ANALISIS NUMERICO APLICADO, BREVE INTRODUCCION

Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Introducción al curso Análisis numérico aplicado II Hugo Arcos Gutiérrez

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias Aun cuando se pueda demostrar que la solución de una ecuación diferencial exista, no siempre es posible expresarla en forma explícita o implícita. En muchos casos tenemos que conformarnos con una aproximación de la solución. Si la solución existe, se representa por un conjunto de puntos en el plano cartesiano. Por lo que, continuamos investigando la idea básica de utilizar la ecuación diferencial para construir un algoritmo para aproximar las coordenadas y de los puntos de la curva solución real. Nuestro interés son principalmente los PVI . Veremos que los procedimientos numéricos desarrollados para las ED de primer orden se generalizan de una manera natural para sistemas de ecuaciones de primer orden y por tanto se pueden aproximar soluciones de una ecuación de orden superior remodelándola como un sistema de ED de primer orden.  

3. U n método numérico Una ecuación diferencial es una fuente de información. Comenzaremos esta unidad observando que podríamos recolectar información cualitativa de una ED de primer orden con respecto a sus soluciones aún antes de intentar resolver la ecuación. Entonces en sus clases de matemáticas avanzadas examinaron a las ED de primer orden analíticamente , es decir, desarrollaron algunos procedimientos para obtener soluciones explícitas e implícitas. Pero una ecuación diferencial puede tener una solución aun cuando no podamos obtenerla analíticamente. Así que, para redondear los diferentes tipos de análisis de las ecuaciones diferenciales, obtendremos una solución con un método con el cual podemos “resolver” la ecuación diferencial numéricamente, esto significa que la ED se utiliza como el principio básico de un algoritmo para aproximarnos a la solución desconocida. En esta unidad vamos a desarrollar únicamente el más sencillo de los métodos numéricos, un método que utiliza la idea de que se puede usar una recta tangente para aproximar los valores de una función en una pequeña vecindad del punto de tangencia.  

4. USANDO LA RECTA TANGENTE Suponemos que el problema con valores iniciales tiene una solución. Una manera de aproximarse a esta solución es emplear rectas tangentes. Por ejemplo, digamos que y ( x ) denota la solución incógnita para el problema con valores iniciales . La ecuación diferencial no lineal en este PVI no se puede resolver directamente por cualquiera de los métodos, no obstante, aun podemos encontrar valores numéricos aproximados de la incógnita y ( x ). En concreto, supongamos que deseamos conocer el valor de . El PVI tiene una solución y, como sugiere el flujo del campo direccional de la ED en la figura, una curva solución que debe tener una forma similar a la curva que se muestra en azul. El campo direccional de la figura se generó con elementos lineales que pasan por puntos de una cuadricula de coordenadas enteras. Puesto que la curva solución pasa por el punto inicial (2, 4), el elemento lineal en este punto es una recta tangente con una pendiente dada por . Como se muestra en la figura y el zoom, cuando x está cerca de 2, los puntos en la curva solución están cerca de los puntos de la recta tangente (el elemento lineal). Utilizando el punto (2, 4), la pendiente f(2, 4) = 1.8 y la forma punto pendiente de una recta, encontramos que una ecuación de la recta tangente es y = L(x), donde .  

5. Esta última ecuación se llama linealización de y ( x ) en x = 2 que se puede utilizar para aproximar los valores dentro de una pequeña vecindad de x = 2. Si denota la coordenada y en la recta tangente y es la coordenada y de la curva solución correspondiente a una coordenada que está cerca de x = 2, entonces . Si elegimos , entonces , entonces  

6. Método de Euler Para generalizar el procedimiento que acabamos de ilustrar, usamos la linealización de una solución incógnita y ( x ) en : La grafica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica de y = y ( x ) en el punto Ahora hacemos que h sea un incremento positivo del eje x , como se muestra en la figura. Entonces sustituyendo x por en la ecuación anterior , obtenemos donde . El punto en la recta tangente es una aproximación del punto sobre la curva solución. Por supuesto, la precisión de la aproximación depende fuertemente del tamaño del incremento h . Normalmente debemos elegir este tamaño de paso para que sea “razonablemente pequeño”. Ahora repetimos el proceso usando una segunda “recta tangente” en .* Identificando el nuevo punto inicial en lugar de del análisis anterior, obtenemos una aproximación correspondiendo a dos pasos de longitud h a partir de , es decir, y y  

7. Si continuamos de esta manera, vemos que se puede definir recursiva mente mediante la fórmula general donde Este procedimiento de uso sucesivo de las “rectas tangentes” se conoce como método de Euler . Esta no es una recta tangente real, ya que está sobre la primera tangente y no sobre la curva solución.  

