by=(Ufo'l'bye,Gft-l-bgbafz-l'1792;---)-
l)efinimosunproductoenF°°asociandoacadapardevectoresfygdeF°°
elvectorƒgdadopor
M-2) (foi=šof.-g,.-.~.n=0,1,2,._._
Mi fa=(fogo,ƒogt+fiat»fuga+ƒrm+fiat»---)
yCOIIIO n n
(yfln=E0gif»-f=šofffln-f=(f9)»
paran=0,1,2,.._,sesiguequelamultiplicaciónesconmutativa,ƒg=gƒ.
SihtambiénperteneceaF°°,entonces
t<fg›h1,,=¿$0(ft).-fa-,
=ã .figi-1`)hn-1'
¡-0j=0
= ftgi-¡hn-s
1-0J=0
n n-j
=¡gofi¿E0gihn-1'-j
=iif,-(gh)--tf<gh›1,.. "-1-
.t-0

135. HH .-llgeltrulineal1
paran=0,1,2,...,demodoque
(4-3) (fg)h=ƒ(ah).
Sedejaallectorverificarquelamultiplicacióndefinidapor(4-2)cumple(b)
y(c)enladefinicióndeunálgebralinealyqueelvector1=(1,0,0,...)sinfc
comounidadparaF°°.EntoncesF°°,conlasoperacionesdefinidasanterior-
mente,esunálgebralinealconmutativaconunidadsobreelcuerpoF.
Elvector(0.I.0,...,0,...)juegaunpapeldestacadoenloquesigueyse
representarásiempreporx.Alolargodeestecapítulonuncaseusaráxpara
indicarunelementodelcuerpoF.Elproductodexporsimismonvecesse
representaráporx"yseharáquex°=1.Entonces
x*=(0,0,l,O,...), x*=(0,0,0,l,O,...)
y,engeneral,paratodoenterok20,(x"),,=1y(x"),,=0paratodoentero
nonegativon7€k.Paraconcluirestasecciónobservamosqueelconjunto
formadopor1,x,x2,...,esindependienteeinfinito.AsíqueelálgebraF°°no
esdedimensiónfinita.
ElálgebraF°°sellamatambiénálgebradelasseriesformalesdepotencias
sobreF.Elelementof=(_fi,,fl,fz,...)sesueleescribir-
(4-1) f'=Éfm.
11-0
Estanotaciónesmuyconvenienteparamanipularlasoperacionesalgebraicas.
Cuandoseuse,deberecordarsequeespuramenteformal.Noexisten«sumas
infinitas»enálgebraylarepresentaciónenseriedepotencias(4-4)nopretende
sugerirnadarespectoaconvergencia,siesqueellectorsabedequésetrata.
Usandosucesionessepuededefinirrigurosamenteunálgebraenquelasope-
racionessecomportenenformasemejantealaadiciónymultiplicaciónde
seriesformalesdepotencias,sincaerenelriesgodeconfundirseacercadecosas
talescomosumasinfinitas.
4.2.ElAlgebradelospolinomios
SeestáahoraencondicionesdedefinirunpolinomiosobreelcuerpoF.
Definición.SeaF[x]elsubespaciodeF°°generadoporlosvectores1,x,
xz,._.UnelementodeF[x]sellamapolinomiosobreF.
ComoF[x]constadetodaslascombinacioneslineales(finitas)dexysus
potencias,unvectornonulofdeF°°esunpolinomiosi,ysolosi,existeun
enteron20talqueL,9€0ytalquefi,=0paratodoslosenterosk>n;este
entero(cuandoexiste)esobviamenteúnicoysellamagradodef.Serepresen-
taráelgradodeunpolinomiofporgrdf,ynoseasignarágradoalpolinomio0.
Sifesunpolinomiononulodegradonsetieneque
(4-5) f=few"+fix-I-fer”-I-----I-fax",ƒ,.af0.

136. I'¢rlirtotttios II9
Iusescalaresj(`,,fl,.._,fi,sonllamadosavecesloscoeficientesdeƒ,ysedirá
que_/'esunpolinomioconcoeficientesenF.Sellamaránpolinomiosescalares
ulospolinomiosdelaformacx°yfrecuentementeseescribirácenvezdecx”.
llnpolinomiononuloƒdegradontalquefi,=1sedicequeesunpolinomio
Illúnico.
Ellectorobservaráquelospolinomiosnosonlamismaclasedeobjetos
quelasfuncionespolinomiossobreFquesehanestudiadovariasveces.Si
I-`tieneunnúmeroinfinitodeelementos,existeunisomorfismonaturalentre
I-lx]yelálgebradelasfuncionespolinomiossobreF.Elloseveráenlapróxi-
masección.VerifiquemosahoraqueF[x]esunálgebra.
Teoremal.SeanfygpolinomiosnonulossobreF.Entonces
(i)fgesunpolinomiononulo;
(ii)grd(fs)=grdf+grdg;
(iii)ƒgesunpolinomiomónicosiambos,fyg,sonpolinomiosmónicos;
(iv)fgesunpolinomioescalarsi,ysolosi,ambosfygsonpolinomiosescalares;
(v)Sif+3†0,
grd(f+g)Smáx-(grdf,grdgl
Demostración.Supóngasequeƒtienegradomyquegtienegradon.Si
kesunenterononegativo,
m-l-n-l-k
(f¶)m+››+I==¡Pof›'9m+n+k-i-
Paraquefig,,,,.,,+,,_,-=;ë0esnecesarioqueiSmym+n+k-i5n.Luego
esnecesarioquem+k5i5m,loqueimplicak=0ei=m.Así,
(4*6) (fg)m+n=fmšlfl
Y
(4-7) (f9)›››+f=+1==0,k>0-
Lasafirmaciones(i),(ii),(iii)sedesprendeninmediatamentede(4-6)y(4-7),
mientrasque(iv)esunaconsecuenciade(i)y(ii).Sedejalacomprobaciónde
(v)allector.I
Corolario1.ElconjuntodetodoslospolinomiossobreelcuerpoFdado
dotadodelasoperaciones(4-1)y(4-2)esunálgebralinealconmutativaconuni-
dadsobreF.
Demostración.Comolasoperaciones(4-1)y(4-2)sonaquellasdefinidas
enelálgebraF°°ycomoF[x]esunsubespaciodeF°°,essuficientedemostrar
queelproductodedospolinomiosestambiénunpolinomio.Elloestrivial
cuandounodelosfactoreses0,yenlosotroscasossededucede(i).I
Corolario2.Supóngasequej§_gyhsonpolinomiossobreelcuerpoFtales
quef=,¬_é0yfg=ƒh.Entoncesg=h.

137. l20 Algrlvrulineal
Demostración.Comofg=ƒlt.f(g-h)=0yf=;ë0,sesigueinmedia-
tamentede(i)queg-h=0.I
OtroshechosmássedesprendenfácilmentedelademostracióndelTeore-
ma1,ydealgunosdeellosharemosmención.Supóngase
ƒ=§ft-w*y9=E¿WI
¢=o ¡-0
Entoncesde(4-7)setiene
(4-8) fa=(iiof-g._,)x'.
Ellectordeberácomprobar,paraelcasoparticularƒ=cx"',g=dx"con
c,denF,que(4-8)sereducea
(4-9) (cm(af)=ww-+~.
Ahora,de(4-9)ylasleyesdistributivasenF[x],sesiguequeelproductoen
(4-8)tambiénestádadopor
(4-10) frgjíöifi
¡J
dondelasumaseextiendesobretodoslosparesdeenterosi,jtalesque
0$iSm'y0SjSn.
Definición.SeaGunálgebralinealconunidadsobreelcuerpoF.Sein-
dicarálaunidadde(ìpor1yseconvienequeao=1paratodoozdeCi.Entonces
acadapolinomiof==EfixlsobreFyotdeGseasociaunelementof(a)deG;
i=0
porlaley n
f(<1)_2f.-<1"-
_¡=o
Ejemplo3.SeaCelcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaf=x2+2.
(a)SiG=CyzperteneceaC,ƒ(z)=zz+2,enparticularƒ(2)=6y
1+z_
f "1-
(b)SiG,eselálgebradetodaslasmatrices2x2sobreCysi
10
B=[-12]
a+t-;si-ts;si
(c)SiGeselálgebradetodoslosoperadoreslinealesenC3yTeselele-
mentode(1dadopor
T(c¡,c2,ca)=(í\/ãct,cg, ca)
entonces

138. I'ulmutntm IJI
entonces_/(T)eseloperadorlinealsobreC3definidopor
f(T)(C|›C2,Ca)=(0›302,0)-
(dlSi(ieselálgebradetodoslospolinomiossobreCyg=x4+3i,
entonces_/(gleselpolinomiodeG,dadopor
ƒ(g)=-7+6221:*+2:8.
Ellectoratentohabráobservado,enconexiónconesteúltimoejemplo,
quesifesunpolinomiosobrecualquiercuerpoyxeselpolinomio(0,1,0,.._),
t-ntoncesf=f(x),peroseleaconsejaolvidarestehecho.
Teorema2.SeaFuncuerpo_vG.unálgebralinealconunidadsobreF.Su-
póngaseque_/_t'gsonpolinomiossobreF,queotesunelementodeG_vquecper-
teneceaF.Entonces
(il(ff/'+.f;')(0<)=ff/'(01)+§(0<);
(ii)(falta)=f(0<)x(0<)-
Demostración.Como(i)esfácildeprobar,sedemostrarásolamente(ii).
Supóngaseque
f=Ef.-w*yg=Earri-
i=0 j=0
f9=ffyĒvifi
| ', "JYuegóPor(1) (ƒgxa)=ƒigjam
=f-“*)gf“f)
=f(«›g<«›.I
Por(4-l0),
lzjercicios
I.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaAlasiguientematriz2›<2
sobreF
21
A=[-13]'
ParacadaunodelossiguientespolinomiosfsobreF,calcularƒ`(A).
(a)f=fv”-=v+2;
(b)f=I”_1;
(e)ƒ=x2-5x+7.
2.SeaTeloperadorlinealTsobreR3definidopor
T(x1,1:2,1:3)=(xl,1:3,-21:2-2:3).
Sea_/elpolinomiosobreRdefinidoporf=-x3+2.Hallar

139. 122 Algebralineal
3.SeaAunamatrizdiagonalnxnsobreelcuerpoF,esdecir.unamatrizparalacual
Aü-=0parai=¡ëj.SeafelpolinomiosobreFdefinidopor
f=UI-An) ($-Am)-
¿Cuáleslamatrizƒ(A)?
4.SifygsonpolinomiosindependientessobreelcuerpoFyhesunpolinomiononulo
sobreF.Demostrarquefhyghsonindependientes.
5.SiFesuncuerpo,demostrarqueelproductodedoselementosnonulosdeF°°es
nonulo.
6.SeaSunconjuntodepolinomiosnonulossobreelcuerpoF.Sinohaydoselementos
deSquetenganelmismogrado,demostrarqueSesunconjuntoindependientedeF[x].
7.SiaybsonelementosdeuncuerpoFya=,¿O,demostrarquelospolinomios1,ax+b.
(ax+b)2,(ax-i-b)3,...formanunabasedeF[x].
8.SiFesuncuerpoyhesunpolinomiosobreFdegrado21,demostrarquelaaplica-
ciónf-›f(h)esunatransformaciónlinealinyectivadeF[x]enF Demostrarque
estatransformaciónesunisomorfismodeF[x]sobreF[x]si,ysolosi,grdh=1.
9.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosyseanT,Dlastransformacionessobre
F[x]definidaspor
T(š61.-)š__fi_xau
¿-0' ¡-01+'Í
Y
1% _ fl . _
D(2c,-ra)=Zzc¡:c'“1.
¡-0 ¿-1
(a)DemostrarqueTesunoperadorlinealnosingularsobreF Demostrartambién
queTnoesinversible.
(b)DemostrarqueDesunoperadorlinealsobreF[x]ydeterminarsuespacionulo.
(c)DemostrarqueDT=IyqueTD=ƒ=I.
(d)DemostrarqueT[(Tf)g]=(Tƒ)(Tg)-Tj(Tg)paratodof,genF[x].
(e)FormularydemostrarunaleyparaDanálogaaladadaparaTen(d).
(f)SupóngasequeVesunsubespaciononuloF[x]talqueTfpertenezcaaVpara
todofdeV.DemostrarqueVnoesdedimensiónfinita.
(g)SupóngasequeVesunsubespaciodedimensiónfinitadeF[x].Demostrarque
existeunenterom20talqueD"'f=0paratodofenV.
4.3.InterpolacióndeLagrange
EnestasecciónFesuncuerpofijoyto,tl,.._,t,,sonn+1elementosdis-
tintosdeF.SeaVelsubespaciodeF[x]queconstadetodoslospolinomios
degradomenoroigualan(juntoconelpolinomio0),yseaL,-lafunciónde
VenFdefinidaparafenVpor
L.-(Í)=f(¢.-);0S2'Stt.
Porlaparte(i)delTeorema2,todoL,-esunfuncionallinealsobreV,yuna
delascosasqueinteresanesdemostrarqueelconjuntoconstituidoporlosL0,
L1,...,L,,esunabasedeV*,elespaciodualdeV.

140. I'ulttmmim 123
Porsupuesto,que,paraqueseaasí,essuficiente(enreferenciaalTeorema15
delCapitulo3)que{L0,L1,...,L,,}seaeldualdeunabase{P0,Pl,...,P,,}
deV.Alomásexisteunade.talesbasesysiexisteestácaracterizadapor
(4-ll) L¡(P¢)=Piar)=5o'-
l.ospolinomios
_se-r»›---tx-tf-›<xc-tf››--~e-ra
(442)P'<r.›-tt)a.--i.-.l›(¢.-rifa)(it-1,.)
__ x_"
¡gi(ir_ti
sondegradon,luegopertenecenaV,yporelTeorema2satisfacen(4-11).
Sif=c¡P,,entoncesparatodoj,
(4-13) fat)=0¢P='(¿¡)=01'-
Comoelpolinomio0tienelapropiedadque0(t)=0paratodotenF,sesigue
de(4-13)quelospolinomiosPO,PI,...,P,sonlinealmenteindependientes.
Lospolinomios1,x,...,x"formanunabasedeVy,portanto,ladimensión
deVes(n+l).Asielconjuntoindependiente{P0,Pl,...,P,,}tienequeser
tambiénunabasedeV.ConloqueparatodoƒdeV
(4-14) f=_f:of(¢t›Pt.
Laexpresión(4-14)sellamalafórmuladeinterpelacióndeLagrange.Poniendo
f=xlen(4-14),setiene
xr=ã<¢t›fP.-.
1'-0
Ahorabien,delTeorema7delCapítulo2,sesiguequelamatriz
1totg ¿3
2 C00 n
(4-1f››ÉÉ'É'É'
1t..t2---tt:
esinversible.Lamatrizen(4-15)sellamaunamatrizdeVandermonde;esun
ejerciciointeresantedemostrarenformadirectaquetalmatrizesinversible
cuandoto,tl,...,t,,sonn+lelementosdistintosdeF.
SifescualquierpolinomiosobreF,enelpresentetratamientoserepresen-
taráporf"lafunciónpolinomiodeFenFqueaplicatodotdeFenf(t).Por
definición(véaseEjemplo4,Capítulo2),todafunciónpolinomiosurgedeesta
forma;sinembargo,puedesucederquef"=g`paradospolinomiosfyg
talesquef=¡ëg.Afortunadamente,comoseverá,estasituaciónpocoplacen-
terasolosucedeenelcasoenqueFesuncuerpoquetieneunnúmerofinito
deelementosdistintos.Paradescribirenformaprecisa`larelaciónentrepoli-
nomiosyfuncionespolinomios,senecesitadefinirelproductodedosfuncio-

141. I)-I .-llgchrulun-al
nespolinomios.Siƒ,gsonpolinomiossobreF,-elproductode_/"yg`esla
funciónf`g`deFenFdadapor
(4-16) (f"e")(1)=f"(¢)a"(¢),tenF-
Porlaparte(ii)delTeorema2,(/g)(t)=f(t)g(t),yentonces
(f¶)"(¢)=ƒ`(t)9"(l)
paracadatenF.Asi,ƒ`g`=(fg)`,yesunafunciónpolinomio.Ahoraya
esinmediato,ysedejaallector,verificarqueelespaciovectorialdelasfuncio-
nespolinomiossobreFesunálgebralinealconunidadsobreFsilamultipli-
caciónestádefinidapor(4-16).
Definición.SeaFuncuerpoyseanGyG`dosálgebraslinealessobreF.
LasálgebrasG.y(ifsedicenisomor/assiexisteunaaplicaciónbiyectivaoz-+of
deG.en(iftalque
(a) (ca+d/i)`=ccx`+d/i`
(bl (f1fi)`=1`lf`
paratodoot,BdeG.ytodoescalarc,ddeF.Delaaplicaciónot-›ofsediceque
esunisomorfismodeGsobreGÍUnisomorfismodeGsobre@`esentonces
unisomorfismodeespaciosvectorialesdeG,sobreG.`quetiene,además,lapro-
piedad(b)de«preservar››productos.
Ejemplo4.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoF.
PorelTeorema13delCapitulo3ylasobservacionessubsecuentes,cadabase
ordenada(BdeVdeterminaunisomorfismoT-›[T](Bdelálgebradelosope-
radoreslinealessobreVsobreelálgebradelasmatricesn><nsobreF.Supón-
gaseahoraqueUesunoperadorlinealfijoyquesehadadounpolinomio
f=šC¡íC¡ _
a=o
concoeficientesc,-enF.Entonces
flw=šaw
e-o
ycomoT-›[T]¿Besunaaplicaciónlineal,
tfwn@=55C.-[Usa
t-o
Ahora,delhechoadicionalque
[T|T2]m=[T1]<s[T2]m
paratodoT1,T2enL(V,V),sesigueque
[U*]<s=([U]<s)'}2SiSTL-
Comoestarelaciónesválidatambiénparai=0,1setieneelresultado
(4-17) [ƒ(U)]e=f([U]e)-

142. I'nlt'nm›ttos IIS
I-Ínotraspalabras,siUesunoperadorlinealsobreV,lamatrizdeunpolinomio
enU.enunabasedadaeselmismopolinomioenlamatrizdeU.
Teorema3.SiFesuncuerpoquetieneunnúmeroinfinitodeelementos
distintos,laaplicaciónf-›f"esunisomorfismodelálgebradepolinomiossobre
F,sobreelálgebradelasfuncionespolinomiossobreF.
Demostración.Pordefinición,laaplicaciónessobreyectivaysif,gperte-
uecenaF[x]esevidenteque
(Cf+119)"=df`+dll"
paratodoescalarcyd.Comoyasehavistoque(fg)"=f`g`,senecesita
solodemostrarquelaaplicaciónesinyectiva.Paraelloessuficiente,porla
linealidad,demostrarquef"=0implicaf=0.Supóngase,entonces,quef
esunpolinomiodegradon,0menor,talquef~=0.Seanto,t,,...,t,,,n+1
elementosdistintoscualesquieradeF.Comof`=0,f(t,-)=0parai=0,
I, n,yesunainmediataconsecuenciade(4-14)quef=0.I
Delosresultadosdelasiguientesecciónobtendremosunademostración
totalmentediferentedeesteteorema.
Ejercicios
l.UsandolafórmuladeinterpolacióndeLagrange,hallarunpolinomiof,concoeficien-
tesreales,talqueftengagrado53yquef(-l)=-6,f(O)=2.f(l)=-2,j`(2)=6.
2.Seanoz,B,y,ônúmerosreales.Sepregunta,¿cuándoesposiblehallarunpolinomio
fsobreR,degradonomayorque2,talquef(-l)=ot,fll)=Il,_/'(3)='yyf(O)=6'?
Demostrarqueellosoloesposiblesi.ysolosi
3a+66-'r-85=0~
3.SeaFelcuerpodelosnúmerosreales,
A-l
p=(zi:-2)(a:-3)(x-1).
(a)Demostrarquep(A)=0.
(b)SeanPl,P2,P3lospolinomiosdeLagrangeparat,=2,tz=3,ts=l.Calcular
E,=P¡(A),i=1,2,3.
(c)DemostrarqueE,+E,+E3=1,E¿E¡=0siiqéi,Ef=E,-.
(d)DemostrarqueA=2E,+3E2+E3.
OOONJOONJOOCDQO'-*OOO
4.Seap=(x-2)(x-3)(x-I)yseaTcualquieroperadorlinealsobreR4talque
p(T)=0.SeanPl,P2,P3lospolinomiosdeLagrangedelEjercicio3yseaE,=P¡(T),
i=1,2,3.Demostrarque
E1+E2+E3=I, E¡Eƒ=0 Si
=Ei, y T=2E1 E3.

143. l26 Ahrltrulittcttl
5.SeanunenteropositivoyFuncuerpo.SupóngasequeAesunamatriznxnsobreI-`y
PunamatriznxninversiblesobreF.SifescualquierpolinomiosobreF,demostrarque
ƒ(P`1AP)=P“1ƒ(A)P.
6.SeaFuncuerpo.SehanconsideradociertosfuncionaleslinealesespecialesenF[xl
obtenidospor«evaluaciónent››:_
LU)=f(t)-
Talesfuncionalesnosonsololineales,sinoquetambiéntienenlapropiedad_dequeL(fg)=
L(f)L(g).DemostrarquesiLescualquierfuncionallinealsobreF[x]talque
L(f¶)=L(ƒ)L(0)
paratodofyg,entoncesL=0,oexisteuntenFtalqueL(_ƒ)=f(t)paratodof.
4.4.Idealesdepolinomios
Enestasecciónsetrataránaquellostemasquedependenantetododela
estructuramultiplicativadelálgebradelospolinomiossobreuncuerpo.
Lema.SupóngasequefydsonpolinomiosnonulossobreuncuerpoFtal
quegrdd5grdf.EntoncesexisteunpolinomiogdeF[x]talque
f-dg=0 0grd(f-dg)<grdf.
Demostración.Supóngaseque
rn-1
ƒ=a,,.:c"'+20a,-xi,a...af0
yque -1
d=b»$"+ Ebiílïi1
1'-0
Entoncesm2n,y
f-(%`):c'“¬'d=0ograd[f-(%ï')x"'“"d]<gradƒ.
Asíquesepuedetoma-rg= x"'¬'.I
Usandoestelemasepuedeverahoraqueelprocesofamiliardedivisión
depolinomiosconcoeficientesrealesocomplejospuedehacersesobrecual-
quiercuerpo.
Teorema4.Sif,dsonpolinomiossobre.uncuerpoFydesdiferentede0,
entoncesexistenpolinomiosq,renF[x]talesque
(i)f=dq+r.
(ii)0,r=00grdr<grdd.
Lospolinomiosq,rquesatisfacen(i)y(ii)sonúnicos.

144. I'olimmtius I27
I›enu›stración.Sij'es0odegrdf<grdd,sepuedetomarq=0yr=f.
I-ncasodequef=¡ë0ygrdf2grdd,ellemaanteriordicequesepuedeelegir
unpolinomiogtalquef-dg=00grd(f-dg)<grdf.Sif-dg=/=0y
prd(f-dg)<grdd,seeligeunpolinomiohtalque(f-dg)-dh=0,o
grd[f-d(g+h)]<grd(f-dg).
Sisesigueesteprocesotantasvecescomoseanecesariosellegaaobtener
polinomiosq,rtalesquer=0ogrdr<grdd.yf=dq+r.Ahorasupón-
gasequetambiénsetengaf-dql+rl,donder,=-'0ogrdr,<grdd.Enton-
toncesdq+r_=dql+r,yd(q-ql)=r,-r.Siq-ql=/=0,entonces
«/le-qt)vé0,y
grdd+grd(q-q,)=grd(r,-r).
Perocomoelgradoderl-resmenorqueelgradoded,estoesimposible
yq-ql=0.Luegotambiénr,-r=0.I
Definición.SeadunpolinomiononulosobreelcuerpoF.Sifpertenece
aF elteoremaanteriordicequeexiste,alomás,unpolinomioqenF[x]tal
quef=dg.Sitalqexiste,sedicequeddivideaf,quefesdivisiblepord,que
/`esunmúltìplodedyqueqeselcocientedefpord.Seescribirá,pues,q=f/d.
Corolario1.SeafunpolinomiosobreelcuerpoFyseacunelementodeF.
Entoncesfesdivisibleporx-csi,ysolosi,f(c)=0.
Demostración.Porelteorema,f=(x--c)q+r.donderesunpolinomio
escalar.PorelTeorema2,
f(c)=09(0)+f(c)=f(c).
Luegor=0si,ysolosi,f(c)=0.I
Definición.SeaFuncuerpo.UnelementocdeFsediceraiz,ouncero,deun
polinomiodadofsobreFsif(c)=0.
Corolario2.UnpolinomiofdegradonsobreuncuerpoFtienealomás
nraícesenF.
Demostración.Latesisesobviamenteciertaparalospolinomiosdegra-
do0ygrado1.Supóngasequeesciertaparapolinomiosdegradon-1.Si
aesunaraízdef,f=(x-a)q,dondeqtienegradon-1.Comoflb)=0
si,ysolosi,a=boq(b)=0,sesigueporlahipótesisdeinducciónqueftiene
alomásnraíces.I
EllectordebeobservarquelaetapaprincipalenlademostracióndelTeore-
ma3sedesprendeinmediatamentedeestecorolario.
Laderivadaformaldeunpolinomioesdegranutilidadenelestudiode
lasraicesmúltiples.Laderivadadeunpolinomio
f=Co'l'C1íC+ -l-0-133"

145. ¡JH _-llgrbrulun-al
eselpolinomio
ƒ'=ct+2c2a:+---+nc,,:t:"“1.
TambiénseusalanotaciónDff'.Laderivacióneslineal,estoes,Desun
operadorlinealsobreF Setienenlasderivadasformalesdeordensuperior,
f"=Dzf,fm=D3f,yasísucesivamente.
Teorema5(fórmuladeTaylor).SeaFuncuerpodecaracteristicacero,
cunelementodeFynunenteropositivo.SifesunpolinomiosobrefcongrdfSn,
entonces
f=550(9,-P(olx-cr.
k= -
Demostración.LafórmuladeTayloresunaconsecuenciadelteorema
delbinomioylalinealidaddelosoperadoresD,D2,...,D".Elteoremadel
binomioesfácilmentedemostrableporinducciónydiceque
(a+b)m=g am-ltbh
donde k=°
(tn) ml__m(m-l)_---(rn +1))
lckl(m-k)l 1-2---lc
sonlosconocidoscoeficientesbinomialesquedanelnúmerodecombinacio-
nesdemobjetostomadosdekenk.Porelteoremadelbinomio
w”=[C+(w-¢)]"'
=É) c"'*"(:c-c)'°
k==0
=c'"+mc'"“1(x-c)+ +(x-c)'"
queeslafórmuladeTaylorparaelcasof=x'".Si
fl
ƒ=Ea,,,a:"'
m=0
CÍIIOIICCS
D'*f(C)=23¢1››»(D'°=v"')(C)
Y
.,>§0D'}{§°)(x-0)*= (oe-cr
R-Mata
ea
=z%z9%9we-o*
m lr -
=Eamx”
118
=f-I

146. Í'nltmmtln\ 1:9
l)ebcobservarseque.puestoquelospolinomiosl,(x-c),...,(x-c)"
sonlinealmenteindependientes(véaseEjercicio6,Sección4.2),lafórmula
de`l`aylordaelúnicométodoparaescribirfcomocombinacióndelospoli-
nomios(x-c)'“,(0SkSn).
Aunquenosedenmayoresdetalles,estalvezdeutilidadmencionaraqui
que,conunaapropiadainterpretación,lafórmuladeTaylorestambiénválida
parapolinomiossobrecuerposdecaracterísticafinita.Sielcuerpotienecarac-
tcristicafinita(lasumadeunnúmerofinitodeunidadesdeFes0),entonces
sepuedetenerquek!=0enF,encuyocasoladivisiónde(D'*f)(c)pork!no
tienesentido.Noobstante,sepuededarsentidoaladivisióndeD'f/'pork!,
porquecadacoeficientedeD'f/`esunelementodeFmultiplicadoporunentero
divisibleporklSitodoestoresultaseconfuso,seaconsejaallectorrestringir
suatenciónacuerposdecaracteristica0oasubcuerposdelosnúmeroscom-
plcjos.
Sicesunaraizdelpolinomio_f,lamultiplicidaddelaraizcde_/`eselmayor
enteropositivortalque(x-c)'divideaf.
Lamultiplicidaddeunaraizesevidentementemenor0igualalgradodef.
Parapolinomiossobrecuerposdecaracteristicacerolamultiplicidaddela
raírcdefestárelacionadaconelnúmerodederivadasdefquesonnulasene.
Teorema6.SeaFuncuerpodecaracteristicacero_vfunpolinomiosobre
l-`congrdf5n.Entonceselescalarcesunaraizdeƒ'demultiplicidadrsi,ysolosi,
(D'f/`)(f')=0.05k5r-I
(D'f)((')=/=0-
Demostración.Supóngasequereslamultiplicidaddelaraízcdef.Enton-
cesexisteunpolinomiogtalque_/'=(x-c)'gyg(c)=;é0.Deotromodo,f
seriadivisiblepor(x-c)'+',porelCorolarioldelTeorema4.Porlafórmu-
ladeTayloraplicadaag
f=(x-c›f["š:'@<¢›tx-cn]
n-r Dm
2 2 Lg). (1:_C)f+"¡
(`omohaysolounamaneradeescribirfcomocombinaciónlinealdelaspo-
tencias(x-c)"(05k5n),sesigueque
0si0SkSr-1
(D'“ƒ)(Q=
la D'°"'g(¢)
Fm sirSlcSn.
Portanto,D'ff(c)=0para0gkgx-1,yD'f(c)=g(c)qé0.Recípro-
procamentc,siestascondicionessecumplen,sesiguedeinmediato,porlafórmu-
ladeTaylor,queexisteunpolinomiogtalquef=(x-c)'gyg(c)qé0.Supón-
gaseahoraquernoseaelmayorenteropositivotalque(x-c)'dividaaf.
lìntoncesexisteunpolinomiohtalquef=(x-c)'“h.Peroelloimplica

147. U0 .-IHrltrulinettl
g=(x-c)h,porelCorolario2delTeoremaI;luegog(c)=0.queesuna
contradicción.I
Definición.SeaFuncuerpo.UnidealenF[x]esunsubespacioMdeF
talquefgperteneceaMsiemprequefestéenF[x],ygenM.
Ejemplo5.SiFesuncuerpoydesunpolinomiosobreF,efconjunto
M=dF[x],detodoslosmúltiplosdfdedporfarbitrarioenF[x],esunideal.
Enefecto,Mnoesvacío,yaquecontienead.Sif,gpertenecenaF[x]yces
unescalar,entonces
c(df)_de=d(¢f_9)
perteneceaiM,conloqueMesunsubespacio.Finalmente,tambiénMcon-
tienea(df)g=d(fg).ElidealMsellamaelidealprincipalgeneradopord.
Ejemplo6.Seand¡,._.,d,,unnúmerofinitodepolinomiossobreF.Enton-
ceslasumaMdetodoslossubespaciosd,F[x]esunsubespacioyestambién
unideal.ParaellosupóngasequeppertenezcaaM.Entoncesexistenpoli-
nomios_/;,_...f,enF[x]talquep=dlfl+*-°+d,,fi,.Sigesunpolinomio
arbitrariosobreF.entonces
ra=dt(fta)++d..(f»a)
demodoquepqtambiénperteneceaM.AsíMesunideal,ysediráqueMes
elidealgeneradoporlospolinomiosdl,...,d,,.
Ejemplo7.SeaFunsubcuerpodelosnúmerosrealesyconsidéreseel
ideal
M=(zi:+2)F[:r:]+($2-I-8:1:+l6)F[:c].
SeafirmaqueM=F[x].Enefecto,Mcontienea
:c2+8:t:-|-16-:c(:c+2)=6:c+l6
y,portanto,Mcontienea6x+6(x+2)=4.Luegoelpolinomioescalar1
perteneceaM,comotambiéntodossusmúltiplos.
Teorema7.SiFesuncuerpoyMesunidealnonulodeF[x],existeun
únicopolinomiomónicodenF[x]talqueMeselidealprincipalgeneradopord.
Demostración.Porsuposición,Mcontieneunpolinomiononulo;entre
todoslospolinomiosnonulosenMexisteunpolinomioddemenorgrado.
Podemosadmitirquedesunpolinomiomónico.Puessinosepuedemultipli-
cardporunescalarparahacerlomónico.SifperteneceaM,elTeorema4
dicequef=dq+r,donder=0ogrdr<grdd.ComodestáenM,dqy
f-dq=rtambiénpertenecenaM.ComodesunelementodeMdegrado
mínimo,nosepuedetenergrdr<grdd,conloquer=0.AsiM=dF
SigesotropolinomiomónicotalqueM=gF entoncesexistenpolinomios
nonulosp,qtalesqued=gpyg=dq.Conloqued=dpq,y
grdd=grdd+grdpgrdq.

148. l'ollnt›mia.t' Lil
Luegogrdp=grdq=0,ycomod,gsonmónicos,p=q=1.Asíd=g.I
Esimportanteobservarqueenlademostraciónreciéndadasehausado
elcasoespecialdeunhechomásgeneralyútil;asaber,sipesunpolinomio
nonuloenunidealMy'sifesunpolinomio'enMquenoesdivisibleporp,
entoncesf=pq+r,dondeel«resto››rqueperteneceaM,esdistintode0,
ytienegradomenorquep.YasehabiahechousodeestasituaciónenelEjem-
plo7paraverqueelpolinomioescalar1eselgeneradormónicodelidealcon-
sideradoallí.Enprincipio,siempreesposibleencontrarelpolinomiomónico
quegeneraunidealdadononulo.Enefecto,sepuedeobtener,alfinal,unpoli-
nomioenelidealdegradominimal'porunnúmerofinitodedivisionessucesivas.
Corolario.Sip¡,__.,p,,sonpolinomiossobreelcuerpoF,notodosnulos,
existeunúnicopolinomiomónicodenF[x]talque
(a)dpertenecealidealgeneradoporpl,...,p,,;
(b)ddivideacadaunodelospolinomiosp¡.
Todopolinomioquesatisface(a)y(b)necesariamentesatisfacea
(c)desdivisibleportodopolinomioquedividecadaunodelospolinomios
ph °'°›pu'
Demostración.Seadelgeneradormónicodelideal
PiF[:r]+ +P-Flxl
Cadaelementodeesteidealesdivisiblepord;así,pues,cadaunodelospoli-
nomiosp,esdivisiblepord.Supóngaseahoraquefesunpolinomioquedivide
acadaunodelospolinomiosp,,...,p,,.Entoncesexistenpolinomiosg,,...,g,,
talesquep¡=fg,-,l5i5n.Asimismo,comodpertenecealideal
P1F[=v]+°°'+P»FlI].
existenpolinomios¿Io...,q,,enF[x]talque
d=piqí++paqu-
Lïonloque
d=filllql+'`'+gfiqnl-
Sehamostradoquedesunpolinomiomónicoquesatisfacea(a),(b)y(c).Si
d'escualquierpolinomioquesatisface(a)y(b)sesigue,de(ja)ydeladefinición
ded,qued'esunmúltiploescalardedyquesatisfaceigualmentea(c).Final-
mente,enelcasoqued'seaunpolinomiomónico.setiened'-_=d.I
Definición.Sipj,...,p,,sonpolinomiossobreelcuerpoF,notodosnulos,
elgeneradorddelideal
t›1F[X]+'°'+t›..F[X]
sellamaelmáximocomimdivisor(m.c.d.)depl,_..,p,,.Estaterminologíaestá
_/`usttficadaporelcorolarioanterior.Sedicequelospolinomiospl,7,.P,p,,son
primosrelativossisumáximocomúndivisoresl,oenformaequitialeíde.siel
idealqueellosgeneranestodoF

149. I3.* .Ileelmtlineal
Ejemplo8.SeaCelcuerpodelosnúmeroscomplejos.Entonces
(a)m.c.d.(x+2,x2+8x+16)=1(véaseEjemplo7).
(b)m.c.d.((x-2)2(x+i),(x+2)(x2+l))=(x-2)(x+i).Enefec-
to,elideal
(rv-2)”(=v+1-`)F[=v]+(10-2)(:c2+l)F[:c]
contienea
(rv-2)”(w+15)-(ft-2)(=v2+1)=(11-2)(w+1-`)(i-2)-
Luegocontienea(x-2)(x+i),queesmónicoydividea
(rr-2)2(=v+i)Y(rv-2)(=v”+1)-
Ejemplo9.SeaFelcuerpodelosnúmerosracionalesyenF[x]seaMel
idealgeneradopor
(11-1)(=v+2)”.(11+2)”(1=_3),Y (fiv-3)-
EntoncesMcontienea
%(=v+2)”[(fv-1)-(w-3)]=(Iv+2)*
ycomo
(1:-I-2)2=(ze--3)(x+7)-17
Mcontienealpolinomioescalar1.AsiM=F[x]ylospolinomios
(iv_1)(1=+2)2›(11+2)”(rv-3),Y (ff_3)
sonprimosrelativos.
Ejercicios
l.SeaQelcuerpodelosnúmerosracionales.Determinarcuálesdelossiguientessubcon-
juntosdeQ[x]sonideales.Cuandoelconjuntoesunideal,encontrarsugeneradormónico.
(a)todoslosfdegradopar;
(b)todoslosfdegrado25;
(c)todoslosftalesquef(O)=0;
(d)todoslosftalesquef(2)=f(4)=0;
(e)todoslosfenlaimagendeloperadorlinealTdefinidopor
fl fl _
T( '_i)= _C' i+1_
tšoCx tšo2+1x
2.Encontrarelm.c.d.decadaunodelossiguientesparesdepolinomios
(a)2x°-:c3-3:t:2-6:t:+4,:c*+:c3-:c2-2:1:-2;
(b)3:t:*¬l-81122-3,:c3+2:c2+3:t:+6;
(c):z:*-2:t:3-2:c2-2:1:-3,:c3-l-6:i:2+7:c+1.
3.SeaAunamatriznxnsobreelcuerpoF.Demostrarqueelconjuntodetodoslospoli-
nomiosfenF[x],talesquef(A)=0,esunideal.

150. l'trltnonttos l33
4.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosysea
1-2
A_[03].
I-ncontrarelgeneradormónicodeidealdetodoslospolinomiosfenF[x]talesque
/(A)=0.
S.PSeaFuncuerpo.Demostrarquelainterseccióndecualquiernúmerodeidealesen
I-'[x]esunideal.
ti.SeaFuncuerpo.Demostrarqueelidealgeneradoporunnúmerofinitodepolinomios
/',,_..,f,enF[x]eslainterseccióndetodoslosidealesquecontienenaf,,___,jÍ,.
7.SeaKunsubcuerpodeuncuerpoFysupóngasequef,gsonpolinomiosenK[x].Sea
.MKelidealgeneradoporfygenK[x]yMFelidealqueellosgeneranenF[x].Demos-
trarqueMKyMFtienenelmismogeneradormónico.
-1.5.Factorizaciónprimadeunpolinomio
EnestasecciónsedemostraráquecadapolinomiosobreuncuerpoFpuede
escribirsecomoproductodepolinomios«primos››.Estafactorizaciónpropor-
cionauninstrumentoeficazparaencontrarelmáximocomúndivisordeun
númerofinitodepolinomios,yenparticularsuministraunrecursoefectivo
paradecidircuándolospolinomiossonprimosrelativos.
Definición.SeaFuncuerpo.UnpolinomiofdeF[x]sedicereduciblesobre
Fsiexistenpolinomiosg,henF[x]degrado21talesquef=gh,ysino,sedice
queesirreducìblesobreF.UnpolinomionoescalarirreducìblesobreFsellama
polinomioprimosobreFyavecessedicesolamentequeesprimoenF
Ejemplo10.Elpolinomiox2+lesreduciblesobreelcuerpoCdelosnú-
meroscomplejos.Enefecto,
=v2+1=(rv+i)(=v-13)
ylospolinomiosx+i,x-ipertenecenaC[x].Porotraparte,x2+1es
irreducìblesobreelcuerpoRdelosnúmerosreales.Puessi
1:2+1=(ax+b)(a':i:+b')
cona,a',b,b'enR,entonces
aa'=1,ab'+ba'=0,bb'=1.
Estasrelacionesimplicanqueaz+bz=0,loqueesimposibleconnúmeros
realesayb,amenosquea=b=0.
Teorema8.Seanp,fygpolinomiossobreelcuerpoF.Supóngasequep
esunpolinomioprimoyquepdividealproductofg.Entoncespdivideaf,opdi-
rideag.
Demostración.Nosepierdegeneralidadsisesuponequepesunpolinomio
primomónico.Elhechodeserpprimosimplementedicequelosúnicosdivi-

151. 134 .~tlgebralineitll
soresmónicosdepson1yp.Seadelm.c.d.deƒyp.Entonces.d=lod=p,
yaquedesunpolinomiomónicoquedivideap.Sid=p.entoncespdivide
af,conloquesehabrádemostradoelteorema.Supóngaseentoncesqued=l.
esdecir,supóngasequefypsonprimosrelativos.Sedemostraráquepdivide
ag.Como(f,p)=l,existenpolinomiosƒ(`,ypotalesquel=_/¿_/`+pop.Mul-
tiplicandoporg,setiene
9=ƒoƒy+inve
=(ƒy)ƒ«›+z›(t›«›a)-
Comopdividea_/g,dividetambiénal_/.Ql/5y.ciertamente.pdividep(p0,t:).
Conloquepdivideag.I
Corolario.Sipesunprimo_i'divideaunproductof,--°ƒ,,_entoncespdt'-
rideaunodelospolinomiosfl,_____/,`,.
°Demostración.Lademostraciónesporinducción.Cuandon=2,laafirma-
ciónnoesmás_|ueelTeorema6.Supóngasequesehademostradoelcorolario
paran=kyquepdividealproducto_/`,______/¿Hdeciertos(k+1)poli-
nomios.Comopdividea(I,---f,,)fi,_,_pdividea_fi,,_1,opdivideafl---/¿_
Porlahipótesisinductiva_sipdividea_/`1---_/¿_entoncespdivideapara
algún¡_lSiSk.Conloquesevequeencualquiercasopdebedividiralgún
/j-_l5¡sk+l.|
Teorema9,SiFesuncuerpo,unpolinomiomóniconoescalarenF
puededesi-«imponerseenproductodeprimosntóniwsenF[x]deunamanera
única.saltoenloquerespectaalorden.
Detnm-traei`ón.Supóngaseque_/`seaunpolinomiomóniconoescalarso-
breF_(`omolospolinomiosdegradounosonirreducihlcs.nadahayquedemos-
trarsigrd_/`=l.Supóngaseque_/`tienegradon>l.Porinducciónsesupone
queelteoremaesválidoparatodopolinomiomóniconoescalardegradomenor
quen.Si/`esirreducìbleestáyafactorizadocomounproductodeprimosmó-
nicos,yencasocontrariof=gh,dondegylisonpolinomiosmónicosno
escalaresdegradomenorquen.Conloquegylipuedenserfactorizadosen
productodeprimosmónicosenFy.portanto_también_/1Ahorasupón-
gaseque
ƒ;-_pl..¢pm-gqlnonqn
dondepl,___,p,,,yq,,___,q,,sonprimosmónicosdeF[x].Entoncespmdivide
alproductoql---q,,.Porelcorolarioanterior.p,,,debedividiraalgúnq,_Como
q,ypmsonambosprimosmónicos,elloquieredecirque
(4-16) Q@=P-›~
Por(4-l6)sevequem=n--=lsini=lon=l.Enefecto,
gfadf=¿âgradpt-==¡ågradq,-_

152. Poltttontltis U5
lnestecasonohaymásquedemostrar,asíquesepuedesuponerquem>1
tn.“›I.Rcordenandolosqsepuedesuponerentoncesquepm=q,,yque
pl'°'pm-lpm =ql'''qu-lpnv
AlioraporelCorolario2delTeorema1,sesigueque
Pi"'Pm-1=q1"°¶››-1-
iomoelpolinomiopl---pm_¡tienegradomenorquen,nuestrahipótesis
uiductivaesválidaymuestraquelasucesiónq,,___,q,,_1esalomásunreor-
tleoamientodelasucesiónp,,___,pm_,.Esto,juntocon(4-16),muestraque
lafactorizacióndefcomoproductodeprimosmónicosesúnica,salvoenlo
.picrespectaalordendelosfactores.I
I-`_nlaantedichafactorizacióndeunpolinomionoescalarfdado,algunos
.lelosfactoresmónicospuedenestarrepetidos.Sipl,pz,___,p,sonlosprimos
monicosdistintosqueaparecenenestafactorizacióndef,entonces
__ IliIs 'lr
(417) ƒpipa-~-Pr,
siendoelexponenten,elnúmerodevecesqueelprimop,-apareceenlafactoriza-
rion.Estadescomposiciónestambien,obviamente,única,ysellamaladescom-
posiciónpriinadef.Esdefácilverificaciónquecadadivisormónicodeftiene
I.iforma
pimp2m'°`pik; 0SmgSng.
De(4-18)sesigueconqueelm.c.d.deunnúmerofinitodepolinomiosmónicos
noescalaresfl,___,fsseobtieneporcombinacióndetodosaquellosprimos
mónicosqueaparecensimultáneamenteenlafactorizacióndefl,____fs.El
exponenteconquedebetomarsecadaprimoeselmayoralquelacorrespon-
dientepotenciaprimaesfactordecadaf¡.Siningunapotenciaprima(notrivial)
esfactordecadaf¡,lospolinomiossonprimosrelativos.
Ejemploll.SupóngasequeFesuncuerpoyseana,b,celementosdis-
tintosdeF.Entonceslospolinomiosx-a,x-b,x-csonprimosmónicos
distintosenF Sim,nyssonenterospositivos,(x-cfeselm.c.d.delos
p0lÍl'lOITlÍOS
(I-b)"(=v-0)'Y(av-a)"'(=v-0)'
inientrasquelostrespolinomios
(zi:-b)"(:i:-c)',(zi:-a)"*(:i:-c)'.(x-a)"'(a:-b)"
sonprimosrelativos.
Teorema10.SeafunpolinomiomóniconoescalarsobreelcuerpoFysea
f=pi*---pr
lafactorizaciónprimadef.Paratodoj,1SjSk,sea
f,~=f/pr=_H_pr.
PH

153. I_I(› .-IligelmtImeul
Entoncesƒk,___,ƒksonprimosrelativos.
Demostración.Sedejaestademostración(muyfácil)paraellector.Se
haenunciadoendetalleesteteorema,porqueseharáreferenciaaélmásade-
lante.I
Teoremall.SeafunpolinomiosobreelcuerpoFconderivadaf'.Enton-
cesfesunproductodepolinomiosirreduciblesdistintossobreFsi,ysolosi,f_r
f'sonprimosrelativos.
Demostración.Supóngasequeenlafactorizaciónprimadefsobreel
cuerpoFalgúnpolinomioprimop(noescalar)estárepetido.Entoncesf=pzh
paraalgúnhenF Entonces
ƒ'=10211'+2i›P'h
ypestambiénundivisordef'_Luegofyf'nosonprimosrelativos.
Supóngaseahoraquef=P1"'Pi.,dondePi, pksonpolinomios
irreduciblesnoescalaresdistintossobreF.Sea=f/pj.Entonces
Í'=Pifl'l'Páfz+°°°'l'Fift-
Seapunpolinomioprimoquedivideafyaf'.Entoncesp=plparaalgúni.
Ahoracomop,-divideaparaj=;ë¡_ycomop,-tambiéndividea
it
ƒ'=2Piff
.7=l
sevequepkdebedividirpkƒi.Portanto,p,divideafoap,f.Perop,nodivide
afi,pueslosp,,___,pksondistintos.Asípidivideap,f.Ellonoesposible,pues
p,ftieneungradomenorqueelgradodep¿.Concluimosqueningúnprimodi-
videafyaf',oquefyf'sonprimosrelativos.|
Definicióii.ElcuerpoFsellamaalgebraicamentecerradositodopolinomio
primosobreFtienegradol.
ParadecirqueFesalgebraicamentecerrado,todopolinomiomónicoirredu-
cìblenoescalarsobreFdebeserdelaforma(x-c).Yahemosobservado
quetodopolinomiodeéstosesirreducìbleparacualquierF.Enconsecuencia,
unadefiniciónequivalentedeuncuerpoalgebraicamentecerradoesladecuer-
poFtalquecadapolinomionoescalarfenF[x]puedeserexpresadoenla
forma
.f=¢(rv-¢i)"'(Iv-00""
dondecesunescalar,cl,___,cksonelementosdistintosdeF,ynl,___,nkson
enterospositivos.Otraformulaciónesquesifesunpolinomionoescalarsobre
F,entoncesexisteunelementocenFtalquef(c)=0.
ElcuerpoRdelosnúmerosrealesnoesalgebraicamentecerrado,puesel
polinomio(x2+1)esirreducìblesobreR,peronoesdegrado1,oporque
noexistenúmerorealctalquecz+1=0.Elllamadoteoremafundamental
delálgebradicequeelcuerpoCdelosnúmeroscomplejosesalgebraicamente
cerrado.Nosedemostraráesteteorema;sinembargo,selousarámásadelante

154. l'nlnn›n|h›.s I_!7
enestelibro.Lademostraciónseomite,enparte,porlimitaciondeespacio
y,cnparte,porquelademostracióndependedeunapropiedad«noalgebraica»
delsistemadelosnúmerosreales.Paraunaposibledemostración,ellector
interesadopuedeconsultarellibrodeSchreierySpernerenlabibliografía.
Elteoremafundamentaldelálgebratambiénexplicacuálessonlasposibi-
lidadesdefactorizaciónprimadeunpolinomioconcoeficientesreales.Sifes
unpolinomioconcoeficientesrealesycesunaraízcomplejadef,entoncesla
complejaconjugadaEestambiénunaraízdeƒPortanto,aquellasraícescom-
plejasquenosonrealesdebenaparecerenparesconjugadosyelconjuntoen-
teroderaícestienelaforma{t,,.._,tk,cl,5,,...,c,,ê,},donde1,,...,tk
sonrealesycl,...,c,sonnúmeroscomplejosnoreales,Conloquefsedes-
componeenlaforma
ƒ=c(x-ti)(Iv-MP1 pf
dondep¡eselpolinomiocuadrático
P;=(22'_'C¡)(I_'Éi).
Estospolinomiospitienencoeficientesreales.Concluimosquetodopolinomio
irreducìblesobreelcuerpodelosnúmerosrealestienegrado1o2.Todopo-
linomiosobreReselproductodeciertosfactoreslinealesobtenidosdelas
raícesrealesdefyciertospolinomioscuadráticosirreducibles.
Ejercicios
1.SeapunpolinomiomónicosobreelcuerpoFyseanfygpolinomiosprimosrelativos
sobreF.Demostrarqueelm.c.d.depfypgesp.
2.Suponiendodemostradoelteoremafundamentaldelálgebra,demostrarlosiguiente.
Sifygsonpolinomiossobreelcuerpodeloscomplejos.entonceselm.c.d.(f,g)=lsi.
ysolosi.fygnotienenraícesencomún.
3.SeaDeloperadordeladerivaciónenelespaciodelospolinomiossobreelcuerpode
losnúmeroscomplejos.Seafunpolinomiomónicosobreelcuerpodelosnúmeroscom-
plejos.Demostrarque
f=(w-ci)(I-ci)
dondec,,__.,chsonnúmeroscomplejosdistintossi,ysolosi,fyDfsonprimosrelativos.
Enotraspalabras,fnotieneraícesrepetidassinosi,ysolosi,fyDfnotienenraícesco-
munes.(Supóngaseelteoremafundamentaldelálgebra.)
4.DemostrarlasiguientegeneralizacióndelafórmuladeTaylor.Seanf,gyhpolinomios
sobreunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos,congrdf5n.Entonces
11
fa)=2l,f<*>(h›<g-W.
k=ok.
(Aquíf(g)representa«fdeg››.)
Paraelrestodelosejerciciossenecesitalasiguientedefinición.Sif,gypsonpolino-
miossobreelcuerpoFconpqé0,sedicequefescongruentecongmódulopsi(f-g)es
divisibleporp.Sifescongruentecongmódulop.seescribe
E2módp.

155. 138 AIgrbrullnruf
5.Demostrarqueparatodopolinomiononulop,lacongruenciamódulopesunarc-
lacióndeequivalencia.Esdecir:
(a)Esreflexiva;fEfmódp.
(b)Essimétrica;sifEgmódp,entoncesgEfmódp.
(c)Estransitiva;sif2gmódpygEhmódp.entoncesƒ2hmódp.
6.Supóngasequef5gmódpyflEglmódp.
(a)Demostrarquef+f,_=..g+g,módp.
(b)Demostrarque_[f¡Egg,módp.
7.UsandoelEjercicio7,demostrarloquesigue.Sif,g,hypsonpolinomiossobreel
cuerpoFyp=¡L0ysifEgmódp,entoncesh(f)Eh(g)módp.
8.SipesunpolinomioirreducìbleyfgE0módp,demostrarquefE0módp0
gE0módp.Darunejemploquemuestrequeestoesfalsosipnoesirreducìble.

156. 5.Determinantes
5.1.Anillosconmutativos
Enestecapítulodemostraremoslomásesencialsobredeterminantesde
matricescuadradas.Haremosestonosoloparamatricessobreuncuerpo,
sinotambiénparamatricesconelementosqueson«escalares››deuntipomás
general.Haydosrazonesparaestageneralidad.Primera,enalgunospuntos
delcapítulosiguientetendremosqueusardeterminantesdematricesconpoli-
nomioscomoelementos.Segunda,eneltratamientodelosdeterminantesque
presentaremosnointervieneelaxiomadeloscuerposquegarantizauninverso
multiplicativoparacadaelementononulo.Porestasrazonesesapropiado
desarrollarlateoríadelosdeterminantesdelasmatricescuyoselementosper-
tenecenaunanilloconmutativoconunidad.
Definición.UnanilloesunconjuntoK,juntocondosoperaciones
(x,y)-›x+yy(x,y)-›_xyquesatisfacen:
(a)Kesungrupoconmutativoparalaoperación(x,y)-›x+y(Kesgru-
poaditivoconmutativo);
(b)(xy)z=x(yz)(lamultiplicaciónesasociativa);
(c)x(y+z)=xy+xz;(y+z)x=yx+zx(secumplenlasdosleyes
distributivas).
Sixy=yxparatodoxeydeK,sedicequeelanilloesconmutativo.Siexiste
unelemento1enKtalquelx=xl=xparatodox,sedicequeKesunanillo
conunidad,y1eslaunidaddeK.
Setrataaquídeanillosconmutativosconunidad.Talesanillospueden
serdescritosbrevementecomounconjuntoK,juntocondosoperacionesque
I39

157. HU .-Il_rn'Iu-ulmvul
cumplentodoslosaxiomasdecuerpodadosenelCapítulo1,exceptoposi-
blementeelaxioma(8)ylacondición1#=0.Así,uncuerpoesunanillocon-
mutativoconunidaddistintadeceroenqueacadaxdistintode0(cero)le
correspondeunelementox"1talquexx*=1.Elconjuntodelosenteros,
conlasoperacionescorrientes,esunanilloconmutativoconunidadqueno
esuncuerpo.Otroanilloconmutativoconunidadeselconjuntodetodoslos
polinomiossobreuncuerpo,juntoconlaadiciónymultiplicaciónquesehan
definidoparalospolinomios.
SiKesunanilloconmutativoconunidad,sedefineunamatrizm><nsobre
KcomounafunciónAdelconjuntodelospares(i,j)deenteros,15i5m,
15j5n.enK.Comoesusual,serepresentaráunatalmatrizporunadis-
posiciónrectangularquetienemfilasyncolumnas.Lasumayelproducto
dematricessobreKsedefinenigualqueparalasmatricessobreuncuerpo
(Á+B)a¡=Aij+Bei
(AB)¢f=ÉA¢I=BI=f
estandodefinidalasumacuandoAyBtienenelmismonúmerodefilasyel
mismonúmerodecolumnas,yelproductocuandoelnúmerodecolumnas
deAesigualalnúmerodefilasdeB.Laspropiedadesalgebraicasbásicasde
estasoperacionessontambiénválidas.Porejemplo,
A(B+C)=AB+AC, (AB)C=A(BC), etc.
Comoenelcasodeloscuerpos,nosreferiremosaloselementosdeKcomo
escalares.Podemosdefinirentoncescombinacioneslinealesdelasfilasoco-
lumnasdelamatrizcomoyasehizoantes.Engeneral,todoloquepreviamente
sehizoparalasmatricessobreuncuerpoesválidoparamatricessobreK,ex-
cluyendoaquellosresultadosquedependende'laposibilidadde«dividir››enK.
5.2.Funcionesdeterminantes
Sea'Kunanilloconmutativoconunidad.Vamosaasignaracadamatriz
nxn(cuadrada)sobreKunescalar(elementodeK)llamadodeterminante
delamatriz.EsposibledefinireldeterminantedeunamatrizcuadradaAes-
cribiendosimplementeunafórmulaparaestedeterminanteentérminosdelos
elementosdeA.Sepuedeentoncesdeducirlasdiversaspropiedadesdelosde-
terminantespartiendodeestafórmula.Sinembargo,talfórmulaesbastante
complicaday,paraganaralgunasventajastécnicas,seprocederácomosigue.
Sedefiniráuna«funcióndeterminante»enK"*"comounafunciónqueasigna
acadamatriznxnunescalarsobreK,funciónquetieneestaspropiedades
especiales:eslinealcomofuncióndecadaunadelasfilasdelamatriz;suvalor
es0sobretodamatrizquetengadosfilasigualesysuvalorsobrelamatriziden-
tidadn><nes1.Sedemostraráquetalfunciónexiste,yqueesúnica,esdecir,
queexisteexactamenteunafunciónasí.Cuandodemostremoslaunicidad,
obtendremosunafórmulaexplícitaparaeldeterminantejuntoconmuchas
desuspropiedades.

158. Ih'lvnttttturtli-.v [41
listasecciónsededicaráaladefinicióndela«funcióndeterminante»ya
lademostracióndequeexistealmenosunafunciónsemejante.
Definición.SeaKunanilloconmutativoconunidad,nunenteropositivo
1'seuDunafunciónqueasignaacadamatriznxnsobreKunescalar'D(A)
vnK.SedicequeDesn-linealsiparacadai,l5i-_;n,Desunafunciónlineal
«Ivlai-ésimafilacuandolasotras(n-1)filassedejanfijas.
Estadefiniciónrequiereciertaexplicación.SiDesunafuncióndeK'““"
enK,ysioil,...,ot,,sonlasfilasdelamatrizA,sepuedeescribirtambién
D(A)=D(a1,...,an)
estoes,sepuedetambiénconsiderarDcomolafuncióndelasfilasdeA.La
afirmacióndequeDesn-linealquieredecirentoncesque
(5-1) D(a¡,...,ca,--I-a§,...,a,.) =CD(a1,...,a,-,...,a,._)
-I-D(a1,...,ai,...,a,,).
Sisefijantodaslasfilas,exceptolafilai,yseconsideraDcomofuncióndela
lilai,esavecesconvenienteescribirD(oz¡)porD(A).Así(5-1)puedeabreviar-
secomo
D(Ca,--I-ai)=CD(a,-)-I-D(aÍ)
siemprequequedeclarosusignìficado.
Ejemplo1.Seankl,...,k,,enterospositivos,15k¡5n,yseaaun
elementodeK.Paratodamatrizn'xn,A,sobreK,sedefine
(5-2) D(A)=aA(1,kl)A(n,kn).
EntonceslafunciónDdefinidapor(5-2)esn-lineal.Enefecto,siseconside-
raDcomofuncióndelafilai,dejandofijaslasotras,sepuedeescribir
D(a,)=A(i,lc,-)b
dondebesunelementofijodeK.Seaot,=(A,f1,...,A,f,,).Entoncessetiene
D(ca,-+aifi)=[CA(fi,lc.-)+A'(í,lc,-)]b
=cD(a,-)-I-D(a2).
ConloqueDesunafunciónlinealdecadaunadelasfilasdeA.
Unafunciónn-linealparticulardeestetipoes
D(A)=Á111122'''Amt-
Esdecir,el«productodeloselementosdeladiagonal»esunafunciónn-lineal
sobreK"“".
Ejemplo2.Sedefinentodaslasfunciones2-linealessobrelasmatrices

159. l42 .1lg|'lIt'ultmwl
2x2sobreK.SeaDtalfunción.Siserepresentanlaslìlasdela'matriz2x2
pore¡,ezsetiene
D(A)=D(/11161'i'/11262,Aziéi+A22¢2)-
UtilizandoqueDes2-lineal,por(5-1),setiene
D(A)=AuD(¢1,/12161+Ázzfz)+Á12D(€2,A216:-i'Áezfa)
=ÁuA21D(61,fi)'Í'A11A22D(¢1,62)
'l'A12A2lD(¢2›fl)'Í'AI2/122-D(¢2›62)-
ConloqueDestácompletamentedeterminadoporloscuatroescalares
D(¿1›fl): D(¿1›92); D(f2›fl): y D(e2;¿2)-
Ellectorfácilmentepodráverificarloquesigue.Sia,b,c,dsoncuatroesca-
larescualesquieradeKysisedefine
D(A)=ÁnÁ21¢1+ÁuA22b'+'Á12/1216+Á12A22d
entoncesDesunafunción2-linealdelasmatrices2x2sobreKy
D(¢1,61)=Cl, D(€1,E2)=b
D(f-2,fi)=0,D(¢2,fi)=d-
Lema.Unacombinaciónlinealdefuncionesn-linealesesn-lineal.
Demostración.Bastademostrarqueunacombinaciónlinealdedosfun-
cionesn-linealesesn-lineal.SeanDyEfuncionesn-lineales.Siaybpertene-
cenaK,lacombinaciónlinealaD+bEestádefinidapor
(aD+bE)(A)=aD(A)+bE(A).
Luegosifijamostodaslasfilas,exceptolafilai,
(GD+ÓE)(Ca,--l-ai)=aD(Ca,-+ai)-I-bE(Ca,--I-ai)
=t1CD(a,-)-+-aD(a¦)-I-bCE(a,-)-I-bE(a¶)
=¢(¢1D+bE)(a.-)+(GD+bE)(aí)-I
SiKesuncuerpoyVeselconjuntodelasmatricesnxn,ellemaanterior
dicelosiguiente:Elconjuntodelasfuncionesn-linealesenVesunsubespacio
delespaciodetodaslasfuncionesdeVenK.
Ejemplo3.SeaDlafuncióndefinidasobrelasmatrices2x2sobreKpor
=Á11A22 _'A12A.21.
Ahorabien,DeslasumadedosfuncionesdeltipodescritoenelEjemplo1:
D=D;+D2
D1(A)=An/122
=-"A12A21.
Porellemaanterior,Desunafunción2-lineal.Ellectorquehayatenidoalguna
experienciaconlosdeterminantes,nosesorprenderádeesteresultado,yaque

160. I)¢'la'rn|h|unh'.\ I4_!
reconoceráen(5-3)ladefinicióncorrientedeldeterminantedelamatriz2x2.
ClaroquelafunciónDquesehadefinidonoesunafunción2-linealtípica.Tiene
variaspropiedadesespeciales.Anotemosalgunasdeellas.Primero,siIesla
matrizidentidad2x2,entoncesD(I)=1,esdecir,D(e¡,ez)=1.Segundo,
sidosfilasdeAsoniguales,entonces
=A11A12 _'A12A.11=
Tercero,siA'eslamatrizqueseobtienedelamatriz2›<2,A,intercambiando
lìlas,entoncesD(A')=-D(A);enefecto,
D(A')=/iii/láz_Áiz/lil
=A21/112_A22/111
=-D(A).
Definición.SeaDunafunciónn-lineal.SedicequeDesaltemadasise
cumplenlassiguientesdoscondiciones:
(a)D(A)=0cuandodosfilasdeAsonliguales.
(b)SiA'esunamatrizqueseobtieneintercambiandodosfilasdeA,en-
toncesD(A')=-D(A).
Demostraremosmásadelantequetodafunciónn-linealDquecumple(a),
automáticamentecumple(b).Hemospuestolasdoscondicionesenladefini-
ciónn-linealalternadaporrazonesdeconveniencia.Ellectorprobablemente
observaráquesiDsatisface(b)yAesunamatrizcondosfilasiguales,entonces
D(A)=-D(A).EstentadorconcluirqueDsatisfacetambiénlacondición(a).
Estoescierto,porejemplo,siKesuncuerpoenelque1+l=,é0,peroenge-
neral(a)noesconsecuenciade(b).
Definición.SeaKunanilloconmutativoconunidadyseanunenteroposi-
tivo.SupóngasequeDesunafuncióndematricesnxnsobreKenK.Decimos
queDesunafuncióndeterminantesiDesn-lineal,alternada,ysiD(I)=1.
Comodijimosantes,mostraremosfinalmentequeexisteexactamenteuna
funcióndeterminantesobrematricesnxnsobreK.Ellosevefácilmentepara
lasmatriceslx1,A=[a],sobreK.LafunciónDdadaporD(A)=aesuna
funcióndeterminantey,evidentemente,eslaúnicafuncióndeterminantede
lasmatrices1x1.Estamos,pues,encondicionesdeconsiderarelcasopara
n=2.Lafunción
D(A)=A111122"'Á12/121
esunafuncióndeterminante,comosevioenelEjemplo3.Además,lafórmula
encontradaenelEjemplo2muestraqueDeslaúnicafuncióndeterminante
sobrelasmatrices2x2.Enefecto,sevioqueparacualquierfunción2-linealD
=A1lAflD(f1› fl)+Al1A22D(51›52)
+A12/121D(G2,61)'l'Á12/122D(€2,G2)-

161. 144 AI_ig¢-lira¡tm-al
SiDesalternada,entonces
D(¢1,G1)=D(€2›G2)=0
D(e2,q)f-D(e1,eg)=-DU).
SiDsatisfacetambiénD(I)=1,entonces
D(A)=Á111122_1112/121-
Ejemplo4.SeaFuncuerpoyseaDcualquierfunción3-linealyalternada
delasmatrices3x3sobreelanillodepolinomiosF
Sea
x0-1:2
A=[010
10xa
Sidesignamoslasfilasdelamatrizidentidad3x3porel,ez,e¿,,entonces
D(A)=D(:t2e¡-x2e3,eg,61+íltaeg).
PuestoqueDeslinealcomofuncióndecadafila,
D(A)=rvD(¢i,fz,fi+rvifa)_fv2D(fa,fe,fi+wifi)
=xD(f1t52!61)+x4D(fl›52163)__x2D(¿3!G2)fl)_x5D(f3›G2;¿3)-
PuestoqueDesalternada,sesigueque
=($4+x2)D(¿l›52!
Lema.SeaDunafunción2-linealconlapropiedaddequeD(A)=0para
todaslasmatrices2x2,A,sobreKquetienenfilasiguales.EntoncesDesal-
ternada.
Demostración.LoquehayquedemostraresquesiAesunamatriz2x2
ysiA'seobtieneintercambiandolasfilasdeA,entoncesD(A')=-D(A).
SilasfilasdeAsonozyB,elloquieredecirquesedebedemostrarqueD(B,ot)=
-D(a,B).ComoDes2-lineal,
D(<1+B,01+B)=D(a,01)+D(<1,B)+D(B,Of)+D(B,B)-
Porlahipótesis,D(a+B,oz+B)=D(oz,or)=D(B,B)=0.Luego
0=D(0f›B)+D(B›01)-I
Lema.SeaDunafunciónn-linealdelasmatricesnxnsobreK.Supón-
gasequeDtienelapropiedaddequeD(A)=0,siemprequedosfilasadyacentes
deAseaniguales.EntoncesDesalternada.
Demostración.DebedemostrarsequeD(A)=0cuandodosfilascuales-
quieradeAsoniguales,yqueD(A')=-D(A)siA'seobtieneporintercambio
dedosfilasdeA.PrimerosupóngasequeA'seobtieneporintercambiodedos
filasadyacentesdeA.Ellectorveráqueelrazonamientodadoenlademostra-
cióndellemaanteriorseextiendealpresentecasoydaD(A')=-D(A).

162. I)cl¢'rnu'tuum-.v l45
AhoraseaBobtenidaporintercambiodedosfilasiyjdeA,coni<j.Se
puedeobtenerBdeApormediodeunasucesióndeintercambiosdeparesde
lilasadyacentes.Secomienzaintercambiandolafilaiconlafila(i+1)ycon-
tinuandohastaquelasfilasquedenenelorden
Qq0, QU0, 0Q0,ana
listorequierek=j-iintercambiosdefilasadyacentes.Semueveahoraorja
laposiciónihaciendo(k-1)intercambiosdefilasadyacentes.Seobtiene
asíBapartirdeApork+(k-1)=2k-1intercambiosdefilasadyacen-
tes.Conloque
D(B)=(-1)2'=-*D(A)=-D(A).
SupóngasequeAescualquiermatriznxncondosfilasiguales,digamosot,=ot,-,
coni<j.Sij=i+1,entoncesAtienedosfilasadyacentesigualesyD(A)=0.
Si¡`>i+1,seintercambianoz,-HyotjylamatrizresultanteBtienedosfilas
adyacentesiguales,entoncesD(B)=0.Porotrolado,D(B)=-D(A),luego
D(A)=0.I
Definición.Sin>1yAesunamatriznxnsobreK,designemosporA(i|j)
lumatriz(n-1)x(n-1)queseobtieneeliminandolai-ésimafilaylaj-ésima
columnadeA.SiDes-unafunción(n-1)-linealyAesunamatriznxn,se
haceDU-(A)=D[A(i|j)].
Teorema1.Sean>lyseaDunafunción(n~I)-linealalternadadelas
matrices(n-1)x(n-1)sobreK.Paratodoj,15j5n,lafunciónEJ-de-
finidapor
«S-1› E,~(A›=_§¿(-1›“fAf,-Dt,-(A)
esunafunciónn-linealalternadadelasmatricesnxn,A.SiDesunafunción
determinante,tambiénloesE¡.
Demostración.SiAesunamatriznxn,DU-(A)esindependientedela
lilaideA.ComoDes(n-1)-lineal,esclaroqueDU-eslinealcomo
I`uncióndecualquierfila,exceptolafilai.Portanto,Ai]-DU-(A)esunafun-
ciónn-linealdeA.Unacombinaciónlinealdefuncionesn-linealesn-lineal;
luegoEjesn-lineal.ParademostrarqueEjesalternadabastarádemostrar
queEJ-(A)=0siemprequeAtengadosfilasiguales.Supóngasequeak=ak,1.
Sii7€kyi9€k+l,lamatrizA(i|j)tienedosfilasiguales,yasíDU-(A)=0.
Portanto,
E,-(A)=(-1)'°¬"`AtfDt;(A)+(-1)'°¬"¬`¡A<t+i›fD<t+1›f(A)-
Cømo ak=ak+1,
Aki=A(k+1›¡yA(k|Í)=A(k+lil)-
lintoncesesclaroqueEJ-(A)=0.
SupóngaseahoraqueDesunafuncióndeterminante.Si1""eslamatriz

163. 146 Al¢¢'lImllmwl
identidadnxn,entoncesI""(¡`|j)eslamatrizidentidad(n-l)x(n_-l),
I'"`"”-ComoIg-"=«SU-,sesiguede(5-4)que
rs-5) E,-(1<»›)=D(1<~-H).
Ahora,D(Il"`1')=l,dedondeE,-(IW)=1yEjesunafuncióndeterminante.I
Corolario.SeaKunanilloconmutativoconunidad,yseanunenteroposi-
tivo.ExistealmenosunafuncióndeterminantesobreK'“"'.
Demostración.Sehademostradolaexistenciadeunafuncióndetermi-
nantesobrematrices1x1sobreKytambiénsobrematrices2x2sobreK.
ElTeorema1diceexplícitamentecómoconstruirunafuncióndeterminante
sobrematricesnxn,dadatalfunciónsobrematrices(n-1)x(n-1).El
corolariosedemuestraporinducción.I
Ejemplo5.SiBesunamatriz2x2sobreK,sea
=BUBQQ *BQBQ1.
Entonces|B|=D(B),dondeDeslafuncióndeterminantesobrelasmatrices
2x2.HemosmostradoqueestafunciónsobreK2"2esúnica.Sea
All AI2 A-13
A= A-21A-22A-23
A3! A-32A33
unamatriz3x3sobreK.SisedefineE1,E2,E3comoen(5-4),entonces
l
i/121
Aa
Ati
_A31
(5'7)E2(A)=_/112
(5'8)Ea(A)=A13
Aiƒ
Aa
Aa
Aa
A-ii
A32
_A2:
A r
+ 22ÍA3l
_'Aaa
Au
¡A32
An
An
¿A31
A-13
Aaa
A-13
Aa
Am
Aa
A+Aa
_A32
-I-Aaa
A-12
Aa
All
A21
:A11
Am
A-13
/123
Ala'
Aa
A12.
A-22;
SesiguedelTeorema1queE1,E2,E3sonfuncionesdeterminantes.Enreali-
dad,comoseverámásadelante,E1=E2=E3,peroestonoseve,incluso
enestecasosencillo.Sepodria,sinembargo,comprobarenformadirectadesarro-
llandocadaunadelasexpresionesanteriores.Envezdehacerlosedanalgunos
ejemplosconcretos.
(a)SeaK=R[x],y

164. lìt't¢'t'tninunl¢'.\' Í47
I-'ntonces
E,<A›=e-1›“";2xì3|=<x-1›(±-2)@-3)
E,(A)=-3,-igxì3|+(;i;-2)xB.1xï3`
=(w=l)(=v-2)(=v-3)
y
E3(Á)=x8 _ -xšl É-I-(22-3)xB-1 $232!
=(zz:-1)(x-2)(x-3).
(b)SeaK=Ry 010
A=00l-
100
10
01
I1ntonces
E1(A)= =1
01'
'o1«
I i
lzjercicios
I.CadaunadelassiguientesexpresionesdefineunafunciónDsobreelconjuntodelas
matrices3x3sobreelcuerpodelosnúmerosreales.¿EnquécasosesDunafunción
l-lineal?
(3)D(A)=An'l'Aaa'l'Aaa;
(b)D(A)=(/111)*+3A¡¡A2-¿;
(C)D(A)=AnA12/ist;
(Ó)D(A)=At:/122-422'l'5/112A22/1:2;
(0)D(A)=0;
(f)D(A)=1.
2.VerificardirectamentequelastresfuncionesE1,E2,E3definidaspor(5-6),(5-7)y(5-8)
mnidénticas.
l.SeaKunanilloconmutativoconunidad.SiAesunamatriz2x2sobreK,laadjunta
lleAeslamatriz2x2,adjA,definidapor
. A22 'ïA12
adjA=ii-A21 Auïi.
'sidetrepresentalafuncióndeterminanteúnicadelasmatrices2x2sobreK,demos-
uarque i
(a)(adjA)A=A(adjA)=(detA)I;
(b)det(adjA)=det(A);
(e)adj(A')=(adjA)'.
(l'denotalatranspuestadeA.)

165. I48 AIgrbrulmrul
4.SeaAunamatriz2x2sobreuncuerpoF.DemostrarqueAesinversiblesi,ysolosi,
detAql=0.SiAesinversible,darunafórmulaparaA".
5.SeaAunamatriz2x2sobreuncuerpoFysupóngasequeA2=0.Demostrarque
paratodoescalarc,det(cl-A)=cz.
6.SeaKunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosynunenteropositivo.Sean_¡`,,..._/,,
yk1,...,k,,enterospositivosnomayoresquen.ParaunamatriznxnsobreKsedelìne
D(A)=A(J'i.k›)A(1'2,kz)A(1'»,k»)-
DemostrarqueDesn-linealsi,ysolosi,losenterosj,,...,j,,sondistintos.
7.SeaKunanilloconmutativoconunidad.Demostrarquelafuncióndeterminante
sobrelasmatrices2x2,A,sobreKesalternaday2-linealcomofuncióndelascolum-
nasdeA.
8.SeaKunanilloconmutativoconunidad.SedefineunafunciónDsobrelasmatrices
3x3sobreKporlaregla
AA AA AA
1_›<A›=A,,det[AïAi]-A.,aa[A:;A:J+A.,da[A§:
DemostrarqueDesalternaday3-linealcomofuncióndelascolumnasdeA.
9.SeaKunanilloconmutativoconunidadyDunafunciónalternadayn-linealsobre
lasmatricesnxnsobreK.Demostrarque
(a)D(A)=0siunadelasfilases0;
(b)D(B)=D(A)siBseobtienedeAporadicióndeunmúltiploescalardeunafila
deAaotra.
10.SeanFuncuerpo,Aunamatriz2x3sobreFy(c,,cz,c,)elvectorenF3defini-
dopor
C_A12Ala C__.AlaAn C__AliAn'
1 A22 A23, 2 A23 A21, 3 1121 A22
Demostrarque
(a)rango(A)=2si,ysolosi,(c¡,cz,c3)=#0;
(b)siAtienerango2,entonces(c,,cz,c¿,)esunabaseparaelespaciodelassolucio-
nesdelsistemadeecuacionesAX=0.
ll.SeaKunanilloconmutativoconunidadyseaDunafunciónaltemada2-linealsobre
lasmatrices2x2sobreK.DemostrarqueD(A)=(detA)D(l)paratodaA.Usareste
resultado(nosonlícitoscálculosconloscoeficientes)parademostrarquedet(AB)=-
(detA)(detB)paracualesquieramatrices2x2,AyB,sobreK.
12.SeaFuncuerpoyDunafunciónsobrelasmatricesnxnsobreF(convaloresenF).
SupóngasequeD(AB)=D(A)D(B)paratodoA,B.DemostrarqueD(A)=0paratoda
A,obienD(l)=l.EnesteúltimocasodemostrarqueD(A)=;ë0siAesinversible-
13.SeaRelcuerpodelosnúmerosrealesyseaDunafunciónsobrelasmatrices2x2
sobreR,convaloresenR,talesqueD(AB)=D(A)D(B)paracualesquieraA,B.Supón-
gaseque,además,
O1 1O
D(|:10:i)¢D([0

166. Ili'ti'rntlnmttes 149
I)t-mostrarque
(a)I)(0)=0;
th)D(A)=0si/12=0;
(e)D(AB)=-D(A)siBseobtieneporintercambiodelasfilas(ocolumnas)deA;
(d)D(A)=0siunafila(ocolumna)deAes0;
(e)D(A)=0siAessingular.
I-1.SeaAunamatriz2x2sobreelcuerpoF.Entonceselconjuntodetodaslasmatri-
cesdelaformaf(A),dondefesunpolinomiosobreF,esunanilloconmutativoconuni-
dadK.SiBesunamatriz2x2sobreK,eldeterminantedeBesentoncesunamatriz2x2
sobreF,delaformaf(A).SupóngasequeIeslamatrizunidad2x2sobreFyqueBes
I.imatriz2x2sobreK
B=[A-A111-A121
-A211A-A-¿J
DemostrarquedetB=f(A),dondef=x2-(An+A22)x+detAytambiénque
/(A)=0.
5.3.Permutacionesyunicidad
delosdeterminantes
Enestaseccióndemostraremoslaunicidaddelafuncióndeterminante
sobrematricesnxnsobreK.Lademostraciónconducirádeunamanerana-
turalaestudiarlaspermutacionesyalgunasdesuspropiedadesbásicas.
SupóngasequeDesunafunciónalternadan-linealsobrelasmatricesnxn
sobreK.SeaAunamatriznxnsobreKconfilasak,ak,...,oz,,.Siserepre-
.sentanlasfilasdelamatrizunidadnxnsobreKpor6,,ek,...,en,entonces
ts-9) a,=ÉlA(i,j)¢,,151:5n.
Iuego
D(A)=DA<1.f›«,~,at,...,«..)
=§_:A(1,j)1>(f,-,a2,._.,a,,).
Siahoraseremplazaoz,por§A(2,k)ek,seveque
D(¿J`›a2›°°°1an)=É k)D(fj›fic;---;an)-
Así,pues,
D(A)= A(l,j)A(2,k)D(e,-,ek,...,an).
2.
I-`nD(e,-,ek,.._,ak)seremplazaahoraoz,por2A(3_,1)e¡yasisucesivamente.
Finalmente,seobtieneunaexpresióncomplicada,peroteóricamenteimpor-
tantedeD(A),asaber,
,./
(5-10)D(A)=
E A(l,lc¡)A(2,kg)---A('n,lc,,)D(e¡,,,¢¡,,,...,e¡,,,).
ki.ka.....kn

167. ¡S0 .-1l,t.'c'hrnllmïll
En(5-10)lasumaseextiendesobretodaslassucesiones(kk.k2,____k,,)deen-
terospositivosnomayoresquen.EstodemuestraqueDesunasumalinila
_defuncionesdeltipodescritoen(5-2).Debeobservarseque(5-10)esunacon-
secuenciadirectadelasuposicióndequeDesn-lineal,yqueuncasoparticular
de(5-10)seobtuvoenelEjemplo2.ComoDesalternada,
D(¢ki›fx»---›fx.)=0
siemprequedosdelosíndicesk,seaniguales.Unasucesión(kk,kk,___,kn)
deenterospositivosnomayoresquen,conlapropiedaddequenohayados
delosk¡iguales,sellamapermutacióndegradon.En(5-10)necesitamos,por
tanto,sumarsolamentesobreaquellassucesionesquesonpermutacionesde
gradon.
Comounasucesiónfinita,on-tuple,esunafuncióndefinidasobrelospri-
merosnenterospositivos,unapermutacióndegradonpuededefinirsecomo
unafunciónbiyectivadelconjunto{1,2,___,n}sobresimismo.Unatalfunción
ocorrespondeaunn-tuple(al,ak,____an)yes,portanto,simplementeuna
reglaparaordenarl,2,...,nenalgunaformabiendefinida.
SiDesunafunciónalternadan-linealyAesunamatriznxnsobreK.se
tieneentonces
(5-ll) D(A)=2A(l,ol)---A(n,o'n)D(e,¡,...,e,,,)
dondelasumaseextiendesobrelasdistintaspermutacionesadegradon.
Acontinuaciónmostraremosque
(5-12) D(e,1,...,em)=±D(e1,...,12,.)
dondeelsigno±dependesolodelaspermutacioneso.Larazóndeelloescomo
sigue.Lasucesión(al,a2,___,an)sepuedeobtenerdelasucesión(1,2,___,n)
porunnúmerofinitodeintercambiosdelosparesdeelementos.Porejemplo,
sial=/=l,sepuedetransponer1yal,obteniéndose(al,___,al,___).Proce-
diendoasísepuedellegaralasucesión(al,___,an)despuésdenomenosde
talesintercambiosdepares.ComoDesaltemada,elsignodesuvalorcambia
cadavezqueseintercambiandosdelasfilase,yej-_Así,sisepasade(1,2,___,n)
a(al,a2,___,an)pormediodemintercambiosdepares(i,j),setendrá
D(f¢1, -.¢,fgn) *Í(_l.)mD(f], .-.,fu).
Enparticular,siDesunafuncióndeterminante
(5-13) D(e,1,...,em)=(-1)”
dondemdependesolodea,ynodeD.Asi,todafuncióndeterminanteasigna
elmismovaloralamatrizdefilascal,___,ed",yestevalores1o-1.
Seaahoraelsiguientehechobásicorespectodelaspermutaciones.Siaes
unapermutacióndegradon,sepuedepasardelasucesión(1,2,___,n)ala
sucesión(al,02,____an)porunasucesióndeintercambiosdepares,yello
puedehacersedediversasmaneras;perosinqueimportecómosehayahecho,
elnúmerodeintercambiosempleadosessiempreparoimpar.Lapermutación

168. Iti-ti-rntiruum-s 15I
sellamaentoncesparoimpar,respectivamente.Sedefineelsignodeunaper-
imitaciónpor
1,si0espar
sgna= . _
-1,sioesimpar
representandoaquíelsímbolo«l››elenterol.
Severámásadelantequeestapropiedadbásicadelaspermutacionesse
puedededucirdeloqueyasesabesobrefuncionesdeterminantes.Supóngase
porahoraqueelloseaasí.Entonceselenteromen(5-13)essiempreparsiaes
unapermutaciónpar,yessiempreimparsiaesunapermutaciónimpar.Para
unafunciónalternadan-linealsetieneentoncesque
D(€¢1,...,G,-1,)=(Sgn0')D(G1,.._,tn)
ypor(5-11)
(5-14)D(A)=[2(Sgn«)A(1,01)---Am,0-n)]D(1).
lisclaroqueIrepresentalamatrizidentidadnxn.
De(5-14)sevequeexisteprecisamenteunafuncióndeterminantesobre
matricesnxnsobreK.Siserepresentaestafunciónpordet,vienedadapor
(5-15) det(A)=E(sgna)A(1,al)-_--A(n,an)
dondelasumaseextiendesobrelasdistintaspermutacionesadegradon.Todo
estosepuederesumirformalmentecomosigue.
Teorema2SeaKunanilloconmutativoconunidadyseanunenteropo-
sitivo.Existeexactamenteunafuncióndeterminantesobreel`conjuntodelas
matricesnxnsobreK,yeslafuncióndetdefinidapor(5-15).SiDescualquier
funciónalternadan-linealsobreK"“",entoncesparatodamatriznxn,A,
D(A)=(detA)D(¡).
Esteeselteoremaquehabíamosbuscado,perosehadejadounvacíoen
lademostración.Estevacíoeslademostracióndeque-paraunapermutación
dadao,cuandosepasade(1,2,___,n)a(ol,02,___,an)porintercambio
depares-elnúmerodeintercambiosessiempreparoimpar.Estehechocom-
binatoriobásicopuedeserdemostradosinreferenciaalgunaalosdeterminantes.
Peroquisiéramosindicarcómosedesprendedelaexistenciadeunafunción
determinantesobrelasmatricesnxn.
SeaKelanillodelosenteros.SeaDunafuncióndeterminantesobrelas
matricesnxnsobreK.Seaaunapermutacióndegradonysupóngaseque
sepasade(1,2,___,n)a(ol,02,___,an)pormintercambiosdelospares(i,j),
i=;¿j.Comosevioen(5-13)
(-1)"=D(e.,¡,.._,em)
estoes,elnúmero(-l)'"debeserelvalordeDsobrelamatrizdefilas
6,1,_._,e,,,,_Si
D(¿¢l›--°tGm)=la

169. IS2 fil,l¦t'l›t'ulltwul
entoncesmdebeserpar.Si
D(e,1,.__,em)=-1,
entoncesmdebeserimpar.
Comotenemosunafórmulaexplícitaparaeldeterminantedeunamatri:
nxnyenestafórmulaintervienenlaspermutacionesdegradon,concluimotl
estasecciónhaciendoalgunasobservacionesmásrespectoalaspermutaciones.
Primeroobsérvesequehayexactamenten!=1-2---npermutacionesde
gradon.Enefecto,siaestalpermutación,existenneleccionesposiblesparaal;
cuandoestaelecciónsehahecho,existen(n-l)eleccionesposiblespara
02;luego(n-2)eleccionesparaa3.yasisucesivamente.Enconsecuencia,
setienen
n(n-l)(n-2)---2-l='n!
permutacionesa.Lafórmula(5-15)paradet(A)daasíeldet-(A)comosuma
den!términos,unoporcadapermutacióndegradon.Untérminodadoes
unproducto
Á(l,ol)---A('n,an)
denelementosdeA,unelementodecadafilayunelementodecadacolumna
precedidodesigno«+››o«-››,segúnquecrseapermutaciónparoimpar.
Cuandolaspermutacionesseconsiderancomobiyeccionesdelconjunto
{1,2,___,n}sobresímismo,sepuededefinirunproductodepermutaciones.
Elproductodeayrserásimplementelafuncióncompuestaardefinidapor
(vr)(15)=<f(†(0)-
Sierepresentalapermutaciónidentidad,e(i)=i,entoncescadaatieneuna
inversa0-'talque
00-1=0-10=e.
Sepuedenresumirestasobservacionesdiciendoque,respectodelaoperación
decomposición,elconjuntodelaspermutacionesdegradonesungrupo.Este
gruposellamagruposimêtricodegradon.
Desdeelpuntodevistadeproductosdepermutaciones,lapropiedadbási-
cadelsignodeunapermutaciónesque
(5-16) sgn(ar)=(sgna)(sgn-r).
Esdecir,aresunapermutaciónparsiayrsonambasparesoambasimpares,
mientrasquearesimparsiunadelasdospermutacionesesimparylaotra
espar;sepuedeverestoporladefinicióndelsignomediantelossucesivosin-
tercambiosdelospares(i,j).Puedesertambiéninstructivoindicarcómo
sgn(ar)=(sgna)(sgn1)sedesprendedeunapropiedadfundamentaldelos
determinantes.
SeaKelanillodelosenterosyseanayrpermutacionesdegradon.Sean
ek,___,enlasfilasdelamatrizidentidadnxnsobreK.SeaAlamatrizcon
filas6,1,___,e,,,_yseaBlamatrizconfilase,,1,___,e,,,,.Lai-ésimafiladeAtiene

170. Ile-ti'rn|tmn|t¢-s [53
exactamenteunelementononulo,asaber,ellenlacolumna1,.Porloquees
fácilverqueen,eslai-ésimafiladelproductodematricesAB.Ahora
det(A)=sgnr, det(B)=sgn0, y det(AB)=sgn(or).
Asísetendráquesgn(ar)=(sgna)(sgn1),unavezdemostradoelsiguiente
teorema.
Teorema3.SeaKunanilloconmutativoconunidadyseanAyBmatri-
cesnxnsobreK.Entonces
det(AB)=(detA)(detB).
Demostración.SeaBunamatriznxndadasobreK,yparacadamatriz
nxn,A,definaseD(A)=det(AB).Sisedesignanlas-filasdeAporak,____ak,
entonces
D(C!1,...,(In)=(1813((!1B,...,(1nB).
Aquíoz,-Brepresentalamatriz1><nqueeselproductodelamatriz1xn,oz,-,y
lamatriznxn,B.Como
(cai-I-ot¦)B=ca,-B-I-ot¶B
ydetesn-lineal;esfácilverqueDesn-lineal.Sioz,=or,-,entonces<x¡B=oz,-B,
ycomodetesalternada
D((11,...,a1¡)=O.
LuegoDesalternada.Ahorabien,Desunafunciónalternadan-lineal,ypor
elTeorema2
D(A)=(detA)D(I)_
PeroD(I)=det(IB)=detB,conloque
det(AB)=D(A)=(detA)(detB).I
Quesgn(ar)=(sgna)(sgnr)essolounodelosmuchoscorolariosdelTeo-
rema3.Seconsideraránalgunosdeestoscorolariosenlasiguientesección.
Ejercicios
I.SiKesunanilloconmutativoconunidadyAeslamatrizsobreKdadapor
Oab
A=-a Oc
-b-cO
2.DemostrarqueeldeterminantedelamatrizdeVandermonde
1aa*
[1_M]
es(b-a)(c-a)(c-b). 1Ccz
DemostrarquedetA=0.