8. Ejemplo Considere el problema con valores iniciales , Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y (2.5) usando primero y después . Solución: Con la identificación de la ecuación (3) se convierte en Entonces para encontramos que, como ya hemos visto, es una estimación del valor y (2.1). Sin embargo, si usamos el paso de tamaño más pequeño h = 0.05, le toma dos pasos alcanzar x = 2.1. A partir de  

9. h = 0.1 h = 0.05 2,00 4,0000 2,10 4,1800 2,20 4,3768 2,30 4,5914 2,40 4,8244 2,50 5,0768 2,00 4,0000 2,10 4,1800 2,20 4,3768 2,30 4,5914 2,40 4,8244 2,50 5,0768 2,00 4,0000 2,05 4,0900 2,10 4,1842 2,15 4,2826 2,20 4,3854 2,25 4,4927 2,30 4,6045 2,35 4,7210 2,40 4,8423 2,45 4,9686 2,50 5,0997 2,00 4,0000 2,05 4,0900 2,10 4,1842 2,15 4,2826 2,20 4,3854 2,25 4,4927 2,30 4,6045 2,35 4,7210 2,40 4,8423 2,45 4,9686 2,50 5,0997

10. Considere el problema con valores iniciales . Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y (1.5) usando primero y después . SOLUCIÓN Con la identificación f ( x , y ) = 0.2 xy , la ecuación se convierte en donde . El error absoluto se define como El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente, UNA ADVERTENCIA El método de Euler sólo es uno de los diferentes métodos en los que se puede aproximar una solución de una ecuación diferencial. Aunque por su sencillez es atractivo, el método de Euler rara vez se usa en cálculos serios . Aquí se ha presentado soló para dar un primer esbozo de los métodos numéricos.  

11. h = 0.1 h = 0.05  

12. E rrores en los métodos numéricos Al elegir y usar un método numérico para la solución de un problema con valores iniciales, se debe estar consciente de las distintas fuentes de error. Para ciertas clases de cálculos, la acumulación de errores podría reducir la precisión de una aproximación al punto de hacer inútil el cálculo. Por otra parte, dependiendo del uso dado a una solución numérica, una precisión extrema podría no compensar el trabajo y la complicación adicionales. Una fuente de error que siempre está presente en los cálculos es el error de redondeo . Este error es resultado del hecho de que cualquier calculadora o computadora puede representar números usando sólo un número finito de dígitos. Suponga, por ejemplo, que se tiene una calculadora que usa aritmética base 10 y redondea a cuatro dígitos, de modo que se representa en la calculadora como 0.3333 y se representa como 0.1111. Si con esta calculadora se calcula para x=0.3334 se obtiene  

13. Sin embargo, con ayuda de un poco de álgebra, vemos que Por lo que cuando x=0.3334, . Este ejemplo muestra que los efectos del redondeo pueden ser bastante considerables a menos que se tenga cierto cuidado. Una manera de reducir el efecto del redondeo es reducir el número de cálculos. Otra técnica en una computadora es usar aritmética de doble precisión para comprobar los resultados.  

14. E rrores de truncamiento para el método de E uler En la sucesión de valores generados del método de Euler , usualmente el valor de no concuerda con la solución real en , en particular, , porque el algoritmo sólo da una aproximación de línea recta a la solución. El error se llama error de truncamiento local , error de fórmula o error de discretización . Este ocurre en cada paso, es decir, si se supone que es precisa, entonces tendrá error de truncamiento local. Para deducir una fórmula para el error de truncamiento local del método de Euler, se usa la fórmula de Taylor con residuo. Si una función y ( x ) tiene derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a a y a x , entonces donde c es algún punto entre a y x . Al establecer , y , se obtiene  

15. El método de Euler es la última fórmula sin el último término; por tanto, el error de truncamiento local en es Usualmente se conoce el valor de c (existe desde el punto de vista teórico) y por tanto no se puede calcular el error exacto , pero un límite superior en el valor absoluto del error es , donde . Al analizar los errores que surgen del uso de métodos numéricos, es útil usar la notación . Para definir este concepto, se denota con e ( h ) el error en un cálculo numérico dependiendo de h . Entonces se dice que e ( h ) es de orden , denotado con , si existe una constante C y un entero positivo n tal que para h suficientemente pequeña.  