171. 154 ALevitraltnrall
3.Escribirexplícitamentelasseispermutacionesdegrado3,decircuálessonimparta
ycuálessonparesyusarestoparadarlafórmulacompleta(5-IS)deldeterminantedeunn
matriz3x3.
4.Sean0y1:laspermutacionesdegrado4definidasporal=2,02=3,03=4,a4¬-¬I.
1:1=3,1:2=1, 1:3=2,'t:4=4_
(a)¿Es0imparopar?¿Es1:imparopar?
(b)Hallar01:y1:0.
5.SiAesunamatriznxninversiblesobreuncuerpo,demostrarquedetA7€0.
6.SeaAunamatriz2x2sobreuncuerpo.Demostrarquedet(I+Al=1+detA
si,ysolosi,traza(A)=0.
7.Unamatriznxn,A,sellamatriangularsiAU=O,siemprequei>j0siA,-¡=-ll
siemprequei<j.Demostrarqueeldeterminantedeunamatriztriangulareselproducto
A“An-=-A,,,,deloselementosdesudiagonal.
8.SeaAunamatriz3x3sobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos.Formamoslamatri?
xl-Aconelementospolinomiales,siendoelelementoi,jdeestamatrizelpolinomio
6,,-x-A,-¡_Sif=det(xl-A),demostrarquefesunpolinomiomónicodegrado3.
Siseescribe
f=(15_C1)(1?_02)@'_Ca)
connúmeroscomplejoscl,czyek,demostrarque
ck+cz+ca=traza(A)yckczck=detA.
9.SeanunenteropositivoyFuncuerpo.Si0esunapermutacióndegradon,demos-
trarquelafunción
000, í I00,xfln)
esunoperadorlinealinversibleenF".
10.SeanFuncuerpo,nunenteropositivoySelconjuntodelasmatricesnxnsobreF.
SeaVelespaciovectorialdetodaslasfuncionesdeSenF.SeaWelconjuntodelasfun-
cionesalternadasn-linealessobreS.DemostrarqueWesunsubespaciodeV.¿Cuálesla
dimensióndeW?
ll.SeaTunoperadorlinealsobreF".Defínase
D¡~(a¡,___,an)=det(Ton,___,Tan).
(a)DemostrarqueDTesunafunciónalternadan-lineal.
(b)Si
c1 u00,
demostrarqueparanvectoresak,___,ot,arbitrariossetiene
det(Ton,___,Ta,,)=cdet(oq,___,an).
(c)Si(BescualquierbaseordenadadeF"yAeslamatrizdeTenlabaseordenadaQ,
demostrarquedetA=c.
(d)¿Quénombreapropiadosepodríadarac?
12.Si0esunapermutacióndegradonyAunamatriznxnsobreelcuerpoFconvec-
toresfilaoq,___,ot,,,seao(A)lamatriznxnconvectoresfilaoral,___,ot,,,_

172. l)r'it'rmt`mmtt°.\' U5
(a)Demostrarqueo(AB)=o(A)By,enparticular,queo(A)=o(I)A_
(b)SiTeseloperadorlinealdelEjercicio9,demostrarquelamatrizdeTenlabase
canónìcaeso(I)__
(c)¿Eso_'(I)lamatrizinversade10(1)?
(d)¿Esciertoqueo(A)essemejanteaA?
l3.Demostrarquelafunciónsignodelaspermutacionesesúnicaenelsiguientesentido:
SiI'escualquierfunciónqueasignaacadapermutacióndegradonunenteroysif(ar)=
/(o)f(1:),entoncesfesidénticamente0oj'esidénticamente1ofeslafunciónsigno.
5.4.Otraspropiedadesdelosdeterminantes
Enestasecciónmencionaremosalgunasdelasmásimportantespropie-
dadesdelafuncióndeterminantesobrelasmatricesnxn.Probablemente
loprimeroquedeberíamosseñalareslosiguiente.Enelestudiodedet'A,las
filasdeAhanjugadounpapelprivilegiado.Comonoexistediferenciafunda-
mentalentrefilasycolumnas,sepuedemuybienesperarquedetAseauna
funciónalternadan-linealdelascolumnasdeA.Esteeselcaso,yparademos-
trarloessuficientehacerverque
(5-17) det(A')=det(A)
dondeA'representalatranspuestadeA.
Sicresunapermutacióndegradon,
A'(i,ai)=A(ai_z).
Porlaexpresión(5-15)setieneentonces
det(A')=E(sgna)A(a1,1)---A(an,tt).
Sii=cflj,A(ai,i)=A(¡',a"j)_Conloque
A(«1,1;Aun,-1)=A(1,_«-11)---A(-1,@-tn).
Como00'*eslapermutaciónidentidad
(sgna)(sgn0-1)=1osgn(a-1)=sgn(a).
Además,comoavaríasobretodaslaspermutacionesdegradon,tambiénlo
hace0".Portanto,
det(A')=E(sgna"1)A(1,a-11)---A(n,a“*n)
=detA
quedemuestra(5-17).
Enciertasocasionessenecesitacalculardeterminantesdados.Cuandoello
esnecesario,sueleserútilaprovecharlasiguientepropiedad.SiBseobtiene
deAporlaadicióndeunmúltiplodeunafiladeAaotra(ounmúltiplodeuna
columnaaotra),entonces
(5-is) deis=dem.

173. I50 Algi-bm¡tm-al
Sedemostrara'|laafirmaciónparalasfilas.SeaBlaqueseobtienedeAporla
adicióndeca,aot,,dondei<j.Comodeteslinealcomofuncióndelai-ésima
lila
detB=detA+cdet(a1,___,a,-,.__,a,-,.__,a,,)
=detA.
Otrapropiedadútileslasiguiente.Supóngasequetenemosunamatriz
nxnenformadebloque
[AB
0C]
dondeAesunamatrizrxr,C'unamatrizsxs,Bunamatrizrxsy0re-
presentalamatriznulasxr.Entonces
(5-19) det[â2]=(detA)(det0).
Parademostrarlo,sedefine
D(A,B,c)=det[34
SifijamosAyB,entoncesDesalternadays-linealcomofuncióndelasfilas
deC.Así,porelTeorema2
D(A,B.C)=(detC)D(A,B,Í)
dondeIeslamatrizidentidadsxs.RestandomúltiplosdelasfilasdeIde
lasfilasdeByusandolaafirmación(5-18),setiene
D(A,B,I)=D(A,0,I).
Ahora,D(A,0,I)esevidentementealternadayr-linealcomofuncióndelas
filasdeA.Así,pues,
D(A,0,I)=(detA)D(I,0,I).
PeroD(I,0,I)=1.conloque
D(A,B,C)-=(detC)D(A,B,I)
=(detC)D(A,0,I)
=(detC)(detA).
Porunrazonamientodelmismotipo,otomandotranspuestas
(5-20) det[É2,]=(detA)(det0).
Ejemplo6.SupóngasequeKeselcuerpodelosnúmerosracionalesy
quesedeseacalculareldeterminantedelamatriz4x4
l-*|-P-[OI-IÑl-*l\')l-I*CAD!-*QKO©l'-*[\'JC›0
A: __.

174. I)¢-terntinantvs ¡S7
Restandomúltiplosadecuadosdelafilal,delasfilas2,3y4,obtenemosla
matriz
OOO'-*C»0CJ'tl-Pl-lI-*¢D|-PN)
E5ee
--4
-3
quesegún(5-18)tienelamismamatrizqueA.SiserestaÉveceslafila2dela
fila3yluegoseresta%veceslafila2delafila4.setiene
OOO*-\OOI-lät-It-l>~t-län-lil@Own-l>~C«O
B= _
ynuevamentedetB=detA.LaformabloquedeBdiceque
1-1-4-s
detA=detB_|0,LH40|_4(a2)_12s_
Seaahoran>1yseaAunamatriznxnsobreK.EnelTeoremalsevio
cómoconstruirunafuncióndeterminantesobrelasmatricesnxn,dadauna
delasmatrices(n-1)x(n-1).Ahoraquesehademostradolaunicidad
delafuncióndeterminante,lafórmula(5-4)dicelosiguiente.Sisefijacual-
quiercolumnadeíndicej,
detA=_š1(-1)f+›'A,-,-detA(i|j).
Elescalar(-1)"*¡detA(i|j)sesuelellamarcofactori,jdeA,ocofactordel
elementoi,jdeA.LaexpresiónanteriorparadetAesentoncesllamadadesarro-
llodeldetAporcofactoresdelaj-ésimacolumna(o,aveces.desarrollopor
menoresdelaj-ésimacolumna).Sisehace
C-'i=(“1)i+id0l1A(í|_Í)
entonceslaexpresiónanteriordicequeparacadaj
detA =ÉA¡'C¿~
JJ
¡=1
dondeelcofactorCU-es(-1)"*"veceseldeterminantedelamatriz(n-1)x
(n-1)queseobtienesuprimiendolafilaiylacolumnajdeA.
Sij=¡ék,entonces
aii]Áçkcij=
Enefecto,remplazandolacolumnajdeAporsucolumnakyllamandoBla
matrizresultante,entoncesBtienedoscolumnasigualesy,portanto,
detB=0.ComoB(¡lj)=A(i|j),setiene

175. 153 Alttebrulimwl
0-=detB
=il(-1)f+f13,-,-detB(t|j)
=il(-1)f+fA_-,_detA(i|j)
=iiiÁ¡kCi¡-
listaspropiedadesdeloscofactorespuedenresumirsecon
ÉA¡¡¢C¡¡=dj;detA.
í=l
Lamatriznxn,adjA,transpuestadelamatrizdeloscofactoresdeA.
sellamaadjlmtadeA.Así
(5-22) (adiA)-f=Ca=(-1)"*"detA(1`l¢)-
Lasexpresiones(5-21)puedenresumirseenlaecuaciónmatricial
(5-23) (adjA)A=(detA)I_
QueremosvertambiénqueA(adjA)=(detA)I.ComoA'(i[j)=A(j|i)',
setiene
(--1)*+"detA'(z`|j)=(-1)"+*detA(j|z')
quedicesimplementequeelcofactori,jdeA'eselcofactorj,ideA.Conloq.1e
(5~24) adj(A')=(adjA)'
Aplicando(5-23)aA',setiene
(adjA')A'=(detA')]=(detA)I
ytransponiendo _
A(adjA')'=(detA)I_
Usando(5-24)setieneloquesedeseaba:
(5-25) A(adjA)=(detA)I_
Comoparalasmatricessobreuncuerpo,unamatriznxn,A,sobreK,
sediceinversiblesobreKsiexisteunamatriznxn,A_1,conelementosenK,
talqueAA"1=A-IA-=I.Sitalmatrizexiste,esúnica;enefecto,conelmis-
morazonamientousadoenelCapítulo1,sevequecuandoBA=AC=_I
tenemosqueB=C.Lasfórmulas(5-23)y(5-25)nosdicenlosiguienteacerca
delainversióndematricessobreK.SielelementodetAtieneuninversomul-
tiplicativoenK,entoncesAesinversibleyA"1=(detA)"1adjAeslainversa
únicadeA.Recíprocamente,esfácilverquesiAesinversiblesobreK.elelemen-
todetAesinversibleenK.Paraello,siBA=Isetiene
1=detI=det(AB)=(detA)(detB).
Lodemostradoeselsiguienteteorema.

176. I)¢'temmtuntes ¡.59
Teorema4.SeaAunamatriznxnsobreK.EntoncesAesinversible
sobreKsi,ysolosi,detAesinversibleenK.CuandoAesinversible,lainversa
unicadeAes
A_1=(detA)_1adjA.
länparticular,unamatriznxnsobreuncuerpoesinversiblesi,ysolosi,sude-
terminanteesdistintodecero.
Debemosseñalarqueestecriteriodecisivoparalainversióndemuestra
queunamatriznxnconunainversaalaizquierdaoaladerechaesinver-
sible.Estademostraciónescompletamenteindependientedelademostración
quesedioenelCapítulo1paralasmatricessobreuncuerpo.Queremostam-
biénindicarquequieredecirlainversiónparamatricesconelementospolino-
mios.SiKeselanillodelospolinomiosF[x],losúnicoselementosdeKque
soninversiblessonlospolinomiosescalaresnonulos.Enefecto,sifygson
polinomiosyfg=1,setienegrdf+grdg=0,conloquegrdf=grdg=0;
esdecir,fygsonpolinomiosescalares.Así,unamatriznxnsobreelanillo
delospolinomiosF[x]esinversiblesobreF[x]si,ysolosi,sudeterminante
esunpolinomioescalarnonulo.
Ejemplo7.SeaK=R[x]elanillodelospolinomiossobreelcuerpo
delosnúmerosreales.Sea
A__[:z:2+:c:12+1:|B_[ 2:2-1 :t2+2:|_
_:1:-1 1' _2:2-2x+3:1:
Entonces,poruncálculobreve,setienequedetA=x+lydetB=-6.
ConloqueAnoesinversiblesobreK.Observeseque
_ 1 -az-1 _ az -x-2
ad'lA_[-:e+1 x2+a:]' ad"B_[-a:2+2a:-3 1:2--1]
y(adjA)A=(x+1)I,(adjB)B=-61.Esclaroque
B'_1 1 x ix -_2].
6-2:2+2:1:-31-1:2
Ejemplo8.SeaKelanillodelosenterosy
12
A"i3-tj'
_ 4-2
”'d1A”|:-31j`
AsiqueAnoesinversiblecomomatrizsobreelanillodelosenteros;sinem-
bargo,sepuedetambiénconsiderarAcomomatrizsobreelanillodelosnú-
merosracionales_EntalcasoAesinversibley
EntoncesdetA=-2y

177. MU .-ll_ei-bmlineal
:fi-tf;11
Enrelaciónconmatricesinversiblesqueremosmencionarotrohechoele-
mental.Lasmatricessemejantestienenelmismodeterminante;estoes,siI'es
inversiblesobreKy'B=P_1AP,entoncesdetB=detA.Estoesclaro,pues
det(P“1AP)=(detP*1)(detA)(detP)=detA.
Estasimpleobservaciónpermitedefinireldeterminantedeunoperadorlineal
sobreunespaciovectorialdedimensiónfinita.SiTesunoperadorlinealsobre
V,sedefineeldeterminantedeTcomoeldeterminantedecualquiermatri/
rixnquerepresentaaTenunabaseordenadadeV.Comotodasesasmatri-
cessonsemejantes,todastienenelmismodeterminanteyladefinicióntiene
sentido.ReferenteaestovéaseelEjercicio11delaSección5.3.
SevaaestudiarahoralaregladeCramerpararesolversistemasdeecua-
cioneslineales.SupóngasequeAesunamatriznxnsobreelcuerpoFyque
sedesearesolverelsistemadeecuacioneslinealesAX=Yparaalgúnn-tuple
(yk,_,y,,).SiAX=Y,entonces
(adjA)AX=(adjA)Y
yasi
(detA)X=(adjA)Y.
Conloque n
(detA)f¢_-=2(2-diA)_ 1'
1=l
fl
=¿E1(-1)*¬"'z/-detA(i|j)-
Estaúltimaexpresióneseldeterminantedelamatriznxnqueseobtieneal
remplazarlacolumnajdeAporY.SidetA=0,nadadeestotienesentido;
sinembargo,sidetA=,¿0,setienelaconocidaregladeCramer.SeaAunama-
triznxnsobreelcuerpoFtalquedetA9€0.Siy,,___,y,,sonescalarescuales-
quieradeF,lasoluciónúnicaX=A_1YdelsistemadeecuacionesAX=Y
vienedadapor
x-=---detBisj=1 n
'detA ""'
dondeB¡eslamatriznxnqueseobtienedeAremplazandolacolumnajde
AporY.
Alconcluirestecapítulodeseamoshaceralgunoscomentariosquesirvan
paraubicarlosdeterminantesenloquesecreequeeslaperspectivaadecuada.
Devezencuandoesnecesariocalculardeterminantes,yestasecciónsededicópar-
cialmenteamétodosquefacilitantaltrabajo.Peroelpapelprincipaldelosdeter-
minantesenestelibroesteórico.Nosedisputalabellezadecuestionescomo
laregladeCramer.PerolaregladeCrameresuninstrumentoineficazpara
resolversistemasdeecuacioneslineales,sobretodoporquesuponedemasia-
doscálculos.Portanto,unodebeconcentrarseenloquedicelaregladeCramer,

178. Iti-m'ntt'nunta'.r ¡M
masbienqueencómocalcularconella.Ciertamente,cuandorefl6XÍ0f1am0S
sobreestecapitulo,esperamosqueellectorinsistamásenentenderquéesla
Iimcióndeterminanteycómosecomportaqueencómosecalculandelfifmi-
nantesdematricesdadas.
lzjercicios
I.Usarlaexpresióndelaadjuntaparacalcularlainversadecadaunade125SÍÉUÍCUWS
matrices3x3.
-23 2 eos00-sen0
60 3› 01 O
41-1 sen00 eos0
2.UsarlaregladeCramerpararesolverlossiguientessistemasdeecuaci0fl¢S1ÍI1C3|€S
sobreelcuerpodelosracionales.
(a):z:+y+z=l1
2:z:-6y-z=O
3x+4y+2z= O.
(b)3:z:-23,/=7
33,/-2z= 6
32--2:¡:=-1.
3.Unamatriznxn,A,sobreuncuerpoFesantisimétricasiA'=-A.SiÁGSUflflma-
triznxnantisimétricaconelementoscomplejosynesimpar,demostrarqufidelA=0.
4.Unamatriznxn,A,sobreelcuerpoFsediceortogonalsiAA'=I.SiAes0fÍ080f13-1,
demostrarquedetA=±lDarunejemplodeunamatrizortogonalPaffi¡HCU211
detA=-l.
5.Unamatriznxn,A,sobreelcuerpodelosnúmeroscomplejossedic@unitariasi
AA*=I(A*denotalatranspuestaconjugadadeA)_SiAesunitaria.d€m0SU'3fQUC
|detA|=l.
6.SeanTyUdosoperadoreslinealessobreelespaciovectorialVdedim¢f1SÍÓflfiflila-
Demostrarque
(a)det(TU)=(detT)(dCtU)_
(b)Tesinversiblesi,ysolosi,detT=/=0.
7.SeaAunamatriznxnsobreKunanilloconmutativoconunidad.Sllpóflgasfique
Atienelaformabloque:
Al O ... 0
A=9*_4:"'9
0O Ah
dondelasA_¡sonmatricesrjxr¡.Demostrarque
detA= Al) A2)°°°
8.SeaVelespaciovectorialdelasmatricesnxnsobreelcuerpoF.Sea3UH€|¢m€f1ï0
fijodeVyseaTBeloperadorlinealsobreVdefinidoporTB(A)=AB-BA-DCm0Sll'21f
1131 O.
un.

179. [62 _-Ilgrhru¡tm-al
9.SeaAunamatriznxnsobreuncuerpo,A=;ë0.Siresunenteropositivocualquiera
entrelyn,unasubmatrizrxrdeAescualquiermatrizrxrqueseobtienesuprimiendo
(n-r)filasy(n-r)columnasdeA.ElrangodeAeselmayorenteropositivortalque
algunasubmatrizrxrdeAtienedeterminantenonulo.DemostrarqueelrangodeAes
igualalrangodefiladeA(=rangocolumnadeA).
10.SeaAunamatriznxnsobreelcuerpoF.Demostrarqueexistenalomásnescala-
rescdistintosenFtalquedet(cl-A)=0.
ll.SeanAyBmatricesnxnsobreelcuerpoF.DemostrarquesiAesinversibleexisten
alomásnescalarescenFparaloscualescA+Bnoesinversible.
12.-SiVeselespaciovectorialdelasmatricesnxnsobreFyBesunamatriznxndada
sobreF,seanLByRBlosoperadoreslinealessobreVdefinidosporLB(A)=BAy
RB(A)=AB.Demostrarque
(a)detL3=(detB)";
(b)detRB=(detB)".
13.SeaVelespaciovectorialdetodaslasmatricesnxnsobreelcuerpodelosnúme-
roscomplejosyseaBunamatriznxndadasobreC.SedefineeloperadorlinealMBen
VporMB(A)=BAB*,dondeB*=B'_Demostrarque
detM.,=|detB|2~«.
SeaahoraHelconjuntodetodaslasmatriceshermíticasenV;AeshermítieasiA=A*_
EntoncesHesunespaciovectorialsobreelcuerpodelosnúmerosreales.Demostrarque
lafunciónTB,definidaporTB(A)=BAB*_esunoperadorlinealsobreelespaciovectorial
realH,yluegodemostrarqueTB=|detBP".(Sugerencia:AlcalculardetTB.demostrar
queVtieneunabasequeconstadematriceshermíticasyentoncesdemostrarquedetTB=
detMB.)
14.SeanA,B,C,Dmatricesnxn,conmutatiras,sobreelcuerpoF.Demostrarqueel
determinantedelamatriz2nx2n
AB
CD]
esdet(AD-BC).
5.5.Módulos
SiKesunanilloconmutativoconunidad,unmódulosobreKesunsistema
algebraicoquesecomportaenformasemejanteaunespaciovectorialenque
Khacelasvecesdelcuerpoescalar.Paraprecisar,sedicequeVesunmódulo
sobreK(ounK-módulo)si
1.existeunaadición(cz,B)-›cz+/3enV,respectodelacualVesgru-
poconmutativo;
2.existeunamultiplicación(c,cz)-›condeelementosczenVycenKtalque
(cl-l-c2)a=cia-l-cka
C(a1+(lg)=CG1+C02
(cic2)0¢=Ci(02a)
la=a.

180. I)eterminantes I63
AquíelK-módulomásimportanteeseldelosmódulosn-tuplesK”.Los
módulosdematricesK'"“"sontambiénimportantes.SiVescualquiermódulo,
considerancombinacioneslineales,dependencialinealeindependencialineal,
talcomosehizoenunespaciovectorial.HayqueguardarsedeaplicaraVcua-
lesquieraresultadossobreunespaciovectorialquedependandeladivisión
porescalaresnonulos,operacióndecuerpoquepuedenoserlícitaenelani-
lloK.Porejemplo,siak,_._,ot,sonlinealmentedependientes,nosepuede
concluirquealgúncz,seacombinaciónlinealdelosotros.Esto-hacemásdifícil
encontrarbasesenmódulos.
UnabaseparaelmóduloVesunsubconjuntolinealmenteindependiente
quegeneraelmódulo.Estaeslamismadefiniciónquesedioparaespacios
vectoriales;ylapropiedadimportantedeunabase(Besquecadaelemento
deVpuedeexpresarseunívocamentecomocombinaciónlinealde(algúnnú-
merofinitode)elementosde(B.Siseadmiteenmatemáticaelaxiomadeelec-
ción(véaseApéndice),sepuededemostrarquetodoespaciovectorialtiene
unabase.Ellectorestábienenteradodequeexisteunabaseentodoespacio
vectorialgeneradoporunnúmerofinitodevectores.Peroestenoeselcaso
paralosmódulos.Porellosenecesitannombresespecialesparalosmódulos
quetienenbaseylosquesongeneradosporunnúmerofinitodeelementos.
Definición.ElK-módulosedicemódulolibresitieneunabase.SiVtiene
unabasefinitadenelementos,entoncesVsediceunK-módulolibreconnge-
neradores.
Definición.ElmóduloVesfinitamentegeneradositieneunsubconjunto
finitoquegenereV.Elrangodeunmódulofinitamentegeneradoeselmenor
enteroktalqueloskelementosgenerenV.
Serepitequeunmódulopuedeserfinitamentegeneradosintenerunabase
finita.SiVesunK-módulolibreconn-generadores,entoncesVesisomorfo
almóduloK".Si{Bk,___,B,,}esunabasedeV,existeunisomorfismoque
aplicaelvectorckfil+---+c,,B,,sobreeln-tuple(cl,___,c,,)deK”.Noes
evidente,enformainmediata,queelmismomóduloVnopuedasertambién
unmódulolibreconkgeneradores,conk9€n.Esdecir,noesobvioquedos
basescualesquieradeV'debantenerelmismonúmerodeelementos.Lade-
mostracióndeestoesunainteresanteaplicacióndelosdeterminantes.
Teorema5.SeaKunanilloconmutativoconunidad.SiVesunK-módulo
libreconngeneradores,entonceselrangodeVesn.
Demostración.SetienequedemostrarqueVnopuedesergeneradopor
menosdendesuselementos.ComoVesisomorfoaK",sedebehacerverque,
sim<n,elmóduloK"noesgeneradoporlosn-tuplesal,___,am.SeaAla
matrizdefilasal,___,am.Supóngasequecadaunodelosvectoresdelabase
canónìcaek,___,6,,Seacombinaciónlinealdelosak,Í_,ot,,,_Entoncesexiste
unamatrizPenK"“'"talque
PA=I

181. I64 _-Il_i¦¢'I›rulimwl
II*
dondeIeslamatrizidentidadnxn.SeaAlamatriznxnquescobtieneal
adjuntarn-mfilasde0alaparteinferiordeAyseaPcualquiermatriznxn
quetienelascolumnasdePcomosusprimerasncolumnas.Entonces
PÃ=I.
ì ì
Porconsiguiente,detA9€0.Perocomom<n,almenosunafiladeAtiene
todosloselementos0.Estacontradicciónmuestraqueal,___,oc,,,nogene-
ranK".I
EsinteresanteanotarqueelTeorema5establecelaunicidaddeladimensión
deunespaciovectorial(dedimensiónfinita).Lademostración.basadaenla
existenciadelafuncióndeterminante,esbastantediferentedelademostración
dadaenelCapítulo2.PorelTeorema5,sesabeque«módulolibrederangon››
eslomismoqueel«módulolibreconngeneradores».
SiVesunmódulolibresobreK,elmódulodualV*constadetodaslasfun-
cioneslinealesfdeVenK.SiVesunmódulolibrederangon,entoncesV*es
tambiénunmódulolibrederangon.Lademostracióneslamismaquepara
espaciosvectoriales.Si{/3,,___,/ì,,}esunabaseordenadadeV,existeuna
basedual{f,,_._,ƒ,,}asociadadelmóduloV*.Lafunciónf,asignaacada
otdeVsui-ésimacoordenadarespectode{B1, BB)
01=fi(«)B1++f,.(«)B,..
SifesunafunciónlinealsobreV,entonces
f=f(Bi)fi+ +f(B._)f__-
5.6.Funcionesmultilineales
Elpropósitodeestasecciónescolocarelestudiodelosdeterminantesen
loquesecreequeeslaperspectivaadecuada.Seestudiaránlasformasmiilti-
linealesalternantessobremódulos.Estasformassonlageneralizaciónnatural
delosdeterminantessegúnlospresentamos.Ellectorquenohayaleído(ono
deseeleer)labreveintroducciónsobremódulosdelaSección5.5,puedeaún
estudiarconprovechoestasección,leyendocadavez«espaciovectorialsobre
Fdedimensiónn››envezde«módulolibresobreKderangon'››_
SeaKunanilloconmutativoconunidadyseaVunmódulosobreK.Si
resunenteropositivo.unafunciónLdeV"=VxVx xVenKse
dicemultilinealsiL(<x,,___,01,)eslinealcomofuncióndecadaat,-,cuandolos
otrosot,sedejanfijos;estoes.siparacadai
L(oz1,._.,coz,--l-B¡,_..,a,)=cL(a1,__.,oz¿,...,oz,-I-
L((X1,...,B¡,...,a,-).
UnafunciónmultilinealenV'sellamatambiénformar-linealsobreVoforma
multilinealdegradorsobreV.Talesfuncionessellamanr-tensoressobreV.

182. 1);-temmnnm-.s ¡(53
l_acoleccióndetodaslasfuncionesmultilinealessobreV'sedenotaráM'(V).
SiLy/llpertenecenaM'(V),entonceslasumaL+M:
(L-I-llÍ)(a1,___,a,)=L(a1,___,a,)-I-M(a¡,___,a,)
estambiénmultilineal;y,sicesunelementodeK,elproductocL:
(CL)(a1,___,ak)=CL(a1,___,af)
esmultilineal.Portanto,M'(V)esunK-módulo-unsubmódulodelmódulo
detodaslasfuncionesdeV'enK.
Sir=1,setieneM'(V)=V*,elmódulodualdefuncioneslinealessobreV.
Lasfuncioneslinealespuedensertambiénusadasparaconstruirejemplosde
formasmultilinealesdeórdenesmáselevados.Sifl,___,f,sonfuncioneslinea-
lessobreV,definase
L(al›---›af)=fl(a1)f2(a2)'`'fr(ar)-
Evidentemente,Lesunaformar-linealenV.
Ejemplo9.SiVesunmódulo,unafonna2-linealsobreVsellamaame-
nudoformabilinealsobreV.SeaAunamatriznxnconelementosenK.En-
tonces
L(X,Y)=Y'AX
defineunaformabilinealLsobreelmóduloK"“'.Análogamente,
M(Of,B)=M16'
defineunaformabilinealMsobreK".
Ejemplo10.Lafuncióndeterminanteasociaacadamatriznxn,A,
unelementodetAenK.SidetAesconsideradocomofuncióndelasfilasdeA:
detA=D(a1,___,an)
entoncesDesunaforman-linealenK".
Ejemploll.Esfácillog'rarunaexpresiónalgebraicadelaformar-lineal
generalsobreelmóduloK".Sioq,___,ot,sonvectoresdeVyAeslamatriz
rxnconfilasak,___,ot,,entonces,paracualquierfunciónLdeM'(K"),
L(a1,._.,Off)= _š1A1j€¡,O52,.._,(tf)
1=
=_šlA1¡L(€j, O52,_..,Off)
1€
=šA1¡L(€j, âAgkék,._.Oir)
1 11
_ _ Í
2Í Í
=É ÉA1¡A2kL(€¡, 61;,O53,_-_,af)
j=1k=l
=ãA,,A_,_L(¢,-,__,a3,___,a_).
_H.3"H

183. 166 Algvbrullmwl
Siseremplazanal,__.,cx,sucesivamenteporsusexpresionescomocombi-
nacioneslinealesdelosvectoresdelabasecanónìcaysiseescribeA(i,j)por
Ai,-,seobtiene:
(5-26)L(a,,._.,a,)=_É_1A(1,j,)---A(†,j,)L(¢,-,,._.¢,~,).
31...-,Jf='
En(5-26)hayuntérminoporcadan-tupleJ=(jl,_..,j,)deenterospositi-
vosentre1yn.Hayn'detalesr-tuples.Así,pues,Lestácompletamentedeter-
minadapor(5-26)ylosvaloresparticulares
CJ=L(f.1'u-°°2eiv)
asignadosalosn'elementos(e,-1,.._,eh).Estambiénfácilverquesiparacada
r-tupleJseeligeunelementoc¡deK,entonces
(5-27) L(a1,...,af)=ãA(1,j¡)---Á(¶',j,)CJ
defineunaformar-linealsobreK".
SupóngasequeLesunafunciónmultilinealsobreV'yMesunafunción
multilinealsobreV*.SedefineunafunciónL®MsobreV'*“por
®MXG1, ...,(I,-+3)=L(a1,...,af)M(af+1, ...,ag-+1).
SisepiensadeV'*“comoV'xVs,entoncesparaozenV'yBenVs
(L(X)M)(¢1,B)=L(0=)M(B)-
EsclaroqueL®MesmultilinealsobreV'*s.LafunciónL®Msellama
productotensorialdeLyM.El.productotensorialnoesconmutativo.Enefec-
to,M®LqéL®M,amenosqueL=0oM=0;sinembargo,elproduc-
totensorialserelacionaperfectamenteconlasoperacionesmodularesen
M'yM”.
Lema.SeanL,L1formasr-linealessobreV;seanM,M1formass-lineales
sobreV,yseacunelementodeK.
(21)(CL+L1)®M=C(L®M)+L1®M;
(b)L®(cM+M,)=c(L®M)+L®M1.
Demostración.Sedejacomoejercicio.
Elproductotensorialesasociativo,esdecir,siL,MyNson(respectivamen-
te)formasr-,s-yt-linealessobreV,entonces
(L®M)®N=L®(M®N)-
ElloesinmediatoporserlamultiplicaciónenKasociativa.Portanto,siL1,
L2,...,L,,sonfuncionesmultilinealessobreV",.._,V"',entonceselproducto
tensorial
L=L1®"°®L¡¢

184. l)¢'I¢'rtnhun|I¢'.s' I67
estádefinido,enformainequívoca,comofunciónmultilinealsobreV',donde
r=rl+---+r,,.Semencionóyauncasoparticularalrespecto.Sifl,_._,f,
sonfuncioneslinealessobreV,entonceselproductotensorial
L=fl®'''®ff
Í/(ax,---›af)=f1(0f1)'''ff(0ff)-
vienedadopor
Teorema6.SeaKunanilloconmutativoconunidad.SiVesunK-módulo
librederangon,entoncesM'(V)esunK-módulolibrederangon';enefecto,
si{f1›-..,_fl,}esunabaseparaelmódulodualV*,losn'productostensoriales
f¡¡®---®j;-r, l_§j,5n,.__,l_§j,_§n
formanunabasedeM'(V).
Demostración.Sea{f¡,__.,fi,}unabaseordenada`deV*queesdual
delabase{/il,___,/ì,,}deV.ParatodovectorcxdeVsetiene
0=f1(«)B1+---+f»(¢1)B»-
SehacenahoraloscálculosrealizadosenelEjemplo11.SiLesunar-forma
linealsobreVyal,__.,oz,sonelementosdeV,entoncespor(5-26)
I/(ab---1ar)=_2_jÍ1`i(al)'''.†;'¢(af)L(Bj1›°°°1612)-
.ìh---»Jr
Enotraspalabras,
L=_E_I/(Bin°°°1Bƒflfin®'''®.fÍ¢-
Jl»---»Jr
Estomuestraquelosn'productostensoriales
(5-30) El=La(X)°°°®ff.
dadosporlosr-tupltsJ=(j,,___,j,)generanelmóduloM'(V).Seveque
lasdiversasr-formasEJsonindependientescomosigue.Supóngasequepara
cadaJtenemosunelementocjenKyformamoslafunciónmultilineal
(5-31) L=ãCJEJ.
ObsérvesequesiI=(il,__.,í,),entonces
E.r(13~'»---›fi¡.)={?'
Portanto,sevepor(5-31)que
(5-32) cr=L(ߢ.,---,Ba)-
Enparticular.siL=0,entoncesc,=0paratodor-tupleI.I

185. I68 _-IIfclvrulimwl
Definición.SeaLunaformar-linealsobreunK-móduloV.Scdiu-qm'
LesalternadasiL(oz1,...,oz,)=0,siemprequeor,=al-,coniqé¡_
SiLesunafunciónmultilinealalternadasobreV',entonces
L(al›~--›a1'›°°'›a1`›° °°›af)'= _L(a1›-"›a_i›---›aí›--°›af)-
Esdecir,sisetransponendosdelosvectores(conindicesdiferentes)delr-tuple
(oq,___,a,),elvalorasociadodeLcambiadesigno.Comotodapermutación
aesunproductodetransposiciones,sevequeL(a,,1, am)=(sgn0)
L(ot¡,___,ot,).
SedesignaporA'(V)lacoleccióndetodaslasformasr-linealessobreV.
Esfácilverque/\'(V)esunsubmódulodeM'(V)._
Ejemplo12.AlcomienzodeestecapítulosevioquesobreelmóduloK"
existeprecisamenteunaformaalternadan-linealDconlapropiedaddeque
D(e1,___,e,,)=1.Tambiénsedemostró.enelTeorema2,quesiLescual-
quierformade/\"(K"),entonces
L=L(G1,...,€,¡)D.
Oseaque/\"(K")esunK-módulolibrederangoI.Tambiénsedesarrollóuna
fórmulaexplicita(5-15)paraD.Entérminosdelanotaciónqueahoraesta-
mosusando,dichafórmulasepuedeescribir
(5-33) D=P(sgna)fa:®'°°®ƒ.,,_
dondefl,___,f,,sonlasfuncionescoordenadascanónicassobreK"ylasuma
seextiendesobrelasn!permutacionesdiferentesodelconjunto{l,___,n}.
SiescribimoseldeterminantedeunamatrizAcomo
detA=2).(sgna)A(al,1)---A(on,n)
entoncesseobtieneunaexpresióndiferentedeD:
(5-34) D(a1,.--,an)=El(Sgn0)f1(a.1)'°°f››(0f«.)
=2)(sgna)L(a,1,___,am)
dondeL=f1®---®j¶,.
Hayunmétodogeneralparaasociarunaformaalternadaaunaformamul-
tilineal.SiLesunaformar-linealsobreunmóduloVysioesunapermutación
de{l,___,r},setieneotrafunciónr-linealL,definiendo
L,(a1,__.,01,)=L(a,1,___,an).
SiLresultaalternada,entoncesLa=(sgno)L_Ahora,paracadaLenM'(V)
sedefineunafunción1t,LenM'(V)por
(5-35) 1r,L=2)(sgna)L,

186. l)¢'I¢-rnnnunlm' ¡IW
estoes.
(5-36) (1r,L)(a1,___,a,)=Z(Sgn0)L(a.¡,___,a,,)_
Lema.n,esunatransformaciónlinealdeM'(V)en/\'(V).SiLestáen_/\'(V),
entonces1t,L=r!L_
Demostración.SeaIunapermutacióncualquierade{l,___,r}_Entonces
(1r,L)(a,1,___,a,,)=Z(sgn0)L(a,,1,___,am.)
=(sgn-r)2(sgn-ra)L(a,.1,___,am).
Comoorecorre(unavez)todaslaspermutacionesde{l,____r},tambiénlo
hacero.Portanto,
(1r,L)(a,1,___,a,,)=(sgnr)(1r,L)(a1,___,a,).
Así,1t,Lesunaformaalternada.
SiLestáen/\'(V),entoncesL(oz,,¡,___,a,,,)=(sgn0)L(a1,___,oz,)para
todo0;luego1t,L=r!L.I
En(5-33)sedemostróquelafuncióndeterminanteDen/\"(K")es
D=1r._(f1®®f._)
dondef,,___,f,,sonlasfuncionescoordenadascanónicassobreK".Hayuna
observaciónimportantequehacerenrelaciónconesteúltimolema.SiKes
uncuerpodecaracterísticacero,talquer!esinversibleenK,entonces1:aplica
M'(V)sobre/\'(V).Enrealidad,enesecasoesmásnaturaldesdeciertopunto
devistausarlaaplicaciónrc,=(1/r!)†cenvezde1:,yaquerc,esunaproyección
deM'(V)sobreA'(V);esdecir,unaaplicaciónlinealdeM'(V)sobre/\'(V)tal
que1c¡(L)=Lsi,ysolosi,Lestáen/\'(V).
Teorema7.SeaKunanilloconmutativoconunidadyseaVunK-módulo
librederangon.Sir>n,entonces/\'(V)= Si15t5n,entoncesl\'(V)
esunK-módulolibrederango
Demostración.Sea{/31,___,/3,,}unabaseordenadadeVconbasedual
{f1, f,,}_SiLperteneceaM'(V),setiene
(5-37) L=§L(B_-_.--..B,-_)f,-_®®f,-_
dondelasumaseextiendesobretodoslosr-tuplesJ=(fl,..._in)deente-
roscomprendidosentre1yn.SiLesaltemada,entonces
L(B;'.,---,B1.)=0
siemprequedosdelosíndicesiiseaniguales.Sir>n,entoncesencadar-tupleJ
algúnenterodebeestarrepetido.Conlocual/\'(V)={0}sir>n.

187. 170 Algrlrralllwal
SupóngaseahoraquelSr5n.SiLestáen/\'(V),lasumaen(5-37)debe
extendersesolosobrelosr-tuplesJparalosquejl,___,j,sondistintos,yaque
todoslosotrostérminosson0.Cadar-tupledeenterosdistintosentre1yn
esunapermutacióndeunr-tupleJ=(il,___,j,)talquej,<---<j,_Este
tipoespecialder-tuplesellamaráunacombinaciónr-ariade{l,___,n}.Hay
(ft)__nl
r r!(n--'r)!
detalescombinaciones.
Supóngasequesefijeunacombinaciónr-ariaJ.SeaLJlasumadetodoslos
términosen(5-37)quecorrespondenalaspermutacionesdelascombinacio-
nesJ_Sioesunapermutaciónde{1,___,r},entonces
L(B,~._,---.B,~._)=(Sen0)L(B,-._---,Bf_)-
Conloque
(5-38) L.,=L(B,-._..._B,-_)D.f
donde
(5-39) DJ=É?(sgn0)ff..®®f¡..
=1ff(f,-_® ®f,-_)-
Sevede(5-39)quecadaD,esalternadayque
(5-40) L=2L(B¡_›---›Bf.)D_r
combinaciónJ
paratodoLdeA'(V).Laaserciónesquelas formasDJconstituyenuna-
basede/\'(V).Hemosvistoquegeneran/\'(V)yesfácilverquesonindependien-
tes.SiI=(il,___,i,)'yJ=(jl,___,j,)soncombinaciones,entonces
1,1=J_
DJ(Bíu °°°7Bír)= I;¿J
Supóngasequesetieneparacadacombinaciónunescalarc¡ydefinase
L=ãCJDJ.
De(5-40)y(5-41)setiene
cf=Ltfie.,---.Be)-
Enparticular,siL=0,entoncesc,=0paracadacombinaciónI.I
Corolario.SiVesunK-módulolibrederangon,entonces/\"(V)esunK-
módulolibrederangol.SiTesunoperadorlinealsobreV,existeunúnicoele-
mentocenKtalque
L(Tot1,____Tot,,)=cL(a¡,___,a,,)
paracadaforman-linealalternadadeLsobreV.

188. l)¢'t¢'rmlnant¢'.\- I7!
Demostración.SiLestáen/\"(V),entoncesevidentemente
LT(a¡,.._,da)=L(T(I¡,...,Tan)
defineunaforman-linealalternadaLT.SeaMungeneradorparaelrango1
módulo/\"(V)_TodoLen/\"(V)esunívocamenteexpresablecomoL=aM
paraalgúnaenK.Enparticular,MT=cMparaunciertoc.ParaL=aM
setiene
L1'=(aM)r
=GM1'
=a(vM)
=c(aM)
=cL.I
Naturalmente,elelementocdelúltimocorolarioesllamadoeldeterminante
deT_De(5-39),paraelcasor=n(cuandohaysolounacombinaciónJ=
(1,____n)),sevequeeldeterminantedeTeseldeterminantedelamatrizque
representaTencualquierbaseordenada{B,,___,B,,}_Veamosporqué.La
matrizrepresentantetienei,jelementos
Ao'=f¡(TB.~)
demodoque
DJ(TB1, _.., =E(sgn0') 01)°°9A_(n,Un)
=detA.
Porotrolado,
DJ(TB1›°--› =(detT)1)-¡(61.1-°°1Bu)
=detT.
Larazóndeestasobservacionesesque,pormediodelTeorema7ysucorolario,
seobtieneunadefinicióndeldeterminantedeunoperadorlinealquenosupone
elconocimientodelosdeterminantesdematrices.Losdeterminantesdema-
tricespuedenserdefinidosentérminosdedeterminantesdeoperadores,envez
dealcontrario.
Queremosdeciralgomásconrespectoalasformasespecialesr-lineales
alternadasD,queseasociaronaunabase{f,,___,_fl,}deV*en(5-39).Esim-
portanteentenderqueD,__(a1,___,fz,)eseldeterminantedeciertamatrizrxr.Si
Á¿¡=f_i(0fi)›1Í'¿Í†›1Í_7-57%
estoes,si
0f¢=Á¢1fi1+"'+As'-›5a› 1-<-¿$7
yJeslacombinaciónr-aria(jl,__.,j,),entonces
DJ(al›--›1af)=2(sgn0) .l-01)'''A-(nsjvfl)
Á(1›_Í1)°''/1(1›ff)
=det E E-
A(T›ji)°'`A0.:jr)

189. I7.' Âlgvlnillmcul
AsiqueI)_,(a,_____cx,)eseldeterminantedelamatrizr><rformadaporlas
eoliunuas¡,,____1',delamatrizr›<nquetiene(losn-tuplescoordenadosde)
al,____oz,comosusfilas.Otranotaciónqueseusaavecesparaestedetermi-
nantees
¡,_ __ô(a¡,_,a,)_
DJ(al, -.Q,ar)Siô(B_Íu°°°›BL)
I-LuestanotaciónlademostracióndelTeorema7muestraquetodaformar-lineal
alternadaLpuedeexpresarserespectoaunabase{[š,,___,/3,,}porlaigualdad
L(f-ll,---;ar)=j¡<.2_:_ L(B_'¡1›---rBJ'f)°
5_7.ElanillodeGrassman
Muchasdelaspropiedadesimportantesdelosdeterminantesydelasfor-
masmultilinealesalternadassedescribenmejormedianteunaoperaciónde
multiplicaciónsobreformasllamadaproductoexterior.SiLyMson,respec-
tivamente_formasr-ys-linealesalternadassobreelmóduloV,setieneunpro-
ductoasociadoaLyK.elproductotensorialL®M.Estanoesunaforma
alternada,amenosqueL=0oM=0;sinembargo,setieneunamanera
naturaldeproyectarloen/\'“(V).Pareceríaque
(5-45) L-M=1r,+.,(LQOM)
fueralamultiplicación«natural››delasformasaltemadas_Pero¿loes?
Consideremosunejemploconcreto.SupóngasequeVeselmóduloK"
yquefl,___,f,,seanlasfuncionescoordenadascanónicassobreK".Sii9€j,
entonces
ff°ff=1f2(f-'®f¡)
eslafunción(determinante)
Du=ff®ff_ff®f.-
dadapor(5-39).Supóngaseahoraquekesuníndicediferentedeiyde¡_Entonces
Da''fk=1fa[(f¡®ff_fi®f-')®fk]
=1fa(f='®ff®fk)_1fa(ff®f«'®f1=)-
Lademostracióndellemaquesiguealaecuación(5-36)muestraqueparacual-
quierformar-linealLyparacualquierpermutación0de{l,___,r}'
1r,.(L,)=sgna1r,(L)
Luego,DU-f,,=21t3(f¿®®f,,)_Poruncálculosemejantef,-D,-,,=21c3(f,-®
j,®f,,).Conloque
(ff°f¡)'fk=f='°(ff'fkl

190. lìmcrniimnm-s I73
todolocualparecemuyprometedor.Perohayuninconveniente.Apesardel
cálculoquesehahecho,lasupuestamultiplicaciónde(5-45)noesasociativa.
Enefecto.silesuníndicedistintodelosi,j,k,entoncessepuedecalcularque
Def°Du=41f4(f='®f¡®fk®f1)
ue
(D-'ƒ'fkl'ft=51f4(f='®f¡®fk®fz)-
Conloque,engeneral
(ff'ffl'(fk'fz)F*[(ff'f¡)'f1=]'fz
ysevequeelprimerintentodeencontrarunamultiplicaciónhadadounaope-
raciónnoasociativa.
Ellectornodebesorprendersesiencuentramásbienfatigosohaceruna
verificacióndirectaparaverquelasdosecuacionesnosonasociativas.Elloes
tipicodelamateria,ytambiénestípicoquehayunhechogeneralquesimpli-
ficaconsiderablementelasoperaciones.
SupóngasequeLesunaformar-linealyqueMesunaformas-linealsobre
elmóduloV.Entonces
1r†+-((1ffL)®(1f»M))=1ff+=(š(SSH0)(Sgf1†)L«®M1)
=E(sgn0)(sgnT)7rf+a(L¢ ®M1)
dondeovariasobreelgruposimétrico,S,,detodaslaspermutacionesde{1,___,
r}_y1varíasobreSS.Cadapara,1defineunelemento(0,1)deS,+,quepermu-
talosprimerosrelementosde{l,___,r+s}segúna,ylosúltimosselemen-
tossegún1.Esclaroque
YQ
San(0,f)=(sgn<†)(Sgnf)
(L®M)(v.f)=Lv®L1'-
yque
Portanto,
7rr+¢[('"`rL)®(7rsM)]=Esgn(¢7›7')7rr+I[(11®M)(¢.f)]-
Ahorabien,yasehaobservadoque
San(0,†)1ff+«[(L®M)<«.f›]=1ff+«(L®M)-
Asi,pues,sesigueque
(5-46) rr,-+«[(1r,L)®(1r,M=Tlsl1r,+,(L®M
Estafórmulasimplificanumerososcálculos.Porejemplo,supóngasequese
tieneunacombinaciónr-ariaI=(i,,___,i,)yunacombinacións-aria
J=(fl,.__,js).Parasimplificar,supóngase,además,que
¿<-~<¿<¿<~-<¿

191. I74 .4l,udIrulineal
Entoncessetienenlasfuncionesdeterminantesasociadas
D;=1r,(E1)
DJ=7¡'s(-EJ)
dondeE,yE,estándadospor(5-30).Usando(5-46),seveinmediatamenteque
DI'DJ=1ff+-[1ff(EI)(D'If-(E.r)]
=1'l8l1r,.¡.,(E1®EJ).
ComoE,®E,=E,U,,sesigueque
DI'DJ='-118!DIUJ.
Estosugierequelaausenciadeasociatividadenlamultiplicación,(5-45)resulta
delhechodequeD,-D,#=D,U,_Despuésdetodo,elproductodeD,yD,
deberíaserD,U,_Pararemediarestasituación,definiremosunnuevoproduc-
to,elproductoexteriordeunaformar-linealalternadaLyunaformas-lineal
alternadaMpor
(5.47) LAM=-»_,__(LQ@M).
Setieneentonces
DI/\DJ=DIuJ
paralasfuncionesdeterminantessobreK",y,siesquehayjusticiadespuésde
todo,sehatenidoquelograrlamultiplicaciónapropiadadelasformasmulti-
linealesaltemadas_Desafortunadamente,(5-47)dejadetenersentidoparael
casomásgeneralenconsideración,yaquenoesposibledividirporr!s!enel
anilloK.SiKesuncuerpodecaracteristicacero,entonces(5-47)tienesentido
ysepuedeprocedersinmásademostrarqueelproductoexterioresasociativo.
Teorema8.SeaKuncuerpodecaracterísticacero,yVunespaciovectorial
sobreK.Entonceselproductoexterioresunaoperaciónasociativasobrelasfor-
masmultilinealesalternadassobreV.Enotraspalabras,siL,MyNsonformas
multilinealesalternadassobreVdegradosr,syt,respectivamente,entonces
ÍLAM)AN=LA(MAN)_
Demostración.De(5-47)sesiguequecd(LAM)=cLAdMparacuales-
quieraescalarescyd.Luego
r!s!t![(L/\M)/\N]=r!s!(L/\M)/\t!N
ycomo1r,(N)-t!N,setieneque
†!s!u[(LAM)AN]=-›f_+.(L<§)M)A«.(N)
= «__.__t±»__.<L®M)®«.<N›1.
Por(5-46)sesabeque
†!s!¢[(LAM)AN]=-›f_,___,.(L®MQ2)N).

192. l)¢'h'rmlnantr.v l75
Poruncálculoanálogo
/\ /\ =1ff+;+¢(L® M
y,portanto,(LAM)AN=LA(MAN)_ I
VolvamosahoraalcasogeneralenelquesolosesuponequeKesunanillo
conmutativoconunidad.Elprimerproblemaesremplazar(5-47)porunade-
finiciónequivalentequeopereengeneral.SiLyMsonformasmultilineales
alternadasdegradorys,respectivamente,seconstruiráunaformacanónìca
multilinealalternadaLAMdegrador+stalque
r!s!(LAM)=1r,+,(L®M).
Recordemoscómosedefine1r,+s(L®M).Acadapermutaciónode{l,___,
r+s}seasocialafunciónmultilineal
(5-48) (Sen0)(LQ)M)_
donde
(L®M)¢(al› ~~-1af-H)= ®M)(a¢l› --°1a0(r-l-0)
ysesumanlasfunciones(5-48)sobretodaslaspermutacionesa.Hay(r+s)!
permutaciones;perocomoLyMsonaltemadas,muchasdelasfunciones
(5-48)sonunamisma.Enrealidad,hayalomás
(r+s)!
rlsl
funciones(5-48)distintas.Veamosporqué.SeaSH,elconjuntodelaspermu-
tacionesde{l,___,r+s},esdecir,seaSH,elgruposimétricodegrador+s.
Comoenlademostraciónde(5-46),sedistingueelsubconjuntoGqueconsta
delaspermutacionesaquepermutanlosconjuntos{l,___,r}y{r+1,___,
r+s}sobresímismos.Enotraspalabras,0perteneceaGsi1SoiS.rpara
todoientre1yr.(Necesariamentesesiguequer+lSoi5r+sparatodo
jentrer+1yr+s.)AhoraGesunsubgrupodeS,+,,estoes,siay1están
enG,entoncesar”estáenG.Evidentemente,Gtiener!s!elementos.
Setieneunaaplicación
s___i›Mf+-(V)
-M0)=(Sen0)(LO_OM)«.
definidapor
ComoLyMsonalternadas
Mfi=L®M
paratodo'yenG.Luego,como(Na):=Nmparacualquierforma(r+s)-
linealNsobreV,setiene
'p(T7)'=¢(7)› 7enSr-l-07enG'

193. l7Ó -'Íl_t¦t'Í›I'ullllwll
Estodicequelaaplicaciónil/esunaconstantesobrecadaclaselateral(ala
izquierda)IGdelsubgrupoG.Si1',y12estánenS,,_S,lasclaseslateralesr,Gy
r2Gsonidénticasodisjuntas_Cadaclaselateraltiener!s!elementos;luego,hay
iii!
r!s!
claseslateralesdistintas.SiS,+,/Grepresentalacoleccióndetodaslasclases
laterales,entoncesil/defineunafunciónenS,+,/G;esdecir,porloqueseha
visto,hayunafunciónil/sobreeseconjunto,demodoque
~P(†)=$(†G)
paratodordeS,+s__SiHesunaclaselateralalaizquierdadeG,entonces
i/7(H)=i//(1)paratodoIdeH.
Sedefineahoraelproductoexteriordelasformasmultilinealesalternadas
LyMdegradosryshaciendo
(5-49) LAM=šø(H)
dondeHvaríasobreSH,/G.OtromododeexpresarladefinicióndeLAMes
lasiguiente.SeaScualquierconjuntodepermutacionesde{l,__.,r+s}
quecontengaexactamenteunelementodecadaclaselateralalaizquierdade
G.Entonces
(5-50) LAM=2:(sgn<†)(LQOM).
dondeovaríasobreS.Claroesque
r!s!LAM=1r,+,(L®M)
conloquelanuevadefiniciónesequivalentea(5-47)siKesuncuerpodeca-
racterísticacero.
Teorema9.SeaKunanilloconmutativoconunidadyseaVunmódulo
sobreK.Entonceselproductoexterioresunaoperaciónasociativasobrelasfor-
masmultilinealesalternadassobreV.Enotraspalabras,siL,MyNsonformas
multilinealesalternadassobreVdegradosr,syt,respectivamente,entonces
(LAM)AN=LA(MAN)_
Demostración.AunquelademostracióndelTeorema8noseaplicaaquí,
sísugierecómotratarelcasogeneral.SeaG(r,s,t)elsubgrupodeS,+,+,que
constadelaspermutacionesquepermutanlosconjuntos
{1,___,r},{r+1,___,r-I-s}, {r+s-I-1,___,r+s+t}
sobresímismos.Entonces(sgnu)(L®M®N),,eslamismafunciónmulti-
linealparatodoslosudeunaclaselateralalaizquierdadadadeG(r,s,t).Se
escoge'unelementodecadaclaselateralalaizquierdadeG(r,s,t)yseaEla
sumadeloscorrespondientestérminos(sgnu)(L®M®N),,_EntoncesEes
independientedecómosehayanelegidolosrepresentantes,u,y
r!s!t!E=1r,+,+,(LQOM®N).

194. D|'tcrnu'mmIt'.\° I77
Severá,ahora,que(LAM)ANyLA(MAN)sonigualesaE.
SeaG(r+s,t)elsubgrupodeS,,_,+,quepermutalosconjuntos
{l,_._,r+s},{r+s+1,___,r+s+t}
sobresimismos.SeaTcualquierconjuntodepermutacionesde{l,___,r+
s+t}quecontengaexactamenteunelementodecadaclaselateraldeG(r+s,t).
Por(5-50)
(LAM)AN=E(sgn†)[(LAM)<§<)N]_
dondelasumaseextiendesobrelaspermutacionesrdeT.Ahorabien.sea
G(r,s)elsubgrupodeSH,quepermutalosconjuntos
{1,_._,r},{r+l,___,r+s}
sobresímismos.SeaScualquierconjuntodepermutacionesde{1,___,r+s}
quecontengaexactamenteunelementodecadaclaselateralalaizquierdade
G(r,s).De(5-50)yconloquesehavistoanteriormente,sesigueque
(L/\M)/\N=E(sgn¢7)(Sgn7)[(L® M)¢®mf
dondelasumaseextiendesobretodoslospares0.tdeS><T.Siseconviene
enidentificarcadaodeS,+sconelelementodeS,+s+,quecoincidaconoen
{l,___,r+s¦-,ysealaidentidaden{r+s+1,___,r+s+t},entonces
sepuedeescribir
(LAM)AN=Esgn(a-r)[(L(§)M(>_ON).],_
0»
Pero 7
=(L®M®mra.
Luego
(LAM)_AN= 2sgn(ra)(L()_OM()_ON),,.
Supóngaseahoraquesetiene
fifii=7202'Y
con0,-enS,1:,enTyyenG(r,s,t).Entonces1';'1,=-rzyoflycomoozyofl
estáenG(r+s,t),sesigueque11ytzestánenlamismaclaselateralalaiz-
quierdadeG(r+s,t).Portanto,1',=12yal=0232Peroestoimplicaque
o,yoz(consideradoscomoelementosdeSHS)pertenecenalamismaclase
lateraldeG(r,s);luegoal=oz.Portanto,losproductostoquecorrespon-
denalos
(r+s+t)!(r+s)!
(r+s)lt!r!s!
pares(1:,o)deT›<Ssontodosdistintosyestánendistintasclaseslaterales
deG(r,s,t).Comohayexactamente
U+s+0!
rlsltl

195. l78 .Algebrallnml
claseslateralesalaizquierdadeG(r,s,t)enS,+,+,,sesigueque(LAM)AN=E.
Porrazonamientoanálogo,tambiénLA(MAN)=E.I
Ejemplo13.Elproductoexteriorestáíntimamenterelacionadoconcier-
tasfórmulasparacalculardeterminantes,conocidascomodesarrollosdeLaplace.
SeaKunanilloconmutativoconunidadynunenteropositivo.Supóngase
que1SrSn,yseaLlaformar-linealalternadasobreK"definidapor
All `'°A-lr
L(ã1,...,0!f) =dBt E E
An___11"
Sis=n-r,yMeslaformas-linealaltemada
A-l(r+l)'''A-ln
M(a1,...,a¡)=det E S
Ac(r+1) °''A-sn
entoncesLAM=D,lafuncióndeterminantesobreK".Estoesinmediato,
porqueLAMesunaforman-linealalternaday(comopuedeverse)
(L/\M)(€1,. ..,€,¡)=I.
SiahorasedescribeLAMenformaapropiada,seobtieneundesarrollode
LaplacedelafuncióndeterminantedeunamatriznxnsobreK.
EnelgrupodepermutacionesS,,,seaGelsubgrupoquepermutal'oscon-
juntos{l,___,r}y{r+1,___,_n}sobresimismos.Cadaclaselateralalaiz-
quierdadeGcontieneprecisamenteunapermutación0talqueal<02<---
<aryo_(r+1)<---<on.Elsignodeestaspermutacionesestádadopor
0-1 (_1)¢l+"°+0T+(f(T_l)/2).
ElproductoexteriorLAMestádadopor
(L^M)(al›~-°›an)=2(sgn0)]/(aUl›--~1a¢r)M(a¢(r+1)›°°-›ac.)
dondelasumasetomasobreunacoleccióndeo,unadecadaclaselateraldeG.
Portanto,
(LAM›"(«_,_.__«__›=NQ«_Le»,-__..._«_-_›M<«___..._«._.›
donde
¿J=(_.1).i1+---+_i¢+(f(r-1)/2)
kg=t7(T+
Enotraspalabras,
Am°"As.-Ak__f+1'°'Am»
¿gtA_.: : : : :
2 CJ
'__.<°,
"<JA¡._1'''AmÁ1=__f+1'''Aka»
EsteesundesarrollodeLaplace.Sepuedenobtenerotrosremplazandolos

196. l)i'ti'rml›mnt¢-s l79
conjuntos{l,____r}y{r+1,___,n}pordosconjuntosdeíndicescomple-
mentariosdiferentes.
SiVesunK-módulo,sepuedenreunirlasdiferentesformasdemódulos
A'(V)yusarelproductoexteriorparadefinirunanillo.Porsimplificar,sehará
estosoloparaelcasodeunK-módulolibrederangon.LosmódulosA'(V)son
entoncestrivialesparar>n.Sedefine
MV)=A°(V)G-)^'(V)G9®A"(V)-
Estaesunasumadirectaexterna-algodeloquenosehatratadopreviamente.
LoselementosdeA(V)sonlos(n+1)-tuples(L0,___,L,,)conL,enA'(V).
AdiciónymultiplicaciónporelementosdeKsedefinencomosehaceparalos
(n+1)-tuples.Incidentalmente,A°(`V)=K.SiseidentificaA'(K)conlos
(n+1)-tuples(0,___,0,L,0,___,0)dondeLestáenA'(K),entoncesA'(K)
esunsubmódulodeA(V)yladescomposiciónensumadirecta
Am=Mtv)eaen'-tv)
esválidaenelsentidocorriente.ComoA'(V)esunK-móduloderango
sevequeA(V)esunK-módulolibrey
rangoA(V)=šo
=2".
ElproductoexteriordefineunamultiplicaciónenA(V):Utilíceseelproducto
exteriorsobreformasyextiéndaselelinealmenteaA(V)_Esteproductoesdis-
tributivoconrespectoalaadicióndeA(V)ydaaA(V)estructuradeanillo.
EsteanilloeselanillodeGrassmansobreV*.Noesunanilloconmutativo;
porejemplo,siLyMestán,respectivamente,enA'yAs,entonces
LAM=(-l)"MAL.
ElanillodeGrassmanesimportanteenvariaspartesdelamatemática.

197. 6.Formascanónicas
elementales
6.1_Introducción
Se-hadichoantesquenuestroobjetivoprincipaleselestudiodelastrans-
formacioneslinealessobreunespaciovectorialdedimensiónfinita.Hasta
ahorasehandadoejemplosespecíficosdetransformacioneslinealesysehan
demostradoalgunosteoremasrespectoalastransformacioneslinealesgenerales.
Enelcasodedimensiónfinitasehanempleadobasesordenadaspararepresentar
talestransformacionespormediodematrices;yestarepresentaciónhaayu-
dadoalacomprensióndecómooperan.Sehaexploradoelespaciovectorial
L(V,W),queconstadelastransformacioneslinealesdeunespacioenotro,
yelálgebralinealL(V,V)queconsisteenlastransformacioneslinealesdeun
espacioensímismo.
Enlosdoscapitulossiguientesseestudiaránlosoperadoreslineales.Nues-
troprogramaseproponeseleccionarunoperadorlinealTsobreunespacio
dedimensiónfinitaVy«separarloparaverquéesloquelohaceimportante».
Enestaprimeraetapaesmássencilloparanuestropropósitousarellenguaje
matricial.Valedecir.dadounoperadorlinealT,encontrarunabaseordenada
deVenlaquelamatrizdeTtomeunaformaespecialmentesimple.
Heaquíunailustracióndeloqueseintenta.Probablementelasmatrices
mássencillasdemanejar,fueradelosmúltiplosescalaresdelamatrizunidad,
sonlasdiagonales
C10 0 °°' 0
OcgO O
D= 0 0 C3 ..._0 _
(.)(.)O---c,_
180

198. l*nrnm.\nuuinnus¢'Ít'nt¢'nIuh'.\ ¡HI
SeaTunoperadorlinealsobreunespacioVdedimensiónn.Sisepuede
encontrarunabaseordenadaG3={oz,,.._,oz,,}deVenlaqueTsepuedaex-
presarpormediodeunamatrizdiagonalD(6-1),podrátenersemásinformación
respectoaT.Porejemplo,númerossimplesasociadosconT,talescomoel
rangodeToeldetenninantedeT,puedendeterminarsefácilmenteporlama-
trizD.SepuedenexpresarexplícitamentelaimagenyelespacionulodeT.
(`omo[T]¿B=Dsi.ysolosi,
(6-2) Tag=Ckak, IC=1,...,'n
laimagenseráelsubespaciogeneradoporaquellosoq,paralosquec,,gh0,y
elespacionuloserágeneradoporlosrestantesak.Enefecto.parecejustodecir
quesiseconoceunabaseG3yunamatrizdiagonalDparalacual[T](B=D,
sepodrárespondersindificultadcualquierpreguntaquesurjaconrespectoaT.
¿SepuederepresentartodooperadorlinealTpormediodeunamatriz
diagonalconrespectoaalgunabaseordenada?Sino,¿paraquéoperadores
Fexisteunabasesemejante?¿Cómosepuedeencontrartalbasesiexiste?Si
talbasenoexiste,¿cuáleseltipomássencillodematrizporlacualpuedere-
presentarseT?Estassonalgunasdelaspreguntasaquesedeberesponderen
este(yenelsiguiente)capítulo.Eltratamientoseharámáscomplicadoamedi-
daquesevayaviendocuálessonlasdificultades.
6.2.Valorespropios
Lasobservacionesdelaintroducciónsugierenunpuntodepartidapara
elanálisisdeloperadorlinealgeneralT.Secomienzacon(6-2),quesugiere
seestudienlosvectoresquesontransformadosporTenmúltiplosdesímismos.
DefiniciónSeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoFyseaTunoperador
linealsobreV.UnvalorpropiodeTesunescalarcdeFtalqueexisteunvector
nonulootconTot=cot.SicesunvalorpropiodeT,entonces
(a)cualquierottalqueTot=consellamaunvectorpropiodeTasociadoal
mlorpropioe;
(b)lucoleccióndetodoslosoztalesqueTot=coasellamaespaciopropio
asociadoac.
Losvalorespropiossellamantambiénamenudoraícescaracterísticas,
eigenvalores.valorescaracterísticosovaloresespeetrales.Enestelibroseusará
soloelnombrede«valorespropios».
SiTescualquieroperadorycescualquierescalar,elconjuntodelosvec-
tores1talesqueTax=conesunsubespaciodeV.Eselespacionulodelatrans-
I`ormaciónlineal(T-cl).SellamaacunvalorpropiodeTsiestesubespacio
esdistintodelsubespacionulo,esdecir,si(T-cl)noesinyectiva.Sielespacio
soporteI'esdedimensiónfinita(T-cl),noesinyectivajustamentecuando
\udeterminanteesdistintode0.Enresumen:

199. lllf .-Ilifrlmtllm'ttl
TeoremaI.SeaTunoperadorlinealsobreunespacioVdedimensiónfinita
rseaeunescalar.Lassiguientesafirmacionessonequivalentes.
(i)cesunvalorpropiodeT.
(ii)Eloperador(T-cl)essingular(noinversible).
(iii)det(T-cl)=0.
Elcriteriodeldeterminante(iii)esmuyimportante,porquedicecómo
puedenencontrarlosvalorespropiosdeT.Comodet(T--cl)esunpolinomio
degradonenlavariablec,sedeterminaránlosvalorespropioscomolasraíces
detalpolinomio.Seexplicaestoconmásdetalle.
Si(BescualquierbaseordenadadeVyA=[T](B,entonces(T-cl)es
inversiblesi,ysolosi,lamatriz(A-cl)esinversible.Enconsecuencia;se
tienelasiguientedefinición.
Definición.SiAesunamatri:n›<nsobreelcuerpoF,unvalorpropio
deAenFesunescalarcdeFtalquelamatriz(A-cl)essingular(noinversible).
ComocesunvalorpropiodeAsi,ysolosi,det(A-cl)=0,oenfor-
maequivalente,si,ysolosi,det(cl-A)=0,sepuedeconstruirlamatriz.
(xl-A)conelementospolinómicosyconsiderarelpolinomiof=det(xl-A).
EntalcasolosvalorespropiosdeAenFsonlosescalarescenFtalesquef(c)=0.
PorestarazónafselellamaelpolinomiocaracterísticodeA.Esimportante
observarquefesunpolinomiomónicodegradon.Locualesfácilmentecom-
probableporlafórmulaparaeldeterminantedeunamatrizentérminosde
suselementos.
Lema.Lasmatricessemejantestienenelmismopolinomiocaracterístico.
Demostración.SiB=P_'AP,entonces
det(xl-B)=det(xl-P_1AP)
=det(P"1(:cI-A)P)
=detPrl-det(xl-A)-detP
=det(xl-A).I
EstelemapermitedefinirelpolinomiocaracterísticodeunoperadorT
comoelpolinomiocaracterísticodecualquiermatriznxnquerepresenta
aTenalgunabaseordenadadeV.Aligualqueparalasmatrices,losvalores
propiosdeTseránlasraícesdelpolinomiocaracterísticodeT.Enparticular.
estomuestraqueTnopuedetenermásdenvalorespropiosdistintos.Esim-
portanteseñalarqueTpuedecarecerdevalorespropios.
Ejemplo1.SeaTeloperadorlinealsobreR2representado,enlabase
canónìca,porlamatriz
0--1
A`[10]'

200. I-'armast'am›nt¢'u.\¢'lt'nn'ntulr.\ I-V3
ElpolinomiocaracterísticodeT(odeA)es
det(xl-A)=|_Í3:=:t:*+1.
Comoestepolinomiotienedosraícesnoreales,Tnotienevalorespropios.
SiUeseloperadorlinealdefinidosobreC2yrepresentadoporAenlabase
ordenadacanónìca,entoncesUsítienedosvalorespropios,iy-ienC.
Ejemplo2.SeaAlamatriz(r.eal)3›<3
31-1
22-1-
22 0
EntonceselpolinomiocaracterísticodeAes
:c-3 -1 1
-2:i:-21=:1:'-5x'-I-8:1:-4=(x-l)(:z:-2)”.
-2 -2x
ConloquelosvalorespropiosdeAson1y2..
SupóngasequeTeseloperadorlinealsobreR3representadoporAenla
basecanónìca.I-IállenselosvectorespropiosdeTasociadosalosvalorespro-
pios1y2.Ahora '
21-1
A-I= 21-1-
22-l
EsinmediatamenteobvioqueA-Itienerango2(yasí,pues,T-Itiene
nulidad1).Conloqueelespaciodelosvectorespropiosasociadoalvalorpropio
1esunidimensional.Elvectoral=(1,0,2)generaelespacionulodeT-Í.
AsíqueTcx=otsi,ysolosi,aesunmúltiploescalardeal.Seaahora
11--1
A-2I= 20-1-
22-2
Evidentemente,A-21tambiéntienerango2,asíqueelespaciodelosvectores
propiosasociadoalvalorpropio2tienedimensiónl.EsevidentequeTot=2a
si,ysolosi,aesunmúltiploescalardeoc,=(1,1,2).
DefiniciónSeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensión
finitaV.SedicequeTesdiagonalizablesiexisteunabasedeVtalquecadavector
suyoseavectorpropiodeT.

201. Iñ'-l .-Ilgrlmtllmrrtl
Larazóndelnombreesclara;enelecto,siexisteunabaseordenada(BLi
{ot¡,_..,ot,,}deVenlaquecadaot,esunvectorpropiodeT,entonceslaniatru
deTenlabaseordenada(Besdiagonal.SiTot,=c¡ot¡,entonces
C10 "' 0
0
[T]@=.“E”9-
00 cn
Porciertonoserequierequelosescalarescl,...,c,,seandistintos,incluso
puedensertodosiguales(cuandoTesunmúltiploescalardeloperadoridentidad).
SepodríatambiéndefinirTcomodiagonalizablecuandolosvectorespro-
piosdeTgeneranV.Estoessoloenaparienciadistintoaladefinicióndada.
yaquesepuedeformarunabasetomándoladecualquierconjuntogenerador
devectores.
EnlosEjemplosly2sehanelegidoapropósitooperadoreslinealesTsobre
R"quenosondiagonalizables.EnelEjemplo1setieneunoperadorlineal
sobreR2quenoesdiagonalizable,porquenotienevalorespropios.EnelEjem-
plo2eloperadorlinealTtienevalorespropios;enefecto,elpolinomiocarac-
terísticodeTsepudofactorizarcompletamentesobreelcuerpodelosnúmeros
reales:f=(x-l)(›t-2)2.Sinembargo,Tnoesdiagonalizable,puesexiste
solounespaciounidimensionaldevectorespropiosasociadosacadavalor
propiodeT.Portanto,noesposibleformarunabasedeR3convectorespro-
piosdeT.
SupóngasequeTesunoperadorlinealdiagonalizable.Seancl,...,eklos
valorespropiosdistintosdeT.EntoncesexisteunabaseordenadaCBconres-
pectoalacualTestárepresentadoporunamatrizdiagonal;esdecir,losele-
mentosdeladiagonalsonlosescalaresc,-.cadaunodeloscualesserepiteun
ciertonúmerodeveces.Sic,-aparecerepetidad,-veces,entonces(sepuededis-
ponerasí)lamatriztienelaformadebloque
C111 0 °° 0
(6-3) [Tia=9“2.1”9
0 0 c;.,I¡.
dondell-eslamatrizunidaddj›<dj.Deestamatrizseobservandoscosas.
Primero,elpolinomiocaracterísticodeTesproductodefactoreslineales(posi-
blementerepetidos):
f=-(I-01)*(I-004'-
SielcuerpoescalarFesalgebraicamentecerrado,v.g.,elcuerpodelosnúmeros
complejos,todopolinomiosobreFpuedeserfactorizado(véaseSección4.5);
sinembargo,siFnoesalgebraicamentecerrado,setendráunapropiedades-
pecialdeTcuandosedigaquesuspolinomioscaracterísticostienentalfacto-

202. l"urtmt.\'t'm|Óni('u.\'t'lt'nlt'fllr|lt'\ l-V5
rización.Losegundoqueseobservade(6-3)esqued,,elnúmerodevecesque
c,serepitecomoraízdef,esigualaladimensióndelespaciodelosvectores
propiosasociadosalvalorpropioc,.Elloesasíporquelanulidaddeunamatriz
diagonalesigualalnúmerodecerosquetieneenladiagonalprincipal,yla
matriz[T-c,l](Btiened,cerosensudiagonalprincipal.Estarelaciónentre
ladimensióndelespaciopropioylamultiplicidaddelosvalorespropios.como
unaraízdejfinopareceserimportantealcomienzo;sinembargo,proveerá
deunmediosimpleparadeterminarcuándounoperadordadoesdiagona-
lizable.
Lema.SupóngasequeTot=coa.Sifescualquierpolinomio,entom-es
f(TW=f(Cla-
Demostración.Sedejacomoejercicio.
Lema.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensión
finita.Seanc,,.__,c,,losvalorespropiosdistintosdeT,yseaW,elespaciodelos
vectorespropiosasociadosconelvalorcaracterísticoc,.SiW=W,+'''+W,,,
entonces
Wl +"°+din1Wk.
Enefecto,si(B,esunabaseordenadadeW,,entoncesG3=((B,,..._,(B,,)esuna
baseordenadadeW.
Demostración.ElespacioW=W,+--~+W,,eselsubespaciogenera-
doportodoslosvectorespropiosdeT.Normalmente,cuandoseformalasuma
WdelossubespaciosW,,seexpresaquedimW<dimW,+'''+dimW,,,
porlasrelacioneslinealesquepuedenexistirentrelosvectoresdelosdiferentes
espacios.Estelemaafirmaquelosespaciospropiosasociadosalosdiferentes
valorespropiossonindependientesunodeotro.
Supóngaseque(paracadai)setengaunvectorli,enW,ysupóngaseque
li',+'-~+B,=0.Sedemostraráqueli,=0paracadai.Seafunpolinomio.
ComoTB,=c,13,,ellemaanteriordiceque
0=f(T)0=f(T)51+°°-+f(T)Bi.=
=f(C1)Ú1+°°'+f(C:¢)Ú:¢-
Eligiendolospolinomiosf,,...,11demodoque
1,'='
f-'(01)=5-'ƒ={0,¿É-.
Entonces
0=ff(T)0=25-'ifif
J
=5;-
Ahorasea(B,unabaseordenadadeW,ysea(Blasucesión(B=((B,,.__,(B,,).
Entonces(BgeneraelsubespacioW=W,+ +W,,.Tambien(Besuna

203. 180 Algi-bmlineal
sucesiónlinealmenteindependientedevectores,porlosiguiente.Cualquier
relaciónlinealentrelosvectoresen(BtendrálaformaB,+~'-+B,=0.
dondeB,esalgunacombinaciónlinealdevectoresen(B,.Deloanteriorsesabe
queB,=Oparacadai.Comocada(B,eslinealmenteindependiente,seveque
solosetienelarelaciónlinealtrivialentrelosvectoresen(B.I
Teorema2.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialVdedi-
mensiónfinita.Seanc,,_._,c,,losvalorespropiosdistintosdeTyseanW,el
espacionulode(T-c,I).Losiguienteesequivalente.
(i)Tesdiagonalizable.
(ii)ElpolinomiocaracterísticodeTes
f=<›«-Cir----tx-«..›f~
ydimW,= =l,...,k.
(iii)dim +dimW,=dimV.
Demostración.Yaseobservóque(i)implicaa(ii).Sielpolinomiocarac-
terísticofesproductodefactoreslineales,comoen(ii),entoncesd,+---+dk=
dimV.Enefecto,lasumadelosd,eselgradodelpolinomiocaracterísticoy
esegradoesdimV.Portanto,(ii)implica(iii).Supóngasequesetenga(iii).
Porellema,sedebetenerqueV=W,+--~+W,,,esdecir,quelosvectores
propiosdeTgeneranV.I
És.+_.
ElanálogoalTeorema2paramatricespuedeformularseenlasiguiente
forma.SeaAunamatriznxnconelementosenuncuerpoFyseanc,,...,c,
losvalorespropiosdistintosdeAenF.Paracadai,seaW,elespaciodelasma-
tricescolumnasX(conelementosenF)talesque
(A._C¡I)X =0,
ysea(B,unabaseordenadadeW,.Lasbases(B,,...,(B,sejuntanparaformar
lasucesióndecolumnasdeunamatrizP:
P=[P1,P2,...]=((B1,...,(B¡¢).
LamatrizAessemejantesobreFaunamatrizdiagonalsi,ysolosi,Pesuna
matrizcuadrada.CuandoPescuadrada,PesinversibleyP"APesdiagonal.
Ejemplo3.SeaTunoperadorlinealsobreR3representadoenlabase
ordenadacanónìcaporlamatriz
5-6-6
A=-1 4 2-
3-6-4
Seindicacómosepuedecalcularelpolinomiocaracterísticousandosucesivas
operacionesdefilaycolumna:

204. I-'armascanónicaseh-nn-ntalt-.r ¡R7
I-5
si
"""°+t~:c»
›t=›
cn
:iz--56 6 zz:-5 O
1x-4 -2 =1:t:-2-
-3 6 :t:+4 -3 2-:c
x-5
=(:¡:-2) -2
-3 -x+4
x-5 O6
=(:z:-2)1 1-2
-2 0:¡:+2
=(zz:-2)(:¡:'-3x+2)
=(as-2)*(:c-1).
¿Cuálessonlasdimensionesdelosespaciosdelosvectorespropiosasociados
conlosdosvalorespropios?Setiene
4-6--6
A-I=--1 3 2
3-6-5
3-6--6
A-2I=-1 2 2-
3-6-6
SesabequeA-Iessingularyesclaroquerango(A-I)22.Portanto,
rango(A-I)=2.Esevidentequerango(A-21)=1.
SeanW,yW,losespaciosdelosvectorespropiosasociadosconlosvalores
propios1y2.SesabequedimW,=1yquedimW,=2.PorelTeorema2,
Tesdiagonalizable.EsfácilobtenerunabaseparaR3enqueTestérepresen-
tadoporunamatrizdiagonal.Elespacionulode(T-I)esgeneradoporel
vectorot,=(3,-1,3),conloque{a,}esunabaseparaW,.Elespacionulo
deT-21(esdecir,elespacioW2)constadelosvectores(x,,xz,x3)con
x,=2x2+2x3.Así,unejemplodeunabasedeW2es
ag=(2,1,
a,=(2,0,1).
Si(B={a,,az,ot3},entonces[T](Beslamatrizdiagonal
100
D=020-
002
QueTseadiagonalizablequieredecirquelamatrizoriginalAessemejante
(sobreR)alamatrizdiagonalD.LamatrizP,quepermitecambiarlascoorde-
nadasdelabaseG3alabasecanónìca,es(claramente)lamatrizquetienelas
transpuestasdea,,az,oz,comovectorescolumnas:

205. lb'-Y .4Ig:-Ivralineal
322
P=-11o--
301
además,AP=PD,conloque
P-IAP=D.
Ejercicios
I.Encadaunodelossiguientescasos,seaTeloperadorlinealsobreR2representadopor
lamatrizAenlabaseordenadacanónìcadeR2yseaUeloperadorlinealenC2repre-
sentadoporAenlabaseordenadacanónìca.Encontrarelpolinomiocaracterísticode
TydeU.hallarlosvalorespropiosdecadaoperadoryparacadaunodetalesvalorespro-
pioschallarunabaseparaelcorrespondienteespaciodevectorescaracterísticos.
A=[å3]›A=[-ÍïlA=[ìil'
2.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreF.¿Cuáleselpolinomiocaracterís-
ticodeloperadoridentidadsobreV?¿Cuáleselpolinomiocaracterísticoparaelopera-
dorcero?
3.SeaAunamatriztriangularn›<nsobreelcuerpoF.Demostrarquelosvalorespropios
deAsonloselementosdeladiagonaldeA,esdecir,losescalaresA,,.
4.SeaTunoperadorlinealsobreR3representadoenlabaseoidenadacanónìcaporla
matriz
-944
-834-
-1687
DemostrarqueTesdiagonalizableconstruyendounabaseparaR3,cadavectordelacual
esunvectorpropiodeT.
5.Sea
6-3-2
A=4-1-2-
10-5-3
¿EsAsemejante,sobreelcuerpoR,aunamatrizdiagonal?¿EsAsemejante,sobreelcuer-
poC,aunamatrizdiagonal?
6.SeaTeloperadorlinealsobreR4representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matriz
¿Enquécondicionesparaa.bycesTdiagonalizable?
GOGOQUO@GOGOOOO@

206. Formanimltununa'l¢'m|'ntult'.\' [89
7.Sea'I'unoperadorlinealsobreelespaciovectorialVdedimensiónnysupóngaseque
Ttienenvalorespropiosdistintos.DemostrarqueTesdiagonalizable.
8.SeanAyBmatricesn›<nsobreelcuerpoF.Demostrarquesi(I-AB)esinversible,
entoncesI-BAesinversibleyque
(1-BA)-1=I+Bu-AB)-IA.
9.UsarelresultadodelEjercicio8parademostrarquesiAyBsonmatricesn›<nsobre
elcuerpoF,entoncesAByBAtienenlosmismosvalorespropiosenF.
10.SupóngasequeAesunamatriz2›<2conelementosreales,simétrica(A'=A).Demos-
trarqueAessemejante,sobreR,aunamatrizdiagonal.
ll.SeaNunamatrizcompleja2x2talqueN2=0.DemostrarqueN=00Nesse-
mejante,sobreC,a
[OO:|_
1O
I2.UsarelresultadodelEjerciciollparademostrarlosiguiente:SiAesunamatriz
2›<2deelementoscomplejos,entoncesAessemejante,sobreC,aunamatrizdeuno'de
losdostipossiguientes:
r°1r°1-0b 1a
13.SeaVelespaciovectorialdelasfuncionescontinuasdeRenR;esdecir,elespacio
delasfuncionescontinuasdevalorrealenelejereal.SeaTeloperadorlinealsobreVde-
finidopor
(mw=fma
DemostrarqueTnotienevalorespropios.
I4.SeaAunamatrizdiagonaln›<ndepolinomiocaracterístico
(2_cl)di...(2_-ck)di,
dondelosc,,...,c,,sondistintos.SeaV°elespaciodelasmatricesn›<n,B,talesque
AB=BA.DemostrarqueladimensióndeVesdf+-~-+df.
15.SeaVelespaciodelasmatricesn›<nsobreF.SeaAunamatrizn›<ndadasobreF_
SeaTeloperadorlineal«multiplicaciónalaizquierdaporA»enV.¿TienenAyTlosmis-
mosvalorespropios?.
6.3.Polinomiosanuladores
CuandoseprocuraanalizarunoperadorlinealT,unadelascosasmás
útilesdeconocereslaclasedelospolinomiosqueanulanaT.Paraprecisar,
supóngasequeTesunoperadorlinealsobreV,espaciovectorialsobreelcuer-
poF.SipesunpolinomiosobreF,entoncesp(T)estambiénunoperadorlineal
sobreV.Siq-esotropolinomiosobreF,entonces
(P+q)(T)=p(T)+q(T)
(z›q)(T)=z›(T)q(7U-

207. WO Al;:t'l›rulineal
Portanto,lacoleccióndepolinomiospqueanulanaT.enelsentidodeque
p(T)=0,
esunidealenelálgebradelospolinomiosF[x].Puedeserelidealcero;esdecir.
puedeserqueTnoseaanuladoporcualquierpolinomiononulo.Peroellono
puedesucedersielespacioVesdedimensiónfinita.
SupóngasequeTesunoperadorlinealsobreelespacioVdedimensiónn.
Considérenselasprimeras(nz+1)potenciasdeT:
I,T,T*,...,T"'.
Estaesunasucesióndenz+1operadoresenL(V,V),elespaciodelosope-
radoreslinealessobreV.ElespacioL(V,V)tienedimensiónnz.Portanto,
lasucesióndelosnz+loperadoresdebeserlinealmentedependiente,esdecir,
sedebetenerque
C0I+C1T+ °°°+Cn|T"' =O
paralosescalaresc,,notodosnulos.Enconsecuencia,elidealdepolinomios
queanulanaTtieneunpolinomiononulodegradonzomenor.
ConformealTeorema5delCapítulo4todoidealdepolinomiosconsta
detodoslosmúltiplosdeuncierto"polinomiomónicofijo,elgeneradordel
ideal.Así,pues,aloperadorTcorrespondeunmúltiplomónicopconlasi-
guientepropiedad:SifesunpolinomiosobreF,entoncesf(T)=0si,ysolosi,
f=pg,dondegesalgúnpolinomiosobreF.
Definición.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialVdedi-
mensiónfinitasobreelcuerpoF.ElpolinomiominimaldeTeselpolinomiomóni-
cogenerador(único)delidealdepolinomiossobreFqueanulanaT.
Elnombrede«polinomiominimal»procededequeelgeneradorde.un
idealdepolinomiosestácaracterizadoporserelpolinomiomónicodegrado
mínimo'enelideal.Locualquieredecirqueelpolinomiominimalpparael
operadorlinealTestáunívocamentedeterminadoporestastrespropiedades:
(1)pesunpolinomiomónicosobreelcuerpoescalar.
(2)p(T)=0-
(3)NingúnpolinomiosobreFqueanuleaTtienegradomenorqueel
quetienep.
SiAesunamatriznxnsobreF,sedefineelpolinomiominimaldeAenfor-
maanáloga,comoelúnicogeneradormónicodelidealdetodoslospolinomios
sobreFqueanulanaA.SieloperadorTestárepresentadoenciertabaseor-
denadaporlamatrizA,entoncesTyAtienenelmismopolinomiominimal.
Estoesporquef(T)estárepresentadoenlabaseporlamatrizf(A),demodo
quef(T)=0si,ysolosi,f(A)=0.
Delaúltimaobservaciónrespecto'aoperadoresymatricessesiguequelas

208. Formatmnonu'a\ele-rnentulri IW
matricessemejantestienenelmismopolinomiominimal.Esehechoresulta
tambiénevidentedeladefinición,yaque
ƒ(P-IAP)=P-1f(A)P
paratodopolinomiof.
Queremoshacerotraobservaciónrespectoalospolinomiosminimalesde
lasmatrices.SupóngasequeAesunamatriznxnconelementosenelcuer-
poF.SupóngasequeF,esuncuerpoquecontieneaFcomosubcuerpo.(Por
ejemplo,Apuedeserunamatrizconelementosracionales,mientrasqueF,
eselcuerpodelosnúmerosreales.OApuedeserunamatrizconelementos
reales,mientrasqueF,eselcuerpodelosnúmeroscomplejos.)Sepuedecon-
siderarAcomomatriznxnsobreFocomomatriznxnsobreF,.Apri-
meravistapodríacreersequeseobtienendospolinomiosminimalesdistintos
paraA.Porsuerte,esenoeselcaso;ydebemosverporqué.¿Cuálesladefini-
cióndelpolinomiominimalparaA,considerándolacomounamatriznxn
sobreelcuerpoF?Consideramostodoslospolinomiosmónicos,concoeficien-
tesenF,queanulanaAytomamoseldemenorgrado.Sifesunpolinomio
mónicosobreF:
(6-4) f=2:"+ a,-:cf
1%
entoncesf(A)=0dicesimplementequetenemosunarelaciónlinealentre
potenciasdeA:
(6-5) A*+a,,_1A'°-1+---+a¡A+ao]=O.
Elgradodelpolinomiominimaleselmenorenteropositivoktalqueexiste
unarelaciónlinealdelaforma(6-5)entrelaspotenciasdeI,A,___,A".Más
aún.porlaunicidaddelpolinomiominimal,existeparaaquelkuna,ysolouna,
relacióndelaforma(6-5);esdecir,unavezqueelminimalkestádeterminado,
existenescalaresúnicosao,___,a,,_,enFparalosqueesválido(6-5).Sonlos
coeficientesdelpolinomiominimal.
Ahora(paracadak)setieneen(6-5)unsistemadenzecuacioneslineales
paralas«incógnitas››ao,___,a,,_,.ComoloselementosdeAestánenF,los
coeficientesdelsistemadeecuaciones(6-5)estánenF.Portanto,sielsistema
tieneunasoluciónconlosao,__.,a,,_,enF,,tieneunasoluciónconlosao,___,
a,,_,enF.(VéaseelfinaldelaSección1.4.)Estáclaroahoraquelosdospoli-
nomiosminimalessonlosmismos.
¿Quéesloquesesabehastaahoraconrespectoalpolinomiominimalde
unoperadorlinealenunespaciodedimensiónn?Soloquesugradonoexcede
de112.Peroéstaesunaestimaciónpocoaproximada,yaqueelgradonopuede
excederan.Sedemostraráenbrevequeeloperadoresanuladoporsupoli-
nomiocaracterístico.Peroantesqueremosobservaralgomáselemental.
Teorema3.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialVdedi-
mensiónn(0seaAunamatriznxn).Elpolinomiocaracterísticoyelpolinomio
minimaldeT(deA)tienenlasmismasraíces,salvomultiplicidades.

209. 192 _.-II_i¦i-hrultnml-
Demostración_Seapelpolinomiominimalde1'.Searnnescalar.I.oque
sedeseademostraresquep(c)=0si.ysolosi,cesunvalorpropiode'II
Primerosupóngasequep(c)=O.Entonces
v=@-wn
dondeqesunpolinomio.Comogrdq<grdp,ladefinicióndelpolinonno
minimalpdicequeq(T)9€0.SeeligeunvectorBtalqueq(T)Bqé0.Seaot=al'I')/l.
Entonces
0=P(T)(5'
=(T_01)¶(T)fl
=(T-cÍ)a
yasícesunvalorpropiodeT.
SupóngaseahoraquecesunvalorpropiodeT,oseaTot=ca,conot+0.
Comoseobservóenellemaanterior,
p(T)a=p(c)a.
Yaquep(T)=Oyot9€0,setienequep(c)=0.I
SeaTunoperadorlinealdiagonalizableyseanc,,___,c,,¡osvalorespro-
piosdistintosdeT_EntoncesesfácilverqueelpolinomiominimaldeTesel
polinomio
p=(rc-ci)(x-ct).
Siotesunvectorpropio,entoncesunodelosoperadoresT-c,1,,
T-c,,laplicaoten0.Portanto,
(T-c1I)(T-c¡,I)a=0
paratodovectorpropioot.Existeunabaseparaelespaciosoportequeconsta
delosvectorespropiosdeT;luego
p(T)=(T-c1I)(T.- cil)=0.
Loqueconeluimoseslosiguiente.SiTesunoperadorlinealdiagonalizable,
entonceselpolinomiominimaldeTesunproductodefactoreslinealesdis-
tintos.Comoseverámásadelante,estapropiedadcaracterizalosoperadores
diagonalizables.
Ejemplo4.Sedeseaencontrarelpolinomiominimalparalosoperadores
enlosEjemplos1,2y3.Seanalizaránenordeninverso.EloperadordelEjem-
plo3eradiagonalizableconpolinomiocaracterístico
f=tx-no-2›2.
PorelpárrafoanteriorsesabequeelpolinomiominimaldeTes
P=@-D@-$-

210. lmtmttt'un|inlt't|\t'l|'mt'nh|li'.\ ¡ru
IIlectorpodraverilìcardirectamenteque
(A-I)(A-21)=0_
¡inClElCmP102el0P€fad0fTtambiénÍiëneelpolinomiocaracterístico
Í=(Y_-Ulx_2)2-PCTO¢Sï€TU0esdiagmïfllizable,porloquenosepuede
saberqueelpolinomiominimalsea(x-l)(x_2)_¿Quees1oquesesabe
conrespectoalpolinomiominimalenestecaso?PorelTeorema3sabemos
quesusraícesson1y2,permitiendosealgunasmu1rip1¡e¡dades_Luego,pSe
debebuscarentrelospolinomiosdelaforma(X_1)*(x_2)',k¿1,¡¿¡_
Probar(x-l)(x-2);
22
20-1
=20-1_
40-2
(`onloqueelpolinomiominimaltienealomenosgrado3_LuegoSepuede
Pmbaf(X_1)2(X_2)0(X-'lllx_2)2-C0moelsegundoeselpolinomio
característico,pareceserunaelecciónmenoseleZar_Sepuedeen¡eafidad
Calcularque(A_¡ll/4-'21l2=0-con¡OqueelpolinomiominimaldeTes
supolinomiocaracterístico.
EnelEjemplo1seestudióeloperadorlinee|TsobreR2representadoen
labasecanónìcaporlamatriz
0-1
A`[10]'
. . I , . 2 . '
Elpolinomiocaracterísticoesx+l,queno(renerareesrea1es_Paraderer-
minarelpolinomiominimalhayqueolvidarsedeTy¿renderaA_Comouna
matrizcompleja2x2,Atienelosvalorespropios¡y_¡_Ambasraíeesdeben
figurarenelpolinomiominimal.Asíelpolinomiomm¡ma|esd¡v¡S¡b|epor
2 -- - 2 _ ____
X+ ESÍflvlalVCl`lfiCaI`qu@A +1-0.C01] loqu@glpohngnfno m¡n¡-
malesx2+1.
21-1 ii-1
(A-I)(A-2I)=21-120__,
-122-2
Temema4(C3)'|e)"Ham¡¡Í0n)-S00TU"Operadorlinealsobreunespacio
vectorialVdedimensiónfinita.Sifeselpolinomioeamere,-¡s¿¡e0deT,e,,¡0n¿¬€S
f(T)=0;€Sd€C¡f›91P0¡¡"0m¡0mfflimflld¡U¡dPalpolinomiocaracterísticodeT.
Demostración.Másadelantesedarándosdemosrraeionesmásdeeste
teorema,independientementedelaquesedaráa1~rora_Lapresentedemostro-
ción,aunquebreve,puedeserdificildeentender_Apartede1obreve,gene¡e
virtuddedarunaclaraynadatrivialaplicaciónde13reoríagenera]de|osde_
terminantesdesarrolladaenelCapítulo5.
SeaKelanilloconmutativoconunidadqueconstadetodos|ospojmomios
enT.EsclaroqueKesunálgebraconmutativagonunidadsobree1eoerpo

211. IW _4lgel›ralmeal
escalar.Elijamosunabaseordenada{oz,.____a,,}paraV,yseaAlamatri/_
querepresentaaTenesabasedada.Entonces
fl
Tai=_2lAjidj, I5ÍSn.
1%
Estasecuacionespueden-escribirseenlaformaequivalente
fl
_2l(ö¡¡'T*_A,'¡I)C!¡'=0, 1S Sfl.
,I
SeaBelelementodeK"“"conelementos
Bi;=ö¡¡T'_A151.
Cuandon=2
B_[T-A@-ma]
"-maT-Aa'
Y
detB=(T”“A11Í)(T'_A221)-'Á1zA2iÍ
=T2'_(An'l'Án)T'l'(Á1iA22_Ai:/Í2i)I
=f(T)
dondefeselpolinomiocaracterístico:
f=x2-(trazaA)x+detA.
Paraelcason>2,estambiénclaroque
detB=ƒ(T)
yaquefeseldeterminantedelamatrizxl-Acuyoselementossonlospo-
linomios
(II_A)¡¡=ôgjílï_A¡¡.
Queremosdemostrarquef(T)=0.Paraquef(T)seaeloperadorceroes
necesarioysuficienteque(detB)a,,=Oparak=l,____n.Porladefinición
deB.losvectoresoq,___,ot,satisfacenlasecuaciones
wm Ép%m=0, igtgn.
12
Cuandon=2,sesugiereescribir(6-6)enlaforma
[T_A111 -“A311 ][C11]_
_A12I T_A22I G2 _ 0
Enestecaso.laadjunta,adjB,eslamatriz
¿=[T-AMma
mJ T-A@

212. I-`orma.inntmm'a.ieli-nientuli-.s 195
Y
_deiso
EB_[0 detB:j°
M[21]=ea[21]
=E(B[::])
e=[Sl
Enelcasogeneral,seaB=adjB.Entoncespor(6'-6)
Luego.setiene
fl
2É|=iB¡¡¢1¡=0
¡-1
paratodopark,i,ysumandosobrei,setiene
0=išÉ|=iBi¡f1¡
¡-if-1
=â ÉHBG) 0,".
Í-1 Í=-1
AhoraBB=(detB)I,conloque
_š1ÉHBQ =¿Hdflti
Portanto,
0=_2lö¡¡(deÍ›B)d¡
31
=(detB)a¡,, lSlcS'n.I
ElteoremadeCayley-Hamiltonesútilenestemomento,fundamentalmente
porquereducelabúsquedadelpolinomiominimaldevariosoperadores.Si
seconocelamatrizAquerepresentaTenciertabaseordenada,entoncesse
puedecalcularelpolinomiocaracterísticof.Sesabequeelpolinomiominimal
pdivideafyquelosdospolinomiostienenlasmismasraíces.Noexistemé-
todoparacalcularenformaprecisalasraícesdeunpolinomio(amenosque
sugradoseabajo);sinembargo,sifestáfactorizadocomo
(6-7)f=(x-c,)"'---(x-c,,)"",cr,___,c,,diferentes,d,21
entonces
(6-8) p=(x-cr)'*---(x-c,,)"*,-15r,5dj.
Estoestodoloquesepuededecirengeneral.Sifeselpolinomio(6-7)ytiene
gradon,entoncesparacadapolinomiop,comoen(6-8),sepuedeencontrar
unamatriznxnquetienefcomounpolinomiocaracterístico,ypessupoli-
nomiominimal.Nosedemostraráestoahora.Peroqueremosdestacarelhecho

213. l90 /1lgt'llr¢tllmwl
dequeelconocimientoqueelpolinomiocaracterísticotienelaI`orma(6-7),
nosdicequeclpolinomiominiinaltienelal`orina(6-8),ynadamásnosdice
conrespectoap.
Ejemplo5.SeaAlamatriz(racional)4x4
A=[
LaspotenciasdeAsonfácilmentecalculables'
-ii
-ii
Así,A3=4A,esdecir,sip=x3=4x=x(x+2)(x-2),entoncesp(A)=0.
Elpolinomiominimal,obviamente,noesdegradol,yaqueelloquerríadecir
queAesunmúltiploescalardelaunidad.Luegolosposiblespolinomiosmíni-
malesson:p,x(x+2),x(x-2),xl-4.Lostrespolinomioscuadráticos
puedensereliminados,yaqueesinmediatamenteobvioqueA2=)é-2A,A2qé2A,
A2qé41.Portanto,peselpolinomiominimaldeA.Enparticular,0,2y-2
sonlosvalorespropiosdeA.Unodelosfactoresx,x-2,x+2,deberepe-
tirsedosvecesenelpolinomiocaracterístico.Evidentemente,rango(A)=2.
Enconsecuencia,existeunespaciodevectorespropiosdedimensióndosaso-
ciadoalvalorcaracterístico0.PorelTeorema2quedaahoraclaroqueelpoli-
nomiocaracterísticoesx2(x2-4)yqueAessemejantealamatrizsobreel
cuerpodelosnúmerosracionales.
I-*Or-*OOI-*OP-*t-Qi-QQI'-^©l"'*
t-IÄOI-F~OQt\'JQt\'JOI-l>OrP›t\DOl\DOt-IÄOI-IÄOQNOIOOI-l>Qt-IÄNOIOO
OOO@OOO@ONO@NJOOO
Ejercicios
1.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinita.¿Cuáleselpolinomiominimalpara
eloperadoridentidadsobreV?¿Cuáleselpolinomiominimalparaeloperadorcero?
2.Seana.bycelementosdeuncuerpoFyseaAlasiguientematriz3x3sobreF:
00c
A=10b-
01a

214. l"nrma.\runónit'u.\¢'li°nn'ntuI¢°\ l97
DemostrarqueelpolinomiocaracterísticodeAesx3-axz-bx-cyqueésteestam-
bienelpolinomiominimaldeA.
3.SeaAlamatrizreal4x4:
i--mi-ii-I-*&I-*I-Hi-*NOOOi-*GO
A___
DemostrarqueelpolinomiocaracterísticodeAesx2(x-l)2yqueesalpropiotiempo
elpolinomiominimal.
4.¿,EslamatrizAdelEjercicio3semejante,sobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos.
aunamatrizdiagonal? -
5.SeaI'unespaciodedimensiónnyseaTunoperadorlinealsobreV.Supóngaseque
existeciertoenteropositivoktalqueT*=0.DemostrarqueT"=0.
6.Hallarunamatriz3x3paralacualelpolinomiominimalesx2.
7.SeanunenteropositivoyseaVelespaciovectorialdelospolinomiossobreRque
tienenalomásgradon(sinconsiderarelpolinomio0).SeaDeloperadorderivaciónso-
breV.¿CuáleselpolinomiominimaldeD?
8.SeaPeloperadorenR2queproyectacadavectorsobreelejex,paralelamentealeje
r:P(_\'_1')=(x,0).MostrarquePeslineal.¿CuáleselpolinomiominimaldeP?
9.SeaAunamatriznxn.conpolinomiocaracterístico
ƒ=(x_c¡)d1...(3_.ck)di_
e,d,+'~-+c,,d,,=traza(A).
Demostrarque
IO.SeaVelespaciovectorialdelasmatricesnxnsobreelcuerpoF.SeaAunamatriz
nxnfija.SeaTeloperadorlinealsobreVdefinidopor
T(B)=AB.
DemostrarqueelpolinomiominimaldeTeselpolinomiominimaldeA.
II.SeanAyBmatricesnxnsobreelcuerpoF.DeacuerdoconelEjercicio9delaSec-
eión6.1.lasmatricesAByBAtienenlosmismosvalorespropios.¿Tienentambiénelmismo
polinomiocaracterístico?¿Tienentambiénelmismopolinomiominimal?
6.4.Subespaciosinvariantes
Enestasecciónintroduciremosalgunosconceptosútilesenelestudiode
unoperadorlineal.Usaremosestasideasparaobtenerdescripcionesdelos
operadoresdiagonalizables(ytriangulables)entérminosdesuspolinomios
minimales.
Definición.SeaVunespaciovectorialyTunoperadorlinealsobreV.Si
WesunsubespaciodeV,sedicequeWesinvarianteporTsiparatodovectorot
deWelvectorTaestáenW,esdecir,siT(W)estácontenidoenW_

215. l98 Algebralmeol
Ejemplo6.SiTescualquieroperadorlinealsobreV,entoncesVesinva-
rianteporT,comotambiénloeselsubespacionulo.LaimagendeTyelespacio
nulodeTsontambiéninvariantesporT.
Ejemplo7.SeaFuncuerpoyseaDeloperadorderivaciónsobreeles-
pacioF[x]delospolinomiossobreF.SeanunenteropositivoyseaWelsub-
espaciodelospolinomiosdegradonomayorquen.EntoncesWesinvariante
porD.EstonoesmásqueotramaneradedecirqueDes«decrecienteengrado».
Ejemplo8.HeaquíunaútilgeneralizacióndelEjemplo6.SeaTunope-
radorlinealsobreV.SeaUcualquieroperadorlinealsobreVqueconmute
conT;esdecir,TU=UT.SeaWlaimagendeUyseaNelespacionulode
U.AmbosWyNsoninvariantesporT.SiotestáenlaimagendeU,porejem-
plo,ot=UB,.entoncesTot=T(UB)=U(TB),demodoqueTotestáenlaimagen
deU.SiótestáenN,entoncesU(Tot)=T(Uot)=T(0)=0;luegoTotestáenN.
UntipoespecialdeoperadorqueconmutaconTesunoperadorU=g(T),
dondegesunpolinomio.Porejemplo.podríatenerseU=T-cl,dondec
esunvalorpropiodeT.ElespacionulodeUyanosesfamiliar.Sevequeeste
ejemploincluyeelhecho(obvio)dequeelespaciodevectorespropiosdeT,
asociadosalvalorpropioc,esinvarianteporT.
Ejemplo9.SeaTeloperadorlinealsobreR2representadoenlabaseor-
denadacanónica-porlamatriz
A=[0-1]_
10
EntonceslosúnicossubespaciosdeR2quesoninvariantesporTsonR2,yel
subespacionulo.Cualquierotrosubespacioinvariantetendránecesariamente
dimensión1.PerosiWeselsubespaciogeneradoporalgúnvectornonuloot,
queWesinvarianteporTquieredecirqueotesunvectorpropio,peroAno
tienevalorespropiosreales.
CuandoelsubespacioWesinvarianteporeloperadorT,entoncesTin-
duceunoperadorlinealTWenelespacioW.EloperadorlinealTWestádefinido
por,Tw(ot)=T(ot),paraotenW;peroTWesunobjetodiferentedeT,yaque
sudominioesWynoV.
CuandoVesdedimensiónfinita,lainvarianciadeWporTtieneunain-
terpretaciónmatricialsimplequeacasodebamencionarseaqui.Supóngase
queseeligeunabaseordenadaG3={ot,,_._,ot,,}paraVtalque(B'={ot,,.__,ot,,}
esunabaseordenadadeW(r=dimW).SeaA=[T],Bdemodoque
Ta'=ÉAgflg.
1 _ 1
1=l
ComoWesinvarianteporT,elvectorTot,perteneceaWparajSr.Estoquiere
decirque .
(59) Tai=ÉÁajda, S1'.
¡-1

216. 1-'armaseamlnicaselenuwtalc-s ¡W
Enotraspalabras,A,,=0si/`5rei>r. '' "
Esquemáticamente,Atienelaformabloque
(6-10) A=[ff
dondeBesunamatrizrxr,Cesunamatrizrx(n-r)yDesunamatriz
(n-r)x(n-r).Ellectordeberáobservarque,conformea(6-9),lamatriz
BesprecisamentelamatrizdeloperadorinducidoTWenlabaseordenada03'.
MuyamenudoserazonarárespectoaTyTWsinhacerusodelaforma
bloquedelamatrizAen(6-10).Perodeberáobservarsecómosurgenciertas
relacionesentreTWyTdeesaformabloque.
Lema.SeaWunsubespacioinvarianteparaT.Elpolinomiocaracterístico
paraeloperadorrestricciónTWdivideelpolinomiocaracterísticodeT.Elpoli-
nomiominimaldeTWdividealpolinomiominimaldeT.
_B'0
A”loD]
dondeA=[T],ByB=[TW]¿s,.Porlaformabloquedelamatriz
dei(xt-A)=det(xt_-B)dei(xl-D)-
Demostración_Setiene
Estodemuestralaafirmaciónrespectoalospolinomioscaracterísticos.Obsér-
vesequeseusóindistintamenteIpararepresentarmatricesunidadentresta-
mañosdiferentes.
Lak-ésimapotenciadelamatrizAtienelaformabloque
_3"Ch
Ak"[oDi]
dondeCresalgunamatrizrx(n-r).Portanto,cualquierpolinomioque
anuleaAtambiénanulaaB(ytambiénaD).Así,elpolinomiominimalde
BdividealpolinomiominimaldeA.I
Ejemplo10.SeaTcualquieroperadorlinealenunespacioVdedimensión
finita.SeaWelsubespaciogeneradoportodoslosvectorespropiosdeT.Sean
c,,___,crlosvalorespropiosdistintosdeT.Paracadai,seaW,elespaciode
losvectorescaracterísticosasociadosconelvalorpropioc,,yseráG3,unabase
ordenadaparaW,.EllemaanterioralTeorema2dicequeG3'=((B,,___,(Br)
esunabaseordenadadeW.Enparticular,
dimW=dimW1-l- +dimW¡,_
SeaG3'={ot,,___,ot,}demodoquelosprimerosotformanlabase(B1,los
siguientes,032,yasísucesivamente.Entonces
T(1¿=t¿a,', 'l:=1,...,T

217. 200 .~ll_i:¢-liralineal
donde(.',,.___1,)-=.lc,.c,,___,tr.._,ek.ek. ck)conc,repetidos
dimW,veces.
AhoraWesinvarianteporT,yaqueparacadaotenW tiene
0!=27i¢11"l' +$f0lf
T0!=5117101+'°''l'tfílïfdf-
Eligiendootrosvectoresot,+,,___,ot,,enVtalesqueG3={ot,,_._,ot,,¦sea
unabaseparaV.LamatrizdeT,respectode(B,tienelaformabloque(6-lll),
ylamatrizdeloperadorrestricciónTW,respectodelabase(B'es
t10 0
B=(.)?"`(.)-
0 0 '°' tf
ElpolinomiocaracterísticodeB(esdecir,deTW)es
g= ._Cl)¢I,,, _.Ck)€l
dondee,=dimW,.Ademásgdivideaf,elpolinomiocaracterísticodeT.
Portanto,lamultiplicidaddec,,comoraízdef,esalomenosdimW,.
TodoestoaclaraelTeorema2;dicesolamentequeTesdiagonalizablesi,
ysolosi,r=n,si,ysolosi,e,+~°~+ek=n.Estonoayudamuchopara
elcasonodiagonalizable,puesnoseconocenlasmatricesCyDde(6-lO).
Definición.SeaWunsubespacioinvarianteparaT,yseaotunvectordeV.
ElT-conductordeotenWesel-conjuntoSr(ot:Wl,queconstadetodoslospoli-
nomiosg(sobreelcuerpoescalar)talesqueg(T)otestáenW_
ComoeloperadorTseconsiderafijoalolargodelamayorpartedelos
análisis,sesuprimiránormalmenteelsubíndiceTyseescribiráS(ot;W).Los
autoresllamancorrientementeaestacoleccióndepolinomiosel«relleno››
(stufler,eninglés;odaseinstopfendeIdeal,enalemán).«Conductor››eseltér-
minomáscorriente,preferidoporaquellosquepiensanenunoperadorg(T)
menosagresivo,quesuavementedirigealvectorotenW.Enelcasoespecial
«leW={0},elconductorsellamaT-anuladordeot.
Lema.SiWesunsubespacioinvarianteparaT,entoncesWesinvariante
portodopolinomiodeT.Así,pues,paratodootdeV,elconductorS(ot:W)es
unidealenelálgebradelospolinomiosF
Demostración.SiBestáenW,entoncesTBestáenW.Enconsecuencia,
T(TB)=T2BestáenW.Porinducción,T'“BestáenWparacadak.Formando
combinacioneslinealessevequef(T)BestáenWparatodopolinomiof.
LadefinicióndeS(ot;W)tomasentidosiWesunsubconjuntodeV.SiW
esunsubespacio,entoncesS(ot;W)esunsubespaciodeF[x],yaque
(cf+g)(T)=cƒ(T)+g(T)-

218. l'i›rmuscanrinicusclernmtuli°\' IU!
SiWestambiéninvarianteporT,seagunpolinomioenS(ot;W);esdecir,
seag(T)otenW.Sifescualquierpolinomioentoncesf(T)[g(T)ot]estaráenW.
Como
(f9)(T)=f(T)o(T)
fgestáenS(ot;W)_Conloqueelconductorabsorbelamultiplicaciónporcual-
quierpolinomio.I
ElgeneradormónicoúnicodelidealS(ot;W)estambiénllamadoT-con-
ductordeotenW(elT-anuladorencasodequeW={0}).ElT-conductorde
otenWeselpolinomiomónicogdemenorgradotalqueg(T)otestáenW.Un
polinomiofestáenS(ot;W)si,ysolosi,gdivideaf.Nótesequeelconductor
S(ot;W)siemprecontieneelpolinomiominimaldeT;luegocadaT-conductor
dividealpolinomiominimaldeT.
ComoprimerailustracióndecómousarelconductorS(ot;W),secaracteri-
zaránoperadorestriangulables_EloperadorlinealTsellamatriangulablesi
existeunabaseordenadaenlacualTestárepresentadoporunamatriztriangular.
Lema.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoF.
SeaTunoperadorlinealsobreVtalqueelpolinomiominimaldeTseaunpro-
ductodefactoreslineales
p=(x-c,)"°--(x-ck)"*,c,enF.
SeaWunsubespaciopropiodeV(WaëV)invarianteporT.Existeunvector
ottalque
(a)otnoperteneceaW.
(b)(T-cI)otestáenW,paraalgúnvalorpropiocdeloperadorT.
Demostración.Loquedice(a)y(b)esqueelT-conductordeotenWes
unpolinomiolineal.SeaBcualquiervectorenVquenoestáenW.Se-agel
T-conductordeBenW.Entoncesgdivideap,elpolinomiominimaldeT.Como
BnoestáenW,elpolinomiognoesconstante.Luego
9=(fc-¢1)"(2=-00°*
dondealmenosunodelosenterose,espositivo.Seeligejdemodoquee_,>0.
Entonces(x-c,)divideag:
g=(27_Cj)ll.
Porladefinicióndeg,elvectorot=h(T)BnopuedeestarenW.Pero
(T-c,-I)a=(T-c,-I)h(T)B
=o(T)fl
perteneceaW.I
Teorema5.SeaVunespaciodedimensiónfinitasobreelcuerpoFysea
TunoperadorlinealsobreV.EntoncesTestriangulablesi,ysolosi,elpolinomio
minimaldeTesproductodepolinomioslinealessobreF_

219. 202 .4lg:-liralineal
Demostración.Supóngasequeelpolinomiominimalestáfactorizadoen
laforma:
p=(x-cr)"---(zi:-c,,)'*_
Poraplicaciónrepetidadellemaanteriorsellegaaunabaseordenada
(B={ot,,___,ot,,}enlacuallamatrizquerepresentaTestriangularsuperior
an012043'°°01»
O a22a^23°'° a2n
(6-11) [Tjrg=OO03; 03,,-
òòò a,
Ahora(6-ll)solodiceque
(5-12) Tai=011011'l'''°+0¡›'¢!¡›1S.ÍStt
estoes,Tot,estáenelsubespaciogeneradoporar,____ot,-_Paradeterminar
losotk,_._,ot,,,secomienzaaplicandoellemaalsubespacioW={0},para
obtenerelvectorot,_EntoncesaplicandoellemaaW,,elespaciogeneradopor
ot,,seobtieneot2_AcontinuaciónseaplicaellemaaW2,elespaciogenerado
porot,yak.Secontinúadeestemodo.Unpuntosemerececomentarioespecial.
Despuésquesehayandeterminadolosot,,___,ot,,sonlasrelacionesdeltipo
triangular(6-12)paraj=1.___,ilasqueaseguranqueelsubespaciogenerado
porot,,____ot,esinvarianteporT.
SiTestriangulable,esevidentequeelpolinomiocaracterísticodeTtiene
laforma
ƒ=(x-cr)¿'---(x-c;_)¿*,c,-enF.
Bastaobservarlamatriztriangular(6-ll).Loselementosdeladiagonal
an,___,a,,,,sonlosvalorespropios,conc,repetidosd,veces.Perosifpuede
serasífactorizado,tambiénpuedeserloelpolinomiominimal,yaquedivi-
deaf_I
Corolario.SeaFuncuerpoalgebraicamentecerrado,v.g_,elcuerpodelos
númeroscomplejos.CadamatriznxnsobreFessemejante,sobreF,aunama-
triztriangular.
Teorema6.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poFyseaTunoperadorlinealsobreV.EntoncesTesdiagonalizablesi,ysolosi,
elpolinomiominimaldeTtienelaforma
P=(X-C1)"'(-Y-Ci)
dondelosc1,___,cksonelementosdistintosdeF_
Demostración.Sehaobservadoanteriormenteque.siTesdiagonalizable,
supolinomiominimalesproductodefactoreslinealesdistintos(véaseelanáli-
sisanterioralEjemplo4).Parademostrarelrecíproco,seaWelsubespacio
generadoportodoslosvectorespropiosdeT,ysupóngasequeW9€V.Por

220. l"ormn.\canónicaselementales 203
ellemaempleadoenlademostracióndelTeorema5,existenunvectorotque
noestáenWyunvalorpropioc,deTtalqueelvector
B=(T-vi-1)@
perteneceaW.ComoBestáenW
Ú=fil"l"'°°'l'Bu
dondeTB,=c,B,,15i5ky,portanto,elvector
h(T)B=h(c1)B1+ +h(ci)Br
estáenW,paracadapolinomioh.
Ahora,p=(x-c,)q,paraalgúnpolinomioq.También
q--q(¢,~)=(rc-¢,-)h-
Setiene
q(T)«-q(¢,~)«=h(T)(T-C,-1)«1=h(T)B-
Peroh(T)BestáenW,ycomo
0=p(T)@=(T-0,-1)¢1(T)«
elvectorq(T)aestáenW.Portanto,q(c,)otestáenW.ComootnoestáenW,
setieneq(c¡)=0.Locualcontradiceelhechodequeptieneraícesdistintas.I
AlfinaldelaSección6.7sedaráunademostracióndiferentedelTeorema6.
Ademásdeserunresultadoelegante,elTeorema6esútilencuantoalcálculo.
SupóngasequesetieneunoperadorlinealTrepresentadoporlamatrizAen
ciertabaseordenada,ysedeseasabersiTesdiagonalizable.Secalculaelpoli-
nomiocaracterísticof.Sisepuedefactorizarf: _
f=tx-oi----tx_-«›.›~f-
setienen.dosmétodosdiferentesparadeterminarsiTesdiagonalizableono.
Unmétodoesversi(paratodoi)sepuedenhallard,vectorespropiosindepen-
dientesasociadosalvalorpropioc,.Elotrométodoescomprobarsi(T-c,I)---
(T-ckl)esonoeloperadorcero.
ElTeorema5daunademostracióndiferenteparaelteoremadeCayley-
Hamilton_Eseteoremaesfácilparaunamatriztriangular.Dedonde,pormedio
delTeorema5,setieneelresultadoparacualquiermatrizsobreuncuerpoal-
gebraicamentecerrado.Todocuerpoesunsubcuerpodeuncuerpoalgebrai-
camentecerrado.Siseconoceesehechosepuedetenerunademostracióndel
teoremadeCayley-Hamiltonparalasmatricessobrecualquiercuerpo.Sise
acepta.porúltimo,elteoremafundamentaldelálgebra(elcuerpodelosnú-
meroscomplejosesalgebraicamentecerrado),entonceselTeorema5dauna
demostracióndelteoremadeCayley-Hamiltonparalasmatricescomplejas,
yesademostraciónesindependientedeladadaanteriormente.

221. 204 Algeliralineal
l;]`ercicios
I.Sea'I'eloperadorlinealsobreR2cuyamatri/_eiilabaseordenadacanónìcaes
1-1
A= -
[22]
(a)DemostrarquelosúnicossubespaciosdeR2invariantesporTsonR2yelsubes-
pacionulo.
(b)SiUeseloperadorlinealenC2,cuyamatrizenlabaseordenadacanónìcaes_-l.
demostrarqueUtieneunsubespaciounidimensionalinvariante.
2.SeaWunsubespacioinvarianteparaT.Demostrar,sinreferirsealasmatrices.que
elpolinomiominimalparaeloperadorrestricciónTWdividealpolinomiominimalde7'.
3.SancunvalorpropiodeTyseaWelespaciodelosvectorespropiosasociadosalvalor
propioc.¿CuáleseloperadorrestricciónTW?
4.Sea
0 l0
A=2-22-
2-32
¿EsAsemejante,sobreelcuerpodelosnúmerosreales,aunamatriztriangular?Siesasí,
hallartalmatriztriangular.
5.CadamatrizAtalqueA2=Aessemejanteaunamatrizdiagonal.
6.SeaTunoperadorlinealdiagonalizablesobreunespaciovectorialVdedimensión
nyseaWunsubespacioinvarianteporT.DemostrarqueeloperadorrestricciónTWes
diagonalizable.
7.SeiTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpo
delosnúmeroscomplejos.DemostrarqueTesdiagonalizablesi,ysolosi,Tesanulado
poralgúnpolinomiosobreCquetieneraícesdistintas.
8.SeaTunoperadorlinealsobreV.SitodosubespaciodeVesinvarianteporT,enton-
cesTesunmúltiploescalardeloperadoridentidad.
9.SeaTel'operadorintegraciónindefinida
<mw=fma
sobreelespaciodelasfuncionescontinuasenelintervalo[0,1].¿Eselespaciodelas_fun-
cionespolinomiosinvariantesporT?¿Elespaciodelasfuncionesdiferenciables?¿Eles-
paciodelasfuncionesqueseanulanparax=%?
10.SeaAunamatriz3x3deelementosreales.DemostrarquesiAnoessemejanteso-
breRaunamatriztriangular.entoncesAessemejantesobreCaunamatrizdiagonal.
ll.¿EsverdaderoofalsoquesiunamatriztriangularAessemejanteaunamatrizdia-
gonal,entoncesAesdiagonal?
l2_SeaTunoperador'linealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreuncuer-
poFalgebraicamentecerrado.SeafunpolinomiosobreF.Demostrarquecesunvalor
propiodef(T)si,ysolosi,c=_ƒ(t),dondetesunvalorpropiodeT.

222. I-`urn|u.smnnrnrusrlrnwnlult-.s 205
I3.SeaI'elespaciodclasmatricesnxnsobreF.SeaAunamatri?nxndada,sobreF.
SeanTyUlosoperadoreslinealessobreVdefinidospor
T(B)=AB
U(B)=AB-BA.
(al¿EsverdaderoofalsoquesiAesdiagonalizable(sobreF),entoncesTesdiagona-
lizable?
(h)¿EsverdaderoofalsoquesiAesdiagonalizable,entoncesUesdiagonalizable?
6.5.Triangulaciónsimultánea;
Diagonalizációnsimultánea
SeaVunespaciodedimensiónfinitayseaïïunafamiliadeoperadores
linealessobreV.Ocurrepreguntarsisepuedentriangularodiagonalizarsi-
multáneamentelosoperadoresde9'.esdecir,cuándosepuedeencontraruna
base(Btalquetodaslasmatrices[T]¿B,conTen5,seantriangulares(odiago-
nales).Enelcasodeladiagonalización,esnecesarioque9'seaunafamiliade
operadoresqueconmuten:UT=TU,paratodoT,Uen9'.Estosedesprende
delhechodequetodaslasmatricesdiagonalesconmutan.Obviamenteestam-
biénnecesarioquecadaoperadorde5seaunoperadordiagonalizable.Para
latriangulaciónsimultáneacadaoperadorenfr'debesertriangulable.Noes
necesarioque5seaunafamiliadeoperadoresqueconmuten;sinembargo,
esacondiciónessuficienteparalatriangulaciónsimultánea(sicadaTestrian-
gulableindividualmente).Estosresultadossedesprenden,conligerasvaria-
ciones,delasdemostracionesdelosTeoremas5y6.
ElsubespacioWesinvariantepor(Iafamiliadclosoperadores)ïïsiWes
invarianteporcualquieroperadoren5
Lema.SeuffunafamiliadeoperadoreslinealestriangulablesdeVque
conmutun.SeaWunsubespaciopropiodeVinvarianteporff.Existeunvector
ocenVtalque
(á)ocnoperteneceaW;
(b)paracadaTenfr',elrectorTaestáenelsubespaciogeneradoporocyW.
Demostración.Noseperderágeneralidadsisesuponequeïïcontienesolo
unnumerofinitodeoperadores,porlasiguienteobservación.Sea{T,,__.,T,}
unsubconjuntolinealmenteindependientemaximaldeir',esdecir,unabase
delsubespaciogeneradopor9'.Siozesunvectortalque(b)esválidaparatodo
'l`¿,entonces(b)secumpliráparatodooperadorqueseacombinaciónlineal
delosT1, T,.
PorellemaanterioralTeorema5(estelemaesparaunoperadorsolo),
sepuedehallarunvector/il(noenW)yunescalarcltalque(T1-c¡I)B1
estéenW.SeaV,lacoleccióndetodoslosvectoresIi'enVtalesque(T,-c¡I)B
estéenW.EntoncesV1esunsubespaciodeVqueespropiamentemásextenso

223. 206 Algelvmlmeul
queIV.Además,V1esinvarianteporfi.portalrazónsi'l'conmutaconl`,,
entonces
(Ti_CJ)('l'B)=T(7'i-¢J)l3-
Si/lestáenV,.entonces(T1-c¡l)BestáenW.ComoWesinvarianteportoda
7'deff.setienequeT(T¡-ell)/iestáenW;esdecir.TBenV,.paratodo/l
enV,ytodoTenSF.
AhoraWesunsubespaciopropiodeV¡.SeaU2eloperadorlinealenV,
queseobtienerestringiendoT2alsubespacioV1.Elpolinomiominimaldc
UzdividealpolinomiominimaldeT2.Portanto,sepuedeaplicarellemaam-
tcrioralTeorema5ataloperadoryalsubespacioinvarianteW.Seobtiene
unvector/izenV,(noenW)yunescalarcztalque(T2-e2l)fi2estáenW.
(_)bsérveseque
ta)B2noestáenW.
(b)(T1-e¡I)fi2estáenW.
(c)(T2-c2I)fi2estáenW.
SeaV2elconjuntodetodoslosvectoresBenV,talque(T2-c2I)/iestá
cnW.EntoncesV2esinvarianteporSF.AplíqueseellemaanterioralTeore-
ma5aU3,restriccióndeT3aV2.Sisesigueasísellegaaobtenerunvector
oz=/i,(noenW)talque(T¡-cl-I)aestáenW,j=1, r.I
.,,
Teorema7.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poF.SeaSFunafamiliaconmutativadeoperadoreslinealestriangulablessobre
V.ExisteunabaseordenadadeVtalquetodooperadordefr'estárepresentado
porunamatriztriangularenesabase.
Demostración.Dadoellemareciéndemostrado,esteteorematienela
mismademostraciónqueladadaparaelTeorema5,siseremplazaTporSF.I
Corolario.SeaSFunafamiliaconmutativadematrieesn›<nsobreuncuer-
poFalgebraicamentecerrado.ExisteunamatrizP,nosingular,n›<n,conele-
mentosenF,talqueP"*APestriangularsuperior,paracadamatrizAenSF.
Teorema8.SeaSFunafamiliaconmutativadeoperadoreslinealesdiago-
nalizablesenelespaciovectorialVdedimensiónfinita.Existeunabaseordenada
deVtalquetodooperadorde5estárepresentadoenesabaseporunamatriz
diagonal.
Demostración.Sepuededemostraresteteoremausandoellemaanterior
alTeorema7paraelcasodiagonalizable,deigualmodocomoseadaptóel
lemaanterioralTeorema5parademostrarelcasodiagonalizableparaelTeore-
ma6..Sinembargo,aestaalturaesmásfácilprocederporinducciónsobrela
dimensióndeV.
SidimV=1,nohaynadaquedemostrar.Supóngasequeelteoremaes
válidoparaespaciosvectorialesdedimensiónmenor.quenyseaVunespacio
vectorialdedimensiónn.ElíjasecualquierTenEFquenoseaunmúltiploescalar

224. l"m'nm.\'t'unónt`t'u.\'¢'l¢'tm°tIlul¢'.ï 207
delaidentidad.Seancl,...,chlosvalorespropiosdistintosdeT,y(paracadai)
seaW,-elespacionulode(T-c,I).Sefijauníndicei.Entoncesesinvariante
porcadaoperadorqueconmutaconT.SeaSF,lafamiliadeoperadoreslineales
enI/V,queseobtieneporlarestriccióndelosoperadoresdeEFalsubespacio
(invariante)W,.CadaoperadordeSF,esdiagonalizable,porquesupolinomio
minimaldividealpolinomiominimaldelcorrespondienteoperadorenSF.Como
dimW,<dimV,losoperadoresenSF,puedendiagonalizarsesimultáneamente.
Estoes,W,tieneunabaseG3,queconstadevectoresquesonsimultáneamente
vectorespropiosparacadaoperadoren5,.
ComoTesdiagonalizable,ellemaanterioralTeorema2dicequeG3=
(031,__.,G3,,)esunabaseparaV.Esaeslabasequesebuscaba.I
Ejercicios
I.HallarunamatrizrealinversiblePtalqueP`1APyP`*BPseanambasdiagonales,
dondeAyBsonlasmatricesreales
(a) A=L1) B=[3Í]
et:11»es:1-
2.Sea5unafamiliadematricescomplejas3x3queconmutan.¿Cuántasmatrices
linealmenteindependientespuedetenerEF?¿Quésepuededecirdelcasonxn?
3.SeaTunoperadorlinealenunespaciodedimensiónnysupóngasequeTtienenvalo-
respropiosdistintos.DemostrarquetodooperadorlinealqueconmutaconTesunpoli-
nomioenT.
4.SeanA,B,CyDmatricescomplejasnxnqueconmutan.SeaElamatriz2n›<Zn
AB
E_[CD:|.
DemostrarquedetE=(AD-BC).
S.SeanFuncuerpo,nunenteropositivoyVelespaciodelasmatricesn›<nsobreF.
SiAesunamatrizn›<nfijasobreF,seaT,eloperadorlinealsobreVdefinidoporT,,(B)=
AB-BA.ConsiderarlafamiliadeoperadoreslinealesT¿queseobtienehaciendovariar
Asobretodaslasmatricesdiagonales.Demostrarquelosoperadoresdeesafamiliason
simultáneamentediagonalizables.
6.6.Descomposicionesensumadirecta
Alcontinuarconelanálisisdeunoperadorlinealsedebenformularlas
ideasdeunmodoalgomásrefinado-menosentérminosdematricesymás
enténninosdesubespacios.Cuandocomenzamosestecapítulo,describimos
supropósitodelsiguientemodo:encontrarunabaseordenadaenlacualla
matrizdeTtomaunaformaespecialmentesimple.Ahoradescribiremosnues-

225. .'08 _.ll_ug¢-lvmlim-al
tropropósitocomosigue:descomponerelcspm.-mImscVenunasuinadesub-
espaciosinvariantesparaTtalquelosoperadoresrestricción11esossubespatcios
seansimples.
Definición.SeanW1,_..,Wksubespaciosdeunespaciorecmr:`alV.Se
dicequeW¡,___,WRsonindependientessi
a1+----+a,,=O, a,enW,
implicaquecadaoc,es0.
Parak=2,elsentidodelaindependenciaeslaintersección{O};esdecir,
W,yW2sonindependientessi.ysolosi,W,(NW2={0}_Sik>2,laindepen-
denciadeW1,___,W,,dicemuchomásqueW,(N---(NW,,=-¦0}.Diceque
cadaW¡encuentralasumadelosotrossubespaciosI/V,soloenelvectornulo.
Elsignificadodeindependenciaeselsiguiente.SeaW1+~'~+W,,el
subespaciogeneradoporWI,.__,Wk.CadavectorocdeWpuedeserexpre-
sadocomosuma
aïa1+°"+ak, aienpí/vi.
SiWI,___,W,,sonindependientes,entoncesesaexpresióndeozesúnica;en
efecto,si
0f=B1+"°+fik› Bien"/i
entonces0=(oz,-B1)+ +(ak-fik),luegoai-/i,-=0,i=1,_..,k.
Asi.siWI,_._,W,,sonindependientes,sepuedeoperarconlosvectoresdeW
comok-tuples(al,.__,ak),conaienW,-,enlamismaformacomoseopera
conlosvectoresdeR*comok-tuplesdenúmeros.
Lema.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinita.SeanW,, W,,
subespaciosdeVyseaW=W,+-°'+Wk.Lassiguientesa/'irnutcionesson
equivalentes.
(a)WI, WRsonindependientes.
(b)Paratodo_¡`,25j5k,setiene
W,.n(W,+---+W,-_,)=
(c)Si(B,esunabaseordenadadeW¡,l5i:Sk,entonceslasucesión(B=
(031,___,Gšk)esunabaseordenadaparaW.
›~\'«
O
H»-f
I
Demostración.Supóngase(a).SeaaunvectordelaintersecciónVI/¡H
(W,+'''+W,-_¡)_Entoncesexistenvectoresal,__.,ot,-_¡conoz,enW,tales
quea=al+-'°+oz,-_¡.Como
0f1"l""'+01;-1-l'.(“"0!)+0+'°'+0=0
ycomoW¡,...,W,,sonindependientes,debetenersequeal=12---=
aj_l ïa10.
Ahoraobsérveseque(b)implicaa(a).Supóngase
0=a|+'°°+ak, a¡en VI/¡.

226. I-'m'ma.s¢-umlnlcm'rlmtmtuli-.v 20')
Seaiclmayorenteroitalqueoc,qé0.Entonces
0=a,+---+a,-_ f1,-=#0-
Así,oc,-=-al-----cx,-_,,esunvectornonuloenW,-(HW,++W,-_1)_
Ahoraquesabemosque(a)y(b)sonequivalentes,veamosporqué(a)y(c)
sonequivalentes.Supóngase(a).SeaQ,unabaseparaWi,15i3k,ysea
Q=(Q`,,___,Q,,)_CualquierrelaciónlinealentrelosvectoresdeQtendrá
laforma
B1+"°+Bk=0
dondeB,esciertacombinaciónlinealdelosvectoresenQ,_ComoWI,___,W,,
sonindependientes,cadaB,es0.ComocadaQ,esindependiente,larelación
quetenemosentrelosvectoresenQeslarelacióntrivial.
Sedejalademostraciónque(c)implica(a)paralosejercicios(Ejercicio2)-I
Sicualquiera(y,portanto,todas)delascondicionesdelúltimolemase
cumple,sedicequelasumaW=W,,+'"+W,,esdirectaoqueWesla
sumadirectadeWl,___,W,,,yseescribe
W:W,@_..@W,_
Enlaliteraturapertinenteellectorpuedeencontrarestasumadirectacomo
sumaindependienteosumadirectainternadeWI,___,W,,_
Ejemplo11.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poFysea{a1,___,a,,}unabasedeV.SiW,eselsubespaciounidimensional
generadopora¡,entoncesV=W,®---EBW,,_
Ejemplo12.SeanunenteropositivoyFunsubcuerpodelosnúmeros
complejos,yseaVelespaciodetodaslasmatricesnxnsobreF.SeaW,el
subespaciodetodaslasmatricessimétricas,esdecir,matricesAtalesqueA'=A.
SeaW2elsubespaciodetodaslasmatricesantìsimétricas,esdecir,matricesA
talesqueA'=-A.EntoncesV=W,EBW2.SiAescualquiermatrizdeV,
laexpresiónúnicaparaAcomosumadematrices,unaenW,ylaotraenWz,es
A=A1-I-A2
A1=%(Á-I-A')
A2=É-(A-A').
Ejemplo13.SeaTcualquieroperadorlinealsobreunespacioVdedi-
mensiónfinita_Seancl,___,c,,losvalorespropiosdistintosdeT,yseaW,el
espaciodelosvectorespropiosasociadosalosvalorespropiosci.Entonces
WI,___,Wksonindependientes.VéaseellemaanterioralTeorema2.Enpar-
ticular,siTesdiagonalizable,entoncesV=W,EB--~GBW,.
Definición.SiVesunespaciovectorial,unaproyeccióndeVesunoperador
linealEsobreVtalqueE2=E.

227. Íla ÁlR¢'hI'|tl|m'ul
SupóngasequeEseaunaproyección.SeaRlaimagende1;'yseaNeles-
pacionulodeE.
l.ElvectorBestáenlaimagenRsi,ysolosi,EB=B.SiB=Ea,en-
toncesEB=Eza=Ea=B.Recíprocamente,siB=EB,entonces(natural-
mente)BestáenlaimagendeE.
2.V=R®N.
3.Laexpresiónúnicadeot,comosumadevectoresenRyenN,es
a=Ea+(a-Ea).
De(1),(2)y(3)esfácilverlosiguiente.SiRyNsonsubespaciosdeVtales
queV=R®N,existeun,ysoloun,operadorproyecciónEquetienepor
imagenRyporespacionuloN.EsteoperadorsellamaproyecciónsobreRsegún
oparalelamenteaN.
CualquierproyecciónEes(trivialmente)diagonalizable.Si{a,,___,a,}
esunabasedeRy{a,+,,...,a,,}esunabasedeN,entonceslabase
Q={a¡,,oz,,}diagonalizaaE:
[Elm=
dondeIeslamatrizunidadr›<r.Estoayudaráaexplicarpartedelatermino-
logíarelacionadaconlasproyecciones.Ellectordeberáverlasdiferentessi-
tuacionesenelplanoR2(oelespaciotridimensional,R3),paraeonvencerse
dequelaproyecciónenR,segúnN,aplicatodovectorenRporproyección
paralelaaN.
Lasproyeccionespuedenserempleadasparadescribirlasdescomposició-
nesensumadirectadelespacioV.Enefecto,supóngasequeV=W,GB---EBW,,.
ParatodojsedefineunoperadorEjsobreV.SeaaenV,v.g.,oz=al+-°'+ak,
conoz,enW,.DefïnaseE,-a=oz,-_EntoncesE¡esunaleybiendefinida.Esfácil
verqueEjeslineal,quelaimagendeE¡esW,yqueEf=E¡_Elespacionulo
deEJ-eselsubespacio
(W1+°'° +W¡-1+W¡+1+ +Wx)
enefecto,laafirmacióndequeE¡oz=0solodicequea,-=0;esdecir,queozes
efectivamenteunasumadirectadevectoresdelosespaciosW,,coni=;êj.En
términosdelasproyeccionesE¡,setiene
(6-13) a=E1a+ -l-Eka
paratodoadeV.Loque(6-13)diceesque
I=E1-l' +Ee-
Obsérvesetambiénquesiiaéj,entoncesE,E_,-=0,yaquelaimagendeEjes
elsubespacioW¡,contenidoenelespacionulodeE,_Seresumeahoralodicho
yseenunciaysedemuestraunrecíproco. *

228. l"m'nm.\cuminicusclcntentatli-.\' 2/I
Teorema9.SiV=W,G9°--G9Wk,entoncesexistenkoperadoreslinea-
lesE1,__.,EhsobreVtalesque
(i)todoE,-esunaproyección(Ef=E¡);
(il)E¡E¡=0sii
(iii)I=E¡+'°'+E,,;
(iv)laimagendeE,esW,.
Recíprocamente,siE1,___,E*sonlosoperadoreslinealesquesatisfacenlas
condiciones(i),(ii)y(iii)ysisehacequeW,sealaimagendeE,,entoncesV=
W1®...@Wk_
Demostración.Solosenecesitaprobarelrecíproco.SupóngasequeE1,___,Eh
sonoperadoreslinealessobreVquesatisfacenlastresprimerascondiciones
yseaW,laimagendeE,_Entonces,claramente
V=W1+ +We;
enefecto,porlacondición(iii)setiene
a=E¡a-|- -I-Eka
paratodoadeVyE,aestáenW,-_Estaexpresióndeozesúnica,puessi
01-`=011+'''-l'at
conoz,enWi,v.g_,ai=E¡B¿,entonces,por(i)y(ii)setiene
tt
E,-a=EE,-oz;
i=1
lt
=2EƒEal'3.'
i=l
=E335
=Effif
=a,-_
EstomuestraqueVeslasumadirectadelosW,.I
Ejercicios
I.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitayseaW,unsubespaciodeV.Demos-
trarqueexisteunsubespacioW,deVtalqueV=W,G3W,.
2.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitayseanW,,___,WksubespaciosdeV
talesque
V=W1+'°°+Wk y
DemostrarqueV=W,GB---GBW,.

229. fl.) ._-IÍ_\'t'lH'tIÍtmïll
3.IlaII:uunaproyeccionI-_'queprovccleR3sobreelsubespaciogenerandopor(I,I)
segunelsubespaciogeneradopor(l,2).
4.Sila',yl:`¿sonproyeccionessobresubespaciosindependientes.entoncesIf,flI-_',es
unaproyeccion.¿lisverdaderoofalso?
5.Sil;`esunaproyeccióny_/'unpolino1nio_entonces/(E)=al+bli.¿Quesonuylv
cnterminosdeloscoeficientesde/'_'
6.Siunoperadordiagonalizabletienesololosvalorespropios0ylesunaproyeccion
,'_l-._sonocierto?
7.DemostrarquesiEeslaproyeccióndeRsegúnN.entonces(I-E)eslaproyeccion
enVsegúnR.
8.SeanE,,_____E,operadoreslinealessobreelespacioVdemodoqueE,+'-~+E,=l.
la)DemostrarquesiE,-E,=0,para¡ak¡_entoncesEf=E,-_paracada¡_
(h)Enelcasolc=2.demostrarelrecíprocode(a).Estoes,siE,+E2=l,ademas
l-If=E,yEf=E2.entoncesE,E2=0.
9.SeanVunespaciovectorialrealyEunoperadorlinealidempotenteenV,esdecir,
unaproyección-Demostrarque(I+E)esinversible.Hallar(I+E)T'.
I0.SeaFunsubcuerpodelosnumeroscomplejos(ouncuerpodecaracteristicacero).
SeaI'unespaciovectorialdedimensiónfinitasobreF_SupóngasequeE,____,E,sonpro-
yeccionesdeVyqueE,+-'-+E,=I.DemostrarqueE,-E,=0.paraiqé¡`_(Suge-
rencia:Usarlafuncióntrazaypreguntarsequeeslatra7adeunaproyección.)
II.SeaI'unespaciosectorial.seanW,.____H',subespaciosdeI'yconsidéreseque
V,-=W1+ +W,-_1+W,+1+ +Wi.
SupóngasequeV=H',GB--- _Demostrarqueelespacioduall'*tieneladescom-
posiciónensumadirectaV*= -GBl',f*_33@eaE
6.7.Sumasdirectasinvariantes
Estamosinteresadosespecialmenteendescomposicionesensumadirecta
V=W,G9---GBW,,,dondecadaunodelossubespaciosW,esinvariante
bajounoperadorlinealTdado.DadataldescomposicióndeV,Tinduceun
operadorlinealT,sobrecadaW,porrestricción.ElefectodeTesentonces
elsiguiente.SiozesunvectordeV,setienenvectoresúnicoso<,_____ak.con
oz,enW,,demodoque
0l=¢11“l“""l“¢1k
yentonces
Ta=71101+'°'+71;,-C11,-_
EstasituaciónsedescribirádiciendoqueTeslasumadirectadelosoperadores
T,,___,T,,.Alusarestaterminología,deberecordarsequelosT,nosonope-
radoreslinealessobreelespacioV,perosísobrelosdistintossubespaciosW,.
ElhechodequeV=W,G9---GBW,permiteasociaracada1enVunk-tuple
único(-1,,___,fz,)devectorescx,enW,(porcx=az,+---+fz,)demodoque

230. lfornms'mnónnuseli-nn-nmli-.s 2l3
podamosefectuarlasoperacioneslinealesenVtrabajandoen-lossubespacios
individualesW,.ElhechodequecadaW,seainvarianteporTpermiteconsi-
derarelefectcdeTcomoefectoindependientedelosoperadoresT,sobrelos
subespaciosW,.NuestropropósitoahoraesestudiarT,encontrandolades-
composiciónensumadirectainvarianteenquelosT,sonoperadoresdeuna
naturalezaelemental. -'
Antesdeverunejemplo,observemoselanálogomatricialdeestasitua-
ción.SupóngasequeseleccionamosunabaseordenadaQ,paracadaW,ysea
QlabaseordenadadeVconstituidaporlaunióndelasQ,dispuestasenel
ordenQ,____,'B,,.demodoqueQseaunabaseparaV.Delestudioreferente
alanálogomatricialparaunsubespacioinvariantesimple,esfácilverquesi
A=[T](ByA,=[T,](B,,entoncesAtienelaformabloque
A,0 O
(644) A:0A2 0_
O0 A1.
En(6-14)A,esunamatrizd,xd,(d,=dimW,),ylos0sonsimbolosparalos
bloquesrectangularesconescalares0devariasdimensiones.Estambiénapro-
piadodescribir(6-l4)diciendoqueAeslasumadirectadelasmatrices
A,-,___,A,,.
MásamenudodescribiremoselsubespacioW,pormediodelasproyec-
cionesasociadasE,(Teorema9).Portanto,senecesitaexpresarlainvarianza
delsubespacioW,entérminosdelosE,.
Teorema10.SeaTunoperadorlinealsobreelespacioVyseanW,,___,W,y
E,,___,E,comoenelTeorema9.Entoncesunacondiciónnecesariaysuficiente
paraquecadasubespacioW,seainvarianteporTesqueTconmuteconcadauna
delasproyeccionesE,-:esdecir,
TE,=E,T_ i=l__.__k_
Demostración.SupóngasequeTconmuteconcadaE,_SeaaenW,-_Enton-
cesE¡oz=oz.y `
Ta=T(E_,-oz)
=EÁTOI)
quemuestraqueTaestáenlaimagendeE1-,esdecir,queW,esinvarianteporT.
SupóngaseahoraquetodoW,esinvarianteporT.Sehadedemostrarque
TE,=E,-T.SeaacualquiervectordeV.Entonces
a=E¡a-I- -I-Eka
Ta=TE1a-I-----I-TE;,a_
ComoE,-ocestáenW,,queesinvarianteporT,sedebetenerqueT(E,a)=E,-B,
paraciertovectorB,.Entonces
E¡TE¿a =EjE¿fi¿
={0,sii;-fj
Ejfij, Si1:=

231. 214 .illga-lvrulmcitl
Conloque
E¡Ta =E¡TE1a +°°'+1!.l¡TÍ'i¡,a
=E1131'
=TE¡a.
EstovaleparacadaozdeV,oseaE,-T=TE,-_I
DescribiremosahoraunoperadordiagonalizableTenellenguajedelas
descomposicionesensumadirectainvariante(proyeccionesqueconmutancon
T).Estoserádegranutilidadparaentenderdespuésunosteoremasdedescom-
posiciónmásprofundos.Ellectorpuedepensarqueladescripciónqueseha
dadoesmuycomplicada,encomparaciónconlaformulaciónmatricialola
simpleafirmacióndequelosvectorespropiosdeTgeneranelespaciototal.
Perosedebetenerpresentequeestaeslaprimeraexperienciaconunmétodo
muyefectivopormediodelcualvariosproblemasconcernientesasubespacios.
bases,matricesyentessimilarespuedenreducirseacálculosalgebraicoscon
operadoreslineales.Conunpocodeexperiencia.laeficaciayeleganciadeeste
métododerazonamientollegaránaserclaras.
Teoremall.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciodedimensiónfinita
V.SiTesdiagonalizableysic,,___,c,,sonlosvalorespropiosdistintosdeT,
entoncesexistenoperadoreslinealesE,,___,E,,enVtalesque
(i)T=c,E,+ +c,,E,,;
(ii)I:E,+---+E,,;
(iii)E,E,=0.iaëÍ;
(iv)E,2=E,(E,esunaproyección):
(v)laimagendeE,eselespaciopropiodeT,asociadoac,_
Recíprocamente,siexistenkescalaresdistintosc,,___,c,,ykoperadores
linealesnonulosE,,___,E,,quesatisfacen(i),(ii)y(iii),entoncesTesdiagona-
lizable,c,,___,c,,sonlosvalorespropiosdistintosdeTylascondiciones(iv)y(v)
tambiénsecumplen.
Demostración.SupóngasequeTesdiagonalizable,convalorespropios
distintosc,,___,c,,.SeaW,elsubespaciodelosvectorespropiosasociados
alvalorpropioc,_Comosesabe.
V=W1@"°@Wt_
SeanE,,___,E,,lasproyeccionesasociadasconestadescomposición,como
enelTeorema9.Entonces(ii),(iii),(iv)y(v)secumplen_Paraverificar(i)se
procedecomosigue.ParacadaaenV,
G=E1a+ "'"l'I$,¡¢(X
yasí,
T0l=TE10l-l' -l-TEka
=C1E1(I+ -I-0kE¡(l.
Enotraspalabras,T=c,E,+~-~+c,E,,_

232. Furmmmmmicuselerni-ntulvs 2l5
AhorasupóngasequetenemosunoperadorlinealTjuntoconescalares
c,distintosyoperadoresnonulosE,quesatisfacenlascondiciones(i),(ii)y(iii).
ComoE,E,=0,cuandoi=/=j,multiplicandoambosmiembrosdeI==E,+---
+E,,porE,,setienedeinmediatoqueEf=E,_MultiplicandoT=c,E,+
'--+c,,E,,porE,setieneentoncesqueTE,=c,E,,loquemuestraquecada
vectordelaimagendeE,estáenelespacionulode(T-c,_I)_Comosehasu-
puestoqueE,ql-0,estodemuestraqueexisteunvectornonuloenelespacio
nulode(T-c,I),esdecir,quec,esunvalorpropiodeT_Además,losc,son
todoslosvalorespropiosdeT;enefecto,sicesotroescalarcualquiera,entonces
T-cI=(c1-c)E,-l---- +(c¡.-c)E;.
conloquesi(T-cI)a=0,sedebetenerque(c,-c)E,a=0.Sioznoesel
vectornulo,entoncesE,-oz9€0,paraalgúni,conloqueparaeseisetieneque
c,~C=0.
CiertamenteTesdiagonalizable,yaquesehavistoquetodovectornonulo,
delaimagendeE,,esunvectorpropiodeT,yelqueI=E,+°'-+E,,mues-
traqueestosvectorespropiosgeneranV.Todoloquequedapordemostrar
esqueelespacionulode(T-c,T)esexactamentelaimagendeE,_Peroesto
esevidente,porquesiTa=c,aentonces
tt
_2l(Cj_C¡)E¡-Oz=0
3%
luego
(C,-¢;,)_E',-a=0paracadaj
yentonces
E%a'==0, _f7¿i.
Comooc=E,a+--'+E,,ayE,-a=0,parajaéi,setienequeoz=E,a,lo
quedemuestraqueozestáenlaimagendeE,_I
UnapartedelTeorema9dicequeparaunoperadordiagonalizableTlos
escalaresc,,___,c,,ylosoperadoresE,,___,E,,estánunívocamentedetermi-
nadosporlascondiciones(i),(ii),(iii),porserlosc,distintosyporquelosE,son
nonulos.UnadelasventajasmásnotablesdeladescomposiciónT=c,E,+
~~-+c,,E,,esquesigescualquierpolinomiosobreelcuerpoF,entonces
¶(T)=¶(c1)E1++9(ct)Et.
Dejamoslosdetallesdelademostraciónallector.Paravercómosedemuestra
debecalcularseT'paracadaenteropositivor.Porejemplo,
lt Í:
iT2== 2i¢REh zitäfib
t=1 ¡=1
lrlr
= C¡C¡E¡E¡
z=l3=]
lr
=E¿Ef
t'=l
I:
=ECiEi-
t=1

233. Ílô .-ll_i¦rl›mltm-ul
Illectordebecompararestocongt.-I).donde_-Iesunamatri/diagonal;enese
casogl.-llessimplementelamatri/diagonalcuyoselementosdeladiagonal
son,el/lil)._____i,'(A,,,,)_
Querriamosenparticularhacernotarquepasacuandoscaplicanlospoli-
nomiosdeLagrangccorrespondientesalosescalaresc,_ c,,;
s
_= (rc-c.)_
pjgr(C1_'Ci)
Setienep,(c,)=o`,,,loquequieredecirque
le
l7J`(T)=_§1ôijEt
=Ej.
AsílasproyeccionesE,nosoloconmutanconT.sinoquetambiénsonpoli-
nomiosenT.
lalescálculosconlospolinomiosenTpuedenserusadosparadarotra
demostracióndelTeorema6quecaracterizalosoperadoresdiagonalizables
enterminosdesuspolinomiosminimales.Lademostraciónesenteramente
independientedelaanterior.
SiTesdiagonalizable.I'=c,-E,+'''+c,,E,,_entonces
9(T)=9(C1)E1+'°'"l"9(C1=)EI=
paratodopolinomiog.Asíg(T)=0si,ysolosi,g(c,)=0.paratodo¡_Enpar-
ticular,elpolinomiominimaldeTes
P=(fC-C1)'°'(fC-CI=)-
AhorasupóngasequeTseaunoperadorlinealconpolinomiominimal
¡›=(x~c,)---(x-c,,),dondec,,___,c,,sonelementosdistintosdelcuer-
poescalar_SeformanlospolinomiosdeLagrange
___(17_C1)
pj gj(C¡'_Ci)
RecordemosdelCapítulo4quep,(c,)=6,,yparacualquierpolinomiogde
gradomenoroiguala(k-I)tenemos
9=9(c1)P1++9(vt)P›«-
Tomandogcomoelpolinomioescalarlyluegoelpolinomiox,tenemos
_ 1=
(M5) fc~Zi›++++pi:p_, ,,__
(Ellectoradvertidonotaráquelaaplicaciónaxpuedenoserválida.puesk
puedeserl.Perosik=I,Tesunmúltiploescalardelaidentidad.portanto_
diagonalizable.)AhoraseaE,=p_,-(T).De(6-15)tenemos
=E1+"°+Ek, I
T=C1E1+'°°+Cklflk.

234. l"nrnm.\mnonn-us'clctm'tmtl¢'.s 217
Obsérvesequesti#=/'_entoncesp,p,esdivisibleporelpolinomiominimalp,
puesp,p_,contieneacada(x-c,)comofactorAsí,
(li-17) EtE¡=0, 'i75
Debemosnotarunaspectomás.asaber,queE,9':0,paratodoi.Estoes
porquepeselpolinomiominimaldeTyasínopodemostenerquep,(T)=0,
yaquep,esdegradomenorqueelgradodep.Esteúltimocomentario,junto
COU(Ó-16),(Ó-17)YClheCh0deque¡OSC.-sondistintos,permiteaplicarelTeo-
remallparaconcluirqueTesdiagonalizable.I
Ejercicios
l.SeaEunaproyeccióndeVyseaTunoperadorlinealsobreV.Demostrarquelaima-
gendeEesinvarianteporTsi,ysolosi.ETE=TE.Demostrarqueambos,laimagen
yelespacionulodeE,soninvariantesporTsi,'ysolosi,ET=TE.
2.SeaTeloperadorlinealsobreR2,cuyamatrizenlabaseordenadacanónìcaes
[21'
02_'
SeaW,elsubespaciodeR2generadoporelvectore,=(1_0)_
(a)DemostrarqueW,esinvarianteporT,
(b)DemostrarquenoexisteunsubespacioW,queesinvarianteporTyquees
complementariodeW,:
R2=W,Et)W2.
(CompararconelEjercicio1delaSección6_5)_
3.SeaTunoperadorlinealsobreun'espaciovectorialdedimensiónfinita.SeaRlaima-
gendeTyseaNelespacionulodeT.DemostrarqueRyNsonindependientessi,ysolo
si.V=REBN.
4.SeaTunoperadorlinealsobreV.SupóngasequeV=W,(9---G9W,_dondecada
W,esinvarianteporT.SeaT,eloperadorinducido(restricción)sobreW,.
(a)Demostrarquedet(T)=det(T,)--~det(T,,)_
(b)DemostrarqueelpolinomiocaracterísticodeTesproductodelospolinomios
característicosdeT,,___,7),.
(c)DemostrarqueelpolinomiominimaldeTeselmínimocomúnmúltiplodelos
p0lin0miOSminimalesdeT,,___,Th.(sugerettcirrgDemostraryemplearelhechocorreg-
pondienteparasumasdirectasdematrices.)
5.SeaTeloperadorlinealdiagonalizablesobreR2queseexaminóenelEjemplo3de
laSección6.2.UsarlospolinomiosdeLagrangeparaescribirlamatrizrepresentanteA
enlaformaA=E,+2E2,E,+E2=I,E,E2=0.
6.SeaAlamatriz4›<4delEjemplo6delasección6.3.HallarlasmatricesE,,E2,E,
dcmodoqueA=c,E,+¢-¿E2+c3E¿,,E,+E2+E_,=IyE,-E,=0,i+¡_
7.EnlosEjercicios5y6,obsérveseque(paratodoi)elespaciodevectorespropiosasocia-
dosconelvalorpropioc,esgeneradoporlosvectorescolumnadelasmatricesE,coniql=i.
¿_Esunacoincidencia?

235. 2IN Á¡gi-hmIlmwl
8.SeaI'unoperadorlinealsobreVqueconmutacontodooperadorproyecciónsobreV.
¿QuesepuededecirdeT?
9.SeaVelespaciovectorialdelasfuncionesrealescontinuassobreelintervalo[~l.I]
delejereal.SeaW',elsubespaciodelasfuncionespares,f(-x)=f(x),yseaW,elsubes-
paciodelasfuncionesimpares,f(-x)=--f(x).
(a)DemostrarqueV=W',EBW,.
(b)SiTeseloperadorintegraciónindefinida
<mw=fme
¿sonWPyW,invariantesporT?
6.8.Teoremadedescomposiciónprima
EstamostratandodeestudiarunoperadorlinealTsobreelespacioVde
dimensiónfinita,pordescomposicióndeTensumadirectadeoperadoresque
sonenciertosentidoelementales.Estosepuedehacer,enciertoscasosespeciales,
pormediodelosvalorespropiosylosvectorespropiosdeT;esdecir,cuando
elpolinomiominimaldeTsepuedefactorizarsobreelcuerpodelosescalares
I-`comoproductodepolinomiosmónicosdistintosdegrado1.¿Quésepuede
hacerenelcasodelTgeneral?SiseestudiaT'usandolosvalorespropios,tene-
mosdosproblemas.Primero,Tpuedenotenerunvalorpropiosimple;esto
esrealmenteunadeficienciadelcampoescalar,asaber:quenoesalgebraicamente
cerrado.Segundo,inclusosielpolinomiocaracterísticosepuedefactorizar
completamentesobreF,comoproductodepolinomiosdegrado1,puedeser
quenohayasuficientesvectorespropiosparaTquegenerenelespacioV;esto
cs,obviamente,unadeficienciadeT.Lasegundasituaciónquedailustradapor
eloperadorTenF3(Fcualquiercuerpo)representadoenlabasecanónìcapor
20 O
A=l2 O-
OO-1
ElpolinomiocaracterísticoparaAes(x-2)2(x+1)yesteestambiénelpo-
linomiominimalparaA(oparaT).AsíqueTnoesdiagonalizable.Seveque
estosucedeporqueelespacionulode(T-21)tienesolodimensión1.Por
otrolado,elespacionulode(T+I)yelespacionulode(T-2I)2,juntos,
generanV,siendoelprimero,elsubespaciogeneradopore3yelúltimo,elsub-
espaciogeneradoporelyez.
Esteserámásomenoselmétodogeneralparaelsegundoproblema.Si(re-
cuérdesequeesunasuposición)elpolinomiominimaldeTsedescomponeen
p:(1:_cl)f|...(3:_..ck)1'|›
dondecl,...,c,,sonelementosdistintosdeF,entoncesseveráqueelespacio
Vessumadirectadelosespaciosnulosde(T-c,.I)",i=1,...,k.Lahipó-

236. I-'ormusmmonirus¢'l¢'tm'ntul¢'.r -fl"
tesisparapesequivalentealhechoqueTestriangulable(Teorema5);sinem-
bargo,eseconocimientonovaaayudar.
Elteoremaqueseprobaráesmásgeneraldeloquesehadicho,yaquees
aplicableparaladescomposiciónprimadelpolinomiominimal,seanonosean
deprimergradotodoslosfactoresprimos.Leserádeprovechoallectorpensar
enelcasoespecialcuandolosfactoresprimossondegrado1,yaúnmáspar-
ticularmentepensarenlademostracióndeltipoproyeccióndelTeorema6,
uncasoespecialdeesteteorema.
Teorema12(teoremadeladescomposiciónprima).SeaTunoperador
linealsobreelespaciovectorialVdedimensiónfinitasobreelcuerpoF.Seap
elpolinomiominimaldeT,
p=pr---pr
dondelosp¡sonpolinomiosmónicosirreduciblesdistintossobreF,ylosrison
enterospositivos.SeaW,elespacio'nulodep¡'(T)",i=1,.._,k.Entonces
(Í)V:W1@"'@ Wir;
(ii)cadaE,esinvarianteporT;
(iii)siT,eseloperadorinducidosobreW,-porT,entonceselpolinomiomini-
maldeT,esp¦-".
Demostración.Laideadelademostracióneslasiguiente.Siladescom-
posiciónensumadirecta(i)esválida,¿cómosepuedendeterminarlaspro-
yeccionesE1,...,E,,asociadasaladescomposición?LaproyecciónE,será
laidentidadsobreW,ycerosobrelosotrosW,-.Seencontraráunpolinomio
h,talqueh,(T)eslaidentidadsobreW,yescerosobrelosotrosW,-,conloque
h,(T)+---+h,,(T)=I,etc.
Paratodoi,sea
fi= =HPi'-
Pzper
Comopl,_.-,Pisonpolinomialesprimosdistintos,lospolinomiosfl,...,fi
sonprimosrelativos(Teorema10,Capítulo4).Asíqueexistenpolinomios
gl,...,g,,talesque
11
21figi=1.
Nótesetambiénquesiiqéj,entoncesesdivisibleporelpolinomiop,pues
contieneacadap{,,"'comofactor.Sedemostraráquelospolinomiosh¿=
figisecomportandelmismomododescritoalcomienzodelademostración.
SeaE,=h¿(T)=_fl(T)g¡(T).Comohl+ +hk=1ypdividea
paraiqéj,setiene
_|_Ek=I
E¿E¡= 0, Si
ConloqueE,sonproyeccionesquecorrespondenaunadescomposiciónen
sumadirectadelespacioV.DeseamosahorahacerverquelaimagendeE,es

237. .'30 .-ll_t¦i-lunlun-ul
exactannenteelsubespacioll',-_lisclaroquecadavectordelaimagendeI-Q,está
cnll'¡;enefecto.si1estaenlaimagendel;`,.entoncesoz==l'.`,oiyasi
imWw=pMwma
=I'-('1')"f»-('l')s/.-(T)a
0
puesp"_/gg,esdivisibleporelpolinomiominimalp.Recíprocamente,supóngase
quefxestáenelespacionulodep,(T)".Sij=i,entonces_/Q-gjesdivisiblepor
pj',conloque_/,-(T)g¡(T)oi=0,esdecir,E,-cx=0paraj=#i.Peroentonces
esinmediatoqueE,-cx=cx,esdecir,que-cxestáenlaimagendeE,-_Estocom-
pletalademostracióndelaparte(i)delatesis.
lisclaroquelossubespaciosW,soninvariantesporT.SiT,eseloperador
inducidoenW,porT,entoncesevidentementep¿(T,-)"'=O,yaque,pordefini-
ción,p,.(T)"=0enelsubespacioW,-.Estomuestra-queelpolinomiominimal
deI`,-divideap{".Recíprocamente,seagcualquierpolinomiotalqueg(T,~)=O.
Iíntonccsg(T)f¿(T)=0.Conloquegf¡esdivisibleporelpolinomiominimalp
de1';esdecir,p{'fdivideagƒi.Esfácilverquep,ï'divideag.Luegoelpolino-
miominimaldeT,-espff.I
Corolario.SiE1,._.,E,,sonlasproyeccionesasociadasaladescomposi-
ciónprimadeT,entoncestodoE¡esunpolinomiodeT,_t'eneon.s-eeueneiu,siun
operadorlinealUconmutaconT.entoncesUconmutaconcadaunodelosEi;
esdecir,cadasubespacioW,esinvarianteporU.
ConlanotacióndelademostracióndelTeoremaI2,consideremoselcaso
especialenqueelpolinomiominimaldeTesunproductodepolinomiosde
primergrado;esdecir,elcasoenquecadap,-esdelaformapi=x-e,-.Ahora
laimagendeE,eselespacionuloW,.de(T-c,.I)".HágaseD=c,E,+°°°+
r,,E,,.PorelTeoremall.Desunoperadordiagonalizablequesellamalaparte
diagonalizabledeT.ConsidéreseeloperadorN=T-D.Ahora
T=Tlfli+ -I-TE).
D=CIE1-l" -l-CkEk
asi
N=(r-anm+~~+¢T-amm.
l-Íllectordebeestaryalosuficientementefamiliarizadoconlasproyecciones
paraverahoraque
N2=(T_C1I)2E1+'''+ _Ci-I)2Ek
y.engeneral,que
N'=(T-¢i1>†1›u++(T-aim.
Cuandor2riparacadai,setendráqueN'=0.yaqueeloperador(T-e,.l)'
seráentonces0enelrecorridodeE,-_
Definición.SeaNunoperadorlinealsobreelespaciorectoría/V.Sedice
queNesnilpotentesiexisteunenteropositirortalqueN'=0.

238. l"m'tmt.\i'utmIln'u.\'t'lt'tm'tthtli'.\ 22'
TeoremaI3.SeaTunoperadorlinealsobreelespaciovectorialVdedi-
mensión_/'initasobreelcuerpoF.SupóngasequeelpolinomiominimaldeTse
descomponesobreF,enproductodepolinomioslineales.Entoncesexistenun
operadordiagonalizableDsobreVyunoperadorNnilpotentesobreVtalesque
m)DN==ND.
EloperadordiagonalizableDyeloperadornilpotenteNestánunívocamente
determinadospor(i)y(ii),ycadaunodeellosesunpolinomiodeT.
Demostración.AcabamosdeobservarquesepuedeescribirT=D+N.
dondeDesdiagonalizableyNnilpotente,ydondeDyNnosoloconmutan,
sinoquesonpolinomiosdeT.SupóngaseahoraquetambiéntenemosT=D'+
N',dondeD'esdiagonalizable,N'nilpotenteyD'N'=N'D'.Demostrare-
mosqueD=D'yN=N'.
ComoD'yN'conmutanentresíyT=D'+N',sevequeD'yN'con-
mutanconT.Así,D'yN'conmutanconcualquierpolinomiodeT;luego
conmutanconDyconN.Ahoratenemos
o+N=U+N'
0
D-o=M-N
ytodosestoscuatrooperadoresconmutanentresi.ComoDyD'sonambos
diagonalizablesyconmutan,sonsimultáneamentediagonalizables,yD-D'es
diagonalizable.ComoNyN'sonnilpotentesyconmutan,eloperador(N'-N)
esnilpotente;enefecto,comoNyN'conmutan
(N'-Nr=gfço<N'›f¬<-Nro
yasí.cuandoressuficientementegrande,cadatérminoenestaexpresiónde
(N'-N)'seráO.(Enrealidadunoperadornilpotenteenunespaciodedimen-
siónndebetenersupotencian-ésima0;sisehacearribar=2n,serásuficien-
tementegrande.Sesigueentoncesquer=nessuficientementegrande,pero
estonoesobvioenlaexpresiónanterior.)AhoraD-D'esunoperadordia-
gonalizableytambiénnilpotente.Untal_operadoresevidentementeelopera-
dorcero,puescomoesnilpotente,elpolinomiominimaldeesteoperadores
delaformax'paraalgúnr5m;peroentonces,comoeloperadoresdiagona-
lizable,elpolinomiominimalnopuedetenerraicesrepetidas;luegor=1y
elpolinomiominimalessimplementex,loquedicequeeloperadores0.Con
loquesetienequeD=D'yN=N'.I
Corolario.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreuncuerpo
Falgebra¡camentecerrado,r.g.,elcuerpodelosnúmeroscomplejos.Entonces
todooperadorlinealTsobreVpuedeescribirsecomosumadeunoperadordiago-
nalizableD_t'unoperadornilpotenteNqueconmutan.EstosoperadoresD_t'N
sonúnicos_t'cadaunoesunpolinomiodeT.

239. 'Jha94 4l¡,'¢'l›ralmml
Porestosresultadosvequeelestudiodelosoperadr-reslinealesenun
espaciovectorialsobreuncuerpoalgebrancamentccerradoquedacsencialtnente
reducidoalestudiodeoperadoresmlpotentes.Paraespaciosvectorialessobre
cuerposnoalgebraicamentecerradossedehcencontrartodaviaunsustitutode
losvaloresyvectorespropios.Esunhechomuyinteresantequeestosdospio
blemaspuedentratarseenformasimultanea,yelloesloqueseharaenelpto
ximocapítulo.
Paraconcluirestasecciónqueremosdarunejemploqueilustrealgunas
delasideasdelteoremadedescomposiciónprima.Hemosprel`cridodarlo.il
linaldelasección,yaqueserefiereaecuacionesdiferencialesy,portanto,no
esexclusivamentedeálgebralineal.
Ejemplo14.Enelteoremadedescomposiciónprimanoesnecesarioque
elespaciovectorialVseadedimensiónfinita,niesnecesarioparalaspartes
(i)y(ii)quepseaelpolinomiominimaldeT.SiTesunoperadorlinealsohre
unespaciovectorialarbitrarioysiexisteunpolinomiomónicop,talque
¡›(T)=0,entonceslaspartes(i)y(ii)delTeorema12sonválidasparaTcon
lademostraciónquesehadado.
SeanunenteropositivoyseaVelespaciodetodaslasfuncionesfnveces
continuamentederivablessobreelejerealyquesatisfacenlaecuacióndiferencial
n dn--1 dl'
(tì-18) %+a,._i-(í¿;;:'-Í-l----+aiå+ai›ƒ=O
dondelosao,_._,a,,_1sonconstantesdadas.SiC,representaelespaciode
lasfuncionesnvecescontinuamentederivables,entonceselespacioVdelasso-
lucionesdeestaecuacióndiferencialesunsubespaciodeC,,.SiDrepresenta
eloperadorderivaciónypeselpolinomio
p=:1:"+a.._1:v"*"+---+a1;v+ai
entoncesVeselespacionulodeloperadorp(D),yaque(6-18)nodicemásque
p(D)f=0.Portanto,VesinvarianteporD.ConsidéreseahoraDcomoun
operadorlinealsobreelsubespacioV.Entoncesp(D)=0.
Siestamosconsiderandofuncionesderivablesdevalorescomplejos,enton-
cesC,,yVsonespaciosvectorialescomplejos,yao,...,a,,_1puedesercualquier
númerocomplejo.Escribimosahora
P==(Iv-01)"(21-co"
dondelosc,,...,c,,sonnúmeroscomplejosdistintos.SiWI-eselespacionulo
de(D-c,-1)",entonceselTeorema12diceque
V=W,®---(9W,..
Esdecir,sifsatisfacelaecuacióndiferencial(6-18),entoncesfquedaunívoca-
mentedeterminadoenlaforma
ƒ=.-_-_f¡+....|__fk
dondelasfsatisfacenlaecuacióndiferencial(D-c,-I)'1f¡=0.Asíelestudio

240. l-'armasramàntrmclrnicntali-s 22.!
delassolucionesdelaecuación(6-18)quedareducidoaldelespaciodesolu-
cionesdeunaecuacióndiferencialdelaforma
(ti-19) (D-cI)'j`=0.
I-Éstareducciónsehaefectuadoporlosmétodosgeneralesdelálgebralineal,
esdecir,porelteoremadedescomposiciónprima.
Paradescribirelespaciodesolucionesde(6-19),sedebeconoceralgores-
pectoalasecuacionesdiferenciales;estoes,sedebeconoceralgorespectoa
D.ademásdelhechodequeesunoperadorlineal.Esmuyfácildemostrar,
porinducciónsobrer,quesifestáenC,,entonces
(D-0137=¢°'D'(0"“f)
estoes,
-cf(t)=e°'åi-¿(e-°'f),ete.
Asi,(D-cl)'f=0si,ysolosi,D"(e"“ƒ)=0.UnafuncióngtalqueD'g=0,
esdecir,d'g/dt'=0,debeserunafunciónpolinomiodegrado(r-1)omenor
g(Z)=bo'l'bit“l”°°'+bf_~1É'"1-
Asíquefsatisface(6-I9)si,ysolosi,tienelaforma
=€“(b0+b1Í«+°°'+b,-_1t'_l).
Enconsecuencia,las«funciones››ef',te",...,t"_'e“generanelespaciode
solucionesde(6-19).Como1,t,._.,t"1sonfuncioneslinealmenteindepen-
dientes,ylafunciónexponencialnotieneceros,estasrfuncionestie",0;<_j3
r-l,formanunabasedelespaciodesoluciones.
Volviendoalaecuacióndiferencial(6-18),quees
P@M=0
P=@-m“~@-M"
sevequelasnfuncionest'"e'1",05m5rj-1,l5jSk,formanunabasedel
espaciodesolucionesde(6-18).Enparticular,elespaciodesolucionesesde
dimensiónfinitaytienedimensiónigualalgradodelpolinomiop.
Ejercicios
l.SeaTunoperadorlinealsobreR2representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matriz
6-3--2
4-1-2-
10-5-3
ExpresarelpolinomiominimalpdeTenlaformap=p¡p2,dondep,ypzsonpolinomios
mónicoseirreduciblessobreelcuerpodelosnúmerosreales.SeaW,elespacionulode
p,.(T).Hallarlasbases(B,paralosespaciosW,yW,.SiT,eseloperadorinducidoenW,
porT,hallarlamatrizdeT,enlabase(B,(anteriormentecitada).

241. ,U4 ¡Il_i3cl›ralmi-al
2.SeaI'eloperadorlinealsobreRirepresentadoporlamatri/
31-l
22-l
2 0
enlabaseordenadacanónìca.Demostrarqueexistenunoperadordiagonali/.ableDsobre
R"yunoperadornilpotenteNsobreR3talesqueT=D+NyDN=ND.Hallarlas
matricesdeDyNenlabasecanónìca.(NohaymásquerepetirlademostracióndelTeore-
mal2paraestecasoespecial.)
_).SiI'eselespaciodelospolinomiosdegradomenoroigualquensobreuncuerpoI-`,
demostrarqueeloperadorderivaciónsobreVesnilpotente.
4.SeaTeloperadorlinealsobreelespacioVdedimensiónfinitaconpolinomiocarac-
tcristico
ƒ=:(x-_còdl...(x_-ck)dk
ypolinomiominimal
P=_-(x-_cl)1'1...(x-_ck)Tb_
SeaW,elespacionulode(T-c¡I)".
(alDemostrarqueI/V,eselconjuntodetodoslosvectoresoideVtalesque(T-c,-I)'"oi=0
paraalgúnenteropositivom(quedependerádeoz).
(h)DemostrarqueladimensióndeW,.esd,-_(Sugerencia:Si71-eseloperadorinducido
enW,.porT,entoncesT¡-c¡Iesnilpotente;asielpolinomiocaracterísticodeT,--c,-I
debeserx"*,dondee,-esladimensióndeW,(¿demostración'?);asíelpolinomiocaracte-
rísticodeT,es(x-c¡)**:ahoraúseseelhechodequeelpolinomiocaracterísticodeTes
elproductodelospolinomioscaracterísticosdelosT¡,parademostrarqueei=d,-_)
5.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpodelosnúmeroscomple-
jos.SeaTunoperadorlinealsobreVyseaDlapartediagonalizabledeT.Demostrarque
si_eescualquierpolinomioconcoeficientescomplejos,entonceslapartediagonalizable
deg(T)esg(Dl.
6.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseaTunoperador
linealsobreTtalquerango(T)=l.DemostrarqueobienTesdiagonalizableobienTes
nilpotente,peronoambascosassimultáneamente.
7.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitayseaTunoperadorlinealsobreV.Supón-
gasequeTconmutaconcadaoperadorlinealdiagonalizableenV.DemostrarqueTes
unmúltiploescalardeloperadoridentidad.
8.SeaVelespaciodelasmatricesn›<nsobreelcuerpoFyseaAunamatrizdadan›<n
sobreF.SedefineunoperadorlinealTsobreVporT(B)-=AB=BA.Demostrarquesi
Aesunamatriznilpotente,Tesunoperadornilpotente.
9.Darunejemplodedosmatricesnilpotentes4›<4conelmismopolinomiominimal
(necesariamentetienenelmismopolinomiocaracterístico),peroquenosonsemejantes.
IO.SeaTunoperadorlinealsobreelespacioVdedimensiónfinita,seap=pi'---pj?el
polinomiominimaldeTyseaV=W,G9---G9W,,ladescomposiciónprimadeT;es
decir,W¡eselespacionulodepj-(T)'1.SeaWcualquiersubespaciodeVinvarianteporT.
Demostrarque
W:(WÑW1)®(WmlV2)®"'@(WÑWk).