16. Determine un límite superior para los errores de truncamiento local del método de Euler aplicado a , y (1) = 1. SOLUCIÓN De la solución obtenemos , por lo que el error de truncamiento es donde c está entre . En particular, para h = 0.1 se puede obtener un límite superior en el error de truncamiento local para al reemplazar c por 1.1: De la tabla anterior se observa que el error después del primer paso es 0.0337, menor que el valor dado por el límite. De igual forma, se puede obtener un límite para el error de truncamiento local de cualquiera de los cinco pasos que se muestran en la tabla anterior al reemplazar c por 1.5 (este valor de c da el valor más grande de y ( c ) de cualquiera de los pasos y puede ser demasiado generoso para los primeros pasos). Al hacer esto se obtiene  

17. como un límite o cota superior para el error de truncamiento local en cada paso. Observe que si h se reduce a 0.05 en el ejemplo, entonces el límite de error es 0.0480, casi un cuarto del valor que se muestra en el resultado anterior . Esto es de esperarse porque el error de truncamiento local para el método de Euler es O ( ).  

18. M étodo de E uler mejorado El método numérico definido por la fórmula donde S e conoce comúnmente como el método de Euler mejorado . Para calcular p ara n = 0, 1, 2, . . . , se debe, en cada paso, usar primero el método de Euler para obtener una estimación inicial . Por ejemplo, con n = 0se obtiene , y después, conociendo este valor, se usa , donde . Estas ecuaciones se representan con facilidad. En la figura se observa que son pendientes de las rectas trazadas con la línea continua que pasan por los puntos respectivamente. Tomando un promedio de estas pendientes, es decir, , se obtiene la pendiente de las rectas paralelas inclinadas. 1 0  

19. Con el primer paso, más que avanzar a lo largo de la recta que pasa por con pendiente al punto con coordenada obtenida por el método de Euler, se avanza a lo largo de la recta punteada de color rojo que pasa por con pendiente hasta llegar a Al examinar la figura parece posible que sea una mejora de . En general, el método de Euler mejorado es un ejemplo de un método de predicción - corrección . El valor de predice un valor de mientras que el valor de corrige esta estimación.  

20. Use el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y (1.5) para la solución del problema con valores iniciales y ' = 2 xy , y (1) = 1. Compare los resultados para h = 0.1 y h = 0.05. SOLUCIÓN Con , primero se calcula: Se usa este último valor en (3) junto con  

22. Use el método de Euler modificado para resolver la ecuación diferencial con . Tome el tamaño de paso . Solución Con , primero se calcula: Se usa este último valor en (3) junto con  

23. Utilice el método de Euler modificado para obtener una solución aproximada de , , e usando . Calcule el error y el porcentaje de error. Dada la solución exacta por  

24. E rrores de truncamiento para el método de Euler mejorado El error de truncamiento local para el método de Euler mejorado es O ( ). La deducción de este resultado es similar a la deducción del error de truncamiento local para el método de Euler. Puesto que el error de truncamiento para el método de Euler mejorado es O ( ), el error de truncamiento global es O ( ). Esto se puede ver en el ejemplo anterior; cuando el tamaño de paso se reduce a la mitad de h = 0.1 a h = 0.05, el error absoluto en x = 1.50 se reduce de 0.0394 a 0.0108, una reducción de aproximadamente  