242. fu'-0'-Al-`ornm.\ranonn'a.\clrnu-nmlrs
ll.¿CuálcselerrorenlasiguientedemostracióndelTeoremal3'?Supóngasequeelpo-
linomiominimalde7'seaunproductodefactoreslineales.Entonces,porelTeorema5,
Testriangulable.SeaCBunabaseordenadatalqueA=[T](Bestriangularsuperior.Sea
Dlamatrizdiagonalconelementosenladiagonalprincipala,1,...,a,,,,.EntoncesA==
D+N,dondeNesestrictamentetriangularsuperior.Evidentemente,Nesnilpotente.
12.SisemeditóenelEjercicioll,pensarnuevamenteenél,despuésdeobservarqué
diceelTeorema7respectoalaspartesdiagonalizableynilpotentedeT.
13.SeaTunoperadorlinealVconpolinomiominimaldelaformap"conpirreducìble
sobreelcuerpodelosescalares.DemostrarqueexisteunvectoroienVtalqueelT-anu-
ladordeoiesp".
A
I4.UsarelteoremadedescomposiciónprimayelresultadodelEjercicio13parademos-
trarlosiguiente.SiTescualquieroperadorlinealsobreunespacioVdedimensiónfinita.
entoncesexisteunvectorcxenVconT-anuladorigualalpolinomiominimaldeT.
IS.SiNesunoperadorlinealnilpotentesobreunespaciodedimensiónn,entoncesel
polinomiocaracterísticodeNesx".

243. 7.Lasformasracional
ydeJordan
7.1.Subespacioscíclicosyanuladores
SeanuevamenteVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreuncuer-
poFyseaTunoperadorlinealdado(peroarbitrario)sobreV.Siocescualquier
vectordeV,existeunsubespaciomínimodeVqueesinvarianteporTyque
contieneaoc.Estesubespaciosepuededefinircomolainterseccióndetodos
lossubespaciosinvariantesporTquecontienenaoc;sinembargo,esmásútil
porelmomentoverlascosasdelsiguientemodo.SiWesunsubespaciode
VinvarianteporTyquecontieneaoz,entoncesWdebecontenertambiénal
vectorToa;luegoWdebeconteneraT(Toz)=Tzoz,T(T2oz)=T3a,etc.Esto
cs,Wdebecontenerag(T)aparatodopolinomiogsobreF.Elconjuntode
todoslosvectoresdelafomiag(T)ot,congenF[x],csevidentementeinvariante
p'orT,yesasíelmenorsubespacioinvarianteporTquecontieneaoz.
Definición.SiozescualquiervectordeV,elsubespacioT-cíclicogenerado
por1eselsubespacioZ(oi;T)delosrectoresdelaformag(T)ot,genF Si
Z(agT)-=VentoncessedicequeozesunvectorcíclicodeT.
OtromododedescribirelsubespacioZ(oi;T)esqueZ(oz;T)eselsubespacio
generadoporlosvectoresT"oz,k20;yasíoiesunvectorcíclicodeTsi,ysolosi,
estosvectoresgeneranV.SeprevieneallectorqueeloperadorgeneralTno
tienevectorescíclicos.
Ejemplol.ParacualquierT,elsubespacioT-cíclicogeneradoporelvec-
tornuloeselsubespacionulo.ElespacioZ(a;T)esdedimensiónunosi,ysolo
si,aesunvectorpropiodeT.Paraeloperadoridentidad,todovectornonulo
generaunsubespaciocíclicounidimensional;así,.sidimV>1,eloperador
226

244. lothumornntonolt«li.lonlon JJ'
identidadnotienevectorcíclico.llnejemplodeoperadorquetieneunvector
ciclicoeseloperadorlinealIsobrelfiqueestarepresentadoenlabaseorde-
utdacanonicaporlamatri/
00
10
\quíclxcctorcíclico(unvectorcíclico)ese,;enefecto,si/i=(a,b),entonces
con_e=a+/›_\'setiene/i=_e(T)e¡_Paraestemismooperadorelsubespacio
ciclicogeneradoporezeselespaciounidimensionalgeneradoporez.puesel
esunvectorpropiodeT.
ParacualquierTyozseanlasrelacioneslineales
Cr›a+CiTa+---+ci-T*a=0
entrelosvectoresT'1.estoes.seconsideranlospolinomiosg=co+c¡.\'+---
rc,_.\*quetienenlapropiedaddeqtteg(T)ot=0.Elconjuntodetodoslos
nI~`[_\']talesque_e(T)1=tlesclaramenteunidealenF[x].Estambiénun
idealnonulo.yaquecontienealpolinomiominimalpdeloperadorT(p(T)oi=0
paratodo1deI).
/2C
Definición.Si1escualquierrectordel'.elT-anuladordeOzeselidealM('11T)
cnF[x]queconstadctodoslos/u›linomios_esobreFdemodoqueg(T)ot=0.
.llpolinonriomónicoúnicop,quegrcncraesteidealselcllamarátambiénelT-
anuladorde1.
Comoscobservoanteriormente.clT-anuladorp,dividealpolinomiomi-
nimaldeloperadorT.Ellectordebeobservartambiénquegrd(p,)>0,salvo
que1seaclvectorcero.
leorcmaI.Sea1unrectornonuloenI'rseap,elT-anuladorde1.
tillilgradodcpxcsigualaladintcnsióndel.subespaciocíclicoZ(9t;T).
(ii)Sicl_«¿r(ulodepleslr.entonceslosrectoresot,T1.T21,..._TR"¡ai
lo/'tttultunalulsc(lcZlâtiT).
(iii)SiL'eseloperadorlinealenZ(1:T)inducidoporT.entonceselpoli-
nomionunima/de('espl-
l)cnzostrac¡on_SeagunpolinomiosobreclcuerpoF.Seescribe
g=par;-I-7'
donder:0ogrdtr)<grdtp,)=If.Elpolinomiop,qestaenelT-anula-
dordc1.yasi
g(T)ot=r(T)a.
(omor:llogrdtr)<lr,elvectorr(T)1escombinaciónlinealdelosvecto-
res1.lu.___T*'1_3como_qt7`)7.esunvectortipicoen¿(11T).estomuestra
quecstoskvectoresgeneranZtai;T).Estosvectoresson.enefecto.linealmente
independientes-yaquecualquierrelaciónlinealnotrivialentreellosdaráun

245. ,','.'¡' 'Ill!a'IIlUIlllflll
polinomiognonulolulque_t'(l`)az.0yprd(g)p-_rd(¡›,).quees;ih.~.urdo.
I-.slodemuestra(i)y(ii).
SeaL'eloperadorlinealenKia:I`)quescobtieneporreslricci<'›ndeI`al
esesubespacio.SigesunpolinomiosobreI",entonces
z›..(U)9(T)«=zh-(T)9(T)«
=a(T)P«(T)a
=9(T)0
=0.
Así,eloperadorp,,(U)aplicacadavectordeZ(oz;T)en0yeseloperadorcero
en/I(oz;T).Además,sihesunpolinomiodegradomenorquek,nosepuede
tenerh(U)=0;enefecto,entoncesh(U)oz=h(T)a=0,quecontradicela
delìnicióndepa.EstodemuestraquepaeselpolinomiominimaldeU.I
Unaconsecuenciaparticulardeesteteoremaeslasiguiente.Sisucedeque
ozesunvectorcíclicoparaT,entonceselpolinomiominimaldeTdebetener
igualgradoqueladimensióndelespacioV;luegoelteoremadeCayley-Hamilton
dieequeelpolinomiominimaldeTeselpolinomiocaracterísticodeT.Sede-
mostrarámásadelantequeparacualquierTexisteunvectorocenVquetiene
alpolinomiominimaldeTporanulador.SededuciráentoncesqueTtiene
unvectorcíclicosi,ysolosi,lospolinomiosminimalycaracterísticodeTson
idénticos.Peroellotomaráalgúntrabajoantesdepoderlover.
ElplanesestudiarelTgeneralusandooperadoresquetienenunvectorcí-
clico.ParaelloseconsideraunoperadorlinealU.sobreelespacioVdedimen-
siónk.quetieneunvectorcíclicooz.PorelTeorema1losvectoresoz,.._,Uk-'oc
formanunabasedelespacioW;yelanuladorpadeoceselpolinomiominimal
deU(yentonces,tambiénelpolinomiocaracterísticodeU).Sisehaceog=UÍ"loz,
i=1,.__,k,entonceslaaccióndeUsobrelabaseordenadaG3=-{oz¡,.__,oz,,}es
zi]-,oowkíl
Uak=-com-cm- --ck_1aݢ
(7-1)
dondep=co+c¡x+''-+c,,_¡+xk.LaexpresiónparaUaksedesprende
delhechodequep,,(U)oz=0,esdecir,
Uka'l'Ck_1Uk_10f+''''l'C1U0f“l”C00!=0-
EstodicequelamatrizdeU,enlabaseordenadaG3,es
000 0-C.,`
100 0-C,
(7-2) 010 0-C2-
òòò 1-¢,,_
Lamatriz(7-2)sellamalamatrizasociadaalpolinomiomónicopa.
Teorema2.SiUesunoperadorlinealsobreunespaciodedimensiónfini-
taW,entoncesUtieneunvectorcíclicosi,ysolosi,existeunabaseordenada

246. l.H\lflflnmnnmuulrali-Iouluu .'29
«lcH'cnluqueUestercprc.s'e¡muluporlumatri:asociadaalpolinomiomini-
maldeU.
I)en1o.vn-ación.AntesseobservóquesiUtieneunvectorcíclico,entonces
existetalbaseordenadadeW.Recíprocamente_sisetieneunabaseordenada
{oi¡,.___cx,,}deWenlaqueUestérepresentadaporlamatrizasociadaasu
polinomiominimal,esobvioqueoc,esunvectorcíclicodeU.I
Corolario.SiAeslamatri:asociadauunpolinomiomónicop,entoncesp
eselpolinomiominimalyelpolinomiocaracterísticodeA.
Demostración.UnamaneradedemostrarloeshacerqueUseaeloperador
linealsobre1-"°,representadoporA'enlabaseordenadacanónìca.yaplicar
elTeoremaljuntoconelteoremadeCayley-Hamilton.Otrométodoconsiste
enusarelTeoremalparaverquepeselpolinomiominimaldeAyverificar
poruncálculodirectoquepeselpolinomiocaracterísticodeA.I
Unúltimocomentario:siTesunoperadorlinealcualquierasobreelespa-
cioVyoiesunvectordeV,entonceseloperadorUqueTinduceenelsubes-
paciocíclicoZ(oz;T)tieneunvectorcíclico.queesoz.Así.Z(oi;T)tieneunabase
ordenadaenlacualUestárepresentadoporlamatrizasociadadep,,,T-anu-
ladordeoz.
Ejercicios
I.SeaTunoperadorlinealsobreF2.Demostrarqueunvectornonulo,quenoesun
vectorpropiodeT.esunvectorcíclicodeT.DemostrarluegoqueoTtieneunvectorcí-
clicooTesunmúltiploescalardeloperadoridentidad.
2.SeaTeloperadorlinealsobreR3representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matriz
200
020-
00-1
DemostrarqueTnotienevectorcíclico.¿CuáleselsubespacioT-cíclicogeneradoporel
vector(l,-1,3)?
3.SeaTeloperadorlinealsobreC3representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matriz
1í0
-l2--i-
0l1
HallarelT-anuladordelvector(I,0,0).HallarelT-anuladorde(I,0,i).
4.DemostrarquesiT2tieneunvectorcíclico,entoncesTtieneunvectorcíclico.¿Es
verdaderoelrecíproco?
5.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpoFyseaNunoperadorlineal

247. -'ill Alm-Im:lmml
nilpotentesobreI',SupóngasequeN"'ql:0y ofunvectorcualquieradeI'demodo
queN"'oz=¡ë0.DemostrarqueozesunvectorcíclicodeN.¿Cuálesexactamentelamatri?
dcNenlabaseordenada{a,Nor,__.,N""oc}'?
6.DarunademostracióndirectadequesiAeslamatrizasociadaalpolinomiomóni-
cop,entoncespeselpolinomiocaracterísticodeA.
7.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnyseaTunoperadorlinealsobreV.Supóngase
queTesdiagonalizable.
(alSiTtieneunvectorcíclico,demostrarqueTtienenvalorespropiosdistintos.
(b)SiTtienenvalorespropiosdistintos,ysi{oz¡,____oz,,}esunabasedevectorespro-
piosdeT.demostrarqueoz=or,+°--+og,esunvectorcíclicodeT.
8.SeaTunoperadorlinealsobreelespaciovectorialVdedimensiónfinita.Supóngase
que'I'tieneunvectorcíclico.DemostrarquesiUesunoperadorlinealcualquieraquecon-
muteconT,UesunpolinomiodeT.
7.2.Descomposicionescíclicas~
yƒbrmaracional
ElobjetodeestasecciónesdemostrarquesiTesunoperadorlinealarbi-
trariosobreunespacioVdedimensiónfinita,entoncesexistenvectoresoil,___,oz,
enVtalesque
'V'=Z(a1;T)G9®Z(a.-;T)-
l:`notraspalabras,queremosdemostrarqueVesunasumadirectadesubes-
paciosT-cíclicos,locualmostraráqueTeslasumadirectadeunnúmerofinito
deoperadoreslineales,cadaunodeloscualestieneunvectorcíclico.Elefecto
deestoseráreducirmuchosproblemasacercadeloperadorlinealgenerala
problemasanálogosconunoperadorquetieneunvectorcíclico.Elteorema
quesedemostrará(Teorema3)esunodelosresultadosmásprofundosdel
algebralinealytienemuchoscorolariosinteresantes.
Elteoremadeladescomposicióncíclicaestáestrechamenterelacionado
conelsiguienteproblema,¿QuésubespaciosW,invariantesporT,tienenla
propiedaddequeexisteunsubespacioW',invarianteporT,talqueV=WEBW'?
SiWescualquiersubespaciodeunespacioVdedimensiónfinita,entonces
existeunsubespacioW'talqueV=WEBW'.Engeneralhaymuchosdetales
subespaciosW'ycadaunodeellossellamacomplementariodeW.Sepregunta_
¿cuándounsubespacioinvarianteporTtieneunsubespaciocomplementario
tambiéninvarianteporT?
SupóngasequeV=WGBW',dondeWyW'soninvariantesporT,yvéase
entoncesquésepuededescubrirrespectoalsubespacioW.CadavectorIfde
Vesdelaforma/í=¬,'+¬,"_donde7estáenWy¬,"enW'.Sifesunpolinomio
sobreelcuerpodelosescalares,entonces
f(T)B=f(T)^r+f(T)^r'-

248. las_/ormusrm-mmilrdv,hmlun .lil
ComoWyW'soninvariantesporT,elvectorƒ(T)yestáenWyf(T)'y'está
enW'_Portanto,f(T)/iestáenWsi,ysolosi,f(T)¬y'=0.Loqueinteresaes
elhecho,aparentementesinimportancia,dequesif(T)BestáenW,enton-
CCSf(T)/f=f(T)?-
Definición.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialVyseaWun
subespaciodeV.SedicequeWesT-admisiblesi
(i)WesinvarianteporT;
(ii)sif(T)[3estáenW,existeunvectoryenWtalquef(T)[3=f(T)'y_
Comoacabamosdemostrar,siWesinvarianteytieneunsubespacioin-
variantecomplementario,entoncesWesadmisible.Unadelasconsecuencias
delTeorema3seráelrecíproco,demodoquelaadmisibilidadcaracterizará
aquellossubespaciosinvariantesquetienensubespaciosinvariantescomple-
mentarios_
Indiquemoscómolapropiedaddelaadmisibilidadestáimplicadaenla
intencióndeobtenerunadescomposición
V=z(«1;T)(9(9z(a,;T).
Elmétodobásicoparallegarataldescomposiciónseráseleccionarlosvec-
toresoil,___,oz,porinducción.Supóngaseque,porunprocesouotro,sehayan
seleccionadooq,___,oc,-,yque
Wf=Z(a1;T)+ +Z(a,-;T)
seaunsubespaciopropio.Sedeseaencontrarunvectornonuloozj+ltalque
WiflZ(¢1¡+1;T)={9}
porqueelsubespacioI/V,-+1= EBZ(oi¡,,;T)seráentoncesalmenosuna
dimensiónmáscercanaalespacioVquesedescompone.Pero¿porquédebe
existirtalvectoroi,-+1?Sioil,___,oi,-,hansidoelegidosdemodoqueWJ-sea
unsubespacioT-admisible,entoncesesrelativamentefácilverquesepuede
encontrarunoz,-Hadecuado.Estoesloqueharáposiblelademostracióndel
Teorema3,auncuandonoexpresemosasíelrazonamientofraseado_
SeaWunsubespaciopropioinvarianteporT.Sedeseaencontrarunvec-
toror,nonulo,talque
(7-3) WÑZ(a;T)={0}.
Sepuedeelegirunvector/ÍquenoestáenW.ConsidéreseelT-conductorSi/i;W),
queconstadetodoslospolinomiosgtalesqueg(T)[3estáenW.Serecuerda
queelpolinomiomónicof=s([3;W)quegeneraelidealS(fi;W)esllamado
tambiénelT-conductorde/3enW.Elvectorf(T)[3estáenW.Ahora,siWes
T-admisible,existeun"yenWconf(T)[3=f(T)¬,'.Seaoz=/i-yyseagun
polinomiocualquiera.Como/3-3»estáenW,g(T)[3estaráenWsi,ysolosi,
g(T)otestáenW;enotraspalabras,S(ot;W)=S([3;W).Conloqueelpoli-
nomiofestambiénelT-conductordeoienW.Perof(T)a=0.Ellodiceque
g(T)otestáenWsi,ysolosi,g(T)ot=0;esdecir,lossubespaciosZ(oz;T)yWson
linealmenteindependientes(7-3)yfeselT-anuladordeoz.

249. :Ji illttlnttltmul
iI`t-orema3(teoremadedescomposicióncíclica).SeuI'unt›¡›eru¢lorlineal
~i«›I›rettttespai-iorcetoriul(letlimensiótt/initu|'_1'seaWOuttsuI›es¡utciopropio
I-.nlnti.\iI›ledel'.I:`.\'istenrectoresnonulosoq,___,ot,enVconT-ctnuluclores
res¡›ectit`t›sp¡,___,p,,talesque
li)I'=WOGBZion;T)EB'''EBZ(0f,;T):
(ii)phtlirideapk_¡,k=2,___,r.
fllúsaún_elenterorj'losanuladorespl,___,p,estánunívocamentedetermi-
ttmlospor(i),(ii)_relhechodequeningunodelos01,,esO.
Demostración.Lademostraciónesbastantelarga,razónporlacualla
dividircmosencuatropartes.Paralaprimeralecturaparecemásfáciltomar
ll',,={0},auncuandonoproduzcaunasimplificaciónsustancial.Entoda
lademostraciónseabreviaráf(T)[ìpor_/'/í.
Partel.Existenrectoresnonulos-,8,,___,/3,enVtalesque
la)V=WO+Z(/fi;T)++Z(/3,;T):
(b).»-¡Isk-gry
Wk=WO+Z(/il;T)+ +Z(/tk;T)
entonceselconductorpk=s(flk;Wk_1)tieneelgradomáximoentretodoslos
I'-conductoresenelsubespacioWk_1;esdecir,paratodo/<
grdpk=maxgrds(oc:W,,__1)
1enI
EstapartedependesolodelhechodequeWOesunsubespacioinvariante.
SiMiesunsubespaciopropioinvarianteporT,entonces
0<maxgrdslot;W)5dimV
y.scpuedeelegirunvector/1demodoquegrds(/f;W)alcancetalmáximo.El
subespacioW+Zlƒì;T)esentoncesinvarianteporTytienedimensiónmayor
quedimW.AplicandoesteprocesoaW=WOsetiene/il.SiW,=WO+
¿(/f,;T)esaúnpropio,entoncesaplicandoelprocesoaW,seobtiene/iz.Se
continúadeestaforma.ComodimWk>dimW,,_,,sedebealcanzarW,=V
cnnomásdedimVetapas.
Parte2.Seanfil,___,B,rectoresnonulosquesatisjfitcenlascondiciones
(a)y(b)delapartel.Sefi/'ak,l5k5r.SeaflunvectorcualquieradeVy
seu =S(,8;Wk_¡)_Si
=llo'l'2gtlliwBi0"
l$i<A
entoncesfdivideacadapolinomiog,-_r/io=f¬,-'0,donde"yoestáenWO.
Sik=1,elloesjustamentelaafirmacióndequeWOesT-admisible.Para
demostrarlaafirmaciónparak>1,seaplicaelalgoritmodeladivisión:
(7-4) g,=fl1,-+r¡,r,-=0ogrdr,-<grdf
Queremosmostrarque-r,-=0paratodo¡_Sea

250. I.as/ot'nut.\rmionalrde.Ionlun 233
(7-5) 'Y=B_,cillhfii-
I
Como7-/festáenWk,
3('Y§Wk-1)=sm;Wk-1)=
Además.
ti-1
(7'6) f"Y=Úo+ã'refie-
Supóngasequealgúnr,-esdistintode0.Sellegaráaunacontradicción.Sea/'el
mayorindiceiparaelqueri=;é0.Entonces
J'
CH).H=m+2ms n†0ywmrqwfl
1
Seap_-s(¬,':W,-_,)_ComoW,,_,contieneaW,-_1,elconductor_/`=s(y;Wk_,)
debedividirap:
tv=fa-
Aplicandog(T)aambosmiembrosde(7-7):
(7-8) 227=9f'Y=97331-l'.(130+l<2<_9'¡'i_5¡-
_¡ 2
Pordefinición_p¬,'estáenW,--_1,ylosdosúltimostérminosdelsegundomiem-
brode(7-8)estánenW,-_,_Portanto_grjfljestáenW,-_¡_Ahora.porlacondi-
ción(b)delapartel:
grd(gr,-l2grd-\`(Íi,-âW,--1)
=grdp,-
2grds(}';W,-_¡)
=grdP
=grd(fs)-
Conloquegrdr_¡>grdf,yellocontradicelaelecciónde_¡'.Sesabeahoraque
fdivideacadag,yluegoque/30=_ƒ;'_ComoWOesT-admisible,B0=fyo,
dondeyoestáenWO.Depasonotamosquelaparte2esunareafirmaciónde
laobservacióndequecadaunodelossubespaciosWl,W2,___,W,esT-ad-
misible_
Parte3.Existenrectoresnonulosoq,____oc,enVquesatisfacenlascon-
diciones(i)_1'(ii)delTeorema3.
Secomienzaconlosvectores[ì,_.___[ì,_comoenlapartel.Fijok,
l5k5r,seaplicalaparte2alvectorB=/ikyalT-conductorf=pk.
Obtenemos _-
(7"9) Pkfik=PIKYO'l'ÉPklì-¿Ús
l$í<k
dondeyoestáenWOylos11,, lz,,_,sonpolinomios.Sea
(740) ak=Úk_'Yo_2hifii-
lSí<k

251. li-l lltgelvtitlntettl
(omo/tk~-ukestaenllk¡_
(7-11) S(0fk;W›<~1)=S(5k;Wk-1)=Pt
ycomopkazk=0,setiene
(7-12) W¡__iflZ(ak;T)={0}.
(omocadaatksatisface(7-ll)y(7-12).sesigueque
W,.=W.,®z(a.;T)(-9(¬9z(a,,;T)
yquepkeselT-anuladordecxk_Enotraspalabras,losvectoresfz,,____1,de-
finenlamismasucesióndesubespaciosW,,Wz,___quelosvectores/i,_____/í,y
losT-conductorespk=s(cxk;Wkk)tienenlasmismaspropiedadesmaximales
[condición(b)delaparte1].Losvectores1,.____1,tienenademáslapropie-
daddequelossubespaciosWO,Z(:x,;T).Ztcxz;T), sonindependientes.
Es,portanto,fácilverificarlacondicióntii)enelTeorema3.Como¡›,.x¡=0
paratodoi,setienelarelacióntrivial
pt-at=0+¡nai-I----+¡›i--rat-_»
Aplicandolaparte2conlosēk,___,[ikremplazadosporloscx,_____xkycon
/l=:xksetienecomoconclusiónquepkdivideacadap,-_coni<k.
Parte4.Elnúmeror_i'lospolinomiospl,__._p,estanttttt'roeametttede-
terminadosporlascondicionesdelTeorema3.
Supóngasequeademásdelosvectoresak,____cx,enelTeorema3,tengan
vectoresnonulosyk.___.^,'_,conlosrespectivosT-anuladores_s,'k_.--_.E,_talesque
(M3) v=wicazoi;T)®®zo_;T)
QAdivideQk-1, lc==2,___,S.
Scdemostraráquer=syquep,.=giparatodoi.
Esfácilverquepk=g,.Elpolinomiog,estádeterminadopor(7-13)como
elT-conductordeI'enWO.SeaS(V;Wo)lacoleccióndepolinomiosftales
quef/3esteenWOparacada/lenV;esdecir,lospolinomios_ƒtalesquelaima-
gende_ƒ`(T)estécontenidaenWO.EntoncesSU-';WO)esunidealnonuloen
elálgebradelospolinomios.Elpolinomiogkes.porestarazón_elgenerador
mónicodeeseideal.Todo/fdeVtienelaforma
B=Úo+fi'Y1'l- 'l“fs'Y›_~
yasi,
yil-3=,flifio“l”217šliffïi-
Comocadag,-divideagl,setienequegkyk==0paratodoiygk/f=.Hi/ioestá
enWO.Conloqueg,estáenS(V:WO).Comog,eselpolinomiomónicode
menorgradoqueaplica',',enWO.sevequegkeselpolinomiomónicodemenor
gradoenelidealS(V1Wo).Porelmismorazonamiento,pkeselgenerador
detalideal,conloquepk=g,_

252. Ítt\/tHHht\titttttttitlItil'.Inti/tttt .i
SiIesunpolinomioyWesunsubespaciodeV.usaremoslaexpresión
abreviada_/ll'paraclconjuntodetodoslosvectoresforcon1enW.Sedeja
paralosejercicioslademostracióndelossiguientestreshechos:
1./`Z(1:T)=Zt__/'11T).
2.SiI'=V,GB---G9Vk,dondecadaV,esinvarianteporT,entonces
/1':/T'G9"'€B_/'Vi-_
tienenelmismoT-anulador.entonces_/Exyjj'tienenelmismo
T-anulador(portanto)
_ dimZ(fa;T)=dimZ(ƒ'y;T).
'JJ CI)ÍIR
0.<\<
Ahoraseprocedeporinducciónparaverquer=syp,=g,parai=2,.__,r.
Elrazonamientoconsisteencontarlasdimensionesenlaformacorrecta.Se
daralademostracióndequesir22.entoncespz=ez,yconellolainducción
seráclara.Supóngasequer22.Entonces
dimWo+dimZ(a1;T)<dimV.
Comosesabequep,±,Q,_sesabequeZ(fx,:TlyZ(;',:T)tienenlamisma
diniensit'm_Portanto_
dimWO-I-dimZ('y1;T)<dimV
loquemuestraques22.Ahoratienesentidopreguntarsesicabeonopz=g_-¿_
DelasdosdescomposicionesdeVseobtienendosdescomposicionesdelsubes-
paciop¿l':
pglv:IJQIVO®
p2l'=p2ll'0®Z(p-¿'y1;T)(-3---(-9Z(p2'Y.<;7').
Hemosusadoloshechosll)y(2)anterioresyelhechodequep¿:x,-=O,
iz2.Comosesabequep,=g..(3),anteriormentemencionado,diceque
ZtpzatkçT)ya/(pl-;,_T)tienenlamismadimensión.Luegosedesprendede
(7-I4)que
dimZ(p2'y,-;T)=0, 1,'22.
Concluimosquepkyz=O_vqueezdivideap_-¿_Elrazonamientopuedeinver-
tirseparademostrarquepkdivideagl.Portanto,pz=g,-¿_I
Corolario.SiTesunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensión
finita.entoncestodosuhespacmT-admisibletieneunsubespaciocomplementario
queestambiéninrarianteporT.
Demmtracion.SeaWOunsubespacioadmisibledeV.SiWO=V,elcom-
plementoquesebuscaesIO1.SiWOespropio,seaplicaelTeorema3ysehace
ll'(›=Z(a1;T)(-:§Q-)Z(a,;T).
F.ntoncesWk',esinvarianteporTyV=WOG)W(',_I
Corolario.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciorectoría/I'dedimen-
sión_/`in1ta_

253. ,'30 -Ilitelitaltm-tl
(a)I;`_\'istcnnrectorotenVtalqueelT-anuladordeoteselpolinomio
tnittitnalde7'.
(h)Ttieneunvectorcíclicosi,ysolosi,lospolinomioscaracterísticoymi-
nimaldeTsonidénticos.
Demostración.SiV= losresultadossontrivialmenteverdaderos.Si
I'sé sea
(7-15) V=Z(a1;T)CBCBZ(a-;T)
dondelosT-anuladorespk,___,p,_sontalesquepk_kdivideapk_l-3k5r-1.
ComoobservamosenlademostracióndelTeorema3,sesiguefácilmenteque
pkeselpolinomiominimaldeT,esdecir,elT-conductordeVen{O}.Conello
sehademostrado(a).
VimosenlaSección7.1quesiTtieneunvectorcíclicoelpolinomiomini-
maldeTcoincideconelpolinomiocaracterístico.Elcontenidode(b)estáen
elrecíproco.Seeligeunotcualquiera,comoen(a).Sielgradodelpolinomio
minimalesdimV,entoncesV=Z(a;T).I
Teorema4(teoremadeCayley-Hamiltongeneralizado).SeaTunopera-
dorlinealsobreunespaciovectorialVdedimensiónfinita.Seanpyflospoli-
nomiosminimalycaracterísticodeT,respectivamente.
(i)pdivideaf;
(ii)pyftienenlosmismosfactoresprimos,salvomuItt`plicidades_
(iii)Si
(746) p:fin___fl-¡_
eslafactorizaciónprimadep,entonces
tv-1v› f=ft----ft*
dondedkeslanulidaddef(T)"'dirididaporelgradodefk.
Demostración.NoseconsideraelcasotrivialV={0}_Parademostrar
(i)y(ii)seconsideraunadescomposicióncíclica(7-15)deV,queseobtiene
delTeorema3.Comoobservamosenlademostracióndelsegundocorolario,
pk=p.SeaUklarestriccióndeTaZ(otk;T).EntoncesUktieneunvectorcícli-
co,yasípkeselpolinomiominimalyelpolinomiocaracterísticodeUk.Por
tanto,elpolinomiocaracterísticofeselproductof=pk,____p,_Estoesevi-
denteporlaformabloquede(6-14)quelamatrizdeTtomaenunabaseapro-
piada.Evidentemente,pk=pdividea_fiyellodemuestra(i).Esclaroquecual-
quierdivisorprimodepesdivisorprimode_ƒ_Recíprocamente,undivisor
primodef=pk~--p,debedividiraunodelosfactorespkqueasuvezdivi-
deapk.
Sea(7-l6)lafactorizaciónprimadep.Seempleaelteoremadedescompo-
siciónprima(Teorema12delCapítulo6)quediceque,siV,-eselespacionulo
de_ƒk(T)",entonces
(7-18) V=V1(-B---(Bm

254. las/ortttnitttcnntalrdeJorilint 2.77
y_/k"eselpolinomiominimaldeloperadorTk_obtenidoporrestriccióndc'I'al
subespacio(invariante)Vi.Seaplicalaparte(ii)delpresenteteoremaalopera-
dorTk_Comosupolinomiominimalesunapotenciadelprimo_/,Í_elpolinomio
característicodeT,tienelaforma_/ku',dondedk2r,-_Evidentemente
d_:__dimVk
'grd.fi
y(casipordefinición)dimVk=nulidadfi(T)'*_ComoTeslasumadirectade
losoperadoresTk, Tk_elpolinomiocaracterísticofeselproducto
fï-ƒtfloulƒík. I
Corolario.SiTesunoperadorlinealnilpotentesobreunespaciovecto-
rialdedimensiónn,entonceselpolinomiocaracterísticodeTesx".
Sedeseaverahoraelanálogodelteoremadedescomposicióncíclicapara
matrices.SisetieneeloperadorTyladescomposiciónensumadirectadel
Teorema3,sea03,-la«baseordenadacíclica»
{(X¡,Tai,...,Tk¡_1a¡}
paraZ(ot,-;T).AquíkkrepresentaladimensióndeZ(ot,-;T),estoes,elgrado
delanuladorpk.LamatrizdeloperadorinducidoT,-enlabaseordenada03,es
lamatrizasociadadelpolinomiop,-_Así,sisehaceque03sealabaseordenada
deVqueeslaunióndelas03,-dispuestasenelorden03k,____03,,entoncesla
matrizdeTenlabaseordenada03será
(Hg) A:0A20
òÓ jkk
dondeA¡eslakkxkkmatrizasociadadepk.Deunamatrizn><n,A,quees
lasumadirecta(7-l9)dematricesasociadasdepolinomiosmónicosnoesca-
larespk,___,p,_talesquepk-kkdivideapk-parai=1,____r-l,sediceque
estáenformaracional.Elteoremadedescomposicióncíclicadicelosiguiente
respectoalasmatrices.
Teorema5.SeaFuncuerpo_vseaBunamatriznxnsobreF.Entonces
BessemejantesobreelcuerpoFauna,dvsoloauna,matrizqueestáenforma
racional. -
Demostración.SeaTeloperadorlinealsobreF"representadoporBen
labaseordenadacanónìca.'Comoacabamosdeobservar,existeunabaseor-
denadadeF"enqueTestárepresentadoporunamatrizAenformaracional.
EntoncesBessemejanteaestamatrizA.SupóngasequeBessemejantesobreFa
otramatrizCqueestáenlaformaracional.Estoquieredecirsimplemente
queexisteunaciertabaseordenadadeF"enlaqueeloperadorTestárepre-
sentadoporlamatrizC_SiCeslasumadirectadematricesasociadasC,de

255. _'¡N ._II_i¦el›tolineal
poliiioiiiiosmónicosek,_____'¬'_--talque_e,,kdividea_i,',parai=I,___.s-I,
eiitoiiccsescvideiitcquescticiieiivectores/ik,___,/ik,nonulos,enVconT-
aiiuladorcs_ek_____gk.talesque
V=Z(fli;T)C43~-~C-BZ(B.;T)-
Peroporlaunicidaddelteoremadedescomposicióncíclica,lospolinomios
gksoiiidénticosalospolinomiospkquedefinenlamatrizA.Así,C=A.I
Lospolinomiospk,____p,sonllamadoslosfactoresinvariantesdelamatriz
B.EnlaSección7.4sedescribiráunalgoritmoparacalcularlosfactoresinva-
riantesdeunamatrizdadaB.Elqueseaposiblecalcularestospolinomiospor
iiicdiodeunnúmerofinitodeoperacionesracionalesenloselementosdeB,
eslarazónporlacuallaformaracionalrecibeesenombre.
Ejemplo2.SupóngasequeVesunespaciovectorialbidimensionalsobre
clcuerpoF,yTseaunoperadorlinealsobreV.Lasposibilidadesdedescom-
posicióncíelicaensubespaciosparaTsonmuylimitadas.Enefecto,sielpoli-
nomiominimaldeTesdegrado2,esigualalpolinomiocaracterísticodeT.
yTtieneunvectorcíclico.AsíqueexisteciertabaseordenadadeVenlaque
Testárepresentadoporlamatrizasociadadesupolinomiocaracterístico.Si,
porotrolado,elpolinomioniinimaldeTesdegradol_Tesunmúltiploescalar
deloperadoridentidad.SiT=cl,entoncesparadosvectoreslinealmente
iiidependientescualesquiera.ockyak.enV,setiene
V=Z(<11;T)®Z(<12;T)
pl=[72=IU_'C.
Paramatrices,esteanálisisdicequetodamatriz2x2sobreelcuerpoFes
semejantesobreFexactamenteaunamatrizdelostipos
r01rni
0 C, 1 "'01
Ejemplo3.SeaTeloperadorlinealsobreR3representadoporlamatriz
5-~6-6
A=-1 4 2
3-6-4
enlabaseordenadacanonica_Sehacalculadoantesqueelpolinomiocarac-
terísticodeTesf=(x-l)(x-2)2_yqueelpolinomiominimaldeTes
p=(x-l)(_\-~2).AsísesabequeenladescomposicióncíclicadeTelprimer
vector:xktendráapconioT-anulador.Comosehaoperadoenunespacio
tridiiiicnsional_puedehabersolootrovector.:12,elcualdebegenerarunsub-
espaciocíclicodedimensiónI.esdecir,debeserunvectorpropiodeT.SuT-
anuladorpkdebeser(x-2),yaquedebemostenerquepp,=f.Obsérvese
queestodiceinmediatamentequelamatrizAessemejantealamatriz
0-20
B=1 30
002

256. Las/ortmtsracionali'de.lonlan JW
estoes,queTestárepresentadoporBenalgunabaseordenada.¿Cómose
puedenencontrarlosvectoresadecuadosakyak?Bien,sabemosquecualquier
vectorquegeneraunsubespacioT-cíclicodedimensión2esunvectorade-
cuadoxk_Demodoqueseaek.Tenemos
Tel=(5,-1,3)
quenoesunmúltiploescalardeek;luegoZ(ek;T)tienedimensión2.Este
espacioconstadetodoslosvectoresaek+b(Tek):
a(l,0,O)+b(5,-1,3)=(a+5b,-b,3b)
otodoslosvectores(xk,xk,xk)quesatisfacenx3=-3x2.Ahoraloquese
deseaesunvectorocktalqueTot,=ZozkyZ(ot2;T)esdisjuntodeZ(ock;T).
ComoazesunvectorcaracterísticoparaT,elespacioZ(ot2;T)serásimplemente
elespaciounidimensionalgeneradoporak,yasí,loqueserequiereesqueock
noestéenZ(oik;T).Sioi=(xk,xk,xk),sepuedefácilmentecalcularque
Tot=2asi,ysolosi,xk=2x2+2x3.Así,ak=(2,1,O)satisfaceToik=2oi2
ygeneraunsubespacioT-cíclicodisjuntodeZ(ozk;T).Ellectorpodráverificar
directamentequelamatrizdeTenlabaseordenada
{(1›0:0):(5:_1› (2:1;
eslamatrizBanteriormentemencionada.
Ejemplo4.SupóngasequeTesunoperadorlinealdiagonalizableso-
breV.EsinteresanterelacionarunadescomposicióncíclicadeTconunabase
quediagonalizalamatrizdeT.Seanck,___,cklosvalorespropios,distintos
deT,yseaVkelespaciodelosvectorespropiosasociadosconelvalorcarac-
terísticoek.Entonces
V=V1@---(+)V,_
ysidk=dimVk,entonces
f=e-oa~e-me
eselpolinomiocaracterísticodeT.SiotesunvectordeV,esfácilrelacionar
elsubespaciocíclicoZ(a;T)conlossubespaciosVk,___,Vk.Existenvectores
Bk,____[ikúnicos,talesque,UkestáenVk,y
01=l31“l' "l-fite
ComoT/tk=ckflk,setiene
(7-20) f(T)@=f(01)B1+---+f(0i)B›«
paratodopolinomiofDadosescalaresarbitrariostk,____tk,existeunpoli-
nomioftalque_f(ck)=tk,I5i5k.Portanto.Z(oi;T)esjustamenteelsub-
espaciogeneradoporlosvectoresflk,____flk.¿Cuáleselanuladordeoi?De
acuerdocon(7-20)setienef(T)ot=0si,ysolosi,_/lck)/tk=0paracadai.En
otraspalabras,f(T)o:=0siemprequef(ck)=0paracadaitalque/tksé0.
Enconsecuencia,elanuladordeoceselproducto

257. .'-tu .lligi-Imtlineal
(7~2l) ||(.12_-ek).
fi.†o
Ahora,scan03k=¦/l"k_/l¦k__}unabaseordeiiadadeI',-_Sea
fr=maxd.-_
7.
Sedcfmenlosvectoresoik, ot,por
(7-22) ak=2133-,1<1"<f.-_
¿_-zi _T
lilsubespaciocíclicoZtotk;T)eselsubespaciogeneradoporlosvectores/tf-_
cuandoidescribelosíndicesparaloscualesdk2¡_ElT-anuladordeakes
(7-23) pj=II(11-'Ci).
¿-25
Setiene
V=Z(a1;T)0')'"ÉBZ(0ff;T)
puescada/ikperteneceauno,ysoloauno,delossubespaciosZ(ock;T),____
/(fx,;T),y03=(03k,___,03k)esunabaseordenadadeV.Por(7-23),pk-kk
divideapk.
Ejercicios
I.SeaTeloperadorlinealsobreF2representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matri?
[00]
10
Seaxk=(0,l).DemostrarqueF2#=Z(o:k;T)yqueexisteunvectorcxz,nonulo,enF2
coiiZ(ot2;T)disjuntodeZ(oik;T).
2.SeaTunoperadorlinealsobreelespacioVdedimensiónfinitayseaRlaimagen
porT.
(a)DemostrarqueRtieneunsubespacioT-invariantecomplementariosi,ysolosi,
ResindependientedelespacionuloNdeT.
(b)SiRyNsonindependientes,demostrarqueNeselsubespacioúnicoT-invariante
complementariodeR.
3.SeaTeloperadorlinealsobreR3representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
iiiatriz
200
120-
003
SeaWelespacionulodeT-21.DemostrarqueWnotienesubespacioT-invariantecom-
plementario.(Sugerencia:SeaIt=ekyobsérveseque(T-21)/testáenW.Demostrar
quenoexisteofenWcon(T-21)/i=(T-21)ot_)
-I.SeaTeloperadorlinealsobreF4representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
iiiatriz

258. ImIortttitimctottuli'«lc_lonlnn 24l
0
OO'-0O'-*QCl-46@GOGO
SeaWelespacionulodeT-cl.
(a)DemostrarqueWeselsubespaciogeneradoporek.
(b)HallarelgeneradormónicodelosidealesS(oi,k;W),S(oz¿;W),S(oz2;W)yS(ozk;W).
5.SeaTunoperadorlinealsobreelespaciovectorialsobreelcuerpoF.Sifesunpoli-
nomiosobreFycxestáenV,seafix=f(T)a.SiVk,___,Vksonsubespaciosinvariantes
bajoTyV=VkEB---EBVk,demostrarque
ƒV=fVi€)'“€)fV›_.
6.SeanT,VyFcomoenelEjercicio5.SupóngasequecxyBsonvectoresenVquetienen
elmismoT-anulador.Demostrarque,paracualquierpolinomiof,losvectoresfayffi
tienenelmismoT-anulador.
7.Hallarlospolinomiosminimalesylasformasracionalesdecadaunadelassiguientes
matricesreales
0-1-1 c0-1
io o› oc1.|ï°°S6S°“0:|.
-100 -11C "me°°S6
8.SeaTeloradorlinealsobreR3reresentadoenlabaseordenadacanónìcarPe P P0
3--4-4
-l 3 2-
2-4-3
Hallarlosvectoresnonulosozk,____oz,quesatisfacenlascondicionesdelTeorema3.
9.SeaAlamatrizreal
13 3
A= 3 13
-3-3-5
Hallarunamatrizreal0,inversible,talqueP_1APestéenlaformaracional
10.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaTeloperadorlinealsobreF4
representadoenlabaseordenadacanónìcaporlamatriz
OQ'-'[0OQNQOUNO@NJOOO
HallarelpolinomiocaracterísticodeT.Considerarloscasosa=b=1,a=b=0.a=0,
b=l.Encadaunodeloscasos,hallarelpolinomiominimaldeTylosvectoresak_____a,,
nonulosquesatisfacenlascondicionesdelTeorema3.
ll.DemostrarquesiAyBsonmatrices3x3sobreelcuerpoF,unacondiciónnece-
sariaysuficienteparaqueAyBseansemejantessobreFesquetenganelmismopolinomio

259. .'40 _-lliga-litolineal
(7-ai) ll(-v-«-.)-
fi¡r'0
¡\|k0k-¿¡_Sam(BI.= ____/lfk'¦unabaseordeiiadadeVk.Sea
r=maxd,-_
í
Sedelìnenlosvectoresak. 0:,por
(7_.›~)) ai= E 1<j<†_
di21 _ _
|-jlSub@-Spaçio¢í¢1¡¢0Z(otk;T)eselsubespaciogeneradoporlosvectores/tk,
k;u¿md0¡desçribe105indicesparaloscualesdk2/'_ElT-anuladordeockes
(7-23) Pi=H(33_Cd- 2
¿¢21`
Seüene
V=Z(ai;T)® ®Z(<1f;T)
mmsCadapjpertenemauno,ysoloauno,delossubespaciosZ(oik;T),____
¿(0kr¿T),y(B=(631,___,03k)esunabaseordenadadeV.Por(7-23),pkkk
divideapk.
Ejercicios
1,SeaTelOperadorlinealsobreF2representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matriz
[00:'_
1O
gwak=(0,1)_DemostrarqueF2ql:Z(ak;T)yqueexisteunvectorak,nonulo,enF2
conZ(-112;T)disjuntodeZ(0fi;Tl-
2,S@-aTunOperadorlinealsobreelespacioVdedimensiónfinitayseaRlaimagen
porT.
(a)DemostrarqueRtieneunsubespacioT-invariantecomplementariosi.ysolosi,
Resindependientedelesp21CÍ0111110NÓ@T-
(b)SiRyNsonindependientes,demostrarqueNeselsubespacioúnicoT-invariante
complementariodeR.
3_SeaTe|Opekakjok|¡n¢alsobreR3representadoenlabaseordenadacanónìcaporla
matriz
200
[___].
003
SeaWeiespagionu|0deT~21.DemostrarqueWnotienesubespacioT-invariantecom-
piekkkekkkk-kk¡0_kgugekkkkk-¡(,;Seafi=ekyobsérveseque(T-21)/ƒestáenW.Demostrar
quenoexisteotenWcon(T_Zllfi=(T_2¡)0f-)
4.SeaTeloperadorlinealsobreF4representadoenlabaseordenadacanónicaporla
iiiatriz

260. ImInrmmrm-luna!rdr.Innlfm .'41
OO!-*OOI-*OO›--OOOQOOO
SeaWelespacionulodeT-cl.
(a)DemostrarqueWeselsubespaciogeneradoporG4.
(b)HallarelgeneradormónicodelosidealesS(ot4;W),S(ot¿;W),S(ot2;W)yS(cx1;W).
5.SeaTunoperadorlinealsobreelespaciovectorialsobreelcuerpoF.Sifesunpoli-
nomiosobreFyotestáenV,seajá=ƒ(T)oz.SiV1,...,Vksonsubespaciosinvariantes
bajoTyV=V1E9---EBVk,demostrarque
ƒV=fV1€')"` €')fV¡¢.
6.SeanT,Vy_FcomoenelEjercicio5.SupóngasequeotyBsonvectoresenVquetienen
elmismoT-anulador.Demostrarque,paracualquierpolinomiofilosvectoresfay_/'B
tienenelmismoT-anulador.
7.Hallarlospolinomiosminimalesylasformasracionalesdecadaunadelassiguientes
matricesreales
0-1-1 c0-1
10o› oc1,|:°°S0S°“0:|.
-100 -11C -Sena“O50
8.SeaTeloperadorlinealsobreR3representadoenlabaseordenadacanónìcapor
3-4-4
-1 3 2-
2-4-3
Hallarlosvectoresnonuloscx,,...,oz,quesatisfacenlascondicionesdelTeorema3.
133
A= 3 13
-3-3-5
Hallarunamatrizreal0,inversible,talqueP'1APestéenlaformaracional
9.SeaAlamatrizreal
10.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejosyseaTeloperadorlinealsobreF4
representadoenlabaseordenadacanónìcaporlamatriz
OO'-'[0OQKOOWIOOONGC@
HallarelpolinomiocaracterísticodeT.Considerarloscasosa=b=1,a=b=0,a=0,
b=l.Encadaunodeloscasos,hallarelpolinomiominimaldeTylosvectoresal,._.,a,,
nonulosquesatisfacenlascondicionesdelTeorema3-
ll.DemostrarquesiAyBsonmatrices3><3sobreelcuerpoF,unacondiciónnece-
sariaysuficienteparaqueAyBseansemejantessobreFesquetenganelmismopolinomio

261. .'-l.' Hifi/Im/miul
t'.ii';iriei|sticoxelmismopolinomioniiii|m.il.Daiune|ein|\loqueniuesticqueestoes|.iIso
|›.n.|msilriccs4›<~l.
I2.SeaI-nnsubcuerpodelcuerpodelosnumeroscomplejos_\seanI_\Ifm.iiiieesn-n
sohrelalìeinostrarquesi.4yBsoiisemejantessohreelctierpodelosmmieioseompleios.
soiiseiiiejaiitcssobreI-`l.S`ugi-i-mi-iii:DemostrarquelaformaracionaldeIeslamism.i
siseconsidera-Icomoiiiatri/sobreI-'ocomomatri/sobre(`:loiiusmoparaBi.
I3.Sea.-Iunamatri/nxndeeleinentoscomplejos.Demostrarquesitodo\aIorpropio
tle.lesreal.Aesseinejantcaunamatrizdeelementosreales.
I-I.SeaTtinoperadorlinealsobreelespaciol'dedimensionlìnita.l)emostr;irqueexiste
nnvector1eiiI'conestapropiedad:Sifesunpolinomioy/(Tn=U.entonces/(T1:0
ll.iIsector1sellamaunvectorseparadorparaelálgebradelospolinoiniosenIIl(`uando
Itienetmvectorcielico.dai'unademostracióndirectadequecualt|uicrsectorcíclicocs
tinvectorseparadorparaelalgebradelospolinomiosen7'.
IS.SeaFunsubcuerpodelcuerpodelosnúmeroscomplejos3sea_-lunamatri/u›<u
solueI-`.Sea¡›elpolinomiominimalparaA.Siseconsideraa.4coiiiomatri/sobre(`.enton-
ces-ItieneunpolinomioininimalIeonioinatrizn›<nsobre(ÍUsarunteoremasohre
eciiaeioiieslinealesparademostrarquep=_/1¿Sepuedetertambiéncomosededuce
estodelteoremadedescomposicióncíclica?
Io.SeaAunaniatrizn›<nconelementosrealestalque.41+I10Deniostrarque
nespary.sin=ZA-.entoncesAessemejantesobreelcuerpodelosntimerosrealesauna
niatri/del`ormabloque
Pfi1-0
I7.SeaTunoperadorlinealsobretmespaciosectoriall'dedimensionliniia.Suponga-
seque
talelpolinomiominimaldeTesunapoteiiciadetinpolinomioirredueible:
th)elpolinomioiiiiiiinialesigualalpolinomiocaracteri.s'tieo.
Demostrarqueiiinguiisubespacionotrivialin\'arianteporTtieneunsubespaciocoin-
plementarioinvarianteporT.
dondeIeslamatri/tinidadIr›<lr.
I8.Si'I'esunoperadorlinealdiagoiiali7abIe-eiitoiicescadasubespacioimaruinteporI
ticiicunsubespacioeoniplenientarioin\'ai'ianteporT.
I9.SeaTunoperadorlinealsobreelespacioI'dedimensionlinita.l)emostrarqueI
tienetinvectorcíclicosi.ysolosi.esciertolosiguiente:cadaoperadorlineal(queconinu
taconTesunpolinomioenT.
20.SeaI'unespaciovectorialdedimensionlimiasohreelcuerpoI-sseaIunoperado:
liiiealeii|`.SepreguntacuandoseverilìcaquecadaxcctornonulodeIestinxectorci~
clicoparaT.Demostrarqueesteeselcasosi.)solosi_elpolinomioc;ir;icteristieopara
IesirreducìblesobreI-`.
2I.SeaAtiiiamatrizn›<nconelementosrm/vsSeaI'eloperadorlinealsohreR"ie
prescntadoporAcnlabaseordeiiadacanónìca3sea(eloperadorlinealsohre('”rcpre
sentadoporAenlabaseordenadacanonica.l'sai'elresultadodell-.icrcicioIUparade
mostrarlosiguiente:silosúnicossubespaciosinxariantcsporIsonR"_\elsul¬esp;ieio
cero.entoncesL'esdiagonalivahle.

262. I.u\/urnunrmimmli'di-.hirdun 243
7.3.LaƒbrmadeJordan
SupóngasequeNesunoperadorlinealnilpotenteenelespacioVdedi-
mensiónfinita.SeconsideraladescomposicióncíclicaparaNqueseobtiene
delTeorema3.Setieneunenteropositivoryrvectoresnonegativosoc,,__.,oz,en
VconN-anuladorespl,...,p,,talesque
V=Z(ai;N)G9---(¬9Z(0ff;N)
yp,-Hdivideapiparai=1,.._,r-I.ComoNesnilpotente,elpolinomio
mininialesxkparaalgúnk5n.Así,todop,esdelaformap¡=xkylacondición
dedivisibilidadsimplementediceque
¡fii2k22 Zkf.
Porsupuesto.k,=kyk,2l.Lamatrizasociadadexk*eslamatrizk,-›<kí.
00 00
IO 00
(7“24) Ai=01 Q0-
I Ó I O
U Q I I
I I Q I
00...1()
Así.elTeorema3daunabaseordenadaparaV,enlacuallamatrizdeNes
sumadirectadematriceselementalesnilpotentes(7-24),cuyasdimensiones
deerecencuando1'crece.Porloqueseveque,asociadosconunamatriznilpo-
tenten›<n.haytinenteropositivoryrenterospositivosk,,___,k,.demodo
quek,+---+k,=nyk,-2k,-H,yestosenterospositivosdeterminanla
formaracionaldelamatriz,esdecir,determinanlamatriz,salvosemejanza.
Heaquíunpuntoquedeseamosdestacarrespectoaloperadornilpotente.
ElenteropositivoresjustamentelanulidaddeN;enefecto,elespacionulo
tienecomobaselosrvectores
Nh"lap
Si1estáenelespacionulodeN,sepuedeescribirofenlaforma
0fi=fi0li¬l- +ff0!f
donde/,íesunpolinomio,cuyogradosepuedesuponermenorqueki.Como
.V1=0.paratodoitenemos
0=N(f.-af)
=N_f¿(N)(X¡
=(IlÍf¡)(I¿.
Asi.-\j/,-esdivisibleporx'*,ycomogrdl/,ïl-A',-.elloquieredecirque
fl=(.l_¿.k.-i
dondec,-esciertoescalar.Peroentonces
a=c¡(:i:'°'_1a1)-l-----l-cf(;t°'*"”1a,)

263. 244 ¡4Igelirulineal
quemuestraquelosvectores(7-25)formanunabaseparaelespacioiiiilodeN.
lillectorpuedeobservarqueestehechoestaiiibiciiclarodesdeelpuntode
vistainatricial.
Loquesedeseahacerahoraescombinarloestablecidoparaoperadores
omatricesnilpotentesconelteoremadedescomposiciónprimadelCapítulo6.
Lasituacióneslasiguiente:supóngasequeTesunoperadorlinealsobreI'y
queelpolinomiocaracterísticodeTsepuedefactorizarsobreFcomosigue
f=(zi:-c1)d'---(zi:-ci)d*
dondeloscl,...,c,,sonelementosdistintosdeFydí21.Entonceselpoli-
nomiominimaldeTserá
iv=(iv-01)"(af-Cr-)'*
dondel5ri5di.SiW,-eselespacionulode(T-c,-I)"',entonceselteorema
dedescomposiciónprimadiceque
V=W1®°°'®Wk
yqueeloperadorT,inducidoenW,-porTtienepolinomiominimal(x-c¿)"'.
SeaN,-eloperadorlinealenW¿definidoporNi=T,-c,-I.EntoncesN,esnil-
potenteytieneunpolinomiominimalx".EnW¡,TactúacomoMmáseles-
calarc¿veceseloperadoridentidad.Supóngasequeelegimosunabasedelsub-
espaciol/V,quecorrespondaaladescomposicióncíclicadeloperadornilpo-
tenteN,-_EntonceslamatrizdeT,-enesabaseordenadaserálasumadirecta
dematrices
c0---00
1c---00
(7-26) EE E2
c
'00-~lc
cadacualconc=c,-.Además,lasdimensionesdeestasmatricesdecrecerán
alirdeizquierdaaderecha.Unamatrizdelaforma(7-26)sellamaunamatriz
elementaldeJordanconvalorpropioc.Ahora,siseconsideranenconjunto
todaslasbasesparaW¡,seobtieneunabaseordenadadeV.Sedescribirála
matrizAdeTenestabaseordenada.
LamatrizAeslasumadirecta
A,0 0
(7-27) A=9Í” 0.
00 A,
dematricesA,,...,A,,.TodaA,esdelaforma
Jl”0 0
to_
A»-=?1”9
00-JS?

264. lasIiirmusrm-iiniuli'di'.lunlun 245
dondecadaJi"eslamatrizelementaldeJordanconvalorpropioci.También
encadaAiladimensióndelasmatricesJi"decrececuandojcrece.Sediráque
unamatrizn›<n,A,quesatisfacetodaslascondicionesdescritashastaahora
(paraescalaresdistintosci,-..,cii)estáenformadeJordan.
HemosobservadoquesiTesunoperadorlinealcuyopolinomiocaracte-
rísticosepuedefactorizarcompletamentesobreelcuerpoescalar,entonces
existeunabaseordenadadeV,enlacualTestáenformadeJordan.Deseamos
mostrarahoraqueestamatrizesalgounívocamenteasociadoconT,salvo
elordenenqueseescribenlosvalorespropiosdeT.Esdecir,sidosmatrices
estánenformadeJordanysonsemejantes,entoncesdifierensoloenlaorde-
nacióndelosescalaresci.
Launicidadsevecomosigue.Supóngasequeexisteunabaseordenada
deVenlacualTestárepresentadoporlamatrizdeJordanA,descritaante-
riormente.SiAiesunamatrizdi›<di,entoncesdiesclaramentelamultiplicidad
decicomoraízdepolinomiocaracterísticodeAodeT.Enotraspalabras,
elpolinomiocaracterísticodeTes
f=(:v-cild'---(:v-00"'-
Estodemuestraqueci,___,ciiydi,.__,diisonúnicos,salvoelordenenque
seescriben.ElqueAsealasumadirectadelasmatricesAi,nosdaunadescom-
posiciónensumadirectaV=WiG)~--(BWiiinvarianteporT.Obsérvese
ahoraqueWidebeserelespacionulode(T-ciI)",donden=dimV;enefec-
to,Ai-cilesevidentementenilpotenteyAi-cilesnosingularparajséi.
AsívemosquelossubespaciosWisonúnicos.SiTieseloperadorinducido
enWiporT,entonceslamatrizAiestáunívocamentedeterminadacomola
formaracionalde(Ti-cil).
QueremosahorahaceralgunasobservacionesmásrespectoaloperadorTy
lamatrizdeJordanAquerepresentaaTenunabaseordenada.Ellasson:
(1)CadaelementodeA,quenoestéenladiagonalprincipaloinmediata-
mentedebajodeéstaes0.EnladiagonaldeAestánloskvalorespropiosdis-
tintosci,___,cideT.Tambiénciestárepetidodiveces,dondedieslamulti-
plicidaddecicomoraízdelpolinomiocaracterístico,esdecir,di=dimWi.
(2)Paratodoi,lamatrizAieslasumadirectadenimatriceselementales
deJordanJi”convalorpropioci.Elnúmeroniesprecisamenteladimensión
delespaciodevectorespropiosasociadosalvalorpropioci.Enefecto,nies
elnúmerodebloqueselementalesnilpotentesenlaformaracionalde(Ti-cil),
yesasíigualaladimensióndelespacionulode(T-cil).Enparticular,ob-
sérvesequeTesdiagonalizablesi,ysolosi,ni=diparatodoi.
(3)ParatodoielprimerbloqueJPenlamatrizAiesunamatrizri›<ri,
donderieslamultiplicidaddecicomoraízdelpolinomiominimaldeT.Esto
sedesprendedequeelpolinomiominimaldeloperadornilpotente(Ti-cil)
esx".
Porsupuesto,comodecostumbre,setienenresultadossemejantesparalas
matrices.SiBesunamatrizn›<nsobreelcuerpoFysielpolinomiocaracte-
rísticodeBsefactorizacompletamentesobreF,entoncesBessemejantesobre

265. 240 .-I_I_i:i-luii¡Im-ul
I-`atiiiamatri/rixn.A.enlaformade.lordan.y.4esúnicasalvoelordende
losvalorespropios.dicequeAeslaformadeJordandeB.
ObsérvesetambiénquesiFesunctierpoalgebraicamentecerrado,enton-
ceslasacotacionesanterioressonválidasparatodooperadorlinealsobreun
espaciovectorialdedimensiónfinitasobreF,oparatodamatriznxnsobreF.
Asi.porejemplo,todamatrizn›<nsobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos
essemejanteaunamatriz,esencialmenteúnica.enformadeJordan.
Ejemplo5.SupóngasequeTesunoperadorlinealsobreC2.Elpolinomio
característicoparaTes(x-ci)(x-cz),silosnúmeroscomplejosci,(-2son
distintos,o(x-ci)2.EnelpriniercasoTesdiagonalizableyestárepresentado
enunabaseordenadapor
[C10
0C2
Enelsegundocasoelpolinomiominimalde_Tpuedeser(x-c),yentonces
T=cl,opuedeser(x-c)2,encuyocasoTestárepresentadoenunabase
ordenadaporlainatriz
[00
1ej.
Asítodamatriz2x2sobreelcuerpodeloscomplejosessemejanteaunama-
trizdealgunodelosdostiposanteriores.posiblementeconci=cz.
Ejemplo6.SeaAunamatrizcompleja3x3:
200
A=a2 0~
bc-1
ElpolinomiocaracterísticodeAesevidentemente(x-2)2(x+l).Oestees
elpolinomiominimal,encuyocasoAessemejantea
200
120
00--1
oelpolinomiominimales(x-2)(x+ll,encuyocasoAessemejantea
20 0
020-
-'\h0l`2l 00_1
000
(A-2I)(A+I)=3a00
ac00
yasiAessemejanteaunamatrizdiagonalsi.ysolosi.u=0.

266. I_m/iirmusrm¡mm!t«lc.Iurrlmi 247
-i
ElpolinomiocaracterísticodeAes(x-2)4.ComoAessumadirectadedos
matrices2><2,esclaroqueelpolinomiominimaldeAes(x-2)2.Ahora
sia=0osia=l,entonceslamatrizAestáenformadeJordan.Obsérvese
quelasdosmatricesqueseobtienenparaa=0ya=1tienenelmismopo-
linomiocaracterístico,peronosonsemejantes.Ynolosonporqueparala
primeramatrizelespaciosoluciónde(A'-21)tienedimensión3,mientras
queparalasegundamatriztienedimensión2.
Ejemplo7.Sea
OO›--NJOOMOQMOOMODO
Ejemplo8Lasecuacionesdiferencialeslinealesconcoeficientescons-
tantes(Ejemplo14,Capítulo6)danuiiabonitailustracióndelafonnadeJordan.
Seanao.____a,,_inúmeroscomplejosyseaVelespaciodetodaslasfunciones
nvecesderivablesenunintervalodelejerealquesatisfacenlaecuacióndife-
rencial
g.ï+a,__ig1_-lf+---+aifi+a«›ƒ=0.
ax" d:c"“1 da:
SeaDeloperadorderivación.EntoncesVesinvarianteporD,yaqueVesel
espacionulodep(D),donde
p=:r"+-~-+ai:v+ai›
¿CuáleslaformadeJordaiiparaeloperadorderivaciónsobreV?
Seanci, cilasraícescomplejasdistintasdepz
p=(1:-c1)“---(xc;,)".
SeaVielespacionulode(D-ciI)"',estoes,elconjuntodelassolucionesde
laecuacióndiferencial
(D'_C¡I)Tff=0.
Entonces,comoseobservóenelEjemplo15,Capítulo6,elteoremadedes-
composiciónprimadiceque
V=Vi@...(_BVk_
SeaNilarestriccióndeD-cilaVi.LaformadeJordanparaeloperadorD
(enV)estáentoncesdeterminadaporlasformasracionalesdelosoperadores
nilpotentesNi,___,NiienlosespaciosVi,,Vii.
Así,loquesedebeconocer(paralosdistintosvaloresdec)eslaformara-
cionaldeloperadorN=(D-cl)enelespacioVi,queconstadelassolucio-
nesdelaecuación
(D-cI)'ƒ=0.

267. :JH .Íh,'¢'[_lIilIINWII
¿(`tu'iiilosbloqueselementalesnilpotentesIiabraienlaforniaracionalparaN'.'
Sniit'iiiicroseralanulidaddcN;esdecir,ladimensióndelespaciopropioaso-
ciadoalvalorpropioc.Esadimensiónesl,puescualquierfunciónquesatis-
l`aeclaecuacióndiferencial
Dƒ=cƒ
esuninúltiploescalardelafunciónexponencialh(x)=(fx.Portanto,elope-
radorN(sobreelespacioVi)tieneunvectorcíclico.Unabuenaelecciónpara
unvectorcíclicoesg=x"1h:
g(x)=xr-lec:c_
l"stoda
Ng=(T-1):'tt'_2h
Nf-'ig=(-.--i)ih
LovistoenelpárrafoanteriormuestraquelaformadeJordanparaD(en
elespacioV)essumadirectadekmatriceselementalesdeJordan,unaporcada
raízci.
lijercicios
I.SeanNiyN2matrices3x3nilpotentessobreelcuerpoF.DemostrarqueNiyN,
soiiscinejantessi.ysolosi,tienenelmismopolinomiominimal.
2.UsarelresultadodelEjercicioIylaforinadeJordanparademostrarlosiguiente.Sean
_-IyBmatricesnxnsobreelcuerpoFquetienenelmismopolinomiocaracterístico
ƒ=(x_.Codi...(I__ck)d¿
yelmismopolinomiominimal.Siningúndiesmayorque3,entoncesAyBsonsemejantes.
3.SiAesunamatrizcompleja5x5conpolinomiocaracterístico
f=(11-2)“(=v+7)”
ypolinomiominimalp=(x-2)2(x+7),¿cualeslaformadeJordanparaA?
4.¿CuántasposiblesformasdeJordanhayparaunamatrizcompleja6x6depolino-
iniocaracterístico(x+2)4(x-l)2?
5.Eloperadorderivaciónsobreelespaciodelospolinomiosdegradomenoroiguala3
estárepresentadoenlabaseordenada«natural››porlamatriz
GOGOOOO'-*CONOOCJOOO
¿CuáleslaformadeJordanparaestamatriz?(Funsubespaciodelosnúmeroscomplejos.)
6.SeaAlamatrizcompleja

268. Im/mmmmrmmilr«IrJurilun _'-IU
Oi-*Or-ts;Qi--I-OOP-*ONOOr--NOi-¢lO©©©i-*GOGO
0000 0
2 0
llallarlaformadeJordanparaA.
7.SiAesunamatriznxnsobreelcuerpoFconpolinomiocaracterístico
f=tx-caditx-«ad-
¿euáleslatrazadeA?
8.Clasificar,porsemejanza,todaslasmatricescomplejas3x3,A,talesqueA3=I.
9.Clasificar,porseinejanza,todaslasmatricescomplejasnxn,A,talesqueA"=I.
10.Seanunenteropositivo,n22,yseaNunamatriznxnsobreelcuerpoFtalque
N"=0,peroN""'9€0.DemostrarqueNnotieneraízcuadrada;esdecir,quenoexiste
unamatriznxn,A,talqueA2=N.
ll.SeanNiyNZmatricesnilpotentes6x6sobreelcuerpoF.SupóngasequeNiyN,
tienenelmismopolinomiominimalylamismanulidad.DemostrarqueN,yN2sonse-
mejantes.Demostrarqueestonoesciertoparamatricesnilpotentes7x7.
12.UsarelresultadodelEjerciciollydelaformadeJordanparademostrarlosiguiente.
SeanAyBmatricesnxnsobreelcuerpoFquetienenelmismopolinomiocaracterístico
ƒ=(x_c¡)di...(x_ck)dk
yelmismopolinomiominimal.Supóngasequetambiénparatodoilosespaciossolución
de(A-cil)y(B-cil)tienenlamismadimensión.Siningúndiesmayorque6.entonces
AyBsonsemejantes.
13.SiNesunamatriznilpotentekxkelemental,esdecir,N*=0,peroN'*"9€0,
demostrarqueN'essemejanteaN.UsarentonceslaformadeJordanparademostrarque
todamatrizcomplejanxnessemejanteasutranspuesta.
14.¿Cuáleselerrorenlasiguientedemostración?SiAesunamatrizcomplejanxn
talqueA'=-A,entoncesAes0.(Demostración:SeaJlaformadeJordandeA.ComoA'=
-A,entoncesJ'=-J.PeroJestriangular,conloqueJ'=-Jimplicaquetodoelemento
Jescero.ComoJ=0yAessemejanteaJ,sedesprendequeA=0.)(Darunejemplo
dematrizAnonulatalqueA'=-A.)
15.SiNesunamatriznilpotente3x3sobreC,demostrarqueA=I+%N~%N2
satisfaceaA2=I+N,esdecir,queAeslaraizcuadradadeI+N.Usarlaseriebinómica
de(1+1)'/2paraobtenerunafórmulaparecidaparaunaraízcuadradadeI+N.donde
NesunamatriznilpotentenxnsobreC.
16.UsarelresultadodelEjercicio15parademostrarquesicesunnúmerocomplejono
nuloyNesunamatrizcomplejanilpotente,entonces(cl+N)tieneunaraizcuadrada.
EnseguidausarlaformadeJordanparademostrarquetodamatrizcomplejanxn.no
singular,tieneunaraízcuadrada.

269. 250 _-ll_i;¢'I›rnIimul
7.4_Cálculodefactoresinvariantes
SupóngasequeAesunamatriznxnconelementosenelcuerpoF.Se
deseaencontrarunmétodoparacalcularlosfactoresinvariantespi,___,p,
quedefinenlaformaracionalparaA.SecomienzaconelcasosencilloenqueA
eslamatrizadjunta(7.2)deunpolinomiomónico
p=:c"+c,._ix""++cix+c0.
EnlaSección7.1sevioquepestantoelpolinomiominimalcomoelpolinomio
característicoparalamatrizadjuntaA.Ahoraqueremoshaceruncálculodi-
rectoquemuestrequepeselpolinomiocaracterísticoparaA.Enestecaso
x00 0 co
*I IU0 °" 0 C1
:cf-A= -i 0 C2
000--- Á;¢,`_,
000 -1x+¢,..i
Sesumaxveceslafilanalafila(n-1),conloquesequitaxdellugar
(n-1,n-l)sincambiarelvalordeldeterminante.Despuéssesumaxveces
lanuevafilan-1alafilan_2.Secontinúasucesivamenteesteprocesohasta
quetodaslasxdeladiagonalprincipalhayandesaparecido.Elresultadoes
lamatriz
000 0x"+---+c1x+c0
--100-- 0:c""1+---+c2x+c1
0-10-- 0:c""2+---+c3:c+c2
Q 0 0 0 o
I O 0 O 0
Q 0 Q I I
0 00 0 :i:2+c,.._1:i:+c,._.2
0 00 -1 x+c»_i
quetieneelmismodeterminantequexl-A.Elelementodelapartesuperior
derechadeestamatrizeselpolinomiop.Sepuedesimplificarlaúltimacolumna
sumandoaellamúltiplosdelasotrascolumnas:
000-- 0p
-i00-- 00
0-10-- 00
000-- 00
000----10
Semultiplicacadaunadelasprimeras(n-l)columnaspor-lyseefectúan
entoncestn--ljiiitcrcambiosdecolumnasadyacentesconelobjetodellevar

270. Im/ni-nm_\mi-imuilr«IvJin-«lun 25!
lacoliniiiianalaprimeraposición.Elefectototaldelos2n--2cambiosde
signosdejaiiialtcradoelvalordeldeterminante.Seobtienelamatriz
1,00---0
010---0
(7-9-s) 001 0.
000---1
Esentoncesclaroquep=det(xl-A).
Vamosamostrarque,paratodamatriznxn,A,hayunasucesióndeope-
racionesdefilasycolumnasquetransformanxl-Aenunamatrizcomo(7-28),
enlaquelosfactoresinvariantesdeAaparecenenladiagonalprincipal.Se
explicaráncompletamentelasoperacionesquesedebenutilizar.
SeoperaráenF[x]'"*",coleccióndelasmatricesnxnconelementosque
sonpolinomiossobreelcuerpoF.SiMesunadetalesmatrices,unaoperación
elementaldefilasobreMesalgunadelassiguientes:
1.MultiplicacióndeunafiladeMporunescalarnonulodeF.
2.Remplazodelar-ésimafilaporlasumadelafilarmásfveceslafilas,
dondefescualquierpolinomiosobreFyr=;ës.
3.IntercambiodedosfilasdeM.
Laoperacióninversadeunaoperaciónelementaldefilaesunaoperación
elementaldefiladelmismotipo.Obsérvesequenosepuedehacerunaafirma-
cióntalsien(1)sepermitenpolinomiosnoescalares.Unamatrizelemental
mxni.estocs.unamatrizelementaldeF[x]"'“”esaquellaquesepuedeob-
tenerdelamatrizunidadmxmpormediodeunaoperaciónelementalde
filasimple.EsevidentequecadaoperaciónelementaldefilasobreMpuede
efectuarsemultiplicandoMalaizquierdaporunaniatrizelementalmxm
apropiada;enefecto,sieeslaoperación,entonces
e(M)=e(I)M_
SeanM,NmatricesdeF[x]"'”"_SedicequeNesequivalenteporfilasaMsi
NpuedeobtenerseapartirdeMporunasucesiónfinitadeoperacioneselemen-
talesdcfila:
M=M0-›M1-›----›M¡,=N.
Evidentemente,NesequivalenteporfilasaMsi,ysolosi,Mesequivalente
porfilasaN,razónporlacualseusarálaterminología«MyNsonequivalentes
porfilas».SiNesequivalenteporfilasaM,entonces
N=PM
dondelamatrizmxm,P,esunproductodematriceselemciitales:
P=Ei___Eb
Enparticular.Pesunamatrizinversible,coninversa
P-1=Er'Eïl.

271. JU .-ll_i;rl›mllm-ul
(`laroquelainversadeIiiprovienedelaoperaciónelciuciitaldelilainversa.
l`odoestoesprecisamentecoiiioeiielcasodelasmatriceseoiielementos
eiiI".Seobtienenrestiltadoseleiiieiitalesparalelosalosdel(`apítiilol.Por
laiito,clsigtiicnteproblcniaqueseplanteaesintroduciruiial`ormaescalón
rediieidaporlìlasparamatricespolinomiales.Aquísepresentauniiiievoolis-
táculo.¿Cóiiiosereduceporfilasunamatriz?Laprimeraetapaesaislarel
primerelementodelafila1ydividircadaelementodelafila1poreseelemento.
lìllonosepuedehacer(necesariamente)cuandolamatriztieneelementospoli-
iioiiiios.Comoseveráenelsiguienteteorema.sepuedesoslayarestadificultad
eiialgunoscasos;sinembargo,noexisteunaformareducidaporfilascomple-
tamenteapropiadaparalamatrizgeneraldeF[x]"'“"_Siseintroducentambién
operacionesdecolumnayseestudiaeltipodeequivalenciaqueresultadeperini-
tirelusodeambostiposdeoperaciones,sepuedeobtenerunaformacaiióiiica
muyútilparatodamatriz.Elinstrumentobásicoeselsiguiente.
Lema.SeaMunamatrizdeF[x]""*"quetienealgunoselementosnoni.ili›.s-
cnsuprimeracolumna,yseapelmáximocomúndivisordeloselementos-dela
columnaldeM.EntoncesMesequivalenteporfilasalamatrizNquetiene
ll
Demostración.Demostraremosalgomásdeloquesehaenunciado.Mos-
traremosqueexisteunalgoritmoparaencontrarN,esdecir,unarecetaque
unamáquinacalculadorapodríautilizarparacalcularNenunnúmerofinito
deetapas.Antetodo,senecesitaciertanotación.
SeaMunamatrizmxnconelementosenF quetieneunaprimera
columnanonula
fi
Mi-_:5_
fm
Sedefine
(7_29) I(Mi)=mingrdfi
faro
=M.C.d. (f1¬...,
Seajuníndicetalquegrd=I(Mi)_Paraprecisar,seajelmenoríndice
iparaelquegrdfi=l(Mi).Paradividircadajiporfisehace
comoprimeracolumna.
(7-30) fi=fi-gi+ri,ri=0ogrdri<grd
Paracadaidiferentede_i,seremplazalafilaídeMporlafilaimenosgiveces
lafilaf.Semultiplicalafilajporelinversodelcoeficientedominantedey

272. Íun/n¡'Imt.\|'m'n›m|lI':lr.lmïlull 253
i-ntoncesscinlflcamtbiannlaslilas¡`yI.lilresultadodeestasoperacionesesuna
|n.i|n//ll'quetienecomoprimeracolumna
L-
T2
(7-31) Mí=73'".
T1
†f+1
Tm
tlnmlceselpolinomiomónicoqueseobtienepornormalizacióndepara
quetengacoeficientedominante1.Hemosdadounprocedimientobiende-
huidoparaasociaracadamatrizMunamatrizM'conlassiguientespropie-
ilmlcsï
(ai)M'esequivalenteporfilasaM.
(blP(M1')=P(M1)-
PUW1)
M;=(_).
Ó
(C)0¬1(M1')<¡(M1)0
lisfácilcomprobar(b)y(c)de(7-30)y(7-31).Lapropiedad(c)esjusta-
menteotromododeestablecerque,oexisteunitalqueri=¡ë0ygrdr¡<grdfj,
obienri=0paratodoiyes(portanto)elmáximocomúndivisorde
li..._,fm.
Lademostracióndellemaesahoramuysimple.Secomienzaconlamatriz
.llaplicándoleelprocedimientoanteriorparaobtenerM'.Lapropiedad(c)
dicequeM'servirácomolamatrizNenellema,o,I(M1')<l(M,).Enelúltimo
uusoseaplicaelprocedimientoaM'paraobtenerlamatrizMm=(M')'.
SiMmnoeselNconveniente,seformaMW=(Mm)'yasísucesivamente.
IIcasoesquelasdesigualdadesestrictas
l(M1)>l(Mí)>l(Mí2))>---
nopuedenseguirmucho.Despuésdenomásquel(M,)iteracionesdeestepro-
culimiento,sedebellegaraunamatrizMl”quetienelaspropiedadesquese
buscan.I
Teorema6.SeaPunamatrizmxmconelementosenelálgebradepoli-
m›nn'nsF Lassiguientesafirmacionessonequivalentes:
(i)Pesinversible.
(ii)EldeterminantedePesunpolinomioescalarnonulo.

273. 254 .llgvlvmlmml
(ni)Peseqttimlerztt'por_/'ilusalumatrizunidadn:xni.
(iv)Pesunprmlu.'mdematriceselena-ntulc.s'.
Dmu›.s-lmción.Ciertamente(i)implica(ii),yaquelal`uncióndetermi-
nanteesmultiplicativaylosúnicospolinomiosinversiblesde sonlospc-
linomiosescalaresnonulos.Enrealidad.enelCapítulo5seusóeladjunto
parahacerverque(i)y(ii)sonequivalentes.Esterazonamientodaunade-
mostracióndiferentedeque(i)sedesprendede(ii).Secompletaráelciclo
(i)-›(ii)
Tl
(iv)4-(iii).
Laúnicaimplicaciónquenoesobviaesque(iii)sedesprendede(ii).
Supóngase(ii)yconsidéreselaprimeracolumnadeP.Ellacontienecier-
tospolinomiosp,,...,pm,y
M.c.d.(pl,...,pm)=l
yaquecadacomúndivisorde171,-..,pmdebedividir(alescalar)detP.Apli-
candoellemaanterioraPsetienelamatriz
I-1 a2 ...am
(1-32) Q=Í?B
O
queesequivalenteporfilasaP.Unaoperaciónelementaldefilaalteraelde-
terminantedeunamatrizpor(alomás)unfactorescalarnonulo.Así,detQ
esunpolinomioescalarnonulo.Evidentemente,lamatriz(m--1)><(m-1),B,
en(7-32)tieneelmismodeterminantequeQ.Portanto,seaplicaellemaante-
rioraB.Sisecontinúadeestamanerapormetapas,seobtienelamatriztrian-
gularsuperior
1az ... am-I
R: 9 % ... (fm
00---1
queesequivalenteporfilasaR.Obviamente,Resequivalenteporfilasala
matrizunidadmxm.I
Corolario.SeanMyNmatricesm›<nconelementosenelálgebradepo-
linomiosF[x].EntoncesNesequivalenteporfilasaMsi,ysolosi,
N=PM
dondePesunamatrizinversiblem›<.mconelementosenF
Definimosahoraoperacioneselementalesdecolumnayequivalenciapor
columnasdeunmodoanálogoalasoperacionesdefilayequivalenciaporfilas.
Nosenecesitannuevostiposdematriceselementales,yaquelaclasedematri-

274. l-n/mmmtartamtlr«lrJunlun 255
tr-quesepilctleolitenci:ilhacerunaoperaciónelementalporcolumnaenla
main/unitlaileslamismaquelaclaseobtenidaalusarunasolaoperación
ilvliictllallPorlllil.
Iìi-Iiuición.LamatrizNesequivalentealamatrizMsisepuedepasarde
llttN¡mrmediodeunasucesiondeoperaciones
M:
tallaunadtlascualesesunaoperaciónelementaldefilaounaoperacio'nelemental
¡ltittllllllllll.
It-orema7.SeanMyNmatricesmxnconelementosenelálgebrade
›i›ltm›››m›.vF'Ír.EntoncesNesetuivalenteaMsi,vsolosi,I |_ -
N=PMQ
.lamlcI'esunamatrizinversibledeFx""""'esunamatrizinversibledeJ
II`Ir.<n
leon-ma8.SeaAunamatriznxnconelementosenelcuerpoFysean
¡›,._.,p,losfactoresinvariantesdeA.Lamatrizxl-Aesequivalenteala
matri:diagonalnxncui-'oselementosenladiagonalsonp,,...,p,,1,l,...,1.
Itvnmstración.Existeunamatrizinversiblen›<n,P,conelementosen
ltalquePAP"estáenlaformaracional,estoes.tienelaformabloque
I'/1,0 0
PAP-1=0A*"0
Óò 21,
tlumlcA,eslamatrizasociadaalpolinomiop¡.DeacuerdoconelTeorema7,
I.itll:|ll'l/
tt'241%) P(xI--A)P"1=xl-PAP-1
t-.equivalenteaxl-A.Ahora
xt-A,0 0
it-tuxl-PAP-1= 0xI`A”``0
0 O --xl-A,
«I-milelosvariosIrepresentanlasdistintasmatricesunidaddedimensiónapro-
|›|.nl.i.AIcomienzodeestasecciónsediscutióquexl-A,esequivalentea
I.imatriz
.Í unO unG
1---0
O. os 1

275. 356 .llgrlvralineal
l)e(7-33)y(7-34)eselaroqueil-.4esequivalenteaunamatri/diagonal
quetienelospolinomiospl.y(tt-r)unoseiiladiagonalprincipal.Poruna
sucesióndeintercambiosdetìlasycolumnassepuedenordenarloselementos
deaquelladiagonalenelordenquesedesee;porejemplo,p,,...,p,,I,.._,1.I
ElTeorema8nodaunmedioeficazparacalcularlosdivisoreselementales
pl,__.,p,,yaquelademostracióndependedelteoremadedescomposición
cíclica.Daremosahoraunalgoritmoexplícitoparareducirunamatrizdepoli-
nomiosaformadiagonal.ElTeorema8sugierequesepuedendisponertambién
esoselementossucesivosenladiagonalprincipaldemodoqueunodividaalotro.
Definición.SeaNunamatrizdeF[x]"'”".SedicequeNestáenlaforma
normal(deSmith)si
(a)todoelementofueradeladiagonalprincipaldeNes0;
(b)enladiagonalprincipaldeNaparecen(enorden)lospolinomiosf1,...,ƒ
demodotalqueƒ,`,dividea_fi,+1,15k5l-1.
Enladefiniciónelnúmerolesl=min(m,n).Loselementosdeladiagonal
principalsonA=Nu,k=1,...,l.
Teorema9.SeaMunamatrizmxnconelementosenelálgebradepo-
linomiosF EntoncesMesequivalenteaunamatri:Nqueestáenlaforma
normal.
Demostración.SiM=0,nohaynadaquedemostrar.SiMaé0sedará
unalgoritmoparaencontrarunamatrizM'queseaequivalenteaMyquetiene
laforma
fio o
,_o
(ves) M-,R
0
dondeResunamatriz(m-l)x(n-1)yfldividecadaelementodeR.
Conellosehabráterminadolademostración,yaquesepuedeaplicarelmismo
procedimientoaRparaobtenerfz,etc.
Seal(M)elmínimodelosgradosdeloselementosnonulosdeM.Hállese
laprimeracolumnaquecontengaunelementodegradol(M)eintercambiar
esacolumnaconlacolumnal.SellamaráalamatrizresultanteM“”.Descri-
bimosunprocedimientoparahallarunamatrizdelaforma
g0 0
(7-36) (ÍS
O
queesequivalenteaM(0).EmpezamosporaplicaralamatrizMm'elproce-
dimientodellemaanterioralTeorema6,procedimientoquesellamaráPL6.
Resultaunamatriz

276. Í-U-Y/Urtttmm|~|`nttttlI'ala'.luttltttt 2.57
pa ... b
(7_37) Mu):
oe---f
Siloselementosa,___,bsontodosnulos,bien.Sino,seusaelanálogodePL6
paralaprimerafila,procedimientoquesellamaráPL6'.Elresultadoesuna
matriz
qO O
(7-ss) M<2›='_'fl*É
btdt fr
dondeqeselmáximocomúndivisordep.a,_.._b.ParaobtenerMalpuede
habersealteradoonolabuenaformadelacolumna1.Sisehaalterado,,se
aplicaPL6otravez.Yestoesloquesebusca.Ennomásdel(M)etapas
Maȃ?,MmPH'MmPH..._,Mm
sedebellegaraunamatrizM“'quetienelaforma(7-36),yaqueencadaetapa
sucesivasetienequel(M"**")<l(M“").Sedesignaelprocesoqueseacaba
dedefinirporP7-36:
Mm) P7-36Mu).
En(7-36),elpolinomiogpuedeonodividircadaelementodeS.Sino,hallar
laprimeracolumnaquetieneunelementoquenoseadivisibleporgysumar
talcolumnaalacolumna1.Laprimeranuevacolumnacontieneagyunele-
mentogh+rdonder=¡é0ygrdr<grdg.AplicandoelprocesoP7-36,el
resultadoseráotramatrizdelaforma(7-36),dondeelgradodelcorrespon-
dienteghadecreeido.
Ahoraesobvioqueenunnúmerofinitodeetapasseobtendrá(7-35),es
decir,sellegaráaunamatrizdelaforma(7-36)dondeelgradodegnopuede
reducirsemás.I
QueremoshacerverquelaformanormalasociadaaunamatrizMesúnica.
Sevierondoscosasquedanlaclavedecómolospolinomiosf,,___,f,enel
Teorema9estándeterminadosunívocamenteporM.Primera,lasoperaciones
elementalesdefilaydecolumnanocambianelvalordeldeterminantedeuna
matrizcuadradaenmásqueunfactorescalarnonulo.Segunda,lasoperaciones
elementalesdefilaydecolumnanocambianelmáximocomúndivisordecada
elementodeunamatriz.
Definición.SeaMunamatrizmxnconelementosenF Sil5k5
min(m,n),sedefineö,,(M)comoelmáximocomúndivisordelosdeterminantes
detodaslassubmatriceskxkdeM.

277. ÍTH -Iltteltralineal
Recuérdesequeunasuhtnatri/lt'›<ltdeMesaquellaqueseobtienesu
primiendom-klil-asyn-kcolumnasdeM.Enotraspalabras.seeligen
ciertosk-tuples
1=('il›-°~›'i¡r)›
J=(.7'1›--››.7'k)›1S.7-1<"'<.7'kÉfl
yseobservalamatrizformadaporesasfilasycolumnasdeM.Estamosinte-
resadosenlosdeterminantes
Íllaf.'''Miu.
(7-39) Dr.J(M)=det-2 E-
Míuji °'°Illinjb
Elpolinomioök(M)eselmáximocomúndivisordelospolinomiosD,__,(M),
cuandoIyJdescribentodoslosposiblesk-tuples.
Teorema10.SiMyNsonmatricesmxnequiralentes,conelementos
enF[x],entonces
(7-40) ö,,(M)=ö,,(N).lSkSmin(m,n).
Demostración.Essuficientedemostrarqueunasolaoperaciónelemental
defilaenocambiaaök.Comolainversadeeestambiénunaoperaciónele-
mentaldefila,bastacondemostrarlosiguiente:Siunpolinomiofdividea
todoD,__,(M),entoncesfdivideaD,__,(e(M))paratodoslosk-tuplesIyJ.
Comoestamosconsiderandounaoperacióndefila.seanoq...._otmlasfilas
deMyusemoslanotación
DJ(aii›°°-1aiii)=JDÍ.-KIM)-
DadosIyJ,¿cuáleslarelaciónentreD,__,(M)yD,__,(e(M))'?Seconsideranlos
trestiposdeoperacionese:
(a)multiplicacióndelafilarporunescalarcnonulo;
(b)remplazodelafilarporlafilarmásgveceslafilas.ral:s;
(c)intercambiodelasfilasrys.r#s.
Sedejaaunladoporelmomentoeltipo(c)ysetratarádelostiposIa)y(b)
quesolocambianlafilar.Sirnoesunodelosindicesi,,__._ik,entonces
Dr.J(e(M))=D¡__,(.lI).
Sirestáentrelosindicesil,_._,ik,entoncesparalosdoscasostenemos
(3) =I)-Í(0¿íu---1Can---1aiii)
3:' ..-,af, .--,
=cD¡_¡(M);
D¡'J(6(i1l[)) -'=DJ(0¿¿¡,...,01,-+gas,_..,an)
=DI,J(¡1I) "l`gDJ(aii1' '°1a-S1°°-1an)-

278. Las/urmu.srm-inmtli'tli-.lurilim 259
Paralasoperacionesdeltipo(a)esclaroquecualquierfquedivideaD,_,(M)
tambiéndivideaD,__,(e(M)).Paraelcasodelaoperacióndeltipo(b)obsér-
veseque
D_r(0a-.,---,01,,...,af.)=0,sis=il-paraalgúnj
D_r(0f»i.›---›Of.,__,,añ)-.=±Dr'._r(-W),sis=#i¡paratodoj.
I.aI'enlaúltimaecuacióneselk-tuple(i,,__,s,___,ik)ordenadoenorden
creciente.Ahoraesevidenteque,sifdividecadaD,__,(M),entoncesfdivide
acadaD,__,(e(M))_
Lasoperacionesdeltipo(c)puedentratarsemásomenosporelmismo
razonamientodado,ousandoelhechodequetaloperaciónpuedeserefec-
tuadaporunasucesióndeoperacionesdelostipos(a)y(b).I
Corolario.TodamatrizMdeF[x]""”'esequivalenteprecisamenteauna
matrizNqueestáenformanormal.Lospolinomiosf,,.__,fi,queaparecen
enladiagonalprincipaldeNson
5(M)
f=-_-'í-i, lSkSmin(m,n)
*mmm
donde,porconveniencia,sedefineò`0(M)=1.
Demostración.SiNestáenformanormalconelementosenladiagonal
fl,___,j,,esmuyfácilverque
mM=m~n.|
PorsupuestoquelamatrizNenesteúltimocorolariosellamalaforma
normaldeM.Lospolinomiosf¡,___,f,sonllamadosamenudolosfactores
invariantesdeM.
SupóngasequeAesunamatriznxnconelementosenF,yseanp,,___,p,
losfactoresinvariantesdeA.Seveahoraquelaformanormaldelamatriz
xl-Atieneenladiagonalloselementos1,1,___,1,p,,___,pl.Elúltimo
corolariodicequésonpl,___,p,,entérminosdelassubmatricesdexI-A.
Elnúmeron-reselmayorktalqueö,_(xI-A)-=l.Elpolinomiominimal
p,eselpolinomiocaracterísticodeAdivididoporelmáximocomúndivisor
delosdeterminantesdetodaslassubmatrices(n-1)x(n-1)dexl-A,etc.
Ejercicios
I.¿EsverdaderoofalsoquetodamatrizdeF[x]"”"esequivalenteporfilasaunamatriz
triangularsuperior?
2.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinitayseaAlamatriz
dcTenunabaseordenada.EntoncesTtieneunvectorcíclicosi,ysolosi,losdeterminantes
delassubmatrices(n-1)x(n-I)dexl-Asonpìimosrelativos.
3.SeaAunamatriznxnconelementosenelcuerpoFyseanfi»___,_f,,loselementos
deladiagonaldelaformanormaldexl-A.¿ParaquématricesAesfl#=I?

279. --'UU Ilgrlii-iilitiml
4.CoiistruirunoperadorlinealI'conpoliiioinioiniiiiinal_\'1(.\'-1)*ypolinomiocarac-
terístico.r-'(.\-|)'*_l)escrihirladescoinposiciónprimadelespaciovectorialporTyhallar
lasproyeccionessobreloscomponentesprimos.Hallarunabaseenlacuallamatrizde
'I'esteenl`ormadeJordan.Hallartambiénunadescomposiciónexplícitaensumadirecta
delespaciosubespaciosT-cíclicos,comoenelTeorema3ydarlosfactoresinvariantes.
5.SeaTeloperadorlinealsobreR8representadoenlabasecanónìcaporlamatriz
OOOOOOOI-*Qi-¢i-›Qi-›OOi--©›-al-I©I-I©©I-IOi-i-i-^OOO›-^OI-*I-*I-*OOOI-^OOHOOOOI-*OHOOOOOP-Qi--i--Oi-li-Ii-Ii-I
A-_=
(a)Hallarelpolinomiocaracterísticoylosfactoresinvariantes.
(b)HallarladescomposiciónprimadeR8porTylasproyeccionesenloscomponentes
primos.Hallarladescomposicióncíclicadecadacomponenteprimo,comoenelTeorema3.
(c)HallarlaformadeJordandeA.
(d)HallarunadescomposiciónensumadirectadeR”ensubespaciosT-cíclicos.como
enelTeorema3.(Sugerencia:Unmododehacerloesusarelresultadoen(b)yunaapro-
piadageneralizacióndelasideasestudiadasenelEjemplo4.)
7.5.Resumen:operadoressemisimples
Enlosdosúltimoscapítulosnoshemosocupadodeunoperadorlineal
simpleTsobreunespaciovectorialVdedimensiónfinita.Elprogramahacon-
sistidoendescomponerTensumadirectadeoperadoreslinealesdenaturaleza
elemental,conelobjetodetenerinformacióndetalladarespectoacómo«opera››
TsobreelespacioV.Resumimosloquesehahechohastaahora.
ComenzamosestudiandoTpormediodelosvalorespropiosylosvectores
propios.lntrodujimosoperadoresdiagonalizables,operadoresquepuedenser
completamentedescritosenterminosdelosvaloresyvectorespropios.Obser-
vamosentoncesqueTpodíanotenerunvectorpropiosimple.Aunenelcaso
deuncuerpoescalaralgebraicamentecerrado,cuandotodooperadorlineal
tienealmenosunvectorpropio,seobservóquelosvectorespropiosdeTno
generabannecesariamenteelespacio.
Sedemostróluegoelteoremadedescomposicióncíclica,queexpresacual-
quieroperadorlineaìcomosumadirectadeoperadoresconunvectorcíclico,
sinhipótesisalgunaacercadelcuerpoescalar.SiUesunoperadorlinealcon
unvectorcíclico,existeunabase{ot,,.___oz,,¦con
Uai=aƒ+1› j=l:'~'›n_l
Uan í ._ __ ..' -_c¶¿_1a¶¡¢

280. l-tt\'/t›t'ttttt.\'t'm'tuttttlI'ali'.lurtlutt QÚÍ
I-`IefectodeUsobreestabaseesentoncestrasladarcadaoz¡alsiguientevector
fz,,-+1,conexcepcióndequeUot,,esunacombinaciónlinealpreestablecidade
losvectoresdelabase.ComoeloperadorlinealgeneralTessumadirectade
unnúmerofinitodetalesoperadoresU,seobtuvounadescripciónexplícita
yrazonablementeelementaldelefectodeT.
Acontinuaciónseaplicóelteoremadedescomposicióncíclicaaoperadores
nilpotentes.Paraelcasodeuncuerpoescalaralgebraicamentecerrado,secom-
binóestoconelteoremadedescomposiciónprimaparaobtenerlaformade
.lordan.LaformadeJordandaunabase{ot¡,___,ot,,}delespacioVtalque,
paratodoj,obienTajesunmúltiploescalardeot,-,obienTot¡=cot¡+ay-+1.
TalbasedescribeciertamenteelefectodeTdemodoexplícitoyelemental.
Laimportanciadelaformaracional(odelaformadeJordan)proviene
dequeexiste,másbienquedelhechoquesepuedacalcularencasosdetermi-
nados.ClaroestáquesisetieneunoperadorlinealespecíficoTysepuedecalcu-
larsuformacíclicaodeJordan,esloquehayquehacer,pues,teniendo›¿--zi
forma,sepuedededucirunagrancantidaddeinformaciónacercadeT.Dos
tiposdiferentesdedificultadessurgenenelcálculodeesasformascanónicas.
Unaesdesdeluegololargodeloscálculos.Otra,quepuedenohaberunme-
todoparahacerloscálculos,inclusosisetieneneltiempoylapacienciane-
cesarios.Lasegundadificultadsurge,porejemplo,altratardehallarlaforma
deJordandeunamatrizcompleja.Sencillamentenohayunmétodobiende-
finidoparafactorizarelpolinomiocaracterístico,yasiunoquedadetenidoal
empezar.Laformaracionalnopresentaestadificultad.ComosevioenlaSec-
ción7.4,hayunmétodobiendefinidoparahallarlaformaracionaldeuna
matriznxndada;contodo,loscálculossonporlogeneralextremadamente
largos.
Enelresumendelosresultadosdeestosdosúltimoscapítulosnosehamen-
cionadoaúnunodelosteoremasquesedemostraron.Eselteoremaquedice
quesiTesunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinita
sobreuncuerpoalgebraicamentecerrado,Tseexpresaunívocamentecomo
sumadeunoperadordiagonalizableydeunoperadornilpotentequeconmutan.
Estosedemostróconelteoremadedescomposiciónprimayconciertainfor-
maciónsobrelosoperadoresdiagonalizables.Noesesteunteorematanpro-
fundocomoeldeladescomposicióncíclicaoeldelaexistenciadelaforma
deJordan,perositieneaplicacionesimportantesyútilesenalgunaspartesde
lamatemática.Paraconcluirestecapítulodemostraremosunteoremaanálogo
sinsuponerqueelcuerpoescalaresalgebraicamentecerrado.Comenzaremos
definiendolosoperadoresquedesempeñanelpapeldelosoperadoresdiago-
nalizables_
Definición.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpo
FyseaTunoperadorlinealsobreV.SedicequeTessemisiinplesitodosubespacio
T-invariantetieneunsubespaciocomplementarioT-invariante.
Loquesevaademostraresque,conciertasrestriccionessobreelcuerpoF,
todooperadorlinealTseexpresaunívocamenteenlaformaT=S+N,don-

281. 20.' ÂlRt'lIt'ullmïtl
deSessemisiinple,NesnilpotenteySN==NS.Primerosehandecaractcri/.ar
losoperadoressemisimplespormediodesuspolinomios-minimales,yesta
caracterizaciónharáverque,cuandoFesalgebraicamentecerrado,unope-
radoressemisimplesi,ysolosi,esdiagonalizable.
Lema.SeaTunoperadorlinealsobreelespaciovectorialdedimensión
finitaVyseaV=W1EB---EBWkladescomposiciónprimadeT;esdecir,
sipeselpolinomiominimaldeTyp=p','---pi*eslafactorizaciónprimadep,
entonceseselespacionulodepJ-(T)'1`.SeaWelsubespaciodeVqueesinva-
rianteporT.Entonces
W=(WÑW1)€B"'€B(WÑWi_)
Demostración.Paralademostraciónsenecesitarecordaruncorolariode
lademostracióndelteoremadedescomposiciónprima,enlaSección6.8.Si
E,,___,E,,sonlasproyeccionesasociadasaladescomposiciónV=W¡G9---EB
Wk,entoncescadaEJ-esunpolinomioenT.Estoes,existenpolinomios11,,___,hk
talesqueEJ-=h)-(T).
SeaahoraWelsubespacioqueesinvarianteporT.Siotesunvectorcual-
quieradeW,entoncesoz=al+''°+ak,conotjen Ahoraotj=E141=
h¡(T)ot,ycomoWesinvariantebajoT,cada1,-estátambiénenW.Asícada
vectorotdeWesdelaformaot=ot,+-''+ot,,_conotjenlaintersecciónWHW,-_
Estaexpresiónesúnica,yaqueV=W,EB---EBWk.Po;tanto,
W=(Wf)Wi)®---®(WñlVt)› I
Lema.SeaTunoperadorlinealsobreV_i°supóngasequeelpolinomiomi-
nimaldeTesirreducìblesobreelcuerpoescalar'F_EntoncesTessemisimple.
Demostración.SeaWunsubespaciodeVinvarianteporT.Sedebede-
mostrarqueWtieneunsubespaciocomplementarioT-invariante.Deacuerdo
conelcorolariodelTeorema3,serásuficientedemostrarquesifesunpoli-
nomioyfiesunvectordeVtalquef(T)/3estáenW.entoncesexisteunvector
otenWconƒ(T)B=f(T)oc.Asi.pues,supóngaseque/testáenVyquefesun
polinomiotalquef(T)BestáenW.Sif(T)B=0,sehaceoz=0yentonces1
esunvectorenWconf(T)/i=ƒ(T)ot_Sif(T)[ìqé0,elpolinomiofnoesdi-
visibleporelpolinomiominimalpdeloperadorT.Comopesprimo,esoquiere
decirquefypsonprimosrelativosyexistenpolinomiosgylitalesquefg+
ph=1.Comop(T)=0setieneentoncesquef(T)g(T)==1.Deestosesigue
queelvector[3debeestarenelsubespacioW;enefecto,
B=¶(T)f(T)B
=a(T)(ƒ(T)B)
cuandof(T)BestáenWyWesinvarianteporT.Sehaceot=/t.I
Teoremall.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciorectorialdedi-
mensiónƒinitaV.Unacondiciónnecesaria_rsuficienteParaqueTseasemisimple

282. ImInrmmrmvmmli'«lc.Iunlun 263
riqueclpolinomiominimalpdeTseadelaformap=pk---pk,dondepk,___,pk
tan¡›olim›mio_s~irreduciblesdistintossobreelcuerpoescalarF_
I)¢-nun-tración.SupóngasequeTessemisimple.Sedemostraráqueningún
poliiiomioirreducìbleestárepetidoenlafactorizaciónprimadelpolinomio
minimalp.Supóngaselocontrario.Entoncesexistealgúnpolinomiomónicog,
noescalar,talquegldivideap.SeaWelespacionulodeloperadorg(T).Enton-
cesWesinvarianteporT.Ahorabien,p=gzhparaalgúnpolinomioh.Como
gnoesunpolinomioescalar,eloperadorg(T)h(T)noeseloperadorceroy
hayunvectorfienVtalqueg(T)h(T)B=,¿0;esdecir,(gli)fi=/=0.Ahora.(gh)/3
estáenelsubespacioW,yaqueg(ghfi)=gzhfi=p[i=0.Peronoexistevector
algunootenWtalqueghfi=ghcz;enefecto,siotestáenW
(9h)<r=(h9)a=h(90f)=M0)=0-
/\síWnopuedetenerunsubespaciocomplementarioT-invariante.contradi-
eicndolahipótesisdequeTessemisimple.
Ahorasupóngasequelafactorizaciónprimadepesp=pk---pk,donde
¡›,,___,pksonpolinomiosmónicos(noescalares)irreduciblesdistintos.Sea
ll'unsubespaciodeVinvarianteporT.SedemostraráqueVtieneunsubes-
paciocomplementarioT-invariante.SeaV=WI9---9Wkladescompo-
siciónprimadeT,esdecir,seaWJ-elespacionulodep_¡(T).SeaTJ-eloperador
liiiealinducidoenI/VjporT,demodoqueelpolinomiominimaldeseael
primopj.Ahora,WÑ esunsubespaciodequeesinvariantepor(o
porT).PorelúltimolemaexisteunsubespacioI/JdeW¡talque =
(WHW,-)9VJ-,yVJ-esinvarianteporTJ-(y,portanto,porT).Entoncestenemos
V=W,(_9.__(_9Wk
=(Wf)W1)CBV1®°"(-:§(Wf)W±)C9V±
=(Wf)W1)+"' +(WmWk)®V1C`B"'®V±-
Porelprimerlemaanterior,W=(WHW1)9---9(WHWk)_Demodo
quesiW'=V,9---9Vk,entoncesV=W9W'yW'esinvariante
pOrT.I
Corolario.SiTesunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensión
/'initasobreuncuerpoalgebraicamentecerrado,Tessemisimplesi,ysolosi,
Tesdiagonalizable.
Demostración.Sielcuerpodelosescalaresesalgebraicamentecerrado,
losprimosmónicossobreFsonlospolinomiosx-c.EnestecasoTessemi-
simplesi,ysolosi,elpolinomiominimaldeTesp=(x-c,)~''(x-ck),
dondeloscl,___,cksonelementosdistintosdeF.Estoesprecisamenteelcri-
terioparaqueTseadiagonalizable,queseestablecióenelCapítulo6.I
DebemosseñalarqueTessemisimplesi,ysolosiexisteunpolinomio_/_
queesproductodefactoresprimosdistintos,talquef(T)=0.Estoessolo
enaparienciadiferentedelacondicióndequeelpolinomiominimalseaun
productodefactoresprimosdistintos.

283. .'64 Al_i,'¢'l›t'ulmml
Seaahoraexpresarunoperadorlinealcoinosuinadeunoperadorlineal
semisimpleydeunoperadornilpotentequeconmutan.Paraellorestringirá
elcuerpodelosescalaresaunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos.Ellector
advertidoveráqueloimportanteesqueelcuerpoFseauncuerpodecaracte-
rísticacero,estoes,queparatodoenteropositivon,lasumal+---+l(nveces)
enFnodebeser0.ParaunpolinomiofsobreF,serepresentaporfl”lak-ésima
derivadaformaldefEnotraspalabras,fl”=Dkj”,dondeDeseloperador
derivaciónsobreelespaciodelospolinomios.Sigesotropolinomio,f(g)re-
presentaelresultadodesustituirgenjfiesdecir,elpolinomioqueseobtiene
porlaaplicacióndefalelementogenelálgebralinealF
Lema(fórmuladeTaylor).SeaFuncuerpodecaracteristicacero__vsean
gyhpolinomiossobreF.SifescualquierpolinomiosobreFcongrdf5n,
entonces
2 ri)
fe)=fin+flwhirg-hi+¡ig-'“-ltg-hr+---+tg-hi".
. n.
Demostración.Loqueestamosdemostrandoesunageneralizacióndela
fórmuladeTaylor.Ellectorprobablementeestaráfamiliarizadoconelcaso
especialenqueh==c,unpolinomioescalar.yg=x.Entalcaso,lafórmula
diceque
f=f(x)=f(c)+f<1><«››<x-ci
+ƒ(2)(C) (x_c)2+___ (x_6),,-
2! n.
Lademostracióndelafórmulageneralesnadamásqueunaaplicación
delteoremadelbinomio
(a+b)k=ak+k¢-ib+ ak-2b2+ +bi¢_
Ellectordeberáverque,comolasustituciónyderivaciónsonprocesoslineales,
solosenecesitademostrarlafórmulacuandof=xk.Lafórmulapara
f=kg)c,_x"sededuceporcombinaciónlineal.Enelcasof=x",con
=o
kín,lafórmuladiceque
gh=hit+¡chi-i(g__h)_|_ hr-2(g__h)2_|_____|.(g_hy;
quenoesmásqueeldesarrollobinómicode
a"=[h+(ø-h)]'°-I
Lema.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos,seafunpolinomio
sobreFyseaf'laderivadadefLassiguientesafirmacionessonequivalentes:
(a)feselproductodepolinomiosirreduciblesdistintossobreF.
(b)fyf'sonprimosrelativos.

284. las/nrnnii'i'm'uit|uli'tlt'.lurilittt 265
(e)(`umopolinoniiodecoeficientescomplejos,fnotieneraicesrepetidas.
l)cniostración_Dcmostremosprimeroque(a)y(b)sonafirmacionesequi-
vnlcntesacercadeƒlSupóngasequeenlafactorizaciónprimadefsobreel
cuerpoF,algúnpolinomioprimo(noescalar)pestérepetido.Entoncesf=pzh
|›_ir;ialgúnlienF Entonces
ff=p2h,'+
vpestambiénundivisordef'_Luegofyf'nosonprimosrelativos.Conclui-
iiiosque(b)implica(a). `
Ahorasupóngasequef=pk---pk,dondepk,...,pksonpolinomios
irreduciblesnoescalaresdistintossobreF.Sea=f/pj.Entonces
f'=pifi“l-Páf2“l' +Pifk-
Seapunpolinomioprimoquedivideafyaf'_Entoncesp=pkparaciertoi.
'\horabien,pkdivideaƒkparaj=;ëi,ycomopktambiéndividea
tt
f=2Pi-ff
.1-i
xcinosquepkdebedividirapkffk.Portanto,pkdivideafioapkf_Peropknodivide
iiI,-_yaquePi..__,pksondistintos.Asípkdivideapj.Estonoesposible,ya
quepk'tienegradomenorenunaunidadqueelgradodepk-_Concluimosquenin-
¡innprimodivideafyaf',oque(f,f')=1.
Paraverquelaafirmación(c)esequivalentea(a)y(b),senecesitasolamente
observarlosiguiente.SupóngasequefygsonpolinomiossobreF,unsub-
cuerpodelosnúmeroscomplejos.Sepuedeconsiderartambiénafygcomo
polinomiosconcoeficientescomplejos.Laafirmacióndequefygsonprimos
relativoscomopolinomiossobreF,esequivalentealaafirmacióndequefyg
sonprimosrelativoscomopolinomiossobreelcuerpodelosnúmeroscom-
plcjos.Sedejalademostracióncomoejercicio.Seusaestehechocong=f'_
Uhsérveseque(c)noesmásque(a)cuandofesconsideradocomopolinomio
sobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos.Así(b)y(c)sonequivalentespor
elmismorazonamientoquesedioanteriormente.I
Podemosahorademostrarunteoremaquehacemásevidentelarelación
entrelosoperadoressemisimplesylosoperadoresdiagonalizables.
Teorema12.SeaFunsubcuerpodelcuerpodelosnúmeroscomplejos,
icaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseaTunope-
radorlinealsobreV.Sea(BunabaseordenadadeVyseaAlamatrizdeTenla
luiseordenada(B.EntoncesTessemisimplesi,ysolosi.lamatrizAessemejante,
sobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos,aunamatri:diagonal.
Demostración.SeapelpolinomiominimaldeT.SegúnelTeorema11,
I`essemisimplesi,ysolosi,p=pk---pk,dondelospk,___,pksonpolino-
miosirreduciblesdistintossobreF.PorelúltimolemasevequeTessemisimple
si,ysolosi,pnotieneraícescomplejasrepetidas.

285. ¿'00 Algcllralim-al
AhorapestambiénelpolinomiominimaldelamatrizA.SesabequeA
essemejante,sobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos,aunamatrizdiagonal
si,ysolosi,supolinomiominiinalnotieneraícescomplejasrepetidas.Esto
demuestraelteorema.I
Teorema13.SeaFunsubcuerpodelcuerpodelosnumeroscomplejos,
seaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreFyseaTunoperadorlineal
sobreV.ExistenunoperadorsemisimpleSenVyunoperadornilpotenteNen
Vtalque
(i)T=S+N;
(ii)SN=NS.
Además,elSsemisimpleyelNnilpotentequesatisfacen(i)_r(ii),sonúnicosy
cadaunoesunpolinomioenT.
Demostración.Seapk'---p"*lafactorizaciónprimadelpolinomiomi-
nimaldeTyseaf=pk--'pk.Searelmayordelosenterospositivosrk,___,rk_
Entonceselpolinomiofesunproductodefactoresprimosdistintos,_/*esdivi-
sibleporelpolinomiominimaldeT.yasí
f(T)'=0-
Seconstruiráunasucesióndepolinomiosgo,gk,gz, talque
f(a=-2Q,-ff)
J=U
esdivisibleporf"*',n=0,1,2,___Setomago=-0yentoncesf(x-gk,f°)=
f(x)=fesdivisibleporf.Supóngasequesehanelegidolosgo,____g,,_k.Sea
n-1
h=x-2gfƒf
¿-0
demodoque,porsuposición,fih)esdivisibleporf".Sequiereelegirg,,de
modoque
f(h-9»f")
seadivisibleporƒ"“_AplicandolafórmulageneraldeTaylorseobtiene
_"gflfn)= _gflfnl-,(h)"l"ƒn+lb
dondebesciertopolinomio.Porhipótesis,f(h)=qf".Asísevequeparaob-
tenerquef(h-g,,f")seadivisibleporf"*'senecesitasoloelegirg,,detal
modoque(q-g,,f')seadivisibleporf.Estopuedehacerse,yaque_/notiene
factoresprimosrepetidos,conloquefyf'sonprimosrelativos.Siayeson
polinomiostalesqueaf+ef'=lysisehaceg,,=eq,entoncesq-gmf'es
divisibleporf.
Setieneahoraunasucesióngo,gk,___talqueƒ"“dividea
ƒ- g,-fi),Tomemosn=r-1,yentonces,comof(T)'=0,
JO
-
í

286. lasli›rma_sruruinali'deJordan 267
'r-l
f(1'-,gog,~<'r›f<T›f)=0.
Seu
N='ilg-<T›f<T››'=E19,-<T›f<T›f.3
t`oino*ZZg,-ftesdivisibleporf,sevequeN'=0yNesnilpotente.Sea
j=1
.S=T-N,entoncesf(S)=ƒ(T-iv)=0.Comoftienefactoresprimos
distintos,Sessemisimple.
AhorasetieneT=S-!-N,dondeSessemisimple,Nnilpotenteycada
unoesunpolinomioenT.Parademostrarlaunicidad,sepasarádelcuerpo
delosescalaresFalcuerpodelosnúmeroscomplejos.Sea(Bunabaseorde-
iiadadelespacioV.Setieneentoncesque
[Tica=[Siria+[Nim
iiiicntrasque[S]¿Besdiagonalizablesobrelosnúmeroscomplejosy[N](Bes
nilpotente.Estasmatricesdiagonalizablesynilpotentesqueconmutanestán
unívocamentedeterminadas,comosevioenelCapítulo6.I
lzjercicios
I.SiNesunoperadornilpotentesobreV,demostrarqueparacualquierpolinomiof,
lapartesemisimplede_ƒ(N)esunmúltiploescalardeloperadoridentidad(F.subcuer-
podf!C
2.SeanFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos,Vunespaciovectorialdedimensión
linitasobreFyTunoperadorlinealsemisimplesobreV.Sifescualquierpolinomiosobre
I-'_demostrarquef(T)essemisimple.
3.SeaTunoperadorlinealsobreunespaciodedimensiónfinitasobreunsubcuerpo
deC_DemostrarqueTessemisimplesi,ysolosi,esciertolosiguiente:sifesunpolinomio
yf(T)esnilpotente,entoncesf(T)=0.

287. 8.Espaciosconproducto
interno
8.1.Productosinternos
Alolargodeestecapítuloseconsideraránsoloespaciosvectorialesreales
ocomplejos,estoes,espaciosvectorialessobreelcuerpodelosnúmerosrea-
lesoelcuerpodelosnúmeroscomplejos.Elprincipalobjetivoahoraeselestudio
delosespaciosvectorialesenlosquetienesentidohablarde«longitud››deun
vectoryde«ángulo››entredosvectores.Seharáestomedianteelestudiode
ciertotipodefuncióndevalorescalarsobreparejasdevectores,conocidocomo
productointerno.Unejemplodeproductointernoeselproductoescalarde
vectoresenR3.Elproductoescalardelosvectores
(X=(1121,$2,133)Y B=(Í/1›Í/2;Í/3)
enR3eselnúmeroreal
(alli)=11312/1+332?/2'l'1132/3-
Geométricamente,esteproductoescalareselproductodelalongituddeot,
lalongituddeByelcosenodelánguloentreotyB.Es,portanto_posiblede-
finirlosconceptosgeométricosde«longitud››y«ángulo››enR3porladefini-
ciónalgebraicadeunproductoescalar.
Unproductointernosobreunespaciovectorialesunafunciónconpro-
piedadessimilaresalasdelproductoescalarenR3,yentérminosdetalproducto
internosepuedetambiéndefinir«longitud››y«ángulo››_Elcomentariorespecto
alanocióngeneraldeánguloserestringiráalconceptodeperpendicularidad
(uortogonalidad)devectores.Enestaprimerasecciónsediráquéesunpro-
ductointerno,seconsideraránunosejemplosparticularesyseestablecerán
268

288. l-\'pm-tusi-miprmluruilnti-mu 209
.ilguiiasdelaspropiedadesbasicasdelosproductosinternos.Entoncessevol-
veraalatareadediscutirlongitudyortogonalidad.
Dt-linición.SeanFelcuerpodelosnúmerosreales,odeloscomplejos,y
IunespaciovectorialsobreF.UnproductoiiiternosobreVesunafunciónque
miigiiaacadaparordenadodevectoresot,HdeVunescalar(otlfl)deFdetalmodo
queparacualesquieracx,B,ydeVytodoslosescalaresc
(11)(of+Blv)=(alv)+(Bl'r);
(b)(Galli)=0(0f|B);
(c)(Bla)=(ÉÍE),dondelabarraindicaconjugacióncompleja;
(il)(ala)>0siot9€0.
l)cbeobservarsequelascondiciones(a),(b)y(c)implicanque
tr) (alcfl+1)=¡>'(0f|B)+(air).
Utraobservacióndebehacerse.SiFeselcuerpoRdelosnúmerosreales,los
complejoseonjugadosquefiguranen(c)y(e)estándemás;sinembargo,en
elcasodeloscomplejossonnecesariasparalaconsistenciadelascondiciones.
Sinestoscomplejoseonjugadossetendríalacontradicción:
(otlot)>0y(iotliot)=-l(ot|ot)>0.
Enlosejemplosquesiguenyalolargodelcapítulo,Feselcuerpodelos
uuinerosrealesodelosnúmeroscomplejos.
Ejemplo1.EnF"existeunproductointernoquesellamaproductointemo
raiiónieo.Estádefinidosobreot=(xk,___,xk)yli=(yk,_.__y,,)por
(3-1) (alli)=E$1271'-
3
(`uandoF=R,estotambiénpuedeescribirse
=%¬4x1'?/i-
l-'nelcasoreal,elproductointernoeanónicoeselllamadoamenudoproducto
escalar,yserepresentaporot-li.
Ejemplo2.Paraot=(xk,xz)yB=(yk,yz)enR2,sea
(alli)=$13/1_$22/i_$111/2'l'43321112-
Como(ot|ot)=(xk-x2)2+3x§,setieneque(ot|ot)>0siot9€0.Lascon-
diciones(a),(b)y(c)deladefiniciónsepuedenverificarfácilmente.
Ejemplo3.SeanV=F"°`",elespaciodetodaslasmatricesnxnsobreF.
EntoncesVesisomorfoaF"2deunmodonatural;sesigue,pues,delEjem-
plo1,quelaigualdad
=zA.¡1,B_¡¡,
:J:

289. 270 /Il_t,'el›rttlt`m'ul
defineunproductointernosobreV.Además,siseintroducelamatriztrans-
puestaconjugadaB"',dondeB2;=É,-k.sepuedeexpresaresteproductointerno
"XII
sobreFentérininosdelafuncióntraza:
(AIB)=tr(AB"')=tr(B"'A).
Enefecto,
tr<AB*›-2<AB*›,-,-
.7
-M--Ma-[4a-M
eEP
ã
= J`¡<BJ'¡¢°
Ejemplo4.SeaF""1elespaciodelasmatrices(columnas)n›<1sobreF,
yseaQunamatrizinversiblenxnsobreF.ParaX,YenF""'sehace
(XIY)=Y"'Q*QX-
Seidentificalamatriz1›<ldelsegundomiembroconsusoloelemento.Cuan-
doQeslamatrizunidad,esteproductointernoesesencialmenteelmismodel
Ejemplo1;sellamaelproductointemoeanónicosobreF'“''_Ellectordeberá
observarquelaterminologíade«productointemoeanónico»seusaendos
contextosespeciales.Paraunespaciovectorialgeneraldedimensiónfinita
sobreFnohayunproductointernoobvioquesepuedallamareanónico.
Ejemplo5.SeaVelespaciovectorialdelasfuncionescontinuasdevalor
complejoenelintervalounitario,05t51.Sea
ma=fiflwoa
Ellectorestáprobablementemásfamiliarizadoconelespaciodelasfunciones
devalorrealenelintervalounitario,yparaesteespaciolaconjugacióncom-
plejapuedeomitirse.
Ejemplo6Esteesenrealidadunconjuntodeeje1nplos_Porelsiguien-
temétodosepuedenconstruirnuevosproductosinternosapartirdeunodado.
SeanVyWespaciosvectorialessobreFysupóngaseque(|)esunproducto
internosobreW.SiTesunatransformaciónlinealnosingulardeVenW,en-
tonceslaigualdad
PT(0f,B)=(TUITB)
defineunproductointernopksobreV.ElproductointernodelEjemplo4es
uncasoespecialdeestasituación.Tambiénlosonlossiguientes:
(a)SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitaysea
(B={(!1,...,(X,k}
unabaseordenadadeV.Seanek,___,e,,losvectoresdelabasecanónìcaen
F"yseaTlatransformaciónlinealdeVenF"talqueTotk-=ek,j=1,___,ii.
Enotraspalabras,seaTelisomorfismo«natural››deVsobreelproductoin-
ternoeanónicosobreF",entonces
c
L

290. I-.`\¡nn'tt›.\nmproductointerno 27!
tft@¿Gian2Z/kai)=Si$1371-
; k j==l
A-ki.paracadabaseparaVexisteunproductointernosobreVconlapropiedad
deque(ak-otk)==ök-k;enefecto,esfácilverqueexisteexactamenteunosolo
detalesproductosinternos.Másadelanteseveráquecadaproductointerno
sohreI"estádeterminadoporalgunabase(Benlaformaanterior.
(li)VolvamosnuevamentealEjemplo5ytomemosV=W,elespacio
drlasfuncionescontinuasenelintervalounitario.SeaTeloperadorlineal
«multiplicaciónport››,estoes,(Tf)(t)=tf(t),05t51.Esfácilverque
I'eslineal.TambiénTesnosingular;enefecto,supóngasequeTf=0.Enton-
res1/'(1)=0para0StS1;luegof(t)=0parat>0.Comofescontinua,
setienetambiénquef(O)=0,of=0.Ahora,usandoelproductointerno
delEjemplo5,seconstruyeunproductointernonuevosobreVhaciendo
pm,Q)=L'<Tf›<t›"_<Tg›<t›dt
=j,1f<i›ãï›'edt.
Sevuelveahoraalasobservacionesgeneralesparalosproductosinternos.
SupóngasequeVesunespaciovectorialcomplejoconunproductointemo.
I.-ntonces,paratodoot,BenV
(alli)=Re(alfi)+íIm(alli)
dondeRe(otlfl)elm(otlfl)sonlaspartesrealeimaginariadelnúmerocomple-
io(ot|/3).Sizesunnúmerocomplejo,entoncesIm(z)=Re(-iz).Sesigueque
Im(alli)=Rel-i(0flB)]=RG(0fliB)-
Así,elproductointernoestácompletamentedeterminadoporsu«partereal»
deacuerdocon
(H-2) (ale)=Re(ale)+1:Re(alim-
Ocasionalmenteesmuyútilsaberqueunproductointernosobreunespacio
vectorial,realocomplejo,estádeterminadoporotrafunción,lallamadaforma
cuadráticadeterminadaporelproductointerno.Paradefinirla,primerose
representalaraizcuadradapositivade(ala)por||ot||;||a||eslallamadanorma
deotrespectoalproductointerno.Considerandoelproductointernoeanónico
eiiR',C1,R2yR3,ellectorpodráeonvencersedequeesapropiadopensar
enlanormadeotcomola«longitud››o«magnitud››deot.Laformacuadrática
determinadaporelproductointernoeslafunciónqueasignaacadavectoraz
clescalar||a||2_Sesiguedelaspropiedadesdelproductointernoque
lla±ell*=llull*±2Re(ale)+Iløll*
paratodoslosvectoresotyB.Así,enelcasoreal
<~-3›(aim=ku@+ar-åiia-ar.

291. .'72 _-ll_i.¦t'l›t'ultmfttl
Enelcasocomplejoseusa(8-2)paraobtenerlaexpresiónmáseoinplieada
O U
(8-i›(aim=¿1-iia+mr-âiia-mr+5;iia+wir-åiia-wir.
Lasigualdades(8-3)y(8-4)sonllamadaslasidentidadesdepolarización.Obsér-
veseque(8-4)puedetambiénserescritadelasiguientemanera:
4
(aim=â2,fr»iia+reir.
Laspropiedadesobtenidasanteriormentesonválidasparacualquierpro-
ductointernosobreunespaciorealocomplejoV,independientementedesu
dimensión.SevuelvealcasoenqueVesdedimensiónfinita.Comoesdepen-
sarlo,unproductointernoenunespaciodedimensiónfinitapuedeserdescrito
siempreentérminosdeunabaseordenadapormediodeunamatriz.
SupóngasequeVesdedimensiónfinita,demodoque
(B={a¡,...,a,,}
esunabaseordenadadeVyquesetienedadounproductointernoparticular
sobreV;severáqueelproductointernoestácompletamentedeterminado
pOrlosvalores
(8'5) Gir=(Url01;)
quetienenlosparesdevectoresen(B.Siot=ZxkotkyB=Zyk-ak,entonces
k J
(alli)=(gc)Inaklfi)
=ÉíUi¢(0fiklfi)
=É¿UkÚ1'(0fkl0fi')
k 1
=2Úfiikilïk
¡tk
=Y*GX
dondeX,YsonlasmatricesdecoordenadasdeozyIienlabaseordenada(B,
yGeslamatrizconelementosGkk=(otklotk-)_SellamaaGlamatrizdelproducto
iiiternoenlabaseordenada(B.Sesiguede(8-5)queGeshermítiea,esdecir,
queG=G*;sinembargo,Gesunaclasedematrizhermítieamásbienespecial.
Enefecto,Gdebesatisfacer,además,lacondición
(8-6) X*GX>0,X¢0.
Enparticular,Gdebeserinversible.YaqueencasocontrarioexisteunaX=¡é0
talqueGX=0,yparatodatalX,(8-6)esimposible.Enformamásexplícita.
(8-6)dicequeparalosescalaresxk.___,x,,,notodosnulos,
(8'7) iii,-Gjieítïit>0.
J.

292. l-.`\¡›m-mirunpmdmtutntri-mi 273
tonestoseobservaiiiinediatamcntcquecadaelementodeladiagonaldeG
dt-heserpositivo;sincinbargo,estacondiciónparaloselementosdeladiago-
u.iliioesdeltodosuficienteparaasegurarlavalidezde(8-6).Condicionessu-
lu-icntesparalavalidezde(8-6)sedaránmásadelante.
I-Llprocesoanterioresreversible;estoes,siGescualquie'fnatriznxn
-.olireI~`quesatisface(8-6)ylacondicióndequeG=G*_entoncesGeslamatriz
enlabaseordenadaG3deunproductointernosobreV.Esteproductointerno
estadadopor
(alfl)=Y*GX
dondeXeYsonlasmatricesdecoordenadasdeotyBenlabaseordenada(B.
Ejercicios
lSeaVunespaciovectorialy(|)unproductointernosobreV.
(a)Demostrarque(0|/i)=0paratodo[2deV.
(h)Demostrarquesi(ot|[i)=0paratodo/ideV,entoncescx=0.
2.SeaVunespaciovectorialsobreF.Demostrarquelasumadedosproductosinternos
.obreVesunproductointernosobreV.¿Esladiferenciadedosproductosinternosun
¡uoductointerno?Mostrarqueunmúltiplopositivodeunproductointernoesunpro-
ductointerno.
_l.DescribirexplícitamentetodoslosproductosinternossobreR'ysobreC1.
-I.ComprobarqueelproductointernoeanónicosobreF"esunproductointerno.
5.Sea(|)elproductointernoeanónicosobreR2.
(a)Sean-fx=(1,2),[3=(-1,1).Si1'esunvectortalque(ot|y)=-1y(flly)=3,
lt.ill¡lr')'_
(h)DemostrarqueparacadaotenR2setienequeot=(ot|ek)ek+(ot|e2)e2_
ti.Sea(|)elproductointernoeanónicosobreR2yseaTeloperadorlinealT(xk.xz)=
l\¿_xk)_Ahora,Tesla«rotaciónen90“››ytienelapropiedaddeque(ot|Tot)=0paratodo
.eiiR2.Hallartodoslosproductosintemos[|]enR2talesque[otlTot]=0paracadaot.
7.Sea(|)elproductointernoeanónicosobreC2.Demostrarqueexisteunoperador
linealnonuloenC2talque(ot|Ta)è0paracadaotenC2.Generalizarlo_
tt.SeaAunamatriz2x2conelementosreales.ParaX,YenF2“,sea
ƒ_4(X,Y)=Y'AX.
Iii-mostrarquefmesunproductointemosobreR2“si,ysolosi,A=A',Akk>0,
l_.,_>0ydetA>0_
It.SeaVunespaciovectorialrealocomplejoconunproductointerno.Demostrarque
I.ilormacuadráticadeterminadaporelproductointemocumplelaleydelparalelogramo
lla+BH*+lla-BH”=2ll0fll2+2llBll2-
Ill.Sea(|)elproductointernosobreR2definidoenelEjemplo2ysea(Blabaseor-
dt-nadacanónìcadeR2.HallarlamatrizdeesteproductointernoconrespectoaG3.

293. 274 ' .-II_i:¢-braIlncul
ll.Mostrarquelafórmula
.i 1;= _0'1`b*<§«n§aw›pšj+k+l
defineunproductointernosobreelespacioR[x]delospolinomiossobreelcuerpoR.Sea
Welsubespaciodelospolinomiosdegradomenor0igualquen.Restringirelproducto
intemoanterioraWyhallarlamatrizdeesteproductointemosobreWrespectoalabase
ordenada{l,x,...,x"}.(Sugerencia:Paramostrarquelafórmuladefineunproducto
interno,obsérveseque
Um=LMwww
yoperarconlaintegral.)
l2.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitayseaCB={a,.._.,a,,¦-unabasedeV.
Sea(|)unproductointernosobreV.Sic,,___,c,,sonnescalaresarbitrarios,demostrar
queexisteexactamenteunvectorozenVtalque(oz|oz))=c-J-,¡'=l,...,n.
I3.SeaVunespaciovectorialcomplejo.UnafunciónJdeVenVsellama
si.Ita+B)=Jtoz)+.¡(/i),J(coz)=c.I(oz)y.¡(J(oz))=ozparatodorytodooz,[fenV.Si
.Iesunaconjugación,demostrarque
(a)ElconjuntoWdetodoslosozenVtalesque.Ia=ozesunespaciovectorialsobre
RconrespectoalasoperacionesdefinidasenV.
tb)ParacadaozenVexistenvectoresúnicos/3,¬,~enWtalesqueoz=li+i¬,'.
14.SeanVunespaciovectorialcomplejoyWunsubconjuntodeVconlassiguientes
propiedades:
(a)WesunespaciovectorialrealconrespectoalasoperacionesdefinidasenV.
(b)ParacadaozenVexistenvectoresúnicos/i,3'enWtalesqueoz=[3+iy.Demos-
trarquelaecuación.Ia=/3-ig-defineunaconjugaciónenVtalque.loz=ozsi,ysolosi,
cxperteneceaWymostrartambiénqueJeslaúnicaconjugaciónenVconestapropiedad.
15.HallartodaslasconjugacionesenC'yC2.
16.SeaWunsubespaciorealdedimensiónfinitadeunespaciovectorialcomplejoV.
DemostrarqueWsatisfacelacondición(bldelEjercicioI4siiysolosi,cadabasedeWes
tambiénunabasedeV.
l7.SeanVunespaciovectorialcomplejo.JunaconjugaciónsobreV,Welconjunto
delos1deVtalesque.laz=ozy_/`unproductointernosobreW.Demostrarque:
(a)ExisteunproductointernoúnicogenVtalquegta,li)=f(oz,/3)paratodo
zx.IienW.
(b)g(J:x.JB)=g([ì.oz)paratodooz,IienV.
¿Quédicelaparte(a)respectoalarelaciónentrelosproductosinternoscanónicossobre
R1yC'osobreR"yC`"'?
8.2.Espaciosproductointerno
1
Ahoraquesetieneunaideadeloqueesunproductointerno,seatenderá
aloquesepuededeciralrespectodelacombinacióndeunespaciovectorial
yunproductointernoparticularsobreelmismo.Específicamenteseestable-

294. .ampliavariedaddeaplicaciones.Lademostració
I-.`\¡m¢ln.\'Nm¡›rmltu°iulrtirrttu 275
tt-nuilaspropiedadesbásicasdelosconceptosde«longitud››y«ortogonali-
«I.ul››quesonimpuestosalespacioporelproductointerno.
Definición.Unespacioproductointernoesunespacioreal0complejojunto
ny:unproductointernodefinidosobreeseespacio.
Unespacioproductointernorealdedimensiónfinitasellamaamenudo
t-~.|›acioeuclidiano.Unespacioconproductointernocomplejosellamaaveces
t-~|›aciounitario.
Teorema1.SiVesunespacioproductointerno,entoncesparavectores
I.IfcualesquieradeVy'cualquierescalarc
U)|¢`°f||=|C|||°<l|š
(ii)ot||>0paraotql:0;
um(a|B)|s
“W|°f+¡lllS|°f||+||l3||-
Demostración.Lasafirmaciones(i)y(ii)sedesprendencasiinmediatamen-
tcdclasvariasdefiñicionesvistas.Ladesigualdaden(iii)esclaramenteválida
paraot=0.Siot7/=0,hágase
5
'y=fi-- a.
I-ntonces(y|ot)=0y
Osll~†ll2=(B-Í-ftffiaiø-ï¡-¶¡9¡š«)
=elfl›--%§f;@
,__lolaa
“““”l|«l|=
luego|(oz|B)|25||oc||2||B||2.Ahorausando(c)setieneque
lla+ell*=ll<›=ll2+(alt-2)+(fila)+llfill*
=l|«ll2+2Re(ale)+lløll*
5ll«ll2+2llallllflll+llflll*
=(llull+lløll›2.
conloque||a+BII5||a||+||/3||.|
Ladesigualdaden(iii)sellamadesigualdaddeCauchy-Schwarzytieneuna
nmuestraquesi(porejemplo)
1cscero,entonces|(oc|fi)|S||oc||amenosque
:Aid
Hl|«|l2'

295. Í7(› .-l/gt'llïttllmwl
Asi,laigualdadsetieneen(iii)si,ysolosi,otyBsonlinealmentedependientes.
Ejemplo7.SiseaplicaladesigualdaddeCauchy-Schwarzalproducto
internodadoenlosEjemplos1.2,3y5seobtienelosiguiente
(3) IEílïkillklÉ(E|íUk|2)1/2(zI?/k|2)”2
(bl lílïifl/1_11222/1-'231?/2+42?2y2|
É((231-'$B2)2+311?-?¢)”2((?/1_fl/2)2+3?/ä)'/2
(c) Itr(AB*)|S(tr(AA*))”2(tr(BB*))V2
«-1)|(,1f<=«=›;;T:E§dx|s(jjlf<:«=›l2dx)`”(jjlg<«=›l2dr)'”-
Definiciones.SeanozyBvectoresdeunespacioproductointernoV.Entonces
ofesortogonalaBsi(oc|B)=0;comoestoimplicaqueBesortogonalaot,amenu-
dosolosediráqueotyBsonortogonales.SiSesuncon/`untodevectoresdeV,se
dicequeSesunconjuntoortogonalsiemprequetodoslosparesdevectoresdis-
tintosdeSseanortogonales.Unconjimtoortonormalesunconjuntoortogonal
Sconlapropiedadademásdeque||a||=1paratodootdeS.
ElvectorceroesortogonalatodovectorenVyeselúnicovectorconesa
propiedad.Esapropiadopensarunconjuntoortonormalcomoconjuntode
vectoresmutuamenteperpendicularesquetienenlongitud1.
Ejemplo8.LabasecanónìcaenR"oC"esunconjuntoortonormalcon
respectoalproductointernoeanónico.
Ejemplo9.Elvector(x,y)deR2esortogonala(-y,x)conrespecto
alproductointernoeanónico;enefecto,
((21,2/)|(-1/,=v))=-xv+vw=0-
l
Sinembargo,siR2estádotadodelproductointernodelEjemplo2,entonces
(x,y)y(-y,x)sonortogonalessi,ysolosi,
y=å(-3±'Vl3)x.
Ejemplo10.SeaV-=C'”`"elespaciodelasmatricescomplejasn›<n,
yseaE""1lamatrizcuyoúnicoelementononuloesun1enlafilapylacolumnaq.
EntonceselconjuntodetodaslasmatricesE"esortonormalconrespectoal
productointernodadoenelEjemplo3.Enefecto,
(EP'-"|E")=tr(EWE°')=öq,tr(EW)=öq,ö,,,.
Ejemploll.SeaVelespaciodelasfuncionescontinuasdevalorcomplejo
(ovalor'real)enelintervalo0SxS1conelproductointerno
O (fly)=(,*f<x›g"<±`§dx.
Supóngasequeƒ,.(x)=\/ãcos21m1:yqueg,.(x)=\/§senZrcnx.Entonces

296. l'.`\-¡turtosrun¡›rmlm'mnm-rm» 277
¦I./,_ig.,_/`,g,_..'esuneon_iuntoinlinitoortonormal.Enclcasocomle'o22 1
sepuedenlormartambienlascombinacioneslineales
1 .
_@(ƒn+zgn)› n=l,2,....
lleestemodosetieneunnuevoconjuntoortonormalSqueconstadetodas
lasfuncionesdelaforma
h,,(x)=em"-',n=±l,±2,.._
IllconjuntoS'queseobtienedeSadjuntandolafunciónconstante1estambién
mtonormal.Sesuponeaquíqueellectorestáfamiliarizadoconelcálculode
lasintegralesencuestión.
Losconjuntosortogonalesdadosenlosejemplosanterioressontodoslineal-
menteindependientes.Seveahoraquenecesariamenteésteeselcaso.
Teorema2.Unconjuntoortogonaldevectoresnonuloseslinealmente
tmlependiente.
Demostración.SeaSunconjuntoortogonalfinito0infinitodevectores
nonulosenunespacioconproductointernodado.Supóngasequeoq,az.,...,am
sonvectoresdistintosenSyque
fl=C101-l-C202+'°°+Cmam-
l~nt0nces
(Biar)=(ZCiaƒlflkl
1
=0f(0fi¡l°fk)
J
=C¡.;((I¡¢l(X¡¢).
(omo(ocklozk)ql:0,sesigueque
'.;,,=fl“"-%,igkgm.
||°f›=|l
Así,cuandoB=0,cadaek=0,demodoqueSesunconjuntoindependiente.I
Corolario.SiunvectorBescombinaciónlinealdeunasucesiónortogonal
devectoresnonulosoil,...,ot,,,,entoncesBesigualalacombinaciónlineal
particular
fll
(mae)
(H-3) 5=2?-ak.
I==1llaklla
Estecorolariosedesprendedelademostracióndelteorema.Hayotroco-
rolarioquemencionarqueestambiénobvio.Si{oc,,.._,ot,,,}esunconjunto
ortogonaldevectoresnonulosenunespacioconproductointernodedimen-
siónfinitaV,entoncesmSdimV.Estodicequeelnúmerodedirecciones
mutuamenteperpendicularesenVnopuedenexcederladimensiónalgebraica-

297. 278 .-llgeltruInnal
mentedefinidadeV.Elmáximonúmerodedireccionesmutuamenteperpen-
dicularesenVesloqueintuitivamenteseconsideracomodimensióngeomé-
tricadeV,yseacabadeverqueéstanoesmayorqueladimensiónalgebraica.
Elqueestasdosdimensionesseanigualesesuncorolarioparticulardelsiguiente
resultado.
Teorema3.SeaVunespacioconproductointernoyseanB1,...,B,,vec-
toresindependientescualesquieradeV.Entoncessepuedenconstruirvectores
ortogonalesoil,...,og,enVtalesqueparacadak=1,2,...,nelconjunto
l
{0<l¬---,Olla
seaunabasedelsubespaciogeneradoporB1,...,B,,.
Demostración.Losvectoresoq,.._,a,,seobtendránpormediodeuna
construcciónconocidacomoprocesodeortogonalizacióndeGram-Schmidt.
Primero,seaot,=B1.Losotrosvectoresestánentoncesdadosinductivamente
delasiguienteforma:supóngasequeoil,...,am(1SmSn)hayansidoele-
gidosdemodoqueparacadak
{ot1,.._.,a¡¢}, lšlcšm
esunabaseortogonalparaelsubespaciodeVqueesgeneradoporB1,.._,B,,.
Paraconstruirelsiguientevectoroc,,,+1,sea
m .a
(8“9) 0fm+1=¡3-m+1_'2íêüllzi)ak.
I==1llakll
Entoncesoc,,,+¡ak0.Enefecto,yaqueencasocontrarioa,,,+,esunacombi-
naciónlinealdelosal,....ot,,,yluegounacombinaciónlinealdelosa,,.._,a,,,.
Además,sil3j5m.entonces
(«,,+,|«,~›=<ø...+1l«,~›-Él (alla,-›
=(B»›+1|01.f)-(l3»›+1l“f)
=O.
Portanto,{a,,...,oc,,,+1}esunconjuntoortogonalqueconstadem+1vec-
toresnonulosenelsubespaciogeneradoporB,,...,B,,,+¡.PorelTeorema2,
élesunabaseparaestesubespacio.Asílosvectoresa,,...,a,,puedencons-
truirseunotrasotrodeacuerdocon(8-9).Enparticular,cuandon=4,se
tiene
(11=fil
(flzlai)
012=B2_wz' 011
(8-IO)
B4(B4l0¢1)al(fi4|0f2)a2(fitlaâl_I
“*=llalllillaillfi'ìlï-=lF““

298. I-.`\¡›m'tu.\conprmltutumtrmu 270
Corolario.Todoespacioconproductointernodedimensiónfinitatieneuna
Imsenrtomwnuil.
Demostración.SeanVunespacioconproductointeriordedimensión
Imituy{B1,___,B,,}unabaseparaV.AplicandoelprocesodeGram-Schmidt,
seconstruyeunabaseortogonal{oc1,___,ot,,}_Entonces,paraobtenerunabase
ortonormal.seremplazasimplementecadavectoroc,,porog,/||ot,,||_I
Unadelasventajasprincipalesquetienenlasbasesortonormalessobre
Lasbasesarbitrariasesqueloscálculosenqueentrancoordenadassonmás
simples.Paraindicarentérminosgeneralesporquéesasí,supóngasequeVes
nnespacioconproductointeriordedimensiónfinita.Entonces,comoenla
ultimasección,sepuedeusar(8-5)paraasociarlamatrizGconcadabaseorde-
nadaCB={oc,,.__,oc,,}deV.Usandoestamatriz
Gjk=(ak|aJ`)›
sepuedecalcularelproductointernoentérminosdelascoordenadas.SiG3es
unabaseortonormal,entoncesGeslamatrizunidad,yparacualesquiera
escalaresxjeyk
(21010;@Z/wi)=2¡Billi-
J J
(`onloque,entérminosdeunabaseortonormal.elproductointernoenVse
asemejaalproductointernoeanónicoenF".
Aunqueespocoútilparaloscálculos,esinteresanteobservarqueelpro-
cesodeGram-Schmidtpuedesertambiénusadocomocriteriodeindependen-
cialineal.Enefecto,supóngasequeB1, B,,sonvectoreslinealmentede-
pendientesenunespacioconproductointernoV.Paraexcluirelcasotrivial,
supóngasequeB,ql:0.SeamelmayorenteroparaelquelosB¡,___,Bmson
independientes.Entonces1SmSn.Seanoq,___,amlosvectoresobtenidos
porlaaplicacióndelprocesodeortogonalizaciónalosB1,___,Bm.Entonces
clvectorrxmfldadopor(8-9)esnecesariamente0.Enefecto,ot,,,+¡estáenel
subespaciogeneradoporoc,,____,amyesortogonalacadaunodeestosvec-
tores:luegoes.0por(8-8).Recíprocamente,sial,___,amsondistintosde0y
x,,,+,=0,entoncesB1,___,B,,,+,sonlinealmentedependientes.
Ejemplo12.Seconsideranlosvectores
B1=(3,0,4)
B2=(-11O;
Ba=(2,9»11)
enR3conelproductointernoeanónico.AplicandoelprocesodeGram-Schmidt
alosB1,B2,B3,seobtienenlossiguientesvectores
(11=(3,0,
«_=(-1,o,7)“-`-1'°'Q-,'(3'0'4))(3,o,4)
=(_" _(3)07
=(_
__›-l>~_)-1.OPw`l
\./\/

299. .'.\'(l
al=(2,9,11)“Z9'12_l,(3'°'4))(3,0.4)
í
-_
-_-
Estosvectoressonevidentementenonulosymutuamenteperpendiculares.
Luego{oc¡,az,oc¿}esunabaseortogonalparaR3.Paraexpresarunvectorar-
bitrario(xl,xz,x3)enR3comocombinaciónlinealdelosoq,az,a3noesne-
cesarioresolverningunaecuaciónlineal.Paraelloessuficienteusar(8-8).Así,
($171,332,103):_l_25*i01+-_lï5_"-302+%fla
((2›_9› ot
3:1:+41: -4:1:+32:
comoseverificarápidamente.Enparticular.
(1,2,3)=%(3,0,4)+%(~4.0,3)+%(0,9,0)-
Paraverestodesdeotropuntodevista,loquesetieneeslosiguiente:labase
ifi-f2,f3}de(R3)*,queesdualdelabase{oc,,ocz,oc3},estádefinidaexplíci-
tamentepor:
4
f1(331›332;333)= ¬¶§
-4 3
f2(1U1›1U2›$a)c32;-xa
fa(33i,162,103)=%
25 (
(2›9; _ 0: __4›O:
(O,9,0).
4›0.3)
llg¢'I›mlmml
yestasecuacionespuedenserescritasenformamásgeneralcomo
f¡(171,332,333)((x1'|a¡).
Finalmente,obsérvesequedeog,az,a3setienelabaseortonormal
%(3,0,4),à-(-4.0,3),(0.1.0)
Ejemplo13.SeaA=[3 _dondea.b.cydsonnúmeroscomple-
jos.SehaceB,=(a,b),B2=(c,d)ysesuponequeB,7€0.Siseaplicaelpro-
cesodeortogonalizaciónaB1,B2,usandoelproductointernoeanónicoenC2,
seobtienenlossiguientesvectores
(11=(G,

300. Í\['munrmlptmllnltlNllflmt :dll
aa=((3ll)ii (a›bl
=(ed)- <a,b)
cblš-döadãa-cãl)
_(IGI2+lblz'lali+IW)
dfitA (5,ã).
ilar+lbr
Almralateoríageneraldicequeot,qé0si,ysolosi,B1,B2sonlinealmente
independientes.Porotrolado,lafórmulaparaoc,muestraqueesteeselcaso
si,ysolosi,detA7€0.
Enesencia,elprocesodeGram-Schmidtconsisteenlaaplicaciónrepetida
«leunaoperacióngeométricabásicallamadaproyecciónortogonal,yseleen~
tiendemejordesdeestepuntodevista.Elmétododelaproyecciónortogonal
lnmbiénapareceenformanaturalenlasolucióndeunimportanteproblema
«lcaproximación.
SupóngasequeWesunsubespaciodeunespacioconproductointernoV,
_vseaBunvectorarbitrarioenV.Elproblemaconsisteenhallarunamejor
aproximaciónposibleaBporvectoresdeW.'Estoquieredecirquesedesea
encontrarunvectorotparaelqueB--oc||sealomáspequeñoposible,sujeto
allarestriccióndequeotdebeperteneceraW.Precisemoslodicho.
UnamejoraproximaciónaBporvectoresdeWesunvectorocdeWtalque
HB-allSIIB-'ill
paratodovector¬,›enW.
ObservandoesteproblemaenR2,oenR3,seveintuitivamentequeuna
mejoraproximaciónaBporvectoresdeWdebeserunvectorozdeWtalque
/í_oiesperpendicular(ortogonal)aWyquetalocdebeserúnico.Estasideas
intuitivassoncorrectasparasubespaciosdedimensiónfinitayparaalgunos,
peronotodos,lossubespaciosdedimensióninfinita.Dadoquelasituación
precisaesdemasiadocomplicadadetrataraquí,sedemostrarásoloelsiguien-
tcresultado.
Teorema4.SeaWunsubespaciodeunespacioproductointernoV_vsea[3
unrectordeV.
(i)ElrectorocenWesuname/'oraproximaciónaB,porvectoresdeW
si,_i-solosi,B-otesortogonalatodovectordeW_
(ii)SiexisteunamejoraproximaciónaBporvectoresdeWesúnica.
(iii)SiWesdedimensiónfinitay{ot¡,___,ot,,}escualquierbaseortomn-_
maldeW,entonceselvector
oc
a12LB¬|_._'(_)ak
Il@llzk k
esla(única)mejoraproximaciónaBporvectoresdeW.

301. 2.1-te0¢ Algcllmlt`m'ul
Demostración.Primeramente.obsérvescquesiyescualquiervectordeV.
entoncesB-^,›=(B-oe)+(oi-y),y
HB-“lll”=¡IB-all*+2Re(H-ala-1)+lla-fill”-
SupóngaseahoraqueB-otesortogonalatodovectordeW,queyestáenWy
quey9€oe.Entonces,comooz-'yestáenW,sesigueque
HB-vil*=IIB-all*+lla-vll*
>lle-all”-
Reciprocamente,supóngaseque||B-2||B-oi||paratodoyenE.
Entoncesdelaprimeraecuaciónanteriorsesigueque
2Re(B-«Ia-1)+lla-vll”20
paratodoydeW.ComotodovectordeWpuedeserexpresadoenlaforma
oi-yeonyen W,seveque
2Re(B-alf)+H†||220
paratodorenW.Enparticular,siyestáenWyy5€oi,sepuedetener
____(fi†“le_W)O,_
'clla-«lr('”'
Entonces,ladesigualdadsereducealaafimiación
j2 ala_''Y_)_i2+ _ 'Y)i220.
lla-WII* lla-fill”
Locualsecumplesi,ysolosi,(B-a|oz-y)=0.Portanto,B-otesorto-
gonalatodovectorenW.Estocompletalademostracióndelaequivalencia
delasdoscondicionesparaotdadasen(i).Lacondicióndeortogonalidades
evidentementesatisfechapor,alomás,unvectordeW,loquedemuestra(ii).
AhorasupóngasequeWesunsubespaciodedimensiónfinitadeV.Enton-
cessesabe,poruncorolariodelTeorema3,queWtieneunabaseortogonal.
Sea{o¢,,___,ot,,}cualquierbaseortogonalparaW,ysedefineotpor(8-ll).
Entonces,porelcálculohechoenlademostracióndelTeorema3,B-oies
ortogonalacadaunodelosvectoresak(B-ozeselvectorobtenidoenlaúlti-
maetapacuandoseaplicaelprocesodeortogonalizaciónaoc,,___,oz,,.B).
AsíB_ozesortogonalatodacombinaciónlinealdelosal,___,oc,,,esdecir,
atodovectorenW.Si1'estáenWyy7€ot,sesigueque"B-y||>||B-oc||.
Portanto,oteslamejoraproximaciónaBqueestáenW.
Definición.SeaVunespacioproductointernoyScualquierconjuntode
vectoresenV.ElcomplementoortogonaldeSeselconjuntoS“Ldelosvectores
deVortogonalesatodovectordeS.
ElcomplementoortogonaldeVeselsubespacioceroy,recíprocamente,
{0}J-=V.SiSescualquiersubconjuntodeV,sucomplementoortogonalS1
(Sperp)essiempretinsubespaciodeV.Enefecto,comoSinoesvacío,por

302. Í'.'\'¡un'm_\um[I|'mlm'mhllrnm 28.'
conteneral0,ytodavezqueocyBestánenS*ycesescalarcualquiera,se
tiene
(Ca+Blv)=0(0f|'r)+(BH)
=00-l-0
=0
paracadayenS,asícon+Btambiénestá-enSl.EnelTeorema4,.lapropie-
dadcaracterísticadelvectorozesqueeselúnicovectordeWtalqueB-otper-
lcneceaWi
Definición.SiemprequeexistaelvectorotenelTeorema4selellamaproyección
ortogonaldeBsobreW.SitodovectordeVtieneproyecciónortogonalsobreW,
luaplicaciónqueasignaacadavectordeVsuproyecciónortogonalsobreW,se
llamaproyecciónortogonaldeVsobreW.
PorelTeorema4,laproyecciónortogonaldeunespacioproductointerno
sohreunsubespaciodedimensiónfinitasiempreexiste.PeroelTeorema4también
implicaelsiguienteresultado.
Corolario.SeanVunespacioproductointerno,Wunsubespaciodedimen-
siónfinitayElaproyecciónortogonaldeVsobreW.Entonceslaaplicación
B_*B_EB
eslaproyecciónortogonaldeVsobreWi.
Demostración.SeaBunvectorarbitrariodeV.EntoncesB-EBestá
enWyparacualquier¬,'enWi,Bf-y=EB+(B-EB-y).ComoEBestá
enWyB-EB-yestáenWL,sesigueque
lle-«IP=IIEBII”+lle-EB-ell*
2lle~(B-Emll*
quehacemásestrictaladesigualdadcuandoy=;éB~EB.Portanto,B-EB
eslamejoraproximaciónaBparavectoresenWL.
Ejemplo14.SedaaR3elproductointernoeanónico.Entonceslapro-
veeciónortogonalde(-10,2,8)sobreelsubespacioWgeneradopor(3,12,-1)
eselvector
““ 9+144”"+1 (3'12'"D
_-14
-É-(3,12,-1).
laproyecciónortogonaldeR3sobreWeslatransformaciónlinealE-defini-
ilapor
3'2-
(a,a,«;_)-›(”*+;5,f”$3)(3,12,-1).

303. .'84 .-ll_t3¢'l›t'ullmwl
LaimagendeEesevidentementeI;luegosunulidadcs2.Porotrolado.
E(x1›x2;$3)=(0:01
si,ysolosi,3x,+12x2=x3=0.Esteeselcasosi.ysolosi,(xl,xz,x3)está
enWi.Portanto,W*eselespacionulodeE,ydim(WL)=2.Calculando
12- .
(xl)172»173)El(3xl 15:2 xa)(3)12;_`1)
sevequelaproyecciónortogonaldeR3sobreWieslatransformaciónlineal
1-Equeaplicaelvector(x,,xz,X3)Sobreelvector
1-åz(145x¡-36:z:2-I-31:3,-36x1-l-l0.v2+12112;,32:1+121122-I-153x3)_
LasobservacioneshechasenelEjemplo14segeneralizandelasiguien-
teforma.
Teorema5.SeaWunsubespaciodedimensiónfinitadeunespaciopro-
ductointernoVyseaElaproyecciónortogonaldeVsobreW.EntoncesEesuna
transformaciónlinealidempotentedeVsobreW,W*eselespacionulodeEy
V=W€BWi.
Demostración.SeaBunvectorarbitrarioenV.EntoncesEBeslamejor
aproximaciónaBqueestáenW.Enparticular,EB=BcuandoBestáenW.
Portanto,E(EB)=EBparatodoBenV;estoes,Eesidempotente:E2=E.
ParademostrarqueEesunatransformaciónlineal,seanotyBvectorescuales-
quieradeVycunescalararbitrario.Entonces,porelTeorema4,oz-Eay
B-EBsonambosortogonalesatodovectordeW.Luegoelvector
0(a~Ea)+(B-EB)=(ca+B)-(clfa+EB)
tambiénperteneceaWi.ComocEot+EBesunvectordeW,sesiguedelTeore-
ma4que
E(ca-I-B)=cEa-I-EB.
PorciertoquesepuedetambiéndemostrarlalinealidaddeEusando(8-ll).
Nuevamente,seaBunvectorcualquieradeV.EntoncesEeselvectorúnico
deWtalqueB-EBestáenWi.Así,EB=0cuandoBestáenW*_Recípro-
camente,BestálenWicuandoEB=0.AsíWieselespacionulodeE.La
ecuación
B=EB+B-EB
muestraqueV=W+Wi;másaún,WHW1= Enefecto,siotesun
vectordeWHWi,entonces(ot|ot)=0.Portanto,=0yVeslasumadi-
rectadeWyWi.I
es
Corolario.Bajolascondicionesdelteorema,I-Eeslaproyecciónorto-
gonaldeVenWi.ElesunatransformaciónlinealidempotentedeVenWLcon
espacionuloW.

304. I-.`.\/mimi«un¡umlmmum-mn .'85
Ih-nmstraeión.AcabamosdeverquelaaplicaciónB-›B-E¬,~eslapro-
vccciónortogonaldeVsobreW*_ComoEesunatransformaciónlineal,esta
proyecciónenWieslaproyecciónlineal1-E.Porsuspropiedadesgeomé-
tricassevequeI-EesunatransformaciónidempotentedeVsobreW.Esto
tambiénsedesprendedelcálculo
U-mu-m=1-E-E+m
1E
1- ±_¢
gi .
Además,(I-E)B=0si,ysolosi,B=EB,yesteeselcasosi,ysolosi,Bestá
enW.Portanto,WeselsubespacionulodeI-E.I
ElprocesodeGram-Schmidtpuedeserahoradescritogeométricamente
delsiguientemodo.DadounespacioproductointernoVylosvectoresB,.___,B,,
enV,seaP,(k>I)laproyecciónortogonaldeVenelcomplementoortogonal
delsubespaciogeneradoporB,,___,B,_,yseaP,=I.Entonces,losvectores
queseobtienenporaplicacióndelprocesodeortogonalizaciónaB,,___,B,
estándefinidosporlasecuaciones
(8-12) ak=P,,B,,.,15lc5n.
ElTeorema5implicaotroresultadoconocidocomodesigualdaddeBessel.
Corolario.Sea[ot,____,oc,,unconjuntoortogonalderectoresnonulos
enunespacioproductointernoV.SiBescualquiervectordeV,entonces
lifilakllz 2
2~--_-_SBRHMP HH
l'ladesigualdadvalesi,ysolosi,
(lijar)
=2--_ _
Bkllakllzak
Demostración.Seay=Z[(B|o¢,,)/||ot,,||2]ak.EntoncesB=1'+5,donde
k
(¬,›|ö)=0.Luego
mW=MW+Mm
Esahorasuficientedemostrarque
l(fl|€!k)|22=___.
É“ak"2
Esteeselcálculorutinarioenelqueseusaelhechodeque(oc,-(och)=0para
i=#k-I
Enelcasoespecialenque{o¢,,___,oc,,}esunconjuntoortonormal,lades-
igualdaddeBesseldiceque
3;lel«)_)rsllølr.

305. 286 fllgelvralineal
Elcorolariodicetambién,enestecaso,queBestáenelsubespaciogenerado
por{a,, oc,,}si,ysolosi,
B=21(filflk)«It
osi,ysolosi,ladesigualdaddeBesselesefectivamenteunaigualdad.Porcier-
toqueenelcasoenqueVseadedimensiónfinitay{a,,____oc,,}esunabase
ortogonaldeV,lafórmulaanteriorrigeparatodovectorBenV.Enotraspa-
labras;si{a,,____oc,,}esunabaseortonormaldeV,lak-ésimacoordenada
deBenlabaseordenada{oz,,___,ot,,}es(B|ot,,)_
Ejemplo15.Seaplicaráelúltimocorolarioalconjuntoortogonaldes-
crìtoenelEjemploll.Hallamosque
la),Gj,'f<¢)ø-M'ati”sj,`lfa)l2dt
(11) jl$3cte”'“"\2dt=2,5lvtl”
0lc=-n lt--n
(c)j;(\/'Ecos21a+\/:Esen41ft)2dt=1+1-=2.
Ejercicios
I.ConsiderarR4,conelproductointernoeanónico.SeaWelsubespaciodeR4queconsta
detodoslosvectoresortogonalesaot=(1,O,-l,l)yB=(2,3,-l,2).Hallarunabase
deW.
2.AplicarelprocesodeGram-SchmidtalosvectoresB,=(l,0,l),B2=(l,0,-I),
B3=(0,3,4)paraobtenerunabaseortogonalparaR3conelproductointernoeanónico.
3.ConsiderarC3conelproductointernoeanónico.Hallarunabaseortonormalpara
elsubespaciogeneradoporB,=(1,0,i)yB2=(2,l,l+i).
4.SeaVunespacioproductointerno.LadistanciaentrelosvectoresfxyBenVestáde-
finidapor
d(a› =lla_
Demostrarque
(ald(°f¬li)20;
(b)d(a,B)=0si.ysolosi,ot=B;
(c)d(a,B)-=d(B,a);
td)d(°f.li)Sd(0=¬1')+d()'.li).
5.SeaVunespacioproductointemoyseanot,BvectoresdeV.Demostrarquea=B
si,ysolosi,(a|)')=(B|y)paratodo1'deV.

306. l.'.\¡nn'|ltI.\(ml/It'mlm'It›Itllrrmt 2.37
ti.Seall'elsulwspalcindeR2generadoporelvector(3,4).Usandoelproductointerno
t-,nu'mico,seaI.laproyecciónortogonaldeR*sobreW.Hallar
la)unafórmulaparaI:`(.\',,xz);
lb)lamatri/de1:'enlabaseordenadacanónica;
lv)WL:
(d)unabaseortonormalenqueEestárepresentadaporlamatriz
lá3]-
7.SeaVelespacioproductointernoqueconstadeR2yelproductointemocuyaforma
cuadráticaestádefinidapor
"(211,$2|l2=($1'“$2)2+323%-
SeaL`laproyecciónortogonaldeVsobreelsubespacioWgeneradoporelvector(3,4).
ResponderahoralascuatropreguntasdelEjercicio6.
ll.HallarunproductointernosobreR2talque(c,,ez)=2.
9.SeaVelsubespaciodepolinomiosR[x]congradoalomás3.DóteseVconelpro-
ductointerno
I
mo=jnmwa
(a)Hallarelcomplementoortogonaldelsubespaciodepolinomiosescalares;
(b)AplicarelprocesodeGram-Schmidtalabase{l,x,xl,x3}.
I0.SeaVelespaciovectorialdetodaslasmatricesn›<nsobreC,conelproductointer-
no(A|B)=tr(AB*).Hallarelcomplementoortogonaldelsubespaciodematricesdia-
gonales_
II.SeaVunespacioproductointerno'dedimensiónfinitaysea{a,,.__,a,,}unabaseor-
tonormaldeV.Demostrarqueparavectorescz,BcualesquieradeV
wm=É¡do@ãt
I2.SeaWunsubespaciodedimensiónfinitadeunespacioproductointernoVyseaE
laproyecciónortogonaldeVsobreW.Demostrarque(Ea|B)_=(a|EB)paratodoot,BenV.
I3.SeaSunsubconjuntodeunespacioproductointernoV.Demostrarque(SL)*con-
tienealsubespaciogeneradoporS.CuandoVesdedimensiónfinita,mostrarque(S1)*
eselsubespaciogeneradoporS.
I4_SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea(B={a,,___,a,,}una
baseortonormaldeV.SeaTunoperadorlinealsobreVyAlamatrizdeTenlabaseor-
denada(B.Demostrarque
Á,-¡=(T(I¡|(I¡).
I5.SupóngasequeV=W,(BW,yquef,yƒ¡,sonproductosinternosenW,yWz,
respectivamente.DemostrarqueexisteunproductointemoúnicoƒsobreVtalque
(alW,=W,*;
(b)f(a,B)=]¶(a,B),cuandoa,BestánenW,,k=l,2.
I6.SeaVunespacioproductointemoyWunsubespaciodeVdedimensiónfinita.Exis-
ten(engeneral)muchasproyeccionesquetienenaWcomoimagen.Unadeéstas,lapro-

307. ,',\'¢\' ¡Ilgrlttttlllletll
yeeciónortogonalsobreW,tienelapropiedaddeque"Ea"5||a||paratodootdeV.Dc-
mostrarquesiEesunaproyecciónconimagenW,talque S||a||paratodoadeV,
entoncesEeslaproyecciónortogonalsobreW.
17.SeaVelespacioprodiictointernorealqueconstadelespaciodelasfuncionesconti-
nuasdevalorrealenelintervalo-15t51,conelproductointerno.
(fly)=j_1,f<¢)g<¢)dt.
SeaWelsubespaciodelasfuncionesimpares_esdecir.lasfuncionesquesatisfacenƒ(-t)=
-f(t).HallarelcomplementoortogonaldeW.
8.3.Funcioneslinealesyadjuntas
Laprimerapartedeestasecciónsededicaráalosfuncionaleslinealessobre
unespacioproductointerno.Elresultadoprincipalesquecualquierfuncional
linealfsobreunespacioproductointernodedimensiónfinitaes«unproducto
internoconunvectorfijoenelespacio››;esdecir,quetalƒtienelaformaƒ(oc)=
(o<|B)paraalgúnBfijodeV.Seusaráesteresultadoparademostrarlaexistencia
del«adjunto››deunoperadorlinealTsobreV,siendoesteunoperadorlineal
T*talque(Toz|B)=(ot|T*B)paratodootyBenV.Porelusodeunabaseor-
tonormal,estaoperaciónadjuntasobreoperadoreslineales(quepasadeT
aT*)seidentificaconlaoperacióndeformarlatranspuestaconjugadadeuna
matriz.Exploramossomeramentelaanalogíaentrelaoperaciónadjuntayla
conjugacióndenúmeroscomplejos.
SeaVcualquierespacioproductointernoyseaBunvectorfijodeV.Se
defineunafunciónjj,deVenelcuerpoescalarpor
ffi(0f)=(alli)-
Estafunciónf,,esunfuncionallinealsobreV,yaqueporsupropiadefinición,
(a|B)eslinealcomofuncióndeot.SiVesdedimensiónfinita,todofuncional
linealsobreVsepuedeexpresardeestaformaparaciertoB.
Teorema6.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayfun
funcionallinealsobreV.Entonces,existeunúnicovectorBdeVtalquef(ot)=(ol|B)
paratodotxdeV.
Demostración.Sea{o¢,,az,_._,a,,}unabaseortonormaldeV.Sehace
TI.
(813) B_2}1ƒ(a,-)a,-
,=
yseajj,elfuncionallinealdefinidopor
fa(¢*)=(¢*|B)-
Entonces __
fa(0fk)=(aki§f(¢*ƒ)°¢f)=f(Gt)-

308. I-.`s/tm-niscon¡nmlmtutuo-mu 28')
(`omoestoesciertoparatodoocj,sesiguequef=jj.Ahorasupóngaseque
j-esunvectordeVparaelque(a|B)=(oz¬,')paratodooz.Entonces(B-y|B-
;'l=OyB=y.AsíexisteexactamenteunvectorBquedeterminaalfuncional
linealfenlaformaestablecida.I
Lademostracióndeesteteoremapuedealterarseligeramenteenelcasode
larepresentacióndelosfuncionaleslinealesenunabase.Siseeligeunabase
ortonormal{ol,,.__,a,,}paraV,elproductointernodeot=x,ot,+--~+
V1»Yll:}”10f1+`'`+yaa»Será
=xlgl+'''+:Cagu-
SifesunfuncionallinealcualquierasobreV,entoncesftienelaforma
f(0t)=01331'l''''“liCnílìn
paraescalaresfijosc,_ c,,determinadosporlabase.Ciertamente,c,-=
/(fz,).SisedeseaencontrarunvectorBenVtalque(oc|B)=f(oc)paratodoot,en-
toncesesevidentequelascoordenadasyjdeBdebensatisfacery,=c,oyj=
/(ot,-)_Porconsiguiente,
B=ƒ(a1)«-vi++)Éa,_
eselvectorquesedesea.
Unoscomentariosalrespecto.LademostracióndelTeorema6queseha
dadoesmuybreve,peronoresaltaelhechogeométricoesencialdequeBestá
enelcomplementoortogonaldelespacionulodef.SeaWelespacionulodef.
IintoncesV=W+Wiyfestácompletamentedeterminadoporsusvalores
enWi.Enefecto,siPeslaproyecciónortogonaldeVsobreWi,entonces
f(a)=f(Pa)
paratodoocdeV.Supóngasequef0.Entoncesfeselrango1ydim(Wi)=1.
Si¬,›esotrovectornonulocualquieradeWi,sesigueque
10-@
a_Hill*7
paratodootenV.Así,
=a.lll
.l-(U)(IV)“WIP
ParatOdOOf,YB=[im/llvllil1-
Ejemplo16.HeaquíunejemploquemuestraqueelTeorema6noescier-
tosinlasuposicióndequeVesdedimensiónfinita.SeaVelespaciovectorial
delospolinomiossobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos,conelproducto
interno
(fly)=jifloãödt.

309. 290 _4I_eehralineal
Esteproductointernotambiénpuedeserdefinidoalgebraicamente.Si
f=Zakx*yg=22b,,x",entonces
1
(fly)= alba-_
SeazunnúmerocomplejofijoyseaLelfuncionallineal«evaluaciónenz':
L(f)=f(2)-
¿Existeunpolinomiogtalque(f|g)=L(/)paratodof?Larespuestaesno;
enefecto,supóngasequetenemosque
fe)=j'f<t)ã<T)dt
paratodof.Seah=x-z,demodoqueparacualquierƒsetengaque(hf)=0.
Entonces
0=jih<t)f<t)`š<T)dt
paratodof.Enparticular,estorigecuandof=hg,conloque
jilh<¢)l2lg(l)l*dl=0
yasihg=0.Comoh=/=0,debetenersequeg=0.PeroLnoeselfuncional
eero_;luegonoexistetalg.
SepuedegeneralizaralgoelejemploparaelcasodondeLseacombinación
linealdeevaluacionespuntuales.Supóngasequeseeligennúmeroscomplejos
fijosz,,...,2,,yescalaresc,,__.,c,,,ysea
L(f)=01f(21)+ +cf.f(2-)-
EntoncesLesunfuncionallinealenV,peronoexistegtalqueL(f)=(f|g),
almenosquec,=cz=---=c,,=0.Solodeberepetirseelrazonamiento
anteriorconh=(x-2,)---(x-z,,)_
Sevuelveahoraalconceptodeladjuntodeunoperadorlineal.
Teorema7.ParacualquieroperadorlinealTenunespacioproductoin-
ternodedimensiónfinita.existeunúnicooperadorlinealT*sobreVtalque
(8-14) (Totlfil=(0t|T*B)
paratodotx,BdeV.
Demostración.SeaBunvectorcualquieradeV.Entoncesoc_›(Toz|B)es
unfuncionallinealsobreV.PorelTeorema6existeunúnicovectorB'enVtal
que(Toz|B)=(o¢|B')paratodoocenV.SeaT*laaplicaciónB-›B':
B'=T*ø.
Setiene(8-14),perosedebeverificartambiénqueT*esunoperadorlineal.
SeanB,¬,'enVyseacunescalar.Entoncesparacualquieroz,

310. l\¡›mtmum¡multatomterno .'01
(u|'l""(rt3+1))=(Talctì+1)
=('1'0flCB)+('1'<1|'t)
=?>'(TfllB)+(Taly)
=ë(¢*lT*B)+(<1|T*'r)
=(alcrw)+(«lT*~))
=(a|cT*B+T*'y).
.»\-.il""(cB+7)=cT*B+T*}'_yT*eslineal.
IaunicidaddeT*esinmediata.Enefecto,paracualquierBenV,elvector
I'/festáunívocamentedeterminadocomoelvectorB'talque(To(|B)=(o(|B')
|I.||.|todoOt.I
Teorema8.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
lll¦a,,___,o(,,}unabase(ordenada)ortonormaldeV.SeaTunoperador
lun-alsobreVyseaAlamatrizdeTenlabaseordenada(B.EntoncesAM-=
ll'fl,|1¡,
Demostración.ComoG3esunabaseortonormal,setieneque
n
a=2(a|oz¡,)a¡,_
l¢=l
l.imatrizAestádefinidapor
t¢=1
y001110
fl
Taj=kxl(TCl_,'|a¡¢)(X¡¢
-ietieneA,,¡=(TajÍ|o(,,)_I
Corolario.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
IunoperadorlinealsobreV.EncualquierbaseortogonaldeVlamatrizdeT*
eslaconjugadadelatranspuestadelamatrizdeT.
I)emostración_SeaG3={o(,,...,o(,,}unabaseortonormaldeV,sea
Ir=[T]¿ByB=[T*]¿B_DeacuerdoconelTeorema8,
Au=(Tai-Im.)
Bkj=(T*(XjI(Xk).
I'(›idefinicióndeT*setieneque
Bgj=(T*(!¡|Cl¡,)
=(¢YklT*¢*›')
=(Tflklaƒ)
:A1|

311. .'92 .-ll_i¦el›ralineal
Ejemplo17.SeaVunespacioproductointernodedimensiónlìnitay
ElaproyecciónortogonaldeVsobreunsubespacioW.Entoncesparalosvec-
toresocy'BcualesquieraenV.
(Eallï)=(ECYIEB+(1_E)B)
=(E0|EB)
=(Ea-l-(1-E)a|EB)
=(0f|EB)-
DelaunicidaddeloperadorE*sesiguequeE*=E.Ahoraconsidéresela
proyección-EdescritaenelEjemplo14.Entonces
1936-3
A=¬36144-12
154-3-121
eslamatrizdeEenlabaseortonormalcanónìca.ComoE=E*,Aestam-
biénlamatrizdeE*,ycomoA=A*estonocontradiceelcorolarioanterior.
Porotrolado,supóngaseque
(11= 0,
cz,=(145,-36,3)
aa=(-36,10,12).
Entonces{o(,,ocz,oz3}esunabase,y
Ea,=(9,36,-3)
Ea,=(0,O,0)
Ea,=(0,O,0).
Como(9,36,-3)=-(154,0,O)-(145,-36,2),lamatrizBdeEenlabase
{o(,,az,o(3}estádefinidaporlaexpresión:
-100
B= -100-
000
EnestecasoB9€B*yB*noeslamatrizdeE*=Eenlabase{o(,,az,o¢3}.
Aplicandoelcorolario,seconcluyeque{o(,,az,oc3}noesunabaseortonormal.
Estoesbastanteobvionaturalmente.
Definición.SeaTunoperadorlinealsobreunespacioproductointernoV.
EntoncessedicequeTtieneunadjuntosobreVsiexisteunoperadorlinealT*
sobreVtalque(To¢|B)=(o(|T*B)paratodootyBenV.
PorelTeorema7todooperadorlinealenunespacioconproductointerno
dedimensiónfinitaVtieneunadjuntoenV.Enelcasodedimensióninfinita,
estonoessiemprecierto.Pero,entodocaso,existealomásuntaloperadorT*;
cuandoexisteselellamaeladjuntodeT_
Doscomentariosrespectoalcasodedimensiónfinita.
1.EladjuntodeTdependenosolodeT,sinotambiéndelproducto
interno.

312. I-.`s¡›m'n›.\'mn¡uorluitnintemo 291
2.ComosevioenelEjemplo17,enunabaseordenadaarbitraria(B,la
relaciónentre[T](By[T*](Besmáscomplicadaqueladadaenelcorolario
aiiterior.
Ejemplo18.SeaV=C"“elespaciodelasmatricescomplejasn><1
conelproductointerno(XIY)=Y*X_SiAesunamatriznxnconelemen-
toscomplejos,eladjuntodeloperadorlinealX-›AXeseloperadorX-›A*X_
Iinefecto,
(AXIY)=Y*AX=(A*Y)*X =(X|A*Y).
lillectordebeeonvencerseporsímismodequeestoesrealmenteuncasoes-
pecialdelúltimocorolario.
Ejemplo19.EsteessemejantealEjemplo18.SeaV=C"“"conelpro-
ductointerno(A|B)=tr(B*A)_SeaMunamatriznxndadasobreC.El
adjuntodelamultiplicaciónalaizquierdaporMesmultiplicaciónalaizqaler-
daporM*.Naturalmente,«multiplicaciónalaizquierdaporM»eselope-
radorlinealLMdefinidoporLM(A)=MA.
(LM(A)IB)=tr(B*(M-4))
=tr(MAB*)
=tr(AB*M)
=tr(A(M*B)*)
=(AILM*(B))-
Así(LM-)*=LM..Enelcálculoanteriorseusódosveceslapropiedadcarac-
terísticadelafuncióntraza:tr(AB)=tr(BA).
Ejemplo20._SeaVelespaciodelospolinomiossobreelcuerpodelosnú-
meroscomplejosconelproductointerno
(fly)=jif(¢)§(T)dt.
Sifesunpolinomioƒ=Zakx",sehacef=2ã,,x'°.Estoes,feselpolino-
miocuyafunciónpolinomioasociadaeslacomplejaconjugadadeladef:
Í(t)=ƒ_(t),treal
Seconsideraeloperador«multiplicaciónporf»,estoes,eloperadorlineal
M¡definidopor(M¡)(g)=fg.Entoncesesteoperadortieneunadjunto,a
saber,multiplicaciónporEnefecto,
(-Vf(9)lh.)=(fšllhl
=j`f(z)g(¢)s<-mi
=j*g(t)liT)T(¢)1d¢
=(elfh)
=(9|1Vf(h))
yasi(M7)*=Mƒ.