25. M étodos de R unge- K utta En esencia, los métodos de Runge- Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler en que la función pendiente f se reemplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo Es decir, Aquí los pesos i = 1, 2, . . . , m , son constantes que generalmente satisfacen , y cada i = 1, 2, . . . , m , es la función f evaluada en un punto seleccionado ( x , y ) para el que . Veremos que las se definen recursivamente. El número m se llama el orden del método. Observe que al tomar m = 1, , se obtiene la conocida fórmula de Euler . Por esta razón, se dice que el método de Euler es un método de Runge- Kutta de primer orden . El promedio en la ecuación anterior no se forma a la fuerza, pero los parámetros se eligen de modo que esta ecuación concuerda con un polinomio de Taylor de grado m . Como se vio en la anteriormente, si una función y ( x ) tiene derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a a y a x , entonces se puede escribir    

26. donde c es algún número entre a y x . Si se reemplaza a por y x por , la fórmula anterior se convierte en donde c es ahora algún número entre . Cuando y ( x ) es una solución en el caso k = 1 y el residuo es pequeño, vemos que un polinomio de Taylor de grado uno concuerda con la fórmula de aproximación del método de Euler  

27. M étodo de R unge- K utta de segundo orden A hora se considera un procedimiento de Runge- Kutta de segundo orden . Éste consiste en encontrar constantes o parámetros tal que la fórmula concuerda con un polinomio de Taylor de grado dos. Para nuestros objetivos es suficiente decir que esto se puede hacer siempre que las constantes satisfagan Este es un sistema algebraico de tres ecuaciones con cuatro incógnitas y tiene un número infinito de soluciones: donde Por ejemplo, la elección produce y, por lo tanto 1) se convierte en  

28. Puesto que se reconoce al resultado anterior como el método mejorado de Euler anteriormente visto. En vista de que se puede elegir de modo arbitrario en 3), hay muchos posibles métodos de Runge- Kutta de segundo orden. Se omite cualquier explicación de los métodos de tercer orden para llegar al punto principal de análisis en esta unidad. Ejemplo Use el método de Runge- Kutta con , encuentre para  

29. M étodo de R unge- K utta de cuarto orden Un procedimiento de Runge - Kutta de cuarto orden consiste en determinar parámetros de modo que la fórmula concuerda con un polinomio de Taylor de grado cuatro. Esto da como resultado un sistema de 11 ecuaciones con 13 incógnitas. El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parámetros produce el siguiente resultado:  

30. Mientras que las otras fórmulas de cuarto orden se deducen con facilidad, el algoritmo resumido en 2) que es muy usado y reconocido como una invaluable herramienta de cálculo, se denomina el método de Runge- Kutta de cuarto orden o método clásico de Runge- Kutta . De aquí en adelante, se debe considerar a 2), cuando se use la abreviatura método RK4 . Se le aconseja que tenga cuidado con las fórmulas en 3); observe que depende de depende de depende de . También, implican aproximaciones a la pendiente en el punto medio en el intervalo definido por  

31. Ejemplo Use el método RK4 con h = 0.1 para obtener una aproximación a y (1.5) para la solución de , y (1) = 1. S olución Para ejemplificar permítanos calcular el caso cuando n = 0. De 2) se encuentra que y por tanto  

32.   Valor real Valor absoluto % de error relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.2337 1.2337 0.0000 0.00 1.20 1.5527 1.5527 0.0000 0.00 1.30 1.9937 1.9937 0.0000 0.00 1.40 2.6116 2.6117 0.0001 0.00 1.50 3.4902 3.4904 0.0001 0.00 Valor real Valor absoluto % de error relativo 1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.2337 1.2337 0.0000 0.00 1.20 1.5527 1.5527 0.0000 0.00 1.30 1.9937 1.9937 0.0000 0.00 1.40 2.6116 2.6117 0.0001 0.00 1.50 3.4902 3.4904 0.0001 0.00

33. Ejercicio Encuentre una solución aproximada al problema de valor inicial , , en el inicial usando el método de Runge- Kutta de orden cuatro con . Calcule el valor exacto dado por . Calcule el error absoluto y el error relativo porcentual.   n Runge- Kutta Valor exacto Error absoluto Error relativo porcentual 1 1 1 0.1 1.6089 1.6090 0.0001 0.0062 2 0.2 2.5050 2.5053 0.0002 0.0119 3 0.3 3.8294 3.8301 0.0007 0.07 4 0.4 5.7928 5.7942 0.0014 0.14 5 0.5 8.7093 8.7120 0.0027 0.27 n Valor exacto Error absoluto Error relativo porcentual 1 1 1 0.1 1.6089 1.6090 0.0001 0.0062 2 0.2 2.5050 2.5053 0.0002 0.0119 3 0.3 3.8294 3.8301 0.0007 0.07 4 0.4 5.7928 5.7942 0.0014 0.14 5 0.5 8.7093 8.7120 0.0027 0.27