313. 294 -Il_t't'l›rttlineal
Ejemplo21.EnelEjemplo20sevioquealgunosoperadorescnunespacio
productointernodedimensióninfinitatieneunadjunto.Comosecomentó
anteriormente,otrosnolotienen.SeaVelespacioconproductointernodel
Ejemplo20yseaDeloperadorderivaciónenC[x].Integrandoporpartes
setieneque
(Dfly)=f(1)9(1)-f(0)9(0)_(f|D9)-
Seconsideragfijoysepregunta:¿CuándoexisteunpolinomioD"'gtalque
(Df|g)=(f|D*g)paratodof?SitalD*gexiste,sedebetenerque
O (flD*9)=f(1)9(1)-ƒ(0)g(0)~(f|Dg)
(flD*9+De)=f(1)9(1)-f(0)9(0)-
Congfijo,L(f)=f(l)g(l)~ƒ(0)g(0)esunfuncionallinealdeltipoconsi-
deradoenelEjemplo16ynopuedeserdelaformaL(f)=(fjh)amenosque
L=0.SiD*gexiste,entoncesconh=D*g+DgsetienequeL(f)=(f|h);
portanto,g(0)=g(l)=0.LaexistenciadeunpolinomioapropiadoD*g
implicag(0)=g(l)=0.Recíprocamente,sig(0)=g(l)=0,elpolinomio
D*g=-Dgsatisface(Df|g)=(f|D*g)paratodof.Siseeligecualquierg
paraelqueg(0)9€Oog(l)=;€0,nosepuededefinirpropiamenteD*g,con
loqueseconcluyequeDnotieneadjunto.
Seesperaqueestosejemplosaclarenlacomprensióndeloqueeseladjun-
todeunoperadorlineal.Sevequelaoperaciónadjunta,quepasadeTaT*,
secomportaenformauntantosemejantealaconjugacióndenúmeroscomple-
jos.Elsiguienteteoremarefuerzaestaanalogía.
Teorema9-SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinita.SiTy
UsonoperadoreslinealessobreVycesunescalar
(i)(T+U)*=T*+U*;
(ii)(cT)*=ET*;
(iii)(TU)*==U*T*2
(iv)(T*)*=T.
Demostración.Parademostrar(i),seanozyBvectoresenV.Entonces
((T+U)0f|B)_=(Ta+Ualfi)
=(Tfllfi)“l”(Ua|B)
=(0=lT*B)+(°f|U*B)
=(«lT*ø+U*B)
=(0f|(T*+U*)B)-
Delaunicidaddeladjuntosetieneque(T+U)*=T*+U*_Sedejalade-
mostraciónde(ii)allector.Delasrelaciones
(TUOIIB)=(U<1lT*B)=(0=|U*T*B)
(T*<1l6)=(B|T*a)=(TBÍÍI)=(a|TB)-I
seobtienen(iii)y(iv).I

314. I-.'.\'¡utt'to.\'ctmpr¢›tlui'It›interno 295
I-.ITeorema9seenunciaamenudocomosigue:laaplicaciónT-›T*es
:intiisomorfalineal-conjugadadeperiodo2.Laanalogíaconlaconjugación
compleja.quesehamencionadoanteriormente,estáporciertobasadaenla
observacióndequelaconjugacióncomplejatienelaspropiedades(É,_Í-_z;)=
_',==22,(:,Íš)=5,22,É=z.Sedebesercuidadosoyobservarlainversión
(lclordenenelproductoqueimponelaoperaciónadjunta:(UT)*=T*U*.
cuandosecontinúeconelestudiodelosoperadoreslinealesenunespacio
productointerno.seampliarámásestaanalogía.Enestaslíneasalgodiremos
alrespecto.Unnúmerocomplejozesrealsi,ysolosi,z=2.Sepodríaesperar
queeloperadorlinealTtalqueT=T*secomporteenformasemejantea
losnúmerosreales.Enefecto,esasí.Porejemplo.siTesunoperadorlineal
sobreunespaciocomplejoproductointernodedimensiónfinita,entonces
(3-15) T=U1+z`U2
dondeU,=U1*yU2=U5".Así,enciertosentido,Ttieneuna«partereal»
yuna«parteimaginaria››_LosoperadoresU,yU2quesatisfacenU,=U1*
yU2==U2',-y(8-15)sonúnicosyestándadospor
U1= 7111:)
1' =l=
UnoperadorlinealTtalqueT=T*sellamaautoadjunto(ohermítico).
SiG3esunabaseortonormaldeV,entonces
[T*]a=[T]('ìi
yasiTesautoadjuntosi,ysolosi,sumatrizentodabaseortonormalesuna
matrizautoadjunta.Losoperadoresautoadjuntossonimportantes,nosola-
menteporquesuministranunaespeciedeparterealyparteimaginariapara
eloperadorgeneral,sinotambiénporque:(1)Losoperadoresautoadjuntos
tienenmuchaspropiedadesespeciales.Porejemplo.paraunoperadorasi,existe
unabaseortonormaldevectorespropios.(2)Muchosoperadoresquesurgen
enlaprácticasonautoadjuntos.Laspropiedadesespecialesdelosoperadores
.iutoadjuntosseconsideraránmásadelante.
lzjercicios
I.SeaVelespacioC2dotadodelproductointemoeanónico.SeaTeloperadorlineal
delìnidoporTe,=(l.2),Te,=(i.--I).Siot=(x,,xz),hallarT*a.
2.SeaTeloperadorlinealenC2definidoporTe,=(1+i,2),Te,=(i,i).Usandoel
productointernoeanónico,hallarlamatrizdeT*enlabaseordenadacanónìca.¿Conmuta
I'conT*'?
3.SeaV=C3conelproductointernoeanónico.SeaTeloperadorlinealsobreVcuya
matrizenlabaseordenadacanónìcaestádefinidapor
An=íi+'°›(iz=-1)-
ll.-illarunabaseparaelespacionulodeT*_

315. 206 Al,t'eln'ulineal
4.SeanVunespacioproductointemodedimensiónfinitayTunoperadorlinealsobre
V.DemostrarquelaimagenporT*eselcomplementoortogonaldelespacionulodeT.
5.SeanVunespacioproductointemodedimensiónfinitayTunoperadorlinealsobre
V.SiTesinversible,demostrarqueT*esinversibleyque(T*)"i=(T'i)*_
6.SeanVunespacioproductointernoyB,'yvectoresdadosdeV.DemostrarqueTa=
(a|B)ydefineunoperadorlinealsobreV.DemostrarqueTtieneunadjuntoydarexplíci-
tamenteT*_
SupóngaseahoraqueV=C"conelproductointernoeanónicoB=(y,,___,y,,)y
y=(x,,___,x,,).¿Cuáleselelementoj,kdelamatrizdeTenlabaseordenadacanónìca?
¿Cuáleselrangodeestamatriz?
7.Demostrarqueelproductodedosoperadoresautoadjuntosesautoadjuntosi,ysolosi,
losdosoperadoresconmutan.
8.SeaVelespaciovectorialdelospolinomiossobreRdegradomenoroigualque3con
elproductointerno
(fly)=j`f(¢)y(¢)dt.
Sitesunnúmeroreal,hallarelpolinomiog,deVtalque(f|g,)=f(t)paratodoƒdeV.
9.SeaVelespacioproductointernodelEjercicio8yseaDeloperadorderivaciónsobre
V.HallarD*.
10.SeaVelespaciodelasmatricesn><nsobrelosnúmeroscomplejosconelproducto
interno(A|B)=tr(AB*)_SeaPunamatrizdadaenV,inversible,yseaT,eloperador
linealsobreVdefinidoporT,,(A)=P_'AP_HallareladjuntodeT,,_
Il.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitayseaEunoperadorlineal
idempotentesobreV;esdecir,E2=E.DemostrarqueEesautoadjuntosi,ysolosi.
EE*=E*E_
12.SeaVunespacioproductointernocomplejodedimensiónfinitayseaTunoperador
linealsobreV.DemostrarqueTesautoadjuntosi,ysolosi,(Tala)esrealparatodo
otdeV.
8.4.Operadoresunitarios
Enestasecciónseconsideraráelconceptodeunisomorfismoentredos
espaciosproductointerno.SiVyWsonespaciosvectoriales,unisomorfismo
deVsobreWesunatransformaciónlinealinyectivadeVsobreW;esdecir,
unacorrespondenciabiunívocaentreloselementosdeVydeWque«preser-
van››lasoperacionesdeespaciovectorial.Ahorabien,unespacioproducto
internoconsisteenunespaciovectorialyunproducto-internodefinidosobre
dichoespacio.Así,pues,cuandoVyWsonespaciosproductointerno,seexi-
girádeunisomorfismodeVsobreWno`soloquepreservelasoperacioneslinea-
les,sinoquetambiénpreserveelproductointerno.Unisomorfismodeunes-
pacioproductointernosobresimismosellama((operadorunitario»sobre
eseespacio.Seconsideraránvariosejemplosdeoperadoresunitariosyseesta-
bleceránsuspropiedadesbásicas.

316. l'Í\¡›m'i¢›scun¡mulmtuintemo 297
Definición.ScanVyWespaciosproductointernosobreelmismocuerpo
vseaTunatransformaciónlinealdeVenW.SedicequeTpreservaproductos
Internossi(To(|TB)=(oz)B)paratodooz,BdeV.UnisomorfismodeVsobreWes
unisomorfismoTdeespaciovectorialdeVsobreWquetambiénpreservapro-
ductosinternos.
SiTpreservaproductosinternos,entonces||To(||=||oz||yasíTesnecesa-
riamentenosingular.AsíqueunisomorfismodeVsobreWpuedeserdefinido
tambiéncomounatransformaciónlinealdeVsobreWquepreservaproductos
internos.SiTesunisomorfismodeVsobreW,entoncesT`iesunisomorfismo
deWsobreV;luego,cuandotalTexiste,sedirásimplementequeVyWson
isomorfos.Naturalmente,elisomorfodeespacioproductointernoesunare-
lacióndeequivalencia.
T00l'€ma10-SeanVyWespaciosproductointernodedimensiónfinita
sohreelmismocuerpoyquetienenlamismadimensión.SiTesunatransforma-
ciónlinealdeVenW,lassiguientesafirmacionessonequivalentes.
(i)Tpreservalosproductosinternos.
(ii)Tesunisomorfismo(enunespacioproductointerno).
(iii)TaplicatodabaseortonormaldeVsobreunabaseortonormaldeW.
(iv)TaplicaciertabaseortonormaldeVsobreunabaseortonormaldeW.
Demostración.(i)-›(ii).SiTpreservalosproductosinternos,entonces
||To(||=||o(||paratodootdeV.Así,Tesnosingular,ycomodimV=dimW,
sesabequeTesunisomorfismodeespaciovectorial.
(ii)-›(iii).SupóngasequeTseaunisomorfismo.Sea{o(,,___,o(,,}unabase
ortonormaldeV.ComoTesunisomorfismodeespaciovectorialydimW=
dimV,sesigueque{To(,,___,Toz,,}esunabasedeW.ComoTtambiénpre-
servalosproductosintemos,(Tot,-|Toc,,)=(ot,-|o(,,)=6,-,_
(iii)-›(iv).Estanorequierecomentario.
(iv)-›(i).Sea{(x,,___,o(,,}unabaseortonormaldeVtalque{To(,,___,Tot,,}
seaunabaseortonormaldeW.Entonces '
(TaflT01k)=(aflak)=öjk-
Paracualquierot=x,o(,+°'-+x,,o(,,yB=y,o(,+--'+y,,o(,,deV,tenemos
(alli)=2ïlïƒlly'
_1=1
(Ta|TB)= iv,-Ta,-IÉy¡,Ta¡,)
.7
= É:l2,¶7¡,(Ta,-|Ta¡,)
.7
n 1
=Z21'?/1'
:=l
yasí,pues,Tpreservalosproductosinternos.|

317. 298 .4l_g'c'luitlineal
Corolario.SeanVyWespaciosproductointernodedimensiónfinitasobre
elmismocuerpo.EntoncesVyWsonisomorfossi,ysolosi.tienenlamismadi-
mensión_
Demostración.Si{a,,____a,,}esunabaseortonormaldeVy{B,,___,B,,}
esunabaseortonormaldeW,.seaTlatransformaciónlinealdeVenWdefini-
daporTaj=B,-_EntoncesTesunisomorfismodeVsobreW.I
Ejemplo22.SiVesunespacioproductointernodedimensiónfinita.
entoncescadabaseordenadaortonormal(B={a,, a,,}determinaun
isomorfismodeVsobreF"conelproductointernoeanónico.Elisomorfismo
noesmásque
T(íC1C!1+'''+ílïndn)=(331,...,1131.).
Existeelisomorfismo,aparentementedistinto,que(BdeterminadeVsobre
elespacioF"“con(X|Y)=l'*Xcomoproductointerno.Elisomorfismoes
of-)[ajaj
esdecir,latransformaciónqueaplicaaensumatrizdecoordenadasenlabase
ordenada(B.Paracualquierbase(B,ésteesunisomorfismodelespaciovec-
torial;sinembargo,esunisomorfismodelosdosespaciosconproductointer-
nosi_ysolosi,esortogonal.
Ejemplo23.Aquisepresentaunisomorfismoalgomenossuperficial.Sea
Welespaciodetodaslasmatrices3><3,A,sobreRantisimétricas;esdecir,
A'=-A.SedotaaWdelproductointerno(A|B)=É-tr(AB'):elespormera
conveniencia.SeaVelespacioR3conelproductointernoeanónico.SeaTuna
transformaciónlinealdeVenWdefinidapor
0-2133 232
T(í¡31›$2;13)= iva0“$1'
-1:2 3:10_
EntoncesTaplicaVsobreW,yhaciendo
O _íl33 1132 0 _y3 yg
A= ¿Ca0-$11 B= ya 0'-3/1
-:C2 2310 _?,/2 Z/10
ÍCÍICIHOS
tr(AB')=xyyy+:vyyy+:vyyy+:ayy-l-:vivi
=2(íI3iy1*li132?/2+333313)-
Así,pues,(o(|B)=(To(|TB)yTesunisomorfismodeespaciovectorial.Obsér-
vesequeTaplicalabasecanónìca{e,,ez,e3}sobrelabaseortonormalqueconsta
delastresmatrices
00 O OO 1 O-10
OO -I, OOO, 1 OO-
O1 O -100 O O0

318. Iipmnnum¡nmlmmmu-øm› 20?
I¡t-mplo24.Nosiempreesparticularmenteconvenientedescribiruniso-
m.~iI|\|ut›enterminosdelasbasesortonormales.Porejemplo,supóngaseque
1-«I""I'.dondePesunamatriznxn,inversible,conelementoscomplejos.
M-.iIelespaciodelasmatricescomplejasnx1conelproductointerno
|\|l|:Y*GX.SeaWelmismoespaciovectorial,conelproductointer-
not-;|m'›nico(X|Y)=Y*X.SesabequeVyWsonespaciosproductointerno
|-.mimi-l`os.Pareceríaqueelmodomásconvenientededarunisomorfismo
cutreI'yWeselsiguiente:seaTlatransformaciónlinealdeVenWdefinida
¡mil`(X)=PX.Entonces
(TX|TY)=(PX|PY)
=(PY)*(PX)
=Y*P*1>X
=Y*GX
=[X|Y]-
luegoTesunisomorfismo.
I-ljemplo25.SeaVelespaciodetodaslasfuncionescontinuasdevalor
milenelintervalounitarioO5r51,conelproductointerno
[fly]=L'f(¢›y(¢)r*d¢.
SeaWelmismoespaciovectorialconelproductointerno
mo=fiflmwu
SeaTlatransformaciónlinealdeVenWdadapor
(7'f)(i)=¿f(t)-
Intonces(Tf|Tg)=[f|g],yasíTpreservalosproductosinternos;sinem-
hargo,TnoesunisomorfismodeVsobreW,yaquelaimagendeTnoestodoW_
Porsupuesto,estosucedeporqueelespaciovectorialbásiconoesdedimen-
siónfinita.
Teoremall.SeanVyWcspaciosproductointernosobreelmismocuerpo
rseuTunatransformaciónlinealdeVcnW.EntoncesTpreservaproductosin-
ternossi,ysolosi,||Toc||=Hoc"paratodoocenV.
Demostración.SiTpreservaproductosinternos.,entoncesT«preserva
normas».Supóngaseque||Ta|¦=||a||paratodoadeV.Entonces|¦Ta||2=||oc|¦2.
Ahora.usandolaidentidaddepolarizaciónapropiada,(8-3)o(8-4),yelhecho
dequeTeslineal,seobtienefacilmenteque(oc|fi)=(Toc¦T,6)paratodooc,fi
enVI
Definición.Unoperadortmitarioenunespacioproductointernoesuniso-
mo|_'/'i.s'modelespaciosobresímismo.
Elproductodedosoperadoresunitariosesunitario.Enefecto.siU1yU2

319. .UNI .-1¡tft-brah`m'uI
Á
sonunitarios,entoncesU¿U,esinversibley||U2U,oc||=||U1a||=||<_x||-para
cadaot.Tambiénelinversodeloperadorunitarioesunitario,yaqueUa||=Hall,
diceque||U“B||=HB",dondeli=Ua.Dadoqueeloperadorunitarioes
evidentementeunitario,sevequeelconjuntodetodoslosoperadoresunitarios
enunespacioproductointernoesungrupoparalaoperacióndecomposición.
SiVesunespacioproductointernoyUesunoperadorlinealsobreV,el
Teorema10dicequeUesunitariosi,ysolosi,(Uoz|UB)=(oz|B)paratodo
oz,BdeV;osi,ysolosi,paracierta(toda)baseortonormal{a1,_..,a,,}escierto
que-{Ua,, ,Ua,,}esunabaseortonormal.
Teorema12.SeaUunoperadorlinealsobreunespacioproductointer-
noV.EntoncesUesunitariosi,ysolosi,eladjuntoU*deUexisteyUU*=
U*U=I.
Demostración.SupóngasequeUesunitario.EntoncesUesinversibley
(Ualfl)=(Ua|UU`1B) =(a|U`1fl)
paratodooz,tí.LuegoU"eseladjuntodeU.
Recíprocamente,supóngasequeexisteU*yqueUU*=U*U=I.Enton-
cesUesinversible,conU"1=U*.Demodoquesolosenecesitademostrar
queUpreservaproductosintemos.Tenemosque.
(UGIUB)=(0f|U*UB)
=(HUB)
=(am)
paratodooz,B.I
Ejemplo26.ConsideremosC"“conelproductointerno(X|Y)=Y*X.
SeaAunamatrizn›<nsobreC.yseaUeloperadorlinealdefinidoporU(X)=
AX.Entonces
(UXIUY)=(AXIAY)=Y*A*AX
paratodoX,Y.LuegoUesunitariosi.ysolosi,A*A=I.
Definición.Unamatrizcomplejan›<n,A,sellamaunitariasiA*A=I.
Teoremal3.'SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
UunoperadorlinealsobreV.EntoncesUesunitariosi,ysolosi,lamatrizdeUen
alguna(otoda)baseordenadaortonormalesunamatrizunitaria.
Demostración.Aestaaltura,estocasinoesunteorema,yseformulómás
quetodoporinsistir.SiG3={a,,...,a,,}esunabaseordenadaortonormal
deVyAeslamatrizdeUrespectodeG3,entoncesA*A=Isi,ysolosi,U*U=I.
ElresultadosedesprendeahoradelTeorema12.I
SeaAunamatrizn›<n.LaafirmacióndequeAesunitariasoloquiere
decirque

320. l'.`.v¡›m'iusnmprmlm-tuinn-run Mi
(A*AM=¿ik
O
en
ÉlA.,-_,-A.,-¡¢-ôjk.
Enotraspalabras,estosignificaquelascolumnasdeAformanunconjunto
ortonormaldematricescolumnaconrespectoalproductointernoeanónico
(X/Y)=Y*X.ComoA*A=1si,ysolosi,AA*=I,vemosqueAesunitaria
exactamentecuandolasfilasdeAconstituyenunconjuntoortonormalden-tuples
deC,,(conelproductointemoeanónico).Así,usandolosproductosintemos
canónicos,Aesunitariasi.ysolosi,lasfilasylascolumnasdeAsonconjuntos
ortonormales.Seveaquíunejemplodelpoderdelteoremaqueestableceque
unainversalateral(aunlado)paraunamatrizesinversaaamboslados.Apli-
candoesteteoremacomosehizoanteriormente,porejemplo,amatricesreales,
tenemoslosiguiente:supóngasequetenemosunarregloencuadrodenúmeros
realestalesquelasumadeloscuadradosdeloselementosdecadafilaes1ylas
filasdistintassonortogonales.Entonces,lasumadeloscuadradosdelosele-
mentosdecadacolumnaes1ylascolumnasdistintassonortogonales.Escrí-
baselademostracióndeestoparaunarreglode3x3sinusarloqueseconoce
delasmatricesysequedarábastanteimpresionado.
1)efi¡¡¡¢¡ón_Unamatriznxnrealocompleja,A,sediceortogonalsiA'A=I
Unamatrizortogonalrealesunitaria,yunamatrizunitariaesortogonal
si,ysolosi,cadaunodesuselementosesreal.
Ejemplo27.Damosalgunosejemplosdematricesun'ita-riasyortogonales.
(a)Aeslamatriz1xl,c,esortogonalsi,ysolosi,c=±1,yesunitaria
si,ysolosi,Ec=1.Laúltimacondiciónquieredecir(naturalmente)que|c|=1,
0c=em.donde6esreal.
(b)Sea
ab
A-_j:cdjlj
EntoncesAesortogonalsi,ysolosi,
_._1 db_
At-_Al_ad-bcji-c a]
Eldeterminantedeunamatrizortogonales,comofácilmenteseve,±I.Así
Aesortogonalsi,ysolosi,
ab
A_[-b0]
O
a b
A_[b-0]

321. 302 _-Il_L'i'ln'itÍimwl
dondeaz+bz=l.LosdoscasosdistinguenporelvalordedetA.
(c)Lasrelaciones,bienconocidas.entrel`uncionestrigonométricasmues-
tranquelamatriz
eos0sen0
A0_[senticos0J
esortogonal.Si9esunnúmeroreal,entoncesA0eslamatrizenlabaseorde-
nadacanónìcadeR2deloperadorlinealU9,rotacióndeángulo6.Laafirmación
dequeA0esunamatrizortogonalreal(portantounitaria)soloquieredecir
queU9esunoperadorunitario,esdecir,preservaproductosescalares.
(d)Sea
ab
A_'[0di
EntoncesAesunitariasi,ysolosi,
r1---1td*5d ad-bc-c a
EldeterminantedeunamatrizunitariatienevalorabsolutoIyes,portanto_
unnúmerocomplejodelaformae'°,Hreal.AsíAesunitariasi.ysolosi,
A=[_iï«;_-'ìã]=[åÃ-ì][-%Z]
donde0esunnúmeroreal,ya,bsonnúmeroscomplejostalesque|a|2+|b|2=I_
Comoseobservóantes,losoperadoresunitariossobreunespacioproduc-
tointemoformanungrupo.DeestoydelTeorema13sesiguequeelconjunto
U(n)detodaslasmatricesunitariasnxnestambiénungrupo.Asílainversa
deunamatrizunitariayelproductodedosmatricesunitariassontambién
matricesunitarias.Porcierto.estoesfácilverlodirectamente.Unamatriz
nxn,A,conelementoscomplejosesunitariasi,ysolosi,A”=A*.Así,
siAesunitaria,tenemosque(A`1)"1=A=(A*)"'=(A"')*.SiAyBson
matricesunitariasnxn,entonces(AB)"==B"A"'=B*A*=(AB)*.
ElprocesodeGram-Schmidten(`"tieneuncorolariointeresanteparalas
matricesenqu_eentraelgrupoU(n).
Teorema14.Paratodamatrizcomplejanxn,inversible,B,existeunaúni-
camatriztriangularinferiorM,conelementospositii¬osenladiagonalprincipal,
demodoqueMBesunitaria.
Demostración.LasfilasB,,___,B,,deBformanunabasedeC"_Sean
oq,___,fx,losvectoresqueseobtienendeB1,___,B"porelprocesodeGram-
Schmidt.Entonces,para15k5n,{a¡,___,cx,,}esunabaseortogonaldel
subespaciogeneradopor{B,,____B,,},y
(fiklaƒ_ )
“*"B*'

322. I-.spin-uismn¡mnlurmnm-nm ill]
luego,paratodok,existenescalaresúnicos(',,¡talesque
ak=fik_2Ckffif-
i<1¢
SeaUlamatrizunitariaconfilas
al an
l|<›f1I|"``'l|<1»l|
yMlamatrizdefinidapor
1 __
Ch',Sl]<k
Mkj= 1 ____
||«_||'S”"'*
0,sij>k.
EntoncesMestriangularinferior,yaquesuselementossobreladiagonalprin-
cipalson0.LoselementosMu,deM,deladiagonalprincipal,sontodos>0,y
-5"-”'-=šM,.~¡s-1<k<n_
llakll¡=1'” _"
Ahoraestasigualdadessimplementedicenque
U=MB.
ParademostrarlaunicidaddeM,seaT*(n)elconjuntodetodaslasmatrices
complejasnxntriangulares,inferioresconelementospositivosenladiagonal
principal.SupóngasequeM1yM2seanelementosdeM*(n)talesqueM,B
estáenU(n)parai=1,2.Entonces,porserU(n)ungrupo
(MQB)-1 = 1
estáenU(n).Porotrolado,aun'cuandonoesenteramenteobvio,T*(n)estam-
biénungrupoparalamultiplicaciónmatricial.Unmododeverloesconsi-
derarlaspropiedadesgeométricasdelastransformacioneslineales
X-›MX, (MenT+(n))
sobreelespaciodelasmatricescolumnas.AsíM;1,M,M§'y(M,M;1)"
estántodasenT+(nl.Pero,comoM,M¿"estáenU(n),(M,M2")`1=
(M1M§')*.Latranspuestaolaconjugadatranspuestadecualquiermatriz
triangularinferioresunamatriztriangularsuperior.Portanto,M1M;1es
simultáneamentetriangularsuperioreinferior,esdecir,diagonal.Unamatriz
diagonalesunitariasi.ysolosi,cadaunodesuselementosdeladiagonalprin-
cipaltienevalorabsolutoI;siloselementosdeladiagonalsontodospositivos,
debenserigualesa1.LuegoM,M;1==I,conloqueM,=M2.I
SeaGL(n)elconjuntodetodaslasmatricescomplejasnxneinversibles.
EntoncesGL(n)-estambiénungrupoparalamultiplicaciónmatricial.Este
grupo.sellamael-grupolinealgeneraI.'ElTeorema14esequivalentealsiguien-
teresultado.

323. ,NH /Il_t_{i'lu'ulineal
Corolario.ParatodaBdc(|`l_(n),e.\'isIcnmatricesúnicasNyUtalesque
NestáenT"`(n),UenU(n),y
B=-N-U.
Demostración.PorelteoremaexisteunamatrizúnicaMenT*(n)tal
queMBestáenU(n).SeaMB=UyN=M`1.EntoncesNestáenT+(n)
yB=N-U.Porotrolado,sisedanelementosNyUcualesquieratalesque
NestáenT+(n),UestáenU(n)yB=N-U,entoncesN_1BestáenU(n)yN-1
eslaúnicamatrizMqueestácaracterizadaporelteorema.AdemásUesne-
cesariamenteN'1B.I
Ejemplo28.Seanxlyx2númerosrealestalesquexf+xš=1yxlqé0.
Sea
3513520
B=01O-
O01
AplicandoelprocesodeGram-SchmidtalasfilasdeB_seobtienenlosvectores
a1=(x1,x2,0)
G2=(0›1›0)_I2(íU1›$2,0)
=íE1(-1112,$1,0)
O13=(0,0,
SeaUlamatrizconfilasal,(az/X1),a,_`EntoncesUesunitaria.y
$1$20 100:clx20
$1¿C1
001 001001
Ahora,multiplicandoporlainversade
100
M=-9-lo
$1321
001
:cl:1220 100 xl11:20
0 10=$2$10 _'$2$10
001 001 001
Consideremosahorabrevementeelcambiodecoordenadasenunespacio
productointerno.SupóngasequeVesunespacioproductointernodedimen-
siónfinita,yqueG3'-={a¡,___,oz,,}y(B'={a1,___,a[,}sondosbasesorde-
setieneque

324. I"\'¡›m-n›.\'nmfmnlnrlulntrmn .lili
uadasortonormalesdeV.Existeunaúnicamatriznxn(necesariamentein-
vcrsible),P,talque
lalo'=P`1[0f]<B
›
paratodoozenV.SiUeseloperadorlinealúnicosobreVdefinidoporUaj=a,f,
entoncesPeslamatrizdeUenlabaseordenadaG3;
fl
r
ak=-ElP¡ka¡_
1= -
(`omo(ByG3'sonbasesortonormales,UesunoperadorunitarioyPesuna
matrizunitaria.SiTesunoperadorlinealcualquierasobreV,entonces
[T]a'=P”'[T]aP=P*[TlaP.
Definición.SeanAyBmatricescomplejasnxn.SedicequeBesunita-
riamenteequivalenteaAsiexisteunamatrizunitarianxn.P,talqueB=P'1AP.
SedicequeBesortogonalmenteequivalenteaAsiexisteunamatrizortoeonal
nxn,P,talqueB=P`¡AP.
Conestadefinición,loqueseobservóanteriormentepuedeenunciarsecomo
sigue:siG3yG3'sondosbasesordenadasortonormalesparaV,entonces,paratodo
operadorlinealTsobreV,lamatriz[T](Besunitariamenteequivalenteala
matriz[T]¿B.EnelcasoqueVseaunespacioproductointernoreal,estasma-
tricessonortogonalmenteequivalentesatravésdeunamatrizortogonalreal.
Ejercicios
l.Hallarunamatrizunitariaquenoseaortogonalyencontrarunamatrizortogonal
quenoseaunitaria.
2.SeaVelespaciodelasmatricescomplejasnxnconproductointerno(A|B)=tr(AB*).
ParacadaMenV,seaTMeloperadorlinealdefinidoporTM(A)=MA.Demostrarque
TMesunitariosi,ysolosi,Mesunamatrizunitaria.
3.SeaVelconjuntodelosnúmeroscomplejosconsideradoscomoespaciovec'torialreal.
(a)Demostrarque(a|/3)=Re(all)defineunproductointernosobreV.
(b)Mostrarunisomorfismo(deespacioproductointerno)deVsobreR2conelpro-
ductointernoeanónico.
(c)Paracada'ydeV,seaM,eloperadorlinealsobreVdefinidoporM,(a)=ya.De-
mostrarque(M,)*=M,-_
(d)¿ParaquénúmeroscomplejosyesM,autoadjunto?
(e)¿ParacuálesjiesM,unitario?
(f)¿ParacuálesyesM,positivo?
(g)¿Cuálesdet(M,)?
(h)HallarlamatrizdeM,enlabase{l,i}.
(i)SiTesunoperadorlinealenV,hallarcondicionesnecesariasysuficientesparaT
paraqueseaunM,.
(j)EncontrarunoperadorunitariosobreVquenoseaunM,.

325. ,wn .~llgcliralineal
4.SeaV=R2conclproductointemoeanónico.SiUesunoperadorunitariosobrel'.
demostrarquelamatrizdeUenlabaseordenadacanónìcaes
[C080-sen0]0[eos0sen0]
Sen0eos0 sen0-cos0
paraalgúnreal0.0S.0S2.SeaU9eloperadorlinealquecorrespondealaprimerama-
triz;esdecir,U,esunarotacióndeángulo0.Ahoraobservarquetodooperadorunitario
sobreVesunarotaciónounasimetríaentornoalejeSlseguidadeunarotación.
(a)¿QuéesU,U¢?
(b)DemostrarqueU2'=U0.
(c)Seaçbunnúmerorealfijoysea(B={a¡,a2}labaseortonornalobtenidaporro-
taciónde{e,,e,}enelángulogb;esdecir.or,=U4,e,-_Si6esotronúmeroreal.¿cuálesla
matrizdeU9enlabaseordenadaG3?
5.SeaV=R3conelproductointemoeanónico.SeaWelplanogeneradoporot=ll.l,l)
Yli=(1,1.-2).SeaUeloperadorlinealdefinidogeométricamentecomosigue:Uesla
rotacióndeángulo6entornoalarectaquepasaporelorigenortogonalaW.Enrealidad
haydosdeestasrotaciones-*Seeligeuna.HallarlamatrizdeUenlabaseordenadacanó-
nìca.(Heaquíuncaminoquesepodríaseguir:hallarquealyazformanunabaseortonor-
maldeW.Seaor,unvectordenorma1queesortogonalaW.HallarlamatrizdeUenla
base{a,,az,a¿,}.Hágaseuncambiodebase.)
6.SeaVunespacioproductointemodedimensiónfinitayseaWunsubespaciodeV.
EntoncesV=W9Wi,estoes,todoadeVseexpresaunívocamenteenlaformaa=/i+y,
conIienWyyenWi.SedefineunoperadorlinealUporUa='li-7-.
(a)DemostrarqueUesautoadjuntoyunitario.
(b)SiVesR*Í,conelproductointernoeanónico,yWeselsubespaciogeneradopor
(1,0,1).hallarlamatrizdeUenlabaseordenadacanónìca.
7.SeaVunespaciocomplejoconproductointernoyTunoperadorlinealautoadjunto
sobreV.Demostrarque
(a)||a+¡Tall=Ha-¡Tallparatodo(1enV,
(b)ot+¡Ta=Ii+¡TBsi,ysoloSi,01=/ƒ,
(c)l+¡Tesnosingular.
(d)I-iTesnosingular-
(C)SupongamosahoraqueVesdedimensiónfinitaydemostremosque
U=(1-m(1+tr)-1
esunoperadorunitario;UsellamalatransfonnaeióndeCayleydeT.Enciertosentido
U=f(T),dondef(x)=(l-ix)/(l+ix).
8.Si6esunnúmeroreal,demostrarquelassiguientesmatricessonequivalentesuni-
tariamente
[eosö-sen0] [effiO
sen0eos6' 0e¬'”
9.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayTunoperadorlinealposi-
tivosobreV.SeapTelproductointemosobreVdefinidoporp†(a,B)=(Ta,B).SeaUun
operadorlinealenVyU*_suadjuntoconrespectoa(|).DemostrarqueUesunitario
conrespectoalproductointernopfsi,ysolosi,T=U*TU.

326. I-.`s¡uu'i¢›_smn¡›n›dm'tuintemo 307
I0.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinita.Paracadaoi,BenV,seaT,,_¡,
cloperadorlinealenVdefinidoporT,_¡,(^,')=(1-|[ï)a.Demostrarque
(a)T;'f¡,=T¡¡_,,.
(b)traza(-7:,_,,)=(alli).
(ClTa_flTv.ô=Taxfllviø-
(d)¿EnquécondicionesesTM,autoadjunto?
II.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseaL(V,V)
elespaciodelosoperadoreslinealessobreV.Demostrarqueexisteunproductointerno
unicosobreL(V,V)conlapropiedaddeque||T,_¡,||2=||a||2||B||2paratodoa,/ideV
tl`,_¡,eseloperadordefinidoenelEjercicio10).HallarunisomorfismoentreL(V,V),con
esteproductointerno,yelespaciodelasmatricesnxnsobreF,conelproductointerno
(113)=ir(AB*).
I2.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinita.EnelEjercicio6mostramos
comoconstruiroperadoreslinealessobreVquesonautoadjuntosyunitariosalavez.De-
mostrarahoraquenohayotros,esdecir,quetodooperadorautoadjuntoyunitariosurge
deciertosubespacioWcomosedescribióenelEjercicio6.
l3.SeanVyWespaciosproductointernodedimensiónfinitaquetienenlamismadi-
mensión.SeaUunisomorfismodeVsobreW.Demostrarque
(a)LaaplicaciónT-›UTU”esunisomorfismodelespaciovectorialL(V,V)sobre
elespaciovectorialL(W,W).
(b)traza(UTU_')=traza(T)paratodoTdeL(V,V).
(c)U7§,_,U_1'=TU,_U,,(TM,definidoenelEjerciciolO).
(d)(UTU"')*=UT*U"
(e)SisedotaL(V.V)delproductointerno(T¡|T2)=traza(T1Tf),yanálogamente
paraL(W,W),entoncesT-›UTU”esunisomorfismodeespaciosproductointerno.
I4_SiVesunespacioproductointerno,unmovimientorigidoesciertafunciónTdeVen
I(nonecesariamentelineal)talque||Ta_Tfi||=||a-paratodoa,lldeV.Ejemplo
demovimientorígidoesunoperadorlinealunitario.Otroejemploeslatraslacióndevec-
tordado'yz
T-,(a)=of-l-'Y
(a)SeaV-R2,conelproductointernoeanónico.SupóngasequeTesunmovimiento
rígidodeVyqueT(0)=0.DemostrarqueTesoperadorlinealyunitario.
(b)Usarelresultadodelaparte(a)parademostrarquetodomovimientorígidode
R2estácompuestodeunatraslación,seguidadeunoperadorunitario.
(c)DemostrarahoraqueunmovimientorígidodeR2esunatraslaciónseguidade
unarotación.ounatraslaciónseguidadeunasimetríaseguidadeunarotación.
IS.UnoperadorunitariosobreR4(dotadodelproductointernoeanónico)essimplemen-
teunoperadorlinealquepreservalaformacuadrática,
ll(=v,2/_2,Dll”=21*+yt+2*+1*
estoes,unoperadorlinealUtalque||Ua||2=||a||2paratodootdeR4.Enciertapartede
lateoriadelarelatividadesdeinteréshallarlosoperadoreslinealesTquepreservanla
forma
ii(xiyazi =t2_$2_ya_22°
Peroaquí noprovienedeunproductointemo,sinodealgollamadola«métricade

327. JUN _-ll_t¦t'Í›rulincul
Lorentz»(enlaquenoentraremos).PoresarazónunoperadorlinealTsobreR4talque
||Ta||f= paratodootdeR4,sellamatransformacióndeLorentz.
(a)DemostrarquelafunciónUdefinidapor
von/_z,0=ÍÍ,l§Í
esunisomorfismodeR4sobreelespaciovectorialrealHdelasmatricescomplejas2x2
autoadjuntas.
(b)Demostrarque =det(Uot).
(c)SupóngasequeTesunoperadorlineal(real)sobreelespacioHdelasmatrices
2x2autoadjuntas.DemostrarqueL=U"TUesunoperadorlinealsobreR4.
(d)SeaMunamatrizcompleja2x2cualquiera.MostrarqueTM(A)=M*AMde-
fineunoperadorlinealTMsobreH(asegurarsedequeTMaplicaHenH).
(e)SiMesunamatriz2x2talque|detMI=l,demostrarqueLM=U"TMUes
unatransformacióndeLorentzenR4.
(f)HallarunatransformacióndeLorentzquenoseaunLM.
8.5.Operadoresnormales
Elobjetivoprincipaldeestaseccióneslasolucióndelsiguienteproblema.
SiTesunoperadorlinealsobreunespacioproductointernodedimensión
finitaV,¿enquécondicionestieneVunabaseortonormalformadaporvec-
torespropiosdeT?Enotraspalabras,¿cuándoexisteunabaseortonormalG3
deV,talquelamatrizdeTenlabaseG3seadiagonal?
ComenzaremosdeduciendounascondicionesnecesariasparaT,quemás
adelanteseveráquesonsuficientes.SupongamosqueG3=(al,___,a,,}es
unabaseortonormaldeVconlapropiedad
TVCXJ'=Cjaj, =1,.--,n-
EstosolodicequelamatrizdeTenlabaseordenadaG3eslamatrizdiagonal
conelementoscl,___,c,,enladiagonal.EloperadoradjuntoT*estárepre-
sentadoenestamismabaseordenadaporlamatriztranspuestaconjugada;
esdecir,lamatrizdiagonalconelementosE,,___,E,,enladiagonal.SiVesun
espacioproductointernoreal,losescalarescl,___,c,,son(claroestá)reales
y,portanto,debetenersequeT=T*.Enotraspalabras,siVesunespacio
productointernorealdedimensiónfinitayTesunoperadorlinealparaelque
existeunabaseortonormaldevectorespropios,entoncesTdebeserautoadjunto.
SiVesunespacioproductointernocomplejo,losescalarescl,___,c,,none-
cesitanserreales;esdecir,Tnonecesitaserautoadjunto.Peroobsérveseque
Tdebesatisfacer
(8-17) TT*=T*T_
Enefecto,dosmatricesdiagonalescualesquieraconmutan,ycomoTyT*
estánambosrepresentadospormatricesdiagonalesenlabaseordenadaG3.
setiene(8-17).Esmásbiennotableque,enelcasocomplejo.estacondición
seatambiénsuficienteparaimplicarlaexistenciadeunabaseortonormalde
vectorespropios.

328. I'\¡utt'n›.\'nmprmllutuInterno 304)
l)efiniciÓn.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayTun
¢›¡›¢-radorlinealsobreV.SedicequeTesnormalsiconmutaconsuadjunto;es
tl«_r«-ir,TT*=T*T
Todooperadorautoadjuntoesnormal,comotambiéntodooperadoruni-
tario;sinembargo,lassumasyproductosdeoperadoresnormalesnosonen
generalnormales.Aunquenoesnecesario,comenzaremoselestudiodelos
operadoresnormalesconsiderandooperadoresautoadjuntos.
Teorema15.SeanVunespacioproductointernoyTunoperadorlineal
autoadjuntosobreV.EntoncestodovalorpropiodeTesrealylosvectorespropios
.lrT,asociadosavalorespropiosdistintos.sonortogonales.
Demostración.SupóngasequecesunvalorpropiodeT;esdecir,que
¡bz=caparaalgúnvectornonuloot.Entonces
c(<1l<1)=(Cala)
=(Tala)
=(a|Ta)
=(alw)
=ìJ'(oi|a)_
(`omo(a|a)që0,debemostenerquec=E.Supóngasequetambiéntenemos
queT/3=d/icon/3=;é0.Entonces
v(a|B)=(Telfi)
=(a|Tfl)
=(pida)
=dtalfi)
=d(alfl)-
Sic#d,entonces(<X|›3)=0.I
DebeobservarsequeelTeorema15nodicenadarespectoalaexistencia
devalorespropiosodevectorespropios.
Teorema16.Enunespacioproductointernodedimensiónfinita_vpositi-
ratodooperadorautoadjuntotieneunvectorpropio(nonulo).
Demostración.SeaVunespacioproductointernodedimensiónn,donde
u>0,yseaTunoperadorautoadjuntoenV.Seeligeunabaseortonormal
(llparaVyseaA=[T]¿B.ComoT=T*,tenemosqueA=A*_Ahorasea
IVelespaciodelasmatricesnx1sobreC,conelproductointemo(X|Y)=
l'*X_EntoncesU(X)=AXdefineunoperadorlinealautoadjuntoUenW.
lilpolinomiocaracterístico,det(xl-A),esunpolinomiodegradonsobre
losnúmeroscomplejos;todopolinomiosobreCdegradopositivotieneuna
raiz.Asíexisteunnúmerocomplejoctalquedet(cl-A)=.0.Estoquiere
decirqueA-clessingular,oqueexisteunXdistintodecerotalqueAX=cX_
(`omoeloperadorU(multiplicaciónporA)esautoadjunto,sesiguedelTeo-
rema15quecesreal.SiVesunespaciovectorialreal,sepuedeelegirXdemodo

329. .lIU Al_t!t'lIrulineal
quetengaelementosreales.Enefecto,entoncesAyA-eltienenelementos
realesycomoA-clessingular,elsistema(A-cl)X=0tienesolución
realXnonula.Sesiguequeexisteunvectorot,nonulo,enVtalqueTa=ca.I
Varioscomentariossepuedenhacerrespectoalademostración.
(1)LademostracióndelaexistenciadeunaXnonulatalqueAX=cX
notienenadaqueverconelhechodequeAfuesehermítiea(autoadjunta)_
Ellomuestraquecualquieroperadorlinealsobreunespaciovectorialcomple-
jodedimensiónfinitatieneunvectorpropio.Enelcasodeunespacioproducto
internoreal,elserAautoadjuntaseusafundamentalmenteparaverquecada
valorpropiodeAesrealyluegoquesepuedehallarunaXapropiadaconele-
mentosreales.
(2)Elrazonamientomuestraqueelpolinomiocaracterísticodeunamatriz
autoadjuntatienecoeficientesrealesapesardequelamatrizpuedenotener
elementosreales.
(3)LasuposicióndequeVesdedimensiónfinitaesnecesariaparaelteore-
ma;unoperadorautoadjuntoenunespacioproductointernodedimen-
sióninfinitapuedenotenerunvalorpropio.
Ejemplo29.SeaVelespaciovectorialdelasfuncionescontinuasdevalor
complejo(oreal)enelintervalounitario,0St51,conelproductointemo
(fio=(,`fu›ãödi.
Eloperador«multiplicaciónport»,(Tf)(t)=tf(t),esautoadjunto.Supon-
gamosqueTƒ=cf.Entonces
(l-0)f(t)=0›Oítšl
yasíf(t)=0paratqéc.Comofescontinuo,f=0.LuegoTtienevalores
(vectores)propios.
Teorema17SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
TunoperadorlinealsobreV.SupóngasequeWesunsubespaciodeVqueesin-
varianteporT.EntonceselcomplementoortogonaldeWesinvarianteporT*_
Demostración.RecuérdesequeelqueWseainvarianteporTnoquiere
decirquetodovectordeWquedefijoporT;quieredecirquesiotestáenW
entoncesTaestáenW.SeaBenW*_DebemosmostrarqueT*,BestáenWi,
estoes,que(a|T*/i)=0paratodootenW.SiozestáenW,entoncesTaestá
enW,demodoque(Ta|B)=0.Pero(Ta|B)=(a|T*B)_I
Teorema18,SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
TunoperadorlinealautoadjuntosobreV.Entoncesexisteunabaseortonormal
deVenlaquecadarectoresunvectorpropiodeT.
DemostraciónSesuponequedimV>0.PorelTeorema16,Ttieneun
vectorpropiooz.Seaot,=ot/||a||demodoqueoc,estambiénunvectorpropio
paraTy||oz¡||=l.SidimV=1,sehabráconcluidoconlademostración.

330. I'._\pm'm.rconprmlurmmtv:mi JH
SeprocedeahoraporinducciónsobreladimensióndeV.Supóngasequeel
teoremaesválidoparaespaciosproductointernodedimensiónmenorque
dimV.SeaWelespaciounidimensionalgeneradoporelvector01,.Laafir-
macióndequeoqesunvectorpropioparaTquieredecirsimplementequeWes
invarianteporT.PorelTeorema17,elcomplementoortogonalW*esinva-
rianteporT*=T_AhoraW,conelproductointernodeV,esunespaciopro-
ductointernodedimensiónmenorenunoqueladimensióndeW.SeaUel
operadorlinealinducidoenW*porT,estoes,larestriccióndeTaWi.Enton-
cesUesautoadjuntoy,porlahipótesisinductiva,Wtieneunabaseortonormal
¦oz2,___,oc,,}queconsisteenvectorespropiosdeU.Ahoracadaunodeestos
vectoresestambiénunvectorpropiodeT,ycomoV=WEBWi,conclui-
mosque{a¡,...,a,,}esladeseadabaseparaV.I
Corolario.SeaAlamatriznx-nhermítiea(autoadjunta).Entoncesexiste
unamatrizunitariaPtalqueP"¡APesdiagonal(Aesunitariamenteequivalente
aunamatrizdiagonal).SiAesunamatrizsimétricareal,hayunamatrizortogo-
nalrealPtalqueP"¡APesdiagonal.
__n›<1
Demostración.SeaV-C,conelproductointernoeanónico,yseaTel
operadorlinealsobreVrepresentadoporAenlabaseordenadacanónìca.
(`omoA==A*,tenemosqueT=T*_Sea(B={oz,,___,a,,}unabaseorde-
iiadaortonormaldeV,talqueTot,=c,-oz,-,j=1,___,n.SiD=[T]¿B,en-
toncesDeslamatrizdiagonalconelementoscl,___,c,,enesadiagonal.Sea
I'lamatrizconvectorescolumnaoq,___,oc,,_EntoncesD=P"'AP_
EnelcasodequecadaelementodeAseareal,sepuedetomarVcomoR",
conelproductointemoeanónico,yserepiteelrazonamiento.Enestecaso
Pseráunamatrizunitariaconelementosreales,esdecir,unamatrizortogo-
nalreal.I
CombinandoelTeorema18conloscomentariosquehicimosalcomienzo
deestasección,setienelosiguiente:siVesunespacioproductointemorealde
dimensiónfinitayTesunoperadorlinealsobreV,entoncesVtieneunabase
ortonormaldevectorespropiosparaTsi,ysolosi,Tesautoadjunto.Aesto
equivaledecir:siAesunamatriznxnconelementosreales,existeunamatriz
ortogonalrealPtalqueP'APesdiagonalsi,ysolosi,A=A'.Noexisteun
resultadosemejanteparamatricessimétricascomplejas.Enotraspalabras,para
matricescomplejashayunadiferenciasignificativaentrelascondicionesA=
A'yA=A*_
Habiendovistoelcasodelosautoadjuntos,volvemosahoraalestudiode
losoperadoresnormalesengeneral.SedemostraráelanálogoalTeorema18,
paraoperadoresnormales,enelcasocomplejo.Hayunarazónparaestares-
tricción.Unoperadornormalsobreunespacioproductointernorealpuede
notenerunvectorpropiononulo.Estoescierto,porejemplo.paratodaslas
rotacionesenR2,aexcepcióndedos.
Teorema19.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayTun
operadornormalsobreV.SupóngasequeotesunvectordeV.Entoncesozesun

331. 31.? .-Il_i:i'l›rulimwl
vectorpropiodeTconvalorpropiocsi,ysolosi,otesunvectorpropioparaT-*
convalorpropioE.
Demostración.SupóngasequeUseaunoperadornormalenV.Entonces
||Ua||=||U*a||.Enefecto,usandolacondicióndequeUU*=U*Usetieneque
||Ua||2=(Ua|Ua)=(a|U*Ua)
=(a|UU*a)=(U*a|U*a)=||U*a||2_
Sicesunescalarcualquiera,eloperadorU=T-clesnormal.Enefecto,
(T-cI)*=T*-El,conloqueesfácildeverificarqueUU*=U*U.Así,
|I(T-cI)all=I|(T*-¢I)alI
demodoque(T-cI)a=0si,ysolosi,(T*-êI)a=0.I
Definición.Unamatrizcomplejanxn,A,sellamanomialsiAA*=A*A.
Noesmuyfácilentenderloquesignificanormalenmatricesuoperado-
res;sinembargo,conobjetodedesarrollarunsentidoparatalconcepto,el
lectorpodríaencontrardeutilidadsaberqueunamatriztriangularesnormal
si,ysolosi,esdiagonal.
Teorema20.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinita,Tun
operadorlinealsobreVyG3unabaseortonormaldeV.Supóngasequelamatriz
AdeTenlabaseG3estriangularsuperior.EntoncesTesnormalsi,ysolosi,A
esunamatrizdiagonal.
Demostración.ComoG3esunabaseortogonal,A*eslamatrizdeT*enG3.
SiAesdiagonal,entoncesAA*=A*A,yestoimplicaqueTT*=T*T_Recí-
procamente,supóngasequeTseanormalyseaG3={a,,___,cx,,}_Entonces,
comoA_estriangularsuperior,Tal=Anal.PorelTeorema19estoimplica
queT*a¡=Ãnal.Porotrolado
T*0¿1=(A*)¡10f_¬-
J
= Ã1¡aj.
.7
Portanto,A1,=0,paratodo¡`>l.EnparticularA1,=0,ycomoAestrian-
gularsuperior,sesigueque
Tag=14.2202.
Así,T*ot2=ÃzzazyA2,-=0paratodojqê0.Continuandodeestamanera
sellegaademostrarqueAesdiagonal.|
Teorema21,SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
TunoperadorlinealsobreV.EntoncesexisteunabaseortonormaldeVenla
quelamatrizdeTestriangularsuperior.

332. I'\¡Im'm.\'runjmulmtnntlrrmi _lI_l
lDt-nuis-tración.SeanladimensióndeV.Elteoremaesciertocuandon=1,
\seprocedeporinducciónenn,suponiendoqueelresultadoesciertopara
operadoreslinealesenespaciosproductointemocomplejosde_dimensión
nI.ComoVesunespacioproductointemodedimensiónfinita,hayun
sectorunitariootenVyunescalarctalesque
T*a=ca.
SeaWelcomplementoortogonaldelsubespaciogeneradoporotyseaSlares-
mceióndeTaW.PorelTeorema17,WasinvarianteporT.AsiqueSesunope-
radorlinealsobreW.ComoWtienedimensiónn-1,lahipótesisinductiva
implicalaexistenciadeunabaseortonormal{ot,,____a,,_,}deWenlacual
I.imatrizSestriangularsuperior;seafz,,=ot.Entonces{ot,,____cx,,}esuna
|›.iseortonormaldeVenlaquelamatrizdeTestriangularsuperior.I
Esteteoremaimplicaelsiguienteresultadoparalasmatrices.
Corolario.Paratodamatrizcomplejanxn,A,existeunamatrizunitaria
t'talqueU"i1AUestriangularsuperior.
Ahora,combinandoelTeorema21conelTeorema20,setiene,sinmás,
clsiguienteanálogoalTeorema18paraoperadoresnormales.
Teorema22.SeanVunespacioproductointernocomplejodedimensión
/mirayTunoperadornormalsobreV.EntoncesVtieneunabaseortonormal
queconsisteenvectorespropiosdeT.
Tambiénexisteunainterpretaciónmatricial.
Corolario.ParatodamatriznormalAexisteunamatrizunitariaPtalque
I'ii¡APesunamatrizdiagonal.
lzjercicios
I.Paracadaunadelassiguientesmatricessimétricasreales.A.hallarunamatrizorto-
vonalrealPtalqueP'APseadiagonal.
11] 12] cos0 Sen0]
[11' 21' seno-coso
2.¿Esunamatrizsimétricacomplejaautoadjunta?¿Esnormal?
123
A=234
345
3.Para

333. 314 /l/gt-liralineal
hayunamatrizortogonalrealPtalqueP'AP=Dseadiagonal.Hallartalmatrizdia-
gonalD.
4.SeaV=C2,conelproductointernoeanónico.SeaTeloperadorlinealsobreVre-
presentadoenlabasecanónìcaporlamatriz
1i
A"lt1]'
DemostrarqueTesnormalyhallarunabaseortogonaldeVqueconsistaenvectorespro-
piosdeT.
S.Darunejemplodeunamatriz2x2,A,talqueA2seanormal,peroqueAnolosea.
6.SeaTunoperadornormalsobreunespacioproductointernocomplejodedimensión
finita.DemostrarqueTesautoadjunto,positivo,ounitariosegúnquetodoslosvalores
propiosdeTseanreales,positivosodevalorabsolutoiguala1.(UsarelTeorema22para
reducirelproblemaaunosimilarrespectoamatricesdiagonales.)
7.SeaTunoperadorlinealsobreelespacioproductointernodedimensiónfinitaVy
supóngasequeTespositivoyunitario.DemostrarqueT=I.'
8.DemostrarqueTesnormalsi,ysolosi,T=T,+iT¡,dondeT,yT2sonoperado-
resautoadjuntosqueconmutan.
9.Demostrarqueunamatrizsimétricarealtieneunaraizcúbicasimétrica;esdecir,si
Aessimétricareal,existeunasimétricarealBtalqueB3=A.
I0.Demostrarquetodamatrizpositivaescuadradodeunamatrizpositiva.
ll.Demostrarqueunoperadornormalynilpotenteeseloperadorcero.
12.SiTesunoperadorngrmal,demostrarquelosvectorespropiosdeT,asociadosa
distintosvalorespropios,sonortogonales. ` '
13.SeaTunoperadornormalsobreunespacioproductointernocomplejodedimensión
finita.Demostrarqueexisteunpolinomio_/,concoeficientescomplejos,talqueT*=f(T).
(RepresentarTpormediodeunamatrizdiagonalyverquedebeserf.)
I4.Sidosoperadoresnormalesconmutan,demostrarquesuproductoesnormal.

334. 9;Operadoressobreespacios
productointerno
9.I_Introducción
LamayoríadelostemasdelCapítulo8seconsideranfundamentales.Es
lamateriaquetodosdebensaber.Elpresentecapítuloesparaestudiantesmás
avanzadosoparaellectordeseosodeampliarsusconocimientosacercade
operadoressobreespaciosproductointerno.Conlaexcepcióndelteorema
delejeprincipal,queesencialmentenoesmásqueotraformulacióndelTeore-
ma1-8sobreladiagonalizaciónortogonaldeoperadoresautoadjuntos,ylos
otrosresultadossobreformasdelaSección9.2,elmaterialqueaquísepre-
sentaesmáscomplicadoygeneralmenteimplicamayortecnicismo.También
exigimosmásdellector,comosehizoenlapartefinaldelosCapítulos5y7.
Losrazonamientosydemostracionesestánescritosenestilomáscondensado
ynosedancasiejemplosparafacilitarelcamino;sinembargo,hemospro-
curadoqueellectordispongadeabundantesconjuntosdeejercicios.
Lastresprimerasseccionessededicanalosresultadosconcernientesafor-
masenespaciosproductointernoyalarelaciónentreformasyoperadores
lineales.Lasiguientesecciónseocupadelateoríaespectral,esdecir,delas
consecuenciasdelosTeoremas18y22delCapítulo8enloqueserefiereala
diagonalizacióndeoperadoresautoadjuntosynormales.Enlasecciónfinal
proseguimoselestudiodelosoperadoresnormalestratandoenparticularel
casoreal;alhacerloseexaminaloquediceelteoremadedescomposiciónprima
delCapítulo6respectoalosoperadoresnormales.
315

335. 3lo .-1/gt-liraIim'al
9.2.Formassobreespaciosproductointerno
SiTesunoperadorlinealsobreunespacioproductointernodedimensión
finitaV,lafunciónfdefinidasobreVxVpor
.l-(ai =
puedeconsiderarsecomountipodesustitutoparaT.Muchascuestionesres-
pectodeTequivalentesacuestionesrespectodef.Enefecto,esfácilverque
ƒdeterminaaT.PuessiG3={a1,___,a,,}esunabaseortonormaldeV,en-
toncesloselementosdelamatrizdeTenG3vienendadospor
Ai*=ƒ(a¡¢›af)-
EsimportanteentenderporquéƒdeterminaaTdesdeunpuntodevistamás
abstracto.Laspropiedadescaracterísticas,deƒestándescritasenlasiguiente
definición.
Definición.Unaforma(sesquilineal)sobreunespaciovectorialrealocom-
plejoVesunafunciónfsobreVxVconvaloresenelcuerpodelosescalares
talque _ '-
Ñ__
ta) f(w,+If.1')=ffla.ri+ftlir)
(b) f(0¢_CB+r)=C/la.B)+fta_1')
paratodooc,B,¬,'deVytodoslosescalaresc.
Asi,unaformasesquilinealesunafunciónsobreVxVtalque_/(ot,B)
esunafunciónlinealdeotparaBfijoyunafunciónlineal-conjugadadeBpara
cxfijo.Enelcasoreal,ƒ(ot,B)esunafunciónlinealdecadaargumento;osea
queƒesunafonnabilineal.Enelcasocomplejo,laformasesquilinealƒno
esbilineal,amenosqueƒ=0.Enelrestodeestecapituloseomitiráeladjetivo
«sesquilineal››,salvoqueseaimportantetenerloencuenta.
SiƒygsonformassobreVycesunescalar,esfácilprobarquecf+ges
tambiénunaforma.Deestoseconcluyequetodacombinaciónlinealdeformas
sobreVesasuvezunaforma.Así,elconjuntodetodaslasformassobreV
esunsubespaciodelespaciovectorialdelasfuncionesescalaressobreVxV.
Teorema1.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayƒ
unaformasobreV.EntoncesexisteunoperadorlinealúnicosobreVtalque
f(<1,B)=(T0fi|lï)
paracualesquieraot,BdeV,ylaaplicaciónf-›Tesunisomorƒismodelespacio
delasformassobreL(V,V).
Demostración.FijadoelvectorBenV,entoncesot-›ƒta,B)esunafun-
ciónlinealsobreV.PorelTeorema6existeunvectorúnicoB'deVtalque
f(a,B)=(a|B')paratodoot.SedefineunafunciónUdeVenVhaciendoUB=B'.
Entonces

336. Um-nulorc.ssobrecijiiii-tos¡mnlurtointerno .U7
f(<1|0B+1)=(<1|U(0B+1))
=ëf(a› `l".l-(ai7)
=ïf(<1lUfi)+(<1lU'Y)
=(<1lCUfi+U1)
paracualesquieraot,B,yenVytodoslosescalaresc.Así,Uesunoperador
linealsobreV,yT=U*esunoperadortalqueƒ(a,B)=(Tcx|B)paratodo
1yB.Sitenemostambiénqueƒ(a_B)=(T'u|B),entonces
(Ta-T'a|B)=O
paratodocxyB;conloqueTa=T'aparatodoot.Así,paracadaformaƒexiste
unúnicooperadorlinealTftalque
f(a,B)=(Tfalfi)
paratodoot,BdeV.Siƒygsonformasycunescalar,entonces
(Cf`l'9)(0f›5)=(Tcf+o0fl›5)
=cf-(at +g(a1
=0(Tf01lB)'Í'(Ta0fl5)
=«CTI`l'To)alB)
paratodootyBdeV.Portanto,
Tcƒ+a:CT!“l”T0
yf-›Tfesunaaplicaciónlineal.ParatodoTenL(V,V)laecuación
f(0f›B)=(Talfi)
defineunaformatalqueT¡=T,yTf=0si,ysolosi,f=0.Asi,ƒ-›T¡es
unisomorfismo.I
Corolario.Laecuación
tflsl=ff(TfT¿'ì)
defineunproductointernosobreelespaciodelasformasconlapropiedaddeque
(flgl=Ecf(0¿t¢›0l¡i8(0lk›05;)
paratodabaseortonormal{a,,___,ot,,}_deV.
Demostración.SesiguefácilmentedelEjemplo3delCapitulo8que(T,U)-›
tr(TU*)esunproductointernosobreL(V,V).Comoƒ-›Tƒesunisomor-
fismo,elEjemplo6delCapítulo8muestraque
(fly)=tr(TfTã)
esunproductointerno.SupongamosahoraqueAyBsonlasmatricesdeTfy
T9enlabaseortonormal(B-_-{ot¡,___,a,,}_Entonces
Ark=(Tfaklaf)=f(w=›Off)

337. J18 /Ilgt-l›ralim-ol
yB,-R=-(Tga,,|a,-)=g(a,,,or,-)_ComoAB*eslamatrizdeT¡T,,*enlabaseG3,
se.sigueque
Íflgl=tf(AB*)=¡HAiuãju-Í
,_Definición.'Sifesunaformay(B=={oz¡,___,ot,,}una¿gasesordenadaar-
bitrariadeV,lamatrizAdeelementos
_ Ajh'-=ƒ(ak›dj)
sellamamatrizdeƒenlabaseordenada(B.
CuandoG3esunabaseortonormal,lamatrizdeƒen(Bestambiénlamatriz
delatransformaciónlinealTf,pero'engeneraléstenoeselcaso.
SiAeslamatrizdefenlabaseordenadaG3={a¡,___,oc,,}__.se_si_g_u_eque
(9-1) f(Éz'°"›Él2/fm)Tšllfflffl- ''Hn
paratodoslosescalares"x,e_y,(15r,s5n).OseaquelamatrizAtienela
propiedaddeque
. . =
dondeXeYsonlasrespectivasmatricesdecoordenadasde-ayBenlabase
ordenada(B. ` ._ -'
Lamatrizdefenotrabase
ai=_2>lP-_-«.~_(1sisn)
estádadaporlaecuación
(9-2) A'=`P*AP.
Enefecto, , I
Air=f(0fk›ai)
= Pskan2Prjar)
=2ÉAr:Pak
¶',I
=(P*AP),-1..
ComoparalasmatricesunitariasesP*=P`1,sesigue-de(9-2-)'quelos
resultadosqueconciemenalaequivalenciaunitariapuedenaplicarsealestu-
diodelasformas.
Teorema2.Seaƒunaformaenunespacioproductointernocomplejode
dimensiónfinita.EntoncesexisteunabaseortonormaldeVenlaquelamatriz
defestriangularsuperior.
Demostración.SeaTeloperadorlinealsobreVtalqueƒ(a,B)=(Tot|B)
paratodootyB.PorelTeorema21,existeunabaseortonormal{a1,____a,,}
enquelamatrizdeTestriangularsuperior.Luego,

338. ()¡u'rudort'.ssolm'c_\'pm'it›.\'priuluetomlvrmi JIU
f(0fk›af)=(Taklaf)=0
sij>k.I
Definición.Unaformafsobreunespaciovectorialreal,ocomplejo,Vse
llamahemiiticasi
ƒ(a› =.,f(B›al
paratodootyBenV.
SiTesunoperadorlinealsobreunespacioproductointemodedimensión
nnitaVyfeslaforma
ƒ-(ar =
entonces_-ƒ(B,ot)==(a|TB)==(T*a|B);asíque_feshermítieasi,ysolosi,Tes
autoadjunto.
Cuandoƒeshermítiea,ƒ(a,ot)esrealparatodoot,yenlosespacioscom-
plejosestapropiedadcaracterizaalasformashermíticas.
Teorema3.SeanVunespaciovectorialcomplejoyfunaformasobreV
talquef(ot,ot)searealparatodoot.Entoncesfeshermítiea.
Demostración.SeanotyBvectoresdeV.Sedebedemostrarqueƒ(ot,B)=
/(Ba).Enefecto,
f(0f-lr5,01+5)=f(0f›5)-l'f(0f›5)+f(t5,Of)+f(B,5)-
Comof(ot+B,ot+B),ƒ(a,ot)yf(B,B)sonreales,elnúmerof(oz,B)+f(B,ot)
esreal.Porelmismorazonamiento,conot+iBenvezdeot+B,vemosque
-if(a,B)+if(B,cx)esreal.Habiendoconcluidoqueesosdosnúmerosson
reales,seleshaceigualesasuscomplejoseonjugadosyobtenemos
f(0f›B)+f(fi,<1)=f(0f›3)+f(fi›G)
_í.f(a› + a)=i.f(a› '_ a)
Simultiplicamoslasegundaecuaciónporiysesumaalaprimeraecuación,
tenemos
2f(a,'*)=2f(t3,0)-I
Corolario.SeaTunoperadorlinealsobreunespacioproductointernocom-
plejodedimensiónfinita.EntoncesTesautoadjuntosi,ysolosi,(Toda)esreal
paratodootdeV.
Teorema4(teoremadelejeprincipal).Paratodaformahermítieafenun
espacioproductointernodedimensiónfinitaV,existeunabaseortonormalde
Venlaqueƒestarepresentada1orunamatrizdiagonalconelementosreales.
Demostración.SeaTeloperadorlinealtalquef(o_t,B)=(Tot|B)paratodo
otyBdeV.Entonces,comoƒ(a,B)=f(B,loz)y(TB,ct)=(a|Tli).sesigueque
(Talfi)=f(B,al=(UITB)

339. J20 .-I/gr-liralineal
paratodootyB;luego'l`=T*_PorelTeorema18delCapitulo8.existeuna
baseortonormaldeVformadaporlosvectorescaracterísticosparaT.Supón-
gaseque{a1, oc,,}esunabaseortonormalyque
_ Ta;=c,-a,-
para1515n.Entonces
f(Ofk›Off)=(TOfklOff)=ökivk
yporelTeorema15delCapítulo8,todoc,,esreal.I
Corolario.Enlascondicionesanteriores
f(2)XiO¡.ëyuak)=0¡X¡§'¡-
J J
Ejercicios
1.¿Cuálesdelassiguientesfuncionesƒ'definidasparalosvectoresot=(xl,xz)y
B=(yl,yz)deC2sonformas(sesquilineales)sobreC2?
(H)f(Of›B)=1-
(b)f(Of›B)=($1_Ú1)2+152%-
(0)f(0f›B)=(11+171)”"'($1_1702-
(d)f(0f›B)=QIIÚ2_ï52Z/1-
2.SeaflaformasobreR2definidapor
f((I1›yr),(1'32›112))=1111/1+$21/2~
Hallarlamatrizdefencadaunadelassiguientesbases:
{(1.0),(0,1)},{(1,-1),(1.1)}.{(1,2),(3,4))-
f*=l_ì-él
yseaglaforma(enelespaciodelasmatricescomplejas2xI)definidaporg(X,Y)=
l'*AX_¿Esgunproductointerior?
3.Sea
4.SeaVunespaciovectorialcomplejoyseafunaforma(sesquilineal)simletricasobreV:
f(Of-If)=ftlf-Ol-¿Qué¢Sf7
5.SeaƒlaformasobreR2dadapor
f((11,112),(ii/1,ii/2))=Ir?/1+49122/2+2931?/2+2122/1-
Hallarunabaseordenadaenlaqueƒestérepresentadaporunamatrizdiagonal.
6.Laformafsellamanodegeneradalalaizquierda)si0eselúnicovectorottalque
fta,B)=0paratodoB.SeafunaformasobreunespacioproductointernoV.Demostrar
quefesnodegeneradasi.ysolosi,eloperadorlinealasociadoT¡(Teoremal)esnosingular.
7.Sea_/'unaformaenunespaciovectorialdedimensiónfinitaV.Sehacereferenciaa
ladefinicióndelanodegeneraciónalaizquierdadadaenelEjercicio6.Definirlanode-

340. U¡n'rmlorr.\sobrees-¡imtm¡nmlurtoimrrmi .LV
,veneraciónaladerechaydemostrarquelaformaƒesnodegeneradaalaizquierdasi,ysolo
si.esnodegeneradaaladerecha.
8.Seafunaformanodegenerada(Ejercicios6y7)enunespacioVdedimensiónfinita.
SeaLunfuncionallinealsobreV.DemostrarqueexisteunvectorB,ysolouno.enVtal
queLta)=ƒ(a,B)paratodoot.
9.Sea_/'unaformanodegeneradaenunespacioVdedimensiónfinita.Mostrarquecada
operadorlinealStieneun«adjuntorespectodef».esdecir,unoperadorS'talque
/(Sa,B)=ƒ`(a,S'B)paratodoot,B.
9.3_Formaspositivas
Enestasecciónseexaminaránformas(sesquilineales)nonegativasysus
relacionesconunproductointernodadosobreelespaciovectorialprincipal.
Definiciones.UnaformafenunespaciovectorialrealocomplejoVesno
negativasieshermítieayf(oz,ot)20paratodootenV.Laformafespositiva
sifeshermítieayƒ(oz,ot)>0paratodootgl:0.
UnaformapositivaenVessimplementeunproductointernosobreV.Una
formanonegativasatisfacetodaslaspropiedadesdeunproductointerno,
conlaexcepcióndequehayvectoresnonulosquepuedenser«ortogonales››
consigomismos.
SeafunaformaenunespacioVdedimensiónfinita.SeaG3={oc1,___,oc,,}
unabaseordenadadeVyseaAlamatrizdeƒenlabase(B,estoes,A,-,,=f(oz,,,oz,-)_
Siot=x¡ot¡+°H+x,,oc,,,entonces
fo,ai=f<z=»_«_›,§wi)
J
= tÍk.f(Ofi›Ofk)
gmHMal-[4al-bd
H
= Akjxjlïk.
\
Así,pues,sevequecfesnonegativasi,ysolosi,
A=A*
Y
(9-3) ZZAk,-x,-2,,20paratodoslosescalaresxl,_,x,,_
jlt
Paraquefseapositiva,ladesigualdad(9-3)debeserestrictaparatodo
(xl,____x,,)51:0.Lascondicionesdeducidasdicenquefesunaformapositiva
enVsi,ysolosi,lafunción
g(X,Y)=Y*AX
esunaformapositivaenelespaciodelasmatricescolumnassobreelcuerpo
escalar.

341. 122 Al_t¦'t'lIrult'm'ul
Teorema5.SeaFelcuerpodelosnúmerosrealesoelcuerpodelosnú-
meroscomplejos.SeaAunamatriznxnsobreF_Lafuncióngdefinidapor
(9-4) g(X,Y)=Y*AX
esunaformapositivaenelespacioF"”1si,ysolosi,existeunamatrizinversi-
bleP,conelementosenF,talqueA=P*P_
Demostración.Paracualquiermatriznxn,A,lafuncióngde(9-4)es
unaformaenelespaciodelasmatricescolumnas.Sedemostraráquegespo-
sitivasi,ysolosi,A=P*P_Primeramente,supóngasequeA=P*P_Enton-
cesgeshermítieay
g(X,X)=X*P*PX
=(PX)*PX
20.
SiPesinversibleyXqé0,entonces(PX)*PX>0.Ahorasupóngasequeg
esunaformapositivaenelespaciodelasmatricescolumnas.Entoncesesun
productointernoy,portanto,existenmatricescolumnasQI,___,Q,,talesque
¿ik=9(Qf›Qi)
=QÉ`AQ¡-
Peroestodice,justamente,quesiQeslamatrizconcolumnasQ,,___,Q",
entoncesQ*AQ=I.Como{Q¡,___,Q,,}esunabase,Qesinversible.Con
P=Q”setieneA=P*P_I
Enlaprácticanoestanfácilverificarsiunamatrizdada,A,satisfaceel
criteriodepositividadquesehadadohastaahora.Unaconsecuenciadelúltimo
teoremaesquesigespositiva,entoncesdetA>0,yaquedetA=det(P*P)=
detP*detP=|detP|2.ElquedetA>0noquieredecirqueseasuficiente
paragarantizarquegespositiva;sinembargo,hayndeterminantesasociados
conAquetienenestapropiedad:siA=A*ysicadaunodeestosdeterminantes
espositivo,entoncesgesunaformapositiva.
Definición.SeaAunamatriznxnsobreelcuerpoF_Losmenoresprincipales
deAsonlosescalaresA,,(A)definidospor
Ari Ark
A,,(A)=da1 :_15k-sn.
Ari Ara
Lema.SeaAunamatrizinversiblenxnconelementosenuncuerpoF.
Lasdosafirmacionessiguientessonequivalentes.
(a)ExisteunamatriztriangularsuperiorPconPM,=1(1SkSn)tal
quelamatrizB=APestriangularinferior.
(b)LosmenoresprincipalesdeAsontodosdistintosde0.

342. Up¢'rmlor¢'.\'wllri'r.v¡Im'In.\¡›m¢lm'tointermi 323
Demostración.SeaPcualquiermatriznxnyhágaseB=AP.Entonces
Bjk=EAjrprk-
SiPestriangularsuperioryPM,=1paratodok,entonces
lc-1
EA¡,P¶k =Bjk_Akk, IC>1.
r=l
Ahorabien,BestriangularinferiorsiemprequeB,-,,=0paraj<k.Así,pues,
Bserátriangularinferiorsi,ysolosi,
1;-1
(9-5) ÉAffpfk=*Am 1S.ÍS¡C_1
"* agkga
Conloquevemosquelaafirmación(a)dellemaesequivalentealaafirmación
dequeexistenescalaresP,,,,15r5k,1;<_k5n,quesatisfacen(9-5)y
P,,,,=l,l$kSn_
En(9-5),paratodok>1tenemosunsistemadek-1ecuacioneslineales
paralasincógnitasPM,PM,___,P,,_,_,,.Lamatrizdecoeficientesdeesesis-
temaes
An '''Ara;-1
Ah-1 °''Ak-l,k-I
ysudeterminanteeselmenorprincipalA,,_,(A).SicadaA,,_¡(A)qè0,elsis-
tema(9-5)tienesolucionesúnicas.Hemosdemostradoquelaafirmación(b)
implicalaafirmación(a)yquelamatrizPesúnica.
Ahorasupóngasequeseverifica(a).Entonces,comoseverá,
A¡,(A)=A¡,(B)
=B11B22"°B¡¢¡¢, k=l,...,n.
Paraverificar(9-6),seanA1,___,A,,yB1,___,B,,lascolumnasdeAyB,res-
pectivamente.Entonces
B1=/11
9-7 f-() Bfi_äPMM+A" r>1_
F
(9-6)
Sedejafijok,15k5n.Por(9-7)sevequelar-ésimacolumnadelamatriz
Bu '''Bit
Bu °''But
seobtienesumandoalar-ésimacolumnade
An Ao
Au°°'Akk

343. 324 Áljteltrulitwul
unacombinaciónlinealdesusotrascolumnas.Talesoperacionesnoalteran
losdeterminantes.Loquedemuestra(9-6),aexcepcióndelaobservacióntri-
vialdequeporserBtriangular,A,,(B)=Bu,___,B,,¡,_ComoAyPsonin-
versibles,Besinversible.Portanto,
A(B)=B,1---B,,,,;-'$0
yasíA,,(A)qt=0,k=l,___,n_ I
Teorema6.Seafunaformaen.unespaciovectorialVdedimensiónfinita
yseaAlamatrizdefenunabaseordenadaCB.Entoncesfesunaformapositiva
si,ysolosi,A=A*ylosmenoresprincipalesdeAsontodospositivos.
Demostración.Hagamoslamitadinteresantedelteorema.Supóngaseque
A=A*yqueA,,(A)>0,l5k5n.Porellemaexisteunamatriztriangular
superior(única)PconPM,-_-1talqueB=APestriangularinferior.Lamatriz
P*estriangularinferior,conloqueP*'B=P*APestambiéntriangularin-
ferior_ComoAesautoadjunta,lamatrizD=P*APesautoadjunta.Porel
mismorazonamientoquellevóa(9-6),
AIÁD)=A|=(P*B)
=ÁIÁB)
=A,,.(A).
ComoDesdiagonal,susmenoresprincipalesson
A¡(D')=Du--°Du.
DeA,,(D)>0-,15k1;n,seobtienequeDM,>0paratodok.
SiAeslamatrizdelaforma..ƒenlabaseordenada(B={a,,___,a,,},en-
toncesD¬-=P*APeslamatrizdefenlabase{ot-1,___,aj,}definidapor
fl.
Ofi=ZPirat-
1`=l_
Véase(9-2').ComoDesdiagonal-'conelementospositivosensudiagonal,es
obvioque -
X*DX>0, X;-60
deloquesesiguequefesunaformapositiva.
Ahorasupóngasequefesunaformapositiva.SesabequeA=A*_¿Cómo
sedemuestraqueA,,(A)>0,15k5n?SeaV,,elsubespaciogeneradopor
oil,___,ahysea11,larestriccióndefaVMxVk.Evidentemente¡Qesunaforma
positivaenV,,y,enlabase{ot1,___,ot,,},estárepresentadaporlamatriz
Air Ari
A.,A._.__
ComoconsecuenciadelTeorema5seobservóquelapositividaddelaforma
implicaqueeldeterminantedecualq_uier_mat'rizquelarepresenteespositiva.I

344. Up:-rmlort-ssohn-t-ipmtm¡umlurmum-rno 325
Quedanalgunoscomentariosporhacerparacompletarelestudiodela
relaciónentreformaspositivasymatrices.¿Quéesloquecaracterizalasma-
tricesquerepresentanalasformaspositivas?Sifesunaformaenunespacio
vectorialcomplejoyAeslamatrizdefenciertabaseordenada,entoncesf
serápositivasi,ysolosi,A=A*y
(9-8) X*AX>0,paratodoX=;é0complejo
SesiguedelTeorema3quelacondiciónA=A*esredundante,esdecir,que
(9-8)implicaA=A*_Porotrolado,sisetieneunespaciovectorialreal.laforma
/`serápositivasi,ysolosi,A=A*y
(9-9) X'AX>0,paratodoX51:0real.
HayquerecalcarquesiunamatrizrealAsatisface(9-9)nosedesprendede
esoqueA=A'_LoquesíesciertoesquesisecumplenA=A'y(9-9),enton-
cestambiénseverifica(9-8).Yesporque
(X+r1Y)*A(X+«;Y)=(Xf-tYf)A(X+ty)
=Xfxx+WAY+t[X¢AY-ya-rx]
ysiA=A',entoncesT'AX=X'AY.
SiAesunamatriznxndeelementoscomplejosysiAsatisface(9-9),se
diráqueAesunamatrizpositiva.Loscomentariosqueacabamosdehacer
puedenresumirsediciendo:enloscasosrealocomplejo,unaformafesposi-
tivasi,ysolosi,sumatrizenciertabase(dehecho,entoda)ordenadaesuna
matrizpositiva.
SupóngaseahoraqueVesunespacioproductointernodedimensiónfinita.
SeafunaformanonegativaenV.ExisteunúnicooperadorautoadjuntoT
sobreVtalque
(9-10) f(Of›B)=(TOflfi)-
yTtiene,además,lapropiedaddeque(Tot|ot)20.
_
¬
Definición.UnoperadorlinealTsobreunespacioproductointernodedi-
mensiónfinitaVesnonegativosiT=T*_v(Tala)20paratodootdeV.Un
operadorlinealespositivosiT=T*y(Toda)>0paratodoat9€0.
SiVesunespaciovectorial(realocomplejo)dedimensiónfinita,ysi(-|-)es
unproductointernosobreV,hayunaclaseasociadadeoperadoreslineales
positivossobreV.Mediante(9-10)existeunacorrespondenciabiunívocaentre
estaclasedeoperadorespositivosylacoleccióndetodaslasformaspositivas
enV.Seusaránlosejerciciosdeestasecciónparadestacarlarelaciónentre
operadorespositivos,formaspositivasymatricespositivas.Elsiguienteresu-
menpuedeserdeutilidad.
SiAesunamatriznxnsobreelcuerpodelosnúmeroscomplejos.las
siguientesafirmacionessonequivalentes.
(1)Aespositiva,esdecir,ZZA,,,-xjxk>0siemprequex,,___,x,,sean
jk
númeroscomplejos,notodos0.
\

345. 326 Algehrolineal
(2)(X|Y)=Y*AYesunproductointernoenelespaciodelasmatri-
cescomplejasn›<1.
(3)Respectoalproductointemoeanónico(XY)=Y*Xdematrices
nxl,eloperadorlinealX-›AXespositivo.
(4)A=P*Pparaalgunamatrizinversiblenxn,'P,sobreC.
(5)A==A*,ylosmenoresprincipalesdeAsonpositivos.
SitodoelementodeAesreal,éstasequivalenalassiguientes:
(6)A=A*,y)EAh,-x,-x,,>0siemprequex1,___,x,,seannúmeros
J
realesnotodosnulos.
(7)(XIY)=Y'AXesunproductointernosobreelespaciodelasma-
tricesnx1reales.
(8)Respectoalproductointernoeanónico(X|Y)=Y'X,sobrelasma-
tricesrealesnxl,eloperadorlinealX-›AXespositivo.
(9)Existeunamatrizinversiblenxn,P,conelementosrealestalque
A=P'P.
Ejercicios
1.SeaV=C2.conelproductointernoeanónico.¿ParacuálesvectoresozdeVhayun
operadorlinealpositivoTtalque-at=Te,'?
2.SeaV=R2,conelproductointernoeanónico.Si0esunnúmeroreal,seaTelope-
radorlincal«rotaciónt)››,_
T,,(_\-,_xz)=tx,cos0-_\-2sen6,x,sen0+xzcos0).
¿Paraquévaloresde0esT0unoperadorpositivo?
3.SeaVelespaciodelasmatricesnxIsobreC,conelproductointerno(X|Y)==Y*GX
(dondeGesunamatriznxntalqueesteseaunproductointerno).SeanAunamatriz
n›:nyTunoperadorlinealT(X)=AX.HallarT*.SiYesunelementofijodeY,hallar
elelementoZdeVquedeterminaelfuncionallinealX-›Y*X.Enotraspalabras,hallar
ZtalqueY*X=(X|Z)paratodoXdeV.
4.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinita.SiTyUsonoperadoreslinea-
lespositivossobreV,demostrarque(T+U)espositivo.Darunejemploquemuestre
queTUnotienequeserpositivonecesariamente.
5.Sea A=
(a)DemostrarqueAespositiva.
lb)SeaVelespaciodelasmatricesreales2xl_conelproductointerno(X|Y)=Y'AX_
HallarunabaseortonormaldeVaplicandoelprocesodeGram-Schmidtalabase¦X1,X2}
definidapor
X-riX-t°1~
1 0 7 2_ 1
(c)Hallarunamatrizrealinversible2xl.P.talqueA=P'P.
6.¿Cuálesdelassiguientesmatricessonpositivas?
1-11 1 1
tt21»t_±_1tt1›lg;_
I-*I-Úíí*J ¦aÚI'Nll"F"'¦aÚI'Nll"ul"'›l"'

346. Upertulori-s.wltrrt-_v¡uu'to.\pmductointerno 327
7.Darunejemplodeunamatriznxnquetengatodossusmenoresprincipalespositi-
vos,peroquenoseaunamatrizpositiva.
8.¿Define((x,,x2)|(y,,y2))=xƒ,+2x,_)7,+2x,,t72+xl?,unproductointernoso-
hreC2?
9.Demostrarquetodoelementodeladiagonalprincipaldeunamatrizpositivaespo-
›lliVO_
I0.SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinita.SiTyUsonoperadoreslinea-
lessobreV,seescribeT<UsiU-Tesunoperadorpositivo.Demostrarlosiguiente:
(a)T<UyU<Tesimposible.
(b)SiT<UyU<S,entoncesT<S.
(c)SiT<Uy0<S,noesnecesariamenteST<SU.
II.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayElaproyecciónortogonal
deVsobrealgúnsubespacio.
(a)Demostrarque,paracualquiernúmeropositivoc,eloperadorel+Eespositivo.
(b)ExpresarporEunoperadorlinealautoadjuntoTtalqueT2=I+E.
I2.SeanunenteropositivoyAlamatriznxn
1
1
A=2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
n
___._1__
n-l-1
1
nn+1n+2 2n-1
DemostrarqueAespositiva.
I3.SeaAunamatriznxnautoadjunta.Demostrarqueexisteunnúmerorealctalque
lamatrizcl+Aespositiva.
I4_Demostrarqueelproductodelosoperadoreslinealespositivosespositivosi,ysolosi.
conmutan.
I5_SeanSyToperadorespositivos.DemostrarquetodovalorpropiodeSTespositivo.
9.4.Mássobreformas
Estaseccióncontienedosresultadosquedaninformaciónmásdetallada
acercadeformas(sesquilineales).
Teorema7.Seanfunaformaenunespaciovectorialreal,ocomplejo,
Vy{<x,,___,ot,}unabasedelsubespacioWdeVdedimensiónfinita.SeaMla
matrizr›<rdeelementos
Mjtt=flat»05;)

347. 328 -Iletliralunal
yW'elconjuntodetodoslosvectoresBdeVtalesquef(aB)=0paratodoot
deW.EntoncesW'esunsubespaciodeVyWHW'=0¡st,ysolost,MAes
inversible.Siesteeselcaso,V=W+W'
Demostración.SiBy:ysonvectoresdeW'ycesunescalar,entoncespara
todootenW
f(Of,CB+1)=ï>f(Of,B)+f(Of,1)
=0_
Luego,W'esunsubespaciodeV.
T T
Supóngaseahoraquea=kxlxtaryqueB=_Ely,a,Emonçes
,Í
SesiguedeestoqueWHW'qé{0}si,ysolosi,elsistemahomogeneo
tieneunasoluciónnotrivial(y,,___,,v,).LuegoWHW={0}siysolosr,
M*esinversible.PeroserM*inversibleesequivalenteaserMinversible
f(0f›B)=Ú¡M¡kIk
t.¡¢
=É?¡Mfl=)$t=-
fila,-M,-,_=0,1gkgf
,_
SupóngasequeMesinversibleysea
A=(Mx)-1=(M-1)#_
DefínasegisobreVporlaecuación
Entonces
LuegotodagiesunafunciónlinealsobreV.Asi,pues,sepuededefinirunope-
radorlinealEsobreVhaciendo
Como
Q,-tm=Í›:A-›_f__t«›_,B)-1
¡¢=l
9t(OB+7)='2-4fl=f(Or,CB+'r)
k.
=C§A,-tftat,tv+§A_››_f<«.._1)
=-vs,-(B)+91(1)-
EB= 9i(5)Of¡-
9¡(O››')
2=1
=ÉA¡t=f(Ofk›On)
=ÉA¡k(M*)±»
=5,.,

348. t)p¢'rudurr_rsolm'i-.sjuutm¡nmlurtointemo _ J29
sesiguequeE(ot,,)=fz,,paral3n5r.EstoimplicaqueEa=rxparatodo
»xdeW.Portanto_EaplicaVsobreWyE2=E.SiBesunvectorarbitrario
deV,entonces
.l-(am =ƒ(am gi(B)a.t`)
= (amai)
= Ä.t'¡ƒ(ah .l-(ama1`)°
(`omoA*=M-1,sesigueque
ƒ(afI› =2 (M_l)kiMin) .l-(aki
lr1
=§ö¡¢flƒ(a¡›
=ft@-._B)-
lìstoimplicaf(a,EB)=f(a,B)paratodootdeW.Luego,
ƒ(a.B-EB)=0
paratodoadeWytodoBdeV.Asi,I-EaplicaVenW'.Laigualdad
B=EB+(I-E)B
muestraqueV=W+W'.Esdemencionarunúltimopunto.ComoWH
W'={0},todovectordeVessumaúnicadeunvectordeWyunvectorde
W'_SiBestáenW'sesiguequeEB=0.LuegoI-EaplicaVsobreW'.I
LaproyecciónEconstruidaenlademostraciónpuedecaracterizarsedela
siguientemanera:EB=txsi,ysolosi,txestáenWyB-txperteneceaW'.
Asi,EesindependientedelabasedeWutilizadaensuconstrucción-Luego
EsepuedetratarcomolaproyeccióndeVsobreWqueestádeterminadapor
ladescomposiciónensumadirecta
V=W®W'.
ObsérvesequeEesunaproyecciónortogonalsi,ysolosi,W'=Wi.
Teorema8.Seanfunaformaenunespaciovectorialreal,ocomplejo,Vy
Alamatrizdeƒenlabaseordenada{a,,___,a,,}deV.Supóngasequelosme-
noresprincipalesdeAsontodosdistintosde0-Entoncesexisteunaúnicamatriz
triangularsuperiorPconPM,=l(15k5n)talque
P*/ÍP
estriangularsuperior.
Demostración.ComoA,,(A*)=Ä,,_(/T)(15k5n),losmenoresprincipa-
lesdeA*sontodosdistintosde0.Luego,porellemautilizadoenlademos-
tracióndelTeorema6,existeunamatriztriangularsuperiorPconPM,=1

349. J30 Algebralineal
talqueA*Pestriangularinferior.Portanto,P*A=(A*P)*estriangularsu-
perior.Comoelproductodelasmatricestriangularessuperioresestambién
triangularsuperior,sesiguequeP*APestriangularsuperior.Estomuestra
laexistencia,peronolaunicidaddeP.Sinembargo,hayotrorazonamiento,
másgeométrico,quepuedeusarseparademostrarlaexistenciayunicidaddeP.
SeanW,elsubespaciogeneradoporfz,,___,ot,yW;elconjuntodetodos
losBdeVtalesquef(ot,B)=0paratodootdeW,.ComoA,,(A)=/=0,lama-
trizkxk,M,deelementos
Mii=f(Ofƒ›Off)=Ao'
(15i,j5k)esinversible.PorelTeorema7
V=W.,Q)Wi.
SeaE,,laproyeccióndeVsobreW,determinadaporestadescomposición,y
seaE,,=0.Sea
B;=ai.-E¿_¡a¡,,(1ÉlcSn).
EntoncesB,=ot,yE,,_,ot,,perteneceaW,..,parak>l.Asi,cuandok>l,
existenescalaresúnicosP,-,,talesque
ti-1
Ei;-rat;=_211Pikaf-
1%
-HaciendoPM,=1yP,-,,=0paraj>k,setieneentoncesunamatrizn›<n
triangularsuperiorPconPM,=1y
1;
fik=_EPjttflj
1=l
parak=1,___,n.Supóngaseque15i5k.EntoncesB,estáenW,.y
W,CW,,_,_ComoB,perteneceaW,,_,,sesiguequef(B,,B,,)=0.SeaBla
matrizdeƒenlabaseordenada{B,, B,,}_Entonces
Bet=f(l9t,fitt)
conloqueBM=0cuandok>i.AsiBestriangularsuperior.Porotrolado,
B=P*AP.
Recíprocamente,supóngasequePesunamatriztriangularsuperiorcon
PM,=1talqueP*APestriangularsuperior.Sehace
fi¡¢=2_:PJ`|¢a:'›
1
Entonces{B,,___,B,,}esevidentementeunabasedeW,.Supóngasequek>l.
Entonces{B,,___,B,_,}esunabaseparaW,,_,,ycomof(B,-,B,,)=0cuando
i<k,sevequeB,esunvectordeW,{_,_LaecuaciónquedefineB,implica
lt;-I
fltt="_(21Pjttúfƒ)+Bn-
,=

350. lìpt-rtuloriisxolirrr.I¡uu'lo.\-¡irmlin-tuinterno JJ]
R-I
Ahorabien,2P,,,a¡perteneceaW,,_,yB,estáenW,{_,_Portanto_P,,,,___,P,,_,,,
¡=I= '
sonlosúnicosescalarestalesque
I:-1
Eh-lab =_EPjkaj
¡-1
conloquePeslamatrizconstruidaanteriormente.I
9.5.Teoríaespectral
EnestasecciónprosiguenlasconsecuenciasdelosTeoremas18y22del
Capítulo8referentesaladiagonalizacióndeoperadoresautoadjuntosynormales.
Teorema9(teoremaespectral).SeaTunoperadornormalsobreunespacio
productointernocomplejodedimensiónfinitaVounoperadorautoadjuntosobre
unespacioproductointernorealdedimensiónfinitaV.Seanc,,___,c,,losvalores
propiosdistintosdeT.Seaelespaciopropioasociadoac,-yE,-laproyección
ortogonaldeWsobre EntoncesesortogonalaW,siiqèj,Veslasuma
directadeW,,___,W,,y
T: CIEI +22'+ckEk.
Demostración.SeaaunvectordeW,-,BunvectordeW,ysupóngaseque
iqéj.Entoncesc,-(a|B)=(Ta|B)==(a|T*B)=(a|ê,B).Luego(ej-c,)(a|B)=0
y,comoc,--c,9€0,sesigueque(a,B)=0.AsiW,esortogonalaW,sitql:_j_
DelhechodequeVtieneunabaseortonormaldevectorespropiostvéanse
Teoremas18y22,delCapitulo8),sesiguequeV=W,+---+W,.Siot,-
perteneceaV,(1si5k)yot,-¦-_---+ak=0,entonces
0=(OffilçOff)=(Oftlflf)
=llO¢ll2
paratodoi,conloqueVeslasumadirectadeW,,__.,W,,.Portanto,
E1+'_-+Ek=Iy
°°°+TE¡
=C1E1'l' 'l'CtiEi=-I
Ladescomposición(9-11)sellamadescomposiciónespectraldeT.Estater-
minologíaprovieneenpartedeaplicacionesfisicasquehanhechoquesede-
linaelespectrodeunoperadorlinealsobreunespaciovectorialdedimensión
finitacomoelconjuntodevalorespropiosparaeloperador.Esimportante
observarquelasproyeccionesortogonalesE,,___,E,estánasociadascanóni-
camenteconT;enrealidad,sonpolinomiosenT.
_ _ x-c-* _
Corolano.Ste¡=Fl entoncesE,=e,-(T)para1SJSk.
tan1'_-t

351. 332 Al;:¢'l›t'ulimïtl
Demostración.ComoE,E,-=0siiqéj,sesigueque
T2=CiEr'l' 'l'6itE|=
yporunsencillorazonamientoinductivoque
T”=c'1'E1++c2E¡,
paratodoenteron20.Paraunpolinomioarbitrario
f
f=Ea¬.:t="
, n=0
SeÍICHC
fm=guar-
bj-i5°Ma-
=n=0 i=lC?-Ej
k f
=2(E0.15-')Ei
¡=1n=0
t
=,lilf(0¡)E¡-
Comoe,-(cm)=6,-,,,,sesiguequee,-(T)=E,-_I
PorestarE,,___,E,asociadoscanónicamenteconTy
I=El'l'°'''lrEn
Lafamiliadeproyecciones{E,,___,E,,}sellamadescomposicióndelaidentidad
definidaporT.
Cabehaceruncomentariorespectoalademostracióndelteoremaespec-
tral.SederivóelteoremausandolosTeoremas18y22delCapítulo8sobre
ladiagonalizacióndeoperadoresautoadjuntosynormales.Hayotrademos-
traciónmásalgebraica,enlaquedebedemostrarseprimeroqueelpolinomio
minimaldeunoperadornormalesunproductodefactoresprimosdistintos.
Luegoseprocedecomoenlademostracióndelteoremadeladescomposición
prima(Teorema12,Capitulo6).Daremosunademostraciónasíenlasiguien-
tesección.
Endiversasaplicacionesesnecesariosabersisepuedencalcularciertas
funcionesdeoperadoresomatrices,v_gr_`,raícescuadradas.Estosepuedehacer
muysencillamenteparaoperadoresnormalesdiagonalizables.
Definición.SeaTunoperadornormaldiagonalizablesobreunespaciopro-
ductointernodedimensiónfinitaVysea
lt
T=2c,E,.
1
1':
suresoluciónespectral.Supóngasequefesunafuncióncuyodominioincluve

352. U¡n't'tnlt›t't'.\'.\'0lIH'mpmhis[muÍm'l¢›t'Hlt't'm› .U3
ulespectrode'I',quetengavaloresenelcuerpodelosescalares.Entonceselope-
radorlinealf(T)estádefinidoporlaigualdad
.»o› an-šfmwa
.|=l
Teorema10.SeaTunoperadornormaldiagonalizableconespectroSen
unespacioproductointernodedimensiónfinitaV.Supóngasequefesunafunción
cuyodominiocontieneaSyquetomavaloresenelcuerpodelosescalares.Enton-
cesf(T)esunoperadornormaldiagonalizabledeespectrof(S)_SiUesunaapli-
caciónunitariadeVsobreV'yT'=UTU”,entoncesSeselespectrodeT'y
f(T')=Uf(T)U7'
Demostración.Lanormalidaddef(T)sedesprendedeunsencillocálculo
apartirde(9-12)ydeque
f(T)*=
Además,esevidentequeparatodootenE,-(V)
f(T)Of=f(0¡)Of-
Así,elconjuntof(S)detodoslosf(c)concenSestácontenidoenelespectro
def(T).Recíprocamente,supóngasequeotqë0yque
f(T)a-='ba.
Entoncesot=E,-oty
' fin«=zflna«
J
=§f(C›')E›'O
=2t›E,~a.
Luego 2
ll?(f(¢¡)_b)E›'Ofll2=lf(C¡)_bl2llE›'Ofll2
=0.
Portanto,f(c,-)=boE¡ot=0.Porhipótesis,otqt:0,asiqueexisteuníndice
iparaelqueE,otqt:0.Sesiguequef(c,)=byporconsiguientequef(S)esel
espectrodef(T).Supóngase,enefecto,que
f(S)={b1›---_bd
dondebm=;éb,,simqén.SeaX",elconjuntodeindicesitalesque15i5k
yƒ(c,)=b,,,_SeaPm=ZE,lasumaextendidaalosíndicesideX,,,_Enton-
cesP,,,eslaproyecciónortogonaldeVsobreelespaciodelosvectorespropios
quecorrespondenalosvalorespropiosb,,,def(T),y
no-=åpau
esladescomposiciónespectraldef(T).

353. 334 Algebra¡im-al
SupóngaseahoraqueUesunatransformaciónunitariadeVsobreV'y
queT'=UTU”.Entonceslaigualdad
Ta=ca
valesi,ysolosi,
T'Ua=cUa.
AsíqueSeselespectrodeT',yUaplicatodosubespaciopropioparaTsobre
elcorrespondientesubespacioparaT'_Enefecto,por(9-12-),setieneque
T'=›_:¢_-E9,E;=UE,-U-1
J
esladescomposiciónespectraldeT'_Luego
f<T'›=›;f<«_-›I»';-_
=zf(C¡)UE¡U`l
=U(2f(Ct)E¡)U"
=Uf(T)U-*_|
Pensandoenelanálisisanterior,esimportantetenerpresentequeeles-
pectrodeloperadornonnalTeselconjunto
S= {C1,...,Ck}
devalorespropiosdistintos.CuandoTestárepresentadoporunamatrizdia-
gonalenunabasedevectorespropiosesnecesariorepetircadavalorc,-tantas
vecescomoladimensióndelcorrespondienteespaciodevectorespropios.
Estaeslarazóndelcambiodenotaciónenelsiguienteresultado.
Corolario.ConlashipótesisdelTeorema10,supóngasequeTestárepre-
sentadoenlabaseordenadaCB={ot,,___,ot,porlamatrizdiagonalDdeele-
mentosd,,___,d,,.Entonces,enla`baseCB,f(T)estárepresentadaporlamatriz
diagonalf(D)deelementosf(d,),___,f(d,,).SiCB'={ot¶,___,a,',}esotrabase
ordenadacualquierayPeslamatri:talque
“É=PP-'ta-'
entoncesP'1f(D)Peslamatri:def(T)enlabase(B'.
Demostración.Paracadaíndiceiexisteunúnicojtalque1SjSk,
ot,perteneceaE¡(V)yd,=c_¡_Luego_/`(T)ot,=f(d,)a,,paratodoi,y
f(T)Ofi'=2P-'ff(T)Off
=diptjat
=2(DP)-'›'Of='
=Z(DPMPPišilai
=23(P_1Dl))k¡a¡2. '

354. ()¡›crmlnn'.s'.mlm't'.\¡uu-tm¡mulurtuinterno .U5
Sesiguedeesteresultadoquepuedenformarseciertasfuncionesdeuna
matriznormal.PuessupóngasequeAesunamatriznormal.Entoncesexiste
unamatrizinversibleP,enrealidadunamatrizunitariaP,talquePAP_'es
diagonal,seaDconelementosdl,...,d,,.Seafunafuncióncomplejaque
sepuedaaplicaradl,._.,d,,yseaf(D)lamatrizdiagonalconelementos
f(d,),_..,f(d,,).EntoncesP"1f(D)PesindependientedeDyesunafunción
deÁenelsiguientesentido:SiQesotramatrizinversibletalqueQAQ"sea
unamatrizdiagonalD',entoncesfpuedeaplicarsealoselementosdeladia-
gonaldeD',y
P“*f(D)P=Q_'f(D')Q-
Definición.Enlascondicionesanteriores,f(A)sedefinecomoP`'f(D)P.
Lamatrizf(A)puedesertambiéncaracterizadadeunmododistinto.Alha-
cerloseenunciansindemostraciónalgunosdelosresultadossobrematrices
normalesqueseobtienenalformularlosteoremasconmatricesanálogosde
losteoremasanteriores.
Teoremall.SeanAunamatriznormalycl,...,c,,lasdistintasraíces
complejas'dedet(xl-A).Sea
x-c.
ei1-n '”'i"`_¿
HiCi_C1
yE,-=e¡(A)(1_<_i5k).EntoncesE¡E¡=0cuandoi.qt=j,Ef=E¡,E¡*=E,-,y
I=E,+"-+E,,.
Sifesunafuncióncomplejacuyodominiofncluyeacl,...,c,,,entonces
f(A)=f(f'i)E1+'"+f(f'›.)Et;
enparticular,A=c¡E,-+-~'-¦-c,¢E¡.
RecordemosqueunoperadorenunespacioproductointeriorVesnone-
gativosiTesautoadjuntoy(Toda)20paratodoozdeV.
Teorema12.SeaTunoperadordiagonalizablenormalsobreunespacio
productointernodedimensiónfinitaV.EntoncesTesautoadjunto,nonegativo.
ounitario,segúnquecadavalorcaracterísticodeTseareal,*nonegativo,ode
valorabsolutol.
Demostración.SupóngasequeTtengadescomposiciónespectralT=
c,E1.+~''+c,,E,,,entoncesT*=(HE,+---+ê,,E,,.DecirqueTesauto-
adjuntoesdecirqueT=T*,o
(C1_¡Í1)E1+°''+(Ok_ë¡¢)E¡¢=0.
ValiéndosedequeE,-Ej=0parai=;éjydequeningúnEJ-eseloperadorcero,

355. 336 .4lg:-l›rulim-al
sevequeTesautoadjuntosi,ysolosi,c¡=6,-,.Í=1,_..,k.Paradistinguir
losoperadoresnormalesquesonnonegativos,obsérveseque
lc lc
(Tap)=('xp-1»',a|_2l1¢,a)
.Í= Í-:
= Cj(IfjQ|E¿G)
`¡1
='E0f||E›fl|l”-
Hemosusadoelhechodeque(EJ-a|E¡a)=0paraiqej.Deestoresultaque
lacondición(Toc|a)20sesatisfacesi,ysolosi,c¡20paratodoj.Paradis-
tinguirlosoperadoresunitariosobsérveseque
TT* =C1C1E1+''°+CkCkEk
=|C1|2E1+''°+|C|¢|2E¡¢-
Si-TT*'=I',entoncesI'=|c,|2E¡+-~--¦-|c,,-|2E,,,yoperandoconEj,
Ef=|0¡|2E¡-
ComoEJ:qé0,setieneque|c¡|2=1,o|c¡|=1.Recíprocamente,si|c¡|2=1
paracadaj,esevidentequeTT*=I.I
Esimportantehacernotarqueésteesunteoremasobreoperadoresnorma-
les.SiTesunoperadorlinealgeneralsobreV,quetienevalorespropiosreales,
nosesiguequeTseaautoadjunto.ElteoremadicequesiTtienevalorespropios
realesysiTesdiagonalizableynormal,entoncesTesautoadjunto.Unteorema
deestetiposirveparareforzarlaanalogíaentrelaoperacióndeadjuncióny
elprocesodeformarelconjugadodeunnúmerocomplejo.Unnúmerocom-
plejozesrealodevalorabsoluto1segúnquez=E,ozã=l.Unoperador
TesautoadjuntoounitariosegúnqueT=T*oTT*=I.
Sedemostraránahoradosteoremasanálogosdelasdosafirmacionessi-
guientes:
(1)Todonúmerononegativotieneunaúnicaraízcuadradanonegativa.
(2)Todonúmerocomplejosepuedeexpresarenlaformaru,conrno
negativoy|u|=1.Estaesladescomposiciónpolarz=rei”delosnúmeros
complejos.
Teorema13.SeanVunespacioproductointernodedimensiónfinitayTun
operadornonegativosobreV.EntoncesTtieneunaúnicaraizcuadradanonega-
tiva.estoes,existeunoperadornonegativoN,ysolouno,deVtalqueN2=T.
Demostración.SeaT=c,E,+~-'+c,,E,,ladescomposiciónespectral
deT.PorelTeorema12.todoc¡20.Sicescualquiernúmerorealnonegativo,
sea`/claraízcuadradanonegativadec.Entonces,conformealTeoremall
ya(9-12),N=\/Tesunoperadordiagonalizablenormalbiendefinidosobre
V.EsnonegativoporelTeorema12y,poruncálculoobvio,N2=T.

356. Opcrruluri-.r.wlncc's¡›m'tu.\prmlurtuinterno. 337
AhoraseaPunoperadornonegativosobreVtalqueP2=T.Seademos-
trarqueN=P.Sea
P=d1Fi+ +dfFf
ladescomposiciónespectraldeP.Entoncesd,-20paratodoj,puesPesno
negativo.DeP2=Tsetiene
°'°+dgFf.
AhoraFl,._.,F,cumplelascondiciones1=F,+---+E,,F¡F,-=0para
iqéj,yningúnF¡es0.Losnúmerosdf,...,dfsondistintos,yaquenúmeros
nonegativosdistintostienenraícescuadradasdistintas.Porlaunicidaddela
descomposiciónespectraldeT,setiener=ky(siacasoporreordenación)
F1-=Ej,dj-2=c¡.AsíqueP=N.I
Teorema14.,SeaVunespacioproductointernodedimensiónfinitaysea
Tunoperadorlineal~cualquierasobreV.Entoncesexistenunoperadorunitario
UsobreVyunoperadornonegativoNsobreVtalesqueT=UN.Eloperador'
Nnonegativoesúnico.SiTesinversible,eloperadorUestambiénúnico.
Demostración.SupóngasequeT=UN,dondeUesunitarioyNesno
negativo.EntoncesT*=(UN)*=N*U*=NU*,AsiT*T=NU*UN=N2.
EstomuestraqueNestáunívocamentedeterminadocomolaraízcuadrada
nonegativadeloperadornonegativoT*T.
DemodoqueparacomenzarconlademostracióndelaexistenciadeUy
deN,seusaelTeorema13paradefinirNcomoI-aúnicaraízcuadradanone-
gativadeT*T.SiTesinversible,tambiénloesN,pues
(Na|Na)=(N2a|a)=(T*Ta|a)=(-Ta'|Ta).
EnestecasosedefineU=TN_1ysedemuestraqueUesunitario.Ahorabien,
U*=(TN-1)*=(N-**)*T*=(N*)¬T*=N¬'T*.Asique
UU*=TN"1N-IT*
=T(N-1)2T›|=
=T(N2)-1T*
=T(T*T)-IT*
=TT-1(T*)-1T*
=I
yUesunitario.
SiTnoesinversiblehayqueprocederenformamáslaboriosaparadefinir
U.PrimeramentesedefineUsobrelaimagendeN.Siotesunvectordeestaima-
gen,porejemplo,ot=NB.SedefineUoc=TB,motivadoporelhechodeque
sequierequeUNB=TB;DebeverificarsequeUestábiendefinidosobrela
imagendeN;esdecir,siNB'=NB;entoncesTB'=TB.Severificóanterior-
menteque||Ny||2=||Ty||2paratodoyenV.Así,con-y=[3-fi'seveque
N(B-B')=0si,ysolosi,T(B=B')'=0.ConloqueUestábiendefinido
sobrelaimagendeNyesevidentementelinealdondeestádefinido.Ahora
bien,siWeslaimagendeN,sedefiniráUsobreWi.Paraellosenecesitala

357. 338 Algcltrulineal
siguienteobservación.ComoTyNtienenelmismoespacionulo,susimágenes
tienenlamismadimensión.AsíW*tienelamismadimensiónqueelcomple-
mentoortogonaldelaimagendeT.Portanto,existeunisomorfismo(deespacio
productointerno)U0deW*sobreT(V)*.AhorasehadefinidoUsobreW,
ysedefineUsobreW*comoU0.
SerepiteladefinicióndeU.ComoV=WEBWi,todoadeVestáexpre-
sadounívocamenteenlaformaa=NB+y,dondeNBestáenlaimagenWde
Ny-,vestáenWi.Sedefine
Ua=TB+Uo'Y-
EsteUesevidentementelineal,yseverificóanteriormentequeestábiende-
finido.Así,pues,'
(UGIUOI)=(TB+UOWITB+Un)
=(TB|TB)+(Uo"YiUo"Y)
=(1\íB|)NB)+('r|'r)
=(oza
yentoncesUesunitario.TambiéntenemosqueUNB=TBparatodoB.|
T=UNselellamaunadescomposiciónpolardeT.Porciertoquenose
lepuedellamarladescomposiciónpolar,yaqueUnoesúnico.Auncuando
Tseainversible,conloqueUesúnico,tenemosladificultaddequeUyNpueden
noconmutar.Ciertamente,conmutansi,ysolosi,Tesnormal.Porejemplo,
siT=UN=NU,conNnonegativoyUunitario,entonces
TT*==(NU)(NU)*=NUU*N=N==T*T.
EloperadorgeneralTtendrátambiénunadescomposiciónT=N,U1conN,
nonegativoyU,unitario.AquíN,serálaraizcuadradanonegativade`TT*.
Sepuedeobteneresteresultadoaplicandoelteoremaqueseacabadedemostrar
aloperadorT*,ytomandoluegoadjuntos.
Pasamosahoraalproblemadequésepuededecirrespectoaladiagona-
lizaciónsimultáneadefamiliasconmutativasdeoperadoresnormales.Para
estepropósitoesadecuadalasiguienteterminología.
Definiciones.SeaEFunafamiliadeoperadoressobreunespacioproducto
internoV.UnafunciónrsobreEF,convaloresenelcuerpoFdelosescalares,se
llamaraunaraízde5siexisteunotnonulodeVtalque
Tot=r(T)ot
paratodoTdeSF_ParacualquierfunciónrdeEFenF,seaV(r)elconjuntodetodos
losozdeVtalesqueTa=r(T)ozparatodoTenSF.
EntoncesV(r)esunsubespaciodeVyresunaraízdeSFsi,ysolosi,V(r)qé0.
TodooznonulodeV(r)essimultáneamenteunvectorpropioparatodoTde3-'_
Teorema15.SeaSFunafamiliaconmutativadeoperadoresnormalesdiago-
nalizablesenunespacioproductointernodedimensiónfinitaV.EntoncesSFtiene

358. U¡›crmlun'\mlnr.'s¡Imtm¡trmlmtnmtcrmt .U9
_../ounnúmerofinitoderaices.Sir,.-.___r,,sonlasraicesdistintasdcSF,cntoncc.s'
(ilI/(r¡)esortogonalal/(rj)cuandoiql:j,_v
tii)V=li"(r.lEB---GBVW).
l)emostrución.SupóngasequeryssonraícesdistintasdeSF.Entonces
existeunoperadorTenSitalquei-(T)q=s(T).Comolosvectorespropiosque
correspondenavalorespropiosdistintosdeTsonnecesariamenteortogonales.
scsiguequeV(r)esortogonalaV(s)_ComoVesdedimensiónfinita.estoim-
plicaque5tienealomásunnúmerofinitoderaíces.Seanr,,___,r,,lasraíces
deEF.Supóngaseque¦T,_.__,T,,,¦esunsubconjuntomaximaldeSFlineal-
menteindependienteysea
{I§1íl1I'/1i21'''}
ladescomposicióndelaidentidaddefinidaporT,(15i5m).Entonceslas
proyeccionesE,-¡formanunafamiliaconmutativa,puestodaE'¡¡esunpolinomio
cnT,yT1. T",conmutanentresí.Como
I= Içlji) Ifišjz)°'° Emjm)
Jn J: jm
todovectorozdeVpuedeescribirseenlaforma
(I=_E_E1j¡]L¬2j,'°'Em¡md.
ji,...,JM
SupóngasequeI..____Í...SonlosíndicesparalosqueIi=EU-,E21-2---Em]-m#=0.
Sea
B1'= Enj.)a-
na-fiz
Iìntonces/f=E,-J-/i,.;luegoexisteunescalarcitalque
T.-Li=c,-B,1SiSm.
ParacadaTenEFexistenescalaresúnicoshitalesque
T=Éb,-T..
I'=-1
\si T5=2b,.T,.p
= b.'Ci)B-
1
LafunciónT-›Zb¡c,-esevidentementeunadelasraíces,porejemplo,r,deEF,
\/testáenV(r,-).Portanto.cadatérminononuloen(9-13)perteneceauno
delosespaciosV(r,),...,V(r,,l.SesiguequeI'eslasumadirectaortogonal
del"(r¡), V(rkl_I
Corolario.Enlaliipótesis'delteorema,seaPJ-laproyecciónortogonalde
I`sobreHrj),(ISpl'Sk).EntoncesP,-Pj=0Si1#=/-
[ïP¡+°"+Pk,

359. l-lll -Iligclrralntcal
ytodoTdeSFpuedeserescritoenlaforma
.l
Definiciones.Lafamiliadelasproyeccionesortogonales{P¡...._P,,}.sc
llamadescomposicióndelaidentidaddetenninadaporff_v(9-l4)esladescomposición
espectraldeTsegúnestafamilia.
AunquelasproyeccionesP,,._.,Pkdelcorolarioanteriorestánasocia-
dascanónicamenteconlafamilia5,noestángeneralmenteen5.nisonsiquiera
combinacioneslinealesdeoperadoresdeff;sinembargo,veremosquesepue-
denobtenerporlaformacióndeciertosproductosdepolinomiosenelemen-
tosde5'.
Paraelestudiodeunafamiliadeoperadoresenunespacioproductointerno
sueleserprovechosoconsiderarelálgebraautoadjuntageneradaporlafamilia.
Definición.Unálgebraautoadjuntadeoperadoressobreunespacioproducto
internoVesunsubálgebralinealdeL(V,V)quecontieneeladjuntodecadauno
dcsuselementos.
EjemplodeálgebraautoadjuntaeselmismoL(V,V).Comolaintersec-
cióndecualquiercoleccióndeálgebrasautoadjuntasesasuvezunálgebra
autoadjunta,lasiguienteterminologíatienesentido.
Definición.Siffesunafamiliadeoperadoreslinealessobreunespaciopro-
ductointernodedimensiónfinita,elálgebraautoadjuntageneradaporffesla
menorálgebraautoadjuntaquecontieneaET.
TeoremaI6.SeaETunajamiliaconmutativadeoperadoresdiagonalizables
normalessobreunespacioproductointernodedimensiónfinitaV_rsea(Í.clál-
gebraautoadjuntageneradapor5yeloperadoridentidad.Sea¦P¡,____Pkjla
descomposicióndelaidentidaddefinidaporET.EntoncesG,eselconjuntodetodos
losoperadoressobreVdelaforma
lc
(9-15) T=xlftp;
,I
dondecl....,c,,sonescalaresarbitrarios.
Demostración.SeaGelconjuntodetodoslosoperadoressobreVdela
forma(9-15).EntoncesGcontienealoperadoridentidadyeladjunto
T*=Í-1ëfpf
.'l
paracadaunodesuselementos.SiT=c¡P_,-yU=dj-PJ-,entoncespara
todoescalara J J
aT+U=2(ac+d,-)P,~
J

360. U['I'l'llIlUI'I'\\Ul'H'|\[Imlu\[Itml|n'lntItIt't'm› Ml
›
TU=¿_ad,-P,1>,
1.:
= Cjdjpj
J
=UT.
AsiqueGesunálgebraautoadjuntaconmutativaquecontienea5yalopc-
radoridentidad.Portanto,Gcontienea(ì.
Ahoraseanr,,..__r,,todaslasraícesde5.Entonces,paratodoparde
indices(i,n)coni=;én,existeunoperadorT¡,,enSFtalquer¡(T¡,,)qér,,(T,-,,).
Seaa¡,,=r,-(T¡,,)-r,,(T¡,,)ybm=r,,(T¿,,)_Entonceseloperadorlineal
Qi= atÍtl(T.'a_bol)
esunelementodelálgebra(i.SedemuestraqueQ,=P,(15i5k).Para
ello,supóngasequejqéiyqueozesunvectorarbitrarioenV(r¡).Entonces
Tofl=†`›'(T.~.')0f
=b-¿ja
demodoque(TU=h,-J-l)oz=0.ComotodoslosfactoresenQ,conmutan,se
siguequeQ¿ot=0.LuegoQ,coincideconP,enV(r¡)sijqéi.Supóngasealmra
queocesunvectordeV(r,-).EntoncesT¡,,oz=r,-(7},,)ot,y
01Ítl(T.'n“b.'1.I)a=0ftÍ¢1[T,-(Ten)""?',,(T,-,,)]a=a.
Así,pues,Q¡a_=ozyQ,coincideconP,enV(r,):portanto,Q,=P,parai
I, k.DelocualsesiguequeG.=G.I
ElteoremamuestraqueelálgebraG,esconmutativayquiecadaelemento
deGesunoperadornormaldiagonalizable.Sedemuestraacontinuaciónque(f
tieneunsologenerador.
Corolario.ConlashipótesisdelteoremaexisteunoperadorTenG,talque
todoelementodeG,esunpolinomioenT.
k __
Demostración.Sea=2¿jpjcont¡,___,tksonescalaresdistintos.Entonces
.=l
J kn
T"=EtjPi
_1`_=l
paran:1,2, S1
ƒ=Eaux"
n=l
sesigueque
8 a k
f(T)=2a,,T"=2Ea¿ep
n=¡ nzljgl nlJ
¡F s
=.išl(nšlanal)Pi
lc
_ 2J-
1=1

361. 342 .-Ilecltrulmcal
Dadoun k
U=ÉGP1'
›=1
arbitrarioen(i.existeunpolinomioftalquef(t¡)=cj(1Si5k)y,para
cualquiertalƒ,U=f(T).I
Ejercicios
l.Darunadefiniciónrazonabledeunamatrizn›<nnonegativaydemostrarluegoque
talmatriztieneunaúnicaraizcuadradanonegativa.
2.SeaAunamatrizn›<nconelementoscomplejostalqueA*=-AyseaB=e"'.
Demostrarque
(a)detB=e"^;
lb)B*=e"':
te)Besunitaria.
3.SiUyTsonoperadoresnormalesqueconmutan.demostrarqueL'+TyUTson
normales.
4.SeaTunoperadorlinealsobreunespacioproductointernodedimensiónfinitaV.
DemostrarquelasdiezsiguientesafirmacionesrespectoaTsonequivalentes:
(a)Tesnormal.
tb)||T:x||=||T*1||paratodo1enI".
lc)T:T,+iT,.dondeT,yT,sonautoadjuntosyT,T¿=T¿T,.
(d)SirxesunvectorycunescalardemodoqueTa=crx,entoncesT*1=Ea.
te)ExisteunabaseortonormaldeVformadaporvectorespropiosparaT.
(f)Existeunabaseortonormal(Btalque[T](Besdiagonal.
tg)ExisteunpolinomiogconcoeficientescomplejostalqueT*=_t¬'(T)_
(h)TodosubespacioinvarianteporTestambiéninvarianteporT*.
(ilT=NU.dondeNesnonegativo.Uesunitario,yNconmutaconU.
(j)T=c¡T,+ +c,E,,dondel=El+ +E,,.E,-E_¡=0parai=#1'.y =
Ej=Ef.
5.UsarelEjercicio3paramostrarquecualquierfamiliaconmutativadeoperadoresnor-
males(nonecesariamentediagonalizables)enunespacioproductointernodedimensión
finitageneraunálgebraautoadjuntaconmutativadeoperadoresnormales.
6.SeanVunespacioproductointernocomplejodedimensiónfinitayL`unoperador
unitariosobrel'talqueU1=1impliquerx=0.Sea
fa)=-tgg.2;-|
ydemostrarque
ta)_/(L-'l=i(I+(")(l~U)'_
(bl_/`(L')esautoadjunto.
(clparatodooperadorautoadjuntoTsobrel'_eloperador
U=(T-il)(T+íI)"1
esunitarioytalqueT=/IU).

362. ()[n't'mlUrt'.\mlui'i\¡unun¡Irmltwlulnlcrmt ,MK
7.SeaI"elespaciodelasmatricescomplejasn›<iiconelproductointerno
(A|B)=tr(AB*).
SiBesunelementodeV.seanLB,RByTBlosoperadoreslinealessobreVdefinidospor
(a)LB(A)=BA.
(b)RB(A)=AB.
(c)TB(A)=BA-AB.
(`onsiderarlastresfamiliasdeoperadoresqueseobtienenalhacervariarBsobretodas
lasmatricesdiagonales.Demostrarquecadaunadeestasfamiliasesunálgebraautoadjunta
conmutativayhallarsusdescomposicionesespeetrales.
8.SiBesunelementodelespacioproductointernodelEjercicio7,hacerverqueIBesequi-
valenteunitariamenteaR,,_
9.SeanVelespacioproductointernodelEjercicio7yGelgrupodematricesunitarias
deV.SiBestaenG.seaCBeloperadorlinealsobreVdefinidopor
CB(A)=3143'*-
l)emostrarque
(alCBesunoperadorunitarioenV;
(b)(`,,,B2=(.`,,l(`B,:
tc)noexisteunatransl`ormaciónunitariaUenVtalque
ULBU"'=CB
paratodoBdeG.
I0.SeanSFunafamiliacualquieradeoperadoreslinealessobreunespacioproductoin-
ternodedimensiónfinitaVy(ielálgebraautoadjuntageneradaporSF.Demostrarque
(a)todaraízde(idefineunaraizdeSF;
(b)todaraízrde(iesunafunciónlinealmultiplicativasobreA.esdecir,
r(TU)=r(T)r(U)
r(cT-I-U)=cr(T)-l-r(U)
paratodoTyUde(ìytodoescalarc-
II.SeaSFunafamiliacoiiinutativadeoperadoresdiagonalizablesnormalessobreun
espacioproductointernodedimensiónfinitaVysea(ielálgebraautoadjuntagenerada
porSFyeloperadoridentidadI.Demostrarquetodaraizde(iesdistintade0yquepara
todaraízrdeSFexisteunaraízúnicasde(italques(T)=r(T)paratodoTdeSF.
I2.SeanSFunafamiliaconmutativadeoperadoresdiagonalizablesnormalesenunes-
pacioproductointernodedimensiónfinitaVy(ioelálgebraautoadjuntageneradaporSF.
Sea(ielálgebraautoadjuntageneradaporSFyeloperadoridentidadI.Demostrarque
(a)(ieselconjuntodetodoslosoperadoressobreVdelaformacl+T.dondeces
nnescalaryTunoperadoren(io.
(b)Existealomásunaraízrde(italquer(T)=0paratodoTde(io.
(clSiunadelasraícesde(ies0sobre(io,lasproyeccionesP,,___,Phenladescom-
posicióndelaidentidaddefinidaporSFpuedenserrotuladasmedianteíndicesdetalmodo
que(ioconstedetodoslosoperadoressobreVdelaforma
lc
T=Ec-P-
_ 11
1=2
dondecz, c,,sonescalaresarbitrarios.

363. 344 _-Ilei'l›i'iilineal
(d)(1=(iosi,ysolosi,paracadaraízrde(1existeunoperadoiI'eiiG.,talque
r(T)#0.
9.6.Otraspropiedadesdelos
operadoresnormales
EnlaSección8.5sehanexpuestolaspropiedadesbásicasdelosoperadores
autoadjuntosynormalesusandoelmétodomássimpleydirectoposible.En
laSección9.5seconsideraronvariosaspectosdelateoríaespectral.Aquide-
mostraremosalgunosresultadosdenaturalezamástécnicayqueserefieren
principalmenteaoperadoresnormalessobreespaciosreales.
Secomenzarádemostrandounaversiónmásprecisadelteoremadedes-
composiciónprimadelCapítulo6paraoperadoresnormales.Seráválidopara
amboscasoselrealyelcomplejo.
Teorema17.SeaTunoperadornormalsobreunespacioproductointerno
dedimensiónfinitaV.SeapelpolinomiominimalparaTypl,._.,pksusdis-
tintosfactoresprimosmónicos.Entoncescadapjtienemultiplicidadlenlafac-
torizacióndepJ'tienegradolo2.SupóngasequeeselespacionulodepJ-(T).
Entonces
(i)WJ-esortogonalaW,-_sii9€j;
(ii)V=Wi€9"'€9Wi.;
(iii)W¡esinrarianteporT_i'pJ-eselpolinomiominimalparalarestricción
deTaW,-;
(iv)paratodo_jexisteunpolinomioeJ-concoeficientesenelcuerpodelos
escalarestalqueel-(T)eslaproyecciónortogonaldeVsobreW¡_
Enlademostraciónusaremosciertoshechosbásicosquesentaremoscomo
lemas.
Lema1.SeaNunoperadornormalsobreunespacioproductointernoW.
EntonceselespacionulodeNeselcomplementoortogonaldesuimagen.
Demostración.Supóngaseque(ot|N/i)=0paratodo/ideW.Entonces
(N*ot\/3)=0paratodo/3:,luegoN*a=0.PorelTeorema19delCapítulo8
estoimplicaqueNa=0.Recíprocamente,siNa=0entoncesN*a=0y
(N*«|ø)=(«|Nfi)=0
paratodo/fdeW.I
Lema2.SiNesunoperadornormal_i'1esunrectortalqueNzot=0,
entoncesNot=0.

364. U/›i't'iulm'i'\tiilni-¡-ipmtiit¡n.iiltti'Iutttli't'm› .l-lfi
l)cniostra¢'ión.SupóngasequeNseanormalyqueNzot=ll.Entonces
NxestáenlaimagendeNytambiénenelespacionulodeN.PorelLema1,
estoimplicaqueNot=0.I
Lema3.SeanTunoperadornormalyfcualquierpolinomioconcoeficien-
tesenelcuerpodelosescalares.Entoncesf(T`-estambiénnormal.
Demostración.Supóngasequef=ao+olx+-'°+a,,x".Entonces
f(T)=Gol+GiT+ +CMT"
f(T)*=ral+ãiT*++ä._(T*)"-
ComoT*T=TT*,sesiguequef(T)conmutaconf(T)*.I
Lema4.SeanTunoperadornormalyf,gpolinomiosprimosrelatiros
concoeficientesenelcuerpodelosescalares.SupóngasequeotyIi-sonrectores
talesqueƒ`(T)ot=0yg(T)/›'=0.Entonces(ot|/Í)=0.
Demostración.Existenpolinomiosaybconcoeficientesenelcuerpode
losescalarestalesqueaf'+bg=l.Así
a(T)f(T)+b(T)ø(T)=1
yoz=g(T)h(T)ot.Sesigueque
(alô)=(9(T)5(7`)a|B)=(b(T)<1|9(T)*6)-
Porsuposición.g(T)/3=0.PorelLema3,g(T)esnormal.Portanto.porel
Teorema19delCapítulo8,g(T)*/i=0;luego(al/3)=0.I
DemostracióndelTeorema17.Serecuerdaqueelpolinomiominimal
paraTeselpolinomiomónicodegradomenorentretodoslospolinomiosf
talesquef(T)=0.Laexistenciadetalespolinomiossedesprendedelasupo-
sicióndequeVesdedimensiónfinita.Supóngasequeunfactorprimopjdep
estárepetido.Entoncesp=pfgparaalgúnpolinomiog.Comop(T)=0,se
sigueque
(P.~(T))*9(T)a=0
paratodooideV.PorelLema3,pj-(T)esnormal.Así,elLema2implicaque
Pf(T)9(T)<1=0
paratodootdeV.Peroestocontradicelasuposicióndequeptieneelmenor
gradoentretodoslos_/'talesquef(T)=0.Portaiito,p=pj---pk.SiVes
unespacioproductointernocomplejo,todopj-esnecesariamentedelaforma
pi=37_CJ'
concjrealocomplejo.Porotrolado,siVesunespacioproductointernoreal.
entoncespj=xj-cjconejenR0
pj=(17_c)($'_5)
dondecesunnúmerocomplejonoreal.

365. .ÍJÓ '|lg'i'lPt'ulltlrttl
Seaahora=p/pj.Entonces.como_/j,_____/jjsoiiprimosrelativos.exis-
tenpolinomiosgjconcoeficientesenelcuerpodelosescalarestalesque
(9-lo i=sf,-Q..
J
lndicamosbrevementecómosepuedenconstruirestosgj.Sipj=.\'-ej.
entoncesjj-(ej)=;ë0,yparagjsetomaelpolinomioescalarl_,'_/_'j-(cj).Sitodo
polinomioesdeestaforma,losfjgjsonlafamiliadelospolinomiosdeLagrange
asociadosconlosej,___,c,,,y(9-16)esclaramenteválida.Supóngasequealgún
pj=(x-c)(x-E)concunnúmerocomplejonoreal.EntoncesVesun
espacioproductointernoreal,ysetiene
x-1'::c-c
gi- s+.`§
dondes=(c-c")_/j(c).Entonces
g(s+š):i:-(cs~l-ës)
gjú Silsš Si
conloquegjesunpolinomioconcoeficientesreales.Sipesdegradon.en-
tonces
1_Efiili
.1
esunpolinomioconcoeficientesrealesdegradon-Ialomás;además.se
anulaencadaunadelasnraíces(complejas)dep'y.portanto_esidéntica-
mente0.
SeaahoraattinvectorarbitrariodeV.Entonces.por(9-16)
0=šìf.-(T)9.'(T)a
ycomopj(T)jj-(T)=0,sesigueque_/j(T)gj(T)fxestáenWjparacada¡_Por
elLema4,esortogonalaWjsiemprequeiq=¡_Portanto_I'eslasumadi-
rectaortogonaldeW,.__._W,,.SiIfescualquiervectorenWj,entonces
iv.-(T)TB=TP.-(T)ti=0;
asíqueesinvarianteporT.SeaTjlarestriccióndeTaWj.Entoncespj-(Tj)=0.
conloquepjesdivisibleporelpolinomiominimalparaTj.Comopjesirredu-
cìblesobreelcuerpodelosescalares.sesiguequepjeselpolinomiominimal
paraTj.
Seaahoraej=_/jgjyEj=ej-(T).Entoncesparatodovector1del'Ejfx
estáenWj,y
(1= E10.
1
Asi.a-E,-a= Eja;comoWjesortogonalaWjsij==i.estoimplicaque
J1
1-E,-atestáenVV,-i.Sededuceahora.delTeorema4delCapítulo8.queI;jes
laproyecciónortogonaldeVsobreW,-_I
Definición.LossubespaciosWj(l5j3k)sellamancomponentesprimos
deVsegúnT.

366. Upcratlori-.iriilir.-.-i¡›.n-ios¡irodnctointerno J47
Corolario.SeanTunoperadornormalsobreunespacioproductointerno
dedimensiónfinitaVyWj,___,W,,loscomponentesprimosdeVsegúnT.Supón-
gasequeWesunsubespaciodeVinrarianteporT.Entonces
Í
Demostración.EvidentementeWcontieneaZWHWj.Porotrolado,
1
W,queesinvarianteporT,esinvarianteportodo_polinomiodeT.Enparticu-
lar,WesinvarianteporlaproyecciónortogonalEjdeVsobreWj.Siotestáen
W,sesiguequeEjaestáenWH y,almismotiempo,queoi=ZEja.Por
i
tanto,WestácontenidoenZWHWj.I
1
ElTeorema17muestraquetodooperadornormalTsobreunespaciopro-
ductointernodedimensiónfinitaestádadocanónicamenteporunnúmero
finitodeoperadoresnormalesdefinidossobreloscomponentesprimosde
VsegúnT,cadaunodecuyospolinomiosminimalesesirreducìblesobreel
cuerpodelosescalares.Paracompletarelconocimientodelosoperadores
normalesesnecesarioestudiaroperadoresnormalesdeestetipoespecial.
Unoperadornormalcuyopolinomiominimalesdegradolesobviamente
apenasunmúltiploescalardelaidentidad.Porotrolado.cuandoelpolinomio
minimalesirreducìbleydegrado2,lasituaciónesmáscomplicada.
Ejemplol.Supóngasequer>0yqueUseaunnúmerorealnomúltiplo
enteroderc.SeaTeloperadorlinealsobreR2cuyamatrizenlabaseortonormal
canónìcaes
A=Tlïcosll-sen0]_
sen0 cos0
EntoncesTesunmúltiploescalardeunatransformaciónortogonaly,por
tanto,normal.SeapelpolinomiopropiodeT,entonces
p=del.(xl-A)
=(zi:-reos0)*+1'”sen'*'0
=x-2rcos0:i:~l-ri.
Seaa=rcostl,b=rsenUyc=a+ib.Entoncesbsé0,c=rei”
a--b
A_ibal
yp=(x-c)(x-E).LuegopesirreducìblesobreR.Comopesdivisiblepor
elpolinomiominimaldeT,sesiguequepeselpolinomiominimal.
Esteejemplosugiereelsiguienterecíproco.
Teorema18.SeanTunoperadornormalsobreunespacioproductointerno
realdedimensiónfinitaV_vpsupolinomiominimal.Supóngaseque
p=(x-a)2+bz

367. .H-\' .4l_¡:¢-hruInn-al
dondeaybsonrealesyb9€0.Entoncesexisteunenteros>0talquep"esel
polinomiopropiodeTyexistensubespaciosV,._..,V,deI-'talesque
(i)VJ-esortogonalaVicuandoi†j;
unv=me---eaVs;
(111)cadaVJ-tieneunabaseortonormal{oz¡,/$1-}conlapropiedaddeque
Taj -_-=(laj+
Enotraspalabras,sir=¬/az+bzy6seeligedemodoquea=rcos6
yb=rsen6,entoncesVesunasumadirectaortonormaldeespaciosbidi-
mensionalesVJ-encadaunodeloscualesTactúacomo«rveceslarotación
deángulo0».
LademostracióndelTeorema18estarábasadaenelsiguienteresultado.
Lema.SeanVunespacioproductointernorealySunoperadornormal
sobreVtalqueS2+I=0.SeaozcualquiervectordeVy/f=Sa.Entonces
S*oz=-/f
(9-17)
S*[f=fx
(alfi)=0.›"|I°f||=HHH-
Demostración.TenemosqueSa=/3yS/›'=S201=-oz.Portanto,
0=I|S«~fl||**+||Sfi+«IP=IISQII2-2(S«|fi)+||ø||2
+||Sfl||*+2<Sfil«)+llull”-
ComoSesnormal,sesigueque
0=|IS*«||2--2(S*ø|«)+||øH2+||S*ø||2+2(S*«|fi›+¡|«||2
=||S*«+BH*+!|S*fi-«IP-
Estoimplica(9-17);luego
(043)=(S*fi|fi)=(filsfi)`
=(BI-fr)
=-(alli)
y(oz|[›')=0.Enformaanáloga
Hall*=(S*í3|<1)=(fi|S0f)=||i3||2-I
DemostracióndelTeorema18.SeaV1,._.,Vsunacolecciónmaximal
desubespaciosbidimensionalesquesatisfacen(i`)y(ii)ylascondicionesadi-
cionales
T*aÍ=aai_'bfiir
(9-18) 1SjSs.
T*5¡=bai+Gfiƒ
SeaW=V,+ +IQ.EntoncesWeslasumadirectaortogonaldelos

368. U¡›¢'rudun-.s.mlurrspmtm¡›rmlm'tuinterna .f-1')
l',._..,V,.VeremosqueW=V.Supóngasequeéstenoseaelcaso.Enton-
cesW*9€-{0}.Másaún,como(iii)y(9-18)implicanqueWesinvariantepor
TyT*,sesiguequeW*esinvarianteporT*yT=T**.SeaS=b-1(T-al).
EntoncesS*=b_1(T*-al).S*S=SS*yWiesinvarianteporSyS*.
Como(T-al)2+bz!=0.sesiguequeS2+I=0.Seaozcualquiervector
denormalenWiysea/f=Sa.Entonces/iestáenW*yS/f=-oz.Como
T=al=hS,estoimplicaque
Ta=aa-I-bfi
TÚ=-ba-I-(LB.
Porelteorema,S*a=-/f,S*/f=oi.(oz|/f)=Oy||/f||=l.YaqueT*=al+
bS*,sesigueque
T*(1=aa__"
T*fi=ba+afi.
PeroestocontradiceelhechodequeV1,_..,Vsesunacolecciónmaximalde
subespaciosquesatisfacen(i),(iii)y(9-18).Portanto,W=V,ycomo
det[x:ba:CEa]=(:c-a)2+b2
sesiguede(i),(ii)y(iii)que
det(xl-T)=[(x-a)2+b2]'.I
Corolario.Enlascondicionesdelteorema,Tesinversibley
T*=(az+b2)T_'.
Demostracion.Como
lbJl
a-b ab]_[a2+b2 0]
-ba_ 0 a2-†-b2
sesiguede(iii)y(9-18)queTT*=(az+b2)l.LuegoTesinversibleyT*=
((12+1›2›T-'.|
Teorema19.SeaTunoperadornormalsobreunespacioproductointerno
dedimensiónfinitaV.EntoncescualquieroperadorlinealqueconmutaconT
tambiénconmutaconT*.Además,todosubespacioinvarianteporTestambién
invarianteporT*.
Demostración.SupóngasequeUesunoperadorlinealsobreVquecon-
mutaconT.SeaEjlaproyecciónortogonaldeVsobreelcomponenteprimo
Wj(15j5k)deVsegúnT.EntoncesEJ-esunpolinomioenTy,portanto,
conmutaconU.Asíque
E¡UE¡ = =UE¡'.
conloqueU(W¡)esunsubconjuntodeWj.SeanTJ-yU1-lasrestriccionesde
TyUa Supóngaseque11-eseloperadoridentidadsobreWj.EntoncesU,-
conmutaconTJ-,ysiTJ-=c¡I¡esclaroquetambiénconmutaconTj.*=êj-I]-.

369. .ÍÃU /Il_\f|'l›t'ttltm'ul
Porotrolado,siTJ-noesunmúltiploescalardc¡J-_entoncesTJ-esinversibley
existennúmerosrealesaJ-ybJ-talesque
T;=(ai+b;**)T;`
ComoUJ-TJ'=TJUJ-sesiguequeTJ-"'UJ-=UJ-TJ-1.Portanto,UJ-conmutacon
TJ-*enamboscasos.AhoraT*tambiénconmutaconEJ-y,portanto,esin-
varianteporT*.Además.paratodofxy/ideWJ.
(T,-«Im=(Tale)=(«|T*fi)=(aim).
ComoT*(WJ-)estácontenidoenWJ-,estoimplicaqueTJ-*eslarestricciónde
T*aWJ-_Asíque
UT*d¡ =T*U(X¡
paratodoocJ-deWJ-_ComoVeslasumadeW,,____Wk,sesigueque
UT*a=T*Ua
paratodooideVy,portanto,queUconmutaconT*.
SupóngaseahoraqueWesunsubespaciodeVinvarianteporTyseaZJ-=
WHWJ-_PorelcorolariodelTeoremaI7,W=ZZJ-_Asíqueessuficiente
I
demostrarquetodoZJ-esinvariantepor Estoesobviosi=cJ-I.Cuando
éstenoeselcaso,TJ-esinversibleyaplicaZJ-en.yenconsecuenciasobre,ZJ-_
Así,TJ-“'(ZJ-)=Z¡.ycomo
Ti=(aii-I-bi)Tf_l-
seconcluyequeT*(ZJ-)estácontenidoenZJ-,paratodoj.I
SupóngasequeTesunoperadornormalenunespacioproductointerno
dedimensiónfinitaV.SeaWunsubespacioinvarianteporT.Entonceselco-
rolarioanteriormuestraqueWesinvarianteporT*.DeestosesiguequeW*
esinvarianteporT**=T(y.enconsecuencia,tambiéninvarianteporT*).
Usandoestehechosepuedefácilmentedemostrarlasiguienteversiónmás
reforzadadelteoremadedescomposicióncíclica,dadoenelCapítulo7.
Teorema20.SeaTunoperadorlinealnormalenunespacioproductoin-
ternodedimensiónfinitaV(dimV2I).Entoncesexistenrrectoresnonulos
al,___,cx,enVconlosrespectirosT-anuladoresel.____e,talesque
(i)V=Z(0fi1;T)€B'°'€BZ(<X,;T):
(ii)si15k5r-l.entoncese,,+¡dirideaek;
(iii)Z(aJ-;T)esortogonalaZ(:x,,;T)sij#=k.Además,elenterorylos
anuladoresel,_,e,estánunívocamentedeterminadosporlascondiciones(i)y
(ii)_\'porelhechodequeningúnakes0.
Corolario.SiAesunamatri:normaldeelementosreales(complejos),en-
toncesexisteunamatri:realortogonal(unitaria)PtalqueP-¡APestáenforma
canónìcaracional.

370. U¡n't'mlm'¢'.\'xulm-¢-\¡nm'tm¡›rmlm'tt›mt:-rm: Ul
SesiguequedosmatricesAyBsonequivalentesunitariamentesi.ysolosi,
tienenlamismaformaracional;AyBsonequivalentesortogonalmentesi
tienenelementosrealesylamismaformaracional.
Porotrolado,hayuncriteriomássimplequelaequivalenciaunitariade
lasmatricesnormalesylosoperadoresnormales.
Definiciones.SeanV_vV'espaciosproductointernosobreelmismocuerpo.
Unatransformaciónlineal
UZV-›V'
sediceunatransformaciónunitariasiaplicaVsobreV'_vpreserralosproductos
internos.SiTesunoperadorlinealsobreV_1'T"unoperadorlinealsobreV',en-
toncesTesunitariamenteequivalenteaT'_siexisteunatrans'/ormaciónunitaria
UdeVsobreV'talque
UTU_'=T'_
Lema.SeanV_t'V'espaciosproductointernodedimensiónfinitasobreel
mismocuerpo.SupóngasequeTesunoperadorlinealsobreV_t'queT'esunope-
radorlinealsobreV'_EntoncesTesunitariamenteequiralenteaT'si.J'solosi,
existenunabaseortonormal(BdeV_t'unabaseortonormal(B'deV'talque
[T](B=[T"|(B,.
Demostración.SupóngasequehayunatransformaciónunitariaUdeV
sobreV'talqueUTU"*=T'_Sea(B=¦oz,,oz,,}cualquierbase(orde-
nada)ortonormaldeV.SeafxJ'-=UozJ-(lSiSn).-Entonces(B'={oz;____,oz,',}
esunabaseortonormaldeVyhaciendo
Tai=giAx,-Cra
k=1
seveque
T'aj-=UTa,-
=š:Ak¡Udk
=EAkjälc
k
Luego[T](B=A=[Tl]¿B-_
Recíprocamente,supóngasequeexistenunabaseortonormal(BdeVyuna
baseortonormal(B'deV'talesque
[Tica=[T']<B'
yseaA=[T]¿B.Supóngaseque(B=¦fx,.___,fx,,¦yque(B'=¦fx§____.1,,
SeaUunatransformaciónlinealdeVenV'talqueUoc_¡=“xJ-(15_¡5n).Enton-
cesUesunatransformaciónunitariadeVsobreV',y
UTU-la;=Um,-
=UãAkjfiïk
=EAkjalií-
lt

371. 35." llaga-lnn/mr-al
Portanto,UTU_'ozJ'-=l"aJ(I5/`'_<_n).yestoimplicaqueUTU"==1".I
Sesigueinmediatamentedeestelemaquelosoperadoresunitariamente
equivalentesenespaciosdedimensiónlinitatienenelmismopolinomiopropio.
Paraoperadoresnormaleselrecíprocoesválido.
Teorema21.SeanVyV'espaciosproductointernodcdimensiónfinita
sobreelmismocuerpo.SupóngasequeTesunoperadornormalsobreVJ'que
T'esunoperadornormalsobreV'.EntoncesTesunitariamenteequivalenteaT'
si,ysolosi,TyT'tienenelmismopolinomiopropio.
Demostración.SupóngasequeTyT'tienenelmismopolinomiopropiof.
SeanWJ-(1SjSk)loscomponentesprimosdeVsegúnTyTJ-larestricción
deTaWJ-_Supóngaseque¡JseaeloperadoridentidadsobreWJ-_Entonces
f=iidet(x1-~T,-)_
f=1 '
SeapJ-elpolinomiominimaldeTJ-_SipJ-=x-cJ.esevidenteque
det(fvïf_Tr)=(I_01)”
dondesJ-esladimensióndeWJ-_Porotrolado.sipJ-=(x-aJ-)¿+bfconaJ-_bJ-
realesybJ-qé0,entoncessesiguedelTeoremal8que
det(1111''_Ti)=Pi'
dondeenestecaso2sJ-esladimensióndeWJ._Porconsiguiente,ji=Fl
Sepuedeahoracalculartambiénfporelmismométodousandolosctimpo-
nentesprimosdeV'segúnT'_Comop,,___,pksonprimosdistintos,sesigue
delaunicidaddelafactorizaciónprimadefquehayexactamentekcomponentes
primosWJ-'(1SjSk)deV'segúnT'yqueéstospuedenserrotuladoscon
índicesdetalmodoquepJ-seaelpolinomiominimaldelarestriccióndeT'a
WJ-'_SipJ-=x-cJ-,entoncesTJ-=cJ-IJ-yTJ-'=cJ-IJ',dondeIJfeseloperador
identidadsobreWJ-'_Enestecasoesevidenteque'TJ-esunitariamenteequivalente
a SipJ-=(x-aJ-)2+bJ3,comoanteriormente,entoncesporellemayel
Teorema20,tenemosnuevamentequeTJ-esunitariamenteequivalentea
Así,pues,paratodojexistenbasesortonormalesG3J-yÚSJÍdeWJ-yWJ-',respec-
tivamente,talesque
[Tf]<s,-=[T2-]a;,-'-
SeaahoraUlatransformaciónlinealdeVenV'queaplicacadaG3J-sobreÚSJ'-_
EntoncesUesunatransformaciónunitariadeVsobreV'talqueUTU“I=T'_I

372. 10.Formasbilineales
10.1.Formasbilineales
Enestecapitulosetratarádelasformasbilinealessobreespaciosvectoriales
dedimensiónfinita.Ellectorobservaráprobablementeunaanalogíaentre
ciertomaterialyelestudiodelosdeterminantesdelCapítulo5ydelosproductos
internosydelasformasenlosCapítulos8y9.Larelaciónentreformasbili-
nealesyproductosinternosesparticularmenteestrecha;sinembargo,este
capítulonopresuponeningúnmaterialdelosCapítulos8o9.Allectorque
noestéfamiliarizadoconlosproductosinternosleseráprovechosoleerlapri-
merapartedelCapítulo8altiempoqueseadentraenelestudiodelasformas
bilineales.
Laprimeraseccióntratadelespaciodelasformasbilinealessobreunespa-
cioveetorialdedimensiónn.Seintroducelamatrizdeunaformabilinealen
unabaseordenadayseestableceelisomorfismoentreelespaciodelasformas
yelespaciodelasmatricesnxn.Sedefineelrangodeunaformabilinealy
seintroducenlasformasbilinealesnodegeneradas.Lasegundasecciónestudia
lasformasbilinealessimétricasysudiagonalización-Laterceratratalasformas
bilinealesantisimétricas.Lacuartaestudiaelgrupoquepreservaunaforma
bilinealnodegenerada,conespecialatenciónalosgruposortogonales,alos
gruposseudoortogonalesyaungruposeudoortogonalparticular--elgrupo
deLorentz.
Definición.SeaVunespacio'vectorialsobreelcuerpoF.Unaformabilineal
sobreVesunafunciónfqueasignaacadaparordenadodevectoresot,lideVun
escalarf(ot,/3)deF,yquesatisface
353

373. 354 .iltgt-liralt'm^ul
JJ0_JJ _/(cat,-l-512,ƒl)=tj/'(9t¡,Il)+f(0t¡.[ll
_/(ot.c/1',+/iz)=tj/(fx./f,l+f(ot_/¡2).
Sil'xVeselconjuntodetodoslosparesordenadosdevectoresdeV.
estadefiniciónpuedeexpresarsecomosigue:unaformabilinealsobreVesuna
funcion/'deVxVenFqueeslinealcomofuncióndeunodesusargumentos
cuandoelotrosedejafijo.LafuncióncerodeVxVenTesobviamenteuna
formabilineal.Tambiénesciertoquecualquiercombinaciónlinealdeformas
bilinealessobreVesunaformabilineal.Parademostrarloessuficienteconsi-
derarcombinacioneslinealesdeltipocf+g,dondefygsonformasbilineales
sobreV.Lademostracióndequeef'+gsatisface(10-1)essimilaramuchas
otrasquesehandado,yportalrazónseomitirá.Todoestopuederesumirse
diciendoqueelconjuntodetodaslasformasbilinealessobreVesunsubes-
paciodelespaciodetodaslasfuncionesdeVxVenF(Ejemplo3,Capítulo2).
SerepresentaráelespaciodelasformasbilinealessobreVporL(V,V,F).
Ejemplol.SeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoFyseanL1yL2
formasbilinealesenV.Sedefinefpor
f(Of,B)=L1(0f)L2(B)-
SisefijaByseconsideraafcomofuncióndeoi,entoncessetienesimplemente
unmúltiploescalardelfuncionallinealL,.Conotfijo.fesunmúltiploescalar
deL2.AsiesclaroqueƒesunaformabilinealenV.
Ejemplo2.SeanmynenterospositivosyFuncuerpo.SeaVelespacio
vectorialdelasmatricesmxnsobreF.SeaAunamatrizmxmdadasobreF.
Scdefine
ƒA(X,Y)=tr(X'AY).
Entonces/Q,esunaformabilinealsobreV.Enefecto.siX_YyZsonmatrices
inxnsobreF
fA(CX-l-Z,Y)=tr[(cX-I-Z)'AY]
=tr(cXtAY)+tr(Z'AY)
=CfA(X, +f¿(Z, Y).
Desdeluego,sehahechousodequelaoperacióntranspuestaylafuncióntraza
sonlineales.Esinclusomasfácildemostrarquef,,eslinealcomofunciónde
susegundoargumento.Enelcasoespecialn=1.lamatrizX'AYes1x1.
esdecir,unescalar,ylaformabilinealessolamente
ƒ,t_(X,Y)=X'AY
=EEÁeƒíöillƒ-
iJ'
Mostraremosahoraquetodaformabilinealsobreelespaciodelasmatrices
mxIesdeestetipo;esdecir,es/j,paraciertamatrizmxm,A.

374. I-'armaslilllnmlrt 355
Ejemplo3.SeaFuncuerpo.Queremoshallartodaslasformasbilineales
sobreelespacioF2.Supóngasequefseaunaformabilinealdeestetipo.Si
cz=(x¡,x2)y,B=(yl,yz)sonvectoresdeF2,entonces
f(0f.5)=f(fiv1e1+wm,5)
=21.f(e1,B)+rv2f(¢2,B)
=371f(f1›Zl1€1+Zlzfi)"Í"íU2f(€2›21161+Zlafz)
=$1!/1f(f1›fl)+171?/af(G1,G2)+rvzz/1f(¢2,ei)+2:21/2f(¢2,ez).
AsífestácompletamentedeterminadaporloscuatroescalaresA¡J-=f(e¡,eJ-)por
f(01,5)=A11251@/1+A12271@/2+Á21-T2?/1+A22932Zl2
= A¡¡27¿y¡.
1.1
SiXeYsonlasmatricesdecoordenadasdeozy,BysiAeslamatriz2x2con
loselementosA(i,j)=A¡J-=f(e¡,eJ-),entonces
(10-2) ƒ(a,fi)=X'AY.
SeobservóenelEjemplo2quesiAescualquiermatriz2x2sobreF.enton-
ces(IO-2)defineunaformabilinealsobreF2.Sevequelasformasbilineales
sobreF2sonprecisamentelasqueseobtienendeunamatriz2x2como
en(10-2).
ElanálisisdelEjemplo3puedegeneralizarseparadescribirtodaslasformasbi-
linealessobreunespaciovectorialdedimensiónfinita.SeaVunespaciovec-
torialdedimensiónfinitasobreelcuerpoFyseaG3={a1,____oc,,}unabase
ordenadadeV.SupóngasequefesunaformabilinealenV.Si
a=xla1+`°°+xnan y 6:?/1a1+"'+Z/na"
sonvectoresenV,entonces
.f(a› =-f xïaír
=1?¡f(0f¢›5)
=1?-tf(f1›'›If/1011")
= xr?/J`ƒ(aí›ai)-
Í-1
SisehaceAJJ-=f(oz¡,ocJ-),entonces
f(Of,B)=2_3A='1f-'!/f
=X'AY
dondeXeYsonlasmatricesdecoordenadasdeocyBenlabaseordenada(B.
AsítodaformabilinealenVesdeltipo
me f@m=@mm@

375. ,Uh _1I_tgt'I›ralun-al
paraalgunamatriznxnsobreF.Rcciprocamcntc_sitienecualquierma-
triznxn,A,esfácilverque(IO-3)dclincttnaformabilineal_/sobrel',tal
1
Definición.SeaVanespaciovectorialdedimensiónfinitaysea03={fx¡,___,
oc,,}unabaseordenadadeV.SifesunaformabilinealsobreV,lamatrizdefen
labaseordenadaO3eslamatri:nxn,A,conelementosA¡J=f(fx¡,:xJ-)_Aveces
serepresentaráestamatrizpor[f](B_
Teorema1.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuer-
poF_Paracadabaseordenada03deV,lafunciónqueasociaacadaformabi-
linealsobreVsumatri:enlabaseordenada03esunisomorfismodelespacio
L(V,V.F)sobreelespaciodelasmatricesn›<nsobreelcuerpoF_
Demostración.Seobservóanteriormentequef-›[_/](Besunacorres-
pondenciabiunívocaentreelconjuntodelasformasbilinealessobreVyel
conjuntodetodaslasmatricesn›<nsobreF.Queesunatransformaciónlineal
esfácildever,yaque
(Cf+Q)(<1='›Off)=Cf(0f¢'›Oh)+9(0f=›01)
paratodoiy_¡.Estosimplementediceque
[f'f+.f/lo=ff[_flts-lriflitti-I
Corolario.Si03=oq,___,oc,,}esunabaseordenadadeV_t'03*=¦L¡_____
L,,}eslabasedualdeV*,entonceslasnzformasbilineales
ji,-(-1-lll=L.-(GOL,-(li),1;<_iSn,1SÍSn
formanunabasedelespacioL(V,V,F)_Enparticular.ladimensiónde
L(V,V,F)esnz.
Demostración.Labasedual{L¡,...,L,,}estáesencialmentedefinida
porelhechodequeL¡(ot)eslai-ésimacoordenadadecxenlabaseordenadaO3
(paratodootdeV).Ahorabien,lasfuncionesf¡J-definidaspor
fa-(<1,B)=L.-(a)L,-(B)
sonformasbilinealesdeltipoconsideradoenelEjemplol.Si
0¿=J310l1¬l"'°"l"J3nOfn Y Ú=_?/1Ol1'¬l-"'+_I/,,(x,,,
entonces
fij(0¿› =-¡fl/r
SeafcualquierformabilinealsobreVyseaAlamatrizdeƒ'enlabaseor-
denadaO3.Entonces
f(a› : A-U'-til/J'
1-J
quesimplementediceque
ƒ: Aiififi
7-1.7

376. I-`m'ma.slvilnn-oli-s 357
Estáahoraclaroquelasnzformasf¿J-constituyenunabasedeL(V,V,F).I
Lademostraciónanteriorsepuedeexpresardeotramaneracomosigue.
Laformabilineal_/,JtienepormatrizenlabaseordenadaG3lamatriz«uni-
taria››E”,cuyoúnicoelementononuloesunlenlafilaiylacolumnaj.Como
estasmatricesunitariasconstituyenunabasedelespaciodelasmatricesnxn,
lasformasƒ,ïJ-constituyenunabasedelespaciodelasformasbilineales.
Elconceptodematrizdeunaformabilinealenunabaseordenadaesanálo-
goaldematrizdeunoperadorlinealenunabaseordenada.Aligualquepara
losoperadoreslineales,estamosinteresadosenquélesucedealamatrizre-
presentantedeunaformabilinealcuandosepasadeunabaseordenadaaotra.
Paraello.supóngasequeG3=={ot,,___,ocn]y(B'={ot1,.__,oz,',}seandosbases
ordenadasparaVyquefseaunaformabilinealenV.¿Cómoestánrelacio-
nadaslasmatrices[_/Í|¿ByL/Í|¿B-'?SeaPlamatriznxn(inversible)talque
[alo=¡'[0¢]et'
paratodoatenV.Enotraspalabras.sedefinePpor
af=2Í),-Ja,-_
¿-1
Paravectoresfx,/1*cualesquieraenV
f(a,Í3)=iflliitlflmifilm
=(¡'[0¢]ttt')'[fl«ttl'll3l<B'
=[a]iw(l"[f]ttsl')[Blur-
Porladefiniciónyunicidaddelamatrizrepresentantedefenlabaseorde-
nada03'.debemostenerque
(10-4) [fiar=¡"[.fl<›il'-
Ejemplo4.SeaVelespaciovectorialR2.Seaflaformabilinealdefinida
porof=(xl,xz)y/3=(_t'¡_yz)por
Ahora f(a,B)=_r1_i¡¡+_t'¡_i¡-_›+_t'-_›_i¡¡+.r-¿_t¡¿_
l1_i/
fm'/3)ZU”"'21ittiit/-1-ii
yasilamatrizde_/`enlabaseordenadacanónica(B-={e,_e2}es
J [fica=
SeaG3'={ej_e§,¦labaseordenadadefinidapore;=(l.-l),ef,=(1,l).
Enestecaso,lamatrizPquecambialascoordenadasdeG3'a(Bes
11
P"[-11]'

377. 358 .-1lgclrralim-al
ASÍ
[flow=P'[f]cBl'
=lì'lllll_ì1]
=[ì`[3šl
=[3'il'
EstoquieredecirquesiseexpresanlosvectoresocyBpormediodesuscoorde-
nadasenlabase(B',porejemplo,
t-li-Hi-9-1
l_.._lL...._-l
a=ïifi+ï'3Éf§›B=Z/iei+1/Éeå
entonces
J-(az =
Unaconsecuenciadelafórmula(10-4)paraelcambiodebaseeslasiguien-
te:siAyBsonmatricesn›<nquerepresentanlamismaformabilinealsobre
Venbasesordenadas(posiblemente)diferentes,entoncesAyBtienenelmismo
rango.Enefecto,siPesunamatriznxninversibleyB=P'AP,esevidente
queAyBtienenelmismorango.Estohaceposibledefinirelrangodeunaforma
bilineal-enVcomoelrangodecualquiermatrizquerepresentelaformaenuna
baseordenadaparaV.
Esdeseabledarunadefiniciónmásintrínsecadelrangodeunaformabi-
lineal.Estosepuedehacerdelsiguientemodo.Supóngasequefesunaforma
bilinealsobreelespaciovectorialV.Sisefijaunvectorcxde'V,entoncesf(a,B)
eslinealcomofuncióndeB.Deestemodocadaozfijodeterminaunfuncional
linealenVJ-;serepresentaestafunciónlinealporLJ-(oz).Repitiendo,siczesun
vectorenV,entoncesLJ-(oc)eselfuncionallinealenVcuyovalorparacualquier
vectorBesf(ot,B).Estodaunatransformaciónot-›LJ-(ot)deVenelespacio
dualV*.Como
J-(cal+G2; =C]-(al: +J-(a2:
vemosque
Lf(C¢11+G2)=CLf(0f1)-lrLf(0=2)
estoes,LJ-esunatransformaciónlinealdeVenV*.
Demodosemejante,fdeterminaunatransformaciónlinealRJ-deVenV*.
Paracada-BfijoenV,f(oz,B)eslinealcomofuncióndeoc.SedefineR¡(B)como
elfuncionallinealsobreVcuyovalorparaelvectorozesf(a,B).
Teorema2.Seafunaformabilinealsobreelespa-ciovectorialdedimensión
finitaV.SeanL¡yRJlastransformacioneslinealesdeVenV*definidaspor
(L¡ot)(B)=f(oz,B)=(R¡B)(a).Entonces,rango(LJ)=rango(RJ).
Demostración.Sepuededarunademostracióndeesteteoremaqueno
dependadelascoordenadas.Taldemostraciónesparecidaalademostración

378. Forumsl›Ilt'm'ul¢°.\ .LW
dequeelrangodefiladeunamatrizesigualalrangodecolumna(Sección3.7).
Asíquesedaráaquíunademostraciónqueconsisteenelegirunsistemade
coordenadas(base)yentoncesusarelteoremade«rangodefilaigualarango
decolumna».
Parademostrarquerango(LJ-)=rango(RJ-)essuficientedemostrarque
LJ-yRJtienenlamismanulidad.Sea(BunabaseordenadaparaVyseaA=mm.
SiocyBsonvectoresenV,conmatricesdecoordenadasXeYenlabaseorde-
nada(B,entoncesf(oz,B)=XTAY.Ahora,RJ(B)=0quieredecirquef(oz,B)=0
paratodoocenV,esdecir,queX'AY=0paratodamatriznx1,X_Estaúl-
timacondicióndicequeAY=0.LanulidaddeRJes,portanto,igualala
dimensióndelespaciosolucióndeAY=0.
Similarmente,L¡(oc)=0si,ysolosi,X'AY=0paratodamatriznx1,Y.
AsíocestáenelespacionulodeLJ-si,ysolosi,X'A=0esdecir,A'X=0.La
nulidaddeLJes,portanto,igualaladimensióndelespaciosolucióndeA'X=0.
ComolasmatricesAyA'tienenelmismorangocolumna,vemosque
nulidad(LJ)=nulidad(RJ).I
Definición.Sifesunaformabilinealsobreunespaciodedimensiónfinita
V,elrangodefeselenteror=rango(LJ)=rango(RJ).
Corolario1.Elrangodeunaformabilinealesigualalrangodelamatriz
delaformaencualquierbaseordenada.
Corolario2.Sifesunaformabilinealsobreelespaciovectorialdedi-
mensiónn,losiguienteesequivalente:
(a)Rango(f)=n. _
(b)ParatodoocnonulodeV,existeunBenVtalquef(oz,B)#=0.
(c)ParatodoBnonulodeV,existeunotenVtalquef(ot,B)#=0.
Demostración.Laafirmación(b)nodicemásqueelespacionulodeLJes
elsubespaciocero.Laafirmación(c)dicequeelespacionulodeRJeselsub-
espaciocero.LastransformacioneslinealesLJyRJtienennulidad0si,ysolosi,
tienenrangon,esdecir,si,ysolosi,rango(f)=n.I
Definición.UnaformabilinealfsobreunespaciovectorialVsellamano
degenerada(0nosingular)sisatisfacelascondiciones(b)y(c)delCorolario2.
SiVesdedimensiónfinita,entoncesfesnodegeneradasiemprequefcumpla
unacualquieradelastrescondicionesdelCorolario2.Enparticular,fesno
degenerada(nosingular)si,ysolosi,sumatrizenalguna(toda)baseordenada
paraVesunamatriznosingular.
Ejemplo5.SeaV=R"-yseaflaformabilinealdefinidaparaoc=(x,,___,
xn) yfi=(yla °°°9yn) por
.f(a› =xlyl+°`°+xnyn-

379. MU -Il_ecI›rulineal
I-'ntonces/esunaformabilinealnodegeneradaenR".Lamatri/de/enla
l'-aseortlcn;ttl;tcanónìcaeslamatri/unidadnxn
f(X,Y)==X'Y_
lstcIgeneralmentesellamaproductoescalar.Ellectorestaráprobablemente
l_tmiliari7.adoconestaformabilineal-almenosparaelcason=3.Geome-
tricamentcelnúmero_f(ot,B)eselproductodelalongituddecx,lalongitudde
ByelcosenodelánguloentrecxyB.Enparticularf(oz,B)=0si.ysolosi,los
vectoresotyBsonortogonales(perpendiculares).
I::¡'ercici0s
I.;_C`uálesdelassiguientesfunciones]definidasparavectores1=(x,.xz)yB=(r,.1:2)
dcR2sonformasbilineales?
(11)f(¢1.B)=1-
(l›)f(a,B'=(rr-z/t)'2+ra/2.
(cl.l-(05=(1't+?/1):“(171__?]i)2-
(dlf(0¿›ta)=T1!/2_-T2?Ie-
2.Sea_/laformabilinealsobreR2definidapor
f((-F1,'_'/1)»(12,2/2))=ft!/1-lrI-:.'/-±-
Hallarlamatrizdeƒencadaunadelassiguientesbases
{(l,0),(0.1)¦-,{(t,-1),(1,1):-,{(1,2),t:;,¬t);.
3.SeaVelespaciodetodaslasmatrices2x3sobreRyseaIlaformahilincalsobre
I'definidapor_/(X,Y)=traza(X'AY).donde
l2
A= -
34
llallarlamatrizde_/enlabaseordenada
{E11JE12,E13,E21,E22,E23:
dondeEl-"eslamatrizcuyoúnicoelementononuloesunIenlafilaiycolumna¡_
4.Describirexplícitamentetodaslasformasbilineales_/sobreR3conlapropiedadde
quef(:x,B)=_/`(B_oc)paratodo1.B.
5.DescribirlaformabilinealsobreR2quesatisface/(oz.B)=-_/(B.xlparatodo1.B.
6.SeanunenteropositivoyseaVelespaciodetodaslasmatricesn›<nsobreelcuerpo
delosnúmeroscomplejos.Demostrarque
f(/1,B)='ntr(AB)-tr(A)tr(B)
defineunaformabilinealfsobreV.¿Esverdadque_/(A,B)=_/(B,A)paratodaA.B1'
7.Sea_/`laformabilinealdefinidaenelEjercicio6.Demostrarque_/`esdegenerada(que
noesnodegenerada).SeaV,elsubespaciodeVqueconsisteenlastnatricesdetra/a0.y
seafllarestricciónde_/'aV1.Mostrarque_/',esnodegenerada.
8.SeaflaformabilinealdefinidaenelEjercicio6yseaV2elsubespaciodeVqueconsis-

380. I«umasInltnml.-t _{(,/
teentodaslasmatricesAtalquetraza(A)=0yA*=-A(A*eslatranspuestaconju-
gadadeA)-Desígnesepor_/'ZlarestriccióndefaV2.Mostrarque_/`2esnegativamentede-
tìnida:esdecir.que_/¿(A_A)<0paracadaAnonuloenV2.
9.Sea_/laformabilinealdefinidaenelEjercicio6.SeaWelconjuntodetodaslasmatri-
cesAenVtalesque_/(A_B)=0paratodoB.DemostrarqueWesunsubespaciodeV.
DescribirWexplícitamenteyhallarsudimensión.
I0.Sea/'cualquierformabilinealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinitaV.Sea
ll'elsubespaciodetodoslosBtalesque_/(ot,B)=0paratodoot.Mostrarque
rango_/'=dimV-dimW.
UsaresteresultadoyeldelEjercicio9paracalcularelrangodelafonnabilinealdefini-
daenelEjercicio6.
ll.Sea_/`unaformabilinealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinitaV.Supón-
gasequeV,esunsubespaciodeVconlapropiedaddequelarestricción.deIaV,esno
degenerada.Demostrarquerangof2dimVJ.
I2.Seanf,gformasbilinealessobreunespaciovectorialdedimensiónfinitaV.Supón-
gasequegesnosingular.DemostrarqueexistenoperadoreslinealesúnicosT1,T2sobre
I'talesque
f(¢1,B)=9(T›¢r,t5)=g(a,Tzfi)
paratodozx,B.
13.DemostrarqueelresultadodadoenelEjercicio12nonecesitaserciertosiges
singular.
I4_Sea_/'unaformabilinealsobreunespaciovectorialdedimensiónfinitaV.Demos-
trarquefpuedeexpresarsecomoproductodedosfuncionaleslineales(esdecir,f(a,B)=
L¡(a)L¿(B)paraL,,L2enV*)si,ysolosi,_/`tienerangol.
10.2.Formasbilinealessimétricas
Elpropósitoprincipaldeestasecciónesresponderalasiguientepregunta:
sifesunaformabilinealsobreelespaciovectorialdedimensiónfinitaV,¿cuán-
doexisteunabaseordenada03deVenlaquefestérepresentadaporunamatriz
diagonal?Sedemostraráqueestoesposiblesi,ysolosi,fesunafonnabilineal
simétrica,esdecir.f(oc,B)=f(B,oz).Elteoremasedemostrarásolocuando
elcuerpodelosescalarestienecaracterísticacero,estoes,quesinesunentero
positivolasuma1+l+"'+l(nsumandos)enFnoes0.
Definición.SeafunaformabilinealsobreelespaciovectorialV.Sedice
quefessimétricasif(oz,B)=f(B,oc)paratodoslosvectoresoc,BdeV.
SiVesdedimensiónfinita,laformabilinealfessimétricasi,ysolosi,su
matrizAencierta(oentoda)baseordenadaessimétrica,A'=A.Paraver
estoserequieresabercuándolaformabilineal
f(X,Y)=Xf/tr

381. ,M2 Al_eel›ralineal
essimétrica.Estosucedesi,ysolosi,X'AY==Y'AXparatodaslasmatrices
columnasXeY.ComoX'AYesunamatriz1xl,setienequeX'AY=Y'A'.\'.
Así,pues,fessimétricasi,ysolosi,Y'A'X=Y'AXparatodoX,Y.Evidente-
menteestoquieredecirqueA=A'.Enparticular,debeobservarsequesiexiste
unabaseordenadaparaVenlaquefestárepresentadaporunamatrizdiago-
nal,entoncesfessimétrica,yaque,cualquiermatrizdiagonalesunamatri:
simétrica.
Sifesunaformabilinealsimétrica,laformacuadráticaasociadaconfes
lafunciónqdeVenFdefinidapor
¶(a)=f(a,«)-
SiFesunsubconjuntodelosnúmeroscomplejos,laformabilinealsimétrica
estácompletamentedeterminadaporsuformacuadráticaasociada.deacuer-
doconlaidentidaddepolarización
(10-5) f(a,6)=%q(a+B)-šq(0=-B)-
Elestablecer(10-5)noesmásqueunarutinade_cálculoqueseomite.Sifesla
formabilinealdelEjemplo5.elproductoescalar,laformacuadráticaaso-
ciadaes
q(:i:1,___,x,,)=:i:i-l--l-xfi.
Enotraspalabras,q(oz)eselcuadradodelalongituddeot.Paralaformabilineal
f,,(X,Y)=X'AY,laformacuadráticaasociadaes
= =2)-xtlijllïiílfj.
31.7
Unaclaseimportantedeformasbilinealessimétricassonlosproductos
internosenlosespaciosvectorialesreales.estudiadosenelCapítulo8.SiVes
unespaciovectorialreal,unproductointemosobreVesunaformabilineal
simétricafsobreVtalque
(10-6) f(oz,oz)>0siocql-=0.
Unaformabilinealquecumple(10-6)sellamapositivamentedefinida.Así,un
productointemosobreunespaciovectorialrealesunaformabilinealsimétrica
ypositivamentedefinidasobreeseespacio.Obsérvesequeunproductointerno
esnodegenerado_Dosvectoresoz,Bsellamanortogonalesrespectoalpro-
ductointernofsif(ot,B)=0.Laformacuadráticaq(:x)=f(oz,oc)tomasolo
valoresnonegativosyq(ot)seconsideracorrientementecomoelcuadradode
lalongituddeoz.Desdeluego,estosconceptosdelongitudyortogonalidad
tienensuorigenenelmásimportanteejemplodeunproductointerno-el
productoescalardelEjemplo5.
SifescualquierformabilinealsimétricasobreunespaciovectorialV,es
convenienteaplicarenpartelaterminologíaalosproductosinternosajfiEs
especialmenteconvenientedecirqueotyBsonortogonalesconrespectoaf.si
f(a,B)=0.Noesaconsejablepensarenƒ(a,oz)comoelcuadradodelalongi-
tuddeoc;porejemplo,siVesunespaciovectorialcomplejo,sepuedetener
f(oz,ot)=_/-1,oenunespaciovectorialreal,,/(oc,ot)=-2.

382. I'ornm_slilltnmln _lt›_l
Sevuelveahoraalteoremabásicodeestasección.Alleerlademostración,
leserádeprovechoallectorpensarenelcasoespecialenqueVesunespacio
vectorialrealyfunproductointernosobreV.
Teorema3.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreuncuerpo
decaracteristicacero,yseafunaformabilinealsimétricasobreV.Entonces
existeunabasedeVenlaquefestárepresentadaporunamatrizdiagonal.
Demostración.Loquesedebehallaresunabaseordenada
(B={a1,_..,a,,}
talquef(a1_ocJ-)=0parai7€j.Sif=0on=1,elteoremaesevidentemente
cierto.Portanto,sepuedesuponerquefsé0yn>1.Siƒ(:x,oz)=0para
todootenV,laformacuadráticaasociadaqesidénticamente0ylaidentidad
depolarización(10-5)muestraqueƒ=0.EntoncesexisteunvectorotenVtal
quef(a,ot)=q(oz)=/=0.SeaWelsubespaciounidimensionaldeVqueesgene-
radoporotyseaWielconjuntodetodoslosvectoresBenVtalesquef(ot,B)=0.
AfirmamosqueV=W_EBWi.Ciertamente,lossubespaciosWyW*son
independientes.UnvectortípicodeWesca,dondecesunescalar.Sitambién
caestáenWi,entoncesf(coz,cal=c2f(ot,oc)=0.Perof(ot,ot)=¡é0,luego
c=0.AsíquecadavectordeVessumadeunvectordeWydeunvectordeWi.
Enefecto,sea¬,›cualquiervectorenV.ysehace
___f('v,¢1)a
5"”ft›'a,a
Entonces
ft-_ø)=ft-_1)-ft-_-1
a,a
ycomofessimétrica,f(oz,B)=0.AsíBestáenelsubespacioWi.Laexpresión
_llull
*"flao“+”
muestraqueV=W-1W*_
LarestriccióndeƒaW*esunaformabilinealsimétrica.ComoW*tiene
dimensión(n-1),suponerporinducciónqueW*tieneunabase{ot2,___,ot,,}
talque_
.f(aí›ai)=0›
Haciendoal=ot,seobtieneunabase{oc1,___,oc,,}deVtalquef(oc¡,otJ-)=0
parai=,éj_I
Corolario.SeaFunsubcuerpodelosnúmeroscomplejos,yseaAunama-
trizsimétricanxnsobreF_EntoncesexisteunamatriznxninversiblePsobre
FtalqueP'APesdiagonal.
EncasodequeFseaelcuerpodelosnúmerosreales,lamatrizinversible
Pdeestecorolariopuedeelegirsedemodoqueseaunamatrizortogonal,es

383. .M4 .'1l_l¦¢'l›t'ultimïtl
decir,I"=P"'_Enotraspalabras,siAesunamatrizsimétricarealnxn,
existeunatnatrizortogonalrealPtalqueP'APesdiagonal;sinembargo,esto
noesdeltodoevidenteenloquesehizoanteriormente(véaseCapitulo8).
Teorema4.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreelcuerpo
delosnúmeroscomplejos.SeafunaformabilinealsimétricasobreVquetiene
rangor.Entoncesexisteunabaseordenada03={B1,___,B,,}deVtalque
(i)lamatrizdefenlabaseordenada(Besdiagonal;
(iaftfi,-_11,):((1):.;j§J1¿,.
Demostración.PorelTeorema3,existeunabaseordenada{ot,,___,oz,,}
deVtalque
f(ot¡,oq)=0parai=;éj.
Comoftienerangor_tambiénlotendrásumatrizenlabaseordenada{oz,,___,ot,,}_
Entoncesdebemostenerqueƒ(otJ-,otJ-)=;é0pararvaloresde/`precisamente.Reor-
denandolosvectoresocJ,sepuedesuponerque
f(aJ`›a_1')5¿0› Í-:lt-°~›T~
Seusaahoraelhechodequeelcuerpodelosescalareseselcuerpodelosnú-
meroscomplejos.Si_/f(otJ-,ozJ-)representacualquierraízcuadradacompleja
def(aJ-,ocJ-),ysisehace
---i---oz j-"-1 1'
`/”"'“"_" it _'1--~›
B;= f(0=;'›Off)
aii >T
labase{B,,__-,(inisatisfacelascondiciones(i)y(ii).I
Naturalmente,elTeorema4esválidosielcuerpodelosescalaresescual-
quiersubcuerpodelosnúmeroscomplejosenelquecadaelementotieneuna
raízcuadrada.Nocsválido,cuandoelcuerpoescalareselcuerpodelosnú-
merosreales_Sobreelcuerpodelosnúmerosrealestenemoselsiguientesusti-
tutoparaelTeorema4.
Teorema5.SeaVunespaciodedimensiónnsobreelcuerpodelosnúme-
rosrealesyseafunaformabilinealsime'tricasobreVquetienerangor.Entonces
existeunabaseordenada{B,,B2,___,B,,}deVenlaquelamatrizdefesdia-
gonalytalque
f(/i,-,I3,-)=±t__¡=1, r.
Además,elnúmerodevectoresdebaseBJ-paralosquef(BJ-,BJ.)=1esindepen-
dientedelaeleccióndebase.