34. Ejercicio . Dado , , calcule usando el método de Runge- Kutta de cuarto orden. Solución Tenemos .  

35. E rrores de truncamiento para el método rk4 Anteriormente vimos que los errores de truncamiento globales para el método de Euler y el método de Euler mejorado son, respectivamente, O ( h ) y Debido a que la primera ecuación en 2) concuerda con un polinomio de Taylor de cuarto grado, el error de truncamiento global para este método es y así el error de truncamiento global es Ahora es evidente por qué el método de Euler, el método de Euler mejorado y 2) son métodos de primero , segundo y cuarto orden , respectivamente. Ejemplo: Determine un límite para los errores de truncamiento local del método RK4 aplicado a , . S olución Al calcular la quinta derivada de la solución conocida y ( x ) se obtiene Por lo que con c = 1.5, con la ecuación anterior se obtiene un límite de 0.00028 en el error de truncamiento local para cada uno de los cinco pasos cuando h = 0.1. Observe que en la tabla el error en y 1 es mucho menor que este límite.  

36. h Aproximación Error 0.1 3.49021064 0.05 3.49033382 h Aproximación Error 0.1 3.49021064 0.05 3.49033382

37. Series de Taylor de un PVI   Supongamos que existe una solución del problema con valores iniciales Si además se supone que la solución y ( x ) del problema es analítica en 0, entonces y ( x ) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0: Observe que se conocen los valores del primero y segundo términos en la serie 2) puesto que esos valores son las condiciones iniciales especificadas . Además, la ecuación diferencial por sí misma define el valor de la segunda derivada en 0: . Entonces se pueden encontrar expresiones para las derivadas superiores , , . . . calculando las derivadas sucesivas de la ecuación diferencial:  

38. etcétera. Ahora usando , se encuentra de 3) que . De los valores se encuentra de 4). Con la información adicional de que , entonces se ve de 5) que . Por tanto de 2) los primeros seis términos de una solución en serie del problema con valores iniciales 1) son  

39. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales La solución de un sistema de la forma se puede aproximar con una versión del método de Runge- Kutta adaptada al sistema. Por ejemplo, el método RK4 aplicado al sistema   1)

40. se parece a: donde   2) 3)

41. Método RK4 Considere el problema con valores iniciales Use el método RK4 para aproximar x (0.6) y y (0.6). Compare los resultados para h = 0.2 y h = 0.1. S olución Se muestran los cálculos de x 1 y y 1 con tamaño de paso h = 0.2. Con las identificaciones , , , , , se ve de 3) que  

42. Por tanto de 2) se obtiene  

43. 0.00 -1.0000 6.0000 0.20 9.2453 19.0683 0.40 46.0327 55.1203 0.60 158.9430 150.8192 0.00 -1.0000 6.0000 0.10 2.3840 10.8883 0.20 9.3379 19.1332 0.30 22.5541 32.8539 0.40 46.5103 55.4420 0.50 88.5729 93.3006 0.60 160.7563 152.0025 0.00 -1.0000 6.0000 0.20 9.2453 19.0683 0.40 46.0327 55.1203 0.60 158.9430 150.8192 0.00 -1.0000 6.0000 0.10 2.3840 10.8883 0.20 9.3379 19.1332 0.30 22.5541 32.8539 0.40 46.5103 55.4420 0.50 88.5729 93.3006 0.60 160.7563 152.0025 h=0.2 h=0.1

44. donde, como es usual, los valores calculados de están redondeados a cuatro lu gares decimales. Estos números nos dan la aproximación y Los valores subsecuentes, obtenidos con la ayuda de una computadora, se resumen en la tabla. Se debe comprobar que la solución del problema con valores iniciales del ejemplo está dada por De estas ecuaciones vemos que los valores reales x (0.6) =160.9384 y y (0.6) = 152.1198 se comparan favorablemente con las entradas del último renglón de la tabla. La gráfica de la solución en una vecindad de t = 0 que se muestra en la figura; la gráfica se obtuvo de un programa de solución numérico usando el método RK4 con h = 0.1. En conclusión, establecemos el método de Euler para el sistema general 1):  