384. l-ornmtIvilnn-ul.-s ¡M
Demostración.Existeunabase{ot1_____oc,,}deVtalque
.l-(airai)=Oi
f(0fif›0¢¡)?f0›ÍÉJST
J-(aha1)=O1 >T-
Sea
BJ'=|ƒ(aJ'›aJ`)i_l/2aJ'› 1S ST
fií=aii Í>T-
Entonces{B,,___,B,,}esunabaseconlaspropiedadesestablecidas.
SeapelnúmerodevectoresdebaseBJparalosquef(BJ-,BJ-)=1;sedebe
demostrarqueelnúmeropesindependientedelabaseparticularquetenemos,
quesatisfacelascondicionesestablecidas.SeaV¬`elsubespaciodeVgenerado
porlosvectoresdebaseBJ-paralosquef(BJ-,BJ-)=IyseaV_elsubespacio
generadoporlosvectoresdebaseBJ.paralosquef(B¡,BJ-)--1.Ahora
p=dimV*_demodoqueeslaunicidaddeladimensióndeV¬`laquesedebe
demostrar.EsfácilverquesiofesunvectornonulodeVi,entoncesƒ(ot,ot)>0;
enotraspalabras,fespositivamentedefinidasobreelespacioV*_Enforma
análoga,siocesunvectornonulodeV"T,entoncesf(-at,oc)<0;esdecir,fes
negativamentedefinidaenelsubespacioV`_SeaahoraVielsubespaciogenera-
doporlosvectoresdebaseBJ-paralosquej(BJ-,BJ-)=0.SiocestáenVi,enton-
cesf(ot,B)=0paratodoBenV.
Como{B,,___,B,,}esunabasedeV,setieneque
V=V*Q-)V-Q-)Vi.
Además,seafirmaquesiWescualquiersubespaciodeVenelquefesposi-
tivamentedefinida,entonceslossubespaciosW,V“yVisonindependientes.
Enefecto,supóngasequeotestáenW,BenV_,3-'enVyqueoc+B+1'=0.
Entonces
0=f(0=,of+6+1)=f(<1f0=)+f(0=,6)+f(a,1)
0=f(B,of+B+1)=f(B,<1)+f(B,B)+f(B,1)-
Como¬,'estáenVi,_/(oz,¬,›)=f(B,ji)=0;ycomofessimétrica,seobtiene
0=f(0¢,0)+f(<1,B)
0=f(B,6')+f(¢1,B)
Luegof(oz,ot)=f(B,B).Comoƒ(¿1,oc)20yf(B,B)<0,sesigueque
f(a,of)=f(B,6°)=0-
PerofespositivamentedefinidasobreWynegativamentedefinidasobreV
Seconcluyequeot=B=0yluegotambiénque¬,›=0.Como
v=v+(¬_->v¬q->v-
yW,VT,Visonindependientes,vemosquedimW5dimV*_Estoes,si
WescualquiersubespaciodeVenelqueƒespositivamentedefinida,ladi-

385. ¡OO Algchmlineal
mensióndeWnopuedeexcederladimensiondel''_Si(B,esotrabaseorde-
nadadcVquesatisfacelascondicionesdelteorema,setendránloscorrespon-
dientessubespaciosV,i,V,"yV,i;yelrazonamientoanteriormues_traque
dimV,*5dimV*_lnvirtiéndolo,seobtienequedimV*5dimV,*y,por
tanto,
dimV*=dimVT.I
Varioscomentarioshabríaquehacerrespectoalabase{B,,__.,finldelTeo-
rema5ydelossubespaciosasociadosV*,V"yVi.Primeroobsén/eseque
Viesexactamenteelsubespaciodelosvectoresqueson«ortogonales››atodos
losdeV.SeobservóanteriormentequeViestácontenidoenestesubespacio;pero
dimVi=dimV-(dimV*+dimV`)=dimV-rangof
demodoquetodovectoroctalquef(oz,B)=0paratodoBdebeestarenVi.
AsíqueelsubespacioViesúnico.LossubespaciosV*yV"nosonúnicos;
sinembargo,susdimensionessonúnicas.LademostracióndelTeorema5mues-
traqueV*eslamayordimensiónposibledecualquiersubespacioenelquef
espositivamentedefinida.Enformaanáloga,dimV*eslamayordimensión
decualquiersubespacioenelquefesnegativamentedefinida.Porcierto
dimV*-ldimV-=rangof.
Elnúmero
dimV*-dimV`
esamenudollamadosignaturadef.Seleintroduceporquelasdimensiones
deV*yV"estándeterminadasfácilmenteporelrangodefylasignaturadef.
Deberíahacersetalvezuncomentariosobrelarelacióndelasformasbili-
nealessimétricassobreespaciosvectorialesrealesconlosproductosinternos.
SupóngasequeVesunespaciovectorialrealdedimensiónfinitayqueV,,V2,
V3seansubespaciosdeVtalesque
V=V1€-)V2Gl)V3_
Supóngasequef,esunproductointernosobreV,yf2esunproductointerno
sobreV2.SepuedeentoncesdefinirunaformabilinealsimétricafsobreVdel
siguientemodo:sioz,BsonvectoresdeV,entoncessepuedeescribir
0f='11†a2+as Y ll=›61+li2+li3
conotJ,yBJ-enVJ.Sea
f(0f›ll)=f1(0f1›fi1)“'f2(a2›B2)-
ElsubespacioViparafseráV3;V,esunadecuadoV*para`/2yV2esunade-
cuadoV__UnapartedelaafirmacióndelTeorema5esquetodaformabilineal
simétricasobreVsurgedeestemodo.Elrestodelcontenidodelteoremaes
queunproductointernoestárepresentadoenalgunabaseordenadaporla
matrizunidad.

386. Forntasl›lltm'aIt's 307
Ejercicios
1.LassiguientesexpresionesdefinenformascuadráticasqsobreR2.Hallarlaforma
bilinealsimétricafcorrespondienteacadaq.
(11)ari." (G)wi+922%-
(b)bm» (f)sm,-eg.
(0)017%- (g)41:2-I-6:t1:1:2-3:1:å.
(d)23%2'"šíïtílfz-
2.Hallarlamatriz,enlabaseordenadacanónìca,yelrangodecadaunadelasformas
bilinealesdeterminadasenelEjercicio1.lndicarcuálesformassonnodegeneradas_
3.Seaq(x,,x2)=axf+bx,x2+cxšlaformacuadráticaasociadaconunaformabi-
linealsimétricafsobreR2.Demostrarqueƒesnodegeneradasi,ysolosi,b2-4acal=0.
4.SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreunsubcuerpoFdelosnúmeros
complejosyseaSelconjuntodetodaslasformasbilinealessimétricassobreV.
(a)DemostrarqueSesunsubespaciodeL(V,V,F)_
(b)HallardimS.
SeaQelconjuntodetodaslasformascuadrátiCaSS0bf€V.
(c)DemostrarqueQesunsubespaciodelespaciodetodaslasfuncionesdeVenF.
(d)DescribirexplícitamenteunisomorfismoTdeQsobreS,sinreferenciaaunabase.
(e)SeaUunoperadorlinealsobreVyqunelementodeQ.Mostrarquelaigualdad
(U†q)(cx)=q(Ucx)defineunaformacuadráticaUiqsobreV.
(f)Si'UesunoperadorlinealsobreV,demostrarquelafunciónU†definidaenla
parte(e)esunoperadorlinealsobreQ.DemostrarqueU†esinversiblesi,ysolosi.Ues
inversible.
5.SeaqlaformacuadráticasobreR2dadapor
¢l(93t,$2)=aílïiil'253511132'l'033%;09€0-
HallarunoperadorlinealinversibleUsobreR2talque
(U†9)(rvt,2:2)=mi+(0-%2)1'š-
(Sugerencia:ParahallarU"i(yluegoU)completarelcuadrado.ParaladefinicióndeU†
véaseparte(e)delEjercicio4.)
6.SeaqlaformacuadráticasobreR2dadapor
q(:t:,,1:2)=2b:l'¡:c2_
HallarunoperadorlinealinversibleUsobreR2talque
(U†q)(<›;,,$2)=zbfi-2bxš.
7_SeaqlaformacuadráticasobreR3dadapor
(](ïl7l›T2,ffs)=131232+2I1$ail'37%-
HallarunoperadorlinealinversibleUsobreR2'talque
(U†q)(xl,2:2,2:3)=1:2-122-l-J:š_

387. 3(›H Algebralineal
(Sugerencia:ExpresarUcomoproductodeoperadoresanálogosalosusadosenelEjer-
cicio5y6.)
8.SeaAunamatrizsimétricanxnsobreR,yseaqlaformacuadráticasobreR"dada
por
(](íl71,...,In)= Á¡¡íl7¿íl7¡.
1.]
GeneralizarelmétodousadoenelEjercicio7parademostrarqueexisteunoperadorlineal
inversibleUsobreR"talque
(U†q)(<›;,,___,en=É:cas?
t=l
dondec,es1,-1,00,i=1,___,n.
9.SeafunaformabilinealsimétricasobreR".UsandoelresultadodelEjercicio8,de-
mostrarqueexisteunabaseordenada(Btalque[f]¿Besdiagonal.
I0.SeaVelespaciovectorialrealdetodaslasmatrices(complejas)hermíticas2x2,
estoes,matricescomplejas2x2,A,quecumplenA,-J=ÃJ-,_
(a)Demostrarquelaigualdadq(A)=detAdefineunaformacuadráticaqsobreV.
(b)SeaWelsubespaciodeVdelasmatricesdetraza0.Demostrarquelaformabili-
nealfdeterminadaporqesnegativamentedefinidaenelespacioW
ll.SeanVunespaciovectorialdedimensiónfinitayfunaformabilinealsimétricano
degeneradasobreV.Demostrarque,paratodooperadorlinealTsobreV,existeunúnico
operadorT'sobreVtalquef(Ta,B)=f(cx,T'B)paratodooz,BdeV.Demostrartam-
biénque
(T1T2)'=TÉTÍ
(c¡T¡-I-c2T2)'=c,T{+c2T§
(T')'=T.
¿CuántodeloanteriorsiguesiendoválidosinlasuposicióndequeTesnodegenerada?
12.SeanFuncuerpoyVelespaciodelasmatricesnx1sobreF.SupóngasequeAes
unamatriznxndadasobreFyquefeslaformabilinealsobreVdefinidaporf(X,Y)=
X'AY.Supóngasequefessimétricaynodegenerada.SeaBunamatriznxnsobreFy
TeloperadorlinealsobreVqueaplicaXenBX_HallareloperadorT'delEjercicio11.
13.SeanVunespaciovectorialdedimensiónfinitayfunaformabilinealsimétricano
degeneradasobreV.Asociadoafhayunisomorfismo«natural››deVsobreelespacio
dualV*;esteisomorfismoes_latransformaciónLJdelaSección10.1.UsandoLJ,demos-
trarqueparacadabase(B={ot,,___,a,,}deVexisteunaúnicabase(B'={ot1,___,cx,',}
deVtalquef(ot,,og)=ö,J-_MostrarentoncesqueparatodovectorcxdeVsetieneque
Of=§f(¢1,¢1í)a=-=Zf(a-,fllaí-
l4.SeanV,f,(By(B'comoenelEjercicio13.SupóngasequeTesunoperadorlineal
sobreVyqueT'eseloperadorqueƒasociaaTcomoenelEjercicio11.Demostrarque
(8)[T']<s'=lT]âa-
i(b)tf(T)=tr(T')=2_ìf(T¢r.-,dí)-

388. I-'armasInlimwlt-.t ,mo
I5_ScanV,_/,(By(B'comoenelEjercicio13.Supóngaseque[j]¿B=A.l)emostrarque
Gi=É(A_i)fi'0fi1=E(A`i)ffa;-
2 1
I6.SeanFuncuerpoyVelespaciodelasmatricesnx1sobreF.Supóngaseqm;A,_-__,
unamatriznxninversibleysimétricasobreFyquefeslaformabilinealsobreVd,;_-¡¡n¡-
daporf(X,Y)=X'AY.SeanPunamatrizinversiblenxnsobreFy(BlabasedeVque
consisteenlascolumnasdeP.Hacerverquelabase(B'delEjercicio13constadelaseo-
lumnasdelamatrizA`i(P')"i_
17.SeanVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreuncuerpoFyflaformab¡|¡-
nealsimétricasobreV.ParacadasubespacioWdeV,seaWielconjuntodetodoslosvw-
toresotdeVdemodoqueƒ(ot,B)=0paratodoBdeW.Demostrarque
(a)Wiesunsubespacio.
(b)V={0}i_
(c)Vi={0}si,ysolosi,fesnodegenerada.
(d)rangof=dimV-dimVi
(e)SidimV=nydimW=m,entoncesdimWi2n-m.(Sugerencia:Sea{B,,___,
B,,}unabasedeWyconsidéreselaaplicación
01->(f(a.B1).---,f(¢1.B».))
deVenF"').
(f)LarestriccióndefaWesnodegeneradasi,ysolosi,
WF)Wi={0}_
(glV=WE9Wisi,ysolosi,larestricciondefaWesnodegenerada_
18.SeanVunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreCyfunaformabilinealsime-
tricanodegeneradasobreV.DemostrarqueexisteunabaseG3deVtalque(B'=(]3_(V¿¿,,,,,.
Ejercicio13paraladefiniciónde03'.)
10.3.Formasbilinealesantisimétricas
Entodaestasección,VseráunespaciovectorialsobreunsubcuerpoFdel
cuerpodelosnúmeroscomplejos.UnaformabilinealfenVsellamaa¡,¡¡5¡_
métricasif(oc,B)=-f(B,oc)paratodoslosvectoresoc,BdeV.Sedemostrará
unteoremaqueserefierealasimplificacióndelamatrizdeunafonnabilineal
antisimétricasobreunespaciodedimensiónfinitaV.Primero,seharánalgunas
observacionesgenerales.
SupóngasequefescualquierformasobreV.Sisehace
9(a,B)=å[f(0f.B)+f(B.f1)]
h(0f.B)=%[f(0f,B)_f(B›00]
entoncesesfácilverificarquegesunaformabilinealsimétricasobreVyque
hesunaformabilinealantisimétricasobreV.Tambiénquef=g+li.Además,
estaexpresióndeV,comosumadeunaformasimétricayunaantisimétrica,
esúnica.AsíelespacioL(V,V,F)essumadirectadelsubespaciodelasformas
simétricasydelsubespaciodelasformasantisimétricas.

389. 370 .4l_t:el›ralineal
SiVesdedimensiónfinita,laformabilineal/'esantisimétricasi,ysolosi.
su.matrizAenalguna(oentoda)baseordenadaesantisimétrica,A'=-A.
Estosedemuestradelmismomodoquesedemostróelcorrespondientehecho
respectoalasformasbilinealessimétricas.Cuando_/esantisimétrica.lamatriz
defencualquierbaseordenadatendrátodossuselementosenladiagonal
igualesa0.Estocorrespondealaobservacióndequef(a,ot)=-0paratodoa
deV.yaquef(a,oz)=-f(oz,oc).
SupóngasequefesunaformabilinealantisimétricanonulasobreV.Como
f=)ë0,,existenvectoresot,BdeVtalesquef(oz,B)+0.Multiplicandoozporun
escalarapropiado,sepuedesuponerquef(a,B)=1.Seaycualquiervector
delsubespaciogeneradoporocyB,porejemplo,7=ca+dB.Entonces
f('r,0)=f(Ca+dl?,Of)=df(B,Of)=-d
f(^r,B)=f(0a+dB.6)=Cf(a,6)=0
yasí
(10-7) 'Y=f(1,6)@-f(1.a)B-
Enparticular,obsérvesequeocyBsonnecesariamenteindependientes:enefecto,
si'y-=0,entoncesf('y,ot)=f(*y,B)=0.
SeaWelespaciobidimensionalgeneradoporcxyB.SeaWielconjunto
detodoslosvectoresôdeVtalesquef(ö,ot)=f(ö_B)=0;estoes,elconjunto
detodoslosötalesquef(ö,y)=0paratodo'yenelsubespacioW.Seafirma
queV=WEBWi.Enefecto,seaecualquiervectordeVy
'Y=f(f›5)@_f(e,a)B
5=e-7.
EntoncesyestáenW,yöestáenWi,para
,f(ô›a)=ƒ(6_f(esB)a+ƒ(¿› a)ô›a)
=f('f›Of)-l-f(¢›Ofi)f(B›O)
=0
yenformaanáloga,f(ö,B)=0.Así,pues,todoedeVesdelaformae='y+ö
conyenWyôenWi.De(9-7)esclaroqueWHWi={0},yasíV=WEBWi.
AhoralarestriccióndefaWiesunaformabilinealantisimétricasobreWi.
Estarestricciónpuedeserlaformacero.Sinoesésteelcaso,existenvectores
1'yB'enWitalesquef(ot',B')=l.SiW'eselsubespaciobidimensional
generadoporoz'yB',entoncessetendráque
V=VVGBI-V'Q-)Wo
dondeW,,eselconjuntodetodoslosvectoresôdeWitalesquef(oz',ö)=
f(B',6)=0.SilarestriccióndefaWOnoeslaformacero,sepuedenelegir
vectoresot",B"enW,,talesquef(oz",B")=1,ysesigueasi.
Enelcasodedimensiónfinita,seobtieneinmediatamenteunasucesión
finitadeparejasdevectores
(al:61):(a2:62):-°°1(alfaBE)

390. I-tumasIultnmlcs 17]
conlassiguientespropiedades:
1 1,ii il,...,k.
(btft@-_.«_-›=fui,tf,-›=ft«__fi,›=0.1+1.
(c)SiWJ-eselsubespaciobidimensionalgeneradoporozJ-yBJ-,entonces
V=WJ@ @WJJ@W0
dondetodovectordeW,,es«ortogonal››atodoslosozJ-yBJ-,ylarestriccióndc
faW,,eslaformacero.
Teorema6.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreunsul›cu:'rpo
delosnúmeroscomplejosyseafunaformabilinealantisimétricasobreV.Enton-
ceselrangordefespar,ysir=2k,existeunabaseordenadadeVenquelama-
trizdefessun-zadirectadelamatrizcero(n-r)x(n-r)ykmatrices2x2
igualesa
Ii0l]_
-10
Demostración.Seanot,,B,____,uk,B,,losvectoresquesatisfacenlascon-
dicionesantcriores(a),(b)y(c).Sea{'y,,___,'ys}cualquierbaseordenadadel
subespacioWO.Entonces
(B={a1›61)a2)62)~'°›abBb'Yls---178)'
esunabaseordenadadeV.Por(a),(b)y(c)esinmediatoquelamatrizde/en
labaseordenada03essumadirectadelamatrizcero(n-2k)x(n-2It)y
kmatrices2›<2igualesa
(10-8) L?
Además,esclaroqueelrangodeestamatrizy,portanto,eldefes2k_I
Unaconsecuenciadeloanterioresquesifesunafomiabilinealantistmc
tricanodegeneradasobreV,entoncesladimensióndeVdebeserpatSt
dimV=2k,existiráunabaseordenada{oz,,B,,___,ak,B,,}deVtalque
f(O='›51')={?,Tí
_-c
f(a-,af)=f(l3.-,6,)=0-
Lamatrizfenestabaseordenadaessumadirectadekmatricesantisitnetricas
2x2comola(10-8).Seobtieneotraformacanónìcaparalamatrizdeuna
formaantisimétricanodegeneradasi,envezdelabaseordenadadadaanterior-
mente.seconsideralabaseordenada
{al;-~-gahfllu--'IB1}'
Ellectorhallaráfácilverificarquelamatrizdefenlaúltimabaseordenada
tienelaformabloque

391. 374 .fllgrlvmhmul
que«prcscrvan›.›f_Elconjuntodetodaslasmatrices[7']w.dondeTesunupc-
radorlinealquepreserva_/Qserágrupoparalamultiplicaciónmatricial.Ilzty
otradescripcióndeestegrupodematrices,yeslasiguiente.SeaA=[J/"jm,
dcmodoquesicxy¡BsonvectoresdeVconlasrespectivasmatricesdecoordcs
nadasXeYrespectodeG3,setendráque
f(a,B)=X'AY-
SeaTcualquieroperadorlinealsobreVyM=[T]¿B.Entonces
f(Ta,TI3)=(MX)'A(MY)
=X'(M'AM)Y.
Portanto,Tpreservafsi,ysolosi,M'AM=A.Entonces,enlenguajematricial,
elTeorema7dicelosiguiente:siAesunamatrizn›<ninversible,elconjunto
detodaslasmatricesn›<n,M,talesqueM'AM=Aesgrupoparalamulti-
plicaciónmatricial.SiA= entoncesMestáenestegrupodematrices
si,ysolosi,M=[T]¿B,dondeTesunoperadorlinealquepreservaƒl
Antesdeveralgunosejemplosqueremoshacerunaobservaciónmás.Supón-
gasequeƒesunaformabilinealsimétrica.UnoperadorlinealTpreservaf
si,ysolosi,Tpresen/alaformacuadrática
=ƒ(a›O5)
asociadaa.f.SiTpreservaf,ciertamentetenemosque
q(Ta)=f(Ta.Ta)=f(a,Of)=41(0)
paratodoozdeV.Recíprocamente,comofessimétrica,laidentidaddepo-
larización
f(a,B)=ìq(a+6)-%<1(fl-6)
muestraqueTpreservafcontalqueq(T¬,-)=q(¬,')paratodo¬,-dcV.(Seestá
suponiendoaquíqueelcuerpoescalaresunsubcuerpodelosnúmeroscom-
plejos.)
Ejemplo6.SeaVelespacioR"oC".Seaflaformabilineal
.f(a¶ =_21Ijyj
,=.
dondeoz=(x,,__.,x,,')y¡B=(yl,._.,y,,).Elgrupoquepreservafesllamado
grupoortogonal(realocomplejo)n-dimensional.Elnombrede«grupoorto-
gonal»máscorrientcmenteseaplicaalgrupoasociadodematricesenlabaseorde-
nadacanónìca.ComolamatrizdefenlabasecanónìcaesI.estegrupoconsiste
enlasmatricesMquecumplenM'M=I.Unamatrizasisellamamatrizortogonal
nxn(realocompleja).Losdosgruposortogonalesnxnsedesignanco-
rrientementeporO(n,R)yO(n,C).Naturalmente.elgrupoortogonalestam-
biénelgrupoquepreservalaformacuadrática
0(:c¡,...,:c,¬,)=fcÍ+ -|-1:2.

392. Fmmuslnlm«'ul¢'\ Í75
lijcmplo7.Sea_/`laformabilinealsimétricasobreR"conformacua-
tlrzitica
p n
q(x1¶--°›1:11):E _* 2 -Íš-
.i=1 J'=z›+l
lìntoncesfesnodegeneradaytienesignatura2p-n.Elgrupodematricesque
preservanunaformadeestetiposellamagruposeudoortogonal.Cuandop=n
setieneelgrupoortogonalO(n,R)comountipoparticulardegruposeudo-
ortogonal.Paracadaunodelosn+lvaloresp=0,1,2,.._,nseobtienen
formasbilinealesfdiferentes;sinembargo,parap=kyp=n-klasformas
sonopuestasunadeotraytienen,pues,elmismogrupoasociado.Asi,cuando
nesimpar,setienen(n+1)/2gruposseudoortogonalesdematricesn›<n,
ycuandonespartenemos(n+2)/2detalesgrupos.
Teorema8.SeaVunespaciovectorialdedimensiónnsobreelcuerpode
losnúmeroscomplejosyseafunaformabilinealsime'tricanodegeneradasobre
V.Entonceselgrupoquepreservafesisomorfoulgrupoortogonalcomple-
joO(n,C).
Demostración.Porsupuesto,unisomorfismoentredosgrupossignifica
correspondenciabiunívocaentresuselementosque«preservan››laoperación
degrupo.SeaGelgrupodelosoperadoreslinealessobreVquepreservanla
formabilinealfComofessimétricaynodegenerada,elTeorema4diceque
existeunabaseordenadaG3deVenlaque_festárepresentadaporlamatriz
identidadn›<n.Portanto,unoperadorlinealTpreservafsi,ysolosi,sumatriz
enlabaseordenadaG3esunamatrizortogonalcompleja.Luego
T-›[T](B
esunisomorfismodeGsobreO(n,C).
Teorema9.SeaVunespaciovectorialcledimensiónnsobreelcuerpode
losnúmerosrealesyseafunaformabilinealsimétricanodegeneradasobreV.
Entonceselgrupoquepreservafesisomorfoaungruposeudoortogonaln><n.
Demostración.RepetirlademostracióndelTeorema8,usandoahorael
Teorema5envezdel4.I
Ejemplo8.SeaflaformabilinealsimétricasobreR4conlaformacua-
drática
q(x›Í/›zxt)=tzT«'32"`Í/2_32-
UnoperadorlinealTsobreR4quepreservaestaformabilineal(ocuadrática)
particular,sellamatransformacióndeLorenltz,yelgrupoquepreservafse
llamagrupodeLorentz.Heaquíunmétodoparadescribiralgunastransfor-
macionesdeLorentz. '
SeaHelespaciovectorialrealdelasmatricescomplejas2x2,A,hermíti-
cas,A=A*.Esdefacilverificaciónque

393. 37(l s|l_t¦t'lII'Ulfllflll
<r›e~,y,z,¢›=['+'Í`-"+"^*]
y-zz t-.12
defineunisomorfismo(DdeR4sobreelespacioH.Poresteisomorfismola
formacuadrática0seaplicasobrelafuncióndeterminante,estoes
_ t+:t:y+-iz]
q(x›y›z› t_x
O
q(a)=det<1>(a).
LocualsugierequesepuedenestudiarlastransformacionesdeLorentzsobre
R4estudiandolosoperadoreslinealessobreHquepreservandeterminantes.
SeaMunamatrizcompleja2x2,yparaunamatrizhermítieaA,definase
UM(A)=MAM*.
Ahorabien,MAM*estambiénhermítiea.Partiendodeestoesfácilverque
UMesunoperadorlineal(real)sobreH.VeamoscuándoesciertoqueUM«pre-
serva››determinantes;esdecir,detUM(A)=detAparatodaAdeH.Como
eldeterminantedeM*eselcomplejoconjugadodeldeterminantedeM,se
veque
(let[(rM(/1)] =|detlllI2d€l›
AsíqueUMpreservadeterminantesprecisamentecuandodetMtienevalor
absoluto1.
Asíquetomandoahoraunamatrizcompleja2x2,M,paralaque
|detM|=1,entoncesUMesunoperadorlineasobreHquepreservadeter-
minantes.Sedefine
TM=4»-1U,,,<1›.
Como(Desunisomorfismo,TMesunoperadorlinealsobreR4.También,TMes
unatransformacióndeLorentz;enefecto,
<1(TMa)=q(<I>-'UM<I>a)
=(IGÍJ(q>(I)_1[¡¡j¡q3(l)
=(let(U,-,¡<I>a)
=det($01)
=q(a)
y-deestemodoTMpreservalaformacuadráticaq.Utilizandomatrices2x2,M,
específicas,sepuedeemplearelmétodoanteriorparacalculartransformaciones
deLorentzespecificas.Doscomentariosalrespecto,quenosondifícilesde
verificar.
(1)SiM1yM2sonmatrices2x2,inversiblesconelementoscomple-
jos,entoncesUM,=`UM,si,ysolosi,M2esunmúltiploescalardeM,.Asi,
todolodelastransformacionesdeLorentzvistasanteriormentesepuedeobte-
nerdelasmatricesunimodularesM,estoes,dematricesMquesatisfacen

394. I"nrmu.sl›il:m'uli's 377
det/ll=l.SiM,yM2sonmatricesunimodularestalesqueM,=#M2y
M1qé-M2,entoncesTM!qéTMZ.
(2)NotodatransformacióndeLorentzsepuedeobtenerporelméto-
doanterior.
Ejercicios
I.SeaMunelementodelgrupoortogonalcomplejoOtn.Cl.MostrarqueM'.
MyM*=.-fl'tambiénpertenecenaOln.C).
2.SupóngasequeMperteneceaO(n,C)yqueM'essemejanteaM.¿Pertenece.lI`tam-
biénaO(n.C)?
3.Sea
fl
?/1':2Íllikílfk
k=l
dondeMesunelementodeO(n,C).Demostrarque
2w=Efi-
1 1
4.SeaMunamatri¿nxnsobreC"concolumnasM,,M2,.__.M,,.DemostrarqueM
perteneceaO(n,C)si.ysolosi,
=ôjk.
5.SeaXunamatriznxlsobreC_¿,EnquecondicionesOln.(`)contieneunamatriz
l-IcuyaprimeracolumnaesX?
6.HallarunamatrizenO(3.C)cuyaprimerafilaes(2i,2i,3).
7.ScanVelespaciodetodaslasmatricesnxlsobreCy_/'laformabilinealsobreV
dadaporf(X,Y)=X'Y.SeaMpertenecienteaO(n,C).¿Cuáleslamatrizde_/`enlabase
deVformadaporlascolumnasM¡,M2, M,,deM'.'
8.SeanXunamatriznxlsobreCtalqueX'X=leY_¡laj-ésimacolumnadelamatriz
unidad.DemostrarqueexisteunamatrizMenO(n,C)talqueMX=I]-.SiXtieneele-
mentosreales,mostrarquehayunaMenO(n.C)conlapropiedaddequeMX=I_¡.
9.SeanVelespaciodetodaslasmatricesnx1sobreC,AunamatriznxnsobreCy
/`laformabilinealsobreVdadapor_/IX.Y)=X'AY.Demostrarque/`esinvariantepor
Otn.Cl;esdecir,_/`(MX,MY)=_/'(X,Y)paratodoX,Ydelr'yMenO(n,C)si,ysolosi,
AconmutaconcadaelementodeO(n,C).
I0.SeanScualquierconjuntodematricesnxnsobreCyS'elconjuntodetodaslas
matricesnxnsobreCqueconmutanconcadaelementodeS.DemostrarqueS'esun
álgebrasobreC_
ll.SeanFunsubcuerpodeC,VunespaciovectorialdedimensiónfinitasobreFy_/una
formabilinealnosingularsobreV.SiTesunoperadorlinealsobreVquepreserva_/Lde-
mostrarquedetT=±l.
I2.SeanFunsubcuerpodeC,Velespaciodelasmatricesnx1sobreF,Aunamatriz
nxninversiblesobreFy/'unaformabilinealsobreVdadaporf(X,Y)=X'AY.SiMes
unamatriznxnsobreF,demostrarqueMpreservafsi,ysolosi,A"'M'A=M'_

395. J'N /Il_|:¢'l›mltm-ul
I3.Seagunaformabilinealnosingularsobreunespaciovectorialdcdimensiónfinita
l`.SupóngasequeTesunoperadorlinealinversiblesobreVyque_/cs.laformabilineal
sobreVdadaporf(ot_li)=g(oz,Tlf).SiUesunoperadorlinealsobreV,hallarcondicio-
nesnecesariasysuficientesdeUparapreservarjl
I4_SeaTunoperadorlinealsobreC2quepreservalaformacuadráticaxf-xš.Demos-
trarque
(a)det(T)=±l.
(blSiMeslamatrizdeTenlabasecanónìca,entoncesM22=±M,,,M2,=±M,2,
I1Iãl`_ 1 1.
(e)SidetM=l,entoncesexisteunnúmerocomplejononuloctalque
,+1,,_1
1 c c
1 '
c- c~l-1
C C
(d)SidetM=-1,entoncesexisteunnúmerocomplejoctalque
1 c c
M=- °
2 1 1
._¿+___c_
c c
IS.SeaflaformabilinealsobreC2definidapor
f((331›172)›(UhU2»=;z:¡y2-2322/1-
Demostrarque
(a)SiTesunoperadorlinealsobreC2,entonces_/'(_'l`oz,T/f)=(detT)f(ot,ll)para
todoaz,/1'enC2.
(b)Tpreservaƒsiysolosi.detT=±l.
(c)¿Quédice(b)respectoalgrupodematrices2x2,M,talesqueM'AM=A,donde
019
A_[_10].
I6.Seanunenteropositivon,IlamatrizunidadnxnsobreCyJlamatriz2nx2n
dadapor
0I
J=ji-I0]'
SeaMunamatriz2nx2nsobreCdelaforma
AB
11=
I[0D]
conA.B,C,Dmatricesn›<nsobreC.HallarcondicionesnecesariasysuficientesdeA,
B,C,DparaqueM'JM=J.
I7.HallartodaslasformasbilinealessobreelespaciodelasmatricesnxIsobreRque
soninvariantesporO(n,R).
18.Hallartodaslasformasbilinealessobreelespaciodelasmatricesn›<l,sobreCque
soninvariantesporO(n,C).

396. Apéndice
Esteapéndicesedividelógicamenteendospartes.Laprimera,queabarca
lasprimerastressecciones,contieneciertosconceptosfundamentalesqueapa-
recenalolargodellibro(enrealidad,alolargodelamatemática).Esmásbien
unaintroducciónparaellibroqueunapéndice.Lasegundaparteesmásge-
nuinamenteunapéndicealtexto.
LaSección1contieneunestudiosobrelosconjuntos,susunioneseinter-
secciones.LaSección2analizaelconceptodefunciónylasideasrelacionadas
deimagen,dominio,funciónrecíprocayrestriccióndeunafunciónaunsub-
conjuntodesudominio.LaSección3tratadelasrelacionesdeequivalencia.
Lamateriaenestastressecciones,especialmenteladelasSecciones1y2,está
presentadademodountantoconciso.Setratamásbiendeunconveniosobre
terminologíaquedeunaexposicióndetallada.Enestrictosentidológico,este
materialconstituyeunapartedelosrequisitosparalalecturadellibro;sin
embargo,ellectornodebedescorazonarsesinocaptacompletamenteelsigni-
ficadodelasideasensuprimeralectura?Estasideassonimportantes,peroal
lectorquenoestédeltodofamiliarizadoconellasileserámásfácilabsorberlas
sirevisalaexposicióndevezencuando,mientrasleeeltextopropiamente.
LasSecciones4y5serefierenalasrelacionesdeequivalenciaenelcontexto
delálgebralineal.LaSección4contieneunbreveestudiodelosespaciosco-
cientes.Puedeserleídoencualquieroportunidad,despuésdelosprimeros
dosotrescapítulosdellibro.LaSección5tratabrevementealgunasdelasre-
lacionesdeequivalenciaquesepresentanenellibroypretendemostrarcómo
algunosdelosresultadosdellibrosepuedeninterpretardesdeelpuntodevista
delasrelacionesdeequivalencia.LaSección6describeelaxiomadeelección
ysusimplicacionesparaelálgebralineal.
379

397. f-'1'U .-1l_i:¢'l›rnlinml
A.I.Conjuntos
Usaremoslasexpresiones«conjunto››,«clase››,«co|ección››y«t`amilia››in-
distintamente,aunquedamospreferenciaa«conjunto››_SiSesunconjunto
yxesunobjetodelconjuntoS,sediráquexesunmiembrodeS,quexesun
elementodeS,quexperteneceaS0simplementequexestáenS.SiStiene
solounnúmerofinitodeelementos,x,,____x,,.sesueleenunciarSdisponiendo
suselementosentreparéntesis:
S:{.E1,...,.lI,,}.
AsíelconjuntoSdelosenterospositivosde1a5será
2;!
--H
1
_.Í 's_-,1,2,s,-4,
SiSyTsonconjuntos,diremosqueSesunsubconjuntodeToqueSestá
contenidoenT,sitodoelementodeSesunelementodeT.TodoconjuntoSes
subconjuntodesímismo.SiSessubconjuntodeT,peroSyTnosonidénticos,
diremosqueSessubconjuntopropiodeT.Enotraspalabras,Sessuoconjunto
propiodeTsiemprequeSestécontenidoen'T,peroTnoestecontenidoenS.
SiSyTsonconjuntos,launióndeSyTeselconjuntoSUTqueconsta
detodoslosobjetosxquesonelementosdeSoT.LainterseccióndeSyTes
elconjuntoSOT,queconstadetodoslosxquesonelementosdeSydeT.
Paradosconjuntoscualesquiera,SyT,laintersecciónSÑTesunsubcon-
juntodelauniónSUT.Estodebecontribuiraaclararelusodelapalabra«o››
queprevaleceráenestelibro.CuandosedicequexestáenS0enT,noseex-
cluyelaposibilidaddequexestéenambos,S.yT.
ParaquelainterseccióndeSyTseasiempreunconjuntoesnecesarioque
seintroduzcaelconjtmtovacío,esdecir,elconjuntosinelementos.Entonces
SHTeselconjuntovaciosi,ysolosi,Sy'I'notienenelementosencomún.
Amenudosenecesitaráconsiderarlauniónointerseccióndevarioscon-
Il
juntos.SiS1,__.,S,,sonconjuntos,suunióneselconjuntoUS,-queconsta
j'-l
detodoslosxquesonelementosdealmenosunodelosconjuntosS,,_._,S,,.
U
Suinterseccióneselconjunto(WSJ-queconstadetodoslosxquesonelementos
j=1
decadaunodelosconjuntosS1.._.,S,,_Enunaspocasocasionestendremos
queverconlauniónointerseccióndeunacoleccióninfinitadeconjuntos.Debería
quedarclarocómotalesunioneseintcrseccionesestándefinidas.Elsiguiente
ejemploaclararáestasdefinicionesyunanotaciónparaellas.
Ejemplo1.SeaRelconjuntodetodoslosnúmerosreales(elejereal).
SitestáenR,seasociacontunsubconjuntoS,deRdefinidodelasiguiente
forma:S,constadetodoslosnúmerosrealesxquenosonmenoresqueI.
(a)SnUSu=S,,donde1eselmenorentre1,y12.
(b)SuHSU=S,,dondeteselmayorentre1,y12.

398. .-I¡›¢"mln'¢- ISI
(c)SeaIelintervalounidad,estoes,elconjuntodetodoslostenR
paralosque05t5l.Entonces
UIS: =S0
Ñ,S,=S1.
A.2.Funciones
Unafunciónconstadelosiguiente:
(I)unconjuntoX,llamadodominiodelafunción;
(2)unconjuntoY,llamadocodominiodelafunCiÓI1;
(3)unarelación(ocorrespondencia)f,queasocia21Cada€lcm€I1I0Xdc
Xunsoloelementof(x)deY.
Si(X,Y,f)esunafunción,sedicetambiénque_/esunafuncióndeXenY.
Estonoesdeltodocorrecto,yaquenoesfquieneslafunción;fGSlaleyC1@
lafunción.Sinembargo,esteusodelmismosimboloparalafunciónysuley
proporcionaunmediomuchomásmanejableparahablarS0lI>f€fl1nCi0fl€S.ASÍ
sediráque_/`esunafuncióndeXenY,queXeseldominiodefyqueY
eselcodominiodef--todoestoquieredecirque(X,Y,f)cSunafuncióncomo
sedefinióanteriormente.ExistenotrasexpresionesquecomúnmenteScUSarán
enlugarde«función››.Algunasdeéstasson«transformación››,<<0P€fHd0f>›
y«aplicación››.Talesexpresionesseusaránencontextosdondeseanmásapro-
piadasenconsideraciónalpapelquedebedesempeñarunafunciónparticular.
SifesunafuncióndeXenY,elconjuntodeimágen0S(0ÍlllagellldefGS
elconjuntodetodoslosf(x),conxdeX_Enotraspalabras,laimagendef
constadetodosloselementosydeYtalesquey=f(x)paraalgúnxdeX_Si
laimagendefestodoY,sediráquefesunafuncióndeXsobreYosimple-
mentequefessobreyectiva.Laimagendefserepresentaamenudoporf(X).
Ejemplo2.ta)SeaXelconjuntodelosnúmerosrealesyseaY=X.
SeaflafuncióndeXenYdefinidaporf(x)=xl.Laimagendefeselcon-
juntodetodoslosnúmerosrealesnonegativos.AsíquefnoCSSobrcycctiva.
(b)SeaXelplanoeuclidiano,eY=X.Defínasefcomosigue:siPes
unpuntodelplano,entoncesf(P)eselpuntoobtenidoporrotacióndePen90
(entornoalorigen,enladirecciónantirreloj).ElrecorridodefestodoY.cs
decir,elplanoentero.yasifessobreyectiva.
(c)SeaotravezXelplanoeuclidiano.Seintroduceunsistemadecoorde-
nadasenX,comoengeometríaanalítica,pormediodedosrectasperpendicu-
laresparaidentificarlospuntosdeXconparesordenados(xl,xz)denúmeros
reales.SeaYelejexl,estoes,todoslospuntos(x1,xz)conx2=0.SiPesun
puntodeX,seaf(P)elpuntoobtenidoalproyectarPSobrcclcjcX1,paralc-
lamentealejex2.Esdecir,f(x1,xz)=(xl,0).LaimagendefestodoY,por
loquefessobreyectiva.
¢;_

399. .l.'l.' .-Ilgrlirullmul
\
(d)SeaXelconjuntodelosnúmerosrealesyseaYelconjuntodelosnú-
merosrealespositivos.SedefineunafunciónƒdeXenYporf(x)=e".Enton-
cesfesunafuncióndeXsobreY.
(e)SeanXelconjuntodelosnúmerosrealespositivoseYelconjunto
delosnúmerosreales.Seaƒlafunciónlogaritmonatural,estoes,lafunción
definidaporf(x)=logx=lnx.Aquítambiénfessobreyectiva,esdecir,
todonúmerorealesellogaritmonaturaldealgúnnúmeropositivo.
SupóngasequeX,YyZseanconjuntos,queƒseaunafuncióndeXenYy
quegseaunafuncióndeYenZ.Existeunafuncióng0ƒdeXenZasociada
conƒyg,llamadacomposicióndegyƒ.Estádefinidapor
(3°f)(X)=3(f(X))-
Comounejemplosimple,seaX=Y=Zelconjuntodelosnúmerosreales,
seanƒ,g,hlasfuncionesdeXenYdefinidaspor
f(x)=21”,ytfv)=2',h(w)=ef'
yentoncesh=.g0fLacomposicióng0ƒserepresentaamenudosimple-
menteporgf;sinembargo,comoindicaelejemploanterior,hayvecesenque
estoseprestaaconfusiones.
Unproblemadeinteréseselsiguiente.Supóngaseque_/'esunafunción
deXenY.¿_CuándoexisteunafuncióngdeYenXtalqueg(/`(x))=xparatodo
xdeX?SiserepresentaporIlafunciónidentidadenX,estoes,lafuncióndeXen
Xdefinidapor1(x)=x,sepregunta:¿cuándoexisteunafuncióngdeYen
Xtalqueg0ƒ=I?Enformasomera,sequiereunafuncióngque«envíecada
elementodeYalsitiodedondeproviene».Paraquetalfuncióngexista,fdebe
serevidentementeinyectiva,estoes,ƒdebetenerlapropiedaddequesix1=/=xz,
entoncesf(x,)=/=f(x2).Siƒesinyectiva,talfuncióngexiste.Seladefinecomo
sigue:seayunelementodeY.Siyestáenlaimagendeƒ,entoncesexisteun
elementoxdeXta!quey=f(x);ycomoƒesinyectiva,existeexactamente
unxconesapropiedad.Sedefineg(y)=x.Siynoestáenlaimagendefse
defineg(y)comocualquierelementodeX.Obviamentetenemosentoncesque
s'0f=1- _,
SeafunafunciónXenY.Sedicequeƒesinversiblesiexisteunafunción
gdeYenXtalque -
(1)g0feslafunciónidentidadenX,
(2)f0geslafunciónidentidadenY. ._
Acabamosdeverquesiexisteunafuncióngquesatisface(1),entoncesƒes
inyectiva.Enformasemejantesepuedeverquesiexisteunagquesatisface(2),
laimagendeƒestodoY,esdecir,fessobreyectiva.Así,sifesinversible,fes
inyectivaysobreyectiva.Recíprocamente,sifesinyectivaysobreyectiva,existe
unafuncióngdeYenXquesatisface(1)y(2).Además,estagesúnica.Esla
funcióndeYenXdefinidaporestaley;siyestáenY,entoncesg(y)eselúnico
elementoxenXparaelquef(x)=y.

400. .dptlmlh1' .ml
Sifesinversible(inyectivaysobreyectiva),larecíprocadeƒeslafunción
únicaf1deYenXquecumple:
(l')f“'(f(x))=xparacadaxenX,
(2')f(ƒ_1(y))=yparacadayenY.
Ejemplo3.ConsidérenselasfuncionesdelEjemplo2.
(a)SiX=Y.elconjuntodelosnúmerosreales,yf(x)=x2,entonces
fnoesinversible.Enefecto.fnoesinyectivanisobreyectiva.
(b)SiX=Y,elplanoeuclidiano,yfesla«rotaciónde90°»,entonces
fesinyectivaysobreyectiva_Lafunciónrecíprocaƒ`"1esla«rotaciónde-90“"››
ola«rotaciónde270"'››.
(c)SiXeselplano,Yelejexl,yf(x1,xz)=(x,,0),entoncesƒnoesin-
versible.Enefecto,fessobreyectiva,pero_/`noesinyectiva.
(d)SiXeselconjuntodelosnúmerosreales,Yelconjuntodelosnúme-
rosrealespositivosyf(x)=e*,entoncesfesinversible.Lafunciónƒ-1es
lafunciónlogaritmonaturaldelaparte(e):loge'=x,e'°“'=y.
(e)Larecíprocadeestafunciónlogaritmonaturaleslafunciónexpo-
nencialdelaparte(d).
SeafunafuncióndeXenYyseafounafuncióndeX0enYO.Sediceque
foesunarestriccióndef(ounarestriccióndefaX0)si
(l)X0esunsubconjuntodeX,
(2)f0(x)=f(x)paratodoxdeX0.
Porsupuesto,quecuandofoesunarestriccióndef,sesiguequeYoesunsub-
conjuntodeY.Elnombrede«restricción››vienedelhechodequefyf,tienen
lamismaley,ydifierenprincipalmenteporqueseharestringidoeldominio
dedefinicióndelaleyaunsubconjuntoX0deX_
Sihemosdadolafunción_/'ycualquiersubconjuntoX0deX_hayunaforma
obviaparaconstruirunarestriccióndefaX0.Definimosunafunciónfode
X0enYpor_ƒ¿,(x)=f(x)paratodoxdeX0.Podríamospreguntarnosporqué
nodecimosqueestaeslarestriccióndefaX0.Larazónesquecuandosedis-
cutenlasrestriccionesdefsedeseatenerlibertadparacambiarelcodominio
Y.aligualqueeldominioX_
Ejemplo4-(a)SeaXelconjuntodelosnúmerosrealesyflafunción
deXenXdefinidaporf(x)=x2.Entoncesfnoesunafuncióninversible,
peroloessiserestringesudominioaldelosnúmerosrealesnonegativos.Sea
X0elconjuntodelosnúmerosrealesnonegativosyseafolafuncióndeX0
enX0definidaporf0(x)=x2.EntoncesfoesunarestriccióndefaX0.Pero
/`noesinyectivanisobreyectiva_mientrasquefoesinyectivaysobreyectiva.
Laúltimaafirmaciónsolodicequetodonúmerononegativoesraízcuadrada
deunnúmerononegativoprecisamente.Lafunciónrecíprocafo”eslafunción
deX0enX0definidaporf0_'(x)=
(b)SeaXelconjuntodelosnúmerosrealesyseaflafuncióndeXenX
definidaporf(x)=x3+x2+1.LaimagendefestodoXyfessobreyectiva.

401. f-W -Ilt-1-lu'ulun-ul
l.al`unción_/`obviaincntenoesinyectiva.vgr.,lt-l)=_/'(0).Pero_/esinyec
tivaenX0,conjuntodelosnúmerosrealesnonegativos,yaqueladerivada
de_/`espositivaparax>0.Cuandoxrecorretodoslosnúmerosnonegativos.
f(x)recorretodoslosnúmerosreales_rtalesque_r21.SisehacequeY,,sea
clconjuntodetodoslos__r2Iyquejj,sealafuncióndeX0enYO.delìnida
por_ƒ¿,(x)=f(x),entoncesfoesunafuncióninyectivadcX0sobreYO.Con-
secuentemente,_/Q,tieneunafunciónrecíproca_/¿,'deYOenX0.Cualquier
fórmulaparaf0"'(_v)esbastantecomplicada.
(c)SeaotravezXelconjuntodelosnúmerosrealesyseaƒlafunción
seno,estoes,lafuncióndeXenXdefinidaporf(x)=senx.Laimagende
feselconjuntodetodoslosytalesque-l5_rSI:luegofnoessobreyec-
tiva.Como_/'tx+21:)=f(x),vemosque_/`noesinyectiva.SisehacequeX,,
seaelintervalo*ir/25xSrc/2.entonces_/`esinyectivaenX0.SeaYOelin-
tervalo-l5j'Slysea_/0lafuncióndeX0enYOdefinidaporƒ¿(x)=sen-\'.
Entonces_/¿esunarestricciónde_ƒ'enelintervaloX0yjj,esinyectivaysobre-
yectiva.Estaesotraformadedecirque.enelintervalode-rc/2an2,lafunción
senotomatodovalorentre-lylexactamenteunavez.`Lafunción_/Q'es
lafunciónrecíprocadelseno:
_ƒ¿_1(y)=sen"1'=arcsen_r.
(d)Esteesunejemplogeneralderestriccióndeunafunción.Esunejem-
plomuchomáscaracterísticodelostiposderestriccionesqueseusaráneneste
libro,quelosanterioresejemplos(b)y(c).Elejemplo(a)es'uncasoespecial
deéste.SeaXunconjuntoy_/'unafuncióndeXensimismo.SeaX0unsub-
conjuntodeX_SedicequeX0esinvariantepor_/`siparatodoxdeX0elelemento
f(x)estáenX0.SiX0esinvariantepor_/,entonces_/`induceunafunción_/Q,de
X0ensímismo,porrestriccióndeldominiodesudefiniciónaX0.Laimpor-
tanciadelainvarianciaesqueporrestriccióndefaX0sepuedeobteneruna
funcióndeX0ensimismo,másbienquesimplementeunafunciónde
X0enX_
A.3.Relacionesdeequivalencia
Unarelacióndeequivalenciaesuntipoespecíficoderelaciónentrepares
ordenadosdeelementosenunconjunto.Paradefinirunarelacióndeequivalen-
ciadebemosverprimeroquéseentiendepor«relación››_
Ciertamente,unadefiniciónformalde«relación››deberíacomprenderre-
lacionesfamiliarescomo«x=y»,«x<_r››.«xeslamadrede_r››y«xesde
másedadque_i~››_SiXesunconjunto.¿quéesloquedeterminaunarelación
entrelosparesdeelementosdeX?Loquesenecesita,evidentemente,esuna
leyparadeterminarsi.paradoselementosdadoscualesquieraxe_i~deX.x
estáonoenlacorrespondenciadadacon_r.EsaleyRselallamaunarelación
(binaria)enX.Siqueremossermásprecisossepuedeprocedercomosigue.
SeaXxXelconjuntodetodoslosparesordenados(x,_r)deelementosenX.

402. -I¡u'-mln'c .l-\'i
Unarelaciónbinariaen.\'esunafunciónRdeXxXenelconjunto¦0,|¦.
Estocs,Rasignaacadaparordenadotx,_r)elvalorIo0.Laideaesquesi
R(x,y)=l.entoncesxestáenlacorrespondenciadadacony,ysiRtx,_v)=0,
noloestá.
SiResunarelaciónbinariaenelconjuntoXesconvenienteescribirxRv
cuandoR(x,_r)=1.UnarelaciónbinariaRsedice
(I)reflexiva,sixR.\'paratodoxdeX;
(2)simétrica,si_vR_\'todavezquexR_t';
(3)transitiva,sixR:todavezquexR_ryj'R.:.
UnarelacióndeequivalenciaenXesunarelaciónbinariaenXqueesreflexiva,
simétricaytransitiva.
Ejemplo5.(a)Encualquierconjuntolaigualdadesunarelacióndeequi-
valencia.Enotraspalabras,sixR_i'quieredecirx=_v,entoncesResunare-
lacióndeequivalencia-Enefecto,x=x,six=yentoncesy=x,six=J'
e_v=zentoncesx=:_Larelación«xak_v››essimétrica,peronoesreflexiva
nitransitiva.
(b)SeaXelconjuntodelosnúmerosrealesysupóngasequexRyquiere
decirx<y.EntoncesRnoesunarelacióndeequivalencia:estransitiva.pero
noesreflexivanisimétrica.Larelación«x5y››esreflexivaytransitiva,pero
_ ¡ 1
noessimetr1ca_
(c)SeaEelplanoeuclidianoyseaXelconjuntodetodos-lostriángulos
delplanoE.EntonceslacongruenciaesunarelacióndeequivalenciaenX;
estoes,«T12T2»(T,escongruenteconT2)esunarelacióndeequivalencia
enelconjuntodetodoslostriángulosenelplano.
(d)SeaXelconjuntodetodoslosenteros
_,-2,-1,0,1,2,.__.
Seanunenteropositivofijo.SedefineunarelaciónR,,enXpor:xR,,ysi,ysolosi
(x-y)esdivisibleporn.LarelaciónR,,sellamacongruenciamódulon.En
vezdexR,,_rescorrienteescribir
xE_r.módn (xescongruentea_vmódulon)
cuando(-\~-_i')esdivisibleporn.Paracadaenteropositivon.lacongruencia
módulonesunarelacióndeequivalenciaenelconjuntodelosenteros.
(e)SeanXeYconjuntosy_ƒ`unafuncióndeXenY.Sedefineunarela-
ciónRenXpor:x¡Rx2si,ysolosi,_/`(x,)=_/(xz).EsfácilverificarqueRes
unarelacióndeequivalenciaenelconjuntoX_Comoseverá,esteejemplopar-
ticularcomprendeenrealidadtodaslasrelacionesdeequivalencia.
SupóngasequeResunarelacióndeequivalenciaenelconjuntoX.Six
eselelementodeX.Etx;R)representaelconjuntodetodosloselementosy
deXtalesquexR_r.EsteconjuntoE(x;R)sellamalaclasedeequivalenciade
x(paralarelacióndeequivalenciaR).ComoResunarelacióndeequivalencia,
lasclasesdeequivalenciatienenlassiguientespropiedades:
1

403. “Ó :Ílj{t'lN'tlllllful
(I)Todol;`(x;R)esnovacío;encI`ccto,como\°R\',elelementoxperte-
neceaE(x;R).
(2)SeanxeyelementosdeX_ComoRessimétrica,yperteneceaE(x:R)
si.ysolosi,xperteneceaE(y;R).
(3)SixeysonelementosdeX,lasclasesdeequivalenciaE(x;R)yE(y;R)
osonidénticasonotienenelementosencomún.PrimerosupóngasequexRy_
SeazcualquierelementodeE(x;R),esdecir,unelementodeXtalquexR:.
ComoRessimétrica,setienequezRx.Porhipótesis,xRy,ypuestoqueRes
transitiva,setienezRyoyRz.EstomuestraquetodoelementodeE(x;R)es
elementodeE(y;R).PorlasimetríadeR,delmismomodopodemosverque
todoelementodeE(y;R)eselementodeE(x;R):luegoE(x:R)=E(_v:R).
Ahorabien,seafirmaquesilarelaciónxRynoesválida,entoncesE(x;R)(W
E(y;R)esvacío.Enefecto,sizestáenambasdeestasclasesdeequivalencia
tenemosquexRze_vRz,oseaxRzyzR__v_luegoxR_v.
Siffrepresentaunafamiliadeclasesdeequivalenciaparalarelaciónde
equivalenciaR,vemosque:(1)todoconjuntodelafamiliaSFesnovacio,(2)todo
elementoxdeXperteneceauno,ysolouno,delosconjuntosdelafamiliaSF,
(3)xRysi,ysolosi,xeypertenecenalmismoconjuntoenlafamiliaff.Enre-
sumen,larelacióndeequivalenciaRsubdivideaXenlaunióndeunafamilia
desubconjuntos(novacios)quenosesolapan_Elrazonamientoestambién
válidoalainversa.SupóngasequeSFesunafamiliadesubconjuntosdeXque
satisfacenlascondiciones(1)y(2)anteriores.SisedefineunarelaciónRpor(3),
entoncesResunarelacióndeequivalenciasobreXySFeslafamiliadeclasesde
equivalenciasegunR.
Ejemplo6.Veamoscuálessonlasclasesdeequivalenciasegúnlasrela-
cionesdeequivalenciaenelEjemplo5.
(a)SiReslaigualdadenelconjuntoX-entonceslaclasedeequivalencia
delelementoxessimplementeelconjunto{x},cuyoúnicoelementoesx.
~(b)SiXeselconjuntodetodoslostriángulosenelplanoyReslarelación
decongruencia,todoloquesepuededecirenprincipioesquelaclasedeequiva-
lenciadeltriánguloTconstadetodoslostriángulosquesoncongruentesconT.
Unodelosobjetivosdelageometríaplanaesdarotrasdescripcionesdeestas
clasesdeequivalencia.
(c)SiXeselconjuntodelosenterosyR,,eslarelación«congruenciamó-
dulon››,entonceshayprecisamentenclasesdeequivalencia.Cadaenteroxse
puedeexpresarunívocamenteenlaformax=qn+r,dondeqyrsonenteros
y05rSn-l.Estomuestraquecadaxescongruentemódulonaunopre-
cisamentedelosnenteros0,1,2,___,n-I.Lasclasesdeequivalenciason
E0={__.,-211,-11,0,n,2n,__.}
E1={...,1-2n,l-n,1-I-n,1-I-2n,...}
E,,_,={_._,n-1-2n,n-1-n,n-1,n-1+n,
n-1+2n,_..}.

404. .~I¡n'mll¢'t' -M'7
(d)SupóngasequeXeYsonconjuntos,funafuncióndeXenYyRes
larelacióndeequivalenciadefinidaporx¡Rx2si,ysolosif(x,)=ƒ(x2).Las
clasesdeequivalenciasegúnRsonlosmayoressubconjuntosdeXenlosquef
es«constante››.Otradescripcióndelasclasesdeequivalenciaesésta:estánen
correspondenciabiunívocaconloselementosdelaimagendef.Siyestáenla
imagendcf@elconjuntodetodoslosxdeXtalesquef(x)=yesunaclasede
equivalenciasegúnR;yestodefineunacorrespondenciabiunívocaentrelos
elementosdelaimagendefylasclasesdeequivalenciadeR.
Uncomentariomásrespectoalasrelacionesdeequivalencia.Dadauna
relacióndeequivalenciaenX,seaEFlafamiliadelasclasesdeequivalencia
segúnR.LaasociacióndelaclasedeequivalenciaE(x;R)conelelementox
defineunafunciónƒdeXenSF(enrealidad,sobreET):
/txt=Elx;R).
EstomuestraqueReslarelacióndeequivalenciaasociadaaunafuncióncuyo
dominioesX,comoenelEjemplo5(e).Loqueestoindicaesquetodarelación
deequivalenciaenelconjuntoXestádeterminadacomosigue:Setieneuna
ley(función)fqueasociaacadaelementoxdeXunobjetof(x),yxRysi,ysolo
sif(x)=_/'(_v).Ahoradebepensarseenf(x)comounapropiedaddex,demodo
queloquelarelacióndeequivalenciahace(someramentehablando)esreunir
atodosaquelloselementosdeXquetienenestapropiedadencomún.Sielob-
jetoƒ(x)eslaclasedeequivalenciadex,entoncestodoloqu"sehadichoes
quelapropiedadcomúndeloselementosdeunaclasedeequivalenciaesque
pertenecenalamismaclase.Claroesqueestonodicemucho.Porlogeneral,
haymuchasfuncionesdiferentes,fåquedeterminan,cómosehaceantes,
larelacióndeequivalenciadada,yunobjetivoenelestudiodelasrelaciones
deequivalenciaeshallarunaftalquedéunadescripciónelementalyconsen-
tidoderlarelacióndeequivalencia.EnlaSecciónA.5veremoscómosehace
estoparaalgunasrelacionesdeequivalenciaespecialesqueaparecenenelálge-
bralineal.
A.4.Espacioscocientes
SeaVunespaciovectorialsobreelcuerpoFyseaWunsubespaciodeV.
HayengeneralmuchossubespaciosW'quesoncomplementariosdeW,es
decir,subespaciosconlapropiedaddequeV=WGBW'..Sitenemosunpro-
ductointeriorsobreV,yWesdedimensiónfinita,hayunsubespacioparticular
quesepodriallamar,probablemente,subespaciocomplementario«natural››
deW.EsteeselcomplementoortogonaldeW.PerosiVnotieneotraestructura
fueradesuestructuradeespaciovectorial,nohaymododeseleccionarunsub-
espacioW'quesepudierallamarsubespaciocomplementarionaturaldeW.
Sinembargo,sepuedeconstruirapartirdeVyWunespaciovectorialV/W,
llamado«cociente››deVyW,queharádecomplementonaturaldeWÍEste
espaciococientenoesunsubespaciodeVy,portanto,nopuedeserunsubes-
paciocomplementariodeW;peroesunespaciovectorialdefinidosoloentér-

405. .lllfi Algebrallneul
minosdeVyWytienelapropiedaddequeesisomorfoacualquiersubespacio
W'queseacomplementariodeW. '
SeaWunsubespaciodeunespaciovectorialV.SiotyBsonvectoresenV,
sedicequeotescongruenteconBmóduloWsielvector(ot-B)estáenelsubes-
pacioW.SiotescongruenteconBmóduloW,seescribirá
otEB, módW.
Ahorabien,lacongruenciamóduloWesunarelacióndeequivalenciasobreV.
(1)otEot,módW,puesoz-ot=0estáenW.
(2)SiotEB,módW,entoncesBEot,módW.Enefecto,comoWes
unsubespaciodeV,elvector(ot-B)estáenWsi,ysolosi,(B-ot)estáenW.
(3)SiotEB,módWyBEy,módW,entoncesot5y,módW.Enefec-
to,si(ot-B)y(B-y)estánenW,entoncesot-y=(ot-B)+(B-y)
estáenW.
Lasclasesdeequivalenciadeestarelacióndeequivalenciasellamanclases
lateralesdeW.¿Cuáleslaclasedeequivalencia(claselateral)deunvectorot?
ConstadetodoslosvectoresBdeVtalesque(B-ot)estáenW;estoes,todos
losvectoresBdelaformaB=ot+y,conyenW.Porestarazónlaclaselateral
delvectorozserepresentapor
ot+W.
EsapropiadopensarquelaclaselateraldeotconrespectoaWeselconjunto
delosvectoresqueseobtienenportraslacióndelsubespacioWporelvectorot.
Parailustrarestasclaseslaterales,ellectorpodríapensarenelsiguientecaso
especial.SeaVelespacioR2yseaWunsubespaciounidimensionaldeV.Si
seconsideraVcomounplanoeuclidiano,Wesunarectaporelorigen.Siot=
(xl,xz)esunvectorenV,laclaselateralot+Weslarectaquepasaporelpunto
(xl,xz)yesparalelaaW.
LacoleccióndetodaslasclaseslateralesdeWserepresentaráporV/W.
Definimosahoraunaadiciónvectorialyunamultiplicaciónporunescalar
enV/Wcomosigue:
(<1+W)+(B+W)=(a+B)+W
aa+W)=tea)+W.
Enotraspalabras,lasumadelaclaselateraldeotylaclaselateraldeBeslaclase
lateralde(ot+B)yelproductodelescalarcydelaclaselateraldeoteslaclase
lateraldelvectorca.Ahorabien,muchosvectoresdiferentesdeVtendránla
mismaclaselateralconrespectoaWy,portanto,sedebeverificarquelasuma
yelproductoanteriordependensolodelasclaseslateralesqueintervienen.
Loqueestoquieredeciresquedebemosdemostrarlosiguiente: `
(a)SiotEot',módWyBEB',módW,entonces
ot+/iša'+B',módW.

406. .4¡n"mll`¢1' .WW
(2)SiozEoz',módW,entoncescaEcoa',módW.
Estoshechossonfácilesdeverificar.(1)Sioz-oz'estáenWyB-B'está
enW,entoncescomo(oz+B)-(oc'+B')=(oz-oc')+(B-B'),vemosque
1+Bescongruenteconoc'+B'móduloW.(2)Sioz-oz'estáenWyccual-
quierescalar,entoncesca-ca'=c(a-oz')estáenW.
EsahorafácildeverificarqueV/W,conlaadiciónvectorialylamultipli-
caciónporescalaresdefinidosanteriormente,esunespaciovectorialsobreel
cuerpoF.Debemoscomprobardirectamentecadaunodelosaxiomasparaun
espaciovectorial.Cadaunadelaspropiedadesdelaadiciónvectorialydela
multiplicaciónporescalaressedesprendendelacorrespondientepropiedad
delasoperacionesenV.HabríaquedecirqueelvectornulodeV/Wserála
claselateraldelvectornulodeV.Esdecir,WeselvectornulodeV/W.
ElespaciovectorialV/Wsellamacociente(odiferencia)deVyW.Hay
unatransformaciónlinealnaturalQdeVsobreV/W.EstádefinidaporQ(a)=
oz+W.DebemosnotarquesehandefinidolasoperacionesenV/Wjustamente
paraqueestatransformaciónQsealineal.ObsérvesequeelespacionulodeQ
esexactamenteelsubespacioW.SellamaaQlatransfonnacióncociente(0
aplicacióncociente)deVsobreV/W.
LarelaciónentreelespaciococienteV/WylossubespaciosdeVquešon
complementariosdeWpuedeserahoraestablecidacomosigue.*/
Teorema.SeaWunsubespaciodelespaciovectorialVyseaQlaransfor-
macióncocientedeVsobreV/W.SupóngasequeW'esunsubespaciodeV.Enton-
cesV=WG3W'si,ysolosi,larestriccióndeQaW'esunisomorfismodeW'
sobreV/W. `
Demostración.SupóngasequeV=WG9W'.Estoquieredecirquecada
vectorozdeVestáunívocamenteexpresadoenlaformaoz=y+1",conyenW
y-y'enW'.EntoncesQa=Qy+Qy'=Qy',estoes,oz+W=y'+W.Esto
muestraqueQaplicaW'sobreV/W,esdecir,queQ(W')=V/W.También
QesinyectivaenW';enefecto,supóngasequeyiy'yåseanvectoresenW'y
queQyí=Qyå.EntoncesQ(y¶-yå)=0,conloquey;-'yåestánenW.
EstevectorestátambiénenW',queesdisjuntodeW,,luegoy;-yí=0.La
restriccióndeQ-aW'es,portanto,unatransformaciónlinealinyectivadeW'
sobreV/W. _'
SupóngasequeW'esunsubespaciodeVtalqueQseainyectiva_enW'y
queQ(W)=V/W.SeaocunvectordeV.Entoncesexisteunvectory'deW'
talqueQy'=Qa;esdecir,y'+W-=oz+W.Estoquieredecirqueoz=-=y+'y'
paraalgúnvector'yenW.Portanto,V=W+W'.ParaverqueWyW'son
disjuntos,supóngasequeyestáenWyW'.ComoyestáenW,setieneQy=0.
PeroQesinyectivaenW',yentoncesdebemostenerque'y=0Portanto,
tenemosqueV=WEBW'.I
LoquerealmentediceesteteoremaesqueW'escomplementariodeWsi,
ysolosi,W'esunsubespacioquecontieneexactamenteunelementodecada
claselateraldeW.MuestraquecuandoV=WG9W',latransformación

407. 300 Algvbrulmcul
cocienteQ«identifica››W'conV/W.Enresumen,(WG9W')/Wesisomorfo
deW'deunmodo«natural››.
Otrohechoobviodebemosnotar.SiWesunsubespaciodelespaciovec-
torialdedimensiónfinitaV,entonces
dimW+dim(V/W)=dimV.
Sepuedeverestodelteoremaanterior.Talvezes-másfácilobservarqueloque
estafórmuladimensionaldiceesque
nulidad(Q)+rango(Q)=dimV.
Noesnuestropropósitohaceraquíuntratamientodetalladodelosespa-
cioscocientes.Perohayunresultadofundamentalquesedemostrará.
Teorema.SeanV_rZespaciosvectorialessobreelcuerpoF_Supóngase
queTesunatransformaciónlinealdeVsobreZ.SiWeselespai-ionulodeT,
entoncesZesisomorfoaV/W.
Demostración.DefinimosunatransformaciónUdeV/WenZpor
U(oz+W)=Ta.DebemosverificarqueUestábiendefinida,esdecir,que
sioz+W=B+W,entoncesToz=TB.Estosedesprendedelhechodeque
WeselespacionulodeT;enefecto,oz+W=B+Wquieredecirqueoz-B
estáenW,yestosucedesi,ysolosi,T(oc-B)=0.Estomuestranosoloque
Uestádefinida,sinoquetambiénUesinyectiva.
EsahorafácilcomprobarqueUeslinealyaplicaV/WsobreZ,puesTes
unatransformaciónlinealdeVsobreZ.I
A.5.Relacionesdeequivalencia
enAlgebraLineal
Consideraremosalgunasdelasrelacionesdeequivalenciaqueaparecen
eneltextodeestelibro.Esteesapenasunamuestradetalesrelaciones.
(1)SeanmynenterospositivosyFuncuerpo.SeaXelconjuntodetodas
lasmatricesm›<nsobreF.Entonceslaequivalenciaporfilasesunarelación
deequivalenciaenelconjuntoX.Laafirmación«Aesequivalenteporfilas
aB»quieredecirqueAsepuedeobtenerdeBporunasucesiónfinitadeope-
racioneselementalesporfilas.Siescribimos.A~Bpor«Aesequivalentepor
filaaB»,entoncesnoesdificilcomprobarlaspropiedades(i)A~A;(ii)si
A~B,entoncesB~A;(iii)siA~ByB~C,entoncesA~C.¿Quése
sabedeestarelacióndeequivalencia?Enrealidadsesabemucho.Porejem-
plo,sesabequeA~Bsi,ysolosi,A=PBparaciertamatrizinversiblem›<m,P_;
oA~Bsi,ysolosi,elsistemahomogéneodeecuacioneslinealesAX¿0
yBX=0tienenlasmismassoluciones.Tambiénsetieneinformaciónexplícita
respectoalasclasesdeequivalenciaparaestarelacion.Cadamatrizm›<n,A,
esequivalenteporfilasauna,ysolamenteuna,matrizescalónreducidapor
nlas.Loqueestodiceesquecadaclasedeequivalencia,segúnestarelación,

408. Apiindic1' -WI
contieneprecisamenteunamatrizescalónreducidaporfilas,R;laclasede
equivalenciadeterminadaporRconstadetodaslasmatricesA=PRdonde
Pesunamatrizinversiblemxm.Tambiénsepuedepensarenestadescripción
delasclasesdeequivalenciadelsiguientemodo.Dadaunamatrizmxn,A,
tenemosunaley(función)fqueasociaconAlamatrizescalónreducidapor
filasf(A)queesequivalenteporfilasaA.Laequivalenciaporfilasestácomple-
tamentedeterminadaporf.Enefecto,A~Bsi,ysolosi,f(A)=f(B),es
decir,si,ysolosi,AyBtienenlamismaformaescalónreducidaporfilas.
(2)SeanunenteropositivoyFuncuerpo.SeaXelconjuntodetodaslas
matricesnxnsobreF.Entonceslasemejanzaesunarelacióndeequivalencia
enX;todamatriz.n.xn,A,essemejanteasímisma;siAessemejanteaB,
entoncesBessemejanteaA;siAessemejanteaByBessemejanteaC,enton-
cesAessemejanteaC.Sabemostambiénbastantedeestarelacióndeequi-
valencia.Porejemplo,AessemejanteaBsi,ysolosi,AyBrepresentanelmismo
operadorlinealsobreF"en(posiblemente)diferentesbasesordenadas.Pero
sesabealgomásprofundoqueesto.Todamatriznxn,A,sobreFessemejante
(sobreF)auna,ysoloauna,matrizqueestáenlaformaracional(Capítulo7).
Enotraspalabras,cadaclasedeequivalencia,segúnlarelacióndesemejanza,
contieneprecisamenteunamatrizqueestáenlaformaracional.Unamatriz
enlaformaracionalestádeterminadaporunk-tuple(pl,...,p,,)depolino-
mios'mónicosquetienenlapropiedaddequepH1divideapj,j=1,...,k-I.
Así,setieneunafunciónfqueasociaacadamatriznxn,A,unk-tuplef(A)-=
(pl,...,p,,)quesatisfacelacondicióndedivisibilidaddequep,-+1divideapj.
Y,AyBsonsemejantessi,ysolosi,f(A)=f(B),_
(3)HeaquíuncasoespecialdelanteriorEjemplo2.SeaXelconjunto
delasmatrices3x3sobreelcuerpoF.Seconsideralarelacióndesemejanza
enX_SiAyBsonmatrices3x3sobreF,entoncesAyBsonsemejantessi,y
solosi,tienenelmismopolinomiocaracterísticoyelmismopolinomiominimal.
Asociadoacadamatriz3x3,A,setieneunpardepolinomiosmónicos(p,q)
quesatisfacen
(H)gfdf=3;
(blpdividef;
siendo_/`elpolinomiocaracterísticoparaAypelpolinomiominimalparaA.
DadoslospolinomiosmónicosfypsobreF,quecumplen(a)y(b),esfácil
encontrarunamatriz3x3sobreFquetieneafyapcomosuspolinomios
característicoyminimal,respectivamente.Loquetodoestosignificaesque:
Siseconsideralarelacióndesemejanzaenelconjunto/delasmatrices3x3
sobreF,lasclasesdeequivalenciaestánencorrespondenciabiunívocaconlos
paresordenados(f,p)depolinomiosmónicossobreFquesatisfacen(a)y(b).
A.6.Elaxiomadeelección
Someramentehablando,elaxiomadeelecciónesunaregla(oprincipio)
delpensamientoquediceque,dadaunafamiliadeconjuntosnovacíos,se

409. J92 Alg¢'l›rulmcul
puedeelegirunelementodecadaconjunto.Parasermásprecisos,supóngase
quesetengaunconjuntodeíndicesAyqueparacadaozdeAsetengaunconjunto
asociadoSanovacío.El«elegir››o«seleccionar››unelementodecadaSaquiere
decirdarunareglafqueasocieacadaozunelementof(oz)enelconjuntoSa.
Elaxiomadeeleccióndicequeestoesposible;esdecir,dadalafamiliadecon-
juntos{S,,},existeunafunciónfdeAen
S US..
talquef(a)estáenSaparatodooz.Esteprincipioesaceptadoporlamayoría
delosmatemáticos,peseaquesurgenmuchassituacionesenlasqueestálejos
deserclarocómosepuedahallarunafunciónexplícitaf.
Elaxiomadeeleccióntieneconsecuenciassorprendentes.Lamayoríade
lascualestienenpocaoningunainfluenciaenelmaterialdeestelibro;sinem-
bargo,esdignademencionaruna:todoespaciovectorialtieneunabase.Por
ejemplo,elcuerpodelosnúmerosrealestieneunabase,consideradocomo
espaciovectorialsobreelcuerpodelosracionales.Esdecir,existeunsubconjun-
toSdeRqueeslinealmenteindependientesobreelcuerpodelosracionales
ytienelapropiedaddequecadanúmerorealesunacombinaciónlinealracional
deunnúmerofinitodeelementosdeS.Nonosdetendremosaquíaderivar
esteespaciovectorialqueresultadelaaplicacióndelaxiomadeelección.Para
unademostración,ellectorpuedeconsultarellibrodeKelleycitadoenlabi-
bliografía.

410. Bibliografía
Ó
Halmos,P.,Finite-DimensionalVectorSpaces,D.VanNostrandCo.,Princeton,
1958.
Jacobson,N.,LecturesinAbstractAlgebra,II,D.VanNostrandCo.,Princeton,
1953.
Kelley,JohnL.,GeneralTopology,D.VanNostrandCo.,Princeton,1955.
MacLane,S.andBirkhoff,G.,Algebra,TheMacmillanCo.,NewYork,1967.
Schreier,O.andSperner,E.,IntroductiontoModernAlgebraandMatrixTheory,
2ndEd.,ChelseaPublishingCo.,NewYork,1955.
Vander'Waerden,B.L.,ModernAlgebra(dosvolúmenes),Rev.Ed.,Frederick
UngarPublishingCo..NewYork,1969.
393

412. Adjunta:
deunamatriz,147,158
deunatransformación,292
Admisible,subespacio,231
Algebra,116
autoadjunta,340
deseriesdepotenciasformales,136
lineal.116
teoremafundamentaldel,136
Algebraicamentecerrado,cuerpo,136
Alternada.funciónn-lineal,143,168
Anillo,139
Grassman,179
Antisimétrica:
formabilineal,369
matriz(Ej.3).163.209
Anulador:
desubconjuntos.100
desumaeintersección(Ej.11),105
deunvector(T-anulador),200,201,227
Aproximación,281
Asociativa,1
delaadiciónvectorial,28
delamultiplicaciónmatricial,18,90
Aumentada,matriz,13
Axiomadeelección,391
Base,40
cambiode,91
dual,98,164
canónìcaparaF",41
ordenada,91
ortonormal,279
demódulos,163
Indice
Bessel,desigualdadde,285
Bilineal,forma,165.316,353
antisimétrica,369
diagonalizaciónde,364
grupoquepreserva,373
matrizdela,356
no-degeneradaflno-singular),359
positivamentedefinida,362
rangode,359
signaturade,366
simétrica,361
Canónica,basedeF",42
productointerno,269
Característicadeuncuerpo,3
Propio:
espacio,181
valor,181,182
vector,181
Característico,polinomio,182
Cauchy-Schwarz,desigualdadde,275
Cayley-Hamilton,teoremade,193,236
Cayley,transformaciónde(Ej.7),306
Cíclica.teoremadeladescomposición,232
Cíclico:
subespacio,226
vector,226
Clasedcequivalencia,386
Cociente:
espacio,390
transformación,389
Coeficientedeunpolinomio,119
Cofactor,157
395

413. .Wo lmlire'
Columna: Directa,suma,209
equivalenciapor,254 invariante,212
matriz(Ej.14),42,51,72 dematrices,212
operacionespor,26,255 deoperadores,212
rangode,72,113 Disjuntos,subespacios(véaseIndependiente:
Combinación,170 subespacios)
Combinaciónlineal: DÍSÍHHCÍH(E_ì-4).236
deecuaciones,4 Divisiónconresto,126
devectores,31 Dual,base,98,164
Complementario,subespacio,230 espacio,98
ortogonal,283 módulo,164
Composición,382
Congruencia,137,385,389 Ecuacioneslineales(véaseSistemadeecuacio-
Conjugación(Ej.13),274 neslineales)
Conjugada,269 Eigenvalor(véasePropio:valor)
11-anspimsta,270 Eigenvector(véasePropio:vector)
Conjunto: Elemental:
elementodeun(miembrodeun),381 matriz,19,251
vacío,381 matrizdeJordan,244
Conmutativa: operacióndecolumna,25,254
álgebra,116 operacióndefila,6,251
anillo,139 Elementosdeunamatriz.6
grupo,82 Entero,2
Coordenadas,49 positivo,2
matrizde,51 Equivalencia:
(Claselateral,176,388 Clasede,385
Cramer,reglade,160 relaciónde,385
Cuadrática,forma,271,362 Equivalentes,sistemadeecuaciones,4
Cuerpo,2 Espaciovectorial,28
algebraicamentecerrado,136 basedel,41
subcuerpo,137 dedimensiónfinita,41
° delasfuncionespolinomios,30
Dfilïfid¢KF0fl¢¢1<¢f,9 delassolucionesdelasecuacioneslinea-
Dependencialineal,40,47 |¢s,36
Derivadadepolinomio,127,264 delosn-tuples,29
Descomposiciónpolar,338 dimensión,44
Determinante,función,143 isomorfismode,84
existenciadela,146 subespacio,34
detransformacioneslineales,172 Espacios:
unicidaddela,151 cociente,390
Determinante,rango(Ej.9),162 solugión,36
Diagonalizable: Espectral:
deunoperadorlineal,parte,220 descomposición,331
Operador.184 teorema,331
simultáneamente,207 Espmtro,331
Diagonalización,205 Euclidiano,espacio,275
deformasbilinealessimétricas,364 Extfl-¡onp¡-o¿uc¡0,174,¡76
deformashermíticas,319
dematricesautoadjuntas(operadores),311
dematricesnormales(operadores),313 F"'*”,29
simultánea,205 F”,29
unitaria,313 Factores,invariantes,238,259
Diferencial,ecuación(Ej.14)(Ej.8),222,247Factorizacióndepolinomios,135
Dimensión,44 Fila:
finita,44 equivalentepor,7,58,251
fórmula,46 espacio,39

414. Imlicr'
Fila:
matrizescalónreducidapor,11,56
matrizreducidapor,9
operacionesde,6,251
rangode,56,72,113
vector,38
Forma:
alternada,168
bilineal,165,316,353
cuadrática,271,362
hermítiea,319
matrizdela,318
multilineal,164
no-degenerada(Ej.6),320
nonegativa,321
normal,257,261
positiva,321,324
racional,237
sesquilineal,316
FórmuladeTaylor,128,264
Función,382
determinante,143
identidad,382
imagendela,381
inversible,382
lineal,67,96,288
multilineal,164
n-lineal,141
polinomio,30
recíproca,383-84
restriccióndeuna,384
Funciónlineal,96
Grado:
delasformasmultilineales,164
delospolinomios,118
Gram-Schmidt,procesode,278,285
Grassman,anillode,172-79
Grupo,82
conmutativo,82
deLorentz,375
linealgeneral,303
ortogonal,374
quepreservaunaforma,373
seudoortogonal,375
simétrico,153
I-Iermítica
forma,319
1-liperespacio,100,108
I-lomogéneo,sistemadeecuacioneslineales,3
Ideal,130
principal,130
ldempotente,transformación(véaseProyec-
ción)
307
Identidad:
depolarización,272,362
elemento,16,139
función,382
matriz,9
resolucióndela,332,340
Imagen,71
Independencialineal,40,47
Independiente:
linealmente,40,47
subespacio,208
Interpolación,122
Intersección,380
desubespacios,36
Invariante:
factores,deunamatriz,238,259
subconjunto,384
subespacios,197,205,310
sumadirecta,213
Inversa:
aladerecha,21
alaizquierda,21
deunamatriz,21,158
poramboslados,21
Inversible:
función,383
transformaciónlineal,79
matriz,21,158
Irreducible,polinomio,133
lsomorfismo:
deespaciosproductointerno,296
deespaciosvectoriales,84
Jordan,formade,245
Kronecker,deltade.9
Lagrange,fórmuladeinterpolaciónde,123
Laplace,desarrollosde,178
Lineal,álgebra,116
Lineal,combinación:
deecuaciones,4
devectores,31
Lineales,ecuaciones(véaseSistemadeecua-
cioneslineales)
Lineal,funcional,96
Linealmentedependiente(independiente),
40,47
Lorentz:
grupode,375
transformaciónde(Ej.15),308,375
Matrizadjunta,228
Matriz,6
adjuntadeuna,147,158
antisimétrica(Ej.3),163,209

415. .WR
Matriz:
aumentada,14
autoadjunta(hermítiea),35,319
coeficiente,6
cofactoresde,157
coordenadas,51
delaformabilineal,356
delatransformaciónlineal,86,87
deunaforma,318
deVandermonde,123
delproductointemo,272
elemental.19,251
elementaldeJordan,244
escalónreducidaporfilas,11,56
factoresinvariantesdela,238,259
formadeJordandela,245
formaracionaldela,237
inversadela,21,158
inversible,21,158
nilpotente,243
nonnal,312
nula,12
ortogonal(Ej.4),161,374
polinomiominimaldela,190
positiva,325
productode,17,89
rangodela,113
rangodefiladela,56,72,113
reducidaporfilas,9
semejante,93
simétrica,35,209
transpuestadela,113
trazadela,97_
triangular,154
triangularsuperior,27
unidad,9
unitaria(Ej.5),161,300
Máximocomúndivisor(m.c.d.),132
Minimal,polinomio,190
Módulo,162
baseparael,163
dual,164
finitamentegenerado,163
libre.163
rangodel,163
Mónico,polinomio,119
Movimientorígido(Ej.14),307
Multilineal,función(forma).164-65
gradodela,164
Multiplicidad,129
Nilpotente:
matriz,243
operador,221
n-lineal,función,141
alternada,143,168
Nodegenerada:
forma(Ej.6),320
formabilineal,359
Nonegativa:
forma,321
operador,325,337
Nosingular:
forma(véaseNodegenerada)
transformaciónlineal,79
Norma,271
Normal:
forma,256,259
matriz,312
operador,309
n-tuple,29
Nulidaddelatransformaciónlineal,71
Nulo,espacio,71
Números:
complejos,2
racionales,3
reales,2
Operadorsemisimple,260
Operadorlineal,76
Ordenada,base,50
Ortogonal:
complemento,282
conjunto,276
equivalencia,305
grupo,374
matriz(Ej.4),161,374
proyección,283
transformaciónlineal,301
Ortogonales,vectores,276.362
Ortonormal:
base.279
conjunto,276
Paralelogramo,leydel(Ej.9),273
Permutación,150
impar,par,151
productode,152
signodeuna,151
Polar,descomposición,338
Polarización,identidadde,272,362
Polinomio,116
característico,182
cerodel,127
coeficientesdel,119
derivadodel,_127,264
descomposiciónprimadel,135
escalar,119
factorizaciónprimadel,135
función,30
gradodel.118
ineducible(primo),133
lmiirc'

416. lmlit't'
Polinomio:
minimal,190 °
mónico,119
primo(irreducìble),133
raízdel,127
reducible,133
Positiva,matriz,325
Positivo:
entcro,2
forma,321,324
operador,325
Positivamentedefinido,362
Potenciasformales,seriede,118
Prima,descomposición:
depolinomios,135
teoremadela,219
Prima,factorizacióndepolinomios,135
Primo:
polinomio,133
relativo,131
Primos,componentes,346
Principal:
ideal,130
teoremadeleje,319
Principales,menores,322
Procesodeortogonalización,278.285
Producto:
detransformacioneslineales,75
dematrices,14,89
depermutaciones,155
exterior,174,176
tensorial,166
Productoexterior,174,176
Productointerno,269
canónico,269,270
espaciocon,274
formacuadráticadel,271
matrizdel,272
Propio,subespacio,381
Proyección,209
ortogonal,283
Racional,forma,237
Raíz:
depolinomios,127
deunafamiliadeoperadores,338
Raízcuadrada,_336
Rango:
defila,56,72,113
decolumna,72,113
delaformabilineal,359
delamatriz,113
delatransformaciónlineal,71
delmódulo,163.
determinante(Ej.9),162
-I 01.
. 0
__Ó QQQ
Ó¡Q'I.
_
I
Rcaueihie,poliñdmio.133''
Relación,385
Resolución:
delaidentidad,332,339
espectral,331,340
Restricción:
deunafunción.383
operador,198
Rotación(Ej.4),54,306
Semejantes.matrices,93
Semisimple,operador,260
Separador,vector(Ej.14),242
Seriedepotencia,118
Sesquilineal,forma,316
Signatura,366
Signodeunapermutación,151
Simétrica:
formabilineal,361
grupo,152
matriz,35,209
Simultánea,
diagonalización,205
triangulización,205
Sistemadeecuacioneslineales,3
homogéneas,3
Subconjunto,381
invariante,385
propio,381
Subcuerpo,2
Subespacio,34
anuladordeun,100
cíclico,226
cociente,390
complementario,230
complementarioortogonal,282
generado,36
independiente,208
invariante,197,205,310
iiulo,35
T-admisible,231
Subespacios,sumade,37
Sucesióndevectores,47
Submatriz(Ej.9),162
Suma:
desubespacios,37
directa,209
T-admisible,subespacio,231
T-anulador,200,201,227
T-conductor,200,201,231
Taylor,fórmulade,128,264
Tensorial,producto,166
Teoremafundamentaldelálgebra,136
Transformación:
cero,67
JW)
Q
D
Ó
UU

417. 400
Transformación:' Transformaciónlineal,
dederivación,67 trazadela(Ej.15),106
Transformación(operador)lineal,67,76 unitaria,299
adjunta,292 Transpuesta:
autoadjunta,295,310 conjugada,270
cociente,389-90 delamatriz,113
descomposicióncíclicadela,232 delatransformaciónlineal,111
descomposiciónpolardela,338 Traza:'-
determinantedela,171 delamatriz,97
Indice
diagonalizable,183 delatransformaciónlineal(Ej.15),106
imagenporla,71 Triangulable,transformaciónlineal,201,312
invertible,79 Triangular,matriz(Ej.7),154
matrizdela,87,88 Triangulación,205
matrizdela,enlabasenormal,291
nilpotente,220 Unión,334
nonegativa,325,336 Unitaria:
nosingular,79 diagonalización,313
normal,309 equivalencia,305,351
nulidaddela,71 matriz(Ej.5),161,300
ortogonal,301 transformación,351
partediagonalizabledela,220 Unitario:
polinomiominimaldela,190 espacio,275
positiva,324 operador,299
rangodela,71
semisimple,261 Vandermonde,matrizde,123
transpuestadela,111 Valorpropio,181,182
triangulable,201,312 Vectorpropio,181