45. P roblemas con valores en la frontera de segundo orden Ahora se tratara un método para encontrar una solución aproximada de un problema con valores en la frontera de segundo orden A diferencia del procedimiento utilizado en los problemas con valores iniciales de segundo orden, en los métodos para los problemas con valores en la frontera de segundo orden no se requiere escribir la ED de segundo orden como un sistema de ED de primer orden.  

46. A proximaciones por diferencias finitas El desarrollo en serie de Taylor centrado en el punto a , de una función y ( x ) es Si se hace , entonces el renglón anterior es igual a Para el análisis posterior es conveniente volver a escribir la última expresión en las dos formas alternativas: y Si h es pequeña, podemos despreciar los términos que implican a puesto que estos valores son despreciables. En realidad, si se ignoran todos los términos con y superiores, y resolviendo 1) y 2), respectivamente, para se obtienen las aproximaciones siguientes para la primera derivada:   1) 2)

47. Restando 1) y 2) también se obtiene Por otro lado, si se ignoran los términos con y superiores, entonces al sumar 1) y 2) se obtiene una aproximación de la segunda derivada : Los lados derechos de 3), 4), 5) y 6) se llaman cocientes de diferencias . Las expresiones y ),   3) 4) 5) 6)

48. se llaman diferencias finitas . En particular, recibe el nombre de diferencia hacia adelante , es una diferencia hacia atrás y tanto como se llaman diferencias centrales . Los resultados que se presentan en 5) y 6) se llaman aproximaciones por diferencias centrales de las derivadas .  

49. M étodo de diferencias finitas Ahora considere un problema lineal con valores en la frontera de segundo orden Suponga que representa una partición regular del intervalo [ a , b ], es decir, , donde . Los puntos se llaman puntos de malla interiores del intervalo [ a , b ]. Si hacemos y si en 7) se reemplazan por las aproximaciones de diferencias centrales 5) y 6), se obtiene o después de simplificar  

50. La ultima ecuación se conoce como ecuación de diferencias finitas y es una aproximación a la ecuación diferencial. Permite aproximar la solución y ( x ) de 7) en los puntos de malla interiores del intervalo [ a , b ]. Si i toma los valores en 8), se obtienen ecuaciones con incógnitas Considere que se conocen porque son las condiciones prescritas en la frontera . En el ejemplo se considera un problema con valores en la frontera para el que se pueden comparar los valores aproximados con los valores reales de una solución explícita.  

51. Uso del método de diferencias finitas Use la ecuación de diferencias 8) con para aproximar la solución del problema con valores en la frontera S olución Para usar 8), se identifica De donde la ecuación de diferencia es Ahora, los puntos interiores son por lo que para la ecuación 9) genera el sistema siguiente para las correspondientes Con las condiciones en la frontera el sistema anterior se convierte en  

52. La solución del sistema es . Ahora la solución general de la ecuación diferencial dada es . La condición significa que . La otra condición en la frontera da . De este modo se ve que una solución del problema con valores en la frontera es . Por tanto, los valores reales (redondeados a cuatro decimales) de esta solución en los puntos interiores son los siguientes: . La precisión de las aproximaciones en este ejemplo se puede mejorar usando un valor más pequeño de h . Por supuesto, usar un valor más pequeño de h requiere resolver un sistema más grande de ecuaciones. Se deja como ejercicio demostrar que con , las aproximaciones a , respectivamente.  

53. Use la ecuación diferencial 8) con n 10 para aproximar la solución de SOLUCIÓN En este caso se identifica , y así 8) se convierte en Ahora los puntos interiores son . Para , la ecuación 10) da un sistema de nueve ecuaciones y nueve incógnitas:  

54. Se puede resolver este grande sistema usando eliminación de Gauss. El resultado que se encuentra es . Ejemplo Resuelva el problema del valor límite por el método de diferencias finitas. Use aproximaciones de diferencia central con . Si la solución exacta es , donde encuentre la magnitud del error y el error relativo porcentual en